teoria dei circuiti - moodle2.units.it · gli schemi di figura 2 • le funzioni di rete (in...

TEORIA dei CIRCUITIIngegneria dell’Informazione

− FUNZIONI DI RETE−

Stefano Pastore

Dipartimento di Ingegneria e Architettura

Corso di Teoria dei Circuiti (105IN)

a.a. 2013-14

Circuiti con un ingresso e una uscita

• Rappresentiamo un circuito LDI stabile e non-degenere di ordine n con gli schemi di figura

2

• Le funzioni di rete (in Laplace) esprimono la relazione esistente tra la (unica) sorgente indipendente (l’ingresso) e la tensione o corrente su una impedenza (l’uscita)

• Indicata genericamente con u(t) la variabile in ingresso e con y(t) la variabile di uscita, le equazioni di stato e di uscita in t sono

• Dove x(t) è un vettore [n x 1], y(t) e u(t)

=+=+=

0)0(

)()()(

)()()(

x

Cx

BAxx

tDutty

tutt&

Dallo stato alle funzioni di rete

• Dove x(t) è un vettore [n x 1], y(t) e u(t) sono scalari

• Le condizioni iniziali sono poste a zero per il fatto che ci interessa solamente il rapporto tra l’ingresso e l’uscita; y(t) rappresenta solamente la soluzione forzata (e non quella libera)

• Le funzioni di rete possono essere un rapporto di tensioni o di correnti, quindi numeri puri, o avere le dimensioni di una trans-impedenza o trans-ammettenza

3

• Trasformando con Laplace si ottiene la funzione di rete H(s)

[ ][ ]

[ ][ ]( )1

1

1

)()(

)()()(

)()(

)()(

)()()(

n

n

n

sUDssY

sDUsUssY

sUss

sUss

sUsss

+−=

+−=

−=

=−+=

−

−

−

BAIC

BAIC

BAIX

BXAI

BAXX

Dallo stato alle funzioni di rete (2)

• H(s) è una funzione razionale fratta a coefficienti reali in s, dove grad(D(s)) = n’ ≤ n

• N(s) e D(s) non contengono fattori comuni che devono essere cancellati nel calcolo

4

[ ]( )[ ]

''

2210

2210

1

1

)(

)()(

)(

)()(

)()(

nn

mn

n

n

sbsbsbb

sasasaa

sD

sNsH

DssU

sYsH

sUDssY

++++++++==

+−==

+−=

−

−

K

K

BAIC

BAIC

• Le radici di D(s) sono chiamate “poli”, quelle di N(s) “zeri”. Sono reali o complesse coniugate

• I poli derivano da: det[sI – A] = 0, espressione che ci dà gli autovalori di A(coincidenti con le radici della equazione caratteristica)

• I poli in genere coincidono con gli autovalori

Funzioni di rete

5

• I poli in genere coincidono con gli autovaloridi A (n = n’), a meno che qualche radice al denominatore non si elida con una corrispondente al numeratore, ovvero se qualche polo e zero coincidono. Questi corrispondono ai modi non-controllabili e non-osservabili. In questo caso n’ < n

• Gli zeri di N(s) possono essere positivi o a parte reale positiva, non influendo sulla stabilità

• H(s) può essere sviluppata in somma di frazioni parziali, da cui si può ottenere la h(t)

• h(t) (risposta alla δ(t)) consiste in una somma

Funzioni di rete (3)

0per

)(

)(

'21'21

'

'

2

2

1

1

≥+++=⇒

−++

−+

−=

t

ecececth

ps

c

ps

c

ps

csH

tpn

tptp

n

n

nL

L

• h(t) (risposta alla δ(t)) consiste in una somma di esponenziali reali e complesse; se tutte le radici, ovvero i poli, sono a parte reale negativa, h(t) va a zero per t ∞, ovvero il circuito è stabile

• Se U(s) = 1 [u(t) = δ(t)], allora: H(s) = Y(s)

La funzione di rete coincide con l’uscita del circuito alimentato da una sorgente impulsiva unitaria

• La stabilità del circuito si vede anche dall’analisi delle funzioni di rete

6

• Esaminiamo H(s) per un circuito stabile sull’asse immaginario, cioè poniamo s = jω

• H(jω) rappresenta il rapporto tra l’uscita e l’ingresso quando la sorgente è una sinusoide a frequenza ω.

