Ann. Univ. Ferrara - Sez. VII - Se. ~ a t . u X X V I I I , 105-113 (1982)

Teoremi di unieit~t per le equazioni di Maxwell con condizioni al contorno dissipative (*).

A N T O N I O S C A L I A (**)

l . - I n t r o d u z i o n e .

Alcmae reeen t i r icerche [1], [2], [3] sono s ta te dedica te allo s tudio delle equaz ion i di Maxwel l (anche non l ineari) a l l o rquando v e n g a scel ta una con-

dizione sul c o n t o r n o ~Q del domin io cons ide ra to del t i p o :

(I) E ~ = 2 H t >< n su ~ D ,

d o v e n ~ la no rma le es te rna a ~2. La (I) eonsente di descrivere pa r e t i cos t i tu i te da e o n d u t t o r i non neees-

s :u ' iamente per fe t t i , sos t i tuendo cosi la usuale cond iz ione :

, ( l I ) E ) < n = O s u ~ . (2 ,

va l ida solo nel caso di eondu t to r i per fe t t i .

]~ s t a to osse rva to (vedi anche [4], pag. 325) c h e l a (l) ha un campo di va l id i t~ l imi ta to , eio6 descrive so l t an to pa re t i cos t i tu i t e da condu t to r i non

pe r i e t t i con raggio di c u r v a t u r a (( suff ic ientemente )~ g r a n d e e in p resenza

di campi e l e t t romagne t i c i per iodic i o quas i periodici . Quind i il e ampo di appl icabi l i t~ dei lavor i sopr s c i t a t i deve in tenders i

scmpre r i fer i to a d u n a ta lc s i tuazione. I n ques to l avoro ho d imos t r a to , per un p r o b l e m a non l ineare ai va lor i

inizia.]i e al con to rno , come si,~ possibi le es tendere un t e o r e m a d 'unic i t~ , p ro-

(*) Lavoro eseguito nell 'ambito del G.N.F.iK. del C.N.R. (**) Isti tuto di Analisi-Geometria e 1Keccanica Razionale della Facolt~ d'Inge-

gneria dell'Universit~ di Catania, Via del Rotolo 46 - 95126 Catania.

1 0 6 ANTONIO 8CALIA

va to in [2] nel caso di una condizione del t ipo (I), al caso di una front iera semplicemente assorbente a t t raverso una condizione al contorno diss ipat iva in cui si chiede che su ~ Q : E x H . n > O ed in definitiv% senza supporre neces- sa r iamente il campo quasi periodico.

Infine ho d imos t ra to l 'unici t~ nel caso periodico per un p rob lema lineare in pifl dimensioni con una condizione del t ipo (I).

2. - Notaz ion i e f o r m u l a z i o n e var iaz iona le del problema.

Sia f2 il dominio dello spazio euclideo R 3, occupato da un corpo :B, ia cui f ront iera ~Q rappresen ta una va r ie t s a due dimensioni differenziabile con continuit~ e poniamo Q = ~Q• (0, T), essendo (0, T) l ' in terval lo dells var iabi le temporale .

Denota t i E, H, D, B, J r i spe t t iwmlen te i campi vet tor ia l i definiti su Q: campo elettrico, campo magnetico, spostamento elettrico, induzione magnetica, corrente elettrica, le equazioni di Maxwe]] sono:

~D V • (1) ~-7 =

(2) ~ B - - - - V • ~t

Corn'6 nolo un processo e le t t romagnet ico 5 r appresen ta to dMl' insieme di funzioni (E, H, D, B, J ) compatibi l i con le (1), (2) e con le re lat ive equ.~- zioni cost i tut ive, le quali per i materiMi da noi t r a t t a t i si possono scrivere:

(3) D = D(x, t, E, H) , B = B(x, t; E, H) , J = ](x , t; E, H) ;

queste funzioni sono suppos te l inlitate ill (2 e cont inue in E, H insieme con le der ivate parzial i pr ime.

