231Recontando a computabilidadeRetelling the computabilityISABEL CAFEZEIROInstituto de Computao | UFF EDWARD HERMANN HAEUSLERDepartamento de Informtica | PUC-RioHENRIQUE LUIZ CUKIERMANPrograma de Engenharia de Sistemas e Computao COPPE/UFRJ Programa de Ps-Graduao em Histria das Cincias e das Tcnicase Epistemologia | UFRJ Escola Politcnica | UFRJ IVAN DA COSTA MARQUESPrograma de Ps-Graduao em Histria das Cincias e das Tcnicase Epistemologia | UFRJRESUMOEstetextorecontaahistria dacomputabilidadenoperodode1900a 1936 sob a luz dos estudos de Cincia-Tec-nologia-Sociedade.Anarrativaenfocaas contingncias presentes no estabelecimento do programa de Hilbert, e o desenrolar dos acontecimentosataapresentaodos teoremasdeGdeleaformulaodatese de Church. Adota uma abordagem interdis-ciplinar,queaplica,experimentaediscute diversas estratgias de acompanhamento da construodosconhecimentoscientcos tendo a computabilidade como foco. Palavras-chavecomputabilidade, programa deHilbert,estudosdecincia,tecnologiae sociedade,ABSTRACTThis article retells the history of computabiltyintheperiodfrom1900to1936 underthelightoftheScienceand Technology Studies. The narrative focuses on the contingen-cies at the time of the establishment of Hilberts Program, and follows the unfolding of the events until Gdels Theorem and the formulation of the Church Thesis. It takes an interdisciplinary ap-proach, which applies, experiments and discusses different strategies to follow the construction of scienticknowledgeshavingcomputabilityas its focus. Key wordscomputability, Hilberts program, studies of science, technology and society.1. IntroduoA rea de estudos de Cincias, Tecnologia e Sociedade (CTS), ou sociologiadoconhecimento,sedimenta-sesobreumafortereflexo acerca da prtica cientfica, da produo dos conhecimentos cientficos e da produo dos conhecimentos que produzem tecnologias. Em vez de dedicar-se a fatos e artefatos j prontos, focaliza-se no processo pelo qual se d a construo de fatos e artefatos cientfico-tecnolgicos. Apesar de sua origem recente (a partir da segunda metade do sculo XX), j reconhecida e formalizada em diversas e renomadas instituies internacionais de ensino e pesquisa. Intrinsecamente interdisciplinares, os Estudos CTS procuram fazer uma ponte entre as cincias humanas e as cincias exatas, e especialmente as engenharias. Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010232A rea de Estudos da Computabilidade motivada pela constatao de que existem certos problemas (os cha-mados no computveis) que no podem ser solucionados pelo computador. Sendo assim, cabe abordar o conceito de computvel, ou seja, a compreenso da classe de problemas que podem ser resolvidos atravs de programas computacionais. Ao longo dos anos, vrias propostas foram feitas na tentativa de caracterizar essa classe. Algumas tentativas datam de 1930, antes mesmo do surgimento do primeiro computador, e visavam, na verdade, caracterizar a classe de problemas cabveis de serem resolvidos em um sistema formal. Outras, algumas vezes focando o mecanis-mo humano de computar, procuravam representar, atravs de uma mquina idealizada, o processo humano. At o presente momento h controvrsias sobre a possibilidade de provar formalmente que alguma dessas tentativas tenha realmente caracterizado a classe dos problemas computveis, mas surpreendente o fato de muitas das tentativas bem-sucedidas, concretas ou abstratas, anteriores ou posteriores inveno do computador, terem sido provadas equivalentes.Particularmente,asabordagenspropostasantesdosurgimentodoprimeirocomputadorsugerema independncia do conceito com relao evoluo tecnolgica. O presente texto procura recontar a histria da computabilidade sob a tica dos Estudos CTS. Para tal finalidade, torna-se necessrio um deslocamento nas nfases corriqueiramente retratadas em textos da Cincia de Computao a determinados fatos e atores. Por este motivo, no se ver aqui uma apresentao de todos os fatos importantes que se sucederam no desenrolar da histria da computabilidade, nem tampouco uma referncia a todos os matemticos e filsofos que tomaram parte desse processo.1 O que apresentaremos um dilogo entre a computabilidade e os Estudos CTS, com o objetivo mtuo de iluminar, atravs da histria da computabilidade, o processo de construo do conhecimento do qual os Estudos CTS se ocupam, e esclarecer, atravs da compreenso do processo de construo de resultados da computabilidade, incompreenses frequentes a respeito da computabilidade. Precisamente, o perodo da histria da computabilidade narrado ilustra: 1)Asubjetividadedoconceitodeverdade:Aoabandonaranoodedescobertaeassumiraconstruode conhecimento (fatos cientficos e artefatos tecnolgicos), abre-se a possibilidade ao cientista de desconfiar das evi-dncias que observa. A noo de descoberta pressupe a existncia de coisas-em-si e atribui ao cientista o papel de compreender e explicitar o que fato verificvel em uma natureza-l-fora. Em contrapartida, a noo de construo substitui a preexistncia dos fatos pela sua historicidade e a confirmao absoluta na natureza pelo acordo frente a possveis relativizaes. Assim, possvel compreender a verdade como algo que se estende por um perodo de tempo e finda ante o surgimento de um novo paradigma. Por exemplo, entre 1900 e 1931 perdurou a verdade de que a qualquer sentena formalizada caberia uma prova. 2) A cincia como uma construo coletiva: Acompanhamos o empenho do cientista em convencer seus pares da validade de suas afirmaes. Cada citao bibliogrfica e cada pesquisador que adere a suas propostas empurram as afirmaes rumo verdade e a fortalecem. Na histria da computabilidade, essa movimentao explcita: Hilbert convocou os cientistas a se unirem em torno de sua proposta. A observao desse movimento auxilia na desmistifica-o da cincia neutra, ao mostrar que h uma bagagem pessoal e situada que o cientista embute na construo dos fatos cientficos. 3) O trabalho dentro e fora dos laboratrios na construo da cincia e da tecnologia: Verifica-se que a cons-truo da cincia d-se simultaneamente dentro e fora dos laboratrios. Ao mesmo tempo que efetua clculos, cria mecanismos e desenvolve mtodos, o cientista tambm poltico e necessita negociar no somente com seus pares, mas tambm com a sociedade.2 Hilbert, por exemplo, manifestou-se em discurso radiofnico e apresentou suas ideias formalistas a um pblico amplo. 4) O processo de naturalizao/desnaturalizao de ideias e artefatos: Quando h um consenso entre cientistas/engenheiros que colaboram na construo de um fato/artefato, dizemos que tal fato/artefato encerrou-se como uma caixa-preta, isto , no h mais problematizaes a respeito de suas questes. Sendo assim, o fato/artefato encontra-se de tal forma consolidado que pode ser estudado como se fizesse parte da natureza. A desnaturalizao processo inverso ocorre quando alguma controvrsia levantada a respeito do fato/artefato que se supunha consolidado. Gdel, ao reabrir a caixa preta da abordagem formalista, desnaturaliza a proposta de Hilbert.Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 20102335)Opapeldanatureza(ousociedade)emdesempatarcontrovrsiascientficas:Enquantoperduramascon-trovrsias, os cientistas buscam a verdade: investigam a natureza e procuram formular definies que lhes paream apropriadas. Porm, no calor das discusses, a natureza mostra-se incapaz de apontar o caminho para a representao adequada da realidade. Uma vez formulada, compreendida e aceita sua definio, a realidade aparece como descoberta, como se no houvesse sido produzida em decorrncia da prpria definio. A realidade o que resiste, no sentido da proposio que melhor resiste s disputas dos cientistas, que melhor resolve as controvrsias consideradas relevantes. Na histria da computabilidade havia um consenso entre Church, Turing e outros a respeito do que se buscava definir. Disputasacirradasgiravamemtornodequalformalismomelhorseadequariaaoquesesupunhaserarealidade. O formalismo eleito definiria a realidade. Por outro lado, os Estudos CTS nos permitem uma melhor compreenso da histria da computabilidade, j que: 1) Desfazem categorias implicitamente assumidas, como as de sucesso e fracasso: O enfoque nos enreda-mentos de atores humanos e no humanos e no carter coletivo da construo do conhecimento evita a solidificao de certas categorias que surgem quando a histria focada em teoremas e resultados. comum a identificao de David Hilbert como protagonista da catstrofe3, em oposio a Gdel, que teria ento permitido que a cincia retomasse o caminho da verdade. O fato de que para Gdel chegar a seus resultados seria preciso Hilbert levantar todo aquele movimento em prol da abordagem formalista, torna fraca a fora descritiva e explicativa das categorias de sucesso e fracasso. O enfoque nos enredamentos permite resgatar a integridade das ideias de Hilbert com relao ao momento histrico em que foram formuladas. Sucessos e fracassos, heris e viles da cincia surgem quando se pensa na cincia dirigida a metas. Muitas vezes o fracasso de uma meta no alcanada esconde resultados importantes surgidos de maneira perifrica. 2) Abalam a atribuio direta de autoria: A anlise da construo do conhecimento traz luz o conjunto de ma-temticos parceiros, colaboradores na consolidao de um resultado e apontam dificuldades para isolar invenes e descobertas individuais.4 Ao considerar a complexidade da histria e a riqueza de detalhes, os teoremas de Gdel deixam de ser de Gdel e passam a carregar consigo uma coleo de trabalhos que influenciaram de maneira decisiva os seus resultados. 3) Situam resultados matemticos em meio ao paradigma dominante das cincias: Acompanhar o processo de construo da computabilidade permite verificar a que ponto os efeitos da catstrofe ultrapassaram o domnio ma-temtico e ameaaram o paradigma dominante das cincias. Buscava-se a compreenso dos processos da natureza atravs do rigor da formalizao matemtica, que at ento se mostrava solidamente edificada. Porm a constatao relativa a certos sistemas formais de que se no so incompletos, so inconsistentes, levou a supor que, ou o aparato matemtico insuficiente para abraar a natureza, ou necessita ele prprio de melhor compreenso. Por essa pers-pectiva, entende-se a proliferao de interpretaes metafsicas para os teoremas de Gdel. Tais interpretaes no implicam que Gdel, ao formular suas ideias, tivesse em mente algo alm de sistemas formais sob certas condies, mas situam-se na perspectiva de que, uma vez divulgadas as ideias, as interpretaes posteriores so livres, indepen-dentes e fecundas.4) Abrem espao para analogias e metforas: Os Estudos CTS so inerentemente tradutores: propem a vinculao do conhecimento construdo em um domnio a outros domnios diferentes. No novo contexto, o conhecimento adapta-seproblematizaolocaletransforma-se,tornando-se,porvezes,irreconhecvel.5Aexpressodoconhecimento atravs de elementos de domnios diversos daquele em que foi concebido, o emprego do conhecimento fora do domnio onde foi concebido a partir da observao de semelhanas, e o uso do sentido figurado exercem um papel de grande importncia nas tradues, pois facilitam a compreenso por um determinado coletivo, promovendo a nebulizao de fronteiras entre as reas. Como consequncia, rejeita-se a concepo de coisas puras bem como o confinamento do conhecimento a respeito dessas coisas. Neste sentido, as diversas especulaes e interpretaes a respeito do infinito, dos paradoxos, dos teoremas de Gdel, dentre outros cumprem com um importante papel: disseminam, despertam o interesse, fomentam discusses a respeito desses temas. Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 20102345) Mostram a indissociabilidade entre a definio e o objeto definido (ou entre o contexto e o contedo): O objeto definido , ao mesmo tempo, causa e consequncia (efeito) da definio. A recorrncia no quadro de Velzquez (seo 5.4) mostra como a realidade e a representao se fundem na imagem: ao representar, o pintor intervm na prpria realidadequerepresenta.Otrabalhodoscientistasnaconstruodasdefiniesmostraque,aodefinir,cientistas intervm na realidade que definem (re)criando o objeto focado. Assim, a tese de Turing verdadeira porque recria o objeto que define.6Este texto no pretende substituir trabalhos preexistentes, mas colocar-se ao lado deles. No pretende reafirmar fatoshistricos,masfazerumrecontodiferente,desconsiderandoasfronteirasentreasreasdeconhecimentoe abandonando o estudo focalizado em instituies, disciplinas ou objetos. Neste texto utilizam-se expresses comuns nos Estudos CTS, cujos significados so esclarecidos nas epgrafes seguintes aos subttulos. 2. O que computabilidade? A definio e o que se quer definir!The computable numbers may be described briefly as the real numbers whose expressions as a decimal are calculable by finite means. [...] According to my definition, a number is computable if its decimal can be written down by a machine.7 O termo computvel foi proposto por Alan Turing para designar a totalidade de nmeros reais cuja expanso decimal pode ser calculada atravs de recursos finitos. Sua proposta consistia em identificar os processos envolvidos pelo ser humano na atividade de computar um nmero. Para tanto, definiu um artefato terico, que chamou de mquina de computar, de maneira que todo nmero cuja expanso decimal pudesse ser obtida a partir de operaes da mquina seria chamado de nmero computado pela mquina. What are the possible processes which can be carried out in computing a number? indagava Turing em 1936. Na tentativa de definir o computvel, Turing deparou-se com o seguinte problema: Os nmeros computados pela m-quina realmente formam aquele conjunto que, intuitivamente, consideramos computvel? Para responder com preciso, precisariaprovarmatematicamentequetodososnmerosqueconsideramoscomputveispodemserobtidospela mquina. Desta maneira, a mquina computaria necessariamente todos os nmeros computveis. Por outro lado, seria tambm necessria a prova matemtica de que todos os nmeros que a mquina computa so considerados por ns nmeros computveis. Estaria ento provado que a mquina no computaria nada alm de nmeros computveis.No attempt has yet been made to show that the computable numbers include all numbers which would naturally be regarded as computable. All arguments which can be given are bound to be, fundamentally, appealstointuition,andforthisreasonratherunsatisfactorymathematically.TheargumentswhichI shall use are of three kinds. a. A direct appeal to intuition. b. A proof of the equivalence of two definitions (in case the new definition has a greater intuitive appeal). c. Giving examples of large classes of numbers which are computable.8 Face s dificuldades de estabelecer uma correspondncia exata entre o que se quer definir e a definio, Turing assumiu a tripla estratgia de: (a) apelar intuio ou seja, convencer o leitor por meio de argumentos informais de que a mquina proposta realmente capaz de reconhecer os nmeros computveis; (b) estabelecer correspondn-cias com outras definies que se proponham a definir o mesmo objeto tais correspondncias podem ser provadas formalmente, j que as definies a que Turing se refere so definies matemticas. A dificuldade reside em provar formalmente que as definies equivalentes de fato alcanam aquele objeto que se pretendia definir; (c) usar exem-plos convincentes novamente, um apelo informalidade. Turing esperava que seus exemplos convincentes fossem convincentes tambm para o leitor.Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 20102353. A abordagem formalista: uma caixa-pretaA expresso caixa-preta usada em ciberntica sempre que uma mquina ou um conjunto de comandos se revela complexo demais. Em seu lugar desenhada uma caixinha preta, a respeito da qual no preciso saber nada, seno o que nela entra e o que dela sai.9 A abordagem formalista caracteriza-se como um movimento protagonizado por David Hilbert, em que se concebia a matemtica como sistema puramente formal, consistindo de smbolos desprovidos de significado ou interpretao, cuja manipulao atravs de regras precisas e mecanismos finitrios10 conduziria prova da veracidade ou falsidade de todas as expresses que pudessem ser formuladas em tal sistema. Esse movimento iniciou-se no final do sculo XIX como consequncia do esforo em explicar certas incompreenses a respeito da prpria matemtica e teve seu declnio em 1931,11 quando Kurt Gdel demonstrou os teoremas da incompletude, que apontam a existncia de proposies formalizadas em certos sistemas cuja prova no se obtm no prprio sistema.Nestetextodesconstrumosaabordagemformalistacomocaixa-pretaeacompanhamossuareconstruo. Com esse propsito, seguiremos princpios e regras propostos por Bruno Latour: Estudamos a cincia em ao, e no a cincia ou a tecnologia pronta; para isso, ou chegamos antes que fatos e mquinas se tenham transformado em caixas-pretas, ou acompanhamos as controvrsias que as reabrem.12 3.1 O infinito, uma pedra no caminhoO nmero de pginas deste livro exatamente infinito. Nenhuma a primeira; nenhuma, a ltima. No sei porque esto numeradas deste modo arbitrrio. Talvez para dar a entender que os termos de uma srie infinita admitem qualquer nmero.13O conceito de infinito, que inspirou Borges, inquietava tambm os matemticos desde a Grcia Antiga, quando se evidenciou a incapacidade de expressar atravs de uma sequncia finita de algarismos (um nmero que pode ser escrito em um pedao de papel) a medida da diagonal do quadrado de lado 1. Aos gregos parecia improvvel que o tamanho de um objeto concreto, to bem definido e compreendido como a diagonal do quadrado de lado 1, fosse representado por um nmero cuja expresso no acaba. Hoje em dia, chamamos de irracionais os nmeros que no podem ser expressos por uma frao de inteiros, como o caso de 2, e tambm do enigmtico , cujo valor definido como a razo entre o permetro de uma dada circunferncia e seu dimetro. Segundo Boyer,14 h indcios de que, por volta de 1800 a.C. os egpcios j efetuavam clculos aproximados do valor desse nmero nas construes das pirmides. Ainda hoje desperta interesse devido ao seu carter altamente abstrato: possui o mesmo valor, qualquer que seja a circunferncia. Com relao incapacidade de ser expresso por uma sequncia finita, ainda mais curioso do que 2, j que esse ltimo pode ser identificado como soluo da equao x2 2 = 0, ao passo que ao primeiro no se atribuiu at hoje nenhum tipo de representao finita. Tambm na compreenso do tempo e espao, a noo de infinito inquietava os gregos. O paradoxo formulado por Zeno de Eleia (sculo V a.C.), por exemplo, levava a crer que o movimento impossvel quando tempo e espao so infinitamente subdivisveis: Aquiles e a tartaruga decidem apostar uma corrida de 100 metros. Aquiles corre 10 vezes mais rpido do que a tartaruga, e por isto, a tartaruga inicia com 81 metros de vantagem. Aquiles percorre rapidamen-te a distncia inicial que o separa da tartaruga, mas ao alcanar os 81 metros iniciais, a tartaruga j se encontrar 8 metros frente. Ao alcanar mais 8 metros frente, a tartaruga j ter avanado mais 0,8 metros, e assim Aquiles nunca alcanar a tartaruga. Tambm no sculo XIX, o confronto da observao dos fatos e a explicao matemtica demonstrava aos matemticos que o aparato matemtico da poca era insuficiente para formalizar alguns fenmenos. A compreenso matemtica do paradoxo viria atravs do conceito de sries, que tem como base o trabalho do mate-mtico Cauchy (1789-1857). A soma dos infinitos termos de uma P.G. chamada srie geomtrica. Sendo a1 o termo inicial e q a razo, dada pela frmula a1 / (1 q), quando q menor do que 1. Neste caso, a progresso descrita tem Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010236termo inicial 81 e razo 1/10, portanto, Aquiles e a tartaruga se encontrariam em 81 / (1 0,1) = 90 metros. O paradoxo de Zeno e a expresso da medida do quadrado de lado 1 ilustram o que se convencionou chamar deinfinitocompletadoouinfinitoatual,isto,umacoleoinfinitaqueenglobatodososseusmembros,em oposio a uma coleo que vai crescendo em direo ao infinito (infinito potencial). No primeiro caso, caracteriza-se o infinito como um objeto esttico acabado, enquanto no segundo caso transparece a noo de processo. Assim, a ideia do infinito completado parece surgir sempre que se procura expressar, atravs de meios finitos, uma coleo infinita, o que parece necessrio para que se possa falar do infinito. Literalmente, porm, infinito algo que no tem fim, e, portanto, no pode ser completado. A contradio que se evidencia quando se toma o termo literalmente no nos impede de assumir a metfora do infinito completado. Ambas as interpretaes (a literal e a metafrica) tambm esto presentes no paradoxo de Zeno e na medida da diagonal do quadrado de lado 1. No paradoxo de Zeno h uma confuso proposital entre a ideia literal e a ideia metafrica de movimento de um ponto para outro.15 A primeira consiste em passar fisicamente por todos os pontos, o que ser impossvel se for considerada uma quantidade infinita de pontos. A ideia metafrica consiste em conceber uma varivel cujo valor inicia em 0, e vai crescendo. Para ir de 0 a 1, precisa passar por , , ,..., n / (n+1), ... quer dizer, um processo que se estende em direo ao infinito. Na anlise da medida da diagonal do quadrado de lado 1, a ideia literal e a metafrica consistem no objeto geomtrico e na expresso de sua medida em expanso decimal.As incompreenses a respeito do infinito no sculo XIX no se