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MatemáticaTeoría de Conjuntos

ContenidosArtículos

Teoría de conjuntos 1Elemento de un conjunto 3Conjunto finito 5Conjunto infinito 6Álgebra de conjuntos 7Unión de conjuntos 16Intersección de conjuntos 19Conjunto vacío 22Complemento de un conjunto 23Subconjunto 25Diferencia de conjuntos 28Conjuntos disjuntos 30

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 32Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 33

Licencias de artículosLicencia 34

Teoría de conjuntos 1

Teoría de conjuntos

Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N)tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en

una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos es una rama delas matemáticas que estudia laspropiedades de los conjuntos. Losconjuntos son colecciones abstractas deobjetos, consideradas como objetos ensí mismas, y son una herramienta básicaen la formulación de cualquier teoríamatemática.

Más aún, la teoría de los conjuntos es losuficientemente rica como paraconstruir el resto de objetos yestructuras de interés en matemáticas:números, funciones, figurasgeométricas, ...; y junto con la lógicapermite estudiar los fundamentos deesta. En la actualidad se acepta que elconjunto de axiomas de la teoría deZermelo-Fraenkel es suficiente paradesarrollar toda la matemática. Lapropia teoría de conjuntos es objeto deestudio per se, no sólo comoherramienta auxiliar, en particular laspropiedades y relaciones de losconjuntos infinitos.

En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como lahipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de lateoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestionesconjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano einfluenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propiciólos trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Teoría básica de conjuntosLa teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unoselementos, unos objetos matemáticos —como números o polígonos por ejemplo—, puede imaginarse una coleccióndeterminada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción depertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez comoelementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección deelementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.Ejemplos.

Teoría de conjuntos 2

• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los númerosenteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada unoes subconjunto del siguiente:

• El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r yplanos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.

Álgebra de conjuntosExisten unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operacionesaritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos

en uno de ellos.• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos

comunes de A y B.• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A

que no pertenecen a B.• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de

algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los

elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los

pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).

Teoría axiomática de conjuntosLa teoría de conjuntos "informal" o "elemental" apela a la intuición para determinar como se comportan losconjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicciónsi se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las razones para eldesarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciadosacerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas laspropiedades de los conjuntos con el suficiente rigor. Algunos ejemplos conocidos son:• La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel• La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel• La teoría de conjuntos de Morse-Kelley

Bibliografía• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos [1], consultado el 18-10-2010.• Jech, Thomas. «Set Theory [2]» (en inglés). Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition). Consultado

el 16-12-2011.• Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. México 22, D.F.

primera edición en español.

Teoría de conjuntos 3

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teoría de conjuntosCommons.

Referencias[1] http:/ / www. uv. es/ ivorra/ Libros/ Logica. pdf[2] http:/ / stanford. library. usyd. edu. au/ entries/ set-theory/

Elemento de un conjuntoEn teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto atómico queforma parte de ese conjunto (o familia).

Teoría de conjuntos y elementos

Diferencia entre elemento y subconjunto. El conjunto C estáformado por dos elementos. El conjunto A está formado por

cinco elementos (cinco figuras geométricas), y C, señalado conlínea discontinua, es un subconjunto de A, C ⊆ A. El conjunto

B, por el contrario, está formado por cuatro elementos: tresfiguras geométricas y un conjunto, a saber, C. Por tanto, C,señalado con línea continua, es un elemento de B, C ∈ B.

Al escribir , estamos diciendo que loselementos del conjunto son los números 1, 2, 3 y 4. Ungrupo de elementos de sería, por ejemplo, , elcual es un subconjunto de .Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Porejemplo, consideremos el conjunto .Los elementos de no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, tienesólo tres elementos: 1, 2 y el conjunto .Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Porejemplo, , es el conjuntocuyos elementos son los colores rojo, verde y azul.

Notación

La relación "es un elemento de", también llamada miembrodel conjunto, se denota mediante el símbolo ., y alescribir

estamos diciendo que es un elemento de .Equivalentemente, podemos decir o escribir " es unmiembro de ", " pertenece a ", " es en ", "

reside en ", " incluye ", o " contiene ".La negación de este símbolo se denota .

Desafortunadamente, los términos " incluye " y " contiene " son ambiguos, porque algunos autores tambiénlos usan para referirse a que " es un subconjunto de ".[1] El lógico George Boolos es enfático al aclarar que lapalabra "contiene" debe usarse sólo para pertenencia deelementos, e "incluye" sólo para relaciones de subconjuntos[2]

Elemento de un conjunto 4

Cardinalidad de conjuntosEl número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad, que informalmentese conoce como el tamaño de un conjunto. Para los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto es 4,mientras que la de y es 3. Un conjunto finito es aquel con un número finito de elementos, mientras que unoinfinito, uno con una cantidad infinita de elementos. Los ejemplos de arriba son todos de conjuntos finitos. Unejemplo de conjunto infinito es el conjunto de los números naturales, .

