TEORI HIMPUNAN

TEORI HIMPUNAN Himpunan adalah kumpulan obyek Obyek dalam sebuah himpunan disebut

anggota atau unsur atau elemen Penulisan himpunan

- Listing Method- Description Method

Listing MethodA = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Description Method (notasi pembentuk himpunan)A = {x | 1 x 6 ; x bilangan bulat}

NOTASI HIMPUNANA = {1, 2, 3, 4, 5, 6}1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6 A = anggota himpunan = bukan anggota himpunan7 A, 8 A, 10 A.A B, = himpunan bagian|A| = banyaknya anggota

himpunan A, atau n(A) A = {a,b,c,d,e,f} ; |A| = 6;

Himpunan yang tidak mengandung anggota dinamakan himpunan kosong ;

Dilambangkan dengan atau { } Contoh: A= {} Himpunan kosong adalah

himpunan bagian dari setiap himpunan.

HIMPUNAN KOSONG

DIAGRAM VENN DAN HIMPUNAN SEMESTAHimpunan semesta: Himpunan

yang memuat semua anggota yang dibicarakan, disebut juga semesta pembicaraan

Contoh: S = semesta hewanA = hewan berkaki empatA = {kambing, sapi, kuda}

SA

. kambing. sapi

. kuda. ayam

. bebek

HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

Himpunan BagianHimpunan saling lepas (disjoin)Himpunan saling berpotongan

HIMPUNAN BAGIAN Definisi himpunan bagian : Jika setiap anggota

himpunan A adalah juga anggota himpunan B ; A B

Himpunan A = B jka dan hanya jika A B dan B A

Jika A dan B adalah himpunan, sedemikian rupa sehingga A B tetapi A B, maka A adalah proper subset dari himpunan B; A Bcontoh: A={1,2,3,4,5}; B={1,2,3}; maka B A

HIMPUNAN SALING LEPASBila v x A ≠ v x B

(himpunan A tidak memiliki anggota yang sama dengan himpunan B)

SA B

HIMPUNAN SALING BERPOTONGANBila x A = x BAda anggota himpunan A yang

juga anggota himpunan B

SA B

OPERASI DASAR DALAM HIMPUNAN Operasi dasar himpunan:

- Gabungan (union); A B = {x | x A atau x B}

- Irisan (intersection); A B = {x | x A dan x B}

- Komplemen (complement); c Ac = {x | x S; x A}

S

A B

A U B

S

A B

A n B

S

A n B

AB

S

A U B

BA

S

A n B = {}

BA

S

A U B

BAS

AC

A

AB = {x x A atau x B atau keduanya}

AB = {x x A dan x B}

AC = {xx S, x A}

OPERASI DASAR DALAM HIMPUNAN

S

A B

S

A n B

AB

S

A U B

BA

S

A U B

BA

(a) (b)

(c) (d) A-B = {}

Operasi beda = A-B = AnBC

S

8

Operasi dengan tiga atau lebih subset

7 C

4

6 B

2

A 5

3

1

CCC

CC

CC

CC

C

C

C

CBA8

CBA7

CBA6

CBA5

CBA4

CBA3

CBA2

CBA1

Operasi penjumlahan

A + B = (A B) – (A B) = (B-A) (A-B)

SA B

ATURAN DAN HUKUM OPERASI HIMPUNAN (GABUNGAN, IRISAN DAN KOMPLEMENTASI)1. A B = B A ; Hukum komutatif bagi gabungan2. A B = B A ; Hukum komutatif bagi irisan3. A (B C) = (A B) C ; Hukum asosiatif bagi gabungan4. A (B C) = (A B) C ; Hukum asosiatif bagi irisan5. A (B C) = (A B) (A C) ; Hukum distribusi bagi

gabungan6. A (B C) = (A B) (A C) ; Hukum distribusi bagi irisan7. Sc = 8. c = S9. (Ac)c = A10. A Ac = S11. A Ac = 12. (A B)c = Ac Bc ; Hukum De Morgan13. (A B)c = Ac Bc ; Hukum De Morgan

JUMLAH ANGGOTA DALAM HIMPUNAN BERHINGGA

n(A) = Jumlah anggota himpunan An(B) = Jumlah anggota himpunan Bn(C) = Jumlah anggota himpunan C

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) n(A B) = n(A) + n(B) ; n(A B) = 0 n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) -

n(A C) -n(B C) + n(A B C)

KARTESIAN PRODUKB = {a, b, c, d, e} ; A = {1, 2, 3}

A X B = {(1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (1,e), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (2,e), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d), (3,e)}

Misalkan ada sebuah relasi R = {(1,a), (1,b), (2,d), (2,e), (3,a),

(3,b)}Maka R ⊆ (A X B)(1,a) ∈ R(1,c) ∉ R

Inklusi - EksklusiDalam suatu survey pada 60 orang didapatkan bahwa 25 orang membaca majalah Newsweek, 26 membaca Fortune, 26 membaca majalah Time. Juga terdapat 9 orang membaca Newsweek dan Fortune, 11 membaca Newsweek dan time, 8 membaca Time dan Fortune, dan 8 tidak membaca majalah satu apapun. a. Tentukan jumlah orang yang membaca ke-3

majalah tersebut.b. Isilah jumlah orang yang tepat pada setiap

daerah pada diagram vennc. Tentukan jumlah orang yang membaca satu

majalah

a. Misalkan x = n (N n T n F), jumlah orang yang membaca ketiga majalah tersebut.

- Karena 8 orang tidak membaca satu majalah apapun maka:- N(N u T u F) = n(N) + n(T) + n(F) – n(NnT) – n(NnF) – n(TnF) + n(NnTnF) - sehingga: 52 = 25 + 26 + 26 -11 – 9 – 8 + x- x = 3Jadi yang membaca ketiga majalah tersebut adalah sebanyak 3 orang

b. Didapatkan 3 orang membaca majalah tersebut. Newsweek dan Time : 11 – 3 = 8 Newsweek dan Fortune: 9 – 3 = 6 Time dan Fortune: 8 – 3 = 5

Hanya newsweek: 25 – 8 – 6 – 3 : 8

Hanya time: 25 – 8 – 5 – 3 : 10 Hanya Fortune: 25 – 6 – 5 – 3 : 12

c. Yang membaca satu majalah:8 + 10 + 12 = 30

LATIHAN 1Diketahui

A= {1,3,5,7,9,11}B={2,4,6,8,10}C= {1,2,3,5,7,9}

Tentukan:• A B• A B C• A B C• A – B• A – C• Ac C

LATIHAN 2Buktikan

(A B) – (A B) = (B-A) (A-B)

Soal latihanMisalkan, jumlah mahasiswa pada suatu

kelas adalah 60 orang. 20 orang mahasiswa menyukai Statistika, 30 menyukai Matematika Diskrit, dan 10 orang menyukai Aljabar Linear. 7 orang menyukai Statistika dan Matematika Diskrit, 5 orang menyukai Matematika Diskrit dan Aljabar Linear, dan 10 orang tidak menyukai ketiga mata kuliah itu.

a. Tentukan jumlah mahasiswa yang menyukai ketiga mata kuliah tersebut !

b. Tentukan jumlah mahasiswa yang hanya menyukai satu mata kuliah ! 23

QUESTION ???

TERIMA KASIH