resumiam noo de infinito completado. A possi-bilidade da existncia de diferentes infinitos, aliada s dificuldades e surpresas ao combinar ou operar o infinito de modo anlogo ao finito, despertaram o interesse dos matemticos da poca e at hoje causam estranheza. A formalizao do conceito de infinito,16 do matemtico Dedekind (1831-1916), permitiu o tratamento rigoroso do conceito: Diz-se que um sistema S infinito quando semelhante a uma parte dele mesmo, caso contrrio, S se diz sistema finito.17 A propriedade de ser semelhante parte de si prprio parece intrinsecamente contraditria. Como pode o todo ser semelhante sua parte? O prprio Euclides de Alexandria, por volta de 300 a.C., defendera na obra prima Os elementos: o todo maior do que a parte.18 Hoje em dia, essa semelhana expressa em termos de funo bijetora, e adota-se o mesmo conceito. Na linguagem moderna, diz-se: S infinito se existe uma bijeo f:S S, e S S'. A bijeo f(n) = n2, por exemplo, mostra que o conjunto dos quadrados, subconjunto prprio dos naturais, tem o mesmo tamanho que o conjunto dos naturais, sendo, portanto, o conjunto dos naturais, infinito. Intuitivamente, a sequncia 1, 4, 9, 16, 25, 36 etc. corresponde a 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc., e assim as duas sequncias tm o mesmo tamanho. A bijeo entre os nmeros naturais e seus quadrados foi expressa por Galileu, em 1638, na obra Dilogos sobre as duas novas cincias19.3.2 O infinito, sob o olhar de CantorEm matemtica a arte de perguntar mais valiosa do que a de resolver problemas 20Georg Cantor (1845-1918) surpreendeu a comunidade matemtica quando, em 1874, utilizando argumentos bastante intuitivos, demonstrou a existncia de infinitos de diferentes tamanhos, em concordncia com o trabalho de Dedekind. At ento, admitiam-se grandezas infinitamente grandes e grandezas infinitamente pequenas. Alm disso, Galileu, no sculo XVII, afirmara que as noes menor, maior ou igual no faziam sentido para infinitos.21 Cantor, porm, apresentou comunidade uma hierarquia de conjuntos infinitos. No miolo dela encontram-se os conjuntos infinitos do mesmo tamanho que (mais rigorosamente, da mesma cardinalidade que) os nmeros naturais, ou seja, aqueles cujos elementos podem ser colocados em correspondncia biunvoca com os nmeros naturais. Denomina-se diagonalizao a tcnica inventada por Cantor para verificar que um dado conjunto possui a cardinalidade do conjunto dos naturais. Aps identificar dois infinitos distintos, um enumervel (em correspondncia biunvoca com os nmeros naturais) e outro contnuo (em correspondncia biunvoca com os nmeros do intervalo real entre 0 e 1), Cantor convenceu-se do que veio a ser chamado hiptese do contnuo: o contnuo viria a ser imediatamente posterior ao enumervel. Por Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010237diagonalizao, ele provou que um conjunto estritamente menor do que seu conjunto de partes, e assim estabele-ceu-se uma hierarquia entre os conjuntos infinitos, iniciando-se no enumervel, seguida pelo contnuo, e da em diante pelas partes do conjunto precedente. Com o intuito de contar os conjuntos infinitos, Cantor formulou a teoria dos transfinitos: nmeros que estabelecem a quantidade de elementos dos conjuntos infinitos (cardinais transfinitos) ou que determinam a ordem dentre conjuntos infinitos (ordinais transfinitos). A aritmtica dos transfinitos se comporta de forma curiosa. Por exemplo, ao subtrairmos um inteiro de um ordinal transfinito, como (o menor ordinal transfinito), obtemos o prprio . Veja a explicao de Cantor: [o primeiro nmero inteiro infinito] o menor de todos os nmeros maiores que todos os nmeros inteiros [finitos]. Mas sempre igual a e, portanto, no podemos dizer que os nmeros crescentes fiquem to prximos quanto queiramos de , de fato, qualquer nmero , por maior que seja est abso-lutamente distante de quanto menor o nmero . Aqui temos, de forma clara, o fato muito importante de que meu menor nmero ordinal transfinito [...] situa-se absolutamente fora da srie infinita 1,2,3, e sucessivamente. Por conseguinte, no um nmero finito mximo, pois no h tal coisa.22Foram to surpreendentes os resultados apresentados por Cantor que, por vezes, ele prprio duvidada de suas provas.23 Foram grandes as crticas que matemticos da poca efetuaram contra seu trabalho. Dentre eles, Kronecker desmereceu a teoria de Cantor afirmando: Deus fez os inteiros, e todo o resto obra do homem.24 Em 1918, internado em hospital psiquitrico e debilitado, possivelmente devido s presses e perseguies com relao s suas ideias, o grande matemtico veio a falecer.3.3 O infinito... uma iluso![...] so too we must realize that the infinite, in the sense of an infinite totality, where we still find it used in deductive methods, is an illusion.25 Hilbert, por volta de 1900 se dedicara anlise matemtica, tendo obtido importantes resultados nessa rea. Questionava, contudo, a utilizao descuidada do conceito de infinito, e tomou para si a tarefa de esclarecer definitiva-mente essa questo. Mais tarde (1925), em seu discurso sobre o infinito, em meio ao reconhecimento da importncia do trabalho de Weierstrass na fundamentao da anlise matemtica, Hilbert criticou a presena de procedimentos emquetranspareciamoconceitodenmerorealdefinidoporsriesinfinitaseoconceitodesistemadenmeros reais concebido como uma totalidade. Rejeitava ainda as formas de argumentao que se referiam a uma propriedade pertencente a todos os nmeros reais, ou existncia de um nmero real com certa propriedade, pois entendia que essas argumentaes pressupunham o conceito de infinito. Para Hilbert, o infinito, nesses termos, surgiu da necessidade dos cientistas de dar sentido s suas explicaes, sendo, portanto, uma iluso. Por volta de 1915, Hilbert dedicou-se fsica, e tambm nesse campo fez importantes contribuies. Seu interesse por essa rea transpareceu igualmente no discurso de 1925, no qual apelou fsica para justificar a inexistncia do infinito na natureza. Segundo ele, no haveria, na natureza, algo que correspondesse a esse conceito, e portanto, o mesmo deveria ser substitudo por procedimentos finitistas que gerassem o mesmo resultado.Em contrapartida, Hilbert adotava o infinito de Cantor, o infinito atual, a que se refere como sendo o verdadeiro infinito:Someone who wished to characterize briefly the new conception of the infinite which Cantor introduced might say that in analysis we deal with the infinitely large and the infinitely small only as limiting concepts, as something becoming, happening, i.e. with the potential infinite. But this is not the true infinite. We meet the true infinite when we regard the totality of numbers 1, 2, 3, 4, ... itself as a completed unity, or when we regard the points of an interval as a totality of things which exists all at once. This kind of infinity is known as actual infinity.26O que faz Hilbert aceitar prontamente o infinito proposto por Cantor a possibilidade de sua construo passo Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010238a passo, por sucessivas aplicaes de operaes definidas. Na base dessa construo esto as cadeias 1, 11, 111, 1111, ..., que, segundo Hilbert, so intuitivamente reconhecidas. A partir da, no cabe mais qualquer tipo de apelo intuio, consideram-se exclusivamente manipulaes simblicas, desvinculadas de qualquer interpretao. So feitas definies com o objetivo nico de facilitar a comunicao. O infinito atual, de Cantor, alcanado passo a passo, por sucessivas aplicaes das operaes definidas. Visto que, para Hilbert, a adoo de um conceito em uma teoria era determinada pela no introduo de contradio (sendo portanto desnecessria a confirmao de sua existncia na natureza), o infinito atual era completamente justificado.3.4 Antinomias: incompreenses na lgicaIn the joy of discovering new and important results, mathematicians paid too little attention to the validity of their deductive methods. For, simply as a result of employing definitions and deductive methods which had become customary, contradictions began gradually to appear. These contradictions, the so called paradoxes of set theory, thought first scattered, became progressively more acute and more serious.27As antinomias (ou paradoxos lgicos) so enunciados que levam a uma situao de contradio lgica, ou seja, a partir do raciocnio lgico conduzem ao verdadeiro quando assumido o falso, e conduzem ao falso quando assumido o verdadeiro. So sutilmente diferentes dos paradoxos, pois nesses ltimos h sempre um elemento intuitivo, ou resul-tante da observao, experimentao ou percepes humanas, que entra em choque com o enunciado. Um exemplo (de antinomia) o chamado paradoxo de Russell28, que demonstrou a existncia de contradio no interior da teoria (ingnua) dos conjuntos. A seguir, sua verso informal: o barbeiro de Sevilha faz a barba de todas as (e somente das) pessoas em Sevilha que no fazem a barba em si prprias. Pergunta-se: o barbeiro de Sevilha barbeia-se a si prprio? A quem responder afirmativamente, argumenta-se: o barbeiro de Sevilha no barbeia quem barbeia a si prprio. A quem responder negativamente, argumenta-se: o barbeiro de Sevilha barbeia todos que no barbeiam a si prprios. A verso matemtica consiste em considerar o conjunto Z = {X tal que X X}. Questiona-se: Z Z? Assumindo que Z Z, temos, pela definio do conjunto Z, que Z Z. Por outro lado, assumindo que Z Z, visto que todos os conjuntos que no pertencem a si prprio pertencem a Z, temos que Z Z. Como comenta Hilbert, as antinomias incrementavam o cenrio das incompreenses matemticas e alertavam para o perigo da matemtica ingnua, baseada na intuio, na experincia humana. Hilbert pergunta: If mathematical thinking is defective, where are we to find truth and certitude?293.5 Em direo matemtica seguraAo lado das inquietaes a respeito do infinito, dos paradoxos e antinomias, algumas experincias no sentido deexplicarconceitosatravsdeoutrosmaissimplesestimulavamosmatemticos,queviamnessesmovimentos o caminho para uma matemtica segura, bem compreendida e livre de erros. Destacamos trs, dentre os diversos movimentos nesse sentido: (i) Aritmetizao da anlise: Este movimento teve Martin Ohm (1792-1872) como precursor (BOYER,1991,p.388) e Cauchy (1789-1857) e Bolzano (1781-1848) como protagonistas. Zumpano explica:30A reviso consistia em demonstrar os resultados sem apelar para intuies geomtricas espaciais. Para issoserianecessriodefinirtodososconceitosaritmeticamente,encontrarumalinguagemadequada para lidar com o infinito e determinar precisamente a noo de limite. Essa tarefa comea a ser feita pelo matemtico Francs Augustin L. Cauchy (1789-1857) na Frana e levada a cabo pela escola alem na segunda metade do sculo 19.Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010239Cauchy definiu os conceitos de limite, funes, funes contnuas e convergncia de sries e sequncias infinitas. Bolzano precedeu Cantor e Dedekind na concepo da noo abstrata de conjunto finito e infinito. Grande parte de sua obra s foi publicada aps a sua morte, como o livro Paradoxos do infinito, cuja publicao data de 1851. (ii) Axiomatizao da aritmtica: Este movimento tem seu marco principal no ano de 1889, quando Guiseppe Peano (1858-1932) publicou Princpios aritmticos: novo mtodo de exposio, livro em que apresentou axiomas que definiam o conjunto dos nmeros naturais.31 Peano defendia a expresso de conceitos matemticos atravs de um sistema simples e preciso, a lgica matemtica, que permitiria a exposio de forma clara, o rigor na apresentao dos conceitos antes tomados como intuitivos e a simples deduo e manipulao de resultados.(iii) Formalizao da geometria: Coube a David Hilbert (1899) a tarefa de abordar a geometria com base em Os elementos de Euclides para dar-lhe uma apresentao estritamente formal. Hilbert elegeu trs noes bsicas (ponto, reta e plano) e seis relaes (estar sobre, estar em, estar entre, ser congruente, ser paralelo e ser contnuo) como primitivas (no definidas), e elaborou um conjunto de vinte axiomas que descreviam a geometria com o rigor procurado na poca.3.6 Entre controvrsias logicistas e intuicionistas Hapenasumpontoondeencontreiumadificuldade.Ocolegadizqueumafuno tambm pode actuar como elemento indeterminado. Eu acreditava nisto, mas agora esta perspectiva parece-me duvidosa pela seguinte contradio. Seja w o predic do: para ser predicado,nopodeserpredicadodesiprprio.Podewserpredicadodesiprprio? A cada resposta o seu oposto segue-se. Portanto podemos concluir que w no um predi-cado. Da mesma maneira, no existe nenhuma classe (como uma totalidade) de classe que,sendocadaumatomadacomoumatotalidade,nopertenaasiprpria.Disto concluo que, sob certas circunstncias, uma coleco definvel no forma uma totalidade. (Trecho da carta enviada por Russell a Frege em 16 de junho de 1902.)A sua descoberta da contradio causou em mim a maior das surpresas e, poderia quase di-zer, consternao, j que abalou a base sob a qual eu pretendia construir a aritmtica. Parece, ento, que transformar a generalizao de uma igualdade numa igualdade de seqncia-de-valores [die Umwandlung der Allgemeinheit einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit] ( 9 do meu Grundgesetze) nem sempre permitido, que a minha Regra V ( 20) falsa, e que as minhas explanaes no 31 no so suficientes para garantir que a combinao de signos que proponho tem sentido em todos os casos. Tenho que reflectir mais no assunto. (Trecho da resposta enviada por Frege a Russell em 22 de junho de 1902.)O paradoxo de Russell, formulado em 1902 em carta32 a Frege, um marco da abordagem logicista. Nessa po-ca, Frege j se dedicava tarefa de explicar a matemtica em termos da lgica, e propunha um sistema de smbolos capaz de expressar com preciso o processo de deduo lgica. A abordagem logicista da fundamentao matemtica baseava-se na ideia de que toda a matemtica consequncia de princpios puramente lgicos, e procurava, atravs da linguagem lgica formalizada, eliminar as definies circulares da matemtica. Os logicistas sustentavam a viso platonista que embute matemtica um carter excepcional, com existncia prpria. Andr Leclerc explica e Jos Saramago ilustra:Existem coisas que no so objeto de nenhuma experincia sensvel possvel, e que no so elas mesmas experincias; essas coisas no podem ser vistas, tocadas, ouvidas, cheiradas ou degustadas; alm do mais, essas coisas s podem ser apreendidas pelo intelecto, s podem ser conhecidas por uma intuio de um tipo um pouco especial.33[...] o nmero de todas as coisas que h no mundo a menos exacta, diz-se quinhentos tijolos, diz-se quinhen-tos homens, e a diferena que h entre tijolo e homem a diferena que se julga no haver entre quinhentos e quinhentos, quem isto no entender primeira vez no merece que lho expliquem segunda.34Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010240Para Saramago, homens, tijolos e quinhentos possuem existncia: so coisas que h no mundo. Ele considera quinhentos a menos exata, possivelmente porque no pode ser vista, tocada, ouvida, cheirada ou degustada, como aponta Leclerc. Aos que no possuem intuio de um tipo um pouco especial, Saramago recusa-se a repetir a explicao.Sustentandoqueparatodoconceitohumaexistnciaassociada,oslogicistasseempenhavamentoem responder a pergunta levantada por Russell: a que est associado o conceito algo que no pertence a si prprio? Porm,aalgunsmatemticos,comoPoincar,algicasemostravainsuficienteparadarcontadafundamentao damatemtica.Necessitava-sedealgomaisforteaintuio.Poincar,matemticopreocupadocomquestes epistemolgicas da matemtica, ops-se ao programa logicista e estabeleceu bases para o programa intuicionista:35 [...] para fazer aritmtica, assim como para fazer geometria, ou para fazer qualquer cincia, preciso algo mais que a lgica pura. Para designar no temos outra palavra seno a intuio.Frontalmente opostos aos logicistas, os intuicionistas sustentavam a viso antiplatonista de que a matemtica uma atividade humana, fundamentada em processos construtivos. Da se justifica o nome da abordagem. Segundo Paul Bernays: [...] the basic ideas of intuitionism are given to us in a evident manner by pure intuition.36 Assim, para os intuicionistas, todo objeto matemtico teria sua existncia por construo, e no se admitiria na matemtica pro-cessos (objetos) no construtivos. O conjunto dos nmeros naturais, por exemplo, tomado pelos intuicionistas no como um objeto pronto a srie dos naturais , mas como um processo que se desenrola indefinidamente. Nesses termos, os intuicionistas pareciam negar grande parte da matemtica usualmente aceita na poca. Em termos lgicos, negavam a lei do terceiro excludo (P ou no P), a lei da dupla negao (no no P equivale a P) e as provas por reduo ao absurdo. Nas palavras de Bernays: But here one must abandon a number of the usual theorems, for example, the fundamental theorem that every continuous function has a maximum in a closed interval. Very few things in set theory remain valid in intuitionistic mathematics.37A controvrsia ento se configurava em torno de questes como: possuem os nmeros existncia prpria, e as cadeias de smbolos apenas os representam, ou so os nmeros as prprias cadeias de smbolos, obtidas atravs de construes mentais? Jano Bifronte, personagem da mitologia romana, tudo sabe: conhece o que se passou e prev o que est por vir. Possui duas faces que falam ao mesmo tempo: a esquerda, que olha para o passado, enxerga a cincia pronta; e a direita, que olha para o futuro, v a cincia em construo. A face esquerda de Jano diria: os n-meros possuem existncia prpria. A face direita diria: os nmeros so as cadeias de smbolos que os representam. Assim como as faces de Jano, Bernays admite a convivncia das duas abordagens: This suffices to show that the two tendencies, intuitionist and platonist, are both necessary; they complement each other, and it would be doing oneself violence to renounce one or the other. Dentro desse cenrio, segundo Leclerc,38 nesse texto de 1935, Paul Bernays situa a abordagem formalista como conciliatria entre as duas tendncias.4. A mquina da abordagem formalista Mquina, como o nome indica, , antes de tudo, maquinao, estratagema, um tipo de esperteza em que as foras usadas mantm-se mutuamente sob controle, de tal modo que nenhuma delas possa escapar do grupo.39Ao abrir a caixa-preta da abordagem formalista e acompanhar o trabalho dos cientistas que nela atuaram, teste-munhamos a construo da cincia como a mquina a que se refere Latour. Para entender o funcionamento da mquina preciso verificar quais so suas peas e compreender o papel que cada uma exerce na construo do fato/artefato. Para compreender a abordagem formalista, consideramos questes como: em nome de quem/que falam os cientistas? Quem so seus aliados? Como se fortalecem e sustentam suas verdades?Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 20102414.1 O matemtico como porta-voz da naturezaO porta-voz algum que fala em lugar do que no fala.40Vimos,naseo3.5,algumasexperinciasnosentidodetraduzirformalmenteconceitosdamatemticaem outros mais simples. Essas experincias bem-sucedidas pareciam indicar o caminho formalista, em que os objetos matemticos so meramente cadeias de smbolos: sua existncia consiste na sua prpria representao, sem o apelo a interpretaes, percepes humanas e noes de domnios de objetos matemticos. Esse processo de abstrao, que Bernays destaca como o modo usual de se fazer matemtica, consiste precisamente em operar com os smbolos matemticos desconectando-os de qualquer tipo de referente de existncia concreta que a eles se possa associar de forma especfica. Desta maneira, os formalistas falavam em nome da natureza e diziam retrat-la como ela , sem interferncias e subjetividades. Nas palavras de Hilbert:41O instrumento que serve como intermedirio entre teoria e prtica, entre pensamento e observao, a Matemtica. Ela constri a ponte de ligao e consolida-a permanentemente. Daqui resulta que toda a nossa cultura contempornea, na medida em que assenta na compreenso e domnio da Natureza para fins prticos, encontra os seus fundamentos na Matemtica. J dizia Galileu: S pode compreender a Natureza quem esteja familiarizado com a sua linguagem e com os sinais com que ela nos fala. Ora, esta linguagem a Matemtica e estes sinais so as formas matemticas. 4.2 Alistando aliadosOs cientistas e engenheiros falam em nome de novos aliados que conformaram e alistaram; representantes entre outros representantes, com esses recursos inesperados, fazem o fiel da balana de foras pender em seu favor.42Matemticos e filsofos sentiam-se incomodados com a existncia de problemas cuja falsidade ou veracidade no haviam sido provadas at ento. A presena de problemas supostamente verdadeiros ou supostamente falsos representava uma ameaa ao rigor matemtico. [...] Essa convico da solubilidade de qualquer problema matemtico representa para ns um poderoso estmulo durante o trabalho; escutamos em ns a voz constante: Esse o problema, procura a soluo. Podes encontr-la pelo pensamento puro, pois em matemtica no existe nenhum ignorabimus!43Em 1900, Hilbert lanou em Paris, no Segundo Congresso Internacional de Matemticos, um desafio aos ma-temticos da poca. Ele reuniu uma lista de 23 problemas em aberto e convocou uma unio de esforos para que se buscasse a soluo daqueles problemas. Esse episdio pea relevante na busca pela fundamentao da matemtica e evidencia o empenho de Hilbert em alistar aliados atravs de problemas at ento no solucionados e controvrsias entre cientistas. Dos 23 problemas, seis foram resolvidos entre 1900 e 1930,44 o que parecia indicar a fora da estratgia de Hilbert. Em 1923, Thoralf Skolem publicou um artigo que apresentava a fundamentao de parte da matemtica atravs de princpios finitrios, reforando a ideia de que a totalidade da matemtica poderia ser alcanada da mesma forma. A essa poca, Hilbert havia proposto uma organizao estratificada das funes, onde classificava como sendo do tipo 1 aquelas cujos argumentos e valores so nmeros naturais. Cada tipo subsequente era formado pelas funes com pelo menos um argumento do tipo precedente, atravs da aplicao das regras de composio e recurso sobre membros dos tipos precedentes. Em 1928, Ackermann apresentou uma funo capaz de ser calculada por mecanismos finitrios, mas que no era do tipo 1. Mostrou tambm que tal funo poderia ser generalizada para os demais tipos da hierarquia. O resultado de Ackermann povoou a construo de Hilbert e reforou a necessidade de mecanismo mais poderoso do que a recurso primitiva, utilizada at ento, para alcanar a totalidade das construes finitrias.Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 20102424.3 Traduzindo interessesChamarei de traduo45 a interpretao dada pelos construtores de fatos aos seus interesses e aos das pessoas que eles alistam.46Cada matemtico que se dedicava soluo de um problema em aberto, cada cientista devotado formalizao de uma ideia intuitiva representava uma traduo de interesses, uma comunho da proposta de Hilbert com as demais. Com tantos aliados, fortalecia-se a abordagem formalista.Em Bolonha, 1928, no Congresso Internacional de Matemticos, Hilbert lanou o programa de Hilbert. Baseando-se nas ideias do livro de Hilbert e Ackermann, Grundzge der theoretischen logik, o programa propunha a formalizao da matemtica visando garantir rigidez e solidez. Em termos gerais, a proposta era reduzir toda a matemtica a manipula-es reais e responder afirmativamente s seguintes questes: a matemtica completa? consistente? decidvel? Supunha-se que toda a matemtica poderia ser expressa na lgica de primeira ordem e, por este motivo, o programa adotava a lgica de primeira ordem como sistema formal.47 Dizemos que um sistema formal completo quando, a todo enunciado verdadeiro expresso no prprio sistema, cabeumaprovaformalizadanosistema.Arespostaafirmativaprimeiraquesto,portanto,significaquequalquer enunciadomatemtico,expressoemlgicadeprimeiraordem,poderiaserprovadonamesmalgica.Asegunda questo diz respeito consistncia: dizemos que um sistema formal consistente quando no possibilita a derivao do absurdo: um enunciado provadamente verdadeiro e falso. A terceira das questes passou a ser conhecida como o problema de deciso de Hilbert (Hilberts entscheidungsproblem): encontrar um mecanismo genrico (e finit-rio!) que, ao considerar um enunciado qualquer formulado em lgica de primeira ordem, fosse capaz de verificar sua validade ou no. Uma sentena dita vlida quando verdadeira para qualquer possvel interpretao dos smbolos extralgicos que figuram nela prpria. Davis afirma que, durante o congresso de Bolonha, Hilbert dirigiu essa questo ao ento doutorando Kurt Gdel. Em Viena, 1929, em reao provocao de Hilbert, Gdel provou que, em lgica de primeira ordem, a noo de consequncia semntica implica consequncia sinttica, ou seja, qualquer sentena verdadeira, em qualquer pos-svel interpretao, pode ser demonstrada por meio das regras de manipulao sinttica da lgica de primeira ordem. O resultado disso foi o Teorema da completude da lgica de primeira ordem, tese de doutorado de Kurt Gdel (ber die vollstndigkeit des logikkalkls), defendida em 1930 sob orientao de Hans Hahn. 4.4 O aliado mais forte: a natureza!Atravs das palavras do prprio Hilbert, ressaltamos, na seo 4.1, que os formalistas se colocavam como por-ta-vozes da natureza. Atribuam matemtica o papel de linguagem da natureza, capaz de estabelecer a ponte entre pensamento e observao. Mostramos tambm, na seo 3.5, que experincias bem-sucedidas de formalizaes pare-ciam indicar que a proposta formalista caminhava na direo correta. Por fim, adicionamos a esse panorama os avanos da cincia moderna. Toda essa conjuntura parecia indicar que a prpria natureza se apresentava como forte aliada de Hilbert, confirmando seus resultados, expressando-se matematicamente e impulsionando a abordagem formalista.4.5 Encerrando a caixa pretaNodevemosdarcrditoquelesquehojeadoptamumtomfilosficoeumardesu-perioridade para profetizarem o declnio da cultura cientfica e se comprazerem com o ignorabimus.48At 1930, grande parte da comunidade matemtica mundial acreditava na existncia de uma matemtica se-Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010243gura, finitria, provadamente correta e livre de imprecises. Em 11 de junho de 1930, o jovem matemtico Jacques Herbrand defendeu sua tese de doutorado, Recherches sur la thorie de la dmonstration, onde props um mecanismo de reduo de provas da lgica de primeira ordem a provas na lgica sentencial (teorema de Herbrand). Herbrand deu prosseguimentoaosseusestudosemcooperaocomvonNeumann,epretendiapublicar,em1931,umtrabalho promissor no contexto do programa de Hilbert: a prova da consistncia de um fragmento da aritmtica.49Sossegado em relao ao destino da Matemtica, em discurso radiofnico no dia 8 de setembro de 1930, evocando Galileu, Kant, Gauss, Kronecker, Tolstoi, Poincar e Knigsberg, Hilbert anunciou a sua aposentadoria e mais uma vez exps, em linguagem acessvel ao pblico em geral, as bases da proposta formalista. Hilbert aposentado... matemticos empenhados na prova de problemas em aberto... Estava encerrada a caixa-preta da abordagem formalista!5. Reabrindo a caixa-pretaComo possvel ter domnio sobre o destino futuro de uma afirmao que resultado do comportamento de todos esses aliados infiis? Essa questo a mais difcil de todas, pois todos os atores esto fazendo alguma coisa com a caixa-preta. Mesmo na melhor das hi-pteses, eles no a transmitem pura e simplesmente, mas acrescentam elementos seus ao modificarem o argumento, fortalec-lo e incorpor-los em novos contextos.50No perodo prximo aposentadoria de Hilbert, a escola formalista apresentava-se em momento de aparente estabilidade. No entanto, no seio da prpria abordagem, surgiram questes que abalaram os alicerces do pensamento formalistaereabriramasdiscussesarespeitodaestratgiadeHilbert.Latourexplica:osatoresnotransmitem, pura e simplesmente, a caixa-preta, mas acrescentam elementos seus. Nesse processo, muitas vezes compromissos sedesfazem,etraduesdolugaratraies.51Noquesesegue,acompanhamosareaberturadacaixa-pretada abordagem formalista, ou seja, a nova contingncia que levou matemticos a repensarem a abordagem.5.1. Enredamento!... E controle? Em primeiro lugar, preciso alistar outras pessoas para que elas acreditem na caixa-preta, paraqueacompremedisseminemnotempoenoespao;emsegundolugarpreciso control-las, para que aquilo que elas adotam e disseminam permanea mais ou menos inalterado.52As experincias bem-sucedidas de formalizao; os vinte e trs problemas em aberto escolhidos por Hilbert; a mobilizao dos matemticos; e agora, a prova do teorema da completude. Cada um desses elementos representava uma engrenagem a mais na construo da mquina sustentadora da abordagem formalista. Para o sucesso da abor-dagem, era essencial a cooperao, a atuao em rede, a ao harmnica de todos os aliados em prol do objetivo comum: a busca pela matemtica segura. Mas por quanto tempo seria possvel manter os aliados convencidos do objetivo comum? 5.2 A traio da natureza[...] Em seu dirio, Petros assinala a data exata com um comentrio lacnico, a primeira e ltima referncia crist que encontrei em suas anotaes: 17 de maro de 1933. Teorema de Kurt Gdel. Que Maria, Me de Deus, tenha piedade de mim!53. Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010244Hilbert, bem como toda a comunidade matemtica, foi surpreendido em 1930/31 pela publicao dos teoremas da incompletude de Gdel. Estes jogaram por terra as duas primeiras questes do programa de Hilbert, e fizeram-no retornar de sua aposentadoria para repensar as bases matemticas. Os resultados de Gdel, publicados em ber formal unentscheidbare stze der Principia Mathematica und verwandter systeme,54 afetaram tambm os matemticos da poca que se dedicavam a problemas em aberto, como ilustra Doxiadis: [...] A partir de agora, para cada enunciado ainda indemonstrado, teremos que perguntar se pode ser um caso da aplicao do Teorema da Incompletude... Toda hiptese ou conjectura importante pode ser indemonstrvel a priori! A afirmao de Hilbert, na matemtica no existe ignorabimus, no se aplica mais; o cho que ns pisvamos foi retirado dos nossos ps!55Os teoremas de Gdel focalizam sistemas formais expressivos o suficiente para conter a teoria dos nmeros e enunciam (em verso informal): (1) Todo sistema formal incompleto; ou seja, h sempre um enunciado sabidamente verdadeiro, que pode ser expresso no sistema, mas cuja prova no pode ser construda no prprio sistema; (2) o enun-ciado que declara a consistncia de um sistema no pode ser provado no prprio sistema.O primeiro teorema de Gdel mostrou comunidade matemtica da poca que a busca pela soluo de alguns dos problemas relacionados por Hilbert poderia ser intil. O segundo teorema foi de encontro formalizao da mate-mtica. Demonstrar a consistncia da matemtica como sistema formal implicaria uma circularidade: usar a matemtica para provar a consistncia dela prpria. Os dois teoremas respondiam negativamente s duas primeiras questes do programa de Hilbert: qualquer sistema formal expressivo o suficiente para conter a teoria dos nmeros no pode ser ao mesmo tempo completo e consistente. No trecho de sua carta a Claude Chevalley transparece o desabafo de Herbrand: Excuse this long beginning; but all of this has been haunting me, and by writing about it I exorcise it a little.56A divulgao dos teoremas de Gdel causou uma enorme angstia na comunidade matemtica. O resultado foi oficialmente publicado em 1931,57 mas antes disso, em 1930, Gdel j havia comentado a respeito do primeiro teorema em encontros do Crculo de Viena, do qual participava von Neumann.58 5.3 A reao dos formalistasO primeiro teorema de Gdel colocava em cheque a dimenso do programa finitista, despertou grande interesse em von Neumann e, por conseguinte, em Herbrand. Gdel, em um primeiro momento, considerava que seu resultado no contradizia o programa de Hilbert, visto que haveria sempre a possibilidade de apelar a um sistema formal mais forte para alcanar enunciados no provados. Hilbert e Bernays se empenhavam em minimizar o impacto dos teoremas de Gdel, justificando a continuidade do programa formalista: tomavam o resultado de Gdel como um indicativo da necessidade de buscar novos mtodos para gerar provas finitrias amplamente aplicveis.59Entretanto, von Neumann rejeitou enfaticamente os argumentos iniciais de Gdel. Herbrand, preocupado com a extenso de seus resultados apresentados em Sur la non-contradiction de larithmtique, que seria publicado em breve, enviou a Gdel, em 7 de abril de 1931, uma carta em que desenvolvia argumentos em concordncia com os de von Neumann. Herbrand no chegou a ler a resposta enviada por Gdel em 25 de julho, pois faleceu precocemente ao escalar os Alpes franceses em 27 de julho. A morte prematura de Herbrand abriu espao a discusses sobre a autoria da definio de recursividade geral. Alguns autores, inclusive Gdel, atribuem argumentao de Herbrand a essncia da definio de recursividade: In the lectures60 Gdel advances an idea of Herbrand about the most general form of recursion.61 Sieg contradiz, afirmando: There is a bit of mystery surrounding this private communication. Jean van Heijenoort queried Gdel in 1963 about his remark, in part because there was a discrepancy between Gdels report on Herbrands suggestionandHerbrandspublishedremarksonrelatedissues.Gdelrespondedthatthesuggestion had been communicated to him in a letter of 1931, and that Herbrand had made it in exactly the form in which his lecture notes presented it. But Gdel was unable to find Herbrands letter among his papers. JohnDawsondiscoveredtheletterintheGdelNachlassin1986,anditbecameclearthatGdelhad misremembered.62Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 20102455.4 Como no quadro de Velzquez...Sobumolharplatnico,emqueosobjetosmatemticostmsuaprpriaexistncia,ounavisoformalista, em que objetos matemticos so as prprias cadeias que os representam, a natureza (os objetos matemticos), at ento aliada de Hilbert, parecia, nesse momento, revelar-se de modo oposto, sustentando os teoremas de Gdel, que invalidavamoprogramadeHilbert.Afinal,dequeladoestavaanatureza?Deumladooudeoutro,anaturezano explicaria a controvrsia, pois era ela, prpria natureza, o cerne da questo: buscava-se a verdadeira matemtica, a matemtica da natureza.63 Para resolver controvrsias a respeito da Matemtica, os cientistas necessitavam lanar mo de representaes (definies matemticas). Voltamos ento ao problema da representao, ou definio matemtica, comentado na seo 2 e ilustrado no quadro de Velzquez, As meninas. Numa cadeia infinita de representaes e re-representaes, o que vem a ser a realidade? Qual das representaes fiel realidade? Realidade e iluso que se (con)fundem, como mostra Ferreira Gullar:64 As meninas Ferreira Gullar O quadro est de costas e est de frente: de costas para voc (que o v por trs ao lado esquerdo) e de frente para Velzquez que o pinta. Mas a verdade que est de frente para voc e j pintado. Alis, desde 1656. No obstante, Velzquez (voc o v) o est pintando.Aparentemente, voc est atrs do quadro e de frente para o pintor, que tem ao lado o seu motivo: a princesa e as damas de companhia, que ele pinta. Mas no as pinta diretamente: pinta a imagem delas refletida no espelho -um espelho que no se v, de cuja existncia se sabe apenas pelas coisas que reflete: o pintor, as meninas e as mulheres, o co e tambm, l no fundo, um homem que se detm numa escada; ao seu lado, refletidas noutro espelho pequeno, as imagens do rei e da rainha, que entraram na sala, no outro extremo do aposento, fora de nossa vista.Assim, o quadro contm o que se v e o que no se v, num jogo de espelho e de espaos e tempos. o qua-dro dentro do quadro, imagens de imagens. Realidade e iluso que se confundem. Miragem, pintura...Um momento da vida, mnimo episdio da histria humana - pessoas que, numa sala, posam para um pintor que as retrata - ali na Espanha, num certo dia do sculo XVII. E parece uma viso irreal esta cena real (com sua luz doce) que Velzquez fixou na tela para sempre. Mas que, na vida, se desfez naturalmente em seguida, como qualquer outra, entre palavras e risos talvez. 5.5 Os teoremas de Gdel[...] It is reasonable therefore to make the conjecture that these axioms and rules of inference65 are also sufficient to decide all mathematical questions which can be formally expressed in the given systems. In what follows it will be shown that this is not the case, but rather that in both of the cited systems, there exist relatively simple problems of the theory of ordinary hole numbers which cannot be decided upon the basis axioms.66Na citao acima, Gdel afirma a existncia de enunciados relativamente simples sobre um sistema, que todavia no podem ser provados no prprio sistema. Sua prova implica o uso de mecanismos externos ao sistema, a respeito dos quais o enunciado no se refere. Esses mecanismos adicionais evitam a autorreferncia e desfazem a confuso entrelinguagememetalinguagem.UmabreveanlisedoparadoxodeRichard,queserviudeintuioaGdelnos teoremas da incompletude, permite verificar esses elementos.Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 20102465.6 O paradoxo de RichardConsidere que todas as propriedades de nmeros possam ser expressas em portugus (em alguma lngua na-tural) a partir de alguns conceitos bsicos, como o de nmeros inteiros, soma, produto, quociente, divisvel, etc. Por exemplo, poderamos definir a propriedade de ser par como divisvel por dois. Considere uma classificao dessas expressesporordemdetamanhoe,paraexpressesdomesmotamanho,porordemalfabtica.Considereainda uma enumerao dessas expresses: a menor expresso receber o nmero 1, a imediatamente a seguir receber o nmero 2 e assim por diante. Diremos que um nmero richardiano se ele NO possui a propriedade denotada por ele. Por exemplo: suponha que 15 o nmero associado expresso primo. Ento 15 richardiano, pois 15 no primo. Seja N o nmero correspondente expresso richardiano. Pergunta-se: N richardiano? (1) Supondo que N richardiano, conclumos, pela definio da propriedade richardiano, que N no possui a propriedade denotada por ele. Sendo assim, N no richardiano. (2) Supondo que N no richardiano, conclumos, pela definio da propriedade richardiano, que N possui a propriedade denotada por ele. Sendo assim, N richardiano.O paradoxo de Richard67 pode ser tomado como um bom ponto de partida para abordar os teoremas de Gdel, pois ilustra de maneira informal a estratgia formalizada por Gdel na prova de seus teoremas. Assim como o paradoxo de Russell, o paradoxo de Richard se apia na autorreferncia (ii) e na confuso proposital em que se estabelece ao se considerar a linguagem (a matemtica) e a metalinguagem (a metamatemtica) no mesmo patamar (i), e so citados, pelo prprio Gdel, como analogias evidentes sua estratgia. O paradoxo de Richard ilustra a tcnica da diagonalizao comentada nas sees 2 e 3.2. A seguir, evidenciamos, no paradoxo, os elementos destacados:(i) A confuso proposital entre matemtica e metamatemtica. A matemtica se faz presente no paradoxo atravs dos nmeros, por exemplo, 1, 2 etc., e operaes sobre nmeros, por exemplo, 2+3, 2*3 etc. A metamatemtica consiste na formulao de propriedades a respeito da matemtica, por exemplo: p a menor prova de que n primo. Observe a definio de nmero richardiano: um nmero richardiano se ele NO possui a propriedade denotada por ele. Nela, matemtica e metamatemtica aparecem lado a lado.(ii)Aautorreferncia.Aautorrefernciaaparecenoparadoxoproduzindoquandosetentaaplicaraonmero que denota uma certa propriedade a propriedade denotada por ele: Seja N o nmero correspondente expresso richardiano. Pergunta-se: N richardiano? Como a propriedade em questo propositalmente negativa, a aplicao afirmativa da mesma produz a contradio. O paradoxo de Russell (ou o paradoxo do Barbeiro de Sevilha) construdo sobre esses mesmos elementos.Almdasduasquestesdestacadasacima,esseparadoxotambmseutilizadoartifciodaenumerao. A enumerao de Richard vaga e informal. Gdel desenvolveu um processo preciso de enumerao.6. A fundamentao da matemtica e a nova conjuntura O destino de fatos e mquinas est nas mos dos usurios68 finais; suas qualidades, por-tanto, so consequncia, e no causa, de uma ao coletiva.69Ainda que sob o impacto dos teoremas de Gdel, prosseguiram, nos anos seguintes, as iniciativas relativas fundamentao da matemtica no sentido de justificar a continuidade do programa de Hilbert em meio ao impacto dos teoremas de Gdel (seo 6.1). Ao mesmo tempo, discutia-se a adequabilidade de diversas definies para abraar aquilo que se considerava preciso, mecnico. Essas definies, por exemplo, a mquina de Turing e a calculabili-dade efetiva, embora extensionalmente equivalentes, mostravam-se diferentes na forma e nas estratgias de onde se originaram, e portanto, a preferncia por um ou outro formalismo dependia de fatores extramatemticos.Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 20102476.1 Novas alianas, novas traduesThe truth is that the mathematical sciences are growing in complete security and harmony. [...]. It is only from the philosophical point of view that objections have been raised.70Em seu artigo de 1935, Bernays procurou isolar na filosofia as dificuldades da matemtica. Retomou o programa de Hilbert, situando Ackermann, von Neumann, Skolem, Herbrand e Gdel como colaboradores. Sob o olhar de Bernays, osresultadosdeGdel,longederepresentaremofimdoprogramaformalista,forneciam,naverdade,umaluzem direo prova da consistncia: Light was shed on this situation by a general theorem of Gdel, according to which a proof of the consistency of a formalized theory cannot be represented by means of the formalism considered. From this theorem, the following more special proposition follows: It is impossible to prove by elementary combinatorial me-thods the consistency of a formalized theory which can express every elementary combinatorial proof of an arithmetical proposition.71Em 1936, Gerhard Gentzen apresenta uma prova da consistncia da aritmtica utilizando induo transfinita. O resultado de Gentzen abriu uma nova perspectiva para o programa formalista, desembocando em uma nova rea de estudos da lgica: a teoria da prova. Essencialmente sinttica, a teoria da prova assume provas como objetos formais e,atravsdamanipulaomatemtica,procuraobtercertaspropriedades, comoaexistnciadeprovascannicas (simples) e sua relao com computao (isomorfismo Curry-Howard). Gentzen morreu de fome na priso, em Praga, aos 36 anos, em 4 de agosto de 1945.726.2 O que computabilidade (ou calculabilidade efetiva)?A definio e o que se quer definir!Em particular, os resultados de Gdel sensibilizaram Alan Turing, estudante de graduao em Cambridge. Turing graduou-se no ano de 1934. Em 1935, assistiu a um curso ministrado por Max Newman, em Cambridge, sobre os fundamentos da matemtica, onde foram abordados o programa de Hilbert e os teoremas de Gdel. Em 1936, Turing publicou On computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem, que introduzia a noo de compu-tabilidade. Nesse artigo, apresentou uma mquina hipottica atravs da qual define o computvel, inspirando-se em uma representao idealizada dos processos efetuados pelos humanos ao computar um nmero.We may compare a man in the process of computing a real number to a machine which is only capable of a finite number of conditions q1, q2, ..., qR which will be called m-configurations. The machine is supplied with a tape, (the analogue of paper) running through it, and divided into sections (called squares) each capable of bearing a symbol. At any moment there is just one square, say the r-th, bearing the symbol S(r) which is in the machine.73 No mesmo ano, um pouco antes de Turing, Alonzo Church publicou An unsolvable problem of elementary number theory74 que, atravs de um formalismo matemtico, se dedicava ao problema de tornar precisa a calculabilidade efetiva. The purpose of the present paper is to propose a definition of effective calculability which is thought to correspond satisfactorily to the somewhat vague intuitive notion in terms of which problems of this class are often stated [...].75De modo geral, considerava-se efetivo algum mecanismo M que fosse definido por um conjunto finito de instrues, sendo cada instruo precisa e descrita de maneira finita. Alm disso, para serem efetivos, cada instruo de M, e o prprio M, precisariam terminar seu clculo em tempo finito. Em outras palavras, a calculabilidade efetiva seria carac-terizada por no requerer insight, inteligncia, criatividade. Os termos preciso, insight, inteligncia, criatividade demonstram o carter intuitivo (essencialmente humano para muitas abordagens disciplinares) que se tem em questo: qualquer tentativa de explicar o conceito de calculabilidade efetiva termina por empregar alguma noo intuitiva.Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010248Emborareconhecendooaspectointuitivoinerenteaoconceito,osestudosdeChurcheramcompletamente desvinculados da motivao de Turing de reproduzir o mecanismo de um homem computando. Por volta de 1930, Church e seu aluno Kleene procuravam uma formalizao adequada para a teoria dos inteiros positivos, propondo ento o -clculo. Kleene mostra, em sua tese de doutorado A theory of positive integers in formal logic (1934), que uma parte significativa da teoria dos inteiros positivos poderia ser representada em -clculo. No artigo de 1936, em nota de p de pgina, Church esclarece questes de autoria76 e afirma que, pela primeira vez, identificava-se, isto , tornavam-se equivalentes, o -clculo e a calculabilidade efetiva, o que, mais tarde, veio a ser conhecido como tese de Church:As will appear, this definition of effective calculability can be stated in either of two equivalent forms, (1) that a function of a positive integers shall be called effectively calculable if it is -definable in the sense of 2 below, (2) that a function of positive integers shall be called effectively calculable if it is recursive in the sense of 4 below. The notion of -definability is due jointly to the present author and S. C. Kleene, successive steps towards it having been taken by the present author in the Annals of Mathematics, vol 34 (1933), p. 863, and by Kleene in the American Journal of Mathematics, vol 57 (1935), p. 219. The notion of recursiveness in the sense of 4 below is due jointly to Jacques Herbrand and Kurt Gdel, as is there explained. And the proof of equivalence of the two notions is due chiefly to Kleene, but also partly to the present author and J. B. Rosser, as explained below. The proposal to identify these notions with the intuitive notion of effective calculability is first made in the present paper.77Apesar das diferenas entre as estratgias, as duas abordagens a de Turing e a de Church justificavam-se no mesmo cenrio: a fundamentao da matemtica. Turing mostrou, no artigo de 1936, que as duas definies alcanam o mesmo objeto: In a recent paper Alonzo Church has introduced an idea of effective calculability, which is equivalent to my computability, but is very differently defined.786.3 Calculabilidade efetiva e o problema de deciso de HilbertO programa de Hilbert, proposto em Bolonha em 1928, consistia, como j vimos, em trs questes a respeito da matemtica: consistente? completa? decidvel? J comentamos que os teoremas de Gdel responderam negati-vamente s duas primeiras questes ao afirmar que a completude de um sistema formal acarretaria sua inconsistncia. A terceira das questes do programa de Hilbert, o problema de deciso de Hilbert (Hilberts entscheidungsproblem), consistia em encontrar um mecanismo genrico, expresso por meios finitos, que, ao considerar um enunciado qualquer formulado em lgica de primeira ordem, fosse capaz de verificar, em tempo finito, sua validade ou no. Turing se utilizou da tcnica da diagonalizao e de sua definio de mquina universal, e dedicou uma seo de seu artigo On computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem a responder negativamente a essa questo: The results of 8 have some important applications. In particular, they can be used to show that the Hilbert Entscheidungsproblem can have no solution. Church referiu-se ao problema de deciso de Hilbert e justificou, em termos do sistema formal proposto, a inexistncia de tal mecanismo genrico.79 Assim, Turing e Church atacaram a terceira questo levantada por Hilbert. Iniciou-se uma nova era, onde problemas no solucionados se confundiam com problemas no solucionveis efetivamente, sem que houvesse mecanismo efetivo que permitisse distinguir uns dos outros.6.4 Enfim, a realidade! Realidade, como indica a palavra latina res, aquilo que resiste. Mas resiste a qu? Ao teste de fora. Se, em dada situao, nenhum discordante capaz de modificar a forma de um objeto novo, ento sim, ele realidade, pelo menos enquanto os testes de fora no forem modificados.80Ter a definio alguma relao direta com a existncia daquilo que definido? Reportando-se a Aristteles, Ja-queline Engelmann81 refere-se a dois momentos da definio: o do fim da cincia e o do princpio da demonstrao:Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010249Ora, fica claro, atravs desta passagem82 que a definio figura como um passo posterior em relao existncia. Define-se depois de conhecida a existncia. Porm, no contradiz isso o que foi dito acima83? Defatono,poisporumladodeve-selembrarquefoifeitaacimaadistinoentreadefiniocomo fim da cincia e como princpio da demonstrao. Da primeira perspectiva, a existncia est antes de alcanar a definio; mas da segunda perspectiva, primeiro est a definio e depois a demonstrao de existncia do definido.84Jano Bifronte possui faces que falam juntas. Por vezes, dizem coisas contraditrias: a face esquerda enuncia a cincia pronta, encerrada como uma caixa-preta; a face direita enuncia a cincia em ao e acompanha, passo a passo, a sua construo. Diria a face esquerda de Jano Define-se depois de conhecida a existncia. Diria a face direita: primeiro est a definio e depois a demonstrao de existncia do definido. Sob os olhares de Jano, tomamos o computvel, ao mesmo tempo, como causa e consequncia da mquina de Turing. Sabendo da equivalncia extensional entre as definies de Turing e Church, tomamos tambm o computvel como causa e consequncia da calculabilida-de efetiva de Church. Cabe, no entanto, indagar: estariam Turing e Church equivocados com relao ao verdadeiro computvel? [...] It [a tese/definio de Church] is a bridge between the mathematics and the philosophical problems that generated mathematics. Weather it is the right bridge is the question.85Na impossibilidade de verificar se essas definies efetuam de maneira correta a ponte entre a matemtica e os problemas filosficos que geraram a matemtica, tomamos, ao menos, evidncias que apontam nessa direo. Essas evidncias esto expressas no fato de que diversas tentativas de formalizar o mesmo conceito resultaram em classes equivalentesdefunes.CarniellieEpsteinsereferemaelascomo:TheMostAmazingFact:Alltheattemptsat formalizing the intuitive notions of computable function yield exactly the same class of function.86Notas e referncias bibliogrficasIsabel Cafezeiro doutora em Informtica pela Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro, professora do Instituto de Computao da Universidade Federal Fluminense. E-mail: isabel@dcc.ic.uff.brEdward Hermann Haeusler doutor em Informtica pela Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro, professor do Departamento de Informtica Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro. E-mail: hermann@inf.puc-rio.brHenrique Luiz Cukierman doutor em Engenharia de Produo pela Universidade Federal do Rio de Janeiro, professor adjunto da UFRJ, onde atua na graduao do curso de Engenharia de Computao e Informao e nas ps-graduaes do Programa de Engenharia de Sistemas da COPPE/UFRJ e do Programa de Histria das Cincias e das Tcnicas e Epistemologia. Publicou em 2007 o livro Yes, ns temos Pasteur Manguinhos, Oswaldo Cruz e a histria da cincia no Brasil, editado pela Relume Dumar/FAPERJ. E-mail:hcukier@ufrj.brIvan da Costa Marques mestre e doutor pela Universidade da Califrnia, Berkeley. Ps-doutorado no Departamento de Histria (History Studies Committee) da New School for Social Research, Nova York, como Visiting Research Fellow de 1990 a 1992. S durante esse perodo comeou a perceber que o espao aparentemente misterioso e deserto entre as cincias naturais (colocando a a matemtica em destaque) e as cincias sociais pode ser entendido e habitado por mil entidades, mediante epistemologias e ontologias adequadas. Publicou em 1998 o livro O Brasil e a abertura dos mercados o trabalho em questo, editado pela Contraponto (2 edio). Professor Associado (DCC e HCTE / UFRJ). E-mail: imarques@ufrj.br Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 20101Paraisto,sugerimosCARNIELLI,W.;EPSTEIN,R.Computability,comput-ablefunctions,logic,andthefoundationsofmathematics.Belmont,CA: Wadsworth Ed, 2a edio, 2000; que apresenta a linha do tempo da com-putabilidade.2SobremanifestaesdeHilbertarespeitodapolticadesuapoca,ver WEYL, H. David Hilbert and his Mathematical work. Bull. Amer. Math. Soc. v.50,n.9,1944,p.612-654:Hilbertwassingularlyfreefromnational andracialprejudices;inallpublicquestions,betheypolitical,socialor spiritual,hestoodforeveronthesideoffreedom,frequentlyinisolated oppositionagainstthecompactmajorityofhisenvironment.Hekepthis head clear and was not afraid to swim against the current, even amidst the violent