Teoreticne osnove za poucevanja naravoslovjaza 6. in 7. razred devetletke

T. Kranjc, PeF

5. decembra 2008

Kazalo

1 Modul 4: Valovanje 11.1 Nihanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Amplituda, nihajni cas, frekvenca . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Sinusno nihanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Hitrost in pospesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 Energija nihanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5 Vsiljeno nihanje, resonanca . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Valovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Transverzalno in longitudinalno valovanje . . . . . . . . 141.2.2 Sinusno valovanje, valovna dolzina . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Energija valovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Hitrost valovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.5 Odboj valovanja, stojece valovanje . . . . . . . . . . . 221.2.6 Valovni pojavi – valovanje na vodi . . . . . . . . . . . 241.2.7 Odboj vodnih valov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.8 Lom vodnega valovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.9 Interferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.10 Uklon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

0

1 Modul 4: Valovanje

1.1 Nihanje

V vsakdanjem zivljenju ves cas srecujemo stevilna nihala in nihanja. Po Slo-varju slovenskega knjiznega jezika (SSKJ) pomeni nihati “premikati se meddvema skrajnima legama, zlasti v casovno enakih presledkih.” Pri nihanjuse telo vedno znova premika sem ter tja.

Na primer:

- drevesa se v vetru majejo sem ter tja – nihajo; visece svetilke, obesenena prostem, se v vetru gugajo – nihajo; nihajo zvonovi in kemblji v njih.

- na vodi se zibljejo colni in ladje – nihajo.- na igriscih so gugalnice, ki jih otroci poganjajo sem ter tja, tako da

nihajo.- kroglica v skodelici, ki jo spustimo z roba skodelice.- ure: v stenskih urah niha fizicno nihalo, v starih mehanicnih urah niha

nemirka, ki jo poganja vijacna vzmet, v kremenovih urah niha kristal kre-mena;

- akustika: glasbene vilice, s katerimi udarimo ob kak drug predmet, zani-hajo; nihajo strune, nihajo opne pri bobnih ali nase glasilke, ki jih zatresemo,kadar govorimo; niha opna v telefonski slusalki. Manj ocitno je, da pri zvokunihajo sem ter tja delci zraka.

- elektrika: omrezna napetost se spreminja – niha; nihajo tokovi in napetostiv oddajnih in sprejemnih antenah; v radijskih valovih nihata elektricno inmagnetno polje.

- optika: nihata elektricno in magnetno polje v svetlobi.- strojnistvo in gradbenistvo: v avtomobilskih motorjih se ponavljajoce

gibljejo bati v valjih; stroji in zgradbe se tresejo – “vibrirajo” = nihajo.- atomi v molekulah in v kristalih nihajo drug proti drugemu.

Primeri nihal (slika 1)Nihalo na vijacno vzmet, matematicno nihalo, fizicno nihalo, sucno ni-

halo, Huygensova ura, budilka, vozicek med dvema vzmetema; kroglica vskodelici; telo, ki bi ga spustili v predor, ki bi sel skozi sredisce Zemlje.

Nihanja, ki jih vidimo okrog sebe, so vecinoma dusena; to pomeni, dagibanje postopoma zamre. Nekatera nihanja pa so nedusena, npr. pri urah.

1

Slika 1: Nekaj nihal.

Nihanje nihala, ki je prepusceno samemu sebi, je njegovo lastno nihanje.Ce nihalo poganjamo od zunaj, je nihanje vsiljeno.

1.1.1 Amplituda, nihajni cas, frekvenca

Poglejmo zaporedje slik nihala na vijacno vzmet, ki jih naredimo v enakihcasovnih presledkih (slika 2a). Utez potegnemo navzdol iz ravnovesne (mi-rovne) lege (tj. lege, v kateri obmiruje, ce nihalo dovolj dolgo pustimo primiru) in pustimo, da niha. Nihanje opisemo, ce za vsak trenutek navedemolego utezi. Lego utezi podamo tako, da povemo njeno oddaljenost od ravnovesnelege. Imenovali jo bomo odmik in zaznamovali s crko s.

Ko utez niha, se giblje izmenoma na eno in na drugo stran ravnovesnelege. To se vedno znova ponavlja. Ko gre utez enkrat naprej in nazaj, naredien nihaj. Za to potrebuje en nihajni cas, ki ga bomo zaznamovali s t0.Nihanje, pri katerem se gibanje po preteku vsakega nihajnega casa natancnoponovi, imenujemo periodicno.

Kadar nas ne zanimajo podrobnosti nihanja, podamo poleg nihajnegacasa t0 le se najvecji odmik ali amplitudo nihanja, s0. To sta dva znacilna

2

Slika 2: Nihalo na vijacno vzmet v nekaj zaporednih trenutkih.

podatka za neduseno nihanje. Namesto nihajnega casa pogostno navedemofrekvenco ν, ki pove stevilo nihajev na sekundo: ν = N/t, ce je N stevilonihajev v casu t. Ker zaniha nihalo v enem nihajnem casu ravno enkrat, je

ν =1

t0. (1)

Enota za frekvenco je nihaj na sekundo in se imenuje hertz (Hz): 1s≡ 1 s−1 =

1 Hz.

Poskus: Merjenje nihajnega casa nitnega nihala. Ne merimo casa tra-janja posameznega nihaja, ampak npr. 10 nihajev.

• Ce zaniha nihalo 15-krat v casu t = 3 s, je frekvenca ν = N/t = 15/3 s = 5 s−1

= 5 nihajev na sekundo = 5Hz.

• Ce naredi nihalo 5 nihajev na sekundo, je nihajni cas enak petinki sekunde.Saj je t0 = 1/ν = 1/5 s−1 = 1

5 s.

3

1.1.2 Sinusno nihanje

Odmik utezi s na sliki 2a se s casom spreminja – je funkcija casa: s = s(t). V nasemprimeru je odmik periodicna funkcija casa. Na sliki 2a so podane zaporedne slikenihala, narejene v casovnih razmikih cetrt nihajnega casa (t0/4). Ce bi potegniliskozi zaporedne lege utezi krivuljo, kakor kaze slika 2b, bi dobili za odmik krivuljona sliki 3. (Pozor: v diagramu na sliki 3 smo si izbrali zacetek merjenja casa tako,kakor kaze zelena crta na sliki 2b.)

Slika 3: Odmik utezi je sinusna funkcija casa. Prikazana sta dva primeranihanja nihala: amplituda je obakrat 2 cm, frekvenca pa pri prvem nihanju2 Hz, pri drugem 4 Hz.

Na sliki 3 smo narisali graf za odmik utezi v odvisnosti od casa. Dobili smosinusno krivuljo. Odmik se s casom spreminja kot sinusna funkcija. To lahkozapisemo takole:

s = s0 sinωt. (2)

Nihanju, ki ga opisuje sinusna funkcija casa, pravimo tudi harmonicno nihanje.V izrazu za odmik s nastopata dve konstanti (“parametra”): amplituda s0 in

krozna frekvenca ω. Cas t je seveda neodvisna spremenljivka.Amplituda s0 je odvisna od tega, kako zanihamo nihalo. V primeru, ki ga

kaze slika 2, smo utez povlekli iz ravnovesne lege in spustili. Tako zacetni odmik

4

doloca ravno amplitudo. Ce na zacetku vzmet bolj raztegnemo (tako da je zacetniodmik utezi vecji) in potem utez spustimo, je amplituda vecja; ce je zacetni odmikmanjsi, je z njim manjsa amplituda.

