Istituto De Nobili Santi Caltabiano

Teorema delle radici razionali di un polinomio a coefficienti (interi) Sia dato un polinomio a coefficienti interi (equivalentemente a coefficienti razionali):

���� + �������� + ⋯ + ��� + �� = 0 � � �� ∈ � ∀� = 1, … , �

Ovviamente con il coefficiente direttivo �� ≠ 0.

Il teorema delle radici razionali ci dice che per ogni radice razionale non nulla del polinomio, si può

esprimere come rapporto di due numeri interi �/� con � che divide il termine noto �� e con � che

divide il coefficiente direttivo ��, cioè detto �(�) il suddetto polinomio allora:

∀�̅ ∈ �\{0} #. �. �(�̅) = 0 ∃�, � ∈ �\{0} � � �|�� ' �|�� #. �. � = ��

Questo ovviamente è condizione necessaria ma non sufficiente affinché un numero razionale sia

radice, ma non è sufficiente. Consideriamo ad esempio il polinomio:

2�) + 6 = 0

Ovviamente 3 è un divisore del 6 (temine noto) e 2 è un divisore di 2 (coefficiente direttivo), ma

3/2 non è una radice (poiché il polinomio non ammette radici reali).

Tuttavia tale condizione (necessaria) può essere sfruttata per ricercare eventuali radici razionali:

1) Si trovano tutti i possibili divisori positivi del termine noto;

2) Si trovano tutti i possibili divisori positivi del coefficiente direttivo;

3) Si provano le soluzioni date da tutti i possibili rapporti tra gli interi del punto 1) e del punto

2) una volta con segno positivo e poi con segno negativo.

Ci proponiamo adesso di dimostrare il teorema delle radici razionali. Supponiamo che �̅ sia una

soluzione razionale non nulla del polinomio P(x). Essendo un numero razionale:

∃�, � ∈ �\{0} #. �. � = ��

Dobbiamo dimostrare che p divide �� e q divide ��. Non è restrittivo supporre che il rapporto p/q

sia ridotto ai minimi termini (cioè non sia ulteriormente semplificabile, in caso contrario è

sufficiente dividere numeratore e denominatore per MCD(p,q) ). Essendo p/q soluzione:

�� +��,

�+ ���� +�

�,���

+ ⋯ + �� +��, + �� = 0

Moltiplichiamo ambo i membri per ��:

���� + ��������� + ⋯ + ������� + ���� = 0

Portiamo il termine noto a destra:

���� + ��������� + ⋯ + ������� = −����

Adesso osserviamo che il polinomio a sinistra dell’uguaglianza è divisibile per p (poiché lo sono

tutti i suoi termini). Quindi, per l’uguaglianza, deve essere divisibile per p anche il termine a destra

−����. Ma per l’ipotesi fatta �� non è divisibile per p (poiché non lo è q) e quindi

necessariamente �� deve essere divisibile per p.

Analogamente se portiamo a destra il termine con il coefficiente direttivo:

��������� + ⋯ + ������� + ���� = −����

con considerazioni analoghe si conclude che �� è divisibile per q.

Riferimenti

• https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_radici_razionali

• http://www.matematicamente.it/forum/teorema-degli-zeri-razionali-di-un-polinomio-t27383.html