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La Gaceta de la RSME, Vol. 15 (2012), Nm. 2, Pgs. 369388 369

Mirando hacia el futuroSeccin a cargo de

Antonio Viruel

Comienza aqu su andadura esta nueva seccin de La Gaceta: unaserie de artculos matemticos, escritos por expertos de distintas reas,que describirn temas de actualidad y resultados que anticipen nuevaslneas de investigacin, y plantearn los problemas importantes an porresolver en las mismas. Todo ello dando una visin de la situacin actualde la Matemtica y unas reseas de carcter histrico y bibliogrfico.

Como no podra ser de otro modo empezamos por los cimientos: lateora de conjuntos. Y para ello tenemos el privilegio de contar con el autorencargado de exponer el tema en la que pretende ser referencia bsica delcorpus matemtico, The Princeton Companion to Mathematics.

La teora de conjuntos

por

Joan Bagaria

1. Introduccin

La teora de conjuntos es una disciplina matemtica relativamente reciente. Tie-ne sus orgenes en la teora de Cantor sobre los ordinales y cardinales transfinitos,desarrollndose a lo largo del siglo XX hasta convertirse en un rea de investigacinmatemtica de gran complejidad tcnica y conceptual.1 La teora de conjuntos es,por una parte, la teora matemtica del infinito, y como tal es una teora mate-mtica ms. Pero, por otra parte, la teora de conjuntos es tambin el fundamentosobre el que descansan todas las dems teoras matemticas, en el sentido de queprcticamente toda la matemtica puede, en principio, reducirse formalmente a lateora de conjuntos. Este papel fundacional hace que la teora de conjuntos ocupeun lugar muy especial entre las diferentes reas de la matemtica y que tenga uninters tambin filosfico.

1Sobre los orgenes de la teora de conjuntos, vase [13].

370 Mirando hacia el futuro

La primera axiomatizacin de la teora de conjuntos fue formulada por Zermeloen 1908 y ya incluye el Axioma de Eleccin (Axiom of Choice, AC). Con la posteriorreformulacin de los axiomas en el formalismo de la lgica de primer orden y laadicin del Axioma de Substitucin2 (Axiom of Replacement), se obtiene la teorade conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) con el Axioma de Eleccin, o ZFC. ZFC esactualmente la teora de conjuntos estndar.3

ZFC es un sistema formal de primer orden, esto es, los axiomas de ZFC seformulan en el lenguaje lgico de primer orden cuyo nico smbolo no lgico es elsmbolo relacional binario (que representa la relacin de pertenencia). Como todateora de primer orden, ZFC est sujeta al Teorema de Completitud de Gdel, de talmanera que un enunciado del lenguaje formal de la teora de conjuntos es vlido enZFC, esto es, verdadero en todos los modelos de ZFC, si y solo si es demostrable enel clculo lgico de primer orden a partir de los axiomas de ZFC. Un modelo de ZFCes un par M,E, donde M es un conjunto o una clase propia y E es una relacinbinaria sobre M , que satisface todos los axiomas de ZFC interpretando el smbolo como la relacin E. Un enunciado es consistente (con ZFC) si y solo si existe unmodelo de ZFC donde el enunciado es verdadero.

Asimismo, ZFC tambin est sujeta a los Teoremas de Incompletitud de Gdel,lo que implica que si ZFC es consistente, entonces hay enunciados que, aun siendoverdaderos, no son demostrables en ZFC. Uno de estos enunciados es precisamente laconsistencia de ZFC. Si ZFC es consistente, entonces no puede demostrar su propiaconsistencia, y por tanto no puede demostrar la existencia de un modelo de ZFC.

As, cuando decimos que un enunciado es consistente con ZFC estamos supo-niendo implcitamente que ZFC es consistente y, por tanto, que existe un modelode ZFC. Para demostrar entonces que un enunciado cualquiera es consistente conZFC se supone que existe un modelo de ZFC y se construye otro modelo de ZFCdonde vale . Si tanto como su negacin son consistentes con ZFC, entonces sedice que es independiente de ZFC, esto es, ni ni su negacin pueden demostrarseen ZFC (a menos que ZFC sea inconsistente).

Teniendo en cuenta que todo enunciado matemtico puede, en principio, forma-lizarse en el lenguaje de la teora de conjuntos, y que los axiomas de ZFC incorporanlos principios bsicos usados en la prctica matemtica habitual, si un enunciado se demuestra consistente con ZFC ello significa que la negacin de no puededemostrarse con los mtodos matemticos habituales. Y si es independiente deZFC, entonces no puede demostrarse ni refutarse con los mtodos matemticoshabituales.

En su papel de fundamento de la matemtica, la teora de conjuntos construye,por una parte, modelos de ZFC donde valen ciertos enunciados matemticos que no

2El Axioma de Substitucin afirma que el recorrido de toda funcin definible cuyo dominio esun conjunto es tambin un conjunto. El Axioma de Substitucin no puede formularse en la lgicade primer orden como un nico axioma, sino como una lista infinita de axiomas, uno para cadafrmula que pueda definir una funcin.

3Como referencia bsica de la teora de conjuntos, vase [19]. Otras referencias tiles son [4],[9], [20], [21] y [22].

La Gaceta ? Secciones 371

sabemos si son demostrables en ZFC o no, demostrando de esta manera su consis-tencia. Por otra parte, la teora de conjuntos descubre y clasifica nuevos axiomasque, aadidos a ZFC, permiten decidir, esto es, demostrar o refutar, los problemasindependientes de ZFC.

Sin duda, el problema indemostrable en ZFC ms famoso es el problema del con-tinuo, esto es, la determinacin de la cardinalidad de R. En 1874 Cantor descubrila no numerabilidad de R y en 1878 formul la Hiptesis del Continuo (ContinuumHypothesis, CH): todo conjunto infinito de nmeros reales es o bien numerable (i.e.,biyectable con N) o bien tiene la misma potencia que el continuo (i.e., es biyectablecon R). Una formulacin equivalente de la CH es que 20 = 1, esto es, la cardi-nalidad del continuo es 1, la menor posible. En su famosa lista de problemas noresueltos, presentada en el Congreso Internacional de Matemticos del ao 1900, enPars, Hilbert puso la CH como el problema nmero 1. El problema del continuo hagenerado algunos de los avances ms importantes de la matemtica del siglo XX,pero sigue hoy todava abierto.

