Erasmo www.matematica.blogscuola.it

Premessa teorica

Il teorema di Lagrange rappresenta uno dei più importanti teoremi del calcolo

differenziale. Il suo enunciato è il seguente:

Se 𝒇 𝒙 è una funzione reale di variabile reale continua nell’intervallo chiuso e limitato 𝒂,𝒃 e derivabile in ciascun punto interno di tale intervallo, esiste almeno un punto 𝒙𝟎, interno all’intervallo 𝒂,𝒃 , tale che:

𝒇′ 𝒙𝟎 =𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂

𝒃 − 𝒂

SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL TEOREMA

L’espressione 𝑓′ 𝑥0 =𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎

𝑏−𝑎 ha un importante significato geometrico. Infatti

𝑓′ 𝑥0 è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto

𝑃 𝑥0; 𝑓 𝑥0 . Invece 𝒇 𝒃 −𝒇 𝒂

𝒃−𝒂 è il coefficiente angolare della retta passante per i punti

𝐴 𝑎; 𝑓 𝑎 e 𝐵 𝑏; 𝑓 𝑏 e quindi il teorema esprime il parallelismo tra la retta AB e la

tangente nel punto 𝑥0.

Erasmo www.matematica.blogscuola.it

Osservazione: Il teorema di Lagrange assicura quindi l’esistenza di almeno un punto 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 tale

che la tangente al grafico della funzione nel punto 𝑃 𝑥0; 𝑓 𝑥0 è parallela alla

congiungente AB i punti 𝐴 𝑎; 𝑓 𝑎 e 𝐵 𝑏; 𝑓 𝑏 .

Esercizio

Utilizzando il software Derive, determinare gli eventuali punti della

funzione 𝒇 𝒙 =𝟐𝒙𝟐+𝟏

𝒙, interni all’intervallo 𝑰 = −𝟐;−𝟏 , che soddisfano il

teorema di Lagrange. Nel caso in cui essi esistano, determinare inoltre

l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tali punti.

Analisi del problema e procedimento operativo

Come primo passo è necessario definire in Derive la funzione 𝑓 𝑥 e successivamente

la seguente una procedura che permetta di risolvere l’equazione:

𝑓′ 𝑥0 =𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎

Tale procedura dovrà tener conto della risoluzione numerica della suddetta equazione

all’interno dell’intervallo di riferimento 𝑎, 𝑏 e quindi sarà necessario sfruttare la

funzione NSOLVE di Derive e la funzione DIF, che serve a calcolare la derivata di

una funzione. La procedura che permette la risoluzione del problema è quindi la

seguente:

𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑎, 𝑏 ≔ 𝑁𝑆𝑂𝐿𝑉𝐸 𝐷𝐼𝐹(𝑓 𝑥 , 𝑥) =𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎, 𝑥,𝑎, 𝑏

In essa vengono presi in ingresso la funzione 𝑓 𝑥 e gli estremi a e b dell’intervallo di

riferimento. I comandi NSOLVE e DIF richiedono rispettivamente:

l’equazione da risolvere, la variabile e l’intervallo di risoluzione;

la funzione e la variabile di derivazione.

Erasmo www.matematica.blogscuola.it

Per determinare l’equazione della retta tangente è possibile utilizzare il comando

TANGENT di Derive. La sintassi di tale comando è la seguente:

𝑇𝐴𝑁𝐺𝐸𝑁𝑇 𝑓 𝑥 ,𝑥, 𝑥0

ovvero sono richieste la funzione, la variabile e il punto in cui calcolare la tangente.

Nel nostro caso tale punto è proprio quello determinato mediante la procedura

𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒.

Per rappresentare la funzione, inseriamo:

il punto 𝐶 𝑥0 ,𝑓 𝑥0 ;

il segmento di estremi 𝐴 𝑎,𝑓 𝑎 e 𝐵 𝑏,𝑓 𝑏 .

Dopo aver selezionato sulla finestra Algebra la funzione, l’equazione della tangente, il

punto C e il vettore che rappresenta gli estremi del segmento AB, basta selezionare

nella finestra grafica il comando Traccia il grafico, per ottenere il seguente:

Erasmo www.matematica.blogscuola.it

Esercizi proposti Verificare se le seguenti funzioni soddisfano nell’intervallo a fianco indicato le ipotesi del teorema di Lagrange; in caso affermativo trovare i punti dell’intervallo che verificano il teorema.

a. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 1 𝐼 = 0; 1

b. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2 + 9 𝐼 = 0; 4