teoria dos jogos- resumo
TRANSCRIPT
UnB- Universidade de Brasiacutelia
Projeto Jogos Aplicados aacute Promoccedilatildeo do Desempenho Cognitivo de Idosos (ProDC)
Professora Lourdes Mattos Brasil
Aluna Dandara Pereira Aranha
Resumo
Livro Teoria dos Jogos ndash 2deg Ediccedilatildeo Editora Pearson
Autores H Scott Bierman Luis Fernandez
Introduccedilatildeo
Embora dirigido a estudantes de graduaccedilatildeo em economia este livro pode
ser uacutetil para quem quiser aprender a linguagem e as ideacuteias da teoria dos jogos em
um niacutevel de introduccedilatildeo O livro daacute ecircnfase na aplicaccedilatildeo de um conjunto
relativamente pequeno de ferramentas da teoria dos jogos para entender
fenocircmenos econocircmicos importantes
Ele seleciona exemplos de uma ampla gama de aacutereas para que os
estudantes possam perceber o poder da teoria dos jogos para quem estuda
economia Podemos encontrar aplicaccedilotildees da teoria na economia do trabalho na
economia do setor puacuteblico no comeacutercio internacional na economia de recursos
naturais na macroeconomia e financcedilas corporativas em atividades bancaacuterias e
eacute claro na organizaccedilatildeo industrial citando apenas algumas Lendo o livro inteiro
aleacutem de aprender muito sobre teoria dos jogos vecirc-se muita coisa sobre a
moderna modelagem em economia
Parte I ndash Jogos Estaacuteticos com informaccedilatildeo Completa
Teoria dos jogos
A teoria dos jogos preocupa-se com o modo como indiviacuteduos tomam
decisotildees quando estatildeo cientes de que suas accedilotildees afetam uns aos outros e
quando cada indiviacuteduo leva isso em conta Eacute a interaccedilatildeo entre tomadores de
decisotildees individuais todos eles com um propoacutesito em vista cuja decisotildees tem
implicaccedilotildees para outras pessoaso que torna as decisotildees estrateacutegicas diferentes
de outras decisotildees
Eacute uma teoria matemaacutetica criada para se modelar fenocircmenos que podem
ser observados quando dois ou mais ldquoagentes de decisatildeordquo interagem entre si Ela
fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de processos de decisatildeo conscientes e
objetivos envolvendo mais do que um indiviacuteduo
A Teoria dos jogos eacute usada para se estudar assuntos tais como eleiccedilotildees
leilotildees balanccedila de poder evoluccedilatildeo geneacutetica etc Ela eacute tambeacutem uma teoria
matemaacutetica pura que pode e tem sido estudada como tal sem a necessidade de
relacionaacute-la com problemas comportamentais ou jogos per se
Algumas pessoas acreditam que a Teoria dos Jogos formaraacute em algum dia
o alicerce de um conhecimento teacutecnico estrito de como decisotildees satildeo feitas e de
como a economia funciona O desenvolvimento da teoria ainda natildeo atingiu este
patamar e hoje a Teoria dos Jogos eacute mais estudada em seus aspectos
matemaacuteticos puros e em aplicaccedilotildees ela eacute usada como uma ferramenta ou
alegoria que auxiliam no entendimento de sistemas complexos
Assim concluiacutemos que a teoria dos jogos pode ser definida como a teoria
dos modelos matemaacuteticos que estuda a escolha de decisotildees oacutetimas sob
condiccedilotildees de conflito O elemento baacutesico em um jogo e o conjunto de jogadores
que dele participam Cada jogador tem um conjunto de estrateacutegias Quando cada
jogador escolhe sua estrateacutegia temos entatildeo uma situaccedilatildeo ou contigecircncia no
espaccedilo de todas as situaccedilotildees (contigecircncias) possiacuteveis Cada jogador tem
interesse ou preferecircncias para cada situaccedilatildeo no jogo Em termos matemaacuteticos
cada jogador tem uma funccedilatildeo utilidade que atribui um nuacutemero real (o ganho ou
payoff do jogador) a cada situaccedilatildeo do jogo
Mais especificamente um jogo tem os seguintes elementos baacutesicos existe
um conjunto finito de jogadores representado por G = g1 g2 gn Cada
jogador gi isin G possui um conjunto finito Si = si1 si2 simi de opccedilotildees
denominadas estrateacutegias puras do jogador gi (mi ge 2)
Um vetor s = (s1j1 s2j2 snjn) onde siji eacute uma estrateacutegia pura para o
jogador gi isin G eacute denominado um perfil de estrateacutegia pura O conjunto de todos
os perfis de estrateacutegia pura formam portanto o produto cartesiano
denominado espaccedilo de estrateacutegia pura do jogo Para jogador gi isin G existe uma
funccedilatildeo utilidade
ui S rarr R
s rarr ui(s)
que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gi a cada perfil de estrateacutegia pura s
isin S
Um exemplo Dilema do prisioneiro
Possivelmente o exemplo mais conhecido na teoria dos jogos eacute o dilema do
prisioneiro Ele foi formulado por Albert W Tucker em 1950 em um seminaacuterio
para psicoacutelogos na Universidade de Stanford para ilustrar a dificuldade de se
analisar certos tipos de jogos
A situaccedilatildeo eacute a seguinte dois ladrotildees Al e Bob satildeo capturados e acusados
de um mesmo crime Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar
entre si o delegado de plantatildeo fez a seguinte proposta cada um pode escolher
entre confessar ou negar o crime Se nenhum deles confessar ambos seratildeo
submetidos a uma pena de 1 ano Se os dois confessarem entatildeo ambos teratildeo
pena de 5 anos Mas se um confessar e o outro negar entatildeo o que confessou
seraacute libertado e o outro seraacute condenado a 10 anos de prisatildeo
Neste contexto temos
G = Al Bob SAl = confessar negar SBob = confessar negar
S=(confessarconfessar)(confessar negar)(negar confessar)(negar negar)
As duas funccedilotildees utilidade
uAl S rarr R e uBob S rarr R
satildeo dadas por
uAl(confessar confessar) = minus5 uAl(confessar negar) = minus10
uAl(negar confessar) = 0 uAl(negar negar) = minus1
(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e
uBob(confessar confessar) = minus5 uBob(confessar negar) = 0
uBob(negar confessar) = minus10 uBob(negar negar) = minus1
(que representam os ganhos (payoffs) de Bob) Eacute uma praacutetica se representar os
payoffs dos jogadores atraveacutes de uma matriz denominada matriz de payoffs
BOB
ALL
Confessar Negar
Confessar (-5-5) (0-10)
Negar (-100) (-1-1)
Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os
payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula
Equiliacutebrio de Nash
Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash
quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais
jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos
jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o
melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo
Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem
um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves
estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se
ui(ai a-i) ge ui(aia-i)
para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N
De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um
Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema
de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai
Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as
estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista
nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados
individualmente
Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)
resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)
jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia
entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de
estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo
Uma forma de fazer isso seria
Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da linha
Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da coluna
Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para
cada uma das colunas
Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas
linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a
melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas
linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada
ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo
Oligopoacutelios
Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem
perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis
redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia
aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de
eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou
Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de
precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo
sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo
competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos
Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de
oligopoacutelio
Oligopoacutelio de Cournot
Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos
limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre
de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das
firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como
seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas
firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute
O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios
existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com
a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de
Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute
necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura
moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os
jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se
produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)
O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total
produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor
Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos
consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada
firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como
faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o
mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo
Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde
as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira
aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo
simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo
imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual
foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real
Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua
escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece
a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma
consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No
entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha
considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de
produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um
elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo
considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees
tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por
restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus
competidores
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem
um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por
P (Q) = a ndash Q
onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das
firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas
o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e
idecircntico para as empresas
C1 (q1) = cq1
C2 (q2) = cq2
onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo
representar esse jogo na forma normal
G = (S1 S2 u1 u2)
tal que temos
1 os jogadores as firmas 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Parte I ndash Jogos Estaacuteticos com informaccedilatildeo Completa
Teoria dos jogos
A teoria dos jogos preocupa-se com o modo como indiviacuteduos tomam
decisotildees quando estatildeo cientes de que suas accedilotildees afetam uns aos outros e
quando cada indiviacuteduo leva isso em conta Eacute a interaccedilatildeo entre tomadores de
decisotildees individuais todos eles com um propoacutesito em vista cuja decisotildees tem
implicaccedilotildees para outras pessoaso que torna as decisotildees estrateacutegicas diferentes
de outras decisotildees
Eacute uma teoria matemaacutetica criada para se modelar fenocircmenos que podem
ser observados quando dois ou mais ldquoagentes de decisatildeordquo interagem entre si Ela
fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de processos de decisatildeo conscientes e
objetivos envolvendo mais do que um indiviacuteduo
A Teoria dos jogos eacute usada para se estudar assuntos tais como eleiccedilotildees
leilotildees balanccedila de poder evoluccedilatildeo geneacutetica etc Ela eacute tambeacutem uma teoria
matemaacutetica pura que pode e tem sido estudada como tal sem a necessidade de
relacionaacute-la com problemas comportamentais ou jogos per se
Algumas pessoas acreditam que a Teoria dos Jogos formaraacute em algum dia
o alicerce de um conhecimento teacutecnico estrito de como decisotildees satildeo feitas e de
como a economia funciona O desenvolvimento da teoria ainda natildeo atingiu este
patamar e hoje a Teoria dos Jogos eacute mais estudada em seus aspectos
matemaacuteticos puros e em aplicaccedilotildees ela eacute usada como uma ferramenta ou
alegoria que auxiliam no entendimento de sistemas complexos
Assim concluiacutemos que a teoria dos jogos pode ser definida como a teoria
dos modelos matemaacuteticos que estuda a escolha de decisotildees oacutetimas sob
condiccedilotildees de conflito O elemento baacutesico em um jogo e o conjunto de jogadores
que dele participam Cada jogador tem um conjunto de estrateacutegias Quando cada
jogador escolhe sua estrateacutegia temos entatildeo uma situaccedilatildeo ou contigecircncia no
espaccedilo de todas as situaccedilotildees (contigecircncias) possiacuteveis Cada jogador tem
interesse ou preferecircncias para cada situaccedilatildeo no jogo Em termos matemaacuteticos
cada jogador tem uma funccedilatildeo utilidade que atribui um nuacutemero real (o ganho ou
payoff do jogador) a cada situaccedilatildeo do jogo
Mais especificamente um jogo tem os seguintes elementos baacutesicos existe
um conjunto finito de jogadores representado por G = g1 g2 gn Cada
jogador gi isin G possui um conjunto finito Si = si1 si2 simi de opccedilotildees
denominadas estrateacutegias puras do jogador gi (mi ge 2)
Um vetor s = (s1j1 s2j2 snjn) onde siji eacute uma estrateacutegia pura para o
jogador gi isin G eacute denominado um perfil de estrateacutegia pura O conjunto de todos
os perfis de estrateacutegia pura formam portanto o produto cartesiano
denominado espaccedilo de estrateacutegia pura do jogo Para jogador gi isin G existe uma
funccedilatildeo utilidade
ui S rarr R
s rarr ui(s)
que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gi a cada perfil de estrateacutegia pura s
isin S
Um exemplo Dilema do prisioneiro
Possivelmente o exemplo mais conhecido na teoria dos jogos eacute o dilema do
prisioneiro Ele foi formulado por Albert W Tucker em 1950 em um seminaacuterio
para psicoacutelogos na Universidade de Stanford para ilustrar a dificuldade de se
analisar certos tipos de jogos
A situaccedilatildeo eacute a seguinte dois ladrotildees Al e Bob satildeo capturados e acusados
de um mesmo crime Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar
entre si o delegado de plantatildeo fez a seguinte proposta cada um pode escolher
entre confessar ou negar o crime Se nenhum deles confessar ambos seratildeo
submetidos a uma pena de 1 ano Se os dois confessarem entatildeo ambos teratildeo
pena de 5 anos Mas se um confessar e o outro negar entatildeo o que confessou
seraacute libertado e o outro seraacute condenado a 10 anos de prisatildeo
Neste contexto temos
G = Al Bob SAl = confessar negar SBob = confessar negar
S=(confessarconfessar)(confessar negar)(negar confessar)(negar negar)