Toda odmik, kakor ga podaja enacba (2), je v zacetnem trenutku (ob casut = 0) enak nic: s(0) = s0 sin 0 = 0, saj je sin 0 = 0. Pri nihanju na sliki 2a paje zacetni odmik najvecji, tj. s(0) = s0. A ce zacnemo meriti cas (tj. ce sprozimostoparico) malo zatem, ko nihalo zanihamo – ravno ko gre utez skozi mirovnolego, tako kakor je prikazano z navpicno zeleno crto na sliki 2b – pa opisuje odmiksinusna funkcija (2).

Argument pri sinusu smo zapisali kot ωt, pri cemer je krozna frekvenca ωkonstanta. Ko tece cas enakomerno naprej, se argument pri sinusu enakomernoveca. Pri tem sinus periodicno niha med skrajnima vrednostima −1 in 1, odmikpa med vrednostima −s0 in +s0. Tek casa t je vedno enak, tek argumenta ωt pa jetem hitrejsi, cim vecji je ω: pri vecji frekvenci nihalo hitreje niha. Neposredneganazornega pomena pa krozna frekvenca nima.

Opomba: Iz matematike se spomnimo, kako dobimo razteg funkcije v smerikoordinatnih osi. Ce pomnozimo funkcijo s konstanto, pomeni to razteg ali stiskv smeri ordinatne osi. (Kadar je konstanta vecja od 1, se funkcija raztegne, kadarje konstanta manjsa od 1, se stisne.) Pri nas smo sinusno funkcijo pomnozili zamplitudo s0 in jo raztegnili v smeri ordinatne osi. Ce pomnozimo s konstantoargument funkcije, pa funkcijo raztegnemo (kadar je konstanta manjsa od 1) aliskrcimo (kadar je konstanta vecja od 1) v smeri abscisne osi. V nasem primerusmo kot argument pri sinusu zapisali neodvisno spremenljivko cas, pomnozeno skrozno frekvenco ω. Krozna frekvenca ω torej doloca razteg (ali stisk) funkcije vsmeri casovne osi; ce je velika, jo stisne, ce majhna jo raztegne.

Nihalo naredi en nihaj v enem nihajnem casu t0. Sinusna funkcija opiseen nihaj, ko se argument poveca za 2π, saj je perioda sinusa (ali kosinusa)2π. To pa pomeni, da je

ωt0 = 2π ,

od koder preberemo, da je

ω = 2π/t0 oziroma t0 = 2π/ω . (3)

Frekvenca in nihajni cas sta obratno sorazmerna: seveda, daljsi (= vecji)nihajni cas pomeni pocasnejse nihanje in manjso frekvenco, krajsi nihajnicas pa hitrejse nihanje in vecjo (= “visjo”) frekvenco. Od prej vemo (enacba(1)), da je t0 = 1/ν, zato velja tudi

ω = 2πν oziroma ν = ω/2π . (4)

5

Pritrdimo na gramofonski kroznik navpicno palicico ter jo projicirajmona steno, ko kroznik enakomerno krozi! Senca palicice niha sem ter tja. Dase pokazati, da je nihanje palicice sinusno. Amplituda nihanja sence je enakapolmeru kroga, po katerem se giblje palicica, nihajni cas sence pa je enakobhodnemu casu palicice pri krozenju. Ugotovimo, da je kotna frekvencanihanja enaka kotni hitrosti krozenja. Res: pri enakomernem krozenju jekotna hitrost, to je kvocient zasuka in casa, enaka ω = 2π/t0, pri cemer je t0obhodni cas. Enako zvezo pa smo ugotovili za krozno frekvenco.

V splosnem odmik v zacetnem trenutku ni enak nic, kakor ga opisujeenacba (2), pa tudi ne najvecji, kakor je bilo pri nihanju na sliki 2a. Lahkoje poljuben; drugace povedano, cas lahko zacnemo meriti pri kateremkoliodmiku utezi. To zapisemo

s = s0 sin(ωt− δ) . (5)

V izraz za odmik smo uvedli se tretjo konstanto, fazni kot δ. Vemo, da jefunkcija sin(ϕ−δ) premaknjena glede na funkcijo sin ϕ ravno za kot δ v smeriabscisne osi: pozitiven δ pomeni premik v smeri pozitivne, negativen v smerinegativne abscisne osi ϕ. Ce nanasamo na abscisno os cas (t), je casovnipremik enak δ

2πt0, saj je ωt− δ = ω(t− δ/ω) = ω[t− (δ/2π)t0].

Slika 4: Potek sinusne funkcije pri razlicnih faznih kotih.

Na sliki 4 je prikazano zaporedje funkcij s = s0 sin(ωt − δ) v odvisnostiod casa za razlicne vrednosti faznega kota δ. Ko se kot δ povecuje, je kakor

6

bi se zacetna funkcija s0 sin ωt pomikala naprej v smeri pozitivne casovneosi. Na sliki 4 druga funkcija zaostaja za prvo za cas t1 = t0/5 oz. za faznikot δ1 = 2π/5, tretja pa prav toliko za drugo.

Funkciji sinus in kosinus potekata enako, le premaknjeni sta ena protidrugi za 90◦. Ce premaknemo kosinus za 90◦ naprej (tedaj je δ = π/2),dobimo ravno sinus. Res: cos(ωt− π/2) = sin ωt. Fazni kot δ = π/2 ustrezacasovnemu premiku (δ/2π) t0 = t0/4, torej cetrtini nihajnega casa.

Medtem ko sta amplituda in fazni kot odvisna od tega, kako nihalo spra-vimo v nihanje, pa je frekvenca ω (oziroma nihajni cas t0 = 2π/ω) odvisnasamo od lastnosti nihala, nic pa od tega, kako nihalo niha. Pokaze se, da sonihajni casi nekaterih nihal takile:

Tabela 1Nihajni casi

Nihalo Nihajni cas t0Nihalo na vijacno vzmet 2π

√mk

Matematicno nihalo 2π√

lg

Fizicno nihalo 2π√

Jmgl

Sucno nihalo 2π√

JD

Pri tem smo zaznamovali: pri nihalu na vijacno vzmet sta m masa utezi ink konstanta vzmeti. Pri matematicnem nihalu je l dolzina vrvice (g je teznipospesek). Pri fizicnem nihalu je J vztrajnostni moment nihala okrog osinihanja, m je masa nihala, l pa razdalja tezisca od osi. Pri sucnem nihalu jeD sucni koeficient vzmeti in J vztrajnostni moment nihala.

Povzemimo!Pri harmonicnem (sinusnem) nihanju je odmik s enak

s = s0 sin(ωt− δ) .

V izrazu nastopajo tri konstante: amplituda s0, fazni kot δ in frekvenca ω.Amplituda in fazni kot sta odvisna od tega, kako nihalo zanihamo, nihajnicas pa je lastnost nihala in je neodvisen od tega, kako nihalo niha.

7

1.1.3 Hitrost in pospesek

Hitrost utezi v odvisnosti od casa je odvod odmika (s) po casu (t)

v =ds

dt≡ s = ω s0 cos(ωt− δ) . (6)

Tudi hitrost niha harmonicno. Njena amplituda je v0 = ω s0. Hitrost za cetrtnihaja zaostaja za odmikom, saj je cos ϕ = sin(ϕ + π/2) (fazni kot δ = −π/2).

Pospesek utezi dobimo kot odvod hitrosti po casu

a =dv

dt≡ v = s = −ω2 s0 sin(ωt− δ) = −ω2 s . (7)

Pospesek, enako kakor odmik in hitrost, niha harmonicno. Amplituda pospeska jev0 = ω2 s0, niha pa pospesek ravno z nasprotno fazo kakor odmik (fazni kot δ je180◦ = π).