passions aroused by the first world war that swept so many other scientists off their feet. (p. 612)3Retomamos, aqui, o termo catstrofe, usado por Hermann Weyl, discpulo deHilbert,aosereferiraoimpactocausadopelasideiasdeGdelao Programa de Hilbert. WEYL, op. cit.4KUHN,T.Aestruturadasrevoluescientficas.SoPaulo:Editora Perspectiva, Coleo Debates, 9a edio, 200, p. 215LAW,J.Traduction/Trahison:NotesonANT,CentreforScienceStudies, LancasterUniversity,LancasterLA14YN,1977.Disponvelem:http://redalyc.uaemex.mx/pdf/105/10504204.pdf6Soarecolocaemtermostcnicos:SomehavecastdoubtonTurings Thesis on the grounds that there might be physical or biological processes which may produce, say, the characteristic function of the halting problem. It is possible that these may exist (although there is presently no evidence) but if so, this will have absolutely no effect on Turings Thesis because they 250willnotbealgorithmicormechanicalproceduresasrequiredin2.1and inTuringsThesis.SOARE,R.I.Computabilityandrecursion.Bulletinof Symbolic Logic. p. 284-321, 1996, p. 13.7TURING, A. On computable numbers, with an application to the Entscheid-ungsproblem.ProceedingsoftheLondonMathematicalSociety,Series2, n.42, 1936, p. 230-265.8Ibid.9LATOUR, B. Cincia em ao. Como seguir cientistas e engenheiros socie-dade afora. So Paulo: Ed Unesp, 1998, p. 14.10O termo finitrio diz respeito a mecanismos que conduzem a um objetivo em tempo finito, em um nmero finito de passos.11Nosreferimosaodeclniodaabordagemformalistacomocorrentede fundamentaodamatemticanostermospropostosporHilbert.Cabe mencionar que, em outros campos, por exemplo, na Educao Matemtica, o formalismo tomou um rumo diverso, fortalecendo-se a partir da obra de Bourbakieestendendo-sepelosculoXXnomovimentodaMatemtica Moderna.NoBrasil,emmeioaoregimeditatorial,essemovimentofoi institucionalizado atravs do acordo MEC USAID (United States Agency for InternationalDevelopment),quevisavaaperfeioaromodeloeducacional brasileiro sob assessoria norte-americana. A seo 6.1 comenta um outro desdobramento da abordagem formalista: a Teoria da Prova. 12LATOUR, op. cit., Primeira Regra Metodolgica.13BORGES, J. L. O livro de areia. Contos. So Paulo: Ed Globo, Brasil, 1999.14BOYER,C.B.Histriadamatemtica.SoPaulo:EditoraEdgadrBlcher LTDA, 1991, p. 8.15GOODSTEIN,R.L.Constructiveformalism:essaysonthefoundationsof mathematics. Leicester: University College, 1951.16Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872.17BOYER, op. cit., p. 392.18Book 1, Common notion 5. Verso digitalizada disponvel em: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html (fev 2008).19AMADEI,F.L.Oinfinito.Umobstculonoestudodamatemtica.111f. Dissertao (Mestrado em Educao Matemtica). PUC So Paulo, 2005, p. 30.20Ttulo da Tese de Doutorado de Cantor, em 1867.21ZUMPANO, A. Os limites da matemtica clssica. Cincia Hoje, v.29 n.171, maio 2001, p. 77-79.22A traduo do texto de Cantor foi extrada de JUNIOR, W. G. N. O Infinito contado por Deus. Uma interpretao dedekindiana do conceito de nmero ordinaltransfinitodeCantor.168f.Tese(DoutoradoemFilosofia),PUC, RiodeJaneiro,2006,p.31,sobreooriginal:CANTOR,G.Beitrgezur Bergrundung der Transfiniten Mengelehre. Contributions to the founding of the Transfinite Numbers. New York: Dover Publications, 1941.23Ao provar que um ponto representado em um espao de qualquer dimenso podeserperfeitamenterepresentadoemumsegmentodereta,Cantor escreve carta a Dedekind e desabafa: Vejo-o, mas no acredito. JUNIOR, op. cit., p. 24.24BOYER, op. cit., p. 394-39.25HILBERT,D.Ontheinfinite.DiscursoproferidonacidadedeMnsterem 1925. Transcrio em CARNIELLI, op. cit.26Ibid.27Ibid.28Aseo3.6apresentaoparadoxonaspalavrasdeRussell,emcarta enviada a Frege.29Ibid.30ZUMPANO, op. cit., p. 79.31So eles: (1) Zero um nmero. (2) Se a um nmero, o sucessor de a umnmero.(3)Zeronosucessordeumnmero.(4)Doisnmeros cujossucessoressoiguaissoelesprpriosiguais.(5)Seumconjunto S de nmeros contm o zero e tambm o sucessor de todo nmero de S, ento todo nmero est em S. BOYER, op. cit., p. 415.32Atraduodascartasparaoportugus(dePortugal)foramobtidasem http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fregerussel/russeltofrege.htm, julho 2008, onde consta a fonte: HEIJENOORT, J. From FregetoGdel.Cambridge,Massachusetts:HarvardUniversityPress, 1967, p. 124-125.33LECLERC, A. Plato hoje. Princpios, Natal, v. 4, n. 6, 1998, p. 34.34SARAMAGO, J. Memorial do convento. Romance. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 1999.35POINCAR, H. O valor da cincia. Rio de Janeiro: Ed. Contraponto, 2007, p. 18.36Paul Bernays reproduz, neste trecho, justificativas de Brouwer abordagem intuicionista. BERNAYS, P. Platonism in mathematics. 1935. Bernays Project, texto 13. Consultado em julho 2008. Disponvel em: http://www.phil.cmu.edu/projects/bernays/Pdf/platonism.pdf37Ibid.38LECLERC, op. cit.39LATOUR, op. cit., p. 212.40Ibid., p. 119.41HILBERT,D.Discursoradiofnicoministradoporocasiodesua aposentadoria, em Koenigsberg, 8 de setembro de 1930. Traduzido por L. FraserMonteiro,DepartamentodeFsica,UniversidadeNovadeLisboa, Portugal.42LATOUR, op. cit., Segundo princpio.43HILBERT, D. Mathematische Probleme. Gttinger Nachrichten (Nachrichten derKniglichenGesellschaftderWissenschaftenzuGttingen), mathematisch-physikalische Klasse 1900, Heft 3, p. 253-297 (traduzido por Marcelo Papini em http://www.mat036.ufba.br/HILBERT1.pdf).44Os problemas 3, 9, 17, 22 at 1928 e os problemas 15 e 19 entre 1929 e 1930.45Traduzido como translao em LATOUR, op. cit.46Ibid., p.17847ParaumabrevssimaapresentaodaLgicadePrimeiraOrdem,trans-crevemosumtrechodeDAVIS,M.Ismathematicalinsightalgorithmic? Behavioral and Brain Sciences, v.4, n.13, 1990, p. 659-660: This [The First Order Logic] is just the formal system which embodies the elementary clas-sical logic of and, or, not, implies, all, there exists. In a precise formulation of first order logic, it is necessary to explain when some particular formula F is to be taken to be a logical consequence of a set of formulas (premi-ses) . This can be done in two essentially different ways: semantically and syntactically. In the semantic version, F is a logical consequence of if F is true no matter how the extra-logical symbols appearing in F and are interpreted, so long as all the formulas in are true under that same interpretation. (Metaphorically: F is true in every Platonic world in which the formulas of are true.) In the syntactic version, rules of proof involving the straightforward manipulation of symbols are specified, and F is said to be a logical consequence of if F can be obtained from by some finite number of applications of those rules [...].48HILBERT, op. cit., 1930.49Publicadopostumamenteem1931:Surlanon-contradictionde lrithmtique.JournalfrdiereineundangewandteMathematik,vol166 (1931), p. 1-8.50LATOUR, op. cit., p. 171.51Sobre tradues e traies: So that is traduction, a similarity. But trahison, difference, is not far behind. And the difference has to do with the form of ontologybeingperformed.Westarted,Ithink,withtheassumptionthat coherent realities might be performed and discovered. With its attempt to draw things together, to centre them. But the pull to the centre has become more and more difficult to sustain. Traduction has given way to trahison. And Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010251ontologicalcentringtopracticesofontologicalchoreography;ontological ambivalences, and finally to ontological patchwork. LAW, op. cit.52LATOUR, op. cit., p. 199.53DOXIADIS,A.TioPetruseaconjecturadeGoldbach.EditoraFaberand Faber, 2001.54GDEL,K.berformalunentscheidbarestzederPrincipiaMathematica und verwandter systeme. I, Monatsch. Math. Phys. v. 38, 1931, p. 173-178.55DOXIADIS, op. cit., p. 109.56SIEG,W.Onlytwoletters:thecorrespondencebetweenHerbrandand Gdel. The Bulletin of Symbolic Logic, v. 11, n. 2, June 200557GDEL, op. cit.58Segundo SIEG, op. cit., p. 175, antes da publicao oficial, o primeiro teorema foi tambm apresentado em um seminrio em Knigsberg: Gdel reported on his first incompleteness theorem at the Second Conference for Epistemo-logy of the Exact Sciences held from 5 to 7 September 1930 in Knigsberg. On the very last day of the conference, a roundtable discussion on the foun-dationsofmathematicstookplacetowhichGdelhadbeeninvited.Hans Hahn, Gdels dissertation advisor, chaired the discussion and its participants included Carnap, Heyting, and von Neumann. Toward the end of the discus-sion, Gdel made brief remarks about the first incompleteness theorem.59Defato,Gentzen,em1936,apresentouumaprovadaconsistnciada aritmtica utilizando induo transfinita.60Epstein e Carnielli referem-se a um seminrio conferido por Gdel em 1934, noInstituteforAdvancedStudy,emquesimplificouaapresentaode 1931.61CARNIELLI; EPSTEIN, op. cit., p.18.62SIEG, 2005, p. 173.63Anaturezadamatemticaseriamformasdanaturezacomoenteno humano, formas no sociais, transcendentes ou uma parte de um mundo no humano onde se constituiriam as formas matemticas.64GULLAR, F. As meninas. Folha de So Paulo, Caderno Folha Ilustrada, edio de 07 de dezembro de 2002.65Refere-se ao sistema apresentado em Principia mathematica (B. Russel) e ao sistema axiomtico para a Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Frankael.66GDEL, op. cit., p. 6.67RICHARD,J.Lesprincipesdesmathmatiquesetleproblmedes ensembles. Revue gnrale des sciences pures et appliques v.16, 1905, p. 541-543.68Traduzido como consumidores em LATOUR, op. cit.69LATOUR, op. cit., Primeiro princpio.70BERNAYS, op. cit., p. 2.71Ibid., p. 21.72A vida de Gentzen, assim como a de seu orientador, Bernays, foi fortemente marcada pela ascenso nazista na Europa.73TURING, op. cit.74CHURCH, A. An unsolvable problem of elementary number theory. American J of Math.,v. 58, p. 345 363. 1936.75Ibid., p. 346.76Em 1934 ocorreu em Princeton uma srie de palestras ministradas por Gdel focalizando e simplificando os resultados de 1931. Kleene e Rosser foram redatores dessas palestras. Possivelmente devido ao forte intercmbio de ideiasnesseperodo,Churchjulganecessrionesteartigoesclarecera autoria de cada contribuio.77CHURCH, op. cit., p. 346.78TURING, 1936, op. cit.79CHURCH,op.cit.;CHURCH,A.AnoteontheEntscheidungsproblem. Journal of Symbolic Logic, v. 1, 1936, p. 40-41.80LATOUR, op. cit., p.15581ENGELMANN,J.Teoriadadefinio.Dasdefiniesreaissdefinies predicativas. Tese (Doutorado em Filosofia), PUC-Rio, 2006.82ARISTTELES. Segundos analticos II 1, 89b. 83Ibid., II 7, 92b.84ENGELMANN, 2006, op. cit., p. 2585CARNIELLI, op. cit., p. 231.86Ibid., p. 85.Revista Brasileira de Histria da Cincia, Rio de Janeiro, v. 3, n. 2, p. 231-251, jul | dez 2010[ Artigo recebido em 04/2010 | Aceito em 09/2010 ]