teori : metoda slope deflection · sedangkan deformasi yang tidak nol, karena a dan b adalah jepit...
TRANSCRIPT
TEORI : METODA SLOPE DEFLECTION
Prinsip Metoda Slope Deflection yaitu :
Momen ujung dari suatu batang (balok atau kolom ) adalah jumlah momen primer (momen ujung pada balok akibat beban-
beban yang bekerja dengan menganggap ujung-ujungnya tertumpu pada tumpuan jepit-jepit) + momen akibat perpindahan
ujung balok yang sesungguhnya (akibat rotasi dan defleksi (simbol=delta ).
Momen Primer, bisa dilihat pada gambar berikut :
Penurunan Rumus Momen Primer adalah sebagai berikut :
Catatan : Untuk Penggunaan dalam Teori Slope Deflection, Momen Primer yang digunakan khususnya yang tumpuan kiri
kanan adalah Jepit-Jepit .
Penurunan rumus metoda slope deflection :
Balok AB yang merupakan elemen dari sebuah struktur yang lengkap, akibat beban luar yang bekerja akan berdeformasi
seperti tergambar ( mengalami rotasi θA, θB dan Δ)
P
q
A B
αA’
B’α
θA
θB 1
4EI/L 2EI/L
L
EI
Δ
L
Kekakuan
Maka , persamaan momen ujung di A bisa kita tuliskan sebagai berikut :
MAB = ± MPAB + 4𝐸𝐼
𝐿 (θA - α) +
2𝐸𝐼
𝐿 (θB - α)
MAB = ± MPAB + 4𝐸𝐼
𝐿 (θA -
𝛥
𝐿 ) +
2𝐸𝐼
𝐿 (θB -
𝛥
𝐿 )
MAB = ± MPAB + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θA + 2θB - 6
𝛥
𝐿 )
Analog : MBA = ± MPBA + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θB + 2θA - 6
𝛥
𝐿 )
Jika bentuk deformasinya sebagai berikut,
A’
αθA
θB
B’
L
Δ
α
maka persamaan slope deflectionnya adalah sebagai berikut :
MAB = ± MPAB + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θA + 2θB + 6
𝛥
𝐿 )
MBA = ± MPBA + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θB + 2θA + 6
𝛥
𝐿 )
Contoh : Lakukan analisa struktur pada portal bidang tergambar berikut , dengan metoda SLOPE DEFLECTION !
SOAL A
BC
P=8000kgq=1400kg/m
3m
4 m
EIEI
2m 3m
2EI
A
D
1. Buat persamaan Momen-Momen ujung tiap balok/kolom ! (Lihat Rumus Momen ujung di Teori Slope Deflection).
2. Sebutkan deformasi2 di tiap titik (titik perletakan dan titik pertemuan balok dan kolom) yang bernilai tidak sama dengan nol !
3. Buat persamaan Statika sejumlah banyaknya deformasi yang bernilai tidak nol ! 4. Selesaikan persamaan2 Statika tersebut, Tuliskan hasil nilai deformasi yang tidak nol
tersebut (Nilai dinyatakan dalam EI) ! 5. Masukkan hasil nilai deformasi yang tidak nol tersebut ke dalam persamaan momen-
momen ujung pada poin no. 1 di atas, Hitung Nilai-Nilai Momen ujung tersebut ! 6. Hitung Reaksi-Reaksi Perletakan ! 7. Gambarkan Gaya-gaya Dalam : Axial, Shear dan Momen Lentur, Tuliskan Nilai, Arah
dan satuannya !