Zacetni odmik s1 = s(0) in zacetna hitrost v1 = v(0) sta

s1 = −s0 sin δ

v1 = ω s0 cos δ .

Fazni kot je povezan z zacetno lego in z zacetno hitrostjo takole:

tan δ = −ω s1/v1 . (8)

Velja se

s0 =

√s21 +

(v1

ω

)2

. (9)

Odmik s v odvisnosti od casa lahko s pomocjo zacetnega odmika s1 in zacetnehitrosti v1 zapisemo kot

s = s1 cos ωt + (v1/ω) sin ωt .

8

1.1.4 Energija nihanja

Nihalo na vijacno vzmet ima pri nihanju energijo, ki je sestavljena iz kineticneenergije utezi, proznostne energije vzmeti in potencialne energije utezi.

Kineticna energija utezi je 12mv2.

Pri proznostni energiji se spomnimo, da je vzmet ze v ravnovesni legiraztegnjena, saj se vzmet povesi, ko nanjo obesimo utez. Zaznamujmo taraztezek z sr. Ko na vzmet s konstanto k obesimo utez z maso m, ne dabi jo zanihali, sta v ravnovesju sila teze utezi mg in sila vzmeti ksr, torej jeraztezek vzmeti v mirovni legi sr = mg/k. Ce je s odmik utezi iz ravnovesnelege, je celoten raztezek vzmeti v vsakem trenutku sr +s, proznostna energijavzmeti pri nihanju pa potemtakem 1

2k(sr + s)2.

Naj bo potencialna energija utezi enaka nic, ko je utez v mirovni legi(izhodisce za merjenje potencialne energije lahko izberemo poljubno). Ko seutez pri nihanju pomakne za odmik s navzdol, je potencialna energija enakaWp = −mgs.

Celotna energija nihala je tedaj

W = Wk + Wpr + Wp =1

2mv2 +

1

2k(sr + s)2 −mgs .

Ce kvadriramo izraz za proznostno energijo, dobimo W = 12mv2 + 1

2ks2

r +ksrs + 1

2ks2 − mgs. Spomnimo se, da je sr = mg/k, pa vidimo, da je

ksrs−mgs = 0. Tako dobimo za celotno energijo nihala

W =1

2mv2 +

1

2ks2 +

1

2ks2

r. (10)

V izrazu za energijo W nastopa ves cas proznostna energija 12ks2

r, saj jevzmet ze v ravnovesni legi raztegnjena za sr. Ta del energije nas ne zanimaposebej, saj se ne tice samega nihanja. Zanima nas del, ki se nanasa nanihanje, tj. W − 1

2ks2

r. Temu delu celotne energije nihala W bomo reklienergija nihanja. Enaka je

Wnih = W − 1

2ks2

r =1

2mv2 +

1

2ks2. (11)

Energijo nihanja sestavljata kineticna energija utezi (12mv2) in proznostna

energija vzmeti (12ks2), pri cemer je s raztezek glede na ravnovesno lego

nihala (ko je vzmet zaradi teze utezi ze raztegnjena za sr).

9

Izracunajmo energijo nihanja! Ker je odmik utezi s = s0 sin(ωt − δ) innjena hitrost v = ω s0 cos(ωt− δ), vidimo, da je energija nihanja enaka

Wnih =1

2m[ω s0 cos(ωt− δ)]2 +

1

2k[s0 sin(ωt− δ)]2;

Upostevajmo, da je k = m ω2 in da je sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 za poljubenargument ϕ, pa dobimo

Wnih =1

2mv2

0 =1

2ks2

0. (12)

V energiji nihanja Wnih imamo kineticni del in proznostni del, ki se ves casspreminjata, njuna vsota – celotna energija nihanja – pa se ne spreminja in jeves cas enaka maksimalni kineticni energiji utezi 1

2mv2

0 oziroma maksimalniproznostni energiji vzmeti 1

2ks2

0. Pri nedusenem nihanju se kineticna energijapreliva v proznostno in obratno, njuna vsota pa se ohranja.

Podobno velja za druga nihala. Pri matematicnem in teznem nihalu jeenergija sestavljena iz kineticne in iz dodatka k potencialni energiji. Tadodatek je enak Wp = mgz∗, z∗ je visina, za katero se tezisce nihala dvignenad ravnovesno lego. Pri nihalu na polzasto vzmet je energija sestavljenaiz kineticne energije kolesa in proznostne energije vzmeti. Vedno, kadar jenihanje neduseno, je celotna energija nihanja ves cas enaka.

1.1.5 Vsiljeno nihanje, resonanca

Doslej smo opazovali lastna nihanja, ko so bila nihala prepuscena sama sebi.Lahko pa nihanje povzrocimo tako, da nihalo periodicno pozibavamo sem tertja. Pravimo, da nihalu vsiljujemo nihanje ali da je njegovo nihanje vsiljeno.Pri tem po nekem casu morebitno lastno nihanje nihala zamre in nihalo nihas frekvenco, s kakrsno mu vsiljujemo nihanje od zunaj. Ta frekvenca in znjo nihajni cas torej nista nic znacilna za nihalo. Ob stalnem zunanjemvzbujanju niha nihalo periodicno in neduseno.

Oglejmo si vsiljeno nihanje pri utezi na vrvici! Vrhnji konec vrvice z rokozibljemo sem ter tja. Poskusimo z razlicnimi frekvencami! Ce zibljemo nihalopocasi, se giblje utez tako kakor roka. Ce zibamo hitro, tj. s frekvenco, kije znatno vecja od lastne frekvence nihala, utez skoraj miruje – zaradi svojemase ne more slediti hitrim nihajem. Kadar pa zibamo s frekvenco, ki se

10

ujema z lastno frekvenco nihala, zacne utez nihati nenavadno mocno. Tedajse premika z dosti vecjo amplitudo kakor roka. Pravimo, da je nihalo prislov resonanco. Nihalo torej ni za vse frekvence enako obcutljivo, ampak dajeprednost svoji lastni frekvenci. Kadar ga vzbujamo s to frekvenco, zanihanajmocneje.

Slika 5: (a) Vozicek je vpet med dve vijacni vzmeti, prek ene ga poganjamosem ter tja. (b) Amplituda, s katero se giblje vozicek, je odvisna od tega,kako ga (prek vzmeti) poganjamo.

Taksne poskuse lahko naredimo tudi z drugacnimi nihali, na primer z ni-halom na vijacno vzmet. Slika 5 kaze vozicek, vpet med dve vijacni vzmeti.Eno vzmet vzbujamo: od “hitrosti” vzbujanja je odvisna amplituda pri ni-hanju vozicka.

Posebej usodne so lahko posledice resonancnega vzbujanja nihanj prizgradbah. V starih casih se je zgodilo, da so se porusili mostovi, cez katere sokorakali vojaki. Ce so pri korakanju ravno “zadeli” lastno frekvenco mostu,je lahko amplituda nihanja tako narasla, da se je most sesul. Znan je primeriz leta 1831, ko so korakajoci vojaki porusili viseci most pri Manchestru. Leta1850 je enaka usoda doletela nek viseci most v Franciji, pri cemer je umrlocez 200 vojakov. Odtlej vojaki na mostovih vec ne korakajo, ampak hodijo.

Leta 1940 se je porusil skoraj kilometer dolg viseci most cez ozino TacomaNarrows v zvezni drzavi Washington, ZDA. Bocni vetrovi so vzbudili sucnonihanje mostu z eno od njegovih lastnih frekvenc. Po nekaj urah nihanja seje most porusil (slika 6). Leta 1985 se je porusil 300 metrov visok oddajnistolp v Bielsteinu v Nemciji, ki je prisel v resnonaco s sunki vetra.

