teorema di bayes e decisioni mediche di marco besozzi
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Errori cognitivi,probabilità e
decisioni medichenella diagnosticadi laboratorio
M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano
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Errori cognitivi
Il problema gnoseologico
Dati, informazione e conoscenza
Complessità, probabilità e teorema di Bayes
Teorema di Bayes e informazione diagnostica
Teorema di Bayes e strategie diagnostiche
Teorema di Bayes e decisioni mediche
L’argomento...
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“Ci sono tre tipi di menzogne:
le bugie, le bugie fottute e le statistiche.
(Mark Twain)
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Abbiamo un’urna contenente 500 palline
di colore bianco e 500 palline di colore rosso.Cosa ci possiamo attendere
dall’estrazione di una pallina?
Si sa tutto sull’urna, ovvero si conosce “l’universo”,ovvero si conosce la causa.
Si applica un ragionamento deduttivo.
Il risultato (l’effetto, l’estrazione di una pallina)può essere calcolato.
Probabilità: il problema classico
(l’aspetto induttivo e l’aspetto deduttivo compaiono nella probabilità)
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Da un’urna contenente s palline estraiamo n pallinedi cui k sono di colore rosso.
Cosa possiamo concludere circail contenuto dell’urna?
Si è fatto un esperimento, si conosce l’effetto.Il problema che Bayes si pone è: esiste un qualche
ragionamento induttivo che ci consenta di “calcolare”la causa (lo specifico contenuto dell’urna)?
Probabilità: il problema inverso
(per questo il teorema di Bayes è noto anche come il teorema dellaprobabilità delle cause)
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Induzione
Deduzione
(l’importanza della relazione di verosimiglianza)
C1
C2
... Cn
E3E2
E1
La probabilità delle cause
verosimiglianza
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La conoscenza scientifica non può essere di tipoesclusivamente deduttivo.Ma, seguendo le critiche all’induzione di Hume
e Popper, non può nemmeno essere di tipoinduttivo.
Questi due fondamentali concetti possonoessere riassunti seguendo l’impostazione data
da Peirce.
Conoscenza
(Charles Sanders Peirce, 1839-1914)
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REGOLA: tutti i fagioli in questo sacco sono bianchiCASO: questi fagioli provengono da questo saccoRISULTATO: questi fagioli sono bianchi (sicuramente)
La deduzione non comporta alcun accrescimentodel sapere.
Deduzione
(ragionamento deduttivo)
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CASO: questi fagioli provengono da questo sacco
RISULTATO: questi fagioli sono bianchiREGOLA: tutti i fagioli di questo sacco sono bianchi(forse/probabilmente)
La induzione ci consente di allargareorizzontalmente la nostra conoscenza del mondo,
la sua essenza è la generalizzazione (semprepassibile di errore).
Induzione
(ragionamento induttivo)
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RISULTATO: questi fagioli sono bianchiREGOLA: tutti i fagioli di questo sacco sono bianchiCASO: questi fagioli provengono da questo sacco
(forse/probabilmente)
Prima sapevamo solo che erano bianchi, ora
abbiamo formulato l’ipotesi che provengano daquesto sacco.
Abduzione
(ragionamento scientifico!)
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Approccio scientifico ai problemi
(dall’abduzione di Peirce al falsificazionismo di Karl Popper)
RACCOLTADEI DATI
ANALISIDEI DATI
CONCLUSIONI
DISEGNO SPERIMENTALE VERIFICA
TEORIACONFUTAZIONE
ESPERIMENTO
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Informazione“a posteriori”[conclusioni]
Conoscenza
Motore
inferenziale
bayesiano[regole]
Informazione“a priori”
[pre-giudizio]
Informazione fornita dall’esperienza[indizi]
(aggiungono al falsificazionismo di Popper la misura del contributodell’esperimento in termini di aumento della verosimiglianza)
4. Dati, informazione, conoscenza
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P(A ∩
B)
E’ la probabilità di due eventi congiunti, descrivela situazione in cui si verificano sia A sia B,si legge “la probabilità congiunta di A e B”ovvero “la probabilità di A e B”
La probabilità congiunta
P(A)P(B)P( A ∩
B)
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Le relazione fra probabilità condizionata eprobabilità congiunta è la seguente:
P(A ∩
B) = P(A|B) ⋅
P(B) = P(B|A) ⋅
P(A)
Da cui si ricava il teorema di Bayes:
P(B|A) ⋅
P(A)
P(A|B) =P(B)
Probabilità composte (teorema)
(il teorema prende il nome dal reverendo inglese che lo ha scopertonel 1700 studiando il problema inverso...)