Ino l t re le (3) sulla base delle l imitazioni de r ivan t i dM ]1 Pr incipio della Te rmodinamiea [5], soddisfano le seguenti eondizioni:

(4) ~ E j = ~E~ ; ~Hj -- ~E~ ; ~H~-- OH~

Inf ine viene suppos ta una condizione di convessi th per l 'entalpi,~ [6] per cui

T E O R E M I D I U N I C I T A P E R L E E Q U A Z I O N I D I M A X W E L L ECC. 107

deve esisterc 7 e R + tale che, se ( x , t ) eQ:

~(a~-~b ~)

per ogni a : (a~, a.,, aa), b = (b~, b~, ba). Introduciamo adesso alcuni spazi funzionali:

L~(tg; R a) = {e:t9 ~->R ~ misurabili; ~lel~dx<

B(~9; R ~) ---- { e : e e L~(Y2; Ra), V • e e Z ~ ( ~ ; Ra)}.

Corn'5 noto questi spazi sono di Hilbert, cssendo il prodotto scalare definito r ispet t ivamente:

( e , ~ e~) = ~e~ " e~ d x Y2

(e~, e2)z = (ex, e~) -{- (VXe~, VXe~) .

Infine se ~ ~ uno sp~zio di Hilbert, l~ cui normu s~r~ indic~tu ]1" ]I~, consi- deriumo l~insieme di funzioni:

t

Z'(0, T; JE) : {E:(0, T)--> JE misur~bili; fI[E, nzcdt< c~}; 0

H~(O, T, ~ ) = {l~:I~,, (d/dt)i~/eZ~(O, T; N)} ;

P eL (O, T; nW(0, T;

DEFINIZ~O:NE 1. Una condizione al contorno ~ detta dissipativa [7] quando i campi (E~ H) chela veri]icano appartcngono ad un sottospazio lineare chiuso F di D d--~B(Q, R3)XB(Q, R 3) e inoltre per ogni E eL~(~2; R ~) esiste ~n H e eZ~(~f2; R 3) per cui:

(6) f E • n d ~ > 0 . ~D

DEFINIZlO~E 2. Una condizione al contorno ~ detta localmente dissipa- tiva [7] se i campi (E~ H) ~ F sono tall che (~E~ ~2H) ~ F per ogni ~ re2 e e C~(R~).

DEFINIZI0~E 3. Per ogni J e L~(Q) i campi E, H e P rappresentano ~tna soluzione del sistema (1), (2) con eondizione al contorno localmente dissipa- tiva F e condizioni iniziali Eo~ Ho~ tall che Do = ~(x, 0; Eo~ Ho); Bo =

1 0 8 ANTONIO SCALIA

= ~ ( x , O; Eo, Ho) appartengano a Z~(=(2; R3), se veri]icano l'equazione:

(7) f (D . ~e ~h J.e)dxdt+ ) ~ - - B . - ~ + H . V • + E . V • Q

+f(Do "e -- Bo" D

per ogni

h)t=odx : O'

e, h ~ S d~ {e, h : e, h ~ P ; e(x, T) = h(x, T) =- 0 ;

f(hxE.n+eXH.n)~z=O per ogni re(0, T) e VE, H e / ~ } .

Poich~ nella Definizione 3 E, H e P, allora essa ~ equivalente alla deft- nizione di soluzione da ta mediante il s istema (1); (2). In fa t t i b possibile passare da (7) a (1), (2) mediante alcune integrazioni per par t i e utilizzando il teorema della divergenza.

Yerifichiamo ora che se e, h e S allor.% soddisfano la Definizione 2 di condizione al contorno localmente dissipativa; infatti , poich~ 5 possibile scegliere E = e in base alla Definizione 1, si ha:

f( h • e . n + E • d(l = O ,

da cui utilizzando la (6) si ricava feXh.n da>0, e quindi che e, h e l l .