En 1938, Gdel construy su modelo L = L,, el universo constructible, de-mostrando que en L son verdaderos todos los axiomas de ZFC y adems la HiptesisGeneralizada del Continuo (Generalized Continuum Hypothesis, GCH): 2 = +1para todo ordinal . Puesto que la construccin de L no requiere el AC, el resultadode Gdel demuestra que si ZF es consistente, entonces tambin lo es ZFC y la GCH.Veinticinco aos ms tarde, en 1963, Paul Cohen demostr que la negacin de laCH, as como la negacin del AC, son tambin consistentes con ZF, demostrando asla independencia de la CH de ZFC y del AC de ZF. La tcnica de construccin demodelos de la teora de conjuntos descubierta por Cohen para demostrar este resulta-do, conocida como forcing y que le vali la Medalla Fields, represent una autnticarevolucin que permiti resolver un gran nmero de problemas y conjeturas.

Lejos de solucionar el problema del continuo de Cantor, los resultados de indepen-dencia de Gdel y Cohen demuestran nicamente que ZFC es un sistema axiomticodemasiado dbil para decidir algunas de las cuestiones matemticas ms fundamen-tales. El objetivo debe ser, por tanto, el descubrimiento y clasificacin de nuevosaxiomas que, una vez aadidos a ZFC, permitan resolver este tipo de problemas.

En su papel de teora matemtica del infinito, la teora de conjuntos se ha centra-do en el estudio de la estructura del continuo (esto es, de R) y en la combinatoria delos conjuntos infinitos, incluyendo la aritmtica cardinal transfinita. La teora de loscardinales transfinitos constituye una teora matemtica por s misma y su extensinms all de ZFC da lugar a la teora de los grandes cardinales.4

La teora de conjuntos desarrollada por las escuelas de Mosc (Egorov, Lusin,Suslin) y Pars (Borel, Lebesgue, Baire), durante las primeras dcadas del siglo XXse centr en el estudio de los conjuntos de nmeros reales, y posteriormente y de for-ma ms general por parte de matemticos polacos (Sierpiski, Kuratowski, Banach),en conjuntos de puntos en espacios separables y completamente metrizables. Uno delos problemas centrales surgi del descubrimiento por parte de Suslin (a raz de un

4Vase la seccin 6.


error de Lebesgue, quien crey demostrar que toda imagen continua de un conjun-to boreliano es boreliano) de la jerarqua de los conjuntos proyectivos de nmerosreales, esto es, aquellos que pueden obtenerse a partir de los borelianos medianteimgenes continuas y complementos. El problema era determinar si los conjuntosproyectivos posean, como los borelianos, las propiedades de ser medibles en el sen-tido de Lebesgue, de tener la propiedad de Baire (i.e., diferir de un conjunto abiertoen un conjunto de primera categora), u otras propiedades de regularidad, como lapropiedad del conjunto perfecto (i.e., contener un conjunto perfecto en caso de no sernumerable). Esta rea de investigacin, conocida como teora descriptiva de conjun-tos, experiment un punto de inflexin a partir del descubrimiento de la tcnica deforcing a principios de los aos 60, que permiti demostrar que la mayor parte de lascuestiones abiertas sobre los conjuntos proyectivos ms complejos que los analticoseran independientes de ZFC. En paralelo, se demostr que estos mismos problemassobre conjuntos proyectivos podan resolverse usando el Axioma de DeterminacinProyectiva, axioma que de forma inesperada se descubri, a principios de los 80, quees consecuencia de la existencia de grandes cardinales.

Otro de los problemas centrales en el desarrollo de la teora de conjuntos es laHiptesis de Suslin (Suslins Hypothesis, SH): todo conjunto ordenado linealmente,denso, sin extremos, completo y ccc (i.e., tal que toda familia de intervalos disjun-tos dos a dos es numerable) es separable, y por tanto isomorfo a R. En el universoconstructible L hay contraejemplos a la SH, pero en 1972 Solovay y Tennenbaumdemostraron, usando forcing iterado, que la SH es consistente con ZFC. As pues,la SH es independiente de ZFC. Una generalizacin de la demostracin de la consis-tencia de la SH dio lugar a la formulacin y prueba de consistencia del Axioma deMartin, y posteriormente de otros axiomas de forcing, como el Axioma de ForcingPropio o el Axioma de Martin Maximal.

El problema de la medida, esto es, si existe una extensin de la medida de Lebes-gue (no invariante por traslacin) que mida todos los conjuntos de nmeros reales,llev a la formulacin por Ulam en 1930 de la nocin de cardinal medible. Los car-dinales medibles son grandes cardinales, esto es, cardinales cuya existencia no sepuede demostrar en ZFC ya que implicara la consistencia de ZFC; por tanto, suexistencia debe considerarse como un axioma adicional de la teora de conjuntos. Lateora de los grandes cardinales se desarroll enormemente a partir de mediados delsiglo XX y hoy en da constituye una de las reas de mayor importancia, tanto porsu impresionante sofisticacin tcnica como por su aplicabilidad.

La teora de conjuntos ha experimentado un crecimiento espectacular en las lti-mas dcadas. Actualmente se divide en numerosas subreas, las ms importantes delas cuales vamos a describir brevemente en este artculo, indicando en cada caso al-gunos de los resultados ms relevantes as como algunos de los principales problemasabiertos y conjeturas.

1.1. Preliminares

Recordemos algunas nociones bsicas de la teora de conjuntos. Para todas lasnociones no definidas aqu remitimos al lector a [19].


El universo V de todos los conjuntos, descrito por ZFC, se define por recursintransfinita sobre los ordinales (OR). As,

V0 = ,

V+1 = P(V), el conjunto de todos los subconjuntos de V,V =


2. La combinatoria infinita

La combinatoria de los conjuntos infinitos es una de las reas centrales de lateora de conjuntos, ya desde sus orgenes. El anlisis combinatorio de estructurasde cardinalidad infinita, y especialmente no numerable, conduce a la investigacinde conjuntos estacionarios, filtros y ultrafiltros, rboles, rdenes parciales, familiascasi-disjuntas, particiones, etc. Estos objetos constituyen el tema de estudio de lateora de conjuntos combinatoria.

