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TEOREMADEL
NUMEROPENTAGO-
NAL
Introduccion
Teorema
Numerospentagonales
Numerospoligonales
Prueba porcombinatoria
TEOREMA DEL NUMEROPENTAGONAL
Jesus A. CorralMaria Soler Facundo
Chiara ForacePiera Galber
Luis J. Salmeron Contreras
Universitat de Valencia
15 de Enero de 2014
TEOREMADEL
NUMEROPENTAGO-
NAL
Introduccion
Teorema
Numerospentagonales
Numerospoligonales
Prueba porcombinatoria
1 Introduccion
2 Teorema
3 Numeros poligonales
4 Prueba por combinatoria
TEOREMADEL
NUMEROPENTAGO-
NAL
Introduccion
Teorema
Numerospentagonales
Numerospoligonales
Prueba porcombinatoria
Introduccion
Euler publico el teorema del numero pentagonal por la primeravez el 14 agosto de 1775.
Este teorema es un caso particular del producto triple deJacobi.
TEOREMADEL
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Numerospentagonales
Numerospoligonales
Prueba porcombinatoria
Introduccion
Euler publico el teorema del numero pentagonal por la primeravez el 14 agosto de 1775.
Este teorema es un caso particular del producto triple deJacobi.
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Teorema
Numerospentagonales
Numerospoligonales
Prueba porcombinatoria
Introduccion
El teorema del numero pentagonal da una equivalencia entre larepresentacion en forma de producto y de serie de la funcionde Euler.
La funcion de Euler:
φ(q) =∞∏k=1
(1− qk).
Una propiedad importante es
1
φ(q)=∞∑n=0
P(n)qn
donde P(n) es el numero de particiones de n.
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Prueba porcombinatoria
Introduccion
El teorema del numero pentagonal da una equivalencia entre larepresentacion en forma de producto y de serie de la funcionde Euler.
La funcion de Euler:
φ(q) =∞∏k=1
(1− qk).
Una propiedad importante es
1
φ(q)=∞∑n=0
P(n)qn
donde P(n) es el numero de particiones de n.
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Prueba porcombinatoria
Introduccion
El teorema del numero pentagonal da una equivalencia entre larepresentacion en forma de producto y de serie de la funcionde Euler.
La funcion de Euler:
φ(q) =∞∏k=1
(1− qk).
Una propiedad importante es
1
φ(q)=∞∑n=0
P(n)qn
donde P(n) es el numero de particiones de n.
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Prueba porcombinatoria
Teorema del numero pentagonal
El teorema afirma que
Teorema∞∏k=1
(1− xk) =∞∑
n=−∞(−1)nxn(3n−1)/2
Se puede escribir como:
(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...
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Teorema del numero pentagonal
El teorema afirma que
Teorema∞∏k=1
(1− xk) =∞∑
n=−∞(−1)nxn(3n−1)/2
Se puede escribir como:
(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...
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Numerospoligonales
Prueba porcombinatoria
Teorema del numero pentagonal
Desarrollando el producto a la izquierda:
(1− x)
(1− x)(1− x2) = 1− x − x2 + x3
(1− x)(1− x2)(1− x3) = 1− x2 +@@x3 −@@x
3 + x4 + x5 − x6
(1− x)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 1− x − x2 +@@x4 −@@x
4 + 2x5
+@@x6 −@@x
6 − x8 − x9 + x10
.
.
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Teorema del numero pentagonal
Desarrollando el producto a la izquierda:
(1− x)
(1− x)(1− x2) = 1− x − x2 + x3
(1− x)(1− x2)(1− x3) = 1− x2 +@@x3 −@@x
3 + x4 + x5 − x6
(1− x)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 1− x − x2 +@@x4 −@@x
4 + 2x5
+@@x6 −@@x
6 − x8 − x9 + x10
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Desarrollando el producto a la izquierda:
(1− x)
(1− x)(1− x2) = 1− x − x2 + x3
(1− x)(1− x2)(1− x3) = 1− x2 +@@x3 −@@x
3 + x4 + x5 − x6
(1− x)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 1− x − x2 +@@x4 −@@x
4 + 2x5
+@@x6 −@@x
6 − x8 − x9 + x10
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Desarrollando el producto a la izquierda:
(1− x)
(1− x)(1− x2) = 1− x − x2 + x3
(1− x)(1− x2)(1− x3) = 1− x2 +@@x3 −@@x
3 + x4 + x5 − x6
(1− x)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 1− x − x2 +@@x4 −@@x
4 + 2x5
+@@x6 −@@x
6 − x8 − x9 + x10
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Numeros pentagonales
(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...