Inol tre dal fat to che E, H e /~ discende immediatamente che anche e, h e 1~.

3 . - U n i c i t h .

T:EOR]~A 1. 2~ell'ipotesi di regolaritd dei ]unzionali eostitutivi D, B, $ la soluzione del problema ai limiti enunciato nella Definizione 3 b unica.

DI~0ST~AZI0~E. Se (El, //1), (E~,//2) sono due soluzioni del problema (1), (2), (3), eio~ appartengono a P e verificano la Definizione 3, allora dimo- streremo che:

(8) f{f~. (El -- E~) + E . (H1-- H2)} dxdt = 0 Q

per ogni f , ,~eL2(0, ~; ~2(t2; R3)). Osservi~mo ehe, indicato con A(x, t, E, H) il generieo funzionMe (3),

T=EOR:EMI :DI ~TI~ICIT~k pF, I~ L=E =EQUAZIONI :DI MAXW=ELL :ECC. 109

si ha: 1

(9) A(Z,t;E1, H1)--A(x,t;E'2,H2)=f ~A(Xyt,~EI,+ 0

-~ (1 - - ,~)E2, JlH~ -4- (1 - - ~t)H~) dX =

1

= j ~ , A ( x , t, 2Ex -4- (1 - - ,~) E.~, ,~H~ + (1 - - ~)Hz). (El - - E~)d2 +

0

1

j 'O,A(x, t; .~Ex (1--X)E~, ~IH~ (1- -2)H2) . (111- -H2)d2 § -4- § =

0

= f ~ ( x , t ) . ( E ~ - - E ~ ) + F , ( x , t ) . ( H 1 - - H 2 ) (x, t) z O ,

essendo:

(10)

(10')

1

F (x, t) = fa A(x, t; XE1 + (1 - - ~t)E.,, ~tHx + (1 - - i)H~) di , 0

1

F.(x, t) =f~.A(x, t; ~Ei § (1-- X)E~, ~It, § (1-- .~)~) d.~ , 0

matrici quadrate 3 X3 che, per le condizioni (4), (5) r isultano simmetrichc e definite positive.

Inol tre dalla Definizione 3 di soluzione deriva:

f { D ~e ~h (11) (D~-- 2) ' -~-F (B1--B~.).--~--F

0 "l

+ (//1 - - / /2 ) . V X e - - (E~ - - E . ) . V • - - (J~ --J2)-e} dxd$ = 0 ,

da eui in base a (9), posto:

D~ - - D~ = FoE(x, t)" (El - - E~) ~- Fvz(x, t). (1tl - - H2) ,

(12) B~ - - Bz = F,E(x, t). (El - - E2) + Fnz(x, t). (1-11 - - H2) ,

.11 - - J~ = Fj~(x, t). (El - - E~) -~ Fjz(x , t). (H~ - - 112),

dove FoE, F ~ ; ~BE, F ~ ; FjE, FjH sono definite mediante le matriei (10),

| ].0 ANTONIO SCALIA

(10') quando A coincide r ispett ivamente con D, B e J, si ha da (11), (12):

Fv~. (El - - E~)"N § F ~ , . (//1 - - H~) ~e ~h �9 ~--~ § F ,~ . (E~ - - E , ) . - ~ § Q

H,) ~h § F , z . ( H , - - 2 "-~ § ( H ~ - - H o ) ' V X e - - ( E ~ - - E 2 ) ' V x h - -

-- tz j , . (E~ -- E2).e -- F j z . ( H , - - / /2 )"e l dxdt O, J

ovvero:

(13) f { ~ e ~h } . ( E ~ - - E o . ) d x d t §

0

= 0 .

Adesso sc consideriumo il seguente sistem~ l ine,re:

~e ~h (14) F v s . - ~ + F ~ e . ~ - - V X h - - _~r : f , ( x , t) ,

~e ~h (15) ~"~i- § F . . . ~ + V• - - ~ . . e =~(x, t),

con e, h e S, c quindi soddisf~centi le condizioni e(x, t) : h(x, t) = 0 su /2 e 1,~ condizione 31 contorno loculmente dissipative, 5 f~cilc verific~rc che mediante il c~mbi~mento di v~ri~bile t = T - T lc (14), (15) si possuno tr,~sform,~re in un ~nalogo sistem~ di vari~bili e*, h*, che vcrificher~nno l~ nuova condizione e*(x, 0) ---- h*(x, 0) su ~. Qucsto sistema risultu uncor~ simmetrico e iperbolico ed in buse ~lle regol~rit~ dei suoi coefficienti, in qu~nto ci l imitiamo ~ consider~re soluzioni rcgoluri, 5 possibilc formulure il segucnte lemm~ [2], [8]:

LE~IA. Per ogni ~(x, t),f~(x, t)eZ~(0, t; .52(~; R3)) il problema (]4), (15) verilicante la condizione e(x, T) = h(x, T) -~ 0 ammette su Q almeno ~tna solu- zione e, heL~(O, T; B) n H~(0, T; Z2(~)).

D,~ cib se ne deduce che 1~ (8) risultn verific~t:~ per ogni f l , f 2 e e Z~(0, T; Z2(~; R3)) e quindi E1 = E2, 1tl = 1t2. c.v.d.

TEOREMI DI UNICITA PER L:E :EQUAZIONI DI ~IAXWELL ECC. 111

4 . - C a s o s t a z i o n a r i o .

Jn ques t 'u l t ima p~rte supporremo che i campi E(x, t), H(x, t) siano armo- nici, le eui component i E~, H~ iudicheremo:

(~6) { E~(x, t) = Re (exp [--io)t]Ei(x)} ,

H~(x, t) = Re {exp [--io)t]H~(x)} (1),

dove to # 0 ed Ej(x) = E~(x) + iEJ(x), H~(x) = H~(x) ~- iH~(x) sono le com- ponent i dei campi complessi E, H.

Le equazioni di Maxwell, iudicando con J~ la eomponen~e complessa del s~ettore corrente elettr ica, si possono scrivere:

07) (V • H)~-- (icoe~a 4- aj~)E~: : Js ,

(~s) (V x E)~ ~ iw/~s~HT~ = O ,

essendo ejz~ = gjk(x),/~zr = fijk(x), aj~ = ~jj~(x) r i spet t ivamente ]e component i a u re~li dei tensori dielettrieo, permeabil i ts mag~letica e eondueibilit~ elettric~ ehe supporremo simmetrici e definiti positivi, oltreeh5 funzioni limit~te e misurabil i secondo Lebesgue in ~0.

Infine supponi~mo che sul contorao sia verifieat~ la condizione:

09) E t --. 2,(1 -~ i ) H t x n su r [4], (2 > 0) ,

doYe E ~ed H t rappresentano i eomponeat i ~angenziali d ei eampi E ed H. Osserviamo ancora the la (19), come si pub facilmente verifieare, costituisce una condizione al contorno locnlmente dissipativa del t ipo della Defini- zione 2.

I)EI~I~IZIO~E 4. (E, H) ~ D ~ detta sol~tzionc [9] del problema (17), (18), (19) se per ogni J ~ L2(.Q; R 3) veri]ica ~a (19) ed il sistema (17), (18) q.d. 8~ ~ .

TEORE)IA 2. SC J @ L2(~o~ ; R a) ogni soluzione del p~'oblema (17), (18), (19) unica.

(1) Se u ~ un numero complesso con Re {u} indicheremo la parte reale di u.

112 ANTONIO SCALIA

lnfa~ti, posto I ( E , H ) = ~ j . E d x , u~ilizzando le equazioni (17), (18) si ha :

(20)

ed a t t raverso le seguenti posizioni:

E+ ~_ E 1 E 1 2 2 ~ s k + EjE~ ' E 2 E I _ _ E 1 E 2 Jl~jk i ~ k j k ~

_ _ H 2 H 1 t1117-2

si r icava, osservando che E +, H ~ sono ~ensori s immetr ic i men t re E ~ , H ~ sono ant is immetr ic i , che:

(21) 8.Q .Q

OD

Adesso, se si suppone che J = O, si ha che I ( E , H) ~ hullo per definizione e quindi:

~e{I(E,H)(= ~E~--~ E'.E'd~= O. D OD

Inol t re , poich6 l [ 2 2 f E ' . E ' dr 6 non negat ivo (2 > 0), cosi come d%zE + per 812

la ipotesi di definita posi t iv i t s di ajk(x), ne viene che E = 0 su /2. Infine dal l 'annul lars i della pa r te immag ina r i a di I ( E , H), per la deft-

n i t a posi t ivi t~ di tt;k(x) si ha che anche H = 0 su [2 e pe r t an to dalla linea- r i t s di (17) e (18) ne viene l 'unici t~ delle soluzioni forti.

Pervenuto in Redazione il 10 giugna 1982 e in ]orma de]initiva il lo ottobre 1982.

RIASSUNT0

Si dimostra un r d'unicit~ per le equazioni non lineari di Maxwell con una condizione al contorno dissipativa, ma non nella forma (I).

TEOR]~MI DI UNICITA PER LE ~QUAZIONI D] MAXWELL ECC. 113

Nella seconda parte viene provato ancora un tcorema d'unicit'h per un problema periodico lineare con una condizione al contorno dissipativa dcl tipo Schelkunoff, cio~ espressa da (I).

S UM5[A RY

We prove a uniqueness theorem regarding a nonlinear Maxwell's equations with a dissipative boundary condition but not of the type (I).

I n the second part is once again demonstrated a uniqueness theorem regarding a linear steady-state problem with a dissipative boundary condition of Schclkunoff's type, which is denoted by (I).

BIBLIOGRAFIA

[1] L. C~SARI, Su un problema ai limiti per sistemi di equazioni iperboliche quasi lineari alle derivate parziali, Rend. Ace. ~az. Lincci, 61 (1974), pp. 1-4.

[2] M, FABRIZIO, Thdor~mes d'unieitd aux limites relati] aux dquatio~s non li~daires de ~laxwell, Journal de Mecanique, 15, no. 4 (1976), pp. 681-696.

[3] P. BASSANI~I - N. MATTIOL:, Uniqueness o] periodic solutions of the linearized quasi-hydrodynamic plasma equations with impedenee boundary conditiovs, Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), 31 (1980).

[4] D. S. JONWS, The theory o] electromagnetism, Oxford, Pergamon Press, 1964. [5] B. COL]~A~N - DILL, Thermodynamics restrictions on the constitutive equations

o] electromagnetic theory, Z. Angew. Math. Phys., 22 (1971), pp. 691-702. [6] M. FA]~R:ZIO, Convessit~ dei potenziali termodinamici dell'elettromagnetismo eredi-

tario, Rend. Acc. Naz. Lincei, 60 (1973), pp. 241-248. [7] H. C. WILCOX, The domain o] dependence inequality ]or syqn~netrie l~yperbolic

systems, Bull. Amer. Math, Soc., 70 (1964), pp. 149-158. [8] H. C. WILCOX, The domain o/ dependence, inequality and initial-boundary value

problem ]or symmetric hyperbolic systems, ~[RC Technic~l Summary Report, (1962), pag. 333.

[9] H. C. WILCOX, The steady-state di]]ractio~t o] electromagnetic radiation by a u obstacle in an inhomogeneous anisotropic conducting medium, Arch. Rational Mech. Anal., 14 (1963), pp. 326-336.