Septembra 1985 je bil v Mehiki potres 8.1 stopnje po Richterju z epi-centrom priblizno 400 kilometrov od Mexico Cityja. Mesto je zgrajeno na

11

Slika 6: Nihanje visecega mostu cez ozino Tacoma Narrows.

podrocju, kjer je bilo nekdaj jezero. Mehka podlaga, na kateri je zgrajenomesto, je prisla v resonanco s potresnimi valovi, ki so pripotovali od epicen-tra in amplituda nihanja je mocno narasla. Amplituda pospeska je doseglavrednosti do 0,2 g, krozna frekvenca nihanj pa je imela izrazit vrh pri 3 s−1.To je bila lastna frekvenca vecine srednje visokih stavb v mestu. Nizje stavbeso imele vecjo lastno frekvenco, visje stavbe pa manjso. Tako je potres zaradiresonance porusil vecino srednje visokih stavb v mestu, ne pa nizjih in visjih.

12

1.2 Valovanje

V vsakdanjem zivljenju pogosto srecujemo tudi valovanja. Nastejmo nekajprimerov:

- na morju so vedno vecji ali manjsi valovi, ki neutrudno potujejo inudarjajo ob obalo.

- valove naredi veter, kadar potegne cez mirno gladino jezera; ali na zitnempolju (“Zlato valovje krog in krog, bredem do pasa, ne zmocim si nog”.)

- ko vrzemo kamen v mirno vodo, se naredijo krozni valovi, ki gredonarazen.

- potresni valovi- tsunamiji, zelo dolgi, visoki in izredno hitro potujoci valovi, ki nastanejo

ob potresih ali vulkanskih izbruhih na morskem dnu1

Mnogih valovanj ne vidimo:

- akustika: zvok je valovanje, “valuje” zrak, ali voda ali kovinski drog.Valovanje imamo na strunah in opnah glasbenih instrumentov.

- optika: tudi svetloba je elektromagnetno valovanje.- radijski valovi so tudi EM valovanja. Radijske postaje vsak dan povedo,

na kateri valovni dolzini oddajajo.

1Hitrost valov na vodni povrsini v plitvi vodi je c =√

gh, g je tezni pospesek, h paglobina vode. “Plitva” voda pomeni, da je njena globina manjsa od nekako 1

10 valovnedolzine valov.

Potresi na dnu oceanov, pri katerih pride do navpicnih premikov morskega dna, lahkona vodnem povrsju ustvarijo valove z izredno velikimi valovnimi dolzinami. Taki valovi seimenujejo “tsunamiji” (izraz je japonski in pomeni val (nami) v pristaniscu (tsu)). Valovnedolzine tsunamijev so tipicno 100 do 400 kilometrov. Povprecna globina Tihega oceana, vkaterem se pojavi 80 odstotkov tsunamijev, je 4,3 km, tako da je ocean za tsunamije “plitvavoda” (saj je njegova globina veliko manjsa od valovne dolzine). To pomeni, da potujejotsunamiji po Tihem oceanu z ogromno hitrostjo c =

√gh =

√9,8 ms−2 · (4,3 · 103 m) =

200 m/s = 740 km/h.Na odprtem morju so tsunamiji visoki le kak meter in nenevarni. Ko pa pridejo v plitve

vode ob obali, se valovi na celu upocasnijo, saj je hitrost valov c ∝√

h (v 10 m globoki vodije tako hitrost le se 10 m/s, v 1m globoki pa 3m/s). Zato se na celu valovi “nakopicijo”in dosezejo visine vec deset metrov. Taki valovi imajo strasno rusilno moc.

13

1.2.1 Transverzalno in longitudinalno valovanje

Vzemimo dolgo vrv ali gumijasto cev. En konec privezimo na steno, drugegapa primimo tako, da je rahlo napeta. Udarimo po vrvi blizu njenega zacetka!Vrv se tam izboci (slika 7 levo). Nastala izboklina pa ne ostane na mestu,ampak potuje po vrvi. Vrv se tam, kjer smo jo udarili, spet izravna; medtemse izboci sosednji del. Od dalec se zdi, kakor da bi se izboceni del vrvipremaknil naprej.

Ce z enim koncem vrvi mahamo gor in dol (slika 7 desno), vrv valuje:naredijo se valovi, ki potujejo po vrvi. Vsak val je sestavljen iz dveh izboklin,iz hriba in doline, ki potujeta enakomerno po vrvi naprej.

Slika 7: Po vrvi se razsirja transverzalno valovanje. Levo: potovanje izbokline(“motnje”) po vrvi; desno: po vrvi potujejo sinusni valovi.

Zaznamujmo poljuben del vrvi tako, da nanj prilepimo list papirja. Ugo-tovimo: listic papirja in torej opazovani del vrvi ne potujeta naprej, ampakle na istem mestu nihata gori in doli. Ko po vrvi potujejo valovi, ostanevrv na svojem mestu in z njo vsak njen del. Vendar pa vsak del vrvi niha.Kadar je zaznamovani del najbolj odmaknjen iz ravnovesne lege navzgor, jetam vrh vala. Vrh vala je torej tako visok kakor amplituda nihanja. Tudivsak drug del vrvi niha tako kakor zaznamovani del. Ne nihajo pa vsi delisocasno, ampak zaostajajo drug za drugim. Ko je zaznamovani del na vrhu,se naslednji del se ni toliko odmaknil in doseze amplitudo nekoliko pozneje,ko se je zaznamovani del ze zacel pomikati navzdol. Vsi deli vrvi nihajo zenako frekvenco in enako amplitudo, toda z razlicnimi zakasnitvami. Zato sezdi, da se je val pomaknil naprej.

Naredimo enak poskus z dolgo vijacno vzmetjo (“slinky”). Pritrdimo enkonec vzmeti, drugega pa primimo v roke! Sunkovito potegnimo vzmet vvzdolzni smeri k sebi! Na bliznjem delu vzmeti se navoji razredcijo (slika 8

14

levo). Nastala razredcina pa ne ostane na mestu. Kjer smo vzmet razteg-nili, gredo navoji spet skupaj, tako da tam ni vec razredcine. Medtem serazredcijo navoji na sosednjem delu vzmeti, tako da potuje razredcina povzmeti.

Slika 8: Longitudinalno valovanje na vijacni vzmeti. Levo: vzdolz vzmetipotuje zgoscina – longitudinalna “motnja”; desno: po vzmeti potujejo sinusnivalovi.

Porinimo zacetek vzmeti tako, da se tam navoji zgostijo! Nastala zgoscinaspet ne ostane na mestu, ampak potuje po vzmeti. Vzmet se krci kakor crv,ki leze naprej.

Z vzmetjo naredimo se en poskus! Namesto da bi jo samo enkrat pocukali,jo dalj casa vlecimo naprej in nazaj! Zdaj kar naprej nastajajo zgoscine inrazredcine, ki potujejo po vzmeti (slika 8 desno). Vsak del vzmeti niha takokakor njen zacetek. Deli pa ne nihajo socasno, ampak je vsak naslednjizakasnjen proti predhodnemu.

Tudi to je valovanje, ki pa je drugacno kakor pri napeti vrvi. Deli vrviso nihali gor in dol, torej pravokotno na smer, v kateri je potovalo valovanje.Taksno valovanje imenujemo transverzalno ali precno valovanje. Vzmet pasmo vlekli tako, da je vsak del nihal v smeri vzmeti, torej v isti smeri, v kateripotuje valovanje. Pravimo, da je to longitudinalno valovanje ali vzdolznovalovanje.