Muchos problemas matemticos en los que es necesario construir un objeto nonumerable, ya sea una estructura algebraica, un espacio topolgico, etc., puedennormalmente reducirse a un problema de combinatoria infinita. Por ejemplo, la ne-gacin de la SH es equivalente a la existencia de un rbol de Suslin, esto es, un rbolde altura 1 tal que todas sus ramas y todas sus anticadenas son numerables. Losgrandes cardinales tambin pueden caracterizarse normalmente en trminos combi-natorios. As, por ejemplo, un cardinal es medible si y solo si existe un ultrafiltrosobre que es no principal y -completo.

Un rea de la combinatoria infinita de gran inters por sus numerosas aplicacio-nes es la teora de Ramsey. Recordemos que el Teorema de Ramsey (en su formams sencilla) afirma que para toda coloracin del conjunto de los pares de nmerosnaturales en dos colores podemos encontrar un subconjunto infinito A N tal quetodos los pares de elementos de A tienen el mismo color.

La generalizacin natural del Teorema de Ramsey a un conjunto no numerable decardinalidad , en lugar de N, implica que es un gran cardinal, llamado dbilmentecompacto, mucho mayor que el primer cardinal inaccesible, aunque el menor cardinaldbilmente compacto es mucho menor que el menor cardinal medible. As pues, lateora de Ramsey en el caso no numerable conduce de manera natural e inexorableal terreno de los grandes cardinales.

La teora de Ramsey topolgica, desarrollada por Nash-Williams, Galvin y Prikryen los aos 60 y 70, estudia la propiedad de Ramsey de conjuntos de reales, y msrecientemente y de modo mucho ms general, en espacios Ramsey (vase [27]). Unconjunto A de reales (en este caso R se identifica con [], el conjunto de todos lossubconjuntos infinitos de nmeros naturales con la topologa derivada del espacio deCantor 2 de las sucesiones binarias) es Ramsey, o tiene la propiedad de Ramsey, siexiste un x [] tal que o bien todos los subconjuntos infinitos de x pertenecen aA, o bien ninguno de ellos pertenece a A. El AC implica que hay conjuntos de realesque no son Ramsey. Pero Galvin y Prikry demostraron que todos los borelianoslo son y Silver demostr que los conjuntos analticos (i.e., imgenes continuas delos borelianos), y por tanto tambin los co-analticos (i.e., complementos de losanalticos), lo son. Ntese que la afirmacin de que todo conjunto de reales es Ramseyes equivalente a afirmar que para toda coloracin de [] en dos colores podemosencontrar un x [] tal que todos los subconjuntos infinitos de x son del mismocolor. Mathias demostr que, en el llamado modelo de Solovay, esto es, el modelointerno L(R) obtenido al colapsar, mediante forcing, un cardinal inaccesible a 1(vase la seccin 4), todo conjunto de reales es Ramsey (en el modelo de Solovay elAC no vale). Uno de los problemas abiertos ms importantes es si la consistencia


de un cardinal inaccesible es necesaria para demostrar la consistencia con ZF deque todo conjunto de reales es Ramsey. De hecho no se sabe ni si la propiedadde ser Ramsey para conjuntos proyectivos ms complejos que los 12 (las imgenescontinuas de los co-analticos) implica que 1 es un cardinal inaccesible en L.

Las aplicaciones de la combinatoria infinita, y en especial de la teora de Ramseyinfinita, han sido muy importantes en reas como la teora de los espacios de Ba-nach. El primer ejemplo fue la demostracin de Farahat del teorema `1 de Rosenthalusando la teora de Ramsey topolgica. Un ejemplo ms reciente de gran impor-tancia es el teorema de Gowers que afirma que todo conjunto abierto del espaciode sucesiones bloque de un espacio de Banach separable de dimensin infinita esdbilmente-Ramsey, pieza clave de la solucin del problema del espacio homogneode Banach. Los trabajos recientes de P. Dodos, J. Lpez-Abad y S. Todorevi sobreespacios de Banach no separables y bases incondicionales es una buena muestra de lapotencia de las tcnicas de combinatoria infinita en la teora de espacios de Banach(vanse, por ejemplo, [2], [8]).

2.1. La Hiptesis de los Cardinales Singulares y la teora pcf

La combinatoria infinita es especialmente compleja e interesante en el caso delos cardinales singulares. Un cardinal es singular si no es regular. Esto es, si es ellmite de una sucesin creciente de longitud menor que y consistente en cardinalesmenores que . Por ejemplo, es singular, ya que es el lmite de la sucesin {n}n.

La Hiptesis de los cardinales singulares (Singular Cardinal Hypothesis, SCH)afirma que si es un cardinal singular tal que para todo < se cumple 2 < ,entonces 2 = +1.

La GCH implica la SCH, y por tanto la SCH es verdadera en L. Pero tambines consistente su negacin, aunque para construir un modelo de ZFC donde no secumpla la SCH se necesita asumir la consistencia de un gran cardinal ms fuerte queun cardinal medible.

La teora de los cardinales singulares experiment una revolucin a finales de los80, con la teora pcf de Shelah. La teora pcf, acrnimo en ingls de cofinalidadesposibles (possible cofinalities), permite aislar las propiedades esenciales, demostrablesen ZFC, de la exponenciacin de cardinales singulares. La teora pcf estudia lascofinalidades posibles de ultraproductos de conjuntos de cardinales regulares. Uno delos resultados ms importantes es el teorema de Shelah que demuestra, en ZFC, quesi es un lmite fuerte, esto es, si 2n < , para todo n, entonces 2 < 4 . Esteresultado es muy sorprendente, ya que ZFC no suele decidir este tipo de cuestiones.

El problema abierto ms importante es la Conjetura pcf de Shelah. Esta afirmaque si A es un conjunto de cardinales regulares tal que |A| < mn(A), entonces|pcf(A)| = |A|. La conjetura implica, por ejemplo, que si es un lmite fuerte,entonces 2 < 1 , siendo este el mejor resultado posible en ZFC.

La teora pcf tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo en la teora de gruposabelianos, topologa, teora de modelos, etc. (vase [25]).


3. La teora descriptiva de conjuntos

La teora descriptiva de conjuntos estudia los conjuntos de nmeros reales relati-vamente simples, como los borelianos o los proyectivos, y por extensin los conjuntosdefinibles mediante frmulas que cuantifican solo sobre puntos, en espacios polacos(mtricos, completos y separables). En particular estudia las propiedades de regula-ridad de estos conjuntos, como la medibilidad de Lebesgue, la propiedad de Baire,la propiedad del conjunto perfecto, la propiedad de Ramsey, etc.

Recordemos que los conjuntos proyectivos son aquellos que se obtienen a partirde los borelianos mediante las operaciones de tomar imgenes continuas y comple-mentos. Las imgenes continuas de los borelianos son los conjuntos analticos, y suscomplementos los co-analticos. Prcticamente todas las cuestiones sobre propieda-des de regularidad de conjuntos proyectivos son independientes de ZFC. Por ejemplo,en L existe un conjunto 12 (la imagen continua de un conjunto co-analtico), queno es Lebesgue medible y que no tiene la propiedad de Baire. Y tambin existe enL un conjunto co-analtico que no tiene la propiedad del conjunto perfecto. Curio-samente, el que todos los conjuntos co-analticos tengan la propiedad del conjuntoperfecto es equivalente a que 1 sea un cardinal inaccesible en L. Por otra partesi, por ejemplo, existe un cardinal medible, entonces todos los conjuntos 12 tienentodas las propiedades de regularidad.

Un resultado espectacular e inesperado, debido a Shelah y Woodin, es que laexistencia de grandes cardinales, por ejemplo, un conjunto infinito de los llamadoscardinales de Woodin (vase la seccin 6), implica que todos los conjuntos proyectivosde nmeros reales tienen todas las propiedades de regularidad clsicas. Un momentode reflexin sobre este resultado no puede dejar de sorprendernos, porque cmo esposible que los grandes cardinales, tan alejados de los conjuntos de nmeros realesen el universo V , tengan una influencia tan determinante sobre sus propiedades msbsicas?

3.1. Los Axiomas de Determinacin

Dado un subconjunto A del espacio de Baire , esto es, el espacio de todas lassucesiones de nmeros naturales, se define el juego GA como sigue: hay dos jugadores Iy II que eligen alternativamente un nmero natural. Esto se repite un nmero infinitode veces hasta producir una sucesin {nm}m . El jugador I gana si la sucesin{nm}m pertenece a A, en caso contrario gana el jugador II.

Una estrategia para uno de los dos jugadores en el juego GA es una funcin queindica al jugador el nmero nm que tiene que elegir en el paso m-simo, tomandocomo argumento la sucesin {nk}k


conjuntos est el teorema de Martin y Steel (1988), que dice que la existencia deinfinitos cardinales de Woodin implica que todo conjunto proyectivo de reales estdeterminado. Por otra parte, Woodin demostr que la determinacin de todos losconjuntos proyectivos implica la consistencia de n cardinales de Woodin, para ca-da n. As pues, la determinacin de todos los conjuntos proyectivos y la existenciade infinitos cardinales de Woodin son esencialmente equiconsistentes.

El Axioma de Determinacin (Axiom of Determinacy, AD), introducido porMycielski y Steinhaus a principios de los 60 y que afirma que todo conjunto dereales est determinado, contradice el AC. Aun as, su estudio tiene inters porquesi existen grandes cardinales, AD vale en algunos modelos internos, por ejemplo enel modelo L(R). Su versin restringida a los conjuntos proyectivos, el Axioma deDeterminacin Proyectiva (Projective Determinacy, PD), se sigue como hemos vistode la existencia de infinitos cardinales de Woodin. El axioma PD parece ser el axiomaadecuado para la teora de los conjuntos proyectivos, ya que decide prcticamentetodas las cuestiones sobre estos conjuntos y lo hace de manera que se comportancomo los borelianos por lo que respecta a sus propiedades de regularidad.

3.2. Conjuntos universalmente Baire

Una propiedad de regularidad de conjuntos de nmeros reales que subsume todaslas propiedades clsicas es la propiedad de ser universalmente Baire5: A esuniversalmente Baire si para toda funcin continua f : X , donde X es unespacio compacto Hausdorff, f1(A) tiene la propiedad de Baire.

Si A es universalmente Baire, entonces es medible Lebesgue, tiene la propiedadde Baire, la propiedad del conjunto perfecto, es Ramsey, etc. Todo conjunto anal-tico, y por tanto todo conjunto co-analtico, es universalmente Baire, pero si todoconjunto 12 es universalmente Baire, entonces hay grandes cardinales (mayores quelos dbilmente compactos) en L.

Es consistente, mdulo la existencia de grandes cardinales, que todo conjuntoproyectivo (y de hecho todo conjunto de reales en L(R)) es universalmente Baire.Y si existe un cardinal de Woodin, entonces todo conjunto universalmente Baireest determinado. Hay cuestiones importantes todava abiertas en relacin al gradode consistencia de la propiedad de ser universalmente Baire para ciertas clases deconjuntos proyectivos, y su relacin con la absolutidad de la teora de los realesrespecto a extensiones de forcing (vase la seccin 4.2).

3.3. Relaciones de equivalencia y problemas de clasificacin

Una de las actividades matemticas ms comunes consiste en la clasificacin deobjetos matemticos, ya sean conjuntos, grupos, estructuras algebraicas en general,espacios topolgicos, operadores, etc. Toda clasificacin implica una o varias relacio-nes de equivalencia. En muchos casos interesantes, los objetos a clasificar pertenecena un espacio estndar Borel (i.e., un espacio polaco con su -lgebra de conjuntos

5Esta propiedad fue introducida por Q. Feng, M. Magidor y W. H. Woodin [12].


borelianos asociada) y las relaciones de equivalencia implicadas son tambin bore-lianas o analticas. Por ejemplo, la clasificacin de los grafos numerables mduloisomorfismo, o, ms generalmente, la clasificacin de clases borelianas de estructu-ras numerables mdulo isomorfismo son de este tipo. El estudio abstracto de lasrelaciones de equivalencia borelianas y analticas en espacios estndar Borel es unade las reas de la teora descriptiva de conjuntos que ha experimentado un mayorcrecimiento en los ltimos aos; en especial, la teora de las relaciones de equiva-lencia borelianas mdulo reducibilidad boreliana. La complejidad del problema deencontrar invariantes completos para un problema de clasificacin se mide por lacomplejidad de la relacin de equivalencia asociada, y la comparacin de la comple-jidad entre las distintas relaciones de equivalencia posibles viene dada por la relacinde reducibilidad. Una relacin de equivalencia boreliana E es Borel reducible a otrarelacin de equivalencia F si existe una funcin boreliana f tal que x E y si y solosi f(x) F f(y). La teora tiene numerosas aplicaciones en la clasificacin de accionesde grupos, teora ergdica, sistemas dinmicos, etc. (vase, por ejemplo, [18]).