PENYELESAIAN : Langkah 1 :
Menentukan deformasi yang terjadi yang bernilai ≠ 0 , yaitu θB dan θC
Langkah 2 : Membuat persamaan momen ujung untuk semua balok dan kolom, ada 6 momen ujung :
MAB = ± MPAB + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θA + 2θB ± 6
∆𝐴𝐵
𝐿 ) = -
8000𝑥2𝑥32
52 +
𝐸𝐼
5( 2θB ) = - 5760 +
2
5 EI θB
MBA = ± MPBA + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θB + 2θA ± 6
∆𝐴𝐵
𝐿 ) = +
8000𝑥3𝑥22
52 +
𝐸𝐼
5( 4θB ) = + 3840 +
4
5 EI θB
MBC = ± MPBC + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θB + 2θC ± 6
∆𝐵𝐶
𝐿 ) = -
1400𝑥32
12 +
𝐸𝐼
3(4θB + 2θC) = -1050+
4
3 EI θB +
2
3 EI θC
MCB = ± MPCB + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θC + 2θB ± 6
∆𝐵𝐶
𝐿 ) = +
1400𝑥32
12 +
𝐸𝐼
3(4θC + 2θB) = +1050+
4
3 EI θC +
2
3 EI θB
MBD = ± MPBD + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θB + 2θD ± 6
∆𝐵𝐷
𝐿 ) = 0 +
2𝐸𝐼
4( 4θB ) = 2 EI θB
MDB = ± MPBD + 𝐸𝐼
𝐿 ( 4θD + 2θB ± 6
∆𝐵𝐷
𝐿 ) = 0 +
2𝐸𝐼
4( 2θB ) = EI θB
Langkah 3 : Membuat persamaan statika sebanyak jumlah deformasi yang ≠ 0 yaitu :
Σ Momen di B = 0 :
MBA + MBC + MBD = 0 2790 + 62
15 EI θB +
2
3 EI θC = 0
Σ Momen di C = 0 : MCB = 0 (1050 + 2
3 EI θB +
4
3 EI θC = 0) x ½
__________________________ -
2265 + 57
15 EI θB = 0 , maka θB = -
596.05
𝐸𝐼
Selanjutnya masukkan nilai θB tersebut ke salah satu persamaan maka didapatlah nilai
θC = - 489.47
𝐸𝐼
Langkah 4 : Menghitung nilai-nilai momen ujung : MAB = - 5998.42 kgm MBA = + 3363.16 kgm MBC = - 2171.05 kgm MCB = 0 kgm MDB = -596.05 kgm MBD = -1192.1 kgm Langkah 5 : Setelah nilai momen-momen ujung diperoleh dibuatlah FREE BODY diagram untuk mencari reaksi-reaksi perletakannya dibahas di kelas Langkah 6 : Menghitung dan menggambar gaya-gaya dalam dibahas di kelas
CONTOH SOAL LAIN : PORTAL2 MIRING
1) PORTAL GABLE seperti tergambar , P1 = 3000 kg , P2 = 2000 kg , EI konstan untuk semua batang
PENYELESAIAN :
Langkah ke 1 :
Mentukan jumlah deformasi yang tidak nol , Deformasi terdiri dari rotasi dan defleksi (baik arah horisontal maupun arah
vertikal) .
Rotasi selalu terjadi pada titik-titik pertemuan 2 balok dan tumpuan sendi dan rol.
Deformasi yaitu perpindahan titik searah tegak lurus dengan garis netralnya, untuk menghitung jumlah deformasi pada
model struktur portal maupun balok bisa menggunakan rumus :
n = 2s – ( 2 j + 2 sd + r + b )
dimana :
n = jumlah deformasi
s = jumlah titik kumpul dan perletakan
j = jumlah perletakan jepit
sd = jumlah perletakan sendi
r = jumlah perletakan roll
b = jumlah balok/kolom
Untuk soal di atas, maka n = 2x5 – ( 2x2 + 2x0 + 0 + 4 ) = 10 – 8 = 2 , misal dinotasikan : ∆1 dan ∆2 .
Sedangkan deformasi yang tidak nol, karena A dan B adalah jepit maka rotasinya = 0 jadi θA=0 dan θB=0 ,
Sedangkan titik C, D dan E rotasi tidak nol yaitu θC ≠ 0 , θD ≠θ , θE ≠θ
Karena portalnya miring, maka harus digambar terlebih dulu bentuk deformasi yang terjadi yaitu seperti gambar berikut :
Δ1 Δ2
LL
5 m
Δ2
Δ1
4 m
3 mβ
α
Δ2-Δ1
α
β
(Δ2-Δ1)/2
(5/3)(Δ2-Δ1)/2
5 m
3 m5 m
4 m 4 m
A B
C
D
E
P2
P1n = 2*5 – (2*2+2*0+0+4) = 2 ada 2
macam delta/pergoyangan
Deformasi yang timbul, dan tidak
berharga nol : θC,θD,θE,Δ1 dan Δ2
Sedangkan , θA = 0 dan θB = 0
AB
C C’
D
D’
E E’
EI
EI
EI
EI
Nilai deformasi untuk masing-masing balok adalah sebagai berikut :
ΔAC = - Δ1
ΔCD = - (5/3)(Δ2-Δ1)/2 = - 5/6 (Δ2-Δ1)
ΔDE = + (5/3)(Δ2-Δ1)/2 = +5/6 (Δ2-Δ1)
ΔBE = - Δ2
Langkah ke 2
Buat persamaan momen ujung sesuai dengan jumlah balok yang ada dikalikan 2, jadi ada 8 persamaan momen ujung
yaitu :
Persamaan Momen Ujung :
MAC = 𝐸𝐼
5 ( 4 θA +2 θc – 6
𝛥1
5 ) = EI (0,4 θc – 0,24 𝛥1 )
MCA = 𝐸𝐼
5 (4 θc + 2 θA – 6
𝛥1
5 ) = EI (0,8 θc – 0,24 𝛥1 )
MCD = 𝐸𝐼
5 ( 4 θc + 2 θD – 6
5/6(𝛥2−𝛥1)
5 ) = EI (0,8 θc +0,4 θD +0,2 𝛥1 – 0,2 𝛥2 )
MDC= 𝐸𝐼
5 ( 4 θD + 2 θC – 6
5/6(𝛥2−𝛥1)
5 ) = EI (0,4 θc +0,8 θD +0,2 𝛥1 – 0,2 𝛥2 )
MDE = 𝐸𝐼
5 ( 4 θD + 2 θE + 6
5/6(𝛥2−𝛥1)
5 ) = EI (0,8 θD +0,4 θE -0,2 𝛥1 + 0,2 𝛥2 )
MED = 𝐸𝐼
5 ( 4 θE + 2 θD + 6
5/6(𝛥2−𝛥1)
5 ) = EI (0,4 θD +0,8 θE -0,2 𝛥1 + 0,2 𝛥2 )
MEB = 𝐸𝐼
5 ( 4 θE + 2 θB – 6
𝛥2
5 ) = EI (0,8 θE – 0,24 𝛥2 )
MBE = 𝐸𝐼
5 ( 4 θB + 2 θE– 6
𝛥2
5 ) = EI (0,4 θE – 0,24 𝛥2 )
PERSAMAAN MOMEN UJUNG : Momen Ujung = matrix D (EI) x matrix B (deformasi) D(8x5) B(5x1) MAC 0,4 0 0 -0,24 0 θC MCA 0,8 0 0 -0,24 0 θD MCD 0,8 0,4 0 0,2 -0,2 θE MDC 0,4 0,8 0 0,2 -0,2 x EI ∆1 MDE = 0 0,8 0,4 -0,2 0,2 ∆2
MED 0 0,4 0,8 -0,2 0,2 MEB 0 0 0,8 0 -0,24 MBE 0 0 0,4 0 -0,24
Langkah ke 3 :
Buat persamaan statika sesuai jumlah deformasi yang tidak nol :
Karena ada 5 deformasi yang terjadi yang tidak bernilai nol, maka kita perlu menyusun 5 persamaan statika untuk
mencari nilai-nilai deformasi tersebut . Untuk itu, kita buat free body diagram sebagai berikut :
FREE BODY DIAGRAM
3 m
5 m
4 m 4 m
A
B
C
D
E
P2
P13 m
MAC
MCA
MCD
MDC MDE
H1
H2
H1
H2
H1+P1 H2
MEB
MBE
MED
H1+P1 H2
VA
VA VA
VB
VAVB
VB
VB
HCA = HAC = H1 = 𝑀𝐴𝐶+𝑀𝐶𝐴
5
HEB = HBE = H2 = 𝑀𝐵𝐸+𝑀𝐸𝐵
5
HCD = HDC = H1 + P1 karena HCA + HCD = P1
HED = HDE = H2 karena tidak ada beban luar di E
Selanjutnya mencari nilai VA dan VB : ∑ Momen di D = 0 MCD + MDC + VAx4 – (H1+P1)x3 = 0
VA = −𝑀𝐶𝐷−𝑀𝐷𝐶+3(𝐻1+𝑃1)
4 VA = −(
1
4)𝑀𝐶𝐷 − (
1
4)𝑀𝐷𝐶 + (
3
20) (𝑀𝐴𝐶 + 𝑀𝐶𝐴) + (
3
4)𝑃1)
∑ Momen di D = 0 MDE + MED - VBx4 – H2x3 = 0
VB = 𝑀𝐷𝐸+𝑀𝐸𝐷− 3𝐻2
4 VB = (
1
4) 𝑀𝐷𝐸+(
1
4)𝑀𝐸𝐷 − (
3
20) (𝑀𝐵𝐸+𝑀𝐸𝐵)
Selanjutnya dibuat 5 persamaan statika yaitu :