As duas funccedilotildees utilidade
uAl S rarr R e uBob S rarr R
satildeo dadas por
uAl(confessar confessar) = minus5 uAl(confessar negar) = minus10
uAl(negar confessar) = 0 uAl(negar negar) = minus1
(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e
uBob(confessar confessar) = minus5 uBob(confessar negar) = 0
uBob(negar confessar) = minus10 uBob(negar negar) = minus1
(que representam os ganhos (payoffs) de Bob) Eacute uma praacutetica se representar os
payoffs dos jogadores atraveacutes de uma matriz denominada matriz de payoffs
BOB
ALL
Confessar Negar
Confessar (-5-5) (0-10)
Negar (-100) (-1-1)
Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os
payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula
Equiliacutebrio de Nash
Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash
quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais
jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos
jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o
melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo
Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem
um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves
estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se
ui(ai a-i) ge ui(aia-i)
para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N
De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um
Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema
de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai
Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as
estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista
nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados
individualmente
Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)
resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)
jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia
entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de
estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo
Uma forma de fazer isso seria
Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da linha
Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da coluna
Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para
cada uma das colunas
Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas
linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a
melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas
linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada
ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo
Oligopoacutelios
Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem
perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis
redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia
aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de
eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou
Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de
precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo
sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo
competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos
Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de
oligopoacutelio
Oligopoacutelio de Cournot
Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos
limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre
de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das
firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como
seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas
firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute
O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios
existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com
a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de
Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute
necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura
moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os
jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se
produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)
O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total
produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor
Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos
consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada
firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como
faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o
mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo
Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde
as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira
aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo
simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo
imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual
foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real
Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua
escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece
a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma
consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No
entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha
considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de
produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um
elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo
considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees
tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por
restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus
competidores
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem
um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por
P (Q) = a ndash Q
onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das
firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas
o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e
idecircntico para as empresas
C1 (q1) = cq1
C2 (q2) = cq2
onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo
representar esse jogo na forma normal
G = (S1 S2 u1 u2)
tal que temos
1 os jogadores as firmas 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
que dele participam Cada jogador tem um conjunto de estrateacutegias Quando cada
jogador escolhe sua estrateacutegia temos entatildeo uma situaccedilatildeo ou contigecircncia no
espaccedilo de todas as situaccedilotildees (contigecircncias) possiacuteveis Cada jogador tem
interesse ou preferecircncias para cada situaccedilatildeo no jogo Em termos matemaacuteticos
cada jogador tem uma funccedilatildeo utilidade que atribui um nuacutemero real (o ganho ou
payoff do jogador) a cada situaccedilatildeo do jogo
Mais especificamente um jogo tem os seguintes elementos baacutesicos existe
um conjunto finito de jogadores representado por G = g1 g2 gn Cada
jogador gi isin G possui um conjunto finito Si = si1 si2 simi de opccedilotildees
denominadas estrateacutegias puras do jogador gi (mi ge 2)
Um vetor s = (s1j1 s2j2 snjn) onde siji eacute uma estrateacutegia pura para o
jogador gi isin G eacute denominado um perfil de estrateacutegia pura O conjunto de todos
os perfis de estrateacutegia pura formam portanto o produto cartesiano
denominado espaccedilo de estrateacutegia pura do jogo Para jogador gi isin G existe uma
funccedilatildeo utilidade
ui S rarr R
s rarr ui(s)
que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gi a cada perfil de estrateacutegia pura s
isin S
Um exemplo Dilema do prisioneiro
Possivelmente o exemplo mais conhecido na teoria dos jogos eacute o dilema do
prisioneiro Ele foi formulado por Albert W Tucker em 1950 em um seminaacuterio
para psicoacutelogos na Universidade de Stanford para ilustrar a dificuldade de se
analisar certos tipos de jogos
A situaccedilatildeo eacute a seguinte dois ladrotildees Al e Bob satildeo capturados e acusados
de um mesmo crime Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar
entre si o delegado de plantatildeo fez a seguinte proposta cada um pode escolher
entre confessar ou negar o crime Se nenhum deles confessar ambos seratildeo
submetidos a uma pena de 1 ano Se os dois confessarem entatildeo ambos teratildeo