EjemplosUsando los conjuntos definidos arriba:

podemos decir que:• 2 ∈ B• {3,4} ∈ B• 3 ∈ {3,4}• ∅ ⊂ B• { } ⊂ B• {2} ⊂ B• {1,2} ⊂ B• amarillo ∉ B• 8 ∉ B• card(B) = 3• card({3,4}) = 2• La cardinalidad de D = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } es finita e igual a 6.• La cardinalidad de P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13... } (los números primos) es infinita.

Notas[1] Eric Schechter (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8. p. 12[2] 24.243 Classical Set Theory (lecture).. Instituto Tecnológico de Massachusetts, Cambridge, MA. 4 de febrero de 1992..

Referencias• Paul R. Halmos 1960, Naive Set Theory, Springer-Verlag, NY, ISBN 0-387-90092-6. "Naive" significa que no

está completamente axiomatizado, que no es tonto ni fácil.• Patrick Suppes 1960, 1972, Axiomatic Set Theory, Dover Publications, Inc. NY, ISBN 0-486-61630-4. La noción

de conjunto (una colección de elementos), miembros o elementos, los axiomas de extensión, separación y deunión o suma son necesarios para un mayor entendimiento de este concepto.

Conjunto finito 5

Conjunto finitoEn matemática, un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8,10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es iguala un número natural.Si un conjunto no es finito, entonces es infinito. Por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturaleses infinito. Todo conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse, pero larecíproca es falsa: existen conjuntos numerables que no son finitos (como el propio N).Los conjuntos finitos son particularmente importantes en combinatoria.

DefiniciónUn conjunto finito A es un conjunto cuyo número de elementos es un número natural. Esto significa:

Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto {1, 2, ..., n} para algún número natural n.

Que pueda establecerse una correspondencia biunívoca significa que los elementos de A y los de {1, 2, ..., n} puedenemparejarse uno a uno, sin que sobre ningún elemento de ninguno de los dos conjuntos. Al número n se le denominael cardinal de A (o su cardinalidad, su potencia, etc.), y se denota por card(A), |A| o #A. El conjunto vacío ∅ no tieneelementos, |∅| = 0, por lo que también es finito.La definición de conjunto finito en teoría axiomática de conjuntos presenta algunas sutilezas (véase Conjuntoinfinito).

PropiedadesLos conjuntos finitos poseen una serie de propiedades:

• La unión de dos (o una cantidad finita cualquiera) de conjuntos finitos es finita.• La intersección de dos o más conjuntos finitos es finita.• Todo subconjunto de un conjunto finito es finito a su vez.• En particular todo subconjunto de un conjunto finito tiene una cantidad menor o igual de elementos: si S ⊊ A y |A| = n, entonces |S| < n.• El conjunto potencia de un conjunto finito con n elementos es finito, y posee 2n elementos.

Referencias• Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco; Romás, Francisco (1973). Álgebra superior. México:

Trillas.

Conjunto infinito 6

Conjunto infinitoEn teoría de conjuntos, un conjunto infinito es un conjunto que no es finito. Algunos ejemplos son:• Los números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} forman un conjunto infinito y numerable.• Los puntos en una recta, representados por un número real, forman un conjunto infinito y no numerable.

Definición. PropiedadesUn conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con un conjunto del tipo {1, 2, 3, ...,n}, donde n es un número natural. Esto significa que podemos emparejar los elementos de A y los de {1, 2, 3, ..., n}sin que sobre ninguno. Si un conjunto no verifica esto entonces es infinito:

Un conjunto infinito es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con ningún conjunto {1, 2, 3, ..., n} para ningúnnúmero natural n.

Los conjuntos infinitos poseen las siguientes propiedades:

• La unión de dos o más (incluso una cantidad infinita) de conjuntos infinitos es un conjunto infinito.• Cualquier conjunto que contenga un conjunto infinito es infinito a su vez.• El conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito a su vez.

El cardinal de un conjunto finito es un número natural, y cualquiera de sus subconjuntos es finito y con menornúmero de elementos. A los conjuntos infinitos les ocurre lo contrario:

Un conjunto infinito A tiene subconjuntos propios S tales que S y A pueden ponerse en correspondencia biyectiva.

En realidad esta propiedad depende de los axiomas que se asuman para los conjuntos (véase más abajo).Aunque ningún número natural se corresponde con el número de elementos de un conjunto infinito, se pueden«contar» la cantidad de dichos elementos usando números transfinitos. Puede entenderse entonces que los conjuntosinfinitos «más pequeños» son los conjuntos numerables, como el conjunto de los números naturales.

Aspectos formalesEn teoría axiomática de conjuntos, puede definirse con precisión el concepto de número natural, como aquellosordinales sucesores menores que cualquier ordinal límite. De este modo, identificando los cardinales finitos con losnúmeros naturales así definidos, se obtiene la definición usual de conjunto finito o infinito: aquel cuyo cardinal sea ono un número natural. En otras palabras:

Un conjunto es finito si es bien ordenable y cada subconjunto no vacío, además de tener mínimo (por ser bien ordenable), tiene máximo.

