teoría de vectores
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Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
SISTEMAS DE COORDENADAS
NOS PERMITEN RELACIONAR ALGUNOS ASPECTOS DE LA FÍSICA CON POSICIONES EN EL ESPACIO
EXISTEN VARIOS SISTEMAS DE COORDENADAS, EL QUE MÁS UTILIZAREMOS ES EL SISTEMA DE
COORDENADAS CARTESIANAS
EN ESTE SISTEMA ENCONTRAMOS TRES EJES COORDENADOS, EL EJE X, EL EJE Y Y EL EJE Z
OTRO SISTEMA DE COORDENADAS UTILIZADO ES EL DE COORDENADAS POLARES PLANAS
EN ÉL, CUALQUIER PUNTO ESTÁ REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (X,Y,Z)
AQUÍ, UN PUNTO ES REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (r,θ)
ALGEBRA VECTORIAL
),( r
r
),,( zyx
x
y
z
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
1) CANTIDAD ESCALAR
ESTÁ ESPECIFICADA POR UN VALOR CON LA UNIDAD APROPIADA
EJEMPLOS: TEMPERATURA (T) – VOLUMEN (V) – MASA (m O M) – TIEMPO (t)
ESTE TIPO DE CANTIDADES PUEDEN TENER UN VALOR POSITIVO, UN VALOR NEGATIVO O PUEDEN SER CERO
SUS OPERACIONES MATEMÁTICAS SE REALIZAN UTILIZANDO LAS REGLAS DE LA ARITMÉTICA
ALGEBRA VECTORIALCANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
LA TEMPERATURA PUEDE SER POSITIVA (30 ºC), PUEDE SER NEGATIVA (-5 ºC) Y PUEDE SER CERO (0 ºC)
MIENTRAS QUE EL TIEMPO, PUEDE SER CERO O POSITIVO (3 min)
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2) CANTIDAD VECTORIAL
ES AQUELLA QUE POSEE TANTO MAGNITUD COMO DIRECCIÓN Y SENTIDO. ES DECIR, ES UN VECTOR
EJEMPLOS: VELOCIDAD (v) – DESPLAZAMIENTO (Δr) – FUERZA (F)
(AQUÍ DENOTAREMOS A LOS VECTORES CON UNA LETRA EN AMARILLO O CON UNA LETRA Y UNA FLECHA ARRIBA)
ESTE TIPO DE CANTIDAD SE REPRESENTA CON UNA FLECHA
EJEMPLO:
A
ORIGEN
EXTREMO O PUNTA
ALGEBRA VECTORIALCANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
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CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:
a) MAGNITUD O MODULO: REPRESENTA EL TAMAÑO DEL VECTOR Y SIEMPRE ES UN VALOR POSITIVO
SE DENOTA CON LA LETRA DE LA MAGNITUD FÍSICA SIN LA FLECHA O CON LA NOTACIÓN DEL VECTOR, ENTRE BARRAS
DE VALOR ABSOLUTO
EJEMPLO:
F
VECTOR:
MAGNITUD O MODULO: F O F
ALGEBRA VECTORIALCANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
F
F
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
b) DIRECCIÓN: PUEDE SER HORIZONTAL, VERTICAL O INCLINADA
c) SENTIDO: PUEDE SER HACIA LA DERECHA, HACIA LA IZQUIERDA, HACIA ARRIBA, HACIA ABAJO, SALIENDO DE LA HOJA, ENTRANDO A
LA HOJA, ENTRE OTROS
GENERALMENTE, TANTO LA DIRECCIÓN COMO EL SENTIDO DEL VECTOR, SE ENGLOBAN EN UN SOLO TÉRMINO DENOMINADO DIRECCIÓN, Y ES REPRESENTADO POR UN ÁNGULO
ALGEBRA VECTORIAL
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:
X
SIMBOLO QUE INDICA QUE UN VECTOR ESTÁ SALIENDO DE LA HOJA
SIMBOLO QUE INDICA QUE UN VECTOR ESTÁ ENTRANDO A LA HOJA
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¿DE QUÉ MANERAS PODEMOS REPRESENTAR A UN VECTOR?
EN ESTE CURSO, LO REPRESENTAREMOS DE 2 FORMAS:
1) CON SU MAGNITUD Y SU DIRECCIÓN (ÁNGULO)
EJEMPLO:MAGNITUD: 3 NDIRECCIÓN: 65º EN SENTIDO ANTIHORARIO
A PARTIR DE +X
2) CON SUS COMPONENTES
ESTA REPRESENTACIÓN LA EXPLICAREMOS A CONTINUACIÓN
ALGEBRA VECTORIALCOMPONENTES DE UN
VECTOR
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SI UN VECTOR ESTÁ REPRESENTADO A TRAVÉS DE SU MAGNITUD Y SU DIRECCIÓN, ES POSIBLE REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE
COORDENADAS CARTESIANO DE LA SIGUIENTE MANERA:
AX Y AY SON LAS COMPONENTES DEL VECTOR A
LA FIGURA MUESTRA QUE AL TRAZAR LAS LÍNEAS PARA OBTENER LAS PROYECCIONES DEL VECTOR (LÍNEAS SEGMENTADAS), SE FORMAN
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CON CUALQUIERA DE LOS TRIÁNGULOS, ES POSIBLE DETERMINAR EL VALOR DE LAS COMPONENTES DEL VECTOR.
