Teora del caos

Diagrama de la trayectoria del sistema de Lorenz para los valoresr = 28, = 10, b = 8/3.

El pndulo doble es uno de los sistemas caticos ms simplesque existen. Se observa su trayectoria irregular, adems dandoal pndulo una posicin inicial ligeramente diferente se obtieneuna trayectoria completamente diferente pasado un tiempo.

La teora del caos (o caologa[cita requerida]) es la denomi-nacin popular de la rama de las matemticas, la fsicay otras ciencias (biologa, meteorologa, economa, etc.)que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemasdinmicos muy sensibles a las variaciones en las condicio-nes iniciales. Pequeas variaciones en dichas condicionesiniciales pueden implicar grandes diferencias en el com-portamiento futuro, imposibilitando la prediccin a lar-go plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigordeterminsticos, es decir; su comportamiento puede ser

completamente determinado conociendo sus condicionesiniciales.

1 Clasicacin de los sistemasLos sistemas dinmicos se pueden clasicar bsicamenteen:

Estables, cuando dos soluciones con condicionesiniciales sucientemente cercanas siguen siendo cer-canas a lo largo del tiempo. As, un sistema establetiende a lo largo del tiempo a un punto, u rbita, se-gn su dimensin (atractor o sumidero).

Inestables, cuando dos soluciones con condicionesiniciales diferentes acaban divergiendo por peque-as que sean las condiciones iniciales. As un siste-ma inestable escapa de los atractores.

Caticos, cuando el sistema no es inestable y si biendos soluciones se mantienen a una distancia nitacercana a un atractor del que el sistema dinmico,las soluciones se mueven en torno al atractor de ma-nera irregular y pasado el tiempo ambas solucionesno son cercanas, si bien suelen ser cualitativamen-te similares. De esa manera, el sistema permanececonnado en una zona de su espacio de estados, pe-ro sin tender a un atractor jo.

Una de las mayores caractersticas tanto de los sistemasinestables como los caticos es que tiene una gran depen-dencia de las condiciones iniciales (esto diferencia a am-bos tipos de los sistemas estables). De un sistema del quese conocen sus ecuaciones de evolucin temporal carac-tersticas, y con unas condiciones iniciales jas, se puedeconocer exactamente su evolucin en el tiempo. Pero enel caso de los sistemas caticos, una mnima diferencia enesas condiciones hace que el sistema evolucione de mane-ra totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas inclu-yen el Sistema Solar, las placas tectnicas, los uidos enrgimen turbulento y los crecimientos de poblacin. [1]

2 Caos deterministaEl caos determinista comprende una serie de fenmenosencontrados en la teora de sistemas dinmicos, la teora

1

2 2 CAOS DETERMINISTA

de ecuaciones diferenciales y la mecnica clsica. En tr-minos generales el caos determinista da lugar a trayecto-rias asociadas a la evolucin temporal de forma muy irre-gular y aparentemente azarosa que sin embargo son to-talmente deterministas, a diferencia del azar genuino. Lairregularidad de las trayectorias est asociada a la impo-sibilidad prctica de predecir la evolucin futura del sis-tema, aunque esta evolucin sea totalmente determinista.

2.1 Denicin de caos y atractores

No hay una denicin universal sobre el caos, pero haytres ingredientes en los que todos los cientcos estn deacuerdo:

1. Movimiento oscilante. Las trayectorias no se ajus-tan a un punto jo, rbita peridica u rbitacuasiperidica cuando t!1 .

2. Determinismo. El sistema no es azaroso sino deter-minista. El comportamiento irregular surge de la nolinealidad. Por eso se dene como determinista.

3. Sensibilidad a las condiciones. Las trayectoriasque comienzan cerca, con el tiempo se separanexponencialmente. Es decir, condiciones inicialesmuy similares acaban dando lugar a comportamien-tos diferentes pasado un tiempo sucientemente lar-go.