1. ∑ Momen di C = 0 MCA + MCD = 0 2. ∑ Momen di D = 0 MDC + MDE = 0 3. ∑ Momen di E = 0 MED + MEB = 0 4. ∑ H = 0 H1 + H2 + P1 = 0 5. ∑ V = 0 VA + VB – P2 = 0
PERSAMAAN STATIKA :
1) MCA + MCD =0 EI (1.6 θC + 0,4 θD – 0,04 ∆1 -0,2 ∆2) = 0 2) MDC+ MDE = 0 EI (0,4 θC + 1,6 θD + 0,4 θE ) = 0 3) MED+ MEB = 0 EI (0,4 θD + 1,6 θE – 0,2 ∆1 - 0,04 ∆2 ) = 0
4) H1 + H2 +P1 = 0 1
5 (MAC+MCA+MBE+MEB) + P1 = 0
𝐸𝐼
5 (1.2 θC – 0,48 ∆1 + 1,2 θE - 0,48 ∆2) + 3000 = 0
EI ( 0,24 θC + 0,4 θD – 0,04 ∆1 -0,2 ∆2) = -3000
5) VA + VB – P2 = 0
𝑉𝐴 = − (1
4) (𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶) + (
3
20) (𝑀𝐴𝐶 + 𝑀𝐶𝐴) + (
3
4)𝑃1)
𝑉𝐴 = − 𝐸𝐼
4 (1.2 θC + 1,2 θD + 0,4 ∆1 - 0,4 ∆2 ) +
3 𝐸𝐼
20 (1.2 θC - 0,48 ∆1 ) + (
3
4) 𝑋 3000
𝑉𝐴 = 𝐸𝐼(−0,12 θC – 0,3 θD - 0,172 ∆1 + 0,1 ∆2 ) + (3
4) 𝑋 3000
VB = +(1
4) (𝑀𝐷𝐸+𝑀𝐸𝐷) − (
3
20) (𝑀𝐵𝐸+𝑀𝐸𝐵)
VB = (𝐸1
4) (1.2 θD + 1,2 θE - 0,4 ∆1 + 0,4 ∆2 ) - (
3
20) ( 1,2 θE − 0,48 ∆1 )
VB = EI (0,3 θD + 0,12 θE - 0,1 ∆1 + 0,172 ∆2 )
VA + VB – P2 = EI (-0,12 θC + 0,12 θE - 0,272 ∆1 + 0,272 ∆2 ) + (3
4) 𝑋 3000 − 2000 = 0
VA + VB – P2 = EI (-0,12 θC + 0,12 θE - 0,272 ∆1 + 0,272 ∆2 ) = – 250 Pers.Statika = matrix A x matriks B (deformasi) = matriks C A x B = C (5x5) (5x1) (5x1) 1,6 0,4 0 -0,04 -0,2 θC 0 0,4 1,6 0,4 0 0 θD 0 EI 0 0,4 1,6 -0,2 -0,04 x θE = 0 0,24 0 0,24 -0,096 -0,096 ∆1 -3000 -0,12 0 0,12 -0,272 0,272 ∆2 -250 inv(A)= 0,9519 -0,3125 0,2981 -1,5625 0,1923 -0,3125 0,7812 -0,3125 0,7813 0 0,2981 -0,3125 0,9519 -1,5625 -0,1923 1,4183 -0,7812 1,7067 -9,1146 -1,9231 1,7067 -0,7812 1,4183 -9,1146 1,9231 B =inv(A)*C= nilai-nilai deformasi yang terjadi dalam 1/EI
θC = 4639,425 / EI θD = -2343,9 / EI θE = 4735,575 / EI ∆1 = 27824,575 / EI ∆2 = 26863,025 / EI
Hasil perhitungan SAP2000 adalah sebagai berikut ,(nilainya dalam 1/EI ) Deformasinya : titik C (join 2) dan titik E (join 4) hasilnya sama dengan hasil perhitungan dengan slope deflection
Momen-Momeng Ujung = matrix D* matriks B= nilai-nilai momen ujung dalam kgm MAC = -4822,128 kgm MCA = -2966,358 kgm MCD = 2966,29 kgm MDC = 172,96 kgm MDE = -173,2 kgm MED = 2658,59 kgm MEB = -2658,666 kgm MBE = -4552,896 kgm Hasil perhitungan SAP2000 adalah sebagai berikut , Momen-momen ujungnya :
2 ) PORTAL MIRING seperti terlihat dalam Gambar :
A B
C
D
4m 5m 3m
4m
α
EI
EI
2EI
P1
q
P1 = angka terakhir NIM dalam ton
q = angka kedua dari belakang NIM dalam ton/m
PENYELESAIAN : Langkah ke 1 :
Mentukan jumlah deformasi yang tidak nol , Deformasi terdiri dari rotasi dan defleksi (baik arah horisontal maupun arah
vertikal) .
Rotasi selalu terjadi pada titik-titik pertemuan 2 balok dan tumpuan sendi dan rol.
Deformasi yaitu perpindahan titik searah tegak lurus dengan garis netralnya, untuk menghitung jumlah deformasi pada
model struktur portal maupun balok bisa menggunakan rumus :
n = 2s – ( 2 j + 2 sd + r + b )
dimana :
n = jumlah deformasi
s = jumlah titik kumpul dan perletakan
j = jumlah perletakan jepit
sd = jumlah perletakan sendi
r = jumlah perletakan roll
b = jumlah balok/kolom
Untuk soal di atas, maka n = 2x4 – ( 2x2 + 2x0 + 0 + 3 ) = 1 , misal dinotasikan : ∆1.
Sedangkan deformasi yang tidak nol, karena A dan B jepit maka rotasinya = 0 jadi θA = 0 dan θB = 0 ,
Sedangkan titik C, D dan E rotasi tidak nol yaitu θC ≠ 0 , θD ≠θ , θE ≠θ
Karena portalnya miring, maka harus digambar terlebih dulu bentuk deformasi yang terjadi yaitu seperti gambar berikut :
Δ1.414Δ
Δ
5/4Δ
3/4
Δ
A B
C
D
C’
D’
4m 5m 3m
5m
4m
α
α
Δ
EI
EI
2EI
∆AC = -√2∆= -1.414∆
∆BD = -5/4∆= -1.25∆
∆CD = ∆+3/4∆= +1.75∆
P1
q
P1 = angka terakhir NIM dalam ton
q = angka kedua dari belakang NIM dalam ton/m Untuk P1 = 9000 kg dan q = 10.000 kg/m
MAC = 2𝐸𝐼
4√2 ( 4 θA + 2 θc – 6
√2𝛥
4√2 ) = EI (0,7071 θc – 0,53033𝛥 )
MCA = 2𝐸𝐼
4√2 ( 4 θC + 2 θA – 6
√2𝛥
4√2 ) = EI (1.4142 θc – 0,53033𝛥 )
MCD = - 1
12 𝑥10000𝑥52 +
𝐸𝐼
5 ( 4 θc + 2 θD + 6
1.75 𝛥
5 ) = -20833.3 + EI (0,8 θc +0,4 θD +0,42 𝛥)
MDC = + 1
12 𝑥10000𝑥52 +
𝐸𝐼
5 ( 4 θD + 2 θC + 6
1.75 𝛥
5 ) = +20833.3 + EI (0,4 θc +0,8 θD +0,42 𝛥)
MDB = 𝐸𝐼
5 ( 4 θD + 2 θB - 6
1.25 𝛥
5 ) = EI (0,8 θD - 0,3 𝛥)
MBD = 𝐸𝐼
5 ( 4 θB + 2 θD - 6
1.25 𝛥
5 ) = EI (0,4 θD - 0,3 𝛥)
PERSAMAAN MOMEN UJUNG : Momen Ujung = matrix D (EI) x matrix C (deformasi) + Mprimer D(6x3) C(3x1) M primer MAC 0,7071 0 -0.53033 0 MCA 1.4142 0 -0.53033 θC 0
MCD = 0,8 0,4 0.42 X EI θD + -20833,3 (- 1
12*q*52)
MDC 0,4 0,8 0.42 ∆ +20833,3 MDB 0 0,8 -0.3 0 MBD 0 0.4 - 0,3 0
PERSAMAAN STATIKA : 1) MCA + MCD = EI (2,2142 θC + 0,4 θD – 0,11033Δ) - 20833,3 = 0 2) MDC + MDB = EI (0.4 θC + 1.6 θD – 0,12 Δ) + 20833,3 = 0 3)
2EI
4√2
m EI 5m
5m
P1
q
2.5q 2.5q
MAC
MCA
MCD MDC
MDB
MBD
(MCD+MDC)/5 (MCD+MDC)/5
VA=2.5q-(MCD+MDC)/5 VB=2.5q+(MCD+MDC)/5
VA VB
HA
HA
HA x 4m=MAC+MCA+(VAx4m)
4m
4m
HB
HB
HBHB
ΣH = 0 : HA + HB +P1 = 0
HB x 4m=MBD+MDB-(VBx3m)
4m
3m
Σ H = 0 HA + HB + P1 = 0
¼(MAC + MCA ) + 2.5q – 1/5(MCD + MDC) + ¼(MBD + MDB) – ¾(2.5q + 1/5(MCD + MDC)) + P1 = 0 ¼(MAC + MCA ) +(0.625)q - 7/20(MCD + MDC) + ¼(MBD + MDB) + P1 = 0 EI ¼(2.1213 θC – 1.06066 Δ) – EI 7/20(1.2 θC + 1.2 θD + 0.84 Δ )+EI 1/4(1.2 θD – 0.6 Δ) + 0.625q + P1 = 0
EI (0.110325 θC – 0.12 θD – 0.709165 Δ) + 6250 + 9000 = 0
Jadi persamaan statika nya adalah sebagai berikut : Matrix A (3x3) C(3x1) B(3x1)
2.2142 0.4 -0.11033 θC 20833.3 (+ 1
12*q*52)
EI 0.4 1.6 0.12 x θD = -20833.3 (- 1
12*q*52)
0.110325 -0.12 -0.709165 Δ -15250 (- 0.625q - P1 )
Hasil :
Hasil SAP2000
3) PORTAL MIRING :
Δ36.
