Teoremas de CastiglianoLos teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.

Índice  [ocultar] 

1 Primer teorema de Castigliano 2 Segundo teorema de Castigliano 3 Véase también 4 Enlaces externos

Primer teorema de Castigliano[editar]

Sea un cuerpo elástico   sobre el que actúan el conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos   a la energía potencial elástica o potencial interno donde   es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto Ai en la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene dada por:

Segundo teorema de Castigliano[editar]

Sea un cuerpo elástico   sobre el que actúan un conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos   a la energía potencial elástica o potencial interno. Entonces el movimiento- desplazamiento o giro- δi del punto Ai proyectado sobre la dirección de Pi viene dada por:

En el año 1870, el ingeniero ferroviario italiano Alberto Castigliano publicó en dos partes

su trabajo sobre la variación de la energía de deformación de los sistemas elásticos. Las

partes I y II de su trabajo se conocen frecuentemente como primer y segundo teorema de

Castigliano respectivamente.

Primer Teorema de Castigliano:

Enunciado: Si se aplica un conjunto de cargas sobre una estructura linealmente elástica y

la energía de deformación U se expresa como una función de los desplazamientos en los

puntos de aplicación de las cargas y actúa en sus direcciones, la derivada parcial de U

con respecto a uno de estos desplazamientos δi es igual a la carga (esfuerzo)

correspondiente P .

∂U / ∂δi = Pi    (2.7-1)

La ecuación (2.7-1) se conoce como el primer Teorema de Castigliano cuando sevaplica a

fuerzas concentradas y desplazamientos lineales.

Segundo Teorema de Castigliano

Enunciado: La derivada parcial de la energía de deformación con respecto a unavfuerza

que actúa en un cuerpo es igual al desplazamiento del punto de aplicación de lavfuerza

en la dirección de dicha fuerza.

Considérese un cuerpo elástico sujeto a la acción de un sistema de fuerzas, comovse

muestra en la figura 1. El trabajo o energía de deformación esta en función de la fuerzas

es decir,

W =U =U (Pi) (2.7-2)

Si esta función se supone diferenciable

ΔU=∂U/∂Pi ΔPi + α ΔPi (2.7-3)

donde α tiende a cero cuando ΔPi tiende a cero y recíprocamente.

Supóngase que se aplica primero el sistema ΔPi, y después el sistema Pi, obteniéndose:

Dividiendo ambos miembros entre ΔPi y tomando límites cuando ΔPi tiende a cero, se

obtiene finalmente que

∂U / ∂Pi =δi (2.7-8)

Similarmente la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a un

momento que actúa en un cuerpo es igual a la rotación del punto de aplicación del

momento en la dirección de dicho momento lo que se expresa con:

∂U / ∂Mi =θ (2.7-9)

Las ecuaciones (2.7-8) y (2.7-9) corresponden al caso particular representado por

el diagrama de la energía de deformación caso lineal figura 2.1-4, es decir, cuando la

energía de deformación es una expresión cuadrática en los desplazamientos como se

presentan en la ecuación (2.1-4). Si la ecuación (2.1-5) se expresa solo en función de P,

sustituyendo en ella la ecuación (2.1-1), y sederiva con respecto a P se obtiene la

ecuación (2.7-8).

El Teorema de Castigliano generalizado se refiere a la energía complementaria de

deformación y se deriva con respecto a P en la ecuación (2.2-1), obteniendo la ecuación *

∂C / ∂Pi =δ (2.7-10)

La ecuación (2.7-10) se conoce también como el verdadero teorema de Castigliano. La

derivación presentada de los Teoremas de Castigliano se ha efectuado entonces para el

caso particular en que la energía de deformación complementaria es igual a la energía de

deformación C = U, debido a que se trata estructuras linealmente elásticas, que es la

hipótesis usual en la mayoría de los casos. Para condiciones distintas se deberá hacer

uso de la ecuación (2.7-10).