Funzioni di rete sull’asse jω

H(jω) = |H(jω)|ejϕ(ω)

• Il modulo esprime il rapporto tra i moduli delle sinusoidi in uscita e in ingresso, la fase la differenza delle fasi, ovvero il ritardo tra le due sinusoidi

7

• Se avessimo calcolato la funzione di rete come rapporto tra i fasori della y(t) e della u(t), cosa avremmo ottenuto? Facciamo un confronto tra i due metodi

• La trasformata di Laplace di un ingresso u(t) sinusoidale è

Laplace e fasori

ingresso u(t) sinusoidale è

• Il fasore massimo è:

8

ωω

ωωϕϕϕω

ϕϕ

js

Ue

js

Ue

s

UsU

tUtu

uu jj

uu

u

++

−=

=+−=

=+=

−5.05.0

sincos

)]cos([)]([

22

L

uiUeU ϕ=

• Essendo un circuito LDI con una sola sorgente sinusoidale, la soluzione particolare o a regime yp(t) è anch’essa una sinusoide la cui trasformata di Laplace è

ϕωtYty yp =+= )]cos([)]([L

Laplace e fasori (2)

• Il fasore massimo è:

9

ωω

ωωϕϕ

ϕω

ϕϕ

js

Ye

js

Ye

s

YsY

tYty

yy jj

yy

y

++

−=

=+−

=

=+=

−5.05.0

sincos

)]cos([)]([

22

L

yiYeY

ϕ=

• Ricordando che H(s) è un rapporto di polinomi:

444 3444 21

1 5.05.0

)(

)(

5.05.0

)(

)()(

ωω

ωωϕϕ

ϕϕ

js

Ye

js

Ye

sD

sN

js

Ue

js

Ue

sD

sNsY

yy

uu

jj

jj

++

−+=

=

++

−=

−

−


• Il primo fattore rappresenta la soluzione transitoria stabile, il secondo e il terzo (sono complessi coniugati) la soluzione particolare o a regime

• Calcoliamo N1(s), Y e ϕy riducendo il tutto a un unico denominatore e uguagliando i numeratori

10

444 3444 21eparticolar soluzione

)( ωω jsjssD +−

• Si ottiene


( )( )

( )( )( )( )ω

ω

ωωω

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

jsYesD

jsYesD

jsjssN

jsUesN

jsUesN

y

y

u

u

j

j

j

j

−+

+++

+−+==−+

++

−

−

5.0)(

5.0)(

)(

5.0)(

5.0)(

1

• Ponendo s = jω, ovvero vincolando ssul suo asse immaginario, l’espressione si riduce a

11

( )ωϕ jsYesD yj −+ −5.0)(

U

Y

Ue

Ye

jD

jNjH

YejDUejN

u

y

yu

j

j

jj

===→

=

ϕ

ϕ

ϕϕ

ωωω

ωω

)(

)()(

)()(

• Abbiamo ottenuto il seguente risultato, che H(jω) è data dal rapporto tra i fasori Y e U alla corrispondente frequenza angolare ω

• H(jω) rappresenta soltanto la soluzione particolare o a regime con sorgente


particolare o a regime con sorgente sinusoidale, non il transitorio

• Ipotesi fondamentale è che il circuito sia stabile, ovvero che i poli abbiano parte reale negativa. Non ci devono essere poli neanche sull’asse immaginario

12

• H(jω) è una funzione complessa di variabile complessa. Il modulo è una funzione pari di ω, la fase una funzione dispari

Proprietà della H(jω)

( )

)()()(

)()()(

)()()(

*

*

**

ωωω

ωωωωωω

jHjHjH

jHjHjH

jHjHjH

−∠=∠=−∠⇒

==−⇒

==−

• Il modulo è continuo per le funzioni stabili. Il modulo al quadrato dipende da ω2

• La fase è continua tranne quando ci sono delle coppie di zeri immaginari puri (± π)

• H(jω) si può rappresentare o mediante la parte reale e quella immaginaria, oppure mediante modulo e fase

13

)()(

)()()(22

*

ωω

ωωωHMjH

jHjHjH

=

−∠=∠=−∠⇒

• Circuito RC del I ordine lineare

Esempi di funzioni di rete

1)(

)( RsH

sV uu ==

• Il polo è: p1 = −2000

14

[ ] )(1000)(

1051

1

2

1)(

1000 ,F1

1

1)(

)(

)(

2000

4

tueth

ssH

RRC

RR

RRsCRR

RsH

sV

sV

t

su

su

susu

u

s

u

−

−

=

⋅+=

⇒Ω===+

++==

µ

• Ingresso a gradino unitario

Esempi di funzioni di rete (2)

[ ] )(55)(

1051

15)(

10)();(10)(

2000

4

tuetv

sssV

ssVtutv

tu

u

ss

+−=⋅+

=

==

−

−

• Ingresso esponenziale

15

[ ] )(55)( tuetvu +−=

[ ] )(26.526.5)(

)1051)(100(

5)(

100

10)();(10)(

1002000

4

100

tueetv

sssV

ssVtuetv

ttu

u

st

s

−−

−

−

+−=⋅++

=

+==

• Ingresso sinusoidale

Esempi di funzioni di rete (3)

[ ] )()46.01000cos(47.446)(

)1051)(10(

5)(

10

10)();()1000cos(10)(

2000

462

62

tutetv

ss

ssV

s

ssVtuttv

tu

u

ss

−+−=

⋅++=

+==

−

−

• Nel dominio dei fasori

16

)46.01000cos(47.4)(

5.01

5

1051

5

1051

1

2

1)(

10);1000cos(10)(

4

4

−=+

=⋅+

=

⋅+=

==

−

−

ttv

jjV

jjH

Vttv

u

u

ss

ω

ωω

• La funzione complessa H(jω) può essere rappresentata graficamente con parametro ω nel piano

• Esempi:

Diagrammi polari o di Nyquist

)(,)( ωω jHjH ℑℜ

1) H(jω) = a + j bω semiretta verticale

2) H(jω) = 1/(a + j bω) semicerchio con centro in (1/2a,0)

17

• Il ritardo di gruppo è definito come

• Esprime il ritardo in secondi dei

Ritardo di gruppo

ωωϕωτ

d

)(d)(

H

−=

• Esprime il ritardo in secondi dei “gruppi“ di frequenze componenti il segnale

• Una fase lineare comporta un ritardo di gruppo costante. È particolarmente importante, per esempio, nella elaborazione delle immagini, perché i contorni non vengono deformati

18

• Per varie ragioni, la scala logaritmica è da preferirsi alla scala lineare nelle rappresentazioni delle funzioni di rete in modulo e fase, sia per la frequenza angolare in ascissa che per il modulo in ordinata

Grandezze logaritmiche

→→

⇒

ottava 2

decade 10log10 ωω

ωωωω

• Le unità introdotte sono il decibel (dB) e il neper (Np)

19

→

⇒

ottava 2

log0

10 ωωω

( )( ) ( )( )

( ))(ln)(

log10)(log10

)(log20)(

Np

210

2

10

10dB

ωωωω

ωω

jHjH

MjH

jHjHH

===

==

dB 686.8)(log20Np 1 10 == e

• A volte si utilizza l’attenuazione α(ω) al posto del modulo, specialmente nel progetto dei filtri elettrici

Attenuazione

( )( )

10

10

)(log20

)(

1log20)(

ω

ωωαdB

jH

jH

=−

=

=

20

( )( )( )2

10

2

10

10

log10

)(log10

ω

ωHM

jH

−=

=−=

( )

( )2)(ln

2

1

)(ln)(

1ln)(

ω

ωω

ωα

jH

jHjHNp

−=

=−=

=

• Per il teorema fondamentale dell’algebra, possiamo scomporre H(s) in un prodotto di fattori con coefficienti reali di primo e di secondo grado. Supponendo che

grad(D(s)) = n, grad(N(s)) = m

Zeri e poli

∏∏ ==

++

+

=

zczr K

zzz

K

zu

s

q

ss

KssH2

1 2

2

111

)(ν

νννν

ν ωωσ

• Dove

• u ≥ 0: n = Kpr + 2Kpc, m = u + Kzr + 2Kzc

• u < 0: n = |u| + Kpr + 2Kpc, m = Kzr + 2Kzc

• Se n > m, ci sono n − m zeri a ∞• Se m = n, non ci sono né zeri né poli a ∞• m > n: non possibile per circuiti non-degeneri

21

∏ ∏= =

++

+

=pr pcK K

pppp

s

q

ssKssH

1 1 2

2

11

)(

ν ννννν ωωσ

• I fattori di secondo grado tengono conto degli zeri e dei poli complessi coniugati. Hanno modulo ω0 (> 0) e angolo con l’asse reale ϕ