1.2.2 Sinusno valovanje, valovna dolzina

Pozibavajmo zacetek vrvi s stalno frekvenco in s stalno amplitudo. Na vrvinastanejo sami enaki valovi. Vrhovi valov si sledijo v enakih razmikih. Tarazmik se imenuje valovna dolzina in ga zaznamujemo s crko λ (slika 9). Vsa

15

mesta na vrvi, kjer so ob danem trenutku vrhovi valov, nihajo socasno. Va-lovna dolzina je podana z razmikom dveh sosednjih mest, ki nihata socasno.

Slika 9: Sinusni val. V primeru na sliki je amplituda vala 4 cm, valovnadolzina pa 2 dm.

Prav tako definiramo valovno dolzino tudi pri longitudinalnem valovanju.Pri vijacni vzmeti (slika 8) je valovna dolzina podana z razmikom zgoscin alirazredcin ali sploh z razmikom dveh sosednjih mest, ki nihata socasno.

Ali znamo izracunati valovno dolzino vala, ce poznamo nihajni cas pri ni-hanju posameznih delov nihajocega telesa? Treba je poznati se hitrost valo-vanja (hitrost razsirjanja valovanja), to je hitrost, s katero se valovi pomikajonaprej. Hitrost valovanja bomo zaznamovali s crko c. V casu t prepotuje valpot c t. V nihajnem casu t0 napreduje val ravno za valovno dolzino, tako davelja

λ = c t0 .

Ce je hitrost valovanja stalna, je valovna dolzina sorazmerna z nihajnimcasom. Cim bolj pocasi zibamo zacetek vrvi, tem daljsi so valovi, ki na njejnastanejo.

Vcasih povemo pri nihalu namesto nihajnega casa raje frekvenco ν = 1/t0.Za valovno dolzino velja torej λ = c t0 = c/ν, tako da je c = λ ν. Seveda: v 1sekundi, ko pride valovanje c ·1 s metrov dalec, naredi zacetek vrvi ν nihajev.Na dolzini c · 1 s metrov je torej ν valov. Vsak val ima dolzino λ, tako davelja:

c = λ ν . (13)

Naredimo dva primera.

• Po napeti vrvi se siri valovanje s hitrostjo 10 m/s. Zacetek vrvi zibljemodvakrat na sekundo sem ter tja. Izracunajmo valovno dolzino!

◦ Odgovor: λ = c/ν = 10 m s−1/2 s−1 = 5 m.

16

• Nalogo lahko obrnemo. Iz znane hitrosti valovanja, c = 10 m/s, invalovne dolzine, λ = 5 m, dobimo frekvenco: ν = c/λ = 10 m s−1/5 m = 2 s−1

= 2 nihaja na sekundo.

Posebno lepe valove na vrvi dobimo, ce z njenim zacetkom mahamo si-nusno gor in dol. Valovi imajo tedaj obliko sinusne krivulje (slika 8 desno).To je sinusno valovanje.

Dodatno pojasnilo (neobvezno)

Valovanje opisemo tako, da za vsak del sredstva, npr. vrvi ali vzmeti, povemo,kako niha. Za vsak del telesa, ki valuje, moramo podati odmik (s). Ta bo torejodvisen od casa (t) in od kraja (koordinate x): s = s(x, t).

Pri potujocem sinusnem valovanju imajo valovi obliko sinusne funkcije in sepremikajo s stalno hitrostjo c. Pri tem vsak posamezen del sredstva sinusno nihaokrog ravnovesne lege. Pokazimo, da lahko odmik pri potujocem sinusnem valo-vanju zapisemo kot

s(x, t) = s0 sin(kx− ωt) . (14)

Pri tem je s0 amplituda valov, k konstanta, ki jo imenujemo valovno stevilo in jepovezana z valovno dolzino, ω pa je krozna frekvenca, s katero nihajo deli sredstva.Poskrbeli smo, da je ob casu t = 0 pri x = 0 odmik enak nic, s(0, 0) = 0.

Mislimo si, da v nekem trenutku, recimo kar ob casu t = 0, naredimo fotografskiposnetek vrvi, ki sinusno niha. Odmiki delov vzvalovane vrvi so po enacbi (14)

s(x, 0) = s0 sin kx . (15)

Odmik s(x, 0) je sinusna funkcija kraja. Kaj pomeni valovno stevilo k? Velikk pomeni, da se argument (kx) hitro spreminja, ko se spreminja koordinata x,majhen k pa pomeni, da se spreminja pocasi. V prvem primeru je sinusna funkcijav odvisnosti od kraja stisnjena, v drugem pa je raztegnjena. Valovno stevilo ktorej doloca dolzino valov, tj. valovno dolzino λ. Kaksna je zveza med njima?

Rekli smo, da je valovna dolzina razdalja med dvema zaporednima vrhovomav valovanju. To ustreza periodi sinusne funkcije, ki je 2π. Torej je

kλ = 2π .

ink = 2π/λ oziroma λ = 2π/k . (16)

Potovanje valov pomeni, da se valovi premikajo; funkcija s(x, 0) = s0 sin kx,ki valove opisuje, se premika vzdolz osi x. Premik funkcije opisemo tako, da

17

koordinato spremenimo, zmanjsamo ali povecamo, za zeljeni premik: funkcijasin k(x− x1) je za x1 premaknjena v smeri pozitivne abscisne osi glede na sin kx.Ce se premik enakomerno spreminja kot ct, kar se dogaja pri potovanju valov shitrostjo c, lahko odmik s(x, t) zapisemo kot

s(x, t) = s0 sin[k(x− ct)] . (17)

To se ujema z encbo (14), ce je ωt = kct. Razberemo, da mora biti

c = ω/k .

Od prej vemo, da je ω = 2πν in k = 2π/λ. Kvocient c = ω/k ni tedaj nic drugegakakor znana zveza c = λν.

Izraz (14) torej opisuje potujoce sinusno valovanje. Slika 10 prikazuje nekajposnetkov valov v zaporednih trenutkih. Valovi se v casu ∆t premaknejo za c∆t.

Slika 10: Odmik pri potujocem valovanju je odvisen od kraja in od casa.Slika prikazuje pet trenutnih slik valovanja v casovnih razmikih ∆t = t0/4,v katerih se valovi premaknejo za c∆t = λ/4.

18

1.2.3 Energija valovanja

Ko vrv ali vijacno vzmet pozibavamo, jima dajemo energijo. Deli vrvi invzmeti imajo kineticno energijo, ker se gibljejo. V zgoscinah in razredcinahima telo, npr. vijacna vzmet, tudi proznostno energijo. Energija potujez valovanjem naprej. Pravzaprav je to energija nihanja posameznih delovtelesa, ki pa jo bomo sedaj imenovali energija valovanja.

Uvedimo tri pomembne kolicine: gostoto energije, energijski tok in gostoto e-nergijskega toka. Gostota energije w je na enoto prostornine preracunana energija:w = ∆W/∆V . Energijski tok P skozi neko ploskev S je mnozina energije v va-lovanju, ki se v casovni enoti pretoci skozi projekcijo ploskve S′, ki je pravokotnana smer razsirjanja valovanja. Gostota energijskega toka j pa je energijski tok naenoto ploskve. (V primeru zvocnega valovanja imenujemo j jakost zvoka ali tudizvocna intenziteta.) Za ravno potujoce valovanje je P = ∆W/∆t in

j = ∆W/S′∆t = w∆V/S′∆t = wc . (18)

Pri potujocem sinusnem valovanju, npr. na vzmeti ali v zraku, je gostotaenergije sestavljena iz gostote kineticne in proznostne energije, w = wk + wpr in jev povprecju enaka

w =12ρv2

0 =12ρω2s2

0 . (19)

Gostota energijskega toka pa je

j = wc =12ρcω2s2

0 . (20)

1.2.4 Hitrost valovanja

Hitrost valovanja je odvisna od lastnosti telesa, po katerem se valovanjerazsirja, lahko pa tudi od frekvence oziroma valovne dolzine valovanja.