* La derivación de la integral (2.2-1) se efectúa aplicando el Teorema Fundamental del

CálculoDiferencial e Integral, que establece que la derivada de una integral con respecto a

la variable de integración es igual al integrando, para funciones continuas (consúltese

cualquier libro sobre Cálculo Diferencial e Integral).TEOREMA DE CASTIGLIANO

El teorema de Catigliano, establece que cuando actúan fuerzas sobre sistemas elásticos, el desplazamiento correspondiente a cualquier fuerza, puede encontrarse obteniendo la derivada parcial de la energía de deformación respecto a esta fuerza. Los términos “Fuerza” y “Desplazamiento” han de interpretarse con amplitud, ya que se aplican igualmente a momentos y a los desplazamientos angulares.El teorema de Castigliano es una herramienta grandiosa para la determinación de deformaciones de estructuras complejas.

Se ha visto que la energía de deformación es

Si sustituimos en esta ecuación la ecuación resulta

(Ec. 2.21)

Derivando esta expresión respecto a F

Como se puede ver esta derivada es idéntica a la deformación.

También se sabe que la energía de deformación de la torsión es:

(Ec. 2.22) La derivada de esta ecuación respecto a T es:

Que es la ecuación del desplazamiento angular bajo una carga de torsión

La energía de formación para una viga en voladizo con una carga concentrada en su extremo, es

(Ec. 2.23)

Y la derivada respecto a F es que es la deformación de la viga.

El teorema de Castigliano puede establecerse matemáticamente , δn = desplazamiento del punto de aplicación de Fn en la dirección Fn.Puede aplicarse una fuerza imaginaria Q, si no existe realmente ninguna fuerza en este punto. Después que se haya obtenido la expresión de δn, la fuerza Q se hace igual a cero; la expresión resultante es el desplazamiento en el punto de aplicación de la fuerza imaginaria Q y en la dirección en la que se imaginó que actuaba Q.

EjemploN°2.8: Calcular la máxima deformación de una viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida

Se ha colocado una carga imaginaria Q en el centro de la viga, que es el punto de máxima deformación. Considerando sólo la parte izquierda, el momento es:

Ec. 2.24

La energía de deformación para la viga entera es el doble de la correspondiente a la mitad de la

viga.

La deformación en el centro es

Ec. 2.25

Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.

EjemploN°2.9: En la figura se muestra un pórtico y tiene una articulación en el punto A y puede moverse horizontalmente en el punto B. Encontrar la deformación horizontal del punto B originada por las cargas que se indican.

Se sitúa una fuerza imaginable Q en el punto B. Esta fuerza debe ser horizontal, debido a que se ha de encontrar la deformación en la dirección horizontal. Tomemos el punto A como sistema de coordenadas. En cualquier punto de las patas el momento es M=Q.y

Para el travesaño el momento en un punto cualquiera de la izquierda

(Ec. 2.26) La energía de deformación es la suma de las correspondientes a cada elemento.

La deformación en el punto B es igual a la derivada parcial de esta energía respecto a la fuerza imaginaria Q.

Ahora se iguala a cero la fuerza Q y se tiene:

James Clerk Maxwell (Edimburgo, Reino Unido; 13 de junio de 1831-Cambridge, Inglaterra; 5 de noviembre de 1879) fue un físico británico conocido principalmente por haber desarrollado la teoría electromagnética clásica, sintetizando todas las anteriores observaciones, experimentos y leyes sobre electricidad, magnetismo y aun sobre óptica, en unateoría consistente.1 Las ecuaciones de Maxwell demostraron que la electricidad, el magnetismo y hasta la luz, son manifestaciones del mismo fenómeno: el campo electromagnético. Desde ese momento, todas las otras leyes y ecuaciones clásicas de estas disciplinas se convirtieron en casos simplificados de las ecuaciones de Maxwell. Su trabajo sobre electromagnetismo ha sido llamado la «segunda gran unificación en física»,2 después de la primera llevada a cabo por Isaac Newton. Además se le conoce por laestadística de Maxwell-Boltzmann en la teoría cinética de gases.