La definición propuesta históricamente por Dedekind se basa en la propiedad mencionada anteriormente: unconjunto A es Dedekind-infinito o D- infinito si existe una aplicación f : A → A inyectiva y no suprayectiva. Esposible demostrar que todo conjunto Dedekind-infinito es infinito «ordinario», y equivalentemente que todo conjuntofinito «ordinario» es Dedekind-finito.Sin embargo, para demostrar la implicación inversa y establecer la equivalencia entre ambos conceptos es necesarioadoptar el axioma de elección o una versión más débil, como el axioma de elección numerable. En cualquier caso, laequivalencia entre infinitud e Dedekind-infinitud es una propiedad más débil que ambos axiomas.

Conjunto infinito 7

Referencias• Herrlich, Horst (2006). «4.1. Finiteness» (en inglés). Axiom of choice. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-30989-5.• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos [1], consultado el 12-04-2011.

• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Infinite set de la Wikipedia en inglés, bajo licenciasCreative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 Unported y Licencia de Documentación Libre de GNU 1.2 osuperior.

Álgebra de conjuntosEn matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos,como la unión, intersección, etc.

Conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos consideradacomo un objeto en sí. Un conjunto está definidoúnicamente por los elementos que lo componen, y nopor la manera en la que se lo representa.

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntosy sus elementos:• El conjunto universal, referencial o universo de

discurso, que normalmente se denota por lasletras , es un conjunto cuyo objeto deestudio son los subconjuntos del mismo. En lafigura tenemos:

• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x,pertecece a un conjunto dado. Esto se indica como:

Si un elemento no pertenece a un conjunto, se indica:

• Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indicacomo:

Si un conjunto no esta incluido en otro, se indica:

• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominadoprincipio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.

Álgebra de conjuntos 8

Operaciones con conjuntos

Veamos las operaciones con conjuntos, para ello loilustraremos con el ejemplo de la figura, donde puedever el conjunto universal adoptado: U y dosconjuntos el A y el B, así como los elementos quepertenecen a cada uno:

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntosson:• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el

conjunto A ∪ B que contiene todos los elementosde A y de B.

• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementoscomunes de A y B.

• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que nopertenecen a A.

• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de Aque no pertenecen a B.

Dasos dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre A y B, y se representa A - B, al conjunto formado por loselementos de A que no pertenecen a B.[1] Es decir:

Con esta notación, se expresaria:

• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos lospares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo, la unión yla intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elementoabsorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la interseccióny el elemento absorbente de la unión.Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en unálgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.[2]

Álgebra de conjuntos 9

Leyes fundamentalesDadas las operaciones binarias sobre conjuntos unión e intersección y la operación monaria complemento, secumplen algunas leyes o propiedades que se agrupan del siguiente modo:Proposición 1: para cualquier conjunto A, B y C se cumplen las siguientes proposiciones:•• Ley conmutativa:

•• Ley asociativa:

•• Ley distributiva

Proposición 2: existe un conjunto universal U, para el que se cumple que dado un conjunto A, A es un subconjuntode U, existe un conjunto Ø que llamaremos conjunto vacío•• Ley de identidad:

•• Ley de complemento:

Proposición 3: dados los conjuntos A, B subconjuntos de U, se cumple:•• Ley de idempotencia:

•• Ley de dominación:

•• Ley de absorción:

•• Ley de De Morgan

Álgebra de conjuntos 10

Ejemplo con dos conjuntosDados dos conjuntos A y B que pertenecen a U, y siendo Ø el conjunto vacío, podemos ver los distintos casos que sepueden dar, a modo de ejemplo del álgebra de conjuntos.En la representación gráfica utilizaremos un rectángulo para representar el conjunto universal y un ovalo o un circulopara representar el resto de los conjuntos, la zona coloreada en verde es la que corresponde a la expresiónrepresentada.•• Caso 1Este caso corresponde al conjunto universal yengloba a todos los conjuntos que lo forman.

•• Caso 2

Corresponde a la unión de los conjuntos A y B, yengloba a los elementos que pertenecen al conjuntoA o al B o a ambos simultaneamente.

•• Caso 3

Álgebra de conjuntos 11

El resultado es, dentro del conjunto universal U, launión de los elementos que pertenecen a A y nopertenecen a B.

•• Caso 4

Corresponde al conjunto A.

•• Caso 5

Como se puede ver en la gráfica, es la unión de loselementos que no pertenecen a A y los quepertenecen a B.

•• Caso 6

Álgebra de conjuntos 12

Son los elementos que pertenecen a B.

•• Caso 7

Este caso, algo más complejo que los anteriores, estaformado por: la unión de los elemento de laintersección de A y B con la intersección de loscomplementos de A y B, o lo que es lo mismo es: laintersección de la unión de A y el complemento Bcon la unión del complemento de A y B.

•• Caso 8

Corresponde a la intersección de A y B.

•• Caso 9

Álgebra de conjuntos 13

Corresponde a la unión de los complementos de A yde B, o lo que es lo mismo: al complemento de laintersección de A y B.

