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Teoria dei Numeri Analitica
Sandro Bettin
Universita degli Studi di Genova
Genova, 19 Giugno 2016
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
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Qualche domanda di teoria dei numeri analitica
Ci sono infiniti primi congrui a 1 (mod 7)?
Dirichlet 1837
Quanti numeri primi ≤ x ci sono asintoticamente?
Esistono soluzioni intere di an + bn = cn con n ≥ 3 eabc 6= 0?
Wiles 1994 (teoria dei numeri algebrica)
Esistono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe dinumeri primi?
Green & Tao 2004
E vero che ogni numero pari si puo scrivere come somma didue numeri primi? E che ogni numero dispari si puo scriverecome somma di 3 numeri primi?
Ci sono infiniti numeri primi gemelli?
E vero che una “meta” delle curve ellittiche ha rango 0 e“meta” rango 1?
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Qualche domanda di teoria dei numeri analitica
Ci sono infiniti primi congrui a 1 (mod 7)? Dirichlet 1837
Quanti numeri primi ≤ x ci sono asintoticamente? Hadamard& de la Vallee-Poussin 1896
Esistono soluzioni intere di an + bn = cn con n ≥ 3 eabc 6= 0? Wiles 1994 (teoria dei numeri algebrica)
Esistono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe dinumeri primi? Green & Tao 2004
E vero che ogni numero pari si puo scrivere come somma didue numeri primi? ??? E che ogni numero dispari si puoscrivere come somma di 3 numeri primi? Helfgott 2013+
Ci sono infiniti numeri primi gemelli? ??? (Zhang 2013,Maynard 2013, Maynard, Ford et al. 2014, Tao 2015)
E vero che una “meta” delle curve ellittiche ha rango 0 e“meta” rango 1? ??? (Bhargava et al. 2011-2016)
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La funzione ζ
Tutto parte dall’identita di Eulero:
ζ(s) :=∞∑n=1
1
ns=
∏p primo
(1− 1
ps
)−1
, <(s) > 1
da cui, prendendo la derivata logaritimica di ambo i lati
−ζ′(s)
ζ(s)= −
∑p primo
log p
ps+ (termini “trascurabili”).
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La funzione ζ
Tutto parte dall’identita di Eulero:
ζ(s) :=∞∑n=1
1
ns=
∏p primo
(1− 1
ps
)−1
, <(s) > 1
da cui, prendendo la derivata logaritimica di ambo i lati
−ζ′(s)
ζ(s)= −
∑p primo
log p
ps+ (termini “trascurabili”).
Integrando∫ 2+i∞
2−i∞ (· · · )X s dss :
−∫ 2+i∞
2−i∞
ζ ′(s)
ζ(s)X s ds
s=
∑p≤X primo
log p + (termini “trascurabili”).
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La funzione ζ
Tutto parte dall’identita di Eulero:
ζ(s) :=∞∑n=1
1
ns=
∏p primo
(1− 1
ps
)−1
, <(s) > 1
da cui, prendendo la derivata logaritimica di ambo i lati
−ζ′(s)
ζ(s)= −
∑p primo
log p
ps+ (termini “trascurabili”).
Integrando∫ 2+i∞
2−i∞ (· · · )X s dss :
−∫ 2+i∞
2−i∞
ζ ′(s)
ζ(s)X s ds
s= logX
∑p≤X primo
1 + (termini “trascurabili”).
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La funzione ζ
Questo ci porta a studiare la funzione ζ, e in particolare il suocontinuamento analitico e i suoi zeri e poli.
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La funzione ζ
Questo ci porta a studiare la funzione ζ, e in particolare il suocontinuamento analitico e i suoi zeri e poli.Proprieta principali:
Continuita analitica
Prodotto di Eulero
ζ(s) =∏
p primo
(1− 1
ps
)−1
,
Equazione funzionale
χ( 12 + s)ζ( 1
2 + s) = χ( 12 − s)ζ( 1
2 − s),
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La funzione ζ
Questo ci porta a studiare la funzione ζ, e in particolare il suocontinuamento analitico e i suoi zeri e poli.Proprieta principali:
Continuita analitica
Prodotto di Eulero
ζ(s) =∏
p primo
(1− 1
ps
)−1
,
Equazione funzionale
χ( 12 + s)ζ( 1
2 + s) = χ( 12 − s)ζ( 1
2 − s),
Da queste proprieta segue il teorema dei numeri primi
π(x) =∑
p≤X primo
1 ∼ X
logX∼∫ x
2
dx
log(x)=: Li(x)
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La distribuzione dei numeri primi
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La distribuzione dei numeri primi
Piu precisamente:
π(x) ≈ Li(x)−∑
ρ zero di ζ(s)
Li(xρ),
In versione troncata, contando solo i primi k zeri:
Πk (x) := Li(x)−∑|ρ|≤|ρk |
Li(xρ)
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La distribuzione dei numeri primi
Li(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π1(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π2(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π3(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π4(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π5(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π10(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π20(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π30(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π40(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π50(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π60(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π70(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π80(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π90(x)
π(x)
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La distribuzione dei numeri primi
Π100(x)
π(x)
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Classe di Selberg
Ci sono altre funzioni simili alla funzione ζ chiamate funzioni L.Servono per attaccare altri problemi di natura aritmetica e/ogeometrica.
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Classe di Selberg
Ci sono altre funzioni simili alla funzione ζ chiamate funzioni L.Servono per attaccare altri problemi di natura aritmetica e/ogeometrica. Tutte condividono le proprieta di base della ζ:
L(s) =∑
nanns
Prodotto di Eulero
L(s) =∏
p primo
(1− P(p−s)
)−1,
Equazione funzionale
G ( 12 + s)L( 1
2 + s) = G ( 12 − s)L( 1
2 − s),
La classe di Selberg e lo spazio delle funzioni che soddisfanoqueste proprieta.
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Numeri primi vicini
La distanza tra due numeri primi consecutivi pn+1 − pn e in medialog pn, ma si sa che a volte puo essere molto piu piccola e moltopiu grande di log pn:
lim infn→∞
pn+1 − pnlog pn
= 0, lim supn→∞
pn+1 − pnlog pn
=∞.
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Numeri primi vicini
La distanza tra due numeri primi consecutivi pn+1 − pn e in medialog pn, ma si sa che a volte puo essere molto piu piccola e moltopiu grande di log pn:
lim infn→∞
pn+1 − pnlog pn
= 0, lim supn→∞
pn+1 − pnlog pn
=∞.
In realta si congettura che molto di piu sia vero, ad esempio che:
lim infn→∞
(pn+1 − pn) = 2 (Congettura dei primi gemelli)
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Numeri primi vicini
La distanza tra due numeri primi consecutivi pn+1 − pn e in medialog pn, ma si sa che a volte puo essere molto piu piccola e moltopiu grande di log pn:
lim infn→∞
pn+1 − pnlog pn
= 0, lim supn→∞
pn+1 − pnlog pn
=∞.
In realta si congettura che molto di piu sia vero, ad esempio che:
lim infn→∞
(pn+1 − pn) = 2 (Congettura dei primi gemelli)
e grazie al lavoro di Zhang e Maynard (e Polymath) ora non siamopiu cosı lontani dal dimostrarlo:
lim infn→∞
(pn+1 − pn) ≤ 246.
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Teoria dei crivelli
Come si prova un risultato del genere? Si usa la teoria dei crivelli!Si considerano somme della forma
S(N) :=∑
N≤n≤2N
( k∑j=1
1P(n + j)− 1)ωn
per dei pesi ωn ≥ 0.
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
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Teoria dei crivelli
Come si prova un risultato del genere? Si usa la teoria dei crivelli!Si considerano somme della forma
S(N) :=∑
N≤n≤2N
( k∑j=1
1P(n + j)− 1)ωn
per dei pesi ωn ≥ 0. L’obbiettivo e scegliere i pesi in modo da
essere in grado di calcolare l’asintotica per S(N)
avere che S(N) e asintoticamente positivo
Infatti in tal caso dobbiamo necessariamente avere che n + j1 en + j2 sono entrambi primi per almeno una scelta di j1, j2 en ∈ [N, 2N].
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
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Qualche direzione di ricerca
Domande di tipo “elementare” (teoria dei crivelli,combinatorica, probabilita).
Domande sul comportamento della funzione ζ di Riemann.
Domande su statistiche riguardanti ζ o le funzioni L (adesempio su curve ellittiche).
Modelli delle funzioni L con matrici aleatorie.
Domande sullo spazio delle funzioni L (classe di Selberg).
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Cosa serve sapere?
Non molto!Cose che si usano molto sono stime asintotiche di vario tipo, unpo’ di analisi classica, di aritmetica e di combinatorica e,soprattutto per alcune direzioni di ricerca, un po’ di analisicomplessa e di teoria algebrica dei numeri.
S. Bettin Teoria dei Numeri Analitica
![Page 37: Teoria dei Numeri Analitica - DIMA · 2016. 5. 26. · Numeri primi vicini La distanza tra due numeri primi consecutivi p n+1 p n e in media log p n, ma si sa che a volte pu o essere](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062509/61001748a88b0a61744d72b9/html5/thumbnails/37.jpg)
Number Theory wants you!
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