Los sistemas caticos tpicamente se caracterizan por sermodelizables mediante un sistema dinmico que poseeun atractor. Para denir propiamente un atractor hay querecurrir a tecnicismos, y es difcil dar una idea intuitva sinellos. En una primera aproximacin puede decirse que unatractor es un conjunto en las que todas las trayectoriascercanas convergen. Los puntos jos y crculos lmite sonun ejemplo de ello. Al igual que en la denicin del caos,hay 3 ingredientes universales:

1. Cualquier trayectoria que est en un atractor, estaren l para t!1 .

2. Atraen un conjunto de condiciones iniciales. El con-junto lo componen las condiciones iniciales que sutrayectoria que acabe en el atractor cuando t ! 1.

3. No existen condiciones iniciales que satisfagan lasdos reglas anteriores.

Dentro de los atractores se dene como atractor extraoo catico cuando el atractor exhibe dependencia sensiblecon las condiciones iniciales.

2.2 La importancia de la no linealidadHay dos importantes tipos de sistemas dinmicos: lasecuaciones diferenciales y los sistemas iterativos de fun-ciones. Las ecuaciones diferenciales describen la evolu-cin de un sistema a tiempo real y los mapas iteradosevolucionan en problemas donde el tiempo es discreto.Ambos son tiles para dar ejemplos del caos y tambinpara analizar soluciones peridicas o caticas de las ecua-ciones diferenciales.Se dice que un sistema es no lineal cuando la potencia delas variables de ese sistema es diferente a uno, hay pro-ductos entre diferentes variables o funciones de las varia-bles, por ejemplo:

x21 , x1 x2 , cosx2

La mayora de sistemas no lineales son analticamenteirresolubles. En estos casos se puede lograr alguna so-lucin haciendo una aproximacin, pero se pierden so-luciones fsicas. La razn de que las ecuaciones linealessean ms fciles de analizar es que los sistemas linealesse pueden separar en partes, resolver cada una de ellas yjuntar las soluciones para obtener la solucin nal. El he-cho es que muchas cosas en la naturaleza actan de formano lineal.La importancia que tienen los sistemas en el caos es el si-guiente: se dice que un sistema dinmico es lineal cuandopequeos cambios en las condiciones iniciales del siste-ma no originan grandes cambios en el proceso y resultadonal del mismo.

2.3 Divergencia exponencial de trayecto-rias cercanas

Tiempo de horizonte. Exponente de Lyapunov.

Los atractores exhiben una dependencia sensible de lascondiciones iniciales. Esto signica que dos trayectoriasque comienzan cerca una de la otra divergen, y cada unatendr un futuro totalmente diferente de la otra. Haciendoestudios numricos de los atractores extraos se puedeencontrar la siguiente proporcin:

kk k0ket

donde (t) es el vector que separa 2 trayectorias, 0 es laseparacin inicial y es el exponente Lyapunov. Cuan-do el sistema tiene un exponente de Lyapunov positivo (

2.4 Atractores 3

> 0 ), se encuentra un tiempo de horizonte donde laprediccin deja de ser vlida. Si se toma a como el valormximo de la distancia aceptable entre dos trayectorias(la prediccin ser intolerable cuando jj(t)jj a ), en-tonces el tiempo de horizonte se dene como

thorizon 1 ln ajj0jjLo peor del tiempo de horizonte es que, por mucho que seminimice la separacin inicial, no lograr ser mucho msgrande. Esto es, aunque se logre una precisinmuy buena,el incremento del tiempo de horizonte que se logra serinsignicante comparado con la disminucin de 0 . Poresto, Lorenz dijo que era tan difcil predecir el tiempo.Este obstculo de la prediccin se conoce con el nombreefecto mariposa por una charla de Lorenz con el ttulo"Puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil darlugar a un tornado en Texas?".La sensibilidad a las condiciones es tan extremadamenteexagerada que, aparte del provocativo ttulo de la charlade Lorenz, se encuentran otras frases como,

Por perder un clavo, el caballo perdi la he-rradura, el jinete perdi al caballo, el jinete nocombati, la batalla se perdi, y con ella perdi-mos el reino.

Si se dibuja una grca con los ejes ln jjjj y t , se ob-serva que para un corto plazo de t , la funcin se muevealrededor de una pendiente. El valor de esta pendienteequivale al exponente de Lyapunov. Como se observa enel ejemplo de abajo, despus de un tiempo la funcin nocontina cerca de la pendiente. Esto es debido a que, co-mo el atractor est acotado en un espacio del espacio defases, la distancia no puede aumentar hasta el innito.

2.4 AtractoresEl comportamiento o movimiento en un sistema dinmi-co puede representarse sobre el espacio de fases. Los dia-gramas de fases no muestran una trayectoria bien deni-da, sino que sta es errabunda alrededor de algn movi-miento bien denido. Cuando esto sucede se dice que elsistema es atrado hacia un tipo de movimiento, es decir,que hay un atractor.Al hablar de atractores no se hace referencia nica y ex-clusivamente a los atractores caticos, ya que antes de queapareciera el caos se conocan otros tipos de atractores.De acuerdo a la forma en que sus trayectorias evolucio-nen, los atractores pueden ser clasicados como:

Atractor de punto jo: Corresponde al ms simple,el sistema que tenga un atractor de punto jo tendera estabilizarse en un nico punto. Un ejemplo comnes el pndulo, que tiende al punto en el que el nguloes nulo respecto a la vertical, debido al rozamientocon el aire.

Modelo matemtico.

Atractor de ciclo lmite o atractor peridico: Esel segundo tipo de atractor ms sencillo. Este tipo deatractor tiende a mantenerse en un periodo igual pa-ra siempre. Como ejemplo, se puede tomar un pn-dulo alimentado para contrarrestar la fuerza de ro-zamiento, por lo que oscilara de lado a lado.

Atractor catico: Aparece en sistemas no linealesque tienen una gran sensibilidad a las condiciones.Un famoso ejemplo de estos atractores es el atractorde Lorenz.

Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo demovimiento que provocan en los sistemas. Un atractorperidico, por ejemplo, puede guiar el movimiento de unpndulo en oscilaciones peridicas; sin embargo, el pn-dulo seguir trayectorias errticas alrededor de estas os-cilaciones debidas a otros factores menores no conside-rados.

2.4.1 Ejemplos de atractores

Se ver una introduccin de estos distintos tipos de atrac-tores con un modelo matemtico muy usado para explicarel caos. Consiste en una varilla de acero con un extremojado a un soporte y el otro libre para oscilar entre dosimanes colocados simtricamente. El soporte de la varillase halla sometido a una fuerza armnica F = f cos!t ,como se observa en la gura del modelo matemtico.Es fcilmente observable que cuando la varilla est en po-sicin vertical, hay un punto de equilibrio inestable entredos puntos de equilibrio estables situados simtricamen-te. El potencial de este sistema es

V (x) = 14x2(2 x2)

4 2 CAOS DETERMINISTA

de modo que la ecuacin de movimiento ser,

x = V 0(x) = x x3

Si ahora se agrega una fuerza de rozamiento del aire pro-porcional a la velocidad (- _x ) y una fuerza externa ar-mnica, se logra la ecuacin de Dung:

x+ _x x+ x3 = f cos!t

A continuacin se ve cmo el trmino no lineal x3 tieneconsecuencias dinmicas asombrosas.

Suponiendo que inicialmente no se tiene friccin ( = 0) ni fuerza externa ( f = 0 ), el sistema es conservati-vo y se tendr una integral primera que proporciona lastrayectorias en el espacio de fases (x; _x) :

12 _x

2 14x2(2 x2) = E

En los mnimos de la energa potencial se observa que lospuntos son estables mientras que el mximo correspondea un punto de silla inestable. Las trayectorias de energanula son rbitas homoclnicas que se hallan tanto en lavariedad estable como en la inestable. Las dems trayec-torias corresponden a oscilaciones peridicas cuyas rbi-tas encierran un solo punto estable ( E < 0 ) o ambos (E > 0 ).Si ahora se tiene en cuenta el rozamiento, se obtendrnoscilaciones amortiguadas, por lo que es lgico pensarque el sistema perder energa montonamente, mientrasel tiempo transcurra. En consecuencia, las trayectoriastendern a uno de los atractores de punto jo.Si ahora, adems del rozamiento, se introduce una fuerzaexterna armnica que contrarresta a la fuerza de roza-miento, el sistema ya no tender al equilibrio. Al ser unafuerza armnica se encuentran soluciones peridicas (ci-clos lmite), pero nada que ver con los periodos de los quese habla cuando el sistema es conservativo ( = f = 0 ).En este caso los periodos son independientes de la ener-ga por la fuerza de rozamiento y la armnica, as que losperiodos dependen de la fuerza armnica externa.Al aumentar la fuerza externa ( f = 0:3 ), las rbitas pe-ridicas desaparecen y oscilan sin cesar sin ninguna re-gularidad. Adems de la irregularidad del sistema, esteexhibe una gran sensibilidad a las condiciones inicialespor lo que nos encontramos ante un atractor extrao (ocatico).En conclusin, para que haya caos se necesita que se cum-plan los siguientes 3 puntos en un sistema:

1. El sistema debe ser no lineal.

2. El sistema debe tener mnimo 3 variables (puede serpor ejemplo de 2 variables y no autnomo).

3. El sistema debe tener dependencia sensible a lascondiciones iniciales.

Cuando el modelo matemtico tena f = 0 era un sistemano lineal, pero al introducir f = 0:23 se logra la terce-ra varible, el tiempo. Aunque no tena dependencia a lascondiciones iniciales. Por eso se ha de remarcar que elcaos implica que el sistema sea de 3 o ms variables, pe-ro 3 o ms variables no implican que haya caos.Una manera de visualizar el movimiento catico, o cual-quier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fasesdel movimiento. En tal diagrama el tiempo est implcitoy cada eje representa una dimensin del estado. Por ejem-plo, un sistema en reposo ser dibujado como un punto, yun sistema en movimiento peridico ser dibujado comoun crculo.

2.4.2 Atractores extraos

La mayora de los tipos de movimientos mencionadosen la teora anterior suceden alrededor de atractores muysimples, tales como puntos y curvas circulares llamadasciclos lmite. En cambio, el movimiento catico est li-gado a lo que se conoce como atractores extraos, quepueden llegar a tener una enorme complejidad como, porejemplo, el modelo tridimensional del sistema climti-co de Lorenz, que lleva al famoso atractor de Lorenz. Elatractor de Lorenz es, quiz, uno de los diagramas de sis-temas caticos ms conocidos, no slo porque fue unode los primeros, sino tambin porque es uno de los mscomplejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muypeculiar ms bien parecida a las alas de una mariposa.Los atractores extraos estn presentes tanto en los siste-mas continuos dinmicos (tales como el sistema de Lo-renz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo,la aplicacin de Hnon). Otros sistemas dinmicos dis-cretos tienen una estructura repelente, de tipo conjuntode Julia, la cual se forma en el lmite entre las cuencasde dos puntos de atraccin jos. Julia puede ser sin em-bargo un atractor extrao. Ambos, atractores extraos yatractores tipo Conjunto de Julia, tienen tpicamente unaestructura de fractal.El teorema de Poincar-Bendixson muestra que un atrac-tor extrao slo puede presentarse como un sistema con-tinuo dinmico si tiene tres o ms dimensiones. Sin em-bargo, tal restriccin no se aplica a los sistemas discretos,los cuales pueden exhibir atractores extraos en dos o in-cluso una dimensin.

52.4.3 Algo ms de atractores

Los atractores extraos son curvas del espacio de fasesque describen la trayectoria elptica de un sistema en mo-vimiento catico. Un sistema con estas caractersticas esimpredecible, conocer su conguracin en un momentodado no permite predecirla con certeza en un momentoposterior. De todos modos, el movimiento no es absolu-tamente aleatorio.En la mayora de sistemas dinmicos se encuentran ele-mentos que permiten un tipo de movimiento repetitivo y,a veces, geomtricamente establecido. Los atractores sonlos encargados de que las variables que inician en un pun-to de partida mantengan una trayectoria establecida, y loque no se puede establecer de una manera precisa son lasoscilaciones que las variables puedan tener al recorrer lasrbitas que lleguen a establecer los atractores. Por ejem-plo, es posible ver y de cierta manera prever la trayectoriade un satlite alrededor de la Tierra; lo que aparece, eneste caso, como algo indeterminado son los movimien-tos e inconvenientes varios que se le pueden presentar alobjeto para efectuar este recorrido.

2.5 Transformacin del panadero

Atractor de Rssler.

En los atractores extraos se observan rbitas irregula-res, que las trayectorias divergen exponencialmente y quepermanecen en un espacio de fases acotado. Para explicarestas propiedades se usar la transformacin del panaderoque consiste en un doble proceso de estirar y plegar.Este doble proceso de estirar (para separar exponencial-mente las trayectorias) y plegar (para que la regin delespacio de fases se mantenga acotado) es un mecanismofundamental del caos determinista. A este proceso se ledenomina transformacin del panadero, porque el pro-ceso de homogeneizar la masa consiste tambin en estirar(para homogeneizar) y plegar (para tener unas dimensio-nes manejables) la masa repetidas veces.Al repetir innitas veces el proceso, se logran innitas ca-pas que le dan al atractor una estructura fractal. Un ejem-plo de esto se puede apreciar en el atractor de Rssler.Viendo el grco se observa cmo en el nmero 1 se es-tira y en el 3 se pliega. Cogiendo el 3 y volviendo a aplicarel proceso, se obtiene el doble de capas.Otro ejemplo para explicar la trasformacin es la

ecuacin de Dung. En este caso como f 6= 0 el es-pacio de fases es tridimensional. Pero al aparecer t en uncoseno, una dimensin es cclica, por lo que para visua-lizar el atractor se considera una seccin estroboscpicapara valores t = t0 + 2n , ( n = 0; 1; :::) .En el siguiente dibujo hay 16 secciones por lo que t0 =(k 1)/8 , ( k = 1; 2; :::; 16 )

Secciones estroboscpicas del atractor de Dung: mirando conatencin el grco, se ve claramente la transformacin del pa-nadero. Esto es, se aprecia cmo a la vez que se estira se pliegasobre s mismo.

3 Breve historiaEl caos y los fractales son parte de un tema mayor,la dinmica, rama de la fsica que empez a mediadosde 1600 cuando Isaac Newton descubri las ecuacionesdiferenciales, descubri las leyes de movimiento y lagravitacin general. Con estos elementos Newton resol-vi problemas de dos cuerpos que interactan por mediode la gravedad pero, lo que de verdad le llamaba la aten-cin, era el movimiento de la Luna y su generalizacinconocida con el nombre de problema de los tres cuerpos.Las siguientes generaciones de matemticos y fsicos tra-taron problemas de tres cuerpos y notaron que resultabanmucho ms difciles que los problemas de dos cuerpos,hasta el punto de darlos como imposibles.

3.1 El determinismo laplacianoEn 1776 el matemtico francs Pierre Simon de Lapla-ce comenz a publicar 5 volmenes de Trait du Mca-nique Cleste, donde el autor armaba categricamenteque, si se conociera la velocidad y la posicin de todas laspartculas del Universo en un instante, se podra predecirsu pasado y futuro. Por ms de 100 aos su armacin pa-reci correcta y, por ello, se lleg a la conclusin de queel libre albedro no tena espacio en mecnica clsica, yaque todo estaba determinado por el estado del universoen un tiempo anterior.El determinismo laplaciano consista en armar que, si seconocen las leyes que gobiernan los fenmenos estudiados(y estas son deterministas como en mecnica clsica), seconocen las condiciones iniciales y se es capaz de calcular

6 3 BREVE HISTORIA

la solucin, entonces se puede predecir con total certezael futuro del sistema estudiado.

3.2 El cuestionamiento de Poincar

A nales del siglo XIX Henri Poincar (1854-1912), ma-temtico francs, introdujo un nuevo punto de vista alpreguntarse si el Sistema Solar sera estable para siem-pre. Poincar fue el primero en pensar en la posibilidaddel caos, en el sentido de comportamiento que dependierasensiblemente en las condiciones iniciales. En 1903 Poin-car postulaba acerca de lo aleatorio y del azar en los si-guientes trminos:

El azar no es ms que la medida de la igno-rancia del hombre

reconociendo, a la vez, la existencia de innumerables fe-nmenos que no eran completamente aleatorios, que sim-plemente no respondan a una dinmica lineal, aquellosa los que pequeos cambios en las condiciones inicialesconducan a enormes cambios en el resultado.Algunas de las propiedades identicadas por Poincarque hacan imposible la prediccin a largo plazo se en-contraron en la prctica en sistemas fsicos tales comoel clima, la sangre cuando uye a travs del corazn, lasturbulencias, las formaciones geolgicas, los atascos devehculos, las epidemias, la bolsa o la forma en que lasores orecen en un prado.

3.3 El aporte de Lorenz

Atractor de Lorenz.

El comienzo de la reciente historia del caos se sita enla dcada de 1950 cuando se inventaron los ordenadoresy se desarrollaron algunas intuiciones sobre el compor-tamiento de los sistemas no lineales. Esto es, cuando sevieron las primeras grcas sobre el comportamiento deestos sistemas mediante mtodos numricos. En 1963Edward Lorenz trabajaba en unas ecuaciones, las ecua-ciones mundialmente conocidas como ecuaciones de Lo-renz, que esperaba predijeran el tiempo en la atmsfera, y

trat mediante los ordenadores ver grcamente el com-portamiento de sus ecuaciones. Los ordenadores de aque-lla poca eran muy lentos, por se dice que mientras Lo-rentz fue a tomar un t mientras el ordenador haca losclculos, y cuando volvi se encontr con una gura queahora se conoce como atractor de Lorenz.Pens que se haba cometido algn error al ejecutar elprograma y lo intent repetidas veces, logrando siempreel mismo resultado hasta que se dio cuenta de que algo pa-saba con el sistema de ecuaciones simplicado con el queestaba trabajando. Despus de estudiar detenidamente elproblema y hacer pruebas con diferentes parmetros (tan-to iniciales como las constantes del sistema), Lorenz llega la conclusin de que las simulaciones eran muy diferen-tes para condiciones iniciales muy prximas. Al llegar ala misma, record que en el programa que l haba crea-do para su sistema de meteorologa con la computadoraRoyal McBee, se podan introducir un mximo de 3 de-cimales para las condiciones iniciales, aunque el progra-ma trabajaba con 6 decimales y los 3 ltimos decimalesque faltaban se introducan aleatoriamente. Lorenz publi-c sus descubrimientos en revistas de meteorologa, pa-sando desapercibidos durante casi una dcada.La dcada de 1970 fue el boom del caos. En 1971 DavidRuelle y Floris Takens propusieron una nueva teora pa-ra la turbulencia de uidos basada en un atractor extra-o. Aos despus el eclogo terico Robert May en 1976encontr ejemplos de caos en dinmica de poblacionesusando la ecuacin logstica discreta. A continuacin lle-g el ms sorprendente descubrimiento de todos de lamano de Feigenbaum. l descubri que hay un conjuntode leyes universales concretas que diferencian la transi-cin entre el comportamiento regular y el caos, por tanto,es posible que dos sistemas evolucionen hacia un com-portamiento catico igual.

3.4 Ecuaciones de Lorenz

El primer sistema de ecuaciones bien caracterizado queexhiba comportamiento catico fue el sistema de ecua-ciones propuesto por Lorenz:

_x = (y x)_y = rx y xz_z = xy bz

donde es el nmero de Prandtl (viscosi-dad/conductividad trmica), r es el nmero de Rayleigh(John Strutt) (diferencia de temperatura entre base ytope) y b es la razn entre la longitud y altura del sistema.Lorenz observ dos cosas fundamentales que ocurran ensu ecuacin:

1. Cualquier diferencia en las condiciones iniciales an-tes de los clculos, incluso innitesimal, cambiaba

4.2 En medicina 7

de forma dramtica los resultados. Tan slo se po-da predecir el sistema por cortos perodos. Llevan-do eso a la meteorologa, supona lo que se llamefecto mariposa, hipersensibilidad a las condicionesiniciales.

2. A pesar de lo anterior, la impredecibilidad del sis-tema, lejos de ser un comportamiento al azar, te-na una curiosa tendencia a evolucionar dentro deuna zona muy concreta del espacio de fases, situan-do una especie de pseudocentro de gravedad de loscomportamientos posibles.

Las ecuaciones de Lorenz fueron propuestas como unmodelo muy simplicado de la conveccin en forma deanillos que parece ocurrir a veces en la atmsfera terres-tre. Por ello, las tres magnitudes a las que Lorenz se re-ere en su sistema son,

x! Razn de rotacin del anillo. y ! Gradiente de temperatura. z ! Desviacin de la temperatura respecto a suvalor de equilibrio.

