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TEORA DE CONTROL Teorema del valor inicial Teorema del valor fina

Cuando se desea conocer el valor de una funcin en el dominio temporal en los instantes 0 , se puede calcular a partir de la funcin en el dominio de La place, sin necesidad de hacer la transformada inversa|TEOREMA DEL VALOR FINAL:Este teorema es muy til en el anlisis y diseo de sistemas de control ya que proporciona el valor final de estado estacionario de esa funcin mediante el conocimiento del comportamiento de su transformada de la place.

TEOREMA DEL VALOR FINAL:Si se conoce la transformada de La place de una funcinf(t), el valor final de dicha funcin puede obtenerse multiplicandoF(s)porsy hacer que:

TEOREMA DEL VALOR INICIAL:si se conoce la transformada de La place de una funcin f(t),el valor inicial de dicha funcin puede obtenerse multiplicandoF(s)porsy hacer que:

TEOREMA DEL VALOR FINAL:El teorema del valor final relaciona el comportamiento en estado estable de f(t) con el comportamiento de sF(s) en la vecindad de s = 0.

Si y slo si existe

Si F(s) tiene polos en el semiplano derecho, f(t) tendr exponenciales crecientes.Si F(s) tiene polos en el eje imaginario, f(t) tendr senos o cosenos.Sif(t) y df(t)/dt se pueden transformar por el mtodo de Laplace, si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), y si existe el limite, entonces

El teorema de valor final plantea que el comportamiento en estado estable de f(t) es igual que el comportamiento de S(s) alrededor de s = 0. Por tanto, es posible obtener f(t) en t = directamente de F(s).

6Aplicacin El teorema del valor final proporciona una herramienta til para determinar la ganancia en estado estacionario (GEE) y los errores en estado estacionario. En sistemas de control con retro alimentacin. LA (GEE) de un sistema estable es la respuesta cuando t> a una entrada de escaln unitario

Ejemplo Determine la ganancia en estado estacionario de un sistema que tiene la siguiente funcin de transferencia.

Por el teorema del valor final la GEE esta dado por:

Para una entrada de escaln de magnitud K, esto es U(t) KH(t) la respuesta del estado estacionario ser

EEEUn sistema de control con retroalimentacin unitaria que tiene una funcin de transferencia con trayectoria hacia adelante G(s) entrada de referencia o salida deseada r(t) y una salida real x(t)

Asi por el teorema del valor final el EEE

Ejemplo Determine el EEE del sistema del diagrama de bloques anterior cuando G(s) es igual a Y r(t) es un escalon de magnitud K

Como r(t) = kH(t), tenemos R(s) = K/s , segn el teorema tenemos .

Donde GEE = 2 , tenemos EEE = k/3