Los exponentes que aparecen al final son 1, 2, 5, 7, 12... ycorresponden a los numeros pentagonales.
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Numeros pentagonales
(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...
Los exponentes que aparecen al final son 1, 2, 5, 7, 12...
ycorresponden a los numeros pentagonales.
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Numeros pentagonales
(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...
Los exponentes que aparecen al final son 1, 2, 5, 7, 12... ycorresponden a los numeros pentagonales.
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Numeros pentagonales
Cada numero pentagonal pn esta definido por la siguienteformula:
pn =n(3n − 1)
2
Los numero pentagonales resultan ser las sumas parciales de laprogresion aritmetica 1, 4, 7, 10, . . . , 3n + 1, . . .
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Numeros pentagonales
Cada numero pentagonal pn esta definido por la siguienteformula:
pn =n(3n − 1)
2
Los numero pentagonales resultan ser las sumas parciales de laprogresion aritmetica 1, 4, 7, 10, . . . , 3n + 1, . . .
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Numeros triangulares
En el Teorema de Jacobi aparecen los numeros triangulares enlugar de los pentagonales.
Cada numero triangular tn esta definido por la formula :
tn =n(n + 1)
2
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Prueba porcombinatoria
Relacion entre los pentagonales y triangulares
Cualquier numero pentagonal se puede expresar en funcion delos numeros triangulares:
pn =n(3n − 1)
2=
n(n + 1)
2+ n(n − 1) = tn + 2tn−1
Por ejemplo:
p3 = 12 = t3 + 2 ∗ t2 = 6 + 2 ∗ 3
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Relacion entre los pentagonales y triangulares
Cualquier numero pentagonal se puede expresar en funcion delos numeros triangulares:
pn =n(3n − 1)
2=
n(n + 1)
2+ n(n − 1) = tn + 2tn−1
Por ejemplo:
p3 = 12 = t3 + 2 ∗ t2 = 6 + 2 ∗ 3
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Prueba porcombinatoria
Relacion entre los pentagonales y triangulares
Cualquier numero pentagonal se puede expresar en funcion delos numeros triangulares:
pn =n(3n − 1)
2=
n(n + 1)
2+ n(n − 1) = tn + 2tn−1
Por ejemplo:
p3 = 12 = t3 + 2 ∗ t2 = 6 + 2 ∗ 3
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Numeros poligonales
Un numero poligonal es aquel que puede ser representado comopuntos dispuestos en forma de polıgono regular, empezandopor el 1.
En general, si l es el numero de lados de un polıgono, laformula para el n-esimo numero poligonal de l lados es
an =n((l − 2)n − (l − 4))
2
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Numeros poligonales
Un numero poligonal es aquel que puede ser representado comopuntos dispuestos en forma de polıgono regular, empezandopor el 1.
En general, si l es el numero de lados de un polıgono, laformula para el n-esimo numero poligonal de l lados es
an =n((l − 2)n − (l − 4))
2
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Numeros poligonales
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Prueba por combinatoria
Teorema∞∏k=1
(1− xk) =∞∑
n=−∞(−1)nxn(3n−1)/2
El teorema puede ser demostrado dando una interpretacioncombinatorial en terminos de particiones.
(1− x)(1− x2)(1− x3)... = |Pn| − |In|
dondePn = particiones distintas de n con un numero par de sumandos
In = particiones distintas de n con un numero impar desumandos
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Teorema∞∏k=1
(1− xk) =∞∑
n=−∞(−1)nxn(3n−1)/2
El teorema puede ser demostrado dando una interpretacioncombinatorial en terminos de particiones.
(1− x)(1− x2)(1− x3)... = |Pn| − |In|
dondePn = particiones distintas de n con un numero par de sumandos
In = particiones distintas de n con un numero impar desumandos
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Ejemplo para n = 5
(1− x)(1− x2)(1− x3)... = 1− x − x2 + x5 + x7 − x12...
El coeficiente de x5 es 1 porque:
5 = 4 + 1
5 = 3 + 2
5 = 5
|P5| − |I5| = 1
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Prueba porcombinatoria
Prueba por combinatoria
Analizamos el problema graficamente utilizando el Diagramade Ferrers:
Para n = 20, consideramos la particion
20 = 7 + 6 + 4 + 3
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Analizamos el problema graficamente utilizando el Diagramade Ferrers:
Para n = 20, consideramos la particion
20 = 7 + 6 + 4 + 3
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Prueba porcombinatoria
n=20
Sean k = numero de elementos de la menor fila,s = numero de elementos situados mas a la derecha queforman diagonal
⇒ k = 3, s = 2
Si k > s nosotros podemos tomar los elementos en diagonalmas a la derecha y ubicarnos como una nueva fila.
