Tarea 1

Mecanica Cuantica y Relatividad especial

Se entrega el Martes 3 de Marzo

1. Una cuerda de longitud a, masa por unidad de longitud y tensionT esta amarrada en sus dos extremos. El lagrangiano que describe laevolucion temporal de los desplazamientos transversales y(x, t) es

L =

a0

dx[

2

(yt

)2 T

2

(yx

)2](1)

donde x identifica la posicion a lo largo de la cuerda medida desde unextremo de la misma. Expresando el desplazamiento y(x, t) como unaexpansion de Fourier de la forma

y(x, t) =

2

a

n=1

sin(npix

a)qn(t) (2)

muestra que el lagrangiano se puede escribir como,

L =n=1

[2q2n

T

2

(npixa

)2q2n

](3)

A partir de esta expresion encuentra las ecuaciones de movimiento ymuestra que la cuerda es equivalente a un numero infinito de osciladoresarmonicos desacoplados con frecuencia

n =

T

(npia

)(4)

2. Muestra que la combinacion

2p0(3)(~p ~p) 2p0(p1 p1)(p2 p2)(p3 p3) (5)es invariante bajo rotaciones y bajo empujones.

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3. i) Obten una expresion explcita para el propagador de una partculalibre no relativista,

x|x = ~x|eiH(tt)|~x (6)con H = p2/2m, llevando a cabo la integral tridimensional correspon-diente (

d3p).

ii) Ahora para el caso de la partcula libre relativista, muestra que elpropagador de Feynman

G(x, x) = i

d4p

(2pi)4eip(x

x)

p2 m2 + i (7)

es una funcion de Green no de it H , sino del operador de Klein-Gordon m2.

4. Empleando la definicion de los seis generadores de Lorentz como ma-trices J () 4 4, con componentes

i(J ()

)

= (8)

deduce las relaciones de conmutacion del algebra de Lie so(3, 1)

[J (), J ()

]= i(J () + J () J () J ()

). (9)

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