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Teoria do Consumidor:Preferências e Utilidade
Roberto Guena de Oliveira
13 de março de 2011
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Sumário
1 Função de utilidade
2 Hipóteses sobre preferências e função de utilidade
3 Funções de utilidade típicas
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Função de utilidade
Função de Utilidade
Definição:
Uma função U : X→ R é chamada de função de utilidade caso,para quaisquer x,y ∈ X,
x ¥ y⇔U(x) ≥ U(y).
Uma função de utilidade simplesmente atribui números reaisa todas as cestas de bens do conjunto de consumo de talsorte que cestas de bens mais preferidas recebam númerosmais elevados.
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Função de utilidade
Condição suficiente para a existência de umafunção de utilidade
Caso as preferências de um consumidor sejam completas,transitivas e contínuas, então, elas podem ser representadaspor uma função de utilidade contínua.
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Função de utilidade
Exemplo: construindo uma função de utilidade
1
2
b x0
b x1
b x2
b x3
Cx2
Cx3
Cx0ℓ 1
ℓ 2
ℓ 3
U(x2) = ℓ1
U(x0) = U(x1) = ℓ2
U(x3) = ℓ3
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Função de utilidade
Utilidade Ordinal
Do modo como definimos a função de utilidade, esta tempor função ordenar as cestas de bens, atribuindo númerosmaiores paras as cestas mais desejadas, não importandoo valor absoluto desses números.
Por exemplo, no slide anterior a função de utilidadepoderia ser a raiz quadrada da distância entre a origem ea curva de indiferença, pois a ordenação das cestas seriamantida.
Também poderia ser considerada como função deutilidade o quadrado dessa distância.
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Função de utilidade
Transformações Monotônicas
Sejam U(x) uma função de utilidade que representeadequadamente as preferências de um consumidor e ƒ ,uma função estritamente crescente definida na imagemde U(x), então a função V(x) definida para todo x ∈ Xcomo
V(x) = ƒ (U(x))
também é uma boa representação das característicasordinais das preferências do mesmo consumidor.
A função V(x) definida acima é chamada detransformação monotônica da função U(x).
Duas funções de utilidade quaisquer representam ascaracterísticas ordinais das mesmas preferências se, esomente se, uma é uma transformação monotônica daoutra.
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Função de utilidade
Utilidade Cardinal
Caso, ao contrário do que dissemos até aqui, seja dadoum significado ao valor que a função de utilidade associaa cada cesta de bens, dizemos que a função de utilidadeé cardinal, ou que os aspectos cardinais da função deutilidade são relevantes.
Os primeiros economistas neoclássicos trabalhavam coma hipótese de utilidade cardinal. Porém, hoje se sabe quetoda a teoria microeconômica positiva e grande parte damicroeconomia normativa dependem apenas dosaspectos ordinais da função de utilidade.
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Função de utilidade
Utilidade Marginal
Definição
A utilidade marginal do bem , UMg, é definida por
UMg(x) =∂U(x)
∂
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Função de utilidade
Taxa Marginal de Substituição: definiçãoequivalente
Considere a função j(,x∗)
(x∗ = (∗1, . . . , ∗
, . . . , ∗
j, . . . , ∗
n)) definida por
U(∗1, . . . , , . . . , j(,x
∗), . . . , ∗n) = U(x∗)
A taxa marginal de substituição no ponto x∗, em unidades dobem j por unidade do bem , é definida por
TMSj(x∗) =
∂j(∗,x∗)
∂.
Diferenciando em relação a a definição de j(,x∗) e
calculando igualdade em x∗ vem
∂U(x∗)
∂+∂j(,x
∗)
∂
∂U(x∗)
∂j= 0→ TMS = −
UMg(x∗)
UMgj(x∗)
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Função de utilidade
Exercício
Encontre a expressão da a taxa marginal de substituição paraas seguintes funções de utilidade:
1 U(1, 2) =p1 2
2 U(1, 2) =p1 +p2
3 U(1, 2) = ln1 +p2.
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Hipóteses sobre preferências e função de utilidade
Monotonicidade e função de utilidade
1 Monotonicidade Fraca: Se comparada a y, x contémquantidades maiores de todos os bens, então U(x) > U(y).
2 Monotonicidade Forte: Se, quando comparada a y, xpossui pelo menos as mesmas quantidades de todos osbens e uma quantidade maior de, pelo menos, um bem,então U(x) > U(y).
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Hipóteses sobre preferências e função de utilidade
Exercício
Expresse as hipóteses de não saciedade local, deconvexidade e de convexidade estrita em termos da funçãode utilidade, supondo que esta exista.
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Funções de utilidade típicas
Substitutos Perfeitos
1
2
Características:
TMS constante.
Com escolha certa deunidades de medida,TMS = −1.Função de utilidade
U(1, 2) = 1 + 2
TMS = −1
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Funções de utilidade típicas
Complementos Perfeitos
1
2
TMS = 0
TMS = 0
TMS = 0
TMSindefinida
TMSindefinida
TMSindefinida
α
Características:
Uma unidade adicional de2 só tem utilidadequando combinada com1αunidades de 2.
Com escolha certa deunidades de medida,α = 1.
Função de utilidade:
U(1, 2) =min{α1, 2}
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Funções de utilidade típicas
Neutros
1 é um neutro
1
2
Função de utilidade
U(1, 2) = 2
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Funções de utilidade típicas
Preferências quase lineares
1
2
Características
TMS dependeexclusivamente de 1.
Função de utilidade:
U(1, 2) = (1) + 2
TMS = ′(1)
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Funções de utilidade típicas
Preferências Homotéticas
1
221= 1
21=
12
Características:
TMS depende apenasde 2/1.
Sempre podem serrepresentadas por umafunção de utilidadehomogênea de grau 1ou por umatransformaçãomonotônica de talfunção (funçõeshomotéticas).
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Funções de utilidade típicas
Exercícios
1 Mostre que, caso a função de utilidade seja homogêneade grau 1, a taxa marginal de substituição dependeexclusivamente das razões entre as quantidadesconsumidas dos bens.
2 Sejam U(1, 2) uma função de utilidade, ƒ () uma funçãomonotonicamente crescente definida na imagem de U eV(1, 2) = ƒ (U(1, 2)). Mostre que a taxa marginal desubstituição obtida a partir de V é a mesma qua obtida apartir de U, isto é, mostre que
∂∂1
U(1, 2)
∂∂2
U(1, 2)=
∂∂1
V(1, 2)
∂∂2
V(1, 2)
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Funções de utilidade típicas
Exemplo: preferências Cobb-Douglas
U(1, 2) = α11−α2
, 0 < α < 1
TMS = α2
1
Variações
U(1, 2) = Aα1β2, A, α, β > 0
U(1, 2) = α log1 + (1− α) log 2; 0 < α < 1
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Funções de utilidade típicas
Curvas de indiferença para preferênciasCobb-Douglas = 1
1
2
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Funções de utilidade típicas
Exemplo: função de utilidade CES
U(1, 2) =�
αρ1 + (1− α)
ρ2
�1/ρ, 0 < α < 1
TMS = −α
1− α
�
1
2
�1−ρ
Outra formulação
U(1, 2) =h
α(σ−1)/σ1 + (1− α)(σ−1)/σ2
iσ/(σ−1)
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Funções de utilidade típicas
Exercício
Mostre que, quando ρ tende a zero, a função de utilidade CEStende a uma função de utilidade Cobb-Douglas com a forma
U(1, 2) = α1+ 1−α
2
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Funções de utilidade típicas
Curva de indiferença para uma função deutilidade CES para diferentes valores de ρ
1
2
ρ = 1 ρ = 12
ρ = 0
ρ = −2
ρ = −∞
ρ = 2
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