Materia: Matemáticas Discretas

Mónica Zaima Viquez Cano

Mayo 2008.

Objetivo General :

Que el alumno identifique las propiedades de la teoría de grupos.

Objetivos Particulares:

1. Que el alumno identifique las propiedades geométricas de la teoría de grupos.

2. Que el alumno conozca las principales propiedades de los grupos en particular de los grupos geométricos.

3. Que el alumno desarrolle algunos ejemplos de la teoría de grupos.

LA NATURALEZA DEL

INTERES DE LA TEORIA DE

GRUPOS

Simetrias en la naturaleza

Teselaciones y Grupos Simétricos

Solidos PlatonicosDentro de las infinitas formas poliédricas que existen hay unas que, por sus simetrías, han ejercido siempre una gran atracción sobre los hombres.

Se trata de los poliedros regulares, cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y en cuyos vértices concurren el mismo número de caras

Platón, en su obra Timaeus, asoció cada uno de los cuatro elementos que según los griegos formaban el Universo, fuego, aire, agua y tierra a un poliedro: fuego al tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al hexaedro o cubo

Finalmente asoció el último poliedro regular, el dodecadro, al Universo. Por este motivo estos poliedros reciben el nombre de sólidos platónicos. Se puede observar una representación de los poliedros realizada por Kepler, en la que aparece representada esta asociación

Solidos Platonicos

Cuando en 1987 por primera vez los rayos X mostraron una simetríapentagonal dentro de un cristal, se le llamó cuasicristal, porque lateoría prohibe esta clase de ordenamiento en los cristales “normales”.

Solidos PlatonicosEl fondo de la celda de un panal de abejas tiene tres caras rombales. Ası´, cada cara puede usarse deforma muy práctica. Lo mismo se aplica a la parte inferior del conjunto de celdas del lado opuesto. Tres de estas caras rombales forman una esquina del “pequeño” romboide de Kepler

Solidos Platonicos

Imagen fotográfica de dos copos de nieve

Casi todos las flores poseen una simetría pentagonal,mostrando “los colores de la vida”, como dijoKepler

Solidos PlatonicosA sugerencia del físico Max von Laue, se investigó por primera vezun cristal con rayos x en 1912. Las fotografías resultantes mostraronpuntos de luz simétricamente ordenados. Del orden de estos puntossobre la pantalla, uno puede deducir el orden espacial sexangulardel cristal

Los fullerenos, el más simple de los cuales contiene 60 átomos de carbón,pueden representarse como cristales bidimensionales en un espacio decurvatura positiva constante.

http://en.wikipedia.org/wiki/Phosphoric_acid

•El álgebra abstracta:•Surge por la necesidad de estudiar con más exactitud las definiciones matemáticas.•El algebra abstracta o moderna estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo oespacio vectorial.

La Teoría de Grupos

Nacida para resolver la ecuación de quinto grado, se ha consolidado como el lenguaje oficial de todas las simetrías,

y como la simetría aparece en campos muy diferentes de la actividad humana –música, pintura, literatura, ciencias

naturales- la importancia de este lenguaje es extraordinaria. El primer capítulo del libro está dedicado precisamente a

hacer visibles las relaciones de simetría en distintas áreas y facetas de la vida cotidiana.

El intento del hombre por comprender y explicar la Naturaleza tendrá su mejor aliado en la simetría –en particular, en

las revoluciones de la mecánica cuántica o de la relatividad el papel jugado por la simetría es esencial- y el lenguaje

de la simetría, como ya ha quedado dicho, es la teoría de Grupos.

Los capítulos tercero, cuarto y quinto se ocupan de la historia de la milenaria búsqueda de solución para las

ecuaciones algebraicas. Una historia que arranca con las aportaciones de egipcios, griegos, indios o árabes y llega al

Renacimiento italiano donde la resolución de la ecuación cúbica se nos cuenta con todo detalle. El ambiente científico

de la época y las disputas entre los protagonistas quedan perfectamente descritas en el texto que engancha y que se

deja leer con facilidad.

El siguiente paso en la resolución de ecuaciones era encontrar la solución general para la ecuación de quinto grado.

Aquí emergen con luz propia dos figuras, dos grandes genios, a quienes el libro dedica un auténtico homenaje: Abel

(la ecuación de 5º grado no es resoluble por radicales) y Galois (cuáles son las condiciones para que dicha ecuación

pueda ser resoluble por radicales). Mario Livio nos cuenta con profusión de información la vida de estos dos célebres

matemáticos y también nos da indicaciones sobre la profundidad de su obra.

Niels Henrik Abel nació el 5 de agosto de 1802 en la isla de Finnöy en la costa sudoccidental de

Noruega. Al principio de su instrucción Abel se mostraría como un estudiante indiferente, más bien

mediocre y sin que incluso las matemáticas le despertaran atracción alguna. Era notorio su malestar

en la escuela. No obstante, un inesperado cambio se produjo a raíz de la muerte de un condiscípulo

ante los malos tratos de un maestro brutal que se excedía con castigos corporales a sus alumnos.

El maestro fue entonces relevado (1818) por un joven matemático de mayor competencia, Bernt

Holmboe (1795-1850), quien incentivó a sus alumnos a resolver por sí mismos problemas de

álgebra y de geometría, Abel se familiarizó con resultados superiores conocidos en su época,

afanándose en las tres obras de L. Euler (1707-1803) sobre el cálculo, de I. Newton (1642-1727), de

C.F. Gauss (1777-1855), de J.L. Lagrange (1736-1813)En la revista Magazin for Naturvidenskaben que se imprimió en Noruega en 1823, se publicaron

algunos breves trabajos de Abel, entre ellos uno en el que aparece por primera vez elplanteamiento y la solución de una ecuación integral.En su último año de escuela, Abel se mostraríamuy interesado en un importante problema del álgebra, infructuosamente afrontado desde el siglo

XVI y que a pesar de los esfuerzos de Lagrange y otros matemáticos, figuraba entre los grandes

problemas abiertos. En términos concretos, se trataba de hallar la solución mediante radicales de la

ecuación algebraica general de quinto grado ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 (llamada quíntica,)

Abel estaba enterado no sólo de las fórmulas de Cardano y de Bombelli para las ecuaciones cúbica

y cuártica, sino que conocía muy bien la problemática pendiente. Ya desde fines de 1823, Abel

llegaría a la conclusión de que resultaba imposible la resolución algebraica quíntica

En agosto de 1825 emprendió el viaje al extranjero, aunque antes de partir editó una breve

memoria en la que se exhibía la idea de la inversión de las elípticas.

En su memoria sobre el problema anterior, destacó que se debían indagar las condiciones para

poder resolver algebraicamente ecuaciones de cualquier grado.

E. Galois (1811-1832) para sentar las bases de su teoría de ecuaciones mediante la de grupos, mostrando que a cada

ecuación corresponde un grupo de sustituciones. Abel investigó la estructura de los grupos conmutativos y mostró que

son producto de grupos cíclicos. No obstante, no destacaría en su trabajo el concepto de grupo (ni , claro está, la

noción explícita de subgrupo normal). Crelle era un destacado ingeniero, una de cuyas obras fue el primer ferrocarril

prusiano entre Berlín y Postdam y autor también de algunos trabajos matemáticos. Crelle sería un fuerte impulsor de la

matemática en Prusia, fundando (1825) el Journal für die reine und angewandte Mathematik (Journal de Crelle), revista

pionera de matemática pura en el mundo y la más prestigiosa de Alemania.

Abel estableció una cordial amistad con Crelle, quien pronto adivinó que aquél era un genio. En los primeros números

editó 7 de sus trabajos; publicando 22 en total en el Journal de Crelle.

El manuscrito de Abel (que contiene el ya conocido como su gran teorema) se refiere a la extensión del teorema de

adición de Euler para integrales elípticas, al caso de integrales de funciones racionales R(x, y(x)) de la variable x y de

cualquier función algebraica y(x). Grosso modo, el teorema enuncia “cualquier suma de integrales de la forma R(x,

y)dx, donde las variables están relacionadas por f(x,y)=0 (f=polinomio en x e y ), puede expresarse en términos de un

número fijo p de integrales de ese tipo más términos algebraicos y logarítmicos”. El mínimo número p depende sólo de

la ecuación f(x,y)=0, el cual luego sería llamado género de la misma. Esto muestra que reconoció dicha noción

fundamental antes que B. Riemann (1826-1866). Abel transformó radicalmente la teoría de integrales elípticas en la

teoría de funciones elípticas, haciendo uso de las funciones inversas de aquéllas, mucho más fáciles de manipular. Los

teoremas de adición de funciones elípticas, representan por otra parte, aplicaciones especiales del teorema de Abel

sobre la suma de integrales de funciones algebraicas. Esta cuestión dio origen a investigar las integrales hiperelípticas

(una generalización de las que Abel inició sus pasos, para que se invirtieran al igual que las elípticas). naciendo así la

teoría de funciones abelianas de p variables La obra de Cauchy inspiró a Abel y algunos criterios de convergencia

llevan hoy el nombre de Abel. Este advirtió y corrigió (1826) el error de Cauchy de su falso teorema sobre la

continuidad del límite de una serie convergente de funciones continuas. Es claro que Cauchy aún no tenía la idea del

concepto de convergencia uniforme .

Desde hacía tiempo Abel padecía tuberculosis, en la Navidad de 1828 viajó a Fröland. Mediado 1829 empeoró a causa

de una hemorragia persistente. Padeció su peor agonía la noche del 5 de abril y el día 6 falleció. Tenía 26 años y ocho

meses.Dos días después de su muerte, una carta de Augusto Crelle, anunciaba que la Universidad de Berlín le habíanombrado profesor de matemáticas.

Gauss y Humboldt solicitarían también una cátedra para Abel. Legendre, Poisson y Laplace, escribieron asimismo al

rey de Suecia para que ingresara en la Academia de Estocolmo.

El Premio Abel (equivalente al Premio Nobel ) ha sido instituido desde el año 2002, bicentenario de su nacimiento.

Permutación y grupo

simétrico

Antiguamente, se definía una permutación así: Sea un número n de objetos, (n>1), alineados en una mesacon el fin de poder atribuir a cada cual su rango: el objeto más a la izquierda es el primero, el que sigue elsegundo y así sucesivamente. Ahora se mezclan los objetos y se les vuelven a colocar en una fila, encualquier orden. Se dice que se han permutado los objetos, o, lo que viene a ser lo mismo, los números de1 a n.Si el objeto que se encuentra actualmente a la izquieda era antes el quinto de la fila, si el que seencuentra a su derecha era el séptimo ... y el que está al final era el segundo ... entonces la actualpermutación está caracterizada por los serie de números ( 5, 7, ..., 2).La definición moderna de una permutación ya no hace referencia al mundo real, y prescinde de losobjetos.Para conocer la permutación, sólo se necesita conocer la serie de números (5, 7, ..., 2) en el ejemplo. Sedice que 5 es la imagen de 1 por la permutación, 7 es la imagen de 2, ...y 2 es la imagen de n. De estepunto de vista, una permutación es una aplicación biyectiva de [1,n] hacia [1,n]. Es biyectiva porque acada posición anterior de un objeto corresponde una única posición actual.Una permutación de orden n es una biyección de [1,n]Se llama grupo simétrico de orden n al conjunto de todas las permutaciones de orden n.Este conjunto forma un grupo con la ley de composición de las funciones, y tiene un alto grado desimetría.

Sea σ una permutación. Para definir σ se puede escribir σ(1)=..., σ(2)=... hasta σ(n)=... lo que no resultamuy económico porque se repiten así n veces la letra σ y se escriben 2n paréntesis. Existen variasmaneras de ahorrar esfuerzos y tinta...La primera idea es escribir σ bajo forma de una matriz, con en primera línea loa antecedentes, y ensegunda línea las imágenes correspondientes.

Una representación más llamativa es la que

emplea los graficas orientadas:

En esta grafica aperecen varios subgrafos disjuntos, lo que incita a

separarlos:

Escrito así, se puede ver que la σ se descompone en

ciclos, de orden 4,3 y 1 respectivamente. El de orden 1 no

merece realmente el nombre de ciclo. Se nota asíla

descomposición: σ = (1 3 6 2) º (4 7 8), el símbolo º

designa la composición de las funciones. Un ciclo deja fijo

todos los puntos que no figuran el él.

Para componer permutaciones, la representación más idónea es la que sigue:

si y