teoría axiomática general de agregados (i v )
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Teoría Axiomática General de Agregados (I V ). Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Octubre 2003. Contenido. Pares Ordenados Relaciones. Pares Ordenados. Df. EsParOrd. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Teoría Axiomática General de Agregados (IV)
Jorge Baralt-Torrijos
Universidad Simón BolívarOctubre 2003
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Contenido Pares Ordenados Relaciones
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Pares Ordenados
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Df. EsParOrd EsParOrd(x) =a y z u v (x = Par(z)(u)
u = Par(v)(y) z = Atm(y) )
EsParOrd(x) =s x es un par ordenado
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Ts. EsParOrd EsParOrd(x) !y !z !u !v (x = Par(z)(y)
y = Par(v)(u) z = Atm(u))
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Df. Prm Prm(x) = y =a z u v (x = Par(z)(u)
u = Par(v)(y) z = Atm(y))
Prm(x) =s el primer componente del par ordenado x
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Ts. Prm y Prm(x) = y !y Prm(x) = y y Prm(x) = y EsParOrd(x)
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Df. Sgd Sgd(x) = y =a z u v (x = Par(z)(u)
u = Par(y)(v) z = Atm(v))
Sgd(x) =s el segundo componente del par ordenado x
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Ts. Sgd y Sgd(x) = y !y Sgd(x) = y y Sgd(x) = y EsParOrd(x)
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Df. ParOrd ParOrd(y)(x) = z =a EsParOrd(z)
Prm(z) = x Sgd(z) = y ParOrd(y)(x) =s el par ordenado formado por y con xx,y =a ParOrd(y)(x)
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ParOrd(y)(x)
Atm(x) Par(y)(x)
ParOrd(y)(x)
x y
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Ts. ParOrd z ParOrd(y)(x) = z !z ParOrd(x) = z EsParOrd(x) x = ParOrd(Sgd(x))(Prm(x)) ParOrd(y)(x) = z (ParOrd(v)(u) = z x = u y = v) ParOrd(y)(x) = z (ParOrd(x)(y) = z x = y) x = ParOrd(y)(y) x = Atm(Atm(y))
(EsIndivQ(y) x = y) EsIntegrante(x) EsIntegrante(y) z ParOrd(y)(x) = z x ParOrd(b)(a) = x
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Df. ParInv ParInv(x) = y =a EsParOrd(x)
y = ParOrd(Prm(x))(Sgd(x))ParInv(x) =s el par inverso del par ordenado x
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Ts. ParInv y ParInv(x) = y !y ParInv(x) = y ParInv(x) = y EsParOrd(y) ParInv(y) = x
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Df. ParSubyac ParSubyac(x) = y =a EsParOrd(x)
y = Par(Sgd(x))(Prm(x)) ParSubyac(x) =s el par subyacente al par ordenado x
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Ts. ParSubyac y ParSubyac(x) = y !y ParSubyac(x) = y ParInv(x) = y ParSubyac(y) = ParSubyac(x)
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Relaciones
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Df. EsRelacion EsRelacion(x) =a EsAgregado(x)
y (y x EsParOrd(y))EsRelacion(x) =s x es una relación
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Ts. EsRelacion EsIndividuo(x) ¬ EsRelacion(x) EsRelacion(0Z) EsRelacion(x) EsMinimal(x) x = 0Z EsRelacion(x) EsRelacion(y)
EsRelacion(Dif(y)(x)) EsRelacion(Intsc(y)(x)) EsRelacion(UnRel(z)(y)(x))
EsRelacion(x) EsParte(x)(y) EsRelacion(y)
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Df. PrC PrC(y)(x) = z =a EsAgregado(z)
w (w z EsParOrd(w) Prm(w) x Sgd(w) y
)PrC(y)(x) =s el producto cartesiano por y de x
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Ts. PrC (1) PrC(y)(x) = z EsRelacion(z) PrC(y)(x) = 0Z EsMinimal(x) EsMinimal(y) PrC(y)(x) = z PrC(x)(y) = z z = 0Z x = y
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Ax. de Producto Cartesiano z PrC(y)(x) = z
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Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano
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Ts. PrC (2) EsAgrupacion(x) (PrC(y)(x) PrC(z)(x) y z) EsAgrupacion(x) (PrC(x)(y) PrC(x)(z) y z) PrC(Dif(z)(y))(x) = Dif(PrC(z)(x))(PrC(y)(x)) PrC(Intsc(z)(y))(x) = Intsc(PrC(z)(x))(PrC(y)(x)) PrC(UnEn(u)(z)(y))(x) =
UnEn(PrC(u)(x))(PrC(z)(x))(PrC(y)(x))
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Df. Rot Rot(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y u v w (ParOrd(v)(ParOrd(u)(w)) = z ParOrd(w)(ParOrd(v)(u)) x ) )Rot(x) =s la rotación de x
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Ts. Rot y (y x EsParOrd(y) ¬EsParOrd(Prm(y))
Rot(x) = 0Z y (y x ¬EsParOrd(y)) Rot(x) = 0Z EsMinimal(x) Rot(x) = 0Z Rot(x) = y EsRelacion(y)
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Ax. de Rotación y Rot(x) = y
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Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación
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Df. Trp Trp(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y u v w (ParOrd(w)(ParOrd(u)(v)) = z ParOrd(w)(ParOrd(v)(u)) x ) )Trp(x) =s la transposición de x
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Ts. Trp y (y x EsParOrd(y) ¬EsParOrd(Prm(y))
Trp(x) = 0Z
y (y x ¬EsParOrd(y)) Trp(x) = 0Z EsMinimal(x) Trp(x) = 0Z Trp(x) = y EsRelacion(y)