•• Caso 10

El resultado es la unión de, la intersección de A y elcomplemento de B, con la intersección delcomplemento de A y B.

•• Caso 11

El resultado es el complemento de B.

•• Caso 12

Álgebra de conjuntos 14

El resultado es la intersecció de A y el complementode B.

•• Caso 13

Es el complemento de A.

•• Caso 14

El resultado es la intersecció del complemento A yde B.

•• Caso 15

Álgebra de conjuntos 15

El resultado es la intersecció del complemento A y elcomplemento B, o lo que es lo mismo: elcomplemento de la unión de A y B.

•• Caso 16

En este caso representamos el conjunto vacío.

Estos dieciséis casos son todas las combinacionesque se pueden realizar con dos conjuntos, lasexpresiones pueden tomar distintas formas pero seránequivalentes a las expresadas.

Referencias[1] Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando (1981).

«1» (en español). Álgebra lineal. 1 (2 edición). EdicionesPirámide, S.A.. p. 28. ISBN 978-84-368-0175-0.

[2][2] Véase Barco Gómez, 2005, p. 21.

• Barco Gómez, Carlos (2005). Álgebra Booleana.Aplicaciones tecnológicas. Universidad de Caldas.ISBN 9789588231389.

• Larson, Harold J. (2002). Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística. Editorial Limusa.ISBN 9789681807306.

• Nachbin, Leopoldo (1980). Introducción al álgebra. Reverté. ISBN 9788429150995.• Rivaud, J. (1981). Ejercicios de álgebra. ISBN 9788429151312.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Álgebra de conjuntosCommons.

Unión de conjuntos 16

Unión de conjuntos

La unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B que contiene todoslos elementos de A y de B.

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (omás) conjuntos es una operación que resulta enotro conjunto cuyos elementos son los elementosde los conjuntos iniciales. Por ejemplo, elconjunto de los números naturales es la unión delconjunto de los números pares positivos P y elconjunto de los número impares positivos I:

P = {2, 4, 6, ...}I = {1, 3, 5, ...}N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

La unión de conjuntos se denota por el símbolo∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.

Definición

Unión de dos conjuntos A y B.

Dados dos conjuntos A y B, la unión de ambos, A∪ B, es el conjunto que contiene todos loselementos de A y de B:

La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B:

Ejemplo.

Unión de conjuntos 17

• Sean A = {a, ♠, 5} y B = {8, #}. La unión es A ∪ B = {5, #, a, ♠, 8}.• Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D = {m: m es un número

compuesto}. La unión es entonces (C ∪ D) = {n: n es primo o compuesto} = {2, 3, 4, 5, ...}, ya que el úniconúmero natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.

En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tenerelementos repetidos:[1]

•• La unión de {1, 2, 3, 4, 5} y {6, 2, 9, 1} es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}.

GeneralizacionesEs posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:

La unión de una colección finita de conjuntos A1, ..., An es el conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto en dichacolección:

Y esta se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión de dos conjuntos (más abajo). De este modo,para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:

Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:

Sea M una familia de conjuntos. Su unión ∪M se define como:

Esta definición coincide con las anteriores en el caso de una familia finita de conjuntos:A ∪ B = ∪M, donde M = {A, B}A1 ∪ ... ∪ An = ∪M, donde M = {A1, ..., An}

La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras:

donde esta última se aplica en el caso de que se utilice un conjunto índice, tomando M como {Ai: i ∈ I}.

PropiedadesDe la definición de unión puede deducirse directamente:

• Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio A :

A ∪ A = A

• Tanto A como B son subconjuntos de su unión:

A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B• La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B lo deja inalterado:

B ⊆ A implica que A ∪ B = A

La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

Unión de conjuntos 18

• Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

• Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A :

A ∪ B = B ∪ A.

• Elemento neutro. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A:

A ∪ ∅ = A

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica.En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:

• A ∪ (A ∩ B) = A• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:

• A ∩ (A ∪ B) = A

CardinalidadEl número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos A y B es la suma de los elementos de A y de B, si notienen elementos en común.

Si A y B son conjuntos disjuntos:

Como en un conjunto los elementos no pueden repetirse, si A y B tienen elementos en común, al sumar suselementos se contarían los elementos comunes más de una vez. Por ejemplo:

{1, a, ♠} y {b, a, 5} tienen ambos tres elementos, pero su unión {1, a, ♠, b, 5} tiene cinco elementos y noseis.

Por ello, es necesario eliminar las repeticiones al contar los elementos de A ∪ B:

Dados dos conjuntos finitos A y B :

Esta fórmula se generaliza para el caso más complicado de una unión de un número arbitrario de conjuntos finitos.Por ejemplo en el caso de tres conjuntos se tiene:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|y en general se tiene el llamado principio de inclusión-exclusión:

Dada una colección finita de conjuntos A1, ..., An :

Unión de conjuntos 19

Axioma de la uniónEn teoría axiomática de conjuntos no puede demostrarse la existencia de la unión de conjuntos a partir depropiedades más básicas. Es por ello que se postula la existencia de la unión, añadiendo como axioma el llamadoaxioma de unión.