Maxwell fue una de las mentes matemáticas más preclaras de su tiempo, y muchos físicos lo consideran el científico del siglo XIX que más influencia tuvo sobre la física del siglo XX habiendo hecho contribuciones fundamentales en la comprensión de la naturaleza. Muchos consideran que sus contribuciones a la ciencia son de la misma magnitud que las de Isaac Newton y Albert Einstein.3 En 1931, con motivo de la conmemoración del centenario de su nacimiento, Albert Einstein describió el trabajo de Maxwell como «el más profundo y provechoso que la física ha experimentado desde los tiempos de Newton».

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1 Breve biografía científica 2 Obra científica 3 Ecuaciones de Maxwell 4 Publicaciones 5 Véase también 6 Referencias 7 Enlaces externos

Breve biografía científica[editar]

Además de su actividad profesional, Maxwell se dedicó a la realización de estudios de carácter privado en sus posesiones de Escocia. Es el creador de la electrodinámicamoderna y el fundador de la teoría cinética de los gases. Formuló las ecuaciones llamadas "ecuaciones de Maxwell", y que se definen como las relaciones fundamentales entre las perturbaciones eléctricas y magnéticas, que simultáneamente permiten describir la propagación de las ondas

electromagnéticas que, de acuerdo con su teoría, tienen el mismo carácter que las ondas luminosas. Más tarde Heinrich Hertz lograría demostrar experimentalmente la veracidad de las tesis expuestas por Maxwell. Sus teorías constituyeron el primer intento de unificar dos campos de la física que, antes de sus trabajos, se consideraban completamente independientes: la electricidad y el magnetismo (conocidos como electromagnetismo). En el año 1859 Maxwell formuló la expresión termodinámica que establece la relación entre la temperatura de un gas y la energía cinéticade sus moléculas.

Obra científica[editar]

Entre sus primeros trabajos científicos Maxwell se empeñó en el desarrollo de una teoría del color y de la visión y estudió la naturaleza de los anillos de Saturno demostrando que éstos no podían estar formados por un único cuerpo sino que debían estar formados por una miríada de cuerpos mucho más pequeños. También fue capaz de probar que lateoría nebular de la formación del Sistema Solar vigente en su época era errónea ganando por estos trabajos el Premio Adams de Cambridge en 1859. En 1861, Maxwell demostró que era posible realizar fotografías en color utilizando una combinación de filtros rojo, verde y azul obteniendo por este descubrimiento la Medalla Rumford ese mismo año.

Considerada la primera fotografía en color permanente, fue realizada con tres negativos obtenidos con

filtros de color azul, rojo y verde.

En su experimento mental, basado en el método que había propuesto en 1855, Maxwell encargó al fotógrafo Thomas Sutton fotografiar una cinta colorida tres veces, cada vez con un filtro de color distinto (rojo, verde y azul-violeta). Tras revelar las tres fotografías, las imágenes fueron trasladadas a cristales y proyectadas en una pantalla con tres proyectores, cada uno equipado con el mismo filtro de color original. Al ser superimpuesto en la pantalla, las tres imágenes formaban una imagen en color.

Ecuaciones de Maxwell[editar]

Artículo principal: Ecuaciones de Maxwell

James C. Maxwell a los 23 años.

Maxwell no escribió sus fórmulas en notación vectorial, sino que planteó todo en un sistema de ecuaciones en cuaterniones. Su planteamiento fue esencialmente algebraico, como fue el caso deRuđer Bošković con su teoría de los "puncta". Originalmente fueron veinte ecuaciones, que el mismo Maxwell redujo a trece. Luego Heaviside, en colaboración con Gibbs y Hertz, independientemente, produjeron las fórmulas que actualmente maneja la ciencia.