Poiscimo to hitrost za napeto vrv! Izmerimo cas, v katerem posameznival prepotuje odmerjeno razdaljo. Ponovimo meritev pri isti in enako napetivrvi z enako frekvenco, toda z razlicnimi amplitudami! Izkaze se, da hitrostvalovanja ni odvisna od amplitude. Naredimo se nekaj meritev s spremenjenofrekvenco! Ce zibamo zacetek vrvi hitreje, dobimo krajse valove, a njihovahitrost je enaka kakor prej. Hitrost valovanja na vrvi je torej neodvisnatudi od frekvence. Isto lahko ugotovimo pri vijacni vzmeti in sicer tako zatransverzalne kakor za longitudinalne valove. (Zanimivo pa je, da hitrostivalov nista enaki. Ce vzmet ni mocno napeta, potujejo po njej transverzalnivalovi precej pocasneje od longitudinalnih.)

19

Hitrost valovanja je torej lastnost snovi (“sredstva”), po katerem se va-lovanje razsirja. Amplituda in valovna dolzina (oziroma nihajni cas) staodvisna od tega, kako valovanje vzbujamo, hitrost valovanja pa zavisi le odlastnosti sredstva.

V spodnji razpredelnici bomo za nekaj primerov, brez izpeljave, navedlihitrost razsirjanja valovanja.

Tabela 2Hitrost valovanja

Nihalo Hitrost valovanja c

Struna√

Fµ

Trdna snov√

Eρ

Tekocine 1√ρχ

Plini√

κRTM

Pri struni pomeni F silo, s katero napenjamo struno in µ = m/l linearnogostoto, tj. maso na enoto dolzine. Pri trdni snovi je E elasticni modul in ρgostota. Pri tekocinah (tj. kapljevinah in plinih) je χ stisljivost. Pri plinihje κ razmerje specificnih toplot pri stalnem tlaku in stalni prostornini (κ je5/3 za enoatomne pline in 7/5 za dvoatomne pline); R je splosna plinskakonstanta, T absolutna temperatura in M kilomolska masa plina.

Primer:• Koliksna je hitrost valovanja na 10 metrov dolgi in 1 kg tezki vrvi, ki

je napeta s silo F = 10 N?◦ Masa na dolzinsko enoto je µ = m/l = 1 kg/10 m = 0,1 kg/m. Hitrost je

c =√

F/µ =√

10 N/0,1 kg m−1 = 10 m/s. Ce bi hoteli to hitrost podvojiti,

bi morali silo F povecati na stirikratno prvotno vrednost (40 N).

Izracunajmo se tri hitrosti valovanja, za zrak, vodo in jeklo:

• Zrak: Kilomolska masa zraka je 29 kg, razmerje specificnih toplot κ= 1,4, saj sestavljajo zrak v glavnem dvoatomne molekule, za temperaturopa vzemimo 20◦C. Tedaj dobimo iz tabele 2 za hitrost zvoka v zraku c =√

κRT/M = 340 m/s.

• Voda: Gostota vode je seveda 1 kg/liter, stisljivost pri sobni temperaturipa 4,7× 10−10 m2/N. Iz tabele 2 dobimo c = 1,5 km/s.

20

• Jeklo: Gostota jekla (zeleza) je 7,9 kg/dm3, elasticni modul pa 2 ×1011 Pa. Tabela 2 da za hitrost razsirjanja valovanja c = 5 km/s.

Zanimivost

Pesceni skorpijoni se hranijo z zuzelkami. V temi, brez gledanja, lahkozelo natancno ugotovijo, kje je njhov plen, in ga ujamejo. Kako se jim toposreci?

Pesceni skorpijoni lahko zaznavajo longitudinalne in transverzalne valovev pesku in to jim omogoca, da lovijo zuzelke. Ko se neka zuzelka premaknena pesku, se po povrsini razsirijo valovi, longitudinalni in trasverzalni. Prvipotujejo s hitrostjo vL = 150 m/s, drugi s trikrat manjso hitrostjo vT =50 m/s.

Slika 11: Plen, od katerega izhaja valovanje in ki ga zazna skorpijon, je vsmeri tiste noge, ki jo longitudinalni valovi zadenejo najprej. Iz zakasnitvetransverzalnih valov za longitudinalnimi skorpijon ugotovi oddaljenost plena.

Skorpijon, ki stoji na pesku, ima svojih osem nog razporejenih nekako vkrogu s polmerom 2,5 cm (slika 11). Z njimi zaznava valovanja, ki se sirijopo pesku. Ko zuzelka sprozi valovanje, dosezejo skorpijona najprej hitrejsilongitudinalni valovi; skorpijon zazna, da je izvir v smeri tiste noge, ki jovalovanje zadene najprej. Potem skorpijon zazna casovno razliko ∆t medprihodom hitrejsih longitudinalnih in pocasnejsih transverzalnih valov. Iz njedoloci razdaljo d do plena: d = vL tL in hkrati d = vT tT = vT (tL+∆t) (v casu

21

tL pridejo do skorpijona longitudinalni valovi, v casu tT pa transverzalni).Tedaj je ∆t = tT − tL = d/vT − d/vL in d = ( vLvT

vL−vT)∆t. V nasem primeru

je vLvT

vL−vT= 75 m/s. Ce je npr. ∆t = 4 ms, je razdalja skorpijona do nesrecne

zuzelke d = 30 cm.

1.2.5 Odboj valovanja, stojece valovanje

Pritrdimo en konec vrvi na steno. Z drugim koncem vrvi zamahnemo, da sena njej naredi izboklina. Ko pride izboklina do konca, se vrv se ne umiri,ampak potuje izboklina nazaj po vrvi. Pravimo, da se izboklina na koncuvrvi odbije (slika 12).

Slika 12: Odboj valovanja na vrvi.

Nato, namesto da bi vrv sunili samo enkrat, mahajmo z njo gor in dol!Valovi, ki jih naredimo, gredo po vrvi do konca, se tam odbijejo in se nazajgrede pomesajo z valovi, ki se prihajajo. Vrv zacne valovati na posebennacin, ki ga se nismo videli (slika 13). Valovi sploh ne potujejo vec, ampakplesejo na mestu gor in dol. Temu pravimo stojece valovanje, za razliko odpotujocega valovanja, kakrsnega smo poznali doslej.

Pri stojecem valovanju vrv na nekaterih mestih miruje; tam so vozli val-ovanja. Vmes pa se vrv boci gor in dol. Vsi deli vrvi gredo socasno skoziravnovesno lego in dosezejo istocasno svoje amplitude. Vsi deli vrvi nihajotorej socasno, ne nihajo pa enako mocno. Na sredini med dvema sosednjimavozloma je hrbet stojecega valovanja, kjer je amplituda najvecja, proti vo-zloma pa je vedno manjsa.

Tudi pri stojecem valovanju ima vrv obliko valovite krivulje. Krivulja jesinusna, ce je valovanje sinusno. Razmik med vozli je enak polovicni valovnidolzini, kakor kaze slika 13a. Razdalja od vozla do najblizjega hrbta pa jeenaka cetrtini valovne dolzine.

22

Slika 13: Stojeca valovanja: (a) skica, (b) na struni, (c) na vzmeti.

