República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder popular para la Educación Superior

Maracaibo Estado Zulia

Catedra: Investigación de operaciones II

Teoría de colas

Realizado por: Carmela AbreuC.I: 25180713

teoría de colaEs el estudio matemático de las colas  o líneas de espera dentro de un sistema.Esta teoría estudia factores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de trabajo del sistema sin que llegue a colapsarse.

Dentro de las matemáticas, la teoría de colas se engloba en la investigación de operaciones y es un complemento muy importante a la teoría de sistemas y la teoría de control.

Se trata así de una teoría que encuentra aplicación en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingeniería , transporte.

Modelos de teoría de colaLos modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre los costos del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. ‘‘El objetivo esencial es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto, para que el tiempo de espera no sea muy largo y el costo de servicio no sea muy alto’’.

Esto no es sencillo de determinar, ya que, un cliente no llega a un horario fijo, como también, el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Por lo tanto, se deduce de aquí, que los sistemas de líneas de espera son sistemas probabilísticos y aleatorios. El análisis cuantitativo con frecuencia es útil en estas situaciones.

El tener que esperar en una cola es una experiencia cotidiana que normalmente se considera desagradable.

DEFINICION DE LA TEORIA DE COLAS

La Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando ‘‘clientes’’ llegan a un ‘‘lugar’’ demandando un servicio a un ‘‘servidor’’, el cual, tiene una cierta capacidad de atención. Si el servicio no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la cola o línea de espera.

Diagrama que muestra dos colas y múltiples nodos servidores. La teoría de colas estudia los tiempos de espera y capacidad del sistema.

CONCEPTOS BASICOS DEL SISTEMA DE COLAS a) Clientes: término usado en un sistema de colas para referirse por ejemplo a: • Gente esperando líneas telefónicas desocupadas. • Máquinas que esperan ser reparadas. • Aviones esperando aterrizar.

b) Instalaciones de Servicio: este término se usa para referirse por ejemplo a:• Líneas telefónicas. • Talleres de reparación.• Pistas de aeropuerto.

c) Llegadas: es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.

d) Tasa de Servicio: este término se usa para designar la capacidad de servicio, por ejemplo: • Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto. • Una instalación de reparación puede (de media), reparar máquinas a razón de una cada 8

horas. • Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.

e) Número de Servidores de Servicio: es la cantidad de servidores de que disponemos, por ejemplo: • Número de conmutadores telefónicos. • Número de puestos de reparación. • Número de pistas de aterrizaje de un aeropuerto. El número de servidores no tiene porqué ser

siempre en paralelo, es decir, puede que un sistema de colas tenga varias fases:

COSTOS ASOCIADOS AL SISTEMA DE COLAS

a) Los costos de espera. Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa. Lo normal es pensar que estos costos de espera decrecen conforme aumenta la capacidad de servicio del sistema.

b) Los costos de servicio. Contra la reducción anterior de los costos de espera, es también normal que el costo asociado a incrementar la capacidad de servicio, crezca con alguna proporcionalidad en relación a esta capacidad.

c) Los costos totales del sistema de servicio. La suma de los dos costos anteriores, da una función de costos totales del sistema en función de la capacidad. Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimentan largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta este servicio, disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye.

TIPOS DE SISTEMAS DE COLAS Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales son:

a) Una línea, un servidor El primer sistema, es típico de una consulta médico - paciente, el lavado de carros automático o un muelle de descarga de un solo lugar. b) Una línea, múltiples servidores El segundo sistema, es típico de una peluquería o una panadería, en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el turno.

c) Varias líneas, múltiples servidores El tercer sistema en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Cola servidor cola servidor

d) Una línea, múltiples servidores secuenciales En el cuarto sistema un cliente después de ser atendido por un servidor, pasa al siguiente, después al siguiente y así sucesivamente, hasta salir de la cola. Este sistema es útil para las líneas de producción, en donde hay varios pasos intermedios para el proceso de manufactura.

Ejemplo de teoría de colas Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes:

A. Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?

B. ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando)

C. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)?

D. ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

=

=66,67%

Solución: Se conoce la siguiente información: λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos

µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto

a) Por tanto,

Factor de utilización del sistema . Es decir que el sistema permanece ocioso el 33,33%

b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero?

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo de servicio)? Nos preguntan por el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema. Ws.

𝑊𝑆  =  1𝜇−𝝀=

114− 16

=11/12=12𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠𝑝𝑎𝑠𝑎𝑒𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑒𝑛𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

d) ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora? Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en el inciso a (1/4*60=15), el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10 clientes. Esto es ρ*µ= 2/3 * 15 = 10 clientes.