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Prueba porcombinatoria
n=20
Sean k = numero de elementos de la menor fila,s = numero de elementos situados mas a la derecha queforman diagonal
⇒ k = 3, s = 2
Si k > s nosotros podemos tomar los elementos en diagonalmas a la derecha y ubicarnos como una nueva fila.
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Prueba porcombinatoria
n=20
Sean k = numero de elementos de la menor fila,s = numero de elementos situados mas a la derecha queforman diagonal
⇒ k = 3, s = 2
Si k > s nosotros podemos tomar los elementos en diagonalmas a la derecha y ubicarnos como una nueva fila.
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Nosotros podemos revertir el proceso y en nuestro caso, estaaccion nos devolvera al primer grafico.
=⇒
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Ejemplo
Particiones de n = 10 con terminos distintos.
Numero impar de terminos Numero par de terminos
Normalmente se puede trasformar una particion de Pn en otrade In y viceversa. Pero hay veces que no.
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Ejemplo
Particiones de n = 10 con terminos distintos.
Numero impar de terminos Numero par de terminos
Normalmente se puede trasformar una particion de Pn en otrade In y viceversa. Pero hay veces que no.
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Prueba porcombinatoria
Primer caso
k = s
La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran
Al realizar la operacion, el resultado serıa
el cual falla al cambiar la paridad del numero de filas, y no esreversible.
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Primer caso
k = s
La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran
Al realizar la operacion, el resultado serıa
el cual falla al cambiar la paridad del numero de filas, y no esreversible.
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Primer caso
k = s
La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran
Al realizar la operacion, el resultado serıa
el cual falla al cambiar la paridad del numero de filas, y no esreversible.
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Primer caso
Entonces:
n = k + (k + 1) + (k + 2) + ...+ (2k − 1) =k(3k − 1)
2
donde k = elementos en la ultima fila del grafico original
⇒ n =k(3k − 1)
2
es un numero pentagonal.
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Primer caso
Entonces:
n = k + (k + 1) + (k + 2) + ...+ (2k − 1) =k(3k − 1)
2
donde k = elementos en la ultima fila del grafico original
⇒ n =k(3k − 1)
2
es un numero pentagonal.
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Segundo caso
k = s + 1
La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran
No podemos mover la diagonal mas a la derecha a la fila deabajo, porque tendrıamos 2 filas de 3 elementos.
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Segundo caso
k = s + 1
La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran
No podemos mover la diagonal mas a la derecha a la fila deabajo, porque tendrıamos 2 filas de 3 elementos.
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Segundo caso
Entonces, en este caso:
n = k+(k+1)+...+(2k−2) =(k − 1)(3k − 2)
2=
m(3m − 1)
2
donde m = 1− k
⇒ n =m(3m − 1)
2
es un numero pentagonal.
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Segundo caso
Entonces, en este caso:
n = k+(k+1)+...+(2k−2) =(k − 1)(3k − 2)
2=
m(3m − 1)
2
donde m = 1− k
⇒ n =m(3m − 1)
2
es un numero pentagonal.
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Numerospoligonales
Prueba porcombinatoria
Segundo caso
Entonces, en este caso:
n = k+(k+1)+...+(2k−2) =(k − 1)(3k − 2)
2=
m(3m − 1)
2
donde m = 1− k
⇒ n =m(3m − 1)
2
es un numero pentagonal.
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Ejemplo
Particiones de n = 12 con terminos distintos.
Numero impar de terminos Numero par de terminos
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Resumiendo
Se ha mostrado que las particiones de un numero par endistintas partes y de un numero impar en distintas partes secancelan mutuamente, excepto para los numeros pentagonales.
Por lo tanto, desarrollando el producto y aplicando los metodosexpuestos a cada xn se obtiene
(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...
donde los unicos coeficientes que aparecen son los numerospentagonales.
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Resumiendo
Se ha mostrado que las particiones de un numero par endistintas partes y de un numero impar en distintas partes secancelan mutuamente, excepto para los numeros pentagonales.
Por lo tanto, desarrollando el producto y aplicando los metodosexpuestos a cada xn se obtiene
(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...
donde los unicos coeficientes que aparecen son los numerospentagonales.