Kako nastane stojece valovanje? Po vrvi posiljamo z enega konca protidrugemu potujoce valove. Ko se valovi, ki potujejo naprej, srecajo z odbitimi,se iz obojih sestavi novo valovanje. Pojav, pri katerem se sestavlja dvoje alivec valovanj v novo valovanje, imenujemo interferenca. Pri opisanem poskususta interferirali (se sestavili) dve nasprotno usmerjeni potujoci valovanji zenakima amplitudama in z enako frekvenco (slika 14).

Slika 14: Nastanek stojecega valovanja iz dveh potujocih.

23

1.2.6 Valovni pojavi – valovanje na vodi

Doslej smo opazovali valovanje na vrvi in drugih telesih, po katerih lahkopotuje valovanje le v dveh smereh, naprej ali nazaj. Pojavi so bolj pestri,kadar lahko potujejo valovi v poljubnih smereh po ravnini, tako kakor valovina vodni gladini ali valovi na napeti opni. Ostanimo pri valovanju na vodnigladini, ki je najbolj domace!

Vzemimo descico in jo polozimo na vodo! Zazibajmo jo gor in dol. Okrognje nastanejo valovi, ki se sirijo na vse strani (slika 15). Pravimo, da jedescica izvir valovanja. Vsak del gladine, do katerega je valovanje ze prislo,zaniha podobno kakor descica, le nekoliko kasneje in z manjso amplitudo. Otem se prepricamo, ce po vodi porazdelimo koscke lesa. Vsak koscek zaniha,ne gre pa naprej. Le valovanje se siri dalje.

Slika 15: Ravni in krozni valovi. Do ovire z ozko odprtino prihajajo ravnivalovi, iz odprtine se razsirjajo krozni valovi; levo: valovi na vodi; desno:skica, na kateri so prikazane valovne crte in zarki.

Trenutno sliko valovanja naredimo tako, da narisemo valovne crte (crnecrte na sliki 16). Te kazejo, kako potekajo valovni grebeni (hrbti) in valovnedoline. Oblika valovnih crt je odvisna od oblike in velikosti descice. Okrogladescica naredi krozne valove (slika 16a), ce je ravna in dolga, pa ravne valo-ve: valovne crte potekajo vzporedno z descico (slika 16b). Na obeh stranehdescice dobimo ravno valovanje.

Pri ravnem valovanju je amplituda povsod enaka in valovni grebeni sisledijo v enakih razmikih. Razmik med sosednjimi grebeni doloca valovnodolzino, ki je stalna, kadar sta frekvenca in hitrost valovanja stalni.

24

Slika 16: Krozni in ravni valovi: valovne crte in zarki.

Valovi se razsirjajo v smereh, ki so pravokotne na valovne crte. Zazna-mujmo na sliki te smeri s crtami! To so zarki, ki povsod pravokotno sekajovalovne crte (slika 16). Zarki kazejo torej na vsakem mestu smer, v katero sesiri valovanje.

Zarki so ravni po vsem obmocju, kjer so razmiki valovnih grebenov medseboj enaki.

Ce imamo na sliki narisane valovne grebene, lahko takoj narisemo zarke.Velja tudi nasprotno: ce so narisani zarki, lahko potegnemo valovne crte,ki stoje pravokotno na zarkih. Slika zarkov lahko nadomesti sliko valovnihcrt. Kadar so zarki premice, je slika zarkov bolj preprosta. Pri obravnavanjuvalovanja pogosto risemo samo zarke, zlasti ce valovanje ni neposredno vidno,npr. pri zvoku ali svetlobi.

1.2.7 Odboj vodnih valov

Z dolgo ravno descico vzbujajmo na vodni gladini ravne valove. Naj bodescica vzporedna s steno posode. Z nekaj zamahi naredimo skupino valov!Valovi gredo do stene, se tam odbijejo in se vrnejo nazaj.

Ponovimo poskus tako, da zibamo descico kar naprej gor in dol. Predsteno se prihajajoci valovi srecujejo s tistimi, ki se vracajo. Nastanejo stojecivalovi, ki na mestu skacejo gor in dol. Njihov nastanek si razlagamo enakokakor pri vrvi. Namesto vozlov dobimo zdaj ravne vozelne crte, na katerihgladina nic ne niha. Te crte se vrstijo v razmikih po pol valovne dolzine.

Pri prejsnjem poskusu je bila stena vzporedna z valovi; valovi so se odbilinazaj, nasproti svoji prvotni smeri. Zasukajmo descico tako, da ni vec vzpo-redna s steno! Z nekaj zamahi naredimo skupino ravnih valov. Sedaj ne

25

Slika 17: Odboj ravnih in kroznih valov na steni.

pride ves val naenkrat do stene. Ena stran dospe prej kakor druga. Od steneproc gredo valovi v drugi smeri kakor so prisli (slika 17). Ko steno se nekolikozasukamo, tudi odbiti valovi spremene svojo smer.

Zaradi lazjega govorjenja vpeljimo vpadno pravokotnico ter vpadni in od-bojni kot. Vpadna pravokotnica pravokotno prebada steno tam, kjer jozadene valovni zarek. Vpadni kot je kot, ki ga oklepa vpadajoci zarek zvpadno pravokotnico; odbojni je kot, ki ga oklepa z vpadno pravokotnicoodbiti zarek. Velja odbojni zakon:

Vpadni in odbojni kot sta enaka.

Odbojni zakon ne velja le na ravni steni, ampak tudi v vsaki tocki nazakrivljeni steni.

1.2.8 Lom vodnega valovanja

Pri dosedanjih poskusih je bila hitrost valovanja po vsej gladini enako velika.Kaj pa se zgodi, ce hitrost valovanja ni povsod enaka? Izkoristimo lastnostvodnih valov, da potujejo po plitvi vodi tem pocasneje, cim manjsa je njenaglobina. V posodi z ravnim dnom pokrijmo polovico dna z debelo sipo. Nadsipo je voda za debelino sipe bolj plitva kakor v ostalem delu posode. Robsipe, ki naj bo ravno odrezan, doloca mejo dveh obmocij, na katerih je hitrostvalovanja razlicna.

V globokem delu posode naredimo ravne valove s stalno frekvenco, ki najvpadajo s hitrostjo c na rob sipe! Ko pridejo valovi v plitvi del posode, gredodalje z zmanjsano hitrostjo c′. Zato se valovna dolzina skrci (slika 18). Saj

26

Slika 18: Lom valov.

nihajnega casa nismo spremenili; z zmanjsano hitrostjo c′ pa prepotuje val venem nihajnem casu zmanjsano razdaljo λ′ = c′ t0, medtem ko je bila prvotnavalovna dolzina λ = c t0. Kvocient obeh valovnih dolzin je enak kvocientuhitrosti: λ/λ′ = c t0/c

′ t0 = c/c′.Ko valovi vpadajo na mejno posevno, se smer valov spremeni (slika 18).

Valovanje se lomi. (Pri tem izrazu po navadi mislimo na zarke, ki so zlom-ljeni.)

Pokaze se, da sta vpadni kot in lomni kot (tj. kot med lomljnim zarkomin vpadno pravokotnico) povezana takole:

sin α

sin β=

c

c′. (21)

To je lomni zakon.

1.2.9 Interferenca

Doslej smo opazovali valovanja, ki so izhajala iz enega samega izvira. Kaj padobimo pri dveh izvirih? Palico, ki ima na koncu rogovilo, pozibavajmo gorin dol, tako da izhaja od vsakega roglja krozno valovanje. Valovanji se siritadrugo cez drugega. Gladina valuje tako, kakor kaze slika 19.

Na nekaterih mestih gladina miruje. Miruje kar na celih crtah, med ka-terimi so curki valovanja. Na sredi curka voda najmocneje valuje. Novovalovanje je nastalo z interferenco (s sestavo) obeh kroznih valovanj. Takprimer interference je posebno pomemben, tudi pri zvoku in pri svetlobi.