Referencias[1] A diferencia de los multiconjuntos, que sí permiten repeticiones.

• Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/UniversidadAutónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5.

• Matoušek, Jiří; Nešetřil, Jaroslav (2008). Invitación a la matemática discreta. Reverte. ISBN 9788429151800. En elcapítulo 2.7 detalla el principio de inclusión-exclusión.

• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

Intersección de conjuntos

La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo loselementos que pertenencen tanto a A como a B.

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (omás) conjuntos es una operación que resulta enotro conjunto que contiene los elementoscomunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo,dado el conjunto de los números pares P y elconjunto de los cuadrados C de númerosnaturales, su intersección es el conjunto de loscuadrados pares D :

P = {2, 4, 6, 8, 10,...}C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}D = {4, 16, 36, 64, ...}

La intersección de conjuntos se denota por elsímbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Intersección de conjuntos 20

Definición

Intersección de dos conjuntos A y B.

Dados dos conjuntos A y B, la intersección deambos, A ∩ B es un conjunto que contiene loselementos que pertenecen a ambos conjuntos:

La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B :

Ejemplo.

• Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}.• Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección

es C ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3}= {8, 64, 512, ...}.

• Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningúnnúmero natural que sea par e impar a la vez.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:

GeneralizacionesLa intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a lapropiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersecten los conjuntos es irrelevante:

La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementosson conjuntos a su vez:

Sea M una familia de conjuntos. Su intersección ∩M se define como:

De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:A ∩ B = ∩M, donde M = {A, B}A1 ∩ ... ∩ An = ∩M, donde M = {A1, ..., An}

Intersección de conjuntos 21

La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo M como {Ai: i ∈ I}.

PropiedadesDe la definición de intersección puede deducirse directamente:

• Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A :

A ∩ A = A

• La intersección de Ay B es un subconjunto de ambos:

A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B• La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado:

B ⊆ A implica A ∩ B = B

La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

• Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos A ∩ B y C :

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

• Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A :

A ∩ B = B ∩ A.

• Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅:

A ∩ ∅ = ∅

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:

• A ∪ (A ∩ B) = A• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:

• A ∩ (A ∪ B) = A

Teoría axiomáticaEn las teorías axiomáticas de conjuntos usuales, como ZFC o NBG, la existencia de la intersección de una familia deconjuntos no se postula de manera independiente, sino que se demuestra como consecuencia del esquema axiomáticode reemplazo.

Referencias• Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad

Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5.• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

Conjunto vacío 22

Conjunto vacío

El conjunto vacío es aquélque no tiene elementos.

En matemáticas, específicamente en teoría de conjuntos, el conjunto vacío es elconjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjuntoson sus elementos, el conjunto vacío es único.

En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula.Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío.

Notación

El conjunto vacío es denotado por los símbolos:

derivados de la letra Ø. Esta notación fue introducida por André Weil en 1939.[1]

Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando suselementos (ninguno) entre llaves:

PropiedadesEl conjunto vacío tiene las siguientes propiedades generales:

•• El conjunto vacío es único: dado dos conjuntos sin elementos, ambos son iguales. (Esto justifica hablar de "el conjunto vacío" y no de "unconjunto vacío").

•• El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo:

• El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito :

Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:

Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como "ser mortal" o "ser un número primo"). Entonces todos los elementos delconjunto vacío poseen esa propiedad.

Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir "todo hombre en Ø; es inmortal" es lomismo que afirmar que "no hay ningún hombre mortal en Ø", y esto último es trivialmente cierto.Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:

• Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A:

• Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A:

• Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío:

• Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío:

Adicionalmente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el mismo Ø. Por lo tanto, el número cardinal de P(Ø)=1,considerando que el cardinal del conjunto vacío es cero.

Conjunto vacío 23

Problemas comunesEl conjunto vacío, a pesar de contener nada, sigue siendo algo en sí mismo: un conjunto. Esta distinción esimportante si situamos a los conjuntos en un contexto. Por ejemplo, si imaginamos a los conjuntos como bolsas,capaces de contener distintos elementos, el conjunto vacío sería aquella bolsa sin elementos dentro; pero aun asíseguiría siendo una bolsa.Es por esto que el conjunto potencia siempre contiene al conjunto vacío.Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, por lo tanto, el conjunto vacío es vacío en el sentido de su cardinalidad(que es igual a 0), y no en el sentido de su identidad.

Referencias[1] Weil, André (1992). The apprenticeship of a mathematician. Birkhäuser. ISBN 9783764326500. Página 114.

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag,New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN3-540-44085-2.

Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto A es otroconjunto A∁ que contiene todos los elementos

(dentro del universo U) que no están en A.

El conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjuntoque contiene todos los elementos que no están en el conjunto original.Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos seestán utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Porejemplo, si se habla de números naturales, el complementario delconjunto de los números primos P es el conjunto de los números noprimos 'C', que está formado por los números compuestos y el 1:

P = {2, 3, 5, 7, ...}C = {1, 4, 6, 8, 9,...}

A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjuntocomplementario se denota por una barra vertical o por el superíndice"∁", por lo que se tiene: P∁ = C, y también C = P.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementariorelativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones(complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Complemento de un conjunto 24

Definición

Complementario de un conjunto A.

Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto A∁ formado porlos elementos que no pertenecen a A:

El complementario de A es otro conjunto A∁ cuyos elementos son todos aquellos que no están en A:

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación"todos los x que no está en A", la palabra "todos" es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U,entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relacióncon la diferencia es clara:

Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando lanoción de complementariedad:

Ejemplo.

• El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).• Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11,

12, ...}.• El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el

área del rectángulo).

PropiedadesPuesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene aninguno, se tiene lo siguiente:

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedadessimilares a la segunda:

Complemento de un conjunto 25

• Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el propio A:

(A∁)∁ = A

•• La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:

A ∪ A∁ = U

• Un conjunto y su complementario son disjuntos:

A ∩ A∁ = ∅• El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A:

B ⊆ A implica que A∁ ⊆ B∁

Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

Leyes de De Morgan

•• El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:

(A ∪ B)∁ = A∁ ∩ B∁

•• El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios:

(A ∩ B)∁ = A∁ ∪ B∁

Referencias• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

SubconjuntoEn matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A "estácontenido" dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es unsubconjunto de B.

Definición

En la imagen, se observa un conjunto de polígonos, dentro del cual puedendistinguirse algunos que son regulares. El conjunto de polígonos regulares en la

imagen es un subconjunto del conjunto de todos los polígonos en la imagen.

Un conjunto A formado por algunos de loselementos de otro conjunto B es unsubconjunto de este último:

Subconjunto 26

Sean A y B dos conjuntos tal que cada elemento de A es también elemento de B. Entonces se dice que:

• A es un subconjunto de B, y se denota A ⊆ B• B es un superconjunto de A, y se denota B ⊇ A

Otras maneras de decirlo son "A está incluido en B", "B incluye a A", etc.Ejemplos.

El "conjunto de todos los hombres" es un subconjunto del "conjunto de todas las personas".{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}{2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )

Subconjunto propioEs obvio que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tieneel siguiente teorema:

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.

Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:

Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Estonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊B.(A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A)

Todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; osubconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.[1]

Conjunto potenciaLa totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partesde A:

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A:

Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, digamos |A| = n, el conjunto potencia también es finito ytiene 2n elementos.Ejemplo. Dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:

Subconjunto 27

Propiedades

El conjunto vacío, denotado como ∅, es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto es debido a que "todo elemento de ∅ lo es de A" significa lo mismo que "∅ no tiene ningún elemento que noesté en A", y esto es cierto sea cual sea A ya que ∅ no tiene elementos.Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C,entoces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:

Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro yviceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamentepor sus elementos, luego:

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A , entonces A = B.

Propiedades avanzadasLa relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (A ⊆ A);transitiva (A ⊆ B y B ⊆ C implican A ⊆ C); y antisimétrica (A ⊆ B y B ⊆ A implica A = B).

Referencias[1][1] Lipschutz, 1991, p. 3.

• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

Enlaces externos• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Subset de la Wikipedia en inglés, bajo licencias

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Diferencia de conjuntos 28

Diferencia de conjuntos

La diferencia entre los conjuntos A y B (y viceversa) esotro conjunto con todos los elementos del "minuendo",

salvo los contenidos en el "sustraendo".

En teoría de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es unaoperación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todosaquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en elsegundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de losnúmeros naturales N y el conjunto de los números pares P es elconjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}P = {2, 4, 6, 8,...}I = {1, 3, 5, 7, ...}

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, ladiferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es elconjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denotapor A \ B ó A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅.

Definición

Diferencia entre los conjuntos A y B, y viceversa.Dados dos conjuntos A y B, su diferencia, A \ B es el conjunto que contiene todos los elementos de A que no están enB:

La diferencia de A menos B (o entre A y B) es otro conjunto A \ B (o también A − B) cuyos elementos son todos aquellos elementos de Aque no lo sean de B:

La diferencia entre A y B también se denomina complemento relativo de B en A, y se denota ∁AB, cuando elsegundo es un subconjunto del primero. Este nombre proviene de la relación entre las operaciones de diferencia ycomplemento (ver más abajo). La norma ISO da preferencia a la notación con barra invertida. [cita requerida]

Ejemplo.

• Sean A = {♠, 5, z, R, 0} y B = {0, p, 9, z, Δ}. Sus diferencias son A \ B = {♠, 5, R} y B \ A = {p, 9, Δ}• Sean los conjuntos de números naturales P = {n: n es par} y P = {n: n es primo}. La diferencia P \ P es entonces

{n: n es par y no es primo} = {n: n es par y compuesto} = {4, 8, 6, ...}. Por otro lado, P \ P = {n: n es primo y noes par} = {n: n es primo e impar} = {3, 5, 7, 11, ...}.