87
20.5
620.56
16.
310.3659Δ
0.83355Δ
4m 3m
2m
3m
2EI
EI
EI
CC’
D
D’
BA
3/5Δ4/5Δ
∆AC = -∆
∆BD = - (4/5∆)/cos16.31 = -0.83354∆
∆CD = +(3/5∆)-(4/5∆ . tg16.31)= +0.3659∆
P1 = angka terakhir NIM dalam ton
P2= angka kedua dari belakang NIM dalam ton
P1
P2
Selesaikan struktur tersebut (Hitung
reaksi-reaksi perletakannya,gaya-
gaya dalam dan deformasi yang
terjadi) dengan metoda :
1) Slope Deflection
2) SAP2000 vstudent
3m
20.56 53.1336.87
4/5Δ
0.83354Δ
1Δ
0.3659Δ
20.56
3/5Δ
106.31
Untuk P1 = 10.000 kg dan P2 = 1000 kg ( Ratih )
MAC = (-10.000*3*22/52)+ 𝐸𝐼
5 ( 4 θA + 2 θc – 6
𝛥
5 ) = - 4800 + EI (0,4 θc – 0,24 𝛥 )
MCA = (+10.000*2*32/52 ) +𝐸𝐼
5 ( 4 θC + 2 θA– 6
𝛥
5 ) = +7200 +EI (0,8 θc – 0,24 𝛥 )
MCD = 𝐸𝐼
5 ( 4 θc + 2 θD + 6
0.3659 𝛥
5 ) = EI (0,8 θc +0,4 θD +0,0878 𝛥)
MDC = 𝐸𝐼
5 ( 4 θD + 2 θC + 6
0.3659 𝛥
5 ) = EI (0,4 θc +0,8 θD +0,0878 𝛥)
MDB = 2𝐸𝐼
8.544 ( 4 θD + 2 θB - 6
0.83355 𝛥
8.544 ) = EI (0,93633 θD - 0,137 𝛥)
MBD = 2𝐸𝐼
8.544 ( 4 θB + 2 θD - 6
0.83355 𝛥
8.544 ) = EI (0,4682 θD - 0,137 𝛥)
PERSAMAAN MOMEN UJUNG : Momen Ujung = matrix D (EI) x matrix C (deformasi) D(6x3) C(3x1) MAC 0,4 0 - 0.24 - 4800 (- P1*3*22/52) MCA 0.8 0 - 0.24 θC + 7200 (+ P1*2*32/52) MCD = 0,8 0,4 0.0878 X EI θD + 0 MDC 0,4 0,8 0.0878 ∆ 0 MDB 0 0,93633 -0.137 0 MBD 0 0.4682 - 0,137 0 PERSAMAAN STATIKA : 1. MCA + MCD = EI ( 1.6 θC + 0,4 θD – 0,1522 Δ) + 7200 “(0.72P1)”= 0 2. MDC + MDB = EI (0.4 θC + 1.73633 θD – 0,0492 Δ) = 0
EI
EI 5m
3m
3m
P1
P2
5m
MAC
MCA
MCD
MDC
HC
HC
HA
VAVA
VA
HC
4m
MDB
MBD
HC
HC
VB
VA VB
3m
3m
2m
Σ MA = 0
MAC+MCA+ P1*3 -(HCx5m) = 0
HC = 1/5(MAC+MCA) +3/5P1
HC = EI ( 0.24 θC – 0.096Δ) +0.648*10000
Σ MC = 0
MCD+MDC+(VAx4m)-(HC)x3m = 0
VA = -¼ (MCD+MDC) + (9/20)P1 + ¼ 3(1/5(MAC+MCA))
VA = -¼ EI (1.2 θC + 1.2 θD + 0.1756 Δ ) + (9/20)P1 + 3/20 (0.24P1+1.2 EI θC – 0.48EIΔ)
VA = EI (-0.12 θC – 0.3 θD – 0.1159 Δ) + 0.486* 10.000
Σ MB = 0
MDB+MBD-(VBx3m)+(HC)x8m = 0
VB = 1/3(MDB+MBD) + 1/3 * 8(1/5(MAC+MCA)+3/5P1)
VB = EI 1/3 (1.40453 θD - 0.274 Δ ) + 8/15 EI (1.2 θC – 0.48 Δ) +8/15*0.24P1 + 8/5 P1
VB = EI (0.64 θC + 0.4682 θD – 0.3473 Δ) + 1.728*10.000 Σ V = 0
VA + VB = P2
EI (0.52θC + 0.1682 θD – 0.4632 Δ) + 2.214*10.000 = 1000
EI (0.52θC + 0.1682 θD – 0.4632 Δ) + 21140 = 0 Jadi persamaan statika nya adalah sebagai berikut : Matrix A (3x3) C(3x1) B(3x1)
1.6 0.4 -0.1522 θC -7200 EI 0.4 1.73633 -0.0492 x θD = 0
0.52 0.1682 -0.4632 Δ -21140 Hasilnya ,dikerjakan dengan matriks (nilai θC,θD dan Δ dalam 1/EI) :
Dikerjakan dengan SAP2000 :
Selanjutnya, nilai-nilai deformasi tersebut dimasukkan dalam persamaan momen ujung , hasilnya sbb. :
Hasil Momen ujung dari SAP2000 :
Δ36.87
20.56
20.56
16.31 0.3659Δ
0.83355Δ
4m 3m 5
m
3m
2EI
EI
EI
CC’
D
D’
BA
3/5Δ4/5Δ
∆AC = -∆
∆BD = - (4/5∆)/cos16.31 = -0.83355∆
∆CD = +(3/5∆)-(4/5∆ . tg16.31)= +0.3659∆
GENAP
P1 = angka terakhir NIM dalam ton
P2= angka kedua dari belakang NIM dalam ton
P1
P2
Selesaikan struktur tersebut (Hitung reaksi-reaksi perrletakannya dan
gaya-gaya dalam) dengan metoda :
A) Slope Deflection
B) SAP2000
Untuk P1 = 6000 kg dan P2 = 10.000 kg (Nicky )
MAC = 𝐸𝐼
5 ( 4 θA + 2 θc – 6
𝛥
5 ) = EI (0,4 θc – 0,24 𝛥 )
MCA = 𝐸𝐼
5 ( 4 θC + 2 θA– 6
𝛥
5 ) = EI (0,8 θc – 0,24 𝛥 )
MCD = 𝐸𝐼
5 ( 4 θc + 2 θD + 6
0.3659 𝛥
5 ) = EI (0,8 θc +0,4 θD +0,0878 𝛥)
MDC = 𝐸𝐼
5 ( 4 θD + 2 θC + 6
0.3659 𝛥
5 ) = EI (0,4 θc +0,8 θD +0,0878 𝛥)
MDB = 2𝐸𝐼
8.544 ( 4 θD + 2 θB - 6
0.83355 𝛥
8.544 ) = EI (0,93633 θD - 0,137 𝛥)
MBD = 2𝐸𝐼
8.544 ( 4 θB + 2 θD - 6
0.83355 𝛥
8.544 ) = EI (0,4682 θD - 0,137 𝛥)
PERSAMAAN MOMEN UJUNG : Momen Ujung = matrix D (EI) x matrix C (deformasi) D(6x3) C(3x1) MAC 0,4 0 - 0.24 MCA 0.8 0 - 0.24 θC
MCD = 0,8 0,4 0.0878 X EI θD MDC 0,4 0,8 0.0878 ∆ MDB 0 0,93633 -0.137 MBD 0 0.4682 - 0,137 PERSAMAAN STATIKA :
1) MCA + MCD = EI ( 1.6 θC + 0,4 θD – 0,1522 Δ) = 0 2) MDC + MDB = EI (0.4 θC + 1.73633 θD – 0,0492 Δ) = 0
EI 5m
EI 5m
3m
3m
P1P
2
5m
MAC
MCA
MCD
MDC
P1+HA
HA
HA
VAVA
VA
P1+HA
4m
MDB
MBD
P1+HA
P1+HA
VB
VA VB
Σ MA = 0
MAC+MCA-(HAx5m) = 0
HA = 1/5(MAC+MCA)
Σ MC = 0
MCD+MDC+(VAx4m)-(P1+HA)x3m = 0
VA = -¼ (MCD+MDC) + ¼ 3P1 + ¼ 3(1/5(MAC+MCA))
VA = -¼ EI (1.2 θC + 1.2 θD + 0.1756 Δ ) + ¾ P1 + 3/20 (1.2 θC – 0.48 Δ)
VA = EI (-0.12 θC – 0.3 θD – 0.1159 Δ) + ¾ x 6000Σ MB = 0
MDB+MBD-(VBx3m)+(P1+HA)x8m = 0
VB = 1/3(MDB+MBD) + 1/3 8P1 + 1/3 8(1/5(MAC+MCA))
VB = EI 1/3 (1.40453 θD - 0.274 Δ ) + 8/3 X 6000 + 8/15 (1.2 θC – 0.48 Δ)
VB = EI (0.64 θC + 0.4682 θD – 0.3473 Δ) + 16000
Σ V = 0
VA + VB = P2
EI (0.52θC + 0.1682 θD – 0.4632 Δ) + 20500 = 10000
EI (0.52θC + 0.1682 θD – 0.4632 Δ) + 10500 = 0
3)
Jadi persamaan statika nya adalah sebagai berikut : Matrix A (3x3) C(3x1) B(3x1)
1.6 0.4 -0.1522 θC 0 EI 0.4 1.73633 -0.0492 x θD = 0
0.52 0.1682 -0.4632 Δ -10500
Hasilnya :
Untuk P1 = 2000 kg dan P2 = 2.000 kg ( Ilham Hidayat )
MAC = 𝐸𝐼
5 ( 4 θA + 2 θc – 6
𝛥
5 ) = EI (0,4 θc – 0,24 𝛥 )
MCA = 𝐸𝐼
5 ( 4 θC + 2 θA– 6
𝛥
5 ) = EI (0,8 θc – 0,24 𝛥 )
MCD = 𝐸𝐼
5 ( 4 θc + 2 θD + 6
0.3659 𝛥
5 ) = EI (0,8 θc +0,4 θD +0,0878 𝛥)
MDC = 𝐸𝐼
5 ( 4 θD + 2 θC + 6
0.3659 𝛥
5 ) = EI (0,4 θc +0,8 θD +0,0878 𝛥)
MDB = 2𝐸𝐼
8.544 ( 4 θD + 2 θB - 6
0.83355 𝛥
8.544 ) = EI (0,93633 θD - 0,137 𝛥)
MBD = 2𝐸𝐼
8.544 ( 4 θB + 2 θD - 6
0.83355 𝛥
8.544 ) = EI (0,4682 θD - 0,137 𝛥)
PERSAMAAN MOMEN UJUNG : Momen Ujung = matrix D (EI) x matrix C (deformasi) D(6x3) C(3x1) MAC 0,4 0 - 0.24 MCA 0.8 0 - 0.24 θC MCD = 0,8 0,4 0.0878 X EI θD MDC 0,4 0,8 0.0878 ∆ MDB 0 0,93633 -0.137 MBD 0 0.4682 - 0,137 PERSAMAAN STATIKA :
1. MCA + MCD = EI ( 1.6 θC + 0,4 θD – 0,1522 Δ) = 0 2. MDC + MDB = EI (0.4 θC + 1.73633 θD – 0,0492 Δ) = 0
EI 5m
EI 5m
3m
3m
P1
P2
5m
MAC
MCA
MCD
MDC
P1+HA
HA
HA
VAVA
VA
P1+HA
4m
MDB
MBD
P1+HA
P1+HA
VB
VA VB
Σ MA = 0
MAC+MCA-(HAx5m) = 0
HA = 1/5(MAC+MCA)
Σ MC = 0
MCD+MDC+(VAx4m)-(P1+HA)x3m = 0
VA = -¼ (MCD+MDC) + ¼ 3P1 + ¼ 3(1/5(MAC+MCA))
VA = -¼ EI (1.2 θC + 1.2 θD + 0.1756 Δ ) + ¾ P1 + 3/20 (1.2 θC – 0.48 Δ)
VA = EI (-0.12 θC – 0.3 θD – 0.1159 Δ) + ¾ x 2000Σ MB = 0
MDB+MBD-(VBx3m)+(P1+HA)x8m = 0
VB = 1/3(MDB+MBD) + 1/3 8P1 + 1/3 8(1/5(MAC+MCA))
VB = EI 1/3 (1.40453 θD - 0.274 Δ ) + 8/3 X 2000 + 8/15 (1.2 θC – 0.48 Δ)
VB = EI (0.64 θC + 0.4682 θD – 0.3473 Δ) + 5333.3333
Σ V = 0
VA + VB = P2
EI (0.52θC + 0.1682 θD – 0.4632 Δ) + 6833.333 = 2000
EI (0.52θC + 0.1682 θD – 0.4632 Δ) + 4833.333 = 0
3)
Jadi persamaan statika nya adalah sebagai berikut : Matrix A (3x3) C(3x1) B(3x1)
1.6 0.4 -0.1522 θC 0 EI 0.4 1.73633 -0.0492 x θD = 0
0.52 0.1682 -0.4632 Δ -4833.333 Hasilnya :