TEORIA DE LIMITES

Ing. Tecnologías de la Producción

MATEMATICAS AVANZADAS II

Lic, Gerardo Edgar Mata Ortiz

Michelle Pamela García Morales

¿Qué son los limites?

• Los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo. Muchas veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite). Otras ocasiones, la función está definida en un punto, pero puede aproximarse a un límite diferente. Hay muchas, muchas veces donde el valor de la función es el mismo que el del límite en el punto. De cualquier manera, esto es una poderosa herramienta cuando comenzamos a pensar en la pendiente de una recta tangente a una curva. Si tienes conocimientos previos en álgebra (gráficas y funciones en particular)

¿Para que nos sirven los limites?

• Los limites de calculo básico nos sirven para calcular hasta donde una función tendrá su limite exacto, es decir hasta donde esta o dará un resultado parecido a 0. 

x (x2-1)/(x-1)0.5 1.500000.9 1.90000

0.99 1.990000.999 1.99900

0.9999 1.999900.99999 1.99999

... ...

A veces algo no se puede calcular directamente, pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más. A esto lo llamamos el límite de una función.Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

y con símbolos se escribe:

Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general

"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"

Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir

"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"

A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ¿a lo mejor restar un valor de otro?

Ejemplo 1: 4.01 - 4 = 0.01 Ejemplo 2: 3.8 - 4 = -0.2

¿Cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido. Lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia". La solución es usar el valor absoluto.

"Qué tan cerca" = |a-b|

Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01 Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2

Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:

"| f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| es pequeño"

Las matemáticas como nuestra vida diaria van evolucionando para hacer las cosas mas fáciles.

En el caso de los limites también sucede así, es decir, fueron mejorando los métodos para poder resolverlos mas fácilmente y con mayor precisión.

A continuación resolveremos un ejemplo por tres diferentes métodos obteniendo un mismo resultado.

Aproximación

Factorización

Teorema de L´Hópital

Ejemplo

A continuación resolveremos el siguiente ejemplo por tres

métodos diferentes.

Aproximación

x

1.9 0.25641026

1.99 0.25062657

1.999 0.25006252

1.9999 0.25000625

1.999999 0.25000006

En este método lo que se tiene que hacer es ir dándole valores a X que se acerquen al valor correcto.Observamos que al final el resultado va acercándose hasta llegar a 0.25

Factorización

Notamos que obtuvimos el mismo resultado que por

el método de APRXIMACION

Teorema de L´Hópital

• En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Teorema de L´Hópital

se deriva hasta obtener la

indeterminada