teoria de rentas anuales constantes

TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS 1Rentas Constantes (teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

Concepto y clasificación

En general, una renta es un conjunto de capitales, finito o no, con distintos vencimientos. Vamos a estudiar en este tema aquellas en las que los vencimientos son equidistantes.


t0 t1 t3t2 tk tn-1 tn

a1 a2 ak an

Elementos que definen la renta

• Los capitales que constituyen la renta se denominan términos. • Al intervalo de tiempo entre dos vencimientos consecutivos se llama periodo de la

renta.• Se consideran tantos periodos como términos tenga la renta. • Se denomina duración de la renta al número de periodos (o de términos).

Valor de la renta

Se denomina valor de la renta en un momento del tiempo a la suma de los valores que en ese momento tienen sus términos utilizando una ley financiera.

TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1



Valor Actual (A)Es el valor de la renta en el origen de la misma. El valor actual se calcula sumando los valores descontados o actualizados, en el momento inicial, de todos y cada uno de los pagos.

a2

a1

an

0 1 2 n

....

...

Valor Final (S)Es el valor de la renta al final del último periodo de la misma. Se calcula mediante la suma de los valores de todos los términos de la renta capitalizados hasta el momento en que ésta termina.

a2a1an-1 an

0 1 2 n

.......




• Según la amplitud de los periodos:• Discretas: cuando los periodos de la renta son finitos.• Continuas: cuando los periodos de la renta son infinitesimales, produciéndose un flujo

continuo de capitales.

• Según su duración:• Perpetuas: constan de un número de términos que tiende a infinito.• Temporales: constan de un número finito de términos.

•Según la cuantía de los términos:• Constantes: cuando todos los términos son iguales entre sí.• Variables: cuando todos los términos de la renta tienen una cuantía diferente.




•Según el momento del vencimiento:

• Postpagables: si los términos tienen sus vencimientos al final de cada periodo.

• Prepagables: si los vencimientos de cada término son al principio de cada periodo.

a2a1an-1 an

0 1 2 n

.......

a2a1 an .......

0 1 2 nn-1




• Según el momento de evaluación (o momento de inicio y fin de los términos respecto a la valoración):

a) Inmediatas: cuando el inicio del primero periodo coincide con el origen.

b) Diferidas: cuando entre el inicio de la renta y el primer término, hay un periodo de tiempo “d”

a2a1an-1 an

.......

0 1 2 n

an-1 an

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

a2a1........


VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL


Valor actual

Consideremos que los pagos anuales constantes son de cuantía “a”, que se efectúan al final de cada año durante n años. El valor actual se calcula sumando los valores actualizados o descontados, en el momento inicial, de todos y cada uno de los pagos.

aa a

0 1 2 n

......

.

nn

iiiia

iaiaiaiaA

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(321

321




Valor actual

Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:Primer Término (PT)

Último Término (UT)Razón (R)

Ya que la suma de la progresión geométrica es:

1R

PTRUTPG

1)1( iPTniUT )1(

1)1( iR

1)1(

)1()1()1(1

11

i

iiiPG

n

i

i

i

i

i

i

i

iii

i

ii nnnnn

)1(11)1(

)1(1

1)1(

)1(

)1(11)1()1(

1)1(

11)1()1( 11




Valor actualin

n

aai

iaA

)1(1

MUY IMPORTANTE:

Es muy importante observar que está situado un periodo antes que el primer pago realizado.

ina

Interpretación económica de la función ina 1€1€ 1€

0 1 2 n

in

n

n

aiiii

iiiiA

1)1()1()1()1(1

)1(1)1(1)1(1)1(1321

321

Representa el valor actual de una renta unitaria (una unidad monetaria) de n términos constantes, inmediata, pospagable y temporal valorada a un tipo de interés anual compuesto.




Valor final

Ahora hemos de calcular el valor final de la renta, que consiste en hallar la suma de los valores de todos los términos de la renta llevados al momento en que termina la renta, que en este caso es el final del año n.

aa a a

0 1 2 n

......

1.....)1()1()1(

.....)1()1()1()3()2(1

321

nnn

nnn

iiia

aiaiaiaS




Valor final

Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:Primer Término (PT)

Último Término (UT)Razón (R)

Ya que la suma de la progresión geométrica es:

1R

PTRUTPG

)1()1( niPT

1UT1)1( iR

1)1(

)1()1(1

)1(1

i

iiPG

n

i

i

i

i

i

i

i

iii

i

ii nnnnn 1)1()1(1

)1(1

)1(1

)1(

)1(1)1(1)1(

1)1(

1)1(1)1( 11




Valor finalin

n

sai

iaS

1)1(

MUY IMPORTANTE:

Es muy importante observar que está situado justo en el momento en el que vence el último término.

ins

Interpretación económica de la función ins 1€1€ 1€

0 1 2 n

in

nnn

nnn

Siii

iiiA

11)1()1()1(1

1)1(1)1(1)1(1321

321

Representa el valor final de una renta unitaria (una unidad monetaria) de n términos constantes, inmediata, pospagable y temporal valorada a un tipo de interés anual compuesto.


VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL


Valor actualinaaA

Momento-1

)1( i

Valor finalinsaS

Momento n-1

)1( i

aa a .......

0 1 2 nn-1


VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL


Valor actualinaaA

Momento d

di )1(

Valor finalinsaS

Momento d+n

a a

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

aa ........



VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLE Y TEMPORAL


Valor actualinaaA

Momento d-1

)1()1( di

Valor finalinsaS

Momento d+n-1

a

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

aa ........a

)1( i

VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA


Valor actual

aa

0 1 2

......

.

i

iLimaaLimaA

n

ninn

)1(1


a

3

i

a

ia

i

ia

i

ia

nnnn

11)1(

1lim1

)1(lim1i

aA

VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA

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)1( ii

aA

MUY IMPORTANTE:

Es muy importante observar que está situado justo en el momento en el que vence el último término. i

a

Y si la renta constante perpetua es…….

Prepagable ?

dii

aA

)1(Diferida ?

)1()1( di

i

aAPrepagable y diferida?

teoria de rentas anuales constantes

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