Uno de los resultados recientes ms importantes en esta rea es el de Foreman-Rudolph-Weiss [15]. El grupo MPT de las transformaciones del intervalo unidadcon la medida de Lebesgue que preservan la medida tiene una topologa polacanatural, y la topologa inducida en el conjunto de las transformaciones ergdicas estambin polaca. En [15] se demuestra que el conjunto T de los elementos ergdicosde MTP que son isomorfos a su inverso es un conjunto analtico completo (i.e., noboreliano). Ello explica por qu es tan complejo el problema de determinar si lastransformaciones ergdicas son isomorfas o no.

4. El forcing

La tcnica de forcing, descubierta por Cohen para demostrar la consistenciade la negacin de la CH, ha sido desarrollada a lo largo de los casi 50 aos desu existencia de manera impresionante, dando lugar a una teora extremadamentesofisticada desde el punto de vista tcnico que ha permitido resolver un gran nmerode problemas abiertos, tanto dentro de la misma teora de conjuntos como en otrasreas de la matemtica.

Dado un modelo M (numerable y transitivo) de un fragmento finito suficiente-mente grande de ZFC, y dado un orden parcial P en M , se construye una extensinde forcing M [G], donde G P es un filtro genrico sobre M , esto es, G intersecatodos los subconjuntos densos de P que pertenecen a M . El modelo M [G] contienenuevos conjuntos (en particular el conjunto G) y sigue siendo un modelo de ZFC. Porejemplo, en la construccin original de Cohen, M se expande aadiendo 2 realesnuevos, preservando el cardinal 2 deM , de tal manera queM [G] no satisface la CH.El mtodo es extraordinariamente flexible. Mediante forcing se pueden aadir a unmodelo M no solo nmeros reales, sino cualquier tipo de conjunto. Mediante forcingse pueden colapsar cardinales (por ejemplo, hacer que en la extensin genricaM [G]el cardinal 1 de M sea numerable, y por tanto ya no sea un cardinal); se puedehacer que el continuo tenga cualquier cardinalidad deseada, siempre y cuando sea


de cofinalidad no numerable; pueden crearse nuevos conjuntos de reales con propie-dades extraas, por ejemplo, conjuntos de Lusin o de Sierpinski, i.e., conjuntos dereales no numerables que intersecan a todos los conjuntos de primera categora (res-pectivamente a todos los conjuntos nulos en el sentido de Lebesgue) en un conjuntonumerable; se pueden crear y destruir rboles de Suslin a voluntad; se pueden cons-truir grupos, espacios, etc., con propiedades especiales y cuya existencia no puededemostrarse en ZFC.

4.1. Axiomas de forcing

Para construir un modelo de la SH forzando a partir de un modelo M se debendestruir todos los contraejemplos, esto es, todos los rboles de Suslin. Destruir unrbol de Suslin es fcil, pero al hacerlo se pueden crear otros sin querer, de tal maneraque la extensin M [G] no es todava un modelo de la SH. As pues, hay que forzarde nuevo para destruir los nuevos rboles de Suslin que hayan podido crearse. Y assucesivamente. La cuestin es cuntas veces debe iterarse el proceso para destruirtodos los rboles de Suslin. En una de las primeras aplicaciones del forcing iterado,Solovay y Tennenbaum demostraron que, si se parte de un modelo M que satisfacela GCH, se puede construir un modelo de la SH destruyendo sucesivamente todoslos contraejemplos posibles en 2 pasos.

La teora del forcing iterado se desarroll de forma exponencial a partir deltrabajo de Shelah [26] sobre forcing propio. Los forcings propios permiten ser iteradossin colapsar 1. Con una iteracin de forcing propio se puede construir, por ejemplo,un modelo de la GCH junto con la SH.

Un resultado de la teora de las iteraciones de forcing son los axiomas de for-cing. El axioma de forcing ms conocido es el Axioma de Martin (Martins Axiom,MA). MA (para 1) afirma que en todo espacio topolgico compacto Hausdorff yccc (esto es, en el que toda familia de conjuntos abiertos y disjuntos dos a dos esnumerable) la interseccin de 1 conjuntos densos y abiertos es no vaca. As, MA esuna generalizacin natural del teorema de categora de Baire al caso no numerable.Una formulacin equivalente y que explica por qu MA es un axioma de forcing esla siguiente: para todo orden parcial P ccc y toda familia D : < 1 de subcon-juntos densos de P, existe un filtro G P que es genrico para la familia, esto es,G D 6= para todo < 1.

MA tiene numerosas aplicaciones (vase, por ejemplo [16]). MA implica la SH,que la cofinalidad del continuo es mayor que 1, que la unin de 1 conjuntos demedida 0 en el sentido de Lebesgue es de medida 0, que no hay familias casi disjuntasde subconjuntos infinitos de maximales de cardinalidad 1, etc.

Con el descubrimiento del forcing propio por Shelah y la demostracin de la con-sistencia del Axioma de Forcing Propio (Proper Forcing Axiom, PFA) por Baum-gartner, y tambin de la consistencia del Axioma de Martin Maximal (Martins Ma-ximum, MM) por Foreman-Magidor-Shelah [14], ambos asumiendo la existencia deun cardinal supercompacto, la teora del forcing iterado y de los axiomas de forcingasociados experiment un salto espectacular. Entre las aplicaciones ms importan-tes tenemos que el PFA implica la SCH (Viale); que la cardinalidad del continuo


es 2 (Todorevi-Velikovi); que todo par de subconjuntos 1-densos de R sonisomorfos (Baumgartner); que todo conjunto proyectivo est determinado (i.e., elaxioma PD) (Schimmerling-Steel) y que existe una base de 5 elementos para todoslos rdenes lineales no numerables (la Conjetura de Shelah, resuelta recientementepor Moore [24]).

El problema abierto ms importante en esta rea es, sin duda, el clculo delgrado exacto de consistencia de PFA. Se conjetura que es exactamente un cardinalsupercompacto, y hay ms que indicios de que ello sea as, ya que, como han de-mostrado M. Viale y C. Weiss, todo modelo de PFA construido de manera naturalmediante forcing iterado debe partir de un supercompacto.

En los ltimos cinco aos se han publicado un gran nmero de resultados sobreC-lgebras en los que la teora de conjuntos, y en especial los axiomas de forcingtienen un papel esencial. Por ejemplo, Farah [11] demuestra que el Axioma de To-dorevi, una forma dbil del PFA, implica que todos los automorfismos del lgebrade Calkin son internos.

