teori persamaan diferensial
DESCRIPTION
teori persamaan diferensialTRANSCRIPT
-
Teori Persamaan
Differensial
-
Silabus
Teorema eksistensi dan
ketunggalan solusi untuk sistem
linier orde pertama dan kedua,
syarat Lipschitz, kestabilan sistem
linier, kestabilan sistem otonom,
bidang fase sistem otonom
-
Pustaka
Boyce and di Prima, 1992, Elementary Diferential Equation and Boundary Value Problems, 5th edition, John Wiley
Grimshaw G, 1990, Nonlinear Ordinary Differential Equations, Blackwell Scientific Publications, Melbourne.
Kreyzig E, 1988, Advanced Engineering Mathematics, 6 th edition, John Wiley& Sons Inc, New York
Kartono, 2005, Maple untuk persamaan diferensial, edisi 2, Graha Ilmu, Yogyakarta.
-
Persamaan
Differensial (PD)
Suatu pers. yg memuat satu/lebih turunan dari variabel tak bebas thd variabel bebas.
Orde PD : turunan tertinggi dlm PD
Penyelesaian PD
1. Peny.Umum : memuat konstanta (c)
2. Peny. Khusus : menghilangkan c,
berdasarkan syarat awal (Masalah Nilai
Awal)
-
PERSAMAAN
DIFFERENSIAL
ORDE SATU
Bentuk umum :
(1)
Dimana f = fungsi dua variabel yang diberikan.
Sebarang fungsi y = g(t) yang memenuhi persamaan ini untuk semua t dalam suatu interval disebut solusi.
Tujuannya adalah untuk menentukan apakah fungsi-fungsi seperti ini ada dan jika ada metode apa yang
digunakan untuk menemukan solusinya.
ytfdtdy
,
-
Persamaan
Linear
Pers (1), jika fungsi f bergantung linear pada
variabel tak bebas y, maka menjadi
Dan persamaan ini disebut
PERSAMAAN LINEAR ORDE SATU
)()( tgytpdtdy
-
Contoh Pers Linear
Orde Satu
23
21
ydtdy
Selesaikan pers
(2)
dan tentukan:
A. bagaimana perilaku solusi untuk t yang cukup
besar.
B. solusi dalam grafik yang melalui titik (0, 2)
PENYELESAIAN
-
Pers. (2) diubah menjadi
Sehingga didapatkan
Maka atau
Jadi, solusinya adalah
23
y
dtdy
Contoh Pers Linear
Orde Satu
Ct
y 2
3ln
23t
ceey
23t
ceey
23t
cey
-
a. Jika c = 0, maka y = 3
Jika t maka y 3
b. Melalui (0,2)
subtitusikan t = 0 dan y = 2
diperoleh c = -1
sehingga adalah solusi yang melalui titik (0,2)
Contoh Pers Linear
Orde Satu
23t
ey
-
PD Orde 1 dg
koefisien konstan
Secara umum: (3)
Dimana r dan k adalah konstanta
Jika r 0 dan y -k/r, maka pers (3) menjadi
Maka
Dengan mengambil eksponensial pada kedua ruas, maka diperoleh
Didapatkan (4)
krydtdy
rrkydtdy
//
crtrky )/(ln
rtceerk
y
rtcerk
y
-
Perilaku
Solusi
Unt c = 0, y=-k/r disebut solusi setimbang (equilibrium solution) karena dy/dt=0
Untuk r0, maka ert membesar tak terbatas jika t bertambah dan grafiknya
akan menjauh dari garis y=-k/r jika t
-
FAKTOR-FAKTOR
INTEGRAL
Pers (4) ditulis menjadi
(5)
Dengan mendiferensialkan kedua ruas thd t,
didapatkan
Dg mengintegralkan kedua ruas pers diperoleh
pers(5) yg merupakan solusi dari pers (4).
Fungsi disebut faktor integral unt pers.(3)
cerk
ye rtrt
rtrt keye '
rte
-
PD bentuk
Kalikan dg sebuah fungsi yang belum diketahui(t)
Maka (6)
(t) haruslah memenuhi
Sehingga atau
)()( tgytpy
)()()()()( tgtytptyt
)()()( ttpt
)()()(
tptt
)()(ln tpt
dtd
-
Kedua ruas diintegralkan,maka diperoleh
Dg memilih k = 0, didapatkan fungsi paling
sederhana unt , yaitu
Pers.(6) menjadi
Maka
Atau (7)
kdttpt )()(ln
dttpt )(exp)(
)()()( tgtyt
cdttgtyt )()()(
)(
)()(
t
cdttgty
-
Interpretasi geometrik dr Pers.(7) disebut Integral Curves.
Diperlukan sebuah titik (x0, y0) yang dilalui oleh grafik, biasanya ditulis
y(t0)=y0 Yang disebut sebagai initial condition.
PD orde satu dengan sebuah initial condition disebut Initial Value Problem.
-
Contoh Masalah
Nilai Awal
Tentukan solusi dari masalah nilai awal dari PD
orde satu
Dengan nilai awal
PENYELESAIAN:
xeyy 2
75.0)0( y
-
Penyelesaian
p(x)=2 dan g(x) = exp(-x).
Sehingga faktor integral adalah
Didapatkan
Sehingga
maka
xedxx 22exp)( xxx eyeye 22 2
ceye xx 2
xx ceey 2
-
Subtitusikan nilai awal x = 0 dan y = 0.75
Sehingga diperoleh c = -0.25
Maka solusi dari PD dengan nilai awal (0, 0.75)
adalah xx eey 225.0
-
TUGAS!
Tentukan solusi dari PD orde satu dengan nilai awal berikut dan gambar grafiknya!
1.
2.
3.
4. Cari teorema yang menunjukkan bahwa PD mempunyai solusi dan solusinya adalah tunggal. Kemudian buktikan!
0)0(,2 yxxyy
0)1(,2 2 yxeyy x
2)0(,2 2 yeyy x