teoria doppler coi vettori in it

Copyright Fabio Mosca – Doppler di fase

VELOCITA’ DI PROPAGAZIONE DEL SUONO

Dobbiamo ai due grandi della Fisica, Isaac Newton e Laplace, la definizione della velocità di propagazione del suono.Questa velocità c è la radice del rapporto fra l’elasticità e densitàL’elasticità per Newton è la pressione atmosferica isotermica, p , mentre per Laplace è la pressione atmosferica adiabatica, prodotto di gamma per p.Questo significa che la velocità di propagazione del suono in aria è determinata unicamente dalla pressione, dalla temperatura e dalla densità.

c=√ γpρ

dove ρ è la densità dell’ariaγ è la costante adiabatica,p è la pressione atmosferica,

Poniamo che in assenza di vento 4 onde si dipartono dal centro di radiazione A diffondendosi sfericamente nell’aria. I fronti d’onda, distanti una lunghezza d’onda, saranno equidistanti dal centro A:

Fig.1

Il punto B posto, alla distanza d, verrà raggiunto dall’onda emessa da A in un tempo

t = d / c

La lunghezza d’onda λ sarà data dal periodo T moltiplicato per la velocità c

λ = c T

1


Poniamo ora che ci sia un vento di velocità v inferiore a c: i fronti d’onda che si dipartono -rarefacendosi nel verso del vento ed addensandosi all’opposto - come da disegno:

Fig.2

Confrontando l’immagine senza vento con quella col vento vediamo che i fronti d’onda si spostano. Si noti che la frequenza rimane la stessa, perché si spostano solamente le fasi. Cioè il periodo è costante ma lo spazio percorso è diverso:

Fig.3

2


Vediamo che il tempo in cui il punto B sarà raggiunto dall’onda che parte da A sarà

t’ = d / u ……………………………………(1) dove

u = c – v……………………………………..(2)

quindi maggiore, rispetto la situazione senza vento, di un tempo.

∆ t = t + t’...............…………………………..(3)

= (d/ c) + d / (c - v)………………………..(4)

= d ( 1/c + 1/(c – v))…….…………………(5)

Nello spazio la lunghezza d’onda λ’ col vento invece è diversa di λIl periodo T resta costante , ma il percorso nello stesso periodo , cioè la lunghezza d’onda, cambierà:

λ’ = T u =T (c – v)……………………………(6)

Essendo per definizione T = λ/c, per cui la (6) si può riscrivere come

λ’ = λ (1+v/c)…………………………………(7)

La fase φ rispetto l’onda trasmessa, espressa in gradi, sarà la frazione v/c di 2π radianti:

φ = 2π v / c)…………………………………..(8)

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Rappresentazione coi vettori

Dalla teoria dei circuiti un’onda sinusoidale si può rappresentare sia come un vettore rotante, con velocità angolare ω, su un piano cartesiano immobile; ma anche come un fasore immobile su un piano rotante con velocità angolare ω. Questo è un artificio molto importante perché si può così

rappresentare anche come varia nello spazio la fase φ :

Fig.4

Ad esempio la fase una semionda si può rappresentare nelle tre situazioni: dapprima in quiete, poi con un vento favorevole alla propagazione, infine con vento contrario. Fotografando in cinque istanti la fase, in partenza (da sinistra), dopo 1/8 di periodo, dopo 1/4, dopo , dopo 3/8, dopo 1/2::

senza vento

vento favorevole

4


vento contrarioFig.5

Si può vedere quindi la fase nello spazio in assenza di vento e con vento contrario alla velocità di propagazione c istante per istante, e progettare un circuito che compari la fase di partenza con quella di arrivo alla distanza d.

Fig.6

In fig. (6) si vede una misura diretta del Doppler di fase in un’onda sonora.Su questo principio funzionano gli anemometri acustici.

APPLICAZIONE DI QUESTI CONCETTI ALLE ONDE ELETTROMAGNETICHE

Ciò che vale per il suono deve valere (questa è la mia convinzione, come lo era di Maxwell e di Michelson e di tutti coloro che tentarono di misurare il “vento dell’etere”. La natura non fa salti, ne eccezioni. )Maxwell, cui dobbiamo la scoperta teorica delle onde elettromagnetiche, non fece che applicare i concetti della fluidodinamica all’elettromagnetismo, concepito questo come vibrazioni trasversali d’un fluido, l’etere. Infatti applicando gli stessi concetti di Newton e Laplace per la propagazione del suono, dedusse la famosa formula della velocità c di propagazione nel vuoto,

c=1/√ μϵ ……………………………………….(9)

5


dove ε è il coefficiente dielettrico, µ è la permeabilità magneticaCiò indusse Maxwell a scrivere :

"Se fosse possibile misurare la velocità della luce in un solo senso fra due stazioni terrestri in ciascuno dei due casi [nel primo caso la Terra si muove nello stesso senso della luce, nel secondo caso in senso contrario], la differenza tra i due tempi di transito dovrebbe dipendere in modo lineare dal rapporto tra la velocità v della Terra e la velocità c della luce rispetto all'etere. Si tratterebbe quindi di un effetto del primo ordine ... “

Misurare i tempi era allora, e lo è tutt’oggi, molto difficile, mentre più agevole è misurare l’interferenza fra due raggi.

Nell’interferenza ciò che varia è la lunghezza d’onda. Perciò Michelson ricorse all’interferometro, aspettandosi di poter osservare ad occhio nudo l’effetto Doppler di due onde viaggianti a 90° l’una rispetto l’altra. Come ben si sa non vide (quasi) nulla. Da cui la indigesta grande svolta della Fisica…Ma alcuni tutt’oggi non l’hanno digerita.

Oggi , con gli strumenti dell’elettronica, si può agevolmente misurare la fase di un’onda . Ovviamente in una gabbia di Faraday, o – poiché nelle linee valgono le stesse leggi che nello spazio – in un cavo coassiale.

ONDA PIANA NEL VENTO DELL’ETERE

Applicando l’equazione d’onda di Maxwell al caso più facile da trattare matematicamente, quello di un’onda sinusoidale piana, il cui vettore del campo elettrico E si propaga lungo l’asse cartesiano x. Il vettore magnetico H , essendo eguale al vettore elettrico E, solo nello spazio ruotato di 90°, lo possiamo ignorare come ridondante.

Fig.7

6


Da Heaviside sappiamo che l’onda piana che si propaga nello spazio libero ha la stessa formula dell’onda che si propaga in una linea. Nella teoria di Heaviside delle linee, l’onda in una linea , alla distanza x, e nel tempo t , espressa in forma esponenziale , è:

Ey = (A e−γ x+ B eγx

)e jωt

…………………………….(10)

Dove Ey è l’ampiezza dell’onda piana in un punto dello spazio nel punto x e nel tempo t.A è l’ampiezza alla sorgente B è l’ampiezza dell’onda riflessae è la costante di Eulero, 2,718γ = α+jφ , costante di propagazioneα = l’attenuazione, (che nello spazio per l’onda piana = 0 ), φ = 2π/λ, la fase λ= la lunghezza d’ondaω = la velocità angolare, 2πff = la frequenza.

Ma in un’onda piana che si propaga in direzione x non c’è attenuazione, quindi α = 0, e la seconda parte fra parentesi è l’onda riflessa , che nello spazio libero non esiste, quindi 0, per cui la Ey (10) si semplifica in

E y=Ae−γx e jωt

……………………………….(11)

Se il valore di picco A del campo è Eo alla sorgente , quindi per x = 0, allora si può scrivere

E y = E0 e− jφ x e jωt

= E0 e j(ωt−φ x)

……………………………….(12)

che leggiamo come un modulo Eo moltiplicato per il fasore e j (ωt −φ x)

.

Il fasore dice che l’angolo φ sarà 0 alla sorgente, quando x = 0,angolo che aumenta man mano lungo la x in cui si propaga l’onda, ruotando di un ciclo ad ogni lunghezza d’onda λ.

Rappresentazione fasoriale del Doppler di fase

Nello spazio X ci sarà una sequenza di fasori nei diversi momenti con diverse fasi che si ripetono ad ogni ciclo. Nel vento dell’etere si possono rappresentare i fronti d’onda coi vettori – rotanti tutti alla stessa frequenza – addensati controvento, rarefatti col vento:

7


fig.8

Nella fig.8 sono rappresentate i fasori sui piani rotanti ω dei fronti d’onda. (il fasore è un versore, quindi va moltiplicato per A; nel disegno l’onda è sferica mentre nell’onda piana A resta costante).

Per cui sul piano rotante con velocità angolare ω, all’istante 0 e multipli del periodo T, il fasoresarà

e

j (ωt − 2πx

1 ±vc

)

……………………………….(13)

Facendo ruotare il piano con velocità angolare ω, la fase φ è rappresentata da

φ =

2π

1 ±vc

…………………………………. (14)

in un punto x nello spazio senza vento saràφ0 = 2π/λ,……………………………….(15)

controvento sarà φ1 = 2π/(λ(1-v/c)),…………………………(16)

col vento φ2 = 2π/(λ(1+v/c))………………………….(17)

8


Fig.9

In figura 9 sono rappresentate le fasi ad una distanza eguale dal trasmettitore posto al centro.

Su questo principio, mettendo in contrapposizione il vettore controvento ( a destra), col vettore col vento (a sinistra), ho realizzato vari interferometri elettromagnetici coi quali misuro l’interferenza .Quindi il famoso “etere” esiste!

Trieste 4 novembre 2012Fabio Mosca (tecnico pensionato Rai)

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