4.2. Absolutidad genrica

Un enunciado del lenguaje de la teora de conjuntos (que puede contener pa-rmetros) es absoluto entre V y una extensin V [G] si es verdadero en V si y solosi lo es en V [G]. En realidad no hay extensiones de forcing de V , ya que no hayconjuntos fuera de V , y por tanto hablar de una extensin V [G] no tiene sentido.De todas formas, la nocin de extensin genrica de V puede formalizarse dentro deV de manera precisa, lo que legitima esta manera de hablar.

Todos los enunciados existenciales con parmetros en H1 son absolutos. Perosi permitimos parmetros en H2 , entonces la absolutidad de estos enunciados esequivalente a ciertos axiomas de forcing. Por ejemplo, MA (para 1) es equivalentea que todo enunciado existencial con parmetros en H2 que es verdadero en unaextensin V [G] obtenida mediante un forcing ccc es verdadero en V .

Curiosamente, las propiedades de regularidad clsicas para conjuntos proyectivospueden caracterizarse tambin en trminos de absolutidad genrica. Por ejemplo,todo conjunto 12 es medible en el sentido de Lebesgue si y solo si todo enunciado 13(esto es, de la forma xyz, donde x, y, z varan sobre reales y es un enunciadoaritmtico que puede contener reales como parmetros) es absoluto entre V y lasextensiones genricas V [G] obtenidas mediante el forcing llamado Amoeba.

Uno de los problemas abiertos ms importantes es si la absolutidad genrica de lateora proyectiva de los nmeros reales es equivalente a que todo conjunto proyectivotenga la propiedad de ser universalmente Baire. El problema est abierto en las dosdirecciones y nada hace presagiar que la solucin est cercana.

Otro problema abierto importante es si la absolutidad genrica de los enunciadosproyectivos respecto de extensiones de forcing borelianas y ccc implican las propie-dades de regularidad clsicas para conjuntos proyectivos.

El grado de consistencia de la absolutidad proyectiva es exactamente la existenciade infinitos cardinales fuertes.6 Los cardinales fuertes son mucho ms grandes que

6Vase la seccin 6.


los medibles, aunque ms dbiles que los supercompactos. Y la existencia de unaclase propia de cardinales de Woodin implica que la teora proyectiva de los reales esabsoluta entre V y cualquier extensin de forcing V [G], esto es, la teora proyectivade los reales no se puede modificar mediante forcing.

5. La teora de conjuntos de los reales

Adems de la teora descriptiva de conjuntos, otra de las reas de la teora deconjuntos centrada en el estudio del continuo es la que se conoce como teora deconjuntos de los nmeros reales. Actualmente, esta rea consiste especialmente enel anlisis y clasificacin de los llamados invariantes cardinales. Estos son nmeroscardinales asociados al continuo que pueden tomar valores distintos en distintosmodelos. Como es usual en teora de conjuntos, el continuo se identifica con elespacio de Baire de las sucesiones de nmeros naturales.

Un ejemplo de cardinal invariante es el nmero dominante d, el menor cardinalde una familia de funciones f : que casi (esto es, excepto en un nmerofinito de valores) acota toda otra funcin. Otro cardinal invariante de gran interses el nmero acotador (bounding number) b, el menor cardinal de una familia defunciones f : que no puede casi acotarse por ninguna funcin. Claramente,b d, pero existen modelos de ZFC donde los dos cardinales coinciden y otros enlos que son distintos. Existe una gran variedad de cardinales de este tipo. Si vale laCH, entonces todos ellos coinciden con la cardinalidad del continuo, esto es, con 1.Pero si no vale la CH, entonces la estructura del continuo viene determinada en granmedida por el tamao relativo de estos cardinales.

En los ltimos 30 aos se han construido modelos, obtenidos mediante tcnicasde forcing muy sofisticadas, donde estos cardinales se relacionan casi de todas lasmaneras posibles. Pero todava quedan algunas cuestiones abiertas muy importan-tes. Por ejemplo, todava existen algunas relaciones entre cardinales invariantes queno se sabe si son consistentes. Tampoco se pueden construir con la tecnologa actualmodelos donde el continuo es grande (esto es, 3), y dados tres cardinales inva-riantes cualesquiera, estos toman tres valores posibles (por ejemplo, 1, 2 y 3)respetando, claro est, las relaciones necesarias entre ellos.

6. Los grandes cardinales

Como ya hemos visto, los grandes cardinales son cardinales infinitos cuya exis-tencia no puede demostrarse en ZFC ya que implican la consistencia de ZFC, y elloes imposible a menos que ZFC sea inconsistente (por el Teorema de Incompletitudde Gdel). Un cardinal es inaccesible si es regular y V es un modelo de ZFC. Loscardinales inaccesibles son los grandes cardinales ms pequeos y, como todos losgrandes cardinales, su existencia debe asumirse como axioma adicional.

Los grandes cardinales forman una jerarqua bien ordenada que sirve de vara paramedir la fuerza de los enunciados matemticos. Es un hecho emprico que, dado unenunciado matemtico cualquiera , o bien es equiconsistente con ZFC o bien lo


es con ZFC junto con la existencia de un gran cardinal. Este es un hecho de granutilidad por la siguiente razn. Supongamos que un enunciado A es equiconsistentecon la existencia de un gran cardinal, digamos un cardinal medible, y otro enunciadoB es equiconsistente con ZFC o con la existencia de, digamos, un gran cardinalms dbil que un cardinal medible, por ejemplo un cardinal dbilmente compacto oun inaccesible. Entonces podemos concluir que, si B es consistente, entonces B noimplica A, ya que si as fuera la consistencia de un cardinal dbilmente compacto oinaccesible implicara la consistencia de un cardinal medible, lo que es imposible porel Teorema de Incompletitud de Gdel.

Por ejemplo, la propiedad de Baire para todos los conjuntos proyectivos no puedeimplicar la medibilidad de Lebesgue de estos conjuntos, ya que el que tengan lapropiedad de Baire es equiconsistente con ZFC, esto es, no se necesitan grandescardinales para obtener un modelo donde todos los conjuntos proyectivos tengan lapropiedad de Baire, mientras que la medibilidad de Lebesgue para estos conjuntos esequiconsistente con la existencia de un cardinal inaccesible (ambos resultados debidosa Shelah). Otros ejemplos importantes de enunciados matemticos equiconsistentescon la existencia de grandes cardinales son los siguientes: que todos los conjuntos dereales en L(R) tengan las propiedades de regularidad clsicas es equiconsistente conla existencia de un cardinal inaccesible. La existencia de una extensin de la medidade Lebesgue a todos los conjuntos de reales es equiconsistente con la existenciade un cardinal medible. La determinacin de todos los conjuntos proyectivos esequiconsistente con la existencia, para todo nmero natural n, de un modelo internocon n cardinales de Woodin. As, suponiendo que estos enunciados sean consistentes,ninguno de ellos implica el siguiente, ya que el gran cardinal asociado a cada uno delos enunciados es estrictamente mayor.

Un cardinal es medible si existe un ultrafiltro (i.e., una medida con valores en{0, 1}) no principal y -completo sobre . Sorprendentemente, los cardinales medi-bles pueden caracterizarse en trminos de la existencia de inmersiones elementales(i.e., que preservan la validez de los enunciados, con parmetros) del universo V enuna clase transitivaM . As, un cardinal es medible si y solo si existe una inmersinelemental j : V M tal que el primer ordinal movido por j, el llamado punto crticode j, es precisamente .

Un famoso teorema de Kunen establece que no existe ninguna inmersin elemen-tal j : V V , exceptuando la identidad. Este hecho conduce naturalmente a laformulacin de nociones de grandes cardinales ms y ms grandes postulando laexistencia de una inmersin elemental j : V M con punto crtico , donde M esms y ms parecido a V . Por ejemplo, si se requiere que V M , se tiene que es-fuerte. Decimos que es fuerte si es -fuerte para todo ordinal . Si exigimos queM est cerrado bajo sucesiones de longitud tenemos que es -supercompacto,y decimos que es supercompacto si es -supercompacto para todo ordinal . Si es supercompacto, entonces es fuerte y existen muchos cardinales fuertes menoresque . Y si es fuerte, entonces es medible y existen muchos cardinales mediblesmenores que .

Los cardinales de Woodin se encuentran entre los cardinales fuertes y los super-compactos. Un cardinal es de Woodin si para toda funcin f : existe un


cardinal < cerrado bajo f y existe una inmersin elemental j : V M conpunto crtico tal que Vj(f)() M . Un cardinal de Woodin no tiene por qu sermedible (el menor de ellos no lo es), pero la existencia de un cardinal de Woodinimplica la existencia de muchos cardinales medibles. Si es Woodin, entonces haymuchos cardinales menores que que son -fuertes para todo < .

Otro principio de existencia de grandes cardinales es el llamado Principio de Vo-peka (Vopekas Principle, VP), que afirma que no existe una clase propia rgidade grafos, esto es, una clase propia de grafos entre los que no existe ningn homo-morfismo distinto de la identidad. El VP es mucho ms fuerte que la existencia deun cardinal supercompacto ya que implica la existencia de una clase propia de ellos.

Los grandes cardinales, incluso los muy grandes, como los compactos o super-compactos, o el VP, aparecen de forma natural en otras reas de la matemtica.Por ejemplo la existencia de un homomorfismo no trivial h : Z/Z


Todas las demostraciones conocidas del Teorema de Kunen usan el AC. Un pro-blema abierto de gran inters es si el uso del AC es necesario, es decir, si la existenciade una inmersin elemental no trivial j : V V es consistente con ZF.

La mayora de los grandes cardinales pueden caracterizarse en trminos de re-flexin. Por ejemplo, es inaccesible si y solo si es regular y refleja todos losenunciados existenciales, esto es, todo enunciado existencial acerca de conjuntos enV que es verdadero en V , es tambin verdadero en V; es dbilmente compacto siy solo si todo enunciado universal de segundo orden acerca de conjuntos en V quees verdadero en V es verdadero en V; es el menor cardinal supercompacto si ysolo si es el menor cardinal que refleja la estructura de todos los V, esto es, paratodo > existe un < y una inmersin elemental j : V V.

A medida que nos acercamos a una inmersin elemental j : V V , el riesgode inconsistencia aumenta. Por ello, uno de los programas de investigacin msinteresantes en teora de conjuntos, tanto matemticamente como desde el puntode vista filosfico, es encontrar caracterizaciones de los cardinales muy grandes quesean naturales y, a ser posible, intuitivamente razonables; en particular, determinarsi todos los grandes cardinales, o al menos los ms importantes, pueden caracterizarseen trminos de alguna forma natural de reflexin.

6.1. El programa de los modelos internos

El universo constructible L es el menor modelo interno de ZFC (i.e., el menormodelo transitivo de ZFC que contiene todos los ordinales). En L no hay cardinalesmedibles (si bien es cierto que todos los cardinales, incluidos los medibles, estnen L, la medida que hace que un cardinal sea medible no puede pertenecer a Ly, por tanto, en L, no es medible). Pero si existe un cardinal medible , entoncesexiste un modelo interno que contiene una nica medida sobre . Este es el menormodelo interno en el que es un cardinal medible.

El programa de los modelos internos intenta construir, para cada gran cardinal ,un modelo interno que es el ms pequeo en el que tiene las propiedades delgran cardinal en cuestin. Por ejemplo, el modelo de Martin-Steel para infinitos car-dinales de Woodin es un modelo interno para este tipo de cardinales. Normalmentese requiere que los modelos internos sean parecidos a L, en el sentido de que suconstruccin proceda paso a paso, por recursin transfinita, y tengan algunas de laspropiedades estructurales y combinatorias que tiene L.

El inters en la construccin de modelos internos para cardinales cada vez mayo-res radica en que pueden ser utilizados para demostrar que un enunciado matemticodado implica la consistencia de grandes cardinales, probando as la imposibilidad dela demostracin del enunciado en ZFC, o en ZFC ms la existencia de grandes cardi-nales menores. Por ejemplo, la negacin de la SCH en implica que existen modelosinternos con cardinales mayores que los medibles, lo que a su vez implica que no sepuede demostrar la negacin de la SCH en en ZFC, ni tan siquiera en ZFC msla existencia de cardinales medibles.

Hasta ahora se han construido modelos internos para cardinales hasta el nivelde un cardinal de Woodin que es un lmite de cardinales de Woodin (Neeman).


El gran problema abierto es la construccin de un modelo interno para un cardinalsupercompacto, una meta totalmente inaccesible hasta el momento. De todas formas,en un trabajo todava incompleto, Woodin construye un modelo interno para unsupercompacto asumiendo algunas hiptesis de iterabilidad todava no demostradas.Si la construccin es finalmente posible, este modelo contendra todos los grandescardinales conocidos.

6.2. Sobre las aplicaciones de los grandes cardinales

Los grandes cardinales tienen multitud de aplicaciones. Hay consecuencias direc-tas de la existencia de grandes cardinales, por ejemplo, si existe un cardinal medibleentonces hay conjuntos no constructibles, o si existen infinitos cardinales de Woo-din, todo conjunto proyectivo est determinado. Pero la mayor aplicabilidad de losgrandes cardinales es en combinacin con el forcing, esto es, se asume la existenciade grandes cardinales para poder obtener un determinado modelo mediante forcing.Por ejemplo, en 1964 Solovay demostr que si mediante forcing se colapsa un cardi-nal inaccesible a 1, entonces en la extensin genrica todo conjunto de reales quepertenece al modelo L(R) es medible. Como L(R) satisface ZF, se sigue que no esposible demostrar la existencia de conjuntos de reales no medibles en el sentido deLebesgue sin el AC.

En muchos casos, la suposicin de la existencia de grandes cardinales es necesariapara obtener el modelo que se desea, ya que sabemos, por ejemplo mediante elmtodo de los modelos internos, que el enunciado en cuestin implica que existengrandes cardinales en L o en otro modelo interno mayor. Este es el caso de lamedibilidad de Lebesgue de los conjuntos proyectivos, que implica que 1 es uncardinal inaccesible en L.

En otros casos, los grandes cardinales son tiles para resolver un problema de-terminado, ya que permiten usar tcnicas y argumentos mucho ms potentes que losusuales, aunque una vez resuelto el problema se pueda encontrar una solucin mssimple y ver que los grandes cardinales no eran realmente necesarios. Por ejemplo,Laver [23] demostr que las inmersiones elementales j : V V con la operacinj k =


7. La Lgica y la Conjetura

Woodin introdujo en 1999 la lgica . Un enunciado es vlido en esta lgica si esverdadero en todo modelo de la forma V [G], donde G es genrico sobre V (esto es,verdadero en todos los V de todas las extensiones de forcing de V ). Asumiendo laexistencia de una clase propia de cardinales de Woodin, la clase de los enunciados v-lidos es esencialmente (recursivamente equivalente a) la clase de enunciados 2 (estoes, de la forma xy, donde es una frmula sin cuantificadores no acotados) quepueden ser forzados sobre V , es decir, que son verdaderos en alguna extensin deforcing de V . Los enunciados 2 incluyen la mayor parte de los enunciados mate-mticos de inters. Ntese, por ejemplo, que tanto la CH como la SH, as como susnegaciones, son enunciados 2.

Woodin introduce tambin una nocin de -demostrabilidad que, aunque natu-ral, es demasiado tcnica para definirla en este artculo. Una demostracin vienedada por un conjunto de reales con la propiedad de ser universalmente Baire. Unacaracterstica importante de la lgica es que los enunciados vlidos en la lgica son absolutamente vlidos, es decir, vlidos en cualquier extensin genrica de V .

Los enunciados demostrables en la lgica son vlidos. Y la Conjetura afirmael recproco, esto es, que todo enunciado vlido de la lgica es -demostrable.Suponiendo que existe una clase propia de cardinales de Woodin, la Conjetura esconsistente. Adems, la Conjetura es genricamente absoluta, esto es, vale en Vsi y solo si vale en cualquier extensin de forcing de V .

7.1. La Lgica y la CH

Woodin ha demostrado que la lgica , y en particular la Conjetura , tieneconsecuencias importantes sobre la CH.

Woodin aisl un axioma, el axioma (), que decide en la lgica todos losenunciados sobre H2 , incluyendo predicados para el ideal de los subconjuntos noestacionarios de 1 y los conjuntos de reales que pertenecen a L(R). Esta clase deenunciados incluye la mayora de los enunciados matemticos de inters. La cuestines, por tanto, si () es un axioma razonable o no, en particular si () es consistentecon la existencia de grandes cardinales.

El axioma () implica que la cardinalidad del continuo es 2. Pero lo ms sorpren-dente es que, como Woodin demostr, si vale la Conjetura , entonces, asumiendola existencia de grandes cardinales y una cierta hiptesis tcnica muy razonable,cualquier axioma que decida todos los enunciados de la misma complejidad que laCH en la lgica implica necesariamente la negacin de la CH. Se sigue, por tanto,que la CH no es una hiptesis razonable.

Un resultado importante, obtenido recientemente por D. Asper, P. Larson yJ. Moore [3], es que existen dos enunciados 2, A y B, tales que cada uno de ellos esconsistente con la CH (asumiendo la existencia de grandes cardinales), los dos sonconsistentes simultneamente, pero juntos implican la negacin de la CH. De nuevo,este resultado muestra que la CH no es razonable, ya que contradice cualquier axioma


(consistente con grandes cardinales) que decida de la forma ms completa posible laclase de los enunciados 2.

A pesar de toda esta evidencia favorable a la negacin de la CH, Woodin haemprendido en los ltimos aos un nuevo programa de construccin de un modelointerno que, aun teniendo una estructura parecida a L, contenga tambin todos losgrandes cardinales conocidos. Este modelo L-mximo (ultimate L) satisface la GCH.Suponiendo que la construccin de este modelo sea finalmente posible, la cuestines si el axioma que afirma que la teora de V es (esencialmente) la de este modeloes un axioma razonable de la teora de conjuntos.

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Joan Bagaria, ICREA (Instituci Catalana de Recerca i Estudis Avanats) y Departa-ment de Lgica, Histria i Filosofia de la Cincia, Universitat de Barcelona, Montale-gre 6, 08001 BarcelonaCorreo electrnico: [email protected]

IntroduccinPreliminares

La combinatoria infinitaLa Hiptesis de los Cardinales Singulares y la teora pcf

La teora descriptiva de conjuntosLos Axiomas de DeterminacinConjuntos universalmente BaireRelaciones de equivalencia y problemas de clasificacin

El forcingAxiomas de forcingAbsolutidad genrica

La teora de conjuntos de los realesLos grandes cardinalesEl programa de los modelos internosSobre las aplicaciones de los grandes cardinales

La Lgica y la Conjetura La Lgica y la CH

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