• Le radici (poli o zeri) sono

Fattori di secondo grado

2002

02

200

21

5.0011

14

1

242

q

qqqqs

>⇒<−

−±−=−±−= ωωωωω

• |s| = ω0

•

• Per i poli, deve valere per la stabilità: q > 0.5

22

200

21

2

4

11

2

5.0014

1

qj

qs

qq

−±−=

>⇒<−

ωω

q2

1cos −=ϕ

• Vediamo una tabella riassuntiva che associa i valori di q alla tipologia di poli o zeri

Fattori di secondo grado (2)

neg. p.r. complesse radici 5.0

coinc. neg. reali radici 5.0

distinte neg. reali radici 5.00

∞<<=

<<

q

q

q

• N.B. se un fattore contiene due radici reali, viene scomposto in due fattori di primo grado

23

distinte pos. reali radici 05.0

coinc. pos. reali radici 5.0

pos. p.r. complesse radici 5.0

pure eimmaginari radici

neg. p.r. complesse radici 5.0

<<−−=

−<<∞−±∞=

∞<<

q

q

q

q

q

Diagrammi di Bode

• Sono i diagrammi del modulo (in dB) e della fase della H(jω) rispetto al logaritmo in ω

• Si ottengono sovrapponendo i diagrammi dei singoli fattori, grazie alla proprietà additiva del logaritmo e

24

alla proprietà additiva del logaritmo e della fase

• Il procedimento risulta piuttosto semplice, intuitivo e veloce.Quando si utilizzano i diagrammi asintotici, ovvero quelli approssimati, si ottiene il diagramma asintotico di Bode

• Il modulo di un prodotto (rapporto) è uguale al prodotto (rapporto) dei moduli. Il logaritmo di un prodotto (rapporto) di moduli è uguale alla somma (differenza) dei logaritmi dei singoli fattori

• La fase di un prodotto (rapporto) è

Scomposizione della H(jω)

• La fase di un prodotto (rapporto) è uguale alla somma (differenza) delle fasi

• Queste proprietà si possono applicare alla H(jω) se si considerano il modulo in dB e la fase in funzione di ω (log ω)

• In tal caso il modulo in dBe la fase vengono scomposti nella somma (differenza) di fattori di primo e di secondo grado

25

• Si ottiene quindi

( )( )( )

( ) ( )∑∑

∑∑ ==+

+−

++

++===

przr K

p

K

z

H

dB

uK

MjH

1 2

2

1 2

2

22

2

1log101log10

)log(10log10

log10)(

νν

νν σ

ωσω

ωωω

Scomposizione della H(jω) (2)

26

( ) ( )∑∑ ==−+

pczc KK

11log10log10

ννLL

πσ

ωσ

ω

πω

νν

νν

k

jj

uKjH

przr K

p

K

z

2

11

2)(

11

++

+

+∠−

+∠+

++∠=∠

∑∑ ==

K

Considerazioni sulla H(jω)

• Le coppie di zeri immaginari puri sono chiamati zeri di trasmissione del doppio-bipolo

• Il comportamento in continua si

zz jss ωω ±=→=+ 022

27

determina con

• Il comportamento nelle alte frequenze si determina con

)(lim0

ωω

jH→

)(lim ωω

jH∞→

• Fattore costante

Fattori della H(jω)

πωωω

kKjHKKjH

KjH

dB

2)(log20log10)(

)(2

+∠=∠==

=

• Fattore nell’origine

28

ππω

ωωωωω

kujH

ujHjjH

u

dB

u

22

)(

log20)log(10)()()(

2

+=∠

===

• Fattori di primo grado al numeratore

Fattori della H(jω) (2)

log10)( :se

01log10)( :se

1log10)(

1)(

2

2

2

ωωσω

ωσωσωω

σωω

=

≈→>>

=≈→<<

+=

+=

jH

jH

jH

jjH

dBz

zdB

z

29

2)(,

4)(:0

2)(,

4)(:0

0)0(arctan)(

32log10)( :se

log20log20

log10)( :se2

ππσσ

ππσσ

σωω

ωσωσωσωωσω

−=∞∠−=∠<

=∞∠=∠>

=∠→

=∠

=≈→=−=

=

≈→>>

jHjH

jHjH

jHjH

jH

jH

zz

zz

z

dBz

z

zdBz

• Fattori di primo grado al denominatore


01log10)( :se

1log10)(

)0(1

1)(

2

2

ωσωσωω

σ

σωω

=−≈→<<

+−=

>+

=

jH

jH

jjH

dBp

pdB

p

p

30

2)(,

4)(,0)0(

arctan)(

32log10)( :se

log20log20

log10)( :se

01log10)( :se

2

2

ππσ

σωω

ωσωσωσωωσω

ωσω

−=∞∠−=∠=∠

→

−=∠

−=−≈→=+−=

=

−≈→>>

=−≈→<<

jHjHjH

jH

jH

jH

jH

p

p

dBp

p

pdBp

dBp

• Fattori di secondo grado al numeratore (ωz > 0)