pena de 5 anos Mas se um confessar e o outro negar entatildeo o que confessou
seraacute libertado e o outro seraacute condenado a 10 anos de prisatildeo
Neste contexto temos
G = Al Bob SAl = confessar negar SBob = confessar negar
S=(confessarconfessar)(confessar negar)(negar confessar)(negar negar)
As duas funccedilotildees utilidade
uAl S rarr R e uBob S rarr R
satildeo dadas por
uAl(confessar confessar) = minus5 uAl(confessar negar) = minus10
uAl(negar confessar) = 0 uAl(negar negar) = minus1
(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e
uBob(confessar confessar) = minus5 uBob(confessar negar) = 0
uBob(negar confessar) = minus10 uBob(negar negar) = minus1
(que representam os ganhos (payoffs) de Bob) Eacute uma praacutetica se representar os
payoffs dos jogadores atraveacutes de uma matriz denominada matriz de payoffs
BOB
ALL
Confessar Negar
Confessar (-5-5) (0-10)
Negar (-100) (-1-1)
Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os
payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula
Equiliacutebrio de Nash
Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash
quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais
jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos
jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o
melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo
Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem
um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves
estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se
ui(ai a-i) ge ui(aia-i)
para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N
De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um
Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema
de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai
Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as
estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista
nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados
individualmente
Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)
resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)
jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia
entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de
estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo
Uma forma de fazer isso seria
Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da linha
Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da coluna
Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para
cada uma das colunas
Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas
linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a
melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas
linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada
ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo
Oligopoacutelios
Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem
perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis
redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia
aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de
eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou
Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de
precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo
sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo
competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos
Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de
oligopoacutelio
Oligopoacutelio de Cournot
Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos
limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre
de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das
firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como
seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas
firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute
O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios
existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com
a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de
Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute
necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura
moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os
jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se
produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)
O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total
produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor
Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos
consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada
firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como
faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o
mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo
Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde
as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira
aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo
simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo
imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual
foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real
Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua
escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece
a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma
consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No
entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha
considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de
produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um
elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo
considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees
tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por
restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus
competidores
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem
um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por
P (Q) = a ndash Q
onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das
firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas
o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e
idecircntico para as empresas
C1 (q1) = cq1
C2 (q2) = cq2
onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo
representar esse jogo na forma normal
G = (S1 S2 u1 u2)
tal que temos
1 os jogadores as firmas 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
A situaccedilatildeo eacute a seguinte dois ladrotildees Al e Bob satildeo capturados e acusados
de um mesmo crime Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar
entre si o delegado de plantatildeo fez a seguinte proposta cada um pode escolher
entre confessar ou negar o crime Se nenhum deles confessar ambos seratildeo
submetidos a uma pena de 1 ano Se os dois confessarem entatildeo ambos teratildeo
pena de 5 anos Mas se um confessar e o outro negar entatildeo o que confessou
seraacute libertado e o outro seraacute condenado a 10 anos de prisatildeo
Neste contexto temos
G = Al Bob SAl = confessar negar SBob = confessar negar
S=(confessarconfessar)(confessar negar)(negar confessar)(negar negar)
As duas funccedilotildees utilidade
uAl S rarr R e uBob S rarr R
satildeo dadas por
uAl(confessar confessar) = minus5 uAl(confessar negar) = minus10
uAl(negar confessar) = 0 uAl(negar negar) = minus1
(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e
uBob(confessar confessar) = minus5 uBob(confessar negar) = 0
uBob(negar confessar) = minus10 uBob(negar negar) = minus1
(que representam os ganhos (payoffs) de Bob) Eacute uma praacutetica se representar os
payoffs dos jogadores atraveacutes de uma matriz denominada matriz de payoffs
BOB
ALL
Confessar Negar
Confessar (-5-5) (0-10)
Negar (-100) (-1-1)
Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os
payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula
Equiliacutebrio de Nash
Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash
quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais
jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos
jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o
melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo
Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem
um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves
estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se
ui(ai a-i) ge ui(aia-i)
para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N
De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um
Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema
de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai
Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as
estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista
nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados
individualmente
Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)
resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)
jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia
entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de
estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo
Uma forma de fazer isso seria
Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da linha
Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da coluna
Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para
cada uma das colunas
Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas
linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a
melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas
linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada
ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo
Oligopoacutelios
Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem
perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis
redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia
aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de
eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou
Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de
precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo
sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo
competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos
Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de
oligopoacutelio
Oligopoacutelio de Cournot
Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos
limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre
de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das
firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como
seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas
firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute
O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios
existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com
a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de
Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute
necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura
moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os
jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se
produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)
O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total
produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor
Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos
consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada
firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como
faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o
mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo
Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde
as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira
aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo
simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo
imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual
foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real
Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua
escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece
a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma
consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No
entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha
considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de
produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um
elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo
considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees
tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por
restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus
competidores
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem
um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por
P (Q) = a ndash Q
onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das
firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas
o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e
idecircntico para as empresas
C1 (q1) = cq1
C2 (q2) = cq2
onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo
representar esse jogo na forma normal
G = (S1 S2 u1 u2)
tal que temos
1 os jogadores as firmas 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
BOB
ALL
Confessar Negar
Confessar (-5-5) (0-10)
Negar (-100) (-1-1)
Nesta matriz os nuacutemeros de cada ceacutelula representam respectivamente os
payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a ceacutelula
Equiliacutebrio de Nash
Diz-se que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias constitui um equiliacutebrio de Nash
quando cada estrateacutegia eacute a melhor resposta possiacutevel agraves estrateacutegias dos demais
jogadores e isso eacute verdade para todos os jogadores Ou seja cada um dos
jogadores que fazem parte do jogo ao definir sua estrateacutegia estaraacute fazendo o
melhor que pode levando em conta o que seus oponentes estatildeo fazendo
Definiccedilatildeo em um jogo simultacircneo as estrateacutegias (a1an) constituem
um Equiliacutebrio de Nash se para todo jogador i ai eacute a melhor resposta agraves
estrateacutegias especificadas dos outros (N-1) jogadores a-i isto eacute se
ui(ai a-i) ge ui(aia-i)
para todo aiЄ Ai para todo jogador i = 1N
De forma equivalente podemos definir as estrateacutegias (a1an) como um
Equiliacutebrio de Nash caso para todo jogador i a estrateacutegia ai resolver o problema
de max ui(ai a-i) escolhendo entre todos aiЄ Ai
Podemos ainda dizer que um conjunto de estrateacutegias constitui um
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo se caso todos os jogadores N - 1 (menos um) joguem as
estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista
nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados
individualmente
Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)
resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)
jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia
entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de
estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo
Uma forma de fazer isso seria
Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da linha
Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da coluna
Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para
cada uma das colunas
Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas
linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a
melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas
linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada
ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo
Oligopoacutelios
Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem
perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis
redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia
aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de
eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou
Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de
precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo
sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo
competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos
Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de
oligopoacutelio
Oligopoacutelio de Cournot
Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos
limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre
de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das
firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como
seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas
firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute
O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios
existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com
a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de
Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute
necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura
moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os
jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se
produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)
O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total
produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor
Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos
consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada
firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como
faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o
mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo
Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde
as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira
aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo
simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo
imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual
foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real
Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua
escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece
a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma
consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No
entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha
considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de
produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um
elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo
considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees
tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por
restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus
competidores
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem
um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por
P (Q) = a ndash Q
onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das
firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas
o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e
idecircntico para as empresas
C1 (q1) = cq1
C2 (q2) = cq2
onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo
representar esse jogo na forma normal
G = (S1 S2 u1 u2)
tal que temos
1 os jogadores as firmas 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
estrateacutegias definidas pelo EN de modo que para o N-eacutesimo jogador natildeo exista
nada melhor a fazer a natildeo ser tambeacutem escolher a estrateacutegia para ele definida no
ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo Isso deve valer para todos os jogadores tomados
individualmente
Para encontrar um Equiliacutebrio de Nash basta identificar a(s) melhor(es)
resposta(s) de um jogador diante de cada estrateacutegia escolhida pelo(s) outro(s)
jogador(es) Ao proceder assim para todos eles quando houver uma coincidecircncia
entre as melhores respostas para todos os envolvidos esse conjunto de
estrateacutegias seraacute identificada como um ldquoequiliacutebrio de Nashrdquo
Uma forma de fazer isso seria
Primeiro indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas linhas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas colunas Podemos fazer isso colocando a letra ldquolrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da linha
Segundo indicar a estrateacutegia que resulta na ldquomaior recompensardquo para o jogador
que estaacute situado nas colunas para cada uma das estrateacutegias escolhidas pelo
jogador que se encontra nas linhas Podemos fazer isso colocando a letra ldquocrdquo no
lado da recompensa bem como sublinhando ou circulando a recompensa obtida
pelo jogador da coluna
Este processo se repete para cada uma das linhas bem como para
cada uma das colunas
Apoacutes aplicarmos o meacutetodo de assinar a melhor resposta do jogador nas
linhas para cada estrateacutegia do jogador nas colunas bem como assinalar a
melhor resposta do jogador nas colunas para cada estrateacutegia do jogador nas
linhas sempre que uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias estiver assinalada
ldquosimultaneamenterdquo essa combinaccedilatildeo de estrateacutegias seraacute um ldquoEquiliacutebrio de Nashrdquo
Oligopoacutelios
Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem
perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis
redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia
aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de
eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou
Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de
precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo
sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo
competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos
Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de
oligopoacutelio
Oligopoacutelio de Cournot
Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos
limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre
de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das
firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como
seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas
firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute
O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios
existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com
a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de
Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute
necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura
moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os
jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se
produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)
O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total
produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor
Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos
consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada
firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como
faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o
mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo
Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde
as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira
aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo
simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo
imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual
foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real
Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua
escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece
a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma
consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No
entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha
considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de
produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um
elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo
considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees
tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por
restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus
competidores
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem
um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por
P (Q) = a ndash Q
onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das
firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas
o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e
idecircntico para as empresas
C1 (q1) = cq1
C2 (q2) = cq2
onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo
representar esse jogo na forma normal
G = (S1 S2 u1 u2)
tal que temos
1 os jogadores as firmas 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Oligopoacutelios
Muitos mercados importantes natildeo satildeo nem perfeitamente competitivos nem
perfeitamente monopolizados Citamos como alguns exemplos automoacuteveis
redes de transmissotildees televisivas serviccedilos telefocircnicos de longa distacircncia
aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geraccedilatildeo de
eletricidade Esses mercados satildeo geralmente denominados Oligopolistas ou
Imperfeitamente competitivos Em mercados oligopolistas as decisotildees de
precificaccedilatildeo e produccedilatildeo de cada empresa no setor tem um efeito significativo
sobre a lucratividade de seus competidores Essas empresas nem satildeo
competitivas tomadoras de preccedilos nem satildeo monopolistas definidoras de preccedilos
Seus preccedilos e niacuteveis de produccedilatildeo satildeo escolhas estrateacutegicas em um jogo de
oligopoacutelio
Oligopoacutelio de Cournot
Um oligopoacutelio eacute uma estrutura de mercado intermediaacuteria entre os casos
limites de monopoacutelio e de competiccedilatildeo perfetia Nesse sentido a definiccedilatildeo decorre
de imediato em um oligopoacutelio haacute um nuacutemero de firmas n gt 1 tal que nenhuma das
firmas eacute capaz sozinha de determinar o preccedilo do produto no mercado (como
seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas
firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute
O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios
existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com
a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de
Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute
necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura
moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os
jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se
produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)
O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total
produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor
Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos
consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada
firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como
faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o
mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo
Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde
as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira
aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo
simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo
imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual
foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real
Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua
escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece
a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma
consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No
entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha
considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de
produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um
elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo
considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees
tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por
restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus
competidores
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem
um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por
P (Q) = a ndash Q
onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das
firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas
o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e
idecircntico para as empresas
C1 (q1) = cq1
C2 (q2) = cq2
onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo
representar esse jogo na forma normal
G = (S1 S2 u1 u2)
tal que temos
1 os jogadores as firmas 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas
firmas eacute capaz de influenciar em alguma medida o preccedilo que se estabeleceraacute
O modelo de Cournot eacute um dos mais tradicionais modelos de oligopoacutelios
existentes na literatura Embora originalmente no trabalho de Cournot (1897 com
a primeira ediccedilatildeo em 1838) natildeo tenha sido utilizado o conceito de equiliacutebrio de
Nash (dado que esse natildeo havia nem mesmo sido definido) a abordagem eacute
necessariamente de teoria dos jogos - assim como eacute a maior parte da literatura
moderna de organizaccedilatildeo industrial A hipoacutetese baacutesica do modelo eacute que os
jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se
produzir ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s)
O preccedilo de mercado torna-se portanto endoacutegeno dada a quantidade total
produzida no mercado ele eacute definido com base na demanda agregada do setor
Outra hipoacutetese eacute que os produtos de cada firma natildeo satildeo diferenciados pelos
consumidores ie satildeo homogecircneos Definiremos as funccedilotildees de custo de cada
firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possiacutevel assim como
faz Gibbons (1992) de modo a evitar algebrismos desnecessaacuterios e a destacar o
mais importante que eacute o processo de resoluccedilatildeo do modelo
Segue entatildeo que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estaacutetico onde
as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir Ainda que numa primeira
aproximaccedilatildeo possa parecer estranho conceber firmas decidindo
simultacircneamente como num jogo de par ou iacutempar isso tem uma apelo intuitivo
imediato significa apenas que cada firma ao fazer a sua escolha natildeo sabe qual
foi a escolha da rival situaccedilatildeo essa que eacute extremamente comum no mundo real
Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela tambeacutem natildeo conhece a sua
escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival natildeo conhece
a sua escolha e assim infinitamente Como eacute habitual o problema da firma
consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possiacutevel No
entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha
considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisotildees de
produccedilatildeo de suas competidoras) vatildeo afetar o seu payocurren caracterizando um
elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo
considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees
tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por
restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus
competidores
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem
um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por
P (Q) = a ndash Q
onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das
firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas
o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e
idecircntico para as empresas
C1 (q1) = cq1
C2 (q2) = cq2
onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo
representar esse jogo na forma normal
G = (S1 S2 u1 u2)
tal que temos
1 os jogadores as firmas 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
elemento estrateacutegico Basicamente ao tomar suas decisotildees as firmas vatildeo
considerar um conjunto de restriccedilotildees dadas pelas demanda dos consumidores do
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto) por restriccedilotildees
tecnoloacutegicas (que seratildeo incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por
restriccedilotildees de competiccedilatildeo dadas pelo nuacutemero e pelas caracteriacutesticas dos seus
competidores