Lorenz descubri que su sistema contena una dinmicaextremadamente errtica. Las soluciones oscilaban irre-gularmente sin llegar a repetirse, aunque lo hacan enuna regin acotada del espacio de fases. Vio que lastrayectorias rondaban siempre alrededor de lo que aho-ra se dene como atractor extrao. El sistema de Lorenzes disipativo.

4 AplicacionesLa teora del caos y la teora de sistemas dinmicoscuentan actualmente con numerosas aplicaciones tanto enciencias naturales como en tecnologa y ciencias sociales.Se han desarrollado aplicaciones prcticas en el campodel control, la caracterizacin y el modelado de sistemascomplejos. Durante las siguientes cuatro dcadas que si-guieron a los aos 1960 aument mucho la literatura so-bre los sistemas complejos y la teora del caos, as comolas temticas y aplicaciones alumbradas a raz de la in-vestigacin en dicho campo interdisciplinar.En Teora del Caos, el tercer paradigma, se explica cmola estadstica inferencial trabaja con modelos aleatoriospara crear series caticas predictoras para el estudio deeventos presumiblemente caticos en las ciencias socia-les.

4.1 En meteorologaEl tiempo atmosfrico (no confundir con el clima), ade-ms de ser un sistema dinmico, es muy sensible a los

cambios en las variables iniciales, es un sistema transi-tivo y tambin sus rbitas peridicas son densas, lo quehace del tiempo un sistema apropiado para trabajarlo conmatemtica catica. La precisin de las predicciones me-teorolgicas es relativa, y los porcentajes anunciados tie-nen poco signicado sin una descripcin detallada de loscriterios empleados para juzgar la exactitud de una pre-diccin.Al nal del siglo XX se ha vuelto comn atribuirles unaprecisin de entre 80 y 85% en plazos de un da. Losmodelos numricos estudiados en la teora del caos hanintroducido considerables mejoras en la exactitud de lasprevisiones meteorolgicas en comparacin con las pre-dicciones anteriores, realizadas por medio de mtodossubjetivos, en especial para periodos superiores a un da.En estos das es posible demostrar la conabilidad de laspredicciones especcas para periodos de hasta cinco dasgracias a la densidad entre las rbitas peridicas del sis-tema, y se han logrado algunos xitos en la prediccin devariaciones anormales de la temperatura y la pluviosidadpara periodos de hasta 30 das.Antes de la aparicin de la Teora del Caos, se pensabaque para que el tiempo llegara a predecirse con exacti-tud newtoniana no era ms que una cuestin de introducirms y ms variables en un ordenador lo sucientementepotente como para procesarlas. Sin embargo, de unas po-cas variables de hace tan slo unas dcadas se ha pasadoa considerar cientos de miles de variables sin conseguir lapredicibilidad esperada. El clima, como sistema catico,ha de entenderse como un sistema impredecible dentrode un atractor que le conere cierto orden a travs de lasestaciones. Ms recientemente se ha probado que el ca-rcter catico del tiempo atmosfrico tiene que ver conlas propiedades geomtricas del grupo de evolucin delsistema climtico terrestre, en concreto dicho grupo pue-de dotarse de la estructura de una variedad de Riemann dedimensin innita con curvatura negativa, lo cual implicaque curvas arbitrariamente cercanas acaban divergiendoen el tiempo. Estos resultados sugieren una imposibilidadprctica predecir el tiempo atmosfrico a medio y largoplazo. El clima es sensible a pequeas variaciones en lascondiciones iniciales y la determinacin de las condicio-nes iniciales con exactitud est abocado al fracaso a causadel Principio de incertidumbre de Heisenberg. Se ha es-timado que una prediccin a dos meses vista requeriraconocer las condiciones iniciales con una precisin unas100 mil veces superior a la precisin obtenida por dichaprediccin.

4.2 En medicinaEl anlisis de las series temporales procedentes deelectrocardiogramas y encefalogramas que en algunos de-talles presetan detalles aparentemente aleatorios, parecenestar generados por una dinmica que de hecho es un sis-tema catico. Los exponentes y parmetros matemticosque caracterizan dichas series han podido ser usados co-

8 6 REFERENCIAS

mo medio de diagnstico de ciertas patologas. Esto per-mite un diagnstico precoz de algunas de esas patologas.

5 Vase tambin Artculos sobre teoras en la Wikipedia. Oscilador de van der Pol Fractal Problema de los tres cuerpos

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6.2 Enlaces externos Artculo divulgativo sobre el creciente aporte de laTeora del Caos enMedicina Servicio de divulgacincientca DivulgaUNED (Universidad Nacional deEducacin a Distancia de Espaa, octubre 2009).

Alcances y limitaciones de la Teora del Caos aplica-da al anlisis del Comportamiento Organizacional,Cultural y la necesidad del cambio De la Universi-dad Peruana de Ciencias Aplicadas

Fundamentos matemticos de la sinergtica. Caos,estructuras y simulacin por ordenador

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97 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias7.1 Texto

Teora del caos Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos?oldid=83093581 Colaboradores: Youssefsan, Joseape-rez, Oblongo, Fibonacci, Sabbut, Moriel, Frutoseco, JorgeGG, Robbot, Zwobot, Interwiki, Dodo, Cookie, Tostadora, Xgarciaf, JulianColina, Tano4595, El Moska, Xenoforme, Echiner, Aalku, AlGarcia, Jabernal, Benjavalero, Jgalgarra, Murtasa, Rapomon, Digigalos,Boticario, Gusarrgg, Mescalier, Airunp, Yrithinnd, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), LeCire, Tico~eswiki, Orco70, Magister Mathemati-cae, Lumen, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Alhen, Caiserbot, Unicacion, Maleiva, .Sergio, YurikBot, Mortadelo2005, KnightRider,Cfuentea~eswiki, Estoeselcolmo, Amadosanchez, Kepler Oort, Jos., Maldoror, Haku, Tomatejc, Jarke, Nihilo, Linus~eswiki, Axxgreazz,BOTpolicia, CEM-bot, Tapioca, Alexav8, Carlab89, Marianov, Eli22, Roberpl, Davius, Antur, Baldercm, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot,Drake 81, Ffahm, Egaida, MSBOT, JAnDbot, Zufs, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Gustronico, Humberto, Netito777, Sincro, Nioger,Bedwyr, Idioma-bot, Alesico, Plux, Dhidalgo, TottyBot, AlnoktaBOT, Masacroso, Aibot, Technopat, Matdrodes, Fiquei, DJ Nietzs-che, BlackBeast, Lucien leGrey, AlleborgoBot, Muro Bot, SieBot, PaintBot, Loveless, Macarrones, Renemoralesduarte, Wilfreddehelm,Carmin, Bigsus-bot, Guillem d'Occam, Jcd, Txukiya, Tirithel, HUB, Janumna, Gato ocioso, DragonBot, Farisori, Quijav, VMoreira, JuanMayordomo, BodhisattvaBot, SilvonenBot, SergioN, Abajo estaba el pez, AVBOT, MastiBot, MarcoAurelio, SpBot, Diegusjaimes, Melan-cholieBot, Andreasmperu, Luckas-bot, Spirit-Black-Wikipedista, Joronstro, Panerowsky, Kikespn, Juanrj, Xqbot, Jkbw, Lycaon83, Botarel,Proitsen, Alexlp182, Gpanter, Jerowiki, Gustavo Girardelli, GrouchoBot, Bachi 2805, Savh, Grillitus, Juancar24578, Chiwakaelketefocka,Jmonzo, WikitanvirBot, Ruos, Antonorsi, KLBot2, Jaluj, Travelour, MetroBot, Invadibot, Helmy oved, Balles2601, Jarould, BenjaBot,Sherezadee, Rod6013 y Annimos: 228

7.2 Imgenes Archivo:CaosDI1.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/CaosDI1.jpg Licencia: Public domain Colabora-

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Clasificacin de los sistemas Caos determinista Definicin de caos y atractores La importancia de la no linealidad Divergencia exponencial de trayectorias cercanas Atractores Ejemplos de atractores Atractores extraos Algo ms de atractores

Transformacin del panadero

Breve historia El determinismo laplaciano El cuestionamiento de Poincar El aporte de Lorenz Ecuaciones de Lorenz

Aplicaciones En meteorologa En medicina

Vase tambin Referencias Bibliografa Enlaces externos

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