27

Slika 19: Interferenca valovanj, ki izhajata iz dveh socasno nihajocih izvirov.

1.2.10 Uklon

V vodo postavimo pregrado, ki valovom zapira pot. Na sredi v pregradi najbo siroka odprtina (slika 20a). Na pregrado posljemo ravne valove, vzporednes pregrado. Valovi gredo skozi odprtino. Vendar vidimo, da ob straneh valoviniso ostro odrezani, ampak le polagoma splahnijo. Segajo se malo ven izcurka; tam niso vec ravni, ampak nekoliko ukrivljeni. Pravimo, da se valovina robu odprtine uklanjajo.

Slika 20: Uklon na odprtinah.

Pri ozjih odprtinah je uklon bolj izrazit. Valovi se vidijo se precej dalecizven curka (slika 20b). Cim bolj ozimo odprtino v pregradi, tem bolj se sirivalovanje na drugi strani odprtine na vse strani (slika 20c). Zdi se, kakor daje sedaj v odprtini majhen izvir kroznih valov.

Sirine odprtin primerjajmo z valovno dolzino: prvic je bila odprtina sirokaza vec valovnih dolzin, drugic morda za dve valovni dolzini, tretjic pa manjkakor za valovno dolzino. Z odprtino, ki je velika v primerjavi z valovno

28

dolzino, dobimo izrazit curek valovanja in komaj opazen uklon. Pri odprti-nah, ki so majhne v primerjavi z valovno dolzino, pa curka sploh ni vec.Taksna odprtina deluje, kakor da bi bil v njej nov izvir valovanja. O uklonutorej odloca kvocient sirine odprtine z valovno dolzino.

Podobni pojavi se pokazejo, kadar zadeva valovanje ob ovire. Postavimo vvodo descico, ki prestreze del valovanja, in opazujmo, kako se siri valovanje zanjo! Za siroko desko je gladina skoraj mirna (slika 21a). Lahko bi rekli, da jeza desko “senca”. Senca ni popolnoma ostra, ker sega vanjo malo uklonjenegavalovanja. Pri ozji deski, ki ni vec velika v primerjavi z valovno dolzino,gladina za desko ze precej valuje (slika 21b). Ce pa postavimo namesto deskev vodo kol, ki je tanek v primerjavi z valovno dolzino, valuje voda za kolomskoraj ravno tako, kakor ce kola ne bi bilo (slika 21c). Sence skorajda ni vec.Reci smemo, da valovanje ne obcuti ovir, ki so majhne v primerjavi z valovnodolzino.

Slika 21: Uklon na ovirah.

Slika 22: Interferenca valovanj, ki izhajata iz dveh ozkih rez. Stevilo ojacenihcurkov je odvisno od razmerja med razmikom rez in valovno dolzino.

Pa postavimo vzporedno z valovi pregrado z dvema odprtinama, ki staozki v primerjavi z valovno dolzino! Za pregrado izhajajo iz vsake odprtine

29

krozni valovi. Na vsako mesto za pregrado prideta torej dve valovanji (slika22). Za pregrado dobimo podobno sestavljeno valovanje kakor prej z dvemaizviroma (slika 19).

Povzetek

Najpreprostejse nihanje je sinusno nihanje, pri katerem se odmik (s)spreminja kakor sinusna funkcija casa. Odmik dolocajo trije parametri: am-plituda s0, krozna frekvenca ω in fazni kot δ. Krozna frekvenca je povezanaz nihajnim casom t0 in frekvenco ν, to je stevilom nihajev na casovno enoto,takole: ω = 2 π ν = 2 π/t0.

Amplituda hitrosti nihanja je povezana z amplitudo odmika kot v0 = ω s0,sicer pa je nihanje hitrosti premaknjeno glede na nihanje odmika za cetrtnihaja.

Lastne nihajne case nihal se da izmeriti ali pa izracunati. Lastni ni-hajni cas nihala na vijacno vzmet dolocata masa in koeficient vzmeti (t0 =

2 π√

m/k), matematicnega nihala dolzina vrvice (in tezni pospesek) (t0 =

2 π√

g/l), teznega nihala masa, vztrajnostni moment in lega osi glede na

tezisce (t0 = 2 π√

J/m g l), nihala na polzasto vzmet vztrajnostni moment

in spet koeficient vzmeti (t0 = 2 π√

J/D). Pri dovolj majhnih amplitudahso nihajni casi neodvisni od amplitude nihanja.

Energijo nihanja sestavljajo kineticna energija, proznostna energija inpotencialna energija. Pri nedusenem nihanju se razlicne vrste energije pre-tvarjajo ena v drugo, celotna energija pa ostaja stalna. Pri dusenem nihanjuse energija zmanjsuje zaradi trenja in upora, ki nihanje ustavljata.

Nihalom lahko nihanje tudi vsiljujemo. To je posebno ucinkovito, kadarse frekvenca vsiljevanja ujema z lastno frekvenco nihala, med njima pa jefazni premik cetrt nihaja. Tedaj je nihalo v resonanci z vsiljenim nihanjem.

Valovanje, pri katerem sredstvo niha vzdolz smeri razsirjanja, se imenujelongitudinalno. Ce je nihanje precno na smer razsirjanja, se imenuje trans-verzalno. Pri vsakem valovanju se izmenjujejo hrbti in doline. Potek va-lovnih grebenov kazejo valovne crte. Pravokotno na valovne crte pa tecejozarki. Razmik med dvema sosednjima hrbtoma (ali med poljubnima dvema

30

mestoma, ki nihata socasno) vzdolz zarka se imenuje valovna dolzina. Va-lovno dolzino λ, frekvenco ν = 1/t0 (t0 je nihajni cas) in hitrost razsirjanjavalovanja c povezuje zveza c = λ ν.

Posebej enostavno je sinusno valovanje, pri katerem je oblika valov sinusnafunkcija kraja in casa.

Hitrost, s katero se razsirja valovanje, je odvisna od lastnosti sredstva,lahko pa tudi od frekvence oziroma valovne dolzine. Pri valovanju na vrvije hitrost odvisna od sile, s katero je napeta vrv, in od linearne gostote vrvi(µ). Ni pa odvisna od frekvence.

Po vrvi, ki jo tresemo, se razsirja potujoce valovanje. Skupaj z valova-njem, ki se odbije na drugem koncu vrvi, se lahko sestavi v stojece valovanje.Pojav, pri katerem se sestavita dve valovanji, imenujemo interferenca.

Valovanje, npr. na vodi, se lahko na steni odbije. Pri odboju velja odbojnizakon: vpadni kot je enak odbojnemu.

Ce je hitrost valovanja v razlicnih obmocjih sredstva razlicna, se valovanjena meji obmocij lomi. Pri tem velja lomni zakon: sin α/ sin β = c/c′.

Valovanje se uklanja na oviri, v kateri je odprtina; to pomeni, da se zaodprtino razleze tudi v obmocje geometrijske sence. Uklon je tem bolj izrazit,cim manjsa je velikost odprtine v primerjavi z valovno dolzino. Odprtina, kije zelo majhna v primerjavi z valovno dolzino, deluje kot nov izvir valovanja.

Na vrvi, ki je na obeh koncih privezana, lahko vzbudimo lastno nihanje,tj. stojece valovanje, pri katerem je dolzina vrvi enaka celemu mnogokratnikupolovicne valovne dolzine.

Valovanji, ki izhajata iz dveh rez, interferirata. Pri tem dobimo v neka-terih smereh ojacene curke valovanja, v drugih vozle.

31