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas 1 e 2 produzem
um bem homogecircneo cuja demanda eacute dada por
P (Q) = a ndash Q
onde a gt 0 e Q = q1 + q2 eacute a oferta da induacutestria dada pela soma do produto das
firmas que compotildees essa induacutestria Vamos considerar que para ambas as firmas
o custo fixo eacute nulo eacute que o custo marginal (aqui ao custo meacutedio) eacute constante e
idecircntico para as empresas
C1 (q1) = cq1
C2 (q2) = cq2
onde C pertence (0 a] por um motivo que ficaraacute claro adiante Podemos entatildeo
representar esse jogo na forma normal
G = (S1 S2 u1 u2)
tal que temos
1 os jogadores as firmas 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias dos jogadores S1e S2 onde vamos supor que
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Si = [0 qi] i = 1 2 Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas eacute
dado pelo espaccedilo aonde as firmas podem escolher produzir no miacutenimo zero e no
maacuteximo uma quantidade muito grande poreacutem finita
3 a funccedilatildeo de ganho dos jogadores u1 e u2 No caso de firmas essas funccedilotildees
de ganhos satildeo exatamente a funccedilatildeo de lucro de cada uma delas dadas por
π1 (q1 q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1 q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferenccedila entre a receita e o custo da firma Note que como
esperado a funccedilatildeo de ganho caracteriza o elemento de comportamento
estrateacutegicoO ganho de cada firma eacute determinado natildeo soacute pela sua escolha - pela
quantidade que ela resolveu produzir - como tambeacutem pela escolha da
concorrente
Como dito anteriormente no modelo de Cournot o problema das firmas eacute
escolher quantidades simultaneamente procurando maximizar seus respectivos
lucros Tomemos o caso da firma 1 inicialmente O seu problema eacute
de modo que as condiccedilotildees de primeira ordem do problema acima nos mostram
que
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
tal que resolvendo
o que nos daacute exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda
conjectura a respeito da produccedilatildeo da firma 2 Chamamos essa expressatildeo de
funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se
tratar de um jogo de escolha simultacircnea as firmas natildeo estatildeo reagindo
exatamente agrave uma accedilatildeo que elas observaram mas sim agrave uma accedilatildeo esperada
da(s) concorrente(s) No entanto essa expectativa natildeo eacute tomada aleatoriamente
mas assumindo que a rma rival estaacute operando tambeacutem na
sua funccedilatildeo de reaccedilatildeo correspondente
Uma outra observaccedilatildeo relevante diz respeito agrave inclinaccedilatildeo da funccedilatildeo de
reaccedilatildeo Observe que
o que nos mostra que a melhor reaccedilatildeo que uma firma pode tomar em relaccedilatildeo agrave
variaccedilotildees na oferta da concorrente eacute seguir na direccedilatildeo contraacuteria
Procedendo da mesma forma para a firma 2 decorre (faccedila as contas) que
seraacute a funccedilatildeo de reaccedilatildeo da firma 2 a melhor resposta que ela pode dar agraves
escolhas da rival Uma vez que temos em matildeos as respectivas melhores
respostas das firmas fica trivial determinar o equiliacutebrio de Nash desse jogo como
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
definimos anteriormente esse eacute dado pela interseccedilatildeo das melhores respostas
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2) eacute faacutecil verificar que
q1 = (a - c)
de modo que o equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute dado por
(q1 q2) = ( (a - c) (a - c))
Como qi [0 qi] concluiacutemos que a ge c A oferta da induacutestria eacute
e o preccedilo de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Analogamente
Π2=
Por fim note que as hipoacuteteses utilizadas de que haacute apenas duas firmas com
estruturas de custos idecircnticos produzindo satildeo apenas para simplificar a nossa
anaacutelise Na verdade natildeo haacute problemas algum em relaxaacute-las Mostraremos abaixo
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipoacutetese de custos marginais
iguais entre as firmas apenas para obter um resultado de comparaccedilatildeo mais faacutecil
com o caso inicial com duas firmas Resolva como exerciacutecio o duopoacutelio de
Cournot onde por exemplo o custo marginal das duas firmas se diferem
comparando os resultados com os obtidos acima
Utilizando a mesma estrutura anterior teremos certamente quantidades
produzidas idecircnticas para todas as n firmas uma vez que suas estruturas de
custos satildeo as mesmas o que de resto vai caracterizar um equiliacutebrio simeacutetrico
Segue o problema de uma firma i qualquer eacute
de modo que as CPOs nos mostram que
A funccedilatildeo de reaccedilatildeo do jogador i eacute dada por
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
onde notemos a funccedilatildeo de reaccedilatildeo como usual em
Cournot tem inclinaccedilatildeo negativa Nesse ambiente com bens homogecircneos e
tecnologias similares (funccedilatildeo custo) a implicaccedilatildeo imediata de um equiliacutebrio
simeacutetrico eacute que em equiliacutebrio q1 = q2 = = qn de modo que
Segue que a expressatildeo acima fica
Logo em equiliacutebrio
O equiliacutebrio de Nash desse jogo eacute portanto cada firma produzir (a - c) A
oferta da induacutestria e o preccedilo do produto seratildeo respectivamente
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Segue que o lucro da i-eacutesima firma em equiliacutebrio seraacute
Se n infin entatildeo podemos verificar (LHopital) que a oferta da induacutestria e o preccedilo
seratildeo respectivamente
e o lucro de equiliacutebrio
πi = 0 i = 1 2 n
caracterizando um equiliacutebrio em competiccedilatildeo perfeita (verique) Se n = 1 entatildeo
como esperariacuteamos em um monopoacutelio
Dito de outra maneira quanto maior for o nuacutemero de firmas do mercado n
menor seraacute a produccedilatildeo de cada firma Particularmente se existirem apenas duas
firmas voltariacuteamos ao caso anterior como mostramos Por outro lado se n tende
a infinito a produccedilatildeo tende a zero denotando o reduzido espaccedilo que cada uma
teria no mercado Note por fim que o resultado acima nos daacute outra interpretaccedilatildeo
geneacuterica para esse ambiente se a estrutura da induacutestria for um duopoacutelio o
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
mercado corresponderaacute a apenas 23 do mercado de concorrecircncia perfeita Para
uma induacutestria com 3 firmas seria 34 Para 4 firmas 45 e assim sucessivamente
dado pelo termo
Oligopoacutelio de Bertrand
Betrand (1883) como Cournot trata-se de um jogo de escolha simultacircnea
e de informaccedilatildeo completa mas aqui as firmas competem entre si via
escolha de preccedilo natildeo de quantidade
Hipoacuteteses
- duas firmas 1 e 2 que produzem um bem homogecircneo
- custo fixo eacute nulo e o custo marginal eacute constante e idecircntico para ambas as
firmas c gt 0
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a ndash p
onde p eacute o preccedilo de mercado
as firmas declaram simultaneamente os preccedilos e se dispotildeem a ofertar tudo
o que for demandado agravequeles preccedilos
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato segue que a firma
anuncia o menor preccedilo deteacutem todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado
- se ambas as firmas declaram o mesmo preccedilo entatildeo elas dividem o mercado
igualmente cada uma com metade
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
o lucro de cada firma como habitual depende natildeo apenas de sua proacutepria
escolha mas tambeacutem eacute afetado pela escolha da rival Tome o caso da firma
1 por exemplo seu lucro seraacute
- note que o lucro de 1 eacute positivo se p1 gt c Aleacