teoria dos grafos - daroncho.com · fluxograma de resolução aula 02 - teoria dos grafos 7 inicio...
TRANSCRIPT
Teoria dos GrafosMÉTODOS QUANTITATIVOS DE GESTÃO
MQG
Aula 2
Modelagem LinearPROGRAMAÇÃO LINEAR
2
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
CaracterísticasNa modelagem matemática é possível maximizar ou minimizar os recursos (variáveis de decisão)
Otimizar: 𝑧 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2,..............., 𝑥𝑛)
Sujeito a: 𝑔1(𝑥1, 𝑥2,...................,𝑥𝑛) ≤ 𝑏1
𝑔2(𝑥1, 𝑥2, ...................,𝑥𝑛) = 𝑏2
𝑔𝑚(𝑥1, 𝑥2, ...................,𝑥𝑛) ≥ 𝑏𝑚
Aula 02 - Teoria dos Grafos 3
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Características
Aula 02 - Teoria dos Grafos 4
De modo que:
𝑥𝑗 Quantidade de variáveis utilizadas; (j= 1,2,.....n)
𝑏𝑗 Quantidade disponível de recursos; (j= 1,2,.....n)
𝑓(𝑥) Função objetivo
𝑔𝑗(𝑥)
𝑛
Funções utilizadas nas restrições do problema
Número de variáveis de decisão𝑚 Número de variáveis do modelo
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
ConceitoEstá em sua forma padrão se tivermos uma maximização da função
objetivo e se todas as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão de não negatividade.
Maximizar:
Sujeito a:
Aula 02 - Teoria dos Grafos 5
𝑧 =
𝑗=1
𝑛
𝑐𝑗 𝑥𝑗
𝑗=1
𝑛
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 (𝑖 = 1,2, ……𝑚)
𝑥1, 𝑥2,.............,𝑥𝑛 ≥ 0
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Terminologia✓Solução: ✓ Qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão,
independente de se tratar de uma escolha desejável ou permissível.
✓Solução Viável: ✓ Uma solução em que todas as restrições são satisfeitas.
✓Solução Ótima: ✓ Uma solução viável que tem o valor mais favorável da função
objetivo, isto é maximizar ou minimizar a função objetivo em toda a região viável, podendo ser única ou não.
Aula 02 - Teoria dos Grafos 6
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Fluxograma de resolução
Aula 02 - Teoria dos Grafos 7
Inicio
Determine uma solução viável
Solução Ótima
FimSim
Não
Teoria dos GrafosO QUE É ISSO
8
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
ConceitooGrafo é um conjunto de pontos e linhas
oOs pontos são chamados de vértices (ou nós) e as linhas são chamadas de arestas (ou arcos)
Aula 02 - Teoria dos Grafos 9
Arestas
Arcos
Vértices
Nós
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
AplicaçãoÉ bastante abrangente o uso de grafos na logística em áreas de estudo como por exemplo:
•Análise de planejamento de projetos
•Roteirização
•Redes de distribuição
•Rede transporte
Aula 02 - Teoria dos Grafos 10
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Exemplo◦Ex. No problema do caminho mais curto◦Vértices são as cidades◦Arestas são as ligações entre as cidades que podem ser direcionadas ou não direcionadas
Aula 02 - Teoria dos Grafos 11
RodoviaRodovia
Rio de Janeiro
São Paulo São Paulo
Rio de Janeiro
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Exemplo
Aula 02 - Teoria dos Grafos 12
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Exemplo
Aula 02 - Teoria dos Grafos 13
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
CaminhoUm caminho é uma sequência de vértices e arestas, onde para cada i, os extremos da aresta ai são ni-ni+1
Aula 02 - Teoria dos Grafos 14
1
5
2
43
a5
a2
a1
a4
a3
a6
Alguns Caminhos possíveis
vértices 2-4=
2, a1, 1, a2, 2, a4, 3, a6, 4
Ou
2, a4, 3, a6, 4
Ou.........
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
LaçoÉ uma aresta com extremos n-n para algum nó n
Aula 02 - Teoria dos Grafos 15
1
5
2
43
a5
a2
a1
a4
a3
a6
a3
(2-2)
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Agora é com vocêsTrace um grafo com as seguintes características:
• Vértices {1,2,3,4,5,6},
• Arestas {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8,}
• Funções g(a1)= 1-2; g(a2)= 2-3; g(a3)= 3-4; g(a4)= 3-1;
g(a5)= 3-5; g(a6)= 5-5; g(a7)= 3-6; g(a8)= 4-6
Aula 02 - Teoria dos Grafos 16
Algoritmo de DijkstraMÉTODO DO CAMINHO MÍNIMO
17
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Caminho mínimoObter Caminhos, interligando Vértices de um Grafo, cujo comprimento seja Mínimo
Implementações:◦ Algoritmo de Dijkstra
Aplicação:◦ Redes de Computadores (Percurso entre Roteadores)◦ Tráfego Urbano◦ Sistemas Rodoviários, Ferroviários e Aéreos◦ Importante para diversos problemas de logística
Aula 02 - Teoria dos Grafos 18
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
ExemploQual o menor caminho entre as cidades A e F, respeitando as restrições do grafo abaixo
Aula 02 - Teoria dos Grafos 19
A
BC
D E
F
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
ExemploQual o menor caminho entre as cidades A e S, respeitando as restrições do grafo abaixo
Aula 02 - Teoria dos Grafos 20
A
B
D
F
C
E
G
S
36
2
2
5
87
42
5
4
2
4
10
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Caminho mais curto entre S e A
Aula 02 - Teoria dos Grafos 21
A
B
D
F
C
E
G
S
36
2
2
5
87
42
5
4
2
4
10
•Começamos no vértice S •Vértice de início
•Apontamos para os vértices adjacente a ele•No caso os vértices G e E
A
B
F
C
G
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Caminho mais curto entre S e A
Aula 02 - Teoria dos Grafos 22
A
B
D
F
C
E
G
S
36
2
2
5
87
42
5
4
2
4
10
•O menor peso esta no vértice G (5)
•Vamos então analisar os pesos a partir do vértice G•Excluindo-se o vértice S (já feito)
•O vértice G recebe a etiqueta de permanente (*)
A
B
F
C
G(5)
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Caminho mais curto entre S e A
Aula 02 - Teoria dos Grafos 23
A
B
D
F
C
E
G
S
36
2
2
5
87
42
5
4
2
4
10
A
B
F
C
G(5)
Passo Peso Antecessor
G* 5 S
E 8 S
C
F
D
B
A
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Caminho mais curto entre S e A
Aula 02 - Teoria dos Grafos 24
A
B
D
F
C
E
G
S
36
2
2
5
87
42
5
4
2
4
10
A
B
F
C
G(5)
Passo Peso Antecessor
G* 5 S
E 8 7 S G
C 11 G
F 7 G
D
B
A
(7)
Ficamos com duas possibilidades1. Seguir o vértice E2. Seguir o vértice FEscolhemos o vértice F (*)
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Caminho mais curto entre S e A
Aula 02 - Teoria dos Grafos 25
A
B
D
F
C
E
G
S
36
2
2
5
87
42
5
4
2
4
10
A
B
F
C
G(5)
Passo Peso Antecessor
G* 5 S
E 8 7 11 S G F
C 11 10 G F
F* 7 G
D 9 F
B 11 F
A 12 F
(7)
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Caminho mais curto entre S e A
Aula 02 - Teoria dos Grafos 26
A
B
D
F
C
E
G
S
36
2
2
5
87
42
5
4
2
4
10
A
B
F
C
G(5)
Passo Peso Antecessor
G* 5 S
E 8 7 11 16 S G F D
C 11 10 G F
F* 7 G
D* 9 F
B 11 F
A 12 13 F D
(7)
(9)
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Caminho mais curto entre S e A
Aula 02 - Teoria dos Grafos 27
A
B
D
F
C
E
G
S
36
2
2
5
87
42
5
4
2
4
10
A
B
F
C
G(5)
Passo Peso Antecessor
G* 5 S
E 8 7 11 16 S G F D
C 11 10 G F
F* 7 G
D 9 F
B 11 F
A* 12 13 F D
(7)(12)
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Exercício – 1 Encontre o menor caminho entre A e F
Aula 02 - Teoria dos Grafos 28
4 km
2 km
1 km
8 km
10 km
5km
2km2 km
6 km
A
B
C
D
E
F
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Exercício – 2 Encontre o menor caminho entre A e F
Aula 02 - Teoria dos Grafos 29
10
5
2
9
2
1
22
6
A
B
C
D
E
F3 6
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Exercício – 3 Encontre o menor caminho entre B e G
Aula 02 - Teoria dos Grafos 30
1 BA
D E
G
F
C2
3 4
4 6 4 5 6
3 6
5
Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |
Exercício – 4 Encontre o menor caminho entre A e F
Aula 02 - Teoria dos Grafos 31
B
A
C E
D
F
2
4
3
1 32
4
2
2