zzz

zzz

q

j

j

q

jjH

ωω

ωω

ωω

ωωω

+

−=

=++=

2

2

2

2

1

)(1)(

31

• Modulo (continuo)


dBz

zzzdB

jH

qjH

01log10)( :se

1log10)(22

2

2

=≈→<<

+

−=

ωωω

ωω

ωωω

32

z

zdBz

z

zdBz

q

qjH

jH

log20

1log10)( :se

log40log40

log10)( :se

2

4

4

−=

=

≈→=

−=

=

≈→>>

ωωω

ωωωωωωω

• Fase (continua)


( )( ) ππω

ωω

πωω

ωωω

ωω

++=∠>

+

−=∠

<

2karctan)( :se

2karctan)(

:se

22

jH

qjH

z

zz

z

z

K

33

πωω

πωωω

πωω

πωωω

−→∠⇒∞→

−→∠⇒→

<→∠⇒∞→

→∠⇒→

>=∠

−

−

)(2

)(

0 :se )(

2)(

0 :se 0)0(

jH

jH

qjH

jH

qjH

z

z

z

z

• I diagrammi di Bode del modulo e della fase di una coppia di zeri complessi coniugati (qz > 0)


34

• Coppia di zeri immaginari puri

• La funzione H(jω) è reale, quindi il


2

2

2

2

1)(

1)(zz

jjH

ωω

ωωω −=+=

• La funzione H(jω) è reale, quindi il modulo coincide con il valore assoluto

• La fase è 0 perω < ωz, mentre diventa π per ω > ωz, presentando una discontinuità nell’origine

35

• Fattori di secondo grado al denominatore (ωp > 0, qp > 0)


ppp

j

j

q

jjH

ωω

ωω

ωω

ωω

ω

+

−=

=++

=

2

2

2

1

1

)(1

1)(

36

ppp q ωω+

− 21

ω=0(0,0)

ω=ωp

ω=∞(1,0)

• Modulo (continuo)


dBp

pppdB

jH

qjH

01log10)( :se

1log10)(

22

2

2

=−≈→<<

+

−−=

ωωω

ωω

ωωω

37

( )( )p

pdBp

p

pdBp

dBp

qqjH

jH

log20 log10)( :se

log40log40

log10)( :se

2

4

4

==≈→=

+−=

=

−≈→>>

ωωω

ωωωωωωω

• Fase (continua)


( )ωω

πωω

ωωω

ωω

>

+

−−=∠

<

:se

2karctan)(

:se

22qjH

p

pp

p

p

38

( )

πωω

πωωω

ππωωω

−→∠⇒∞→

−→∠⇒→

=∠

+−=∠>

−

)(2

)(

0)0(

2karctan)( :se

jH

jH

jH

jH

p

p

K

• I diagrammi di Bode del modulo e della fase di una coppia di poli complessi coniugati stabili


39

• Si ottengono sovrapponendo i diagrammi asintotici dei singoli fattori, grazie alla proprietà additiva del logaritmo e della fase

• Il procedimento risulta piuttosto semplice, intuitivo e veloce in quanto i diagrammi asintotici, ovvero

Diagrammi asintotici di Bode

diagrammi asintotici, ovvero approssimati, sono funzioni lineari a tratti

• Per quanto riguarda gli errori, si commette al massimo un errore di 3 dBse non ci sono fattori di secondo grado e se i poli e gli zeri distano tra loro almeno una decade

40

Esempio di diagramma di Bode

+

+

+−=

=++

+−=

9001

21

301

20

1

)900)(2(

)30(3)(

ss

sss

ssH

• Funzione con denominatore di secondo grado e numeratore di primo grado, uno zero all’infinito. Uno zero al finito e due poli reali negativi: circuito stabile

• Kdb = −26, ∠K = ±π• z1 = −30, p1 = −2, p2 = −900

• log 2 = 0.3, log 30 = 1.5, log 900 = 2.9

41

9002

• I diagrammi esatti sono

Esempio di diagramma di Bode (2)

42

• I diagrammi asintotici sono

Esempio di diagramma di Bode (3)

• Si nota come il modulo asintotico approssimi abbastanza bene il modulo esatto, mentre la fase asintotica risulti piuttosto grossolana

43

+

++

+

+=

=+++

++=

4001

26131

1001

501

52

75

)400)(262(

)100)(50(3)(

2

2

sss

sss

sss

ssssH

Esempio 2 di diagramma di Bode

• Funzione con denominatore e numeratore di terzo grado, uno zero nell’origine e nessun zero all’infinito. Tre zeri al finito e tre poli, di cui due complessi coniugati, con parte reale negativa: circuito stabile

• Fattore secondo grado: ωp = sqrt(26), qp = sqrt(6.5) = 2.55, qpdB = 8.1 dB

44

• Kdb = 3.18, 20 log 3 = 9.54

• z1 = 0, z2 = −50, z3 = −100

• 1p2 = −1 ± j5, p3 = −400

• log 50 = 1.7, log 100 = 2

• log (sqrt(26)) = 0.7, log 400 = 2.6

Esempio 2 di diagramma di Bode (2)

45

• I diagrammi asintotici sono

Esempio 2 di diagramma di Bode (3)

46

• Consideriamo un risonatore reale serie alimentato da una sorgente di tensione sinusoidale.

Circuito risonante reale serie

• Abbiamo visto che il circuito presenta frequenze naturali complesse coniugate, ovvero risuona, imponendo

47

022 zC

LR =<

• Esaminiamo il circuito a regime e calcoliamo la funzione di rete H(jω) relativa alla tensione sulla resistenza

Circuito risonante reale serie (2)

=

=

−+=

++=

CL

R

jCj

LjR

RjH

ωωω

ωω

1

11

11

)(

• Definendo la frequenza di risonanza ω0

e il fattore di qualità Qs

48

−+=

LCLC

C

L

R

j

ωω 1

1

1

CRR

L

C

L

RQ

LC

s0

0

0

11

1

ωω

ω

===

=

• Si ottiene

1)(

1

1)(

0

0

0

=

−+

=

ωωω

ωω

ω

jH

jQ

jH

s


• Infine, introducendo la frequenza normalizzata: Ω = ω/ω0

49

1)( 0 =ωjH

1)1(

11

1)(

=

Ω−Ω+

=Ω

jH

jQjH

s

• Se Ω1·Ω2 = 1 H(jΩ1) = H*(jΩ2)

• Il modulo è geometricamente simmetrico rispetto alla frequenza di risonanza, la fase anti-simmetrica

• Calcoliamo le frequenze per cui il modulo di H(jΩ) è uguale a 1/sqrt(2), ovvero la banda passante a 3 dB


ovvero la banda passante a 3 dB

50

++−=Ω

++=Ω

±=

Ω−Ω

=

Ω−Ω→=Ω

−

+

14

1

2

1

14

1

2

1

11

11

2

1)(

2

2

222

ss

ss

s

s

QQ

QQ

Q

QjH

• Ne risulta che

• Più alto è Qs, più stretta è la banda ∆Ωe maggiore è la simmetria aritmetica dei due punti rispetto a quella


=ΩΩ

=Ω−Ω

−+

−+

1

1

sQ

dei due punti rispetto a quella geometrica

• La fase nei punti significativi vale

51

2)(

4)(,0)1(

4)(,

2)0(

π

π

ππ

−=∞∠

−=Ω∠=∠

=Ω∠=∠

+

−

jH

jHjH

jHjH

• Ritornando alla frequenza non normalizzata ω0, le relazioni diventano

• Più alto è Qs, più stretta è la banda ∆ωe maggiore è la simmetria aritmetica


=

=−

−+

−+

20

0

ωωω

ωωωsQ

e maggiore è la simmetria aritmetica dei due punti rispetto a quella geometrica

• La fase nei punti significativi vale

52

2)(

4)(,0)(

4)(,

2)0(

0

π

πωω

πωπ

−=∞∠

−=∠=∠

=∠=∠

+

−

jH

jHjH

jHjH

• Disegniamo i diagrammi lineari del modulo e della fase


53

• Disegniamo il diagramma di Nyquist


54

teoria dei circuiti - moodle2.units.it · gli schemi di figura 2 • le funzioni di rete (in...

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