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P(B|A) ⋅
P(A)
P(A|B) =P(B)
Chiavi di lettura
(sostituendo A con M+ e B con T+ si ottiene la visione diagnostica)
probabilità a posteriori
probabilità a priori
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P(B|A) ⋅
P(A)
P(A|B) =P(B)
Chiavi di lettura
(sostituendo A con M+ e B con T+ si ottiene la visione diagnostica)
(la causa | dato l’effetto) (l’effetto | data la causa)
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P(B|A) ⋅
P(A)
P(A|B) =P(B)
Chiavi di lettura
(sostituendo A con M+ e B con T+ si ottiene la visione diagnostica)
probabilità a posteriori
probabilità a priori
(la causa | dato l’effetto) (l’effetto | data la causa)
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P(B|A) ⋅
P(A)
P(A|B) =P(B)
Chiavi di lettura
(il fattore di Bayes è la misura della verosimiglianza [likelihood] checollega la probabilità a priori alla probabilità a posteriori)
probabilità a posteriori
probabilità a priori
verosimiglianza standardizzata o fattore di Bayes
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Essendo:
odds = P / (1 - P) e inversamente:probabilità = odds / (1 + odds)
Esempioprobabilità 80% cioè P = 0,8odds = 0,8 / (1 – 0,8) = 0,8 / (0,2) = 4 cioè 4:1
odds 4:1probabilità = 4 / (1 + 4) = 0,8
Reinterpretazione con gli odds
(gli odds sono la probabilità espressa dal bookmaker come rapportotra la vincita e la posta giocata)
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Essendo:
LR = rapporto di verosimiglianza = likehood ratio
LR+ (LR per un test positivo) è uguale al rapporto
tra il risultato del test nei malati e nei sani:P(T+|M+) / P(T+|M-) ovverosensibilità / (1 – specificità)
LR- (LR per un test positivo) è uguale al rapportotra il risultato del test nei malati e nei sani:P(T-|M+) / P(T-|M-) ovvero(1 – sensibilità) / specificità
Reinterpretazione con gli odds
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Test
Malattia
+
-
+ -
P(T+|M+)
P(T+|M-)
P(T-|M+)
P(T-|M-)
Tutte le probabilità in gioco
P(M+) = prevalenza della malattiaP(M-) = 1 - prevalenza
sensibilità
specificità
1 - sensibilità
1 - specificità
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Ricavando in base alla definizione di odds che:
P(A)O(A) =
P(non A)
e che
P(A|B)O(A|B) =
P(non A|B)
Reinterpretazione con gli odds
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Essendo in base alla definizione di odds
P(B|A)Λ(A|B) = = LR+
P(B|non A)
P(non B|A)Λ
(A|B) = = LR-P(non B|non A)
Reinterpretazione con gli odds
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O(A|B) = Λ(A|B) ⋅ O(A)
(il rapporto di verosimiglianza è la misura della verosimiglianza che collegala probabilità a priori alla probabilità a posteriori)
odds post-test odds pre-test
rapporto di verosimiglianza o likelihood ratio (LR)
Reinterpretazione con gli odds
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O(A|B) = Λ(A|B) ⋅ O(A)
(al fine di evitare di trasformare la probabilità in odds e successivamente diritrasformare gli odds in probabilità si usa il nomogranna di Fagan)
odds post-test odds pre-test
rapporto di verosimiglianza o likelihood ratio (LR)
Reinterpretazione con gli odds
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Nomogramma di Fagan
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Nomogramma di Fagan
Sangue occulto nelle feciSensibilità = 50% = 0,5
Specificità = 97% = 0,97Prevalenza = 0,3% = 0,003Valore predittivo test + = 0,048
(probabilità di essere ammalato se èrisultato un test positivo)
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Nomogramma di Fagan
Sangue occulto nelle feciSensibilità = 50% = 0,5
Specificità = 97% = 0,97Prevalenza = 0,3% = 0,003Valore predittivo test + = 0,048P
pre-test = 0,003LR+ = 16,67P post-test= 0,048
(probabilità di essere ammalato se èrisultato un test positivo)
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Nomogramma di Fagan
Sangue occulto nelle feciSensibilità = 50% = 0,5
Specificità = 97% = 0,97Prevalenza = 0,3% = 0,003Valore predittivo test - = 0,998
(probabilità di essere sano se èrisultato un test negativo)
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Nomogramma di Fagan
Sangue occulto nelle feciSensibilità = 50% = 0,5
Specificità = 97% = 0,97Prevalenza = 0,3% = 0,003Valore predittivo test - = 0,998
P pre-test = 0,003LR- = 0,515P post-test = 0,002
(probabilità di essere ammalato se èrisultato un test negativo)
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Informazione“a posteriori”[conclusioni]
Conoscenza
Motore
inferenziale
bayesiano[regole]
Informazione“a priori”
[pre-giudizio]
Informazione fornita dall’esperienza
[indizi]
(aggiungono al falsificazionismo di Popper la misura del contributodell’esperimento in termini di aumento della verosimiglianza)
4. Dati, informazione, conoscenza