Diferencia de conjuntos 29

• En la introducción se mostró que la diferencia P \ N es el conjunto vacío. Además, P \ I es igual a P: ningúnnúmero par es a la vez un número impar.

PropiedadesDe la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:

• Elemento neutro. La diferencia entre un conjunto y el conjunto vacío es el propio conjunto:

A − ∅ = A

•• La diferencia de un conjunto menos él mismo es el conjunto vacío:

A − A = ∅

Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:

• La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto del segundo:

A − B = ∅ si y sólo si A ⊆ B• La diferencia entre dos conjuntos es igual al primer conjunto si sólo si ambos conjuntos son disjuntos:

A − B = A si y sólo si A ∩ B = ∅

La intersección de dos conjuntos es la parte que tienen en común, mientras que la diferencia es la parte que nocomparten. Esto se traduce en la siguiente propiedad:

Dados dos conjuntos, su intersección y su diferencia son disjuntos entre sí, pero su unión es el primero de los conjuntos iniciales:

(A ∩ B) ∩ (A \ B) = ∅, pero (A ∩ B) ∪ (A \ B) = A

Esto quiere decir que la intersección y la diferencia entre A y B son una (posible) partición de A.La diferencia de conjuntos está muy relacionada con el complemento de un conjunto:

El complemento de un conjunto es la diferencia entre el conjunto universal y él mismo:

A∁ = U \ A

Es por esto que la diferencia de dos conjuntos, A menos B, se denomina también el complemento relativo de Brespecto de A: A \ B es el complemento absoluto de B, considerando a A como el conjunto universal . Las leyes de DeMorgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su contrapartida en la diferencia deconjuntos, si se tiene en cuenta que

Si se considera un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos es la intersección del primero con el complemento del segundo:

A \ B = A ∩ B∁

Bibliografía• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

Conjuntos disjuntos 30

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos disjuntos A y B.

Se dice que dos conjuntos son disjuntos si notienen ningún elemento en común . Por ejemplo,{1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.

Definición formal

Los conjuntos A y B no tienen ningún elemento en común.

Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si suintersección es el conjunto vacío; es decir, si

Esta definición se extiende a cualquier colección de conjuntos.Los conjuntos de una tal colección son disjuntos por pares omutuamente disjuntos si cualquier par de conjuntos distintosde ella son disjuntos.

Formalmente sea Ai un conjunto para cada i ∈ I (donde I escualquier conjunto). La familia de conjuntos {Ai | i ∈ I} esdisjunta por pares si para cada i, j ∈ I, con i ≠ j,

Por ejemplo, la colección de conjuntos { {1}, {2}, {3},... } esdisjunta por pares.Si la colección {Ai} es disjunta por pares, su intersección esobviamente vacía:

La implicación inversa no es, sin embargo, cierta: la intersección de la colección es vacía, pero la colección no esdisjunta por pares; no hay, de hecho, dos conjuntos disjuntos en ella (no hay ningún elemento perteneciente a laintersección común, pero sí lo hay en la intersección entre cada par).Una partición de un conjunto X es una colección de subconjuntos no vacíos {Ai | i ∈ I} de X, disjuntos por pares,tales que

Conjuntos disjuntos 31

Enlaces externos• Conjunto disjunto [1]

Referencias[1] http:/ / sipan. inictel. gob. pe/ internet/ av/ cdisjuntos. htm

Fuentes y contribuyentes del artículo 32

Fuentes y contribuyentes del artículoTeoría de conjuntos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55714319  Contribuyentes: .José, 4lex, Aadrover, Acastiello, Airunp, Aleator, Alephcero, AlfonsoERomero, Alhen,Allforrous, Andreasmperu, Antur, Antón Francho, Aracne, Ascánder, Banfield, Biasoli, Cain31415, Chalisimo5, Chanchocan, Cheveri, Cinabrium, Cobalttempest, Comae, Crescent.Moon,Cuate77, Cuky, Cyberdelic, Daipop, Danieleditor, Davidsevilla, Davius, Dianai, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Ebr, Eduardosalg, Ejrrjs, Elessar.telkontar, Elodar, Elwikipedista, Eqcedwin,Farisori, Fmr cosm, Fsd141, Götz, HiTe, Humbefa, Héctor Guido Calvo, JAGT, Javierito92, Jkbw, Jorge C.Al, JorgeGG, Joseaperez, Joxemai, Juan Marquez, Juanes.the.best, Julio grillo,Kiaramaria, Kismalac, Klauestte, Kn, Kolmogorov, Kronoss, Kved, Latiniensis, Laura Fiorucci, Lauranrg, Leonpolanco, Linkedark, Lipedia, Lolmaker, Lucien leGrey, Mafores, MagisterMathematicae, Maldoror, Manwë, Marsa, Matdrodes, Mauricio Maluff, Maximiliano Ulloa Castillo, Moriel, Mortadelo2005, Mpagano, Muro de Aguas, Nicolasdiaz, Nicop, Nyx, Oblongo,Paintman, Palach, Pan con queso, Pólux, Ramjar, Raulshc, Raystorm, Redjhawk, Retama, Richy, Rimeju, Rioman, Roman.astaroth, Rsg, Rubenerm, Sabbut, Samid Limon, Savh, SuperBraulio13,Superzerocool, Tano4595, Technopat, Tirithel, Tito HX, Toad32767, Tomas Sánchez, Torquemado, Ty25, Vargenau, Vitamine, Vivero, Wewe, Wikisilki, Willtron, Yeza, 450 ediciones anónimas

