teorema lui menelaus.pdf
TRANSCRIPT
![Page 1: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/1.jpg)
Teorema lui Menelaus
Marian Tache
Liceul Teoretic W. ShakespeareTimisoara
March 30, 2015
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 1 / 9
![Page 2: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/2.jpg)
Teorema lui Menelaus
Theorem
Teorema lui Menelaus:
Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .Atunci are loc relatia:
DA
DB· FBFC· ECEA
= 1.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9
![Page 3: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/3.jpg)
Teorema lui Menelaus
Theorem
Teorema lui Menelaus:
Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .
Atunci are loc relatia:
DA
DB· FBFC· ECEA
= 1.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9
![Page 4: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/4.jpg)
Teorema lui Menelaus
Theorem
Teorema lui Menelaus:
Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .Atunci are loc relatia:
DA
DB· FBFC· ECEA
= 1.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9
![Page 5: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/5.jpg)
Reciproca teoremei lui Menelaus
Theorem
Reciproca teoremei luiMenelaus:
Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA
DB ·FBFC ·
ECEA = 1.
Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9
![Page 6: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/6.jpg)
Reciproca teoremei lui Menelaus
Theorem
Reciproca teoremei luiMenelaus:
Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA
DB ·FBFC ·
ECEA = 1.
Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9
![Page 7: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/7.jpg)
Reciproca teoremei lui Menelaus
Theorem
Reciproca teoremei luiMenelaus:
Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA
DB ·FBFC ·
ECEA = 1.
Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9
![Page 8: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/8.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 9: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/9.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:
Pentru bisectoarea [AD : DBDC = AB
AC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 10: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/10.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD :
DBDC = AB
AC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 11: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/11.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 12: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/12.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE :
EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 13: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/13.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 14: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/14.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF :
FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 15: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/15.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 16: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/16.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 17: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/17.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 18: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/18.jpg)
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
![Page 19: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/19.jpg)
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
![Page 20: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/20.jpg)
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
![Page 21: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/21.jpg)
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC =
9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
![Page 22: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/22.jpg)
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM =
95 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
![Page 23: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/23.jpg)
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF :
DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
![Page 24: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/24.jpg)
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM =
35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
![Page 25: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/25.jpg)
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
![Page 26: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/26.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 27: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/27.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 28: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/28.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA =
1−k1+k . Exprim raportul PA
PE ın functie de k :PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 29: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/29.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k .
Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 30: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/30.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 31: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/31.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE =
1+k1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :
MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 32: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/32.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k .
Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 33: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/33.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :
MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 34: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/34.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1.
Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 35: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/35.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND =
1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 36: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/36.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒
N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 37: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/37.jpg)
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
![Page 38: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/38.jpg)
Dreapta lui Gauss
Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind
laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 7 / 9
![Page 39: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/39.jpg)
Dreapta lui Gauss
Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind
laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 8 / 9
![Page 40: Teorema lui Menelaus.pdf](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012303/587132fc1a28ab636a8bae68/html5/thumbnails/40.jpg)
Dreapta lui Gauss
Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind
laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 9 / 9