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Ax. de Transposición y Trp(x) = y
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Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición
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Df. Dom Dom(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y u (u x EsParOrd(u) Prm(u) = z
) )Dom(x) =s el dominio de x
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Ts. Dom y (y x ¬EsParOrd(y)) Dom(x) = 0Z EsMinimal(x) Dom(x) = 0Z Dom(x) = y EsAgregado(y)
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Ax. de Dominio y Dom(x) = y
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Resumen de Axiomas 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio
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Df. Inv Inv(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y EsParOrd(z) ParInv(z) x) Inv(x) =s la inversa de x
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Ts. Inv Inv(x) = Dom(Trp(PrC(x)(x))) y Inv(x) = y y (y x ¬ EsParOrd(y)) Inv(x) = 0Z EsMinimal(x) Inv(x) = 0Z EsRelacion(Inv(x))
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Df. Rng Rng(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y u ParOrd(z)(u) x) Rng(x) =s el rango de x
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Ts. Rng Rng(x) = Dom(Inv(x)) y Rng(x) = y y (y x ¬ EsParOrd(y)) Rng(x) = 0Z EsMinimal(x) Rng(x) = 0Z EsAgregado(Rng(x))
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Df. Cmp Cmp(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y z Dom(x) z Rng(x)) Cmp(x) =s el campo de x
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Ts. Cmp Cmp(x) = y y = Union(Dom(x))(Rng(x)) y (y x ¬ EsParOrd(y)) Cmp(x) = 0Z EsMinimal(x) Cmp(x) = 0Z Cmp(x) = y EsAgregado(y)
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Df. Nucleo Nucleo(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y EsParOrd(z) z x) Nucleo(x) =s el núcleo de x
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Ts. Nucleo Nucleo(x) = Inv(Inv(x)) y Nucleo(x) = y y (y x ¬ EsParOrd(y)) Nucleo(x) = 0Z EsMinimal(x) Nucleo(x) = 0Z EsRelacion(Nucleo(x)) Inv(x) = Inv(Nucleo(x)) Dom(x) = Dom(Nucleo(x)) Rng(x) = Rng(Nucleo(x)) Nucleo(x) = Nucleo(Nucleo(x)) EsRelacion(x) x = Nucleo(x)
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Df. RstrP RstrP(y)(x) = z =a EsAgregado(z)
u (u z EsParOrd(u) u x Prm(u) y
)RstrP(y)(x) =s la restricción primaria en y de x
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Ts. RstrP RstrP(y)(x) = Intsc(PrC(Rng(x))(y))(x) z RstrP(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) RstrP(y)(x) = 0Z RstrP(y)(x) x Dom(RstrP(y)(x)) y RstrP(y)(x) = RstrP(y)(Nucleo(x))
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Df. RstrS RstrS(y)(x) = z =a EsAgregado(z)
u (u z EsParOrd(u) u x Sgd(u) y
)RstrS(y)(x) =s la restricción secundaria en y de x
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Ts. RstrS RstrS(y)(x) = Inv(RstrP(y)(Inv(x))) z RstrS(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) RstrS(y)(x) = 0Z RstrS(y)(x) x Rng(RstrS(y)(x)) y RstrS(y)(x) = RstrS(y)(Nucleo(x))
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Df. Rstr Rstr(y)(x) = z =a EsAgregado(z)
u (u z EsParOrd(u) u x Prm(u) y Sgd(u) y
)Rstr(y)(x) =s la restricción de x en y
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Ts. Rstr Rstr(y)(x) = RstrS(y)(RstrP(y)(x)) z Rstr(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) Rstr(y)(x) = 0Z Rstr(y)(x) x Dom(Rstr(y)(x)) y Rng(Rstr(y)(x)) y Rstr(y)(x) = Rstr(y)(Nucleo(x))
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Df. Img Img(y)(x) = z =a EsAgregado(z)
u (u z v (EsParOrd(v) v y
Prm(v) xSgd(v) = u )
) Img(y)(x) =s la imagen según y de x
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Ts. Img Img(y)(x) = Rng(RstrP(x)(y)) z Img(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) Img(y)(x) = 0Z Img(y)(x) Rng(y) Img(Nucleo(y))(x) = Img(y)(x)
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Df. ImgP ImgP(y)(x) = z =a EsAgregado(z)
u (u z v (EsParOrd(v) v y
Prm(v) = xSgd(v) = u )
) ImgP(y)(x) =s la imagen puntual según y de x
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Ts. ImgP ImgP(y)(x) = Img(y)(Atm(x)) z ImgP(y)(x) = z EsMinimal(y) ImgP(y)(x) = 0Z ImgP(y)(x) Rng(y) ImgP(Nucleo(y))(x) = ImgP(y)(x)
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Df. PImg PImg(y)(x) = z =a EsAgregado(z)
u (u z v (EsParOrd(v) v y
Prm(v) = uSgd(v) x )
)PImg(y)(x) =s la preimagen según y de x
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Ts. PImg PImg(y)(x) = Dom(RstrS(x)(y)) z PImg(y)(x) = z EsMinimal(x) EsMinimal(y) PImg(y)(x) = 0Z PImg(y)(x) Dom(y) PImg(Nucleo(y))(x) = PImg(y)(x)
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Df. PImgP PImgP(y)(x) = z =a EsAgregado(z)
u (u z v (EsParOrd(v) v y
Prm(v) = uSgd(v) = x )
) PImgP(y)(x) =s la preimagen puntual según y de x
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Ts. PImgP PImgP(y)(x) = PImg(y)(Atm(x)) z PImgP(y)(x) = z EsMinimal(y) PImgP(y)(x) = 0Z PImgP(y)(x) Dom(y) PImgP(Nucleo(y))(x) = PImgP(y)(x)