Elemento de un conjunto  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55498096  Contribuyentes: Acratta, Dnu72, Farisori, Jkbw, Jorge c2010, Kismalac, Miss Manzana, 13 edicionesanónimas

Conjunto finito  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55338570  Contribuyentes: Airunp, Andres ernesto guzman, AntBiel, Daniel unam, Diegusjaimes, Egaida, Farisori,GermanX, Ggenellina, HUB, Kismalac, Magister Mathematicae, Matdrodes, Orgullomoore, Queninosta, Tamorlan, Wilfreddehelm, 11 ediciones anónimas

Conjunto infinito  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54796865  Contribuyentes: Alephcero, Diegusjaimes, Digigalos, Domaniom, Farisori, Ggenellina, HUB, Kismalac, MartínOregón, Sabbut, Tomatejc, 8 ediciones anónimas

Álgebra de conjuntos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54018448  Contribuyentes: Ascánder, Açipni-Lovrij, Comae, Diegusjaimes, Digitalfredy, Dnu72, HiTe, IngeniosoHidalgo, Jaxielle, Jomra, Juanes.the.best, Kismalac, Leonpolanco, Linkedark, Lipedia, Melocoton, Qwertyytrewqqwerty, Unaiaia, Vitamine, 35 ediciones anónimas

Unión de conjuntos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55980876  Contribuyentes: Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Domaniom, Elwikipedista, HiTe, Jarisleif, Jkbw, Katastrofico,Kismalac, Lipedia, MI GENERAL ZAPATA, Magister Mathematicae, Mpagano, Netito777, Netzahualcoyotl, Nicop, Sanbec, Seanver, Siempreraul, Superzerocool, 44 ediciones anónimas

Intersección de conjuntos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55985455  Contribuyentes: .Sergio, Antur, Açipni-Lovrij, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Domaniom, Eduardosalg,Elwikipedista, Farisori, Fibonacci, Gelpgim22, Gusbelluwiki, HiTe, Hprmedina, Ingenioso Hidalgo, Jarisleif, Jkbw, Kismalac, Lipedia, MI GENERAL ZAPATA, Matdrodes, Xerox 5B, 46ediciones anónimas

Conjunto vacío  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56288785  Contribuyentes: Alvaro qc, Charly genio, Connie Sachs, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo,Edmenb, Emijrp, Erik Mora, Farisori, Götz, Interwiki, Jkbw, Kismalac, Mansoncc, Manzarek, Matdrodes, Mel 23, Moriel, Numbo3, Raulshc, Raystorm, SMP, Slinky duck, 46 edicionesanónimas

Complemento de un conjunto  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56209312  Contribuyentes: Antonorsi, Antur, Baiji, C'est moi, Dnu72, Domaniom, Farisori, HUB, HiTe, Isha,Jkbw, Juan Mayordomo, Kismalac, Leonpolanco, Lipedia, MI GENERAL ZAPATA, MasterPetar, Matdrodes, Predalien Runner, Pólux, Xenoforme, Yabama, 42 ediciones anónimas

Subconjunto  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54937252  Contribuyentes: Barteik, Biasoli, BlackBeast, Cal Jac02, Dangelin5, Dnu72, Eduardosalg, Farisori, HiTe, Hprmedina,Humbefa, Ingenioso Hidalgo, Jerowiki, Jkbw, Joseaperez, Juan Marquez, Kismalac, Komputisto, MI GENERAL ZAPATA, Matdrodes, Moriel, Mpagano, Oscarjquintana, Pólux, Rdaneel,Ricardogpn, SMP, Sabbut, SaeedVilla, Youssefsan, 58 ediciones anónimas

Diferencia de conjuntos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56187296  Contribuyentes: Açipni-Lovrij, Banfield, Camilo48, Daniel 1234567890, Danieleditor, Danielsidhe,Digigalos, Dnu72, Dreitmen, Edslov, Eduardosalg, Farisori, Fenicio, Fotofilo, GaborLajos, HUB, HiTe, Isha, Jkbw, Kismalac, Linkedark, Lipedia, Magister Mathematicae, Martín Oregón,Matdrodes, Physlord, Robertollefi, SMP, 55 ediciones anónimas

Conjuntos disjuntos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55895781  Contribuyentes: Driani65, Fibonacci, Foundling, HiTe, Julie, Kismalac, Krun00, Leonpolanco, MagisterMathematicae, Mar del Sur, Neodop, Snakefang, 10 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 33

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