A ESTE PROCEDIMIENTO LO LLAMAMOS “DESCOMPOSICIÓN DEL VECTOR”
EN ESTE CASO EL VECTOR ESTÁ EN EL PLANO, PERO PUEDE ESTAR EN EL ESPACIO, MÁS
ADELANTE EXPONDREMOS ESTA SITUACIÓN
A
xA
YA
x
y
θ
ALGEBRA VECTORIALCOMPONENTES DE UN
VECTOR
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EN BASE AL TRIÁNGULO FORMADO POR A, AX Y LA LÍNEA SEGMENTADA VERTICAL, CALCULAREMOS LAS MAGNITUDES DE
LAS COMPONENTES DEL VECTOR A
ESTAS ECUACIONES DEPENDEN DEL ÁNGULO QUE SE CONOZCA, POR LO QUE ES MUY IMPORTANTE APRENDER A DEDUCIR DICHAS ECUACIONES, ANTES DE MEMORIZARLAS
A
A
h
OCSen Y
..
A
A
h
ACCos X
..
ALGEBRA VECTORIALCOMPONENTES DE UN
VECTOR
A
xA
YA
x
y
θ
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COMPONENTES DE UN VECTOR
EL PROCEDIMIENTO QUE REALIZAMOS EN LA PARTE ANTERIOR NO ES MÁS QUE LA TRANSFORMACIÓN DE UN TIPO DE
REPRESENTACIÓN DEL VECTOR (MAGNITUD-DIRECCIÓN), A LA REPRESENTACIÓN DEL VECTOR A TRAVÉS DE SUS COMPONENTES
ALGEBRA VECTORIAL
TAMBIÉN ES POSIBLE REALIZAR EL PROCESO INVERSO; PASAR DE LAS COMPONENTES A LA MAGNITUD-DIRECCIÓN
LAS COMPONENTES DEL VECTOR AX Y AY,
REPRESENTAN LOS CÁTETOS DEL TRIÁNGULO, APLICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS:
A
xA
YA
x
y
θMAGNITUD:
DIRECCIÓN:
22 CACOh
X
Y
A
A
CA
COTg
22YX AAA
X
Y
A
ATg 1
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LAS CANTIDADES VECTORIALES SUELEN REPRESENTARSE EN TÉRMINOS DE VECTORES UNITARIOS
UN VECTOR UNITARIO ES AQUEL QUE TIENE UNA MAGNITUD IGUAL A UNO, Y NO TIENE DIMENSIONES (ES ADIMENSIONAL)
ESTOS VECTORES SON UTILIZADOS PARA ESPECIFICAR UNA DIRECCIÓN DETERMINADA
EXISTEN TRES VECTORES UNITARIOS QUE SE ENCUENTRAN DIRIGIDOS HACIA LA PARTE POSITIVA DE LOS
EJES COORDENADOS X, Y, Z.
UN VECTOR REPRESENTADO CON SUS COMPONENTES, USA ESTOS VECTORES UNITARIOS, DE LA SIGUIENTE MANERA:
ALGEBRA VECTORIALVECTORES UNITARIOS
i
x
y
z
jk
SON DENOTADOS COMO ,COMO SE MUESTRAkji
,,
kAjAiAA ZYX
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
POR OTRA PARTE, A CUALQUIER VECTOR LE PODEMOS DETERMINAR SU VECTOR UNITARIO
ES DECIR, AQUEL VECTOR CON MAGNITUD UNO Y QUE APUNTARÁ HACIA DONDE APUNTE EL VECTOR
DE DONDE SE OBTUVO ESTE VECTOR UNITARIO
EL VECTOR UNITARIO DE CUALQUIER VECTOR SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE MANERA:
DADO EL VECTOR:
, DONDE
ALGEBRA VECTORIALVECTORES UNITARIOS
kBjBiBB ZYX
(VECTOR UNITARIO DEL VECTOR B), SE DETERMINA ASÍ:,Bu
B
BuB
222ZYX BBBB
222ZYX
ZYXB
BBB
kBjBiBu
Au
A
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REPRESENTAN LOS COSENOS DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR UN VECTOR QUE SE ENCUENTRA EN EL ESPACIO
(TRIDIMENSIONAL), Y CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS
ESTOS COSENOS DIRECTORES ESTÁN RELACIONADOS DE LA SIGUIENTE MANERA:
RECUERDA QUE:
ALGEBRA VECTORIALCOSENOS DIRECTORES
222ZYX CCCC
1222 CosCosCos
C
CCos X
C
CCos Y
C
CCos Z
x
y
z
C
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
DOS VECTORES SON IGUALES SI Y SÓLO SI TIENEN:
LA MISMA MAGNITUD, LA MISMA DIRECCIÓN Y EL MISMO SENTIDO
DEL GRUPO DE VECTORES QUE SE MUESTRAN, ¿CUÁLES SON IGUALES ENTRE SI?
ALGEBRA VECTORIALIGUALDAD DE DOS
VECTORES
A
B
C
D
E
F
G
A = C, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO
D Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD
B Y F SÓLO TIENEN IGUAL LA DIRECCIÓN
D = G, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO
G Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
EL VECTOR OPUESTO DE OTRO VECTOR, ES AQUEL QUE TIENE LA MISMA MAGNITUD Y LA MISMA DIRECCIÓN, PERO SENTIDOS CONTRARIOS
ALGEBRA VECTORIALVECTOR
OPUESTO
A Y C, SON VECTORES OPUESTOS
B Y F TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD
D = G, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO
A
B
C
D
E
F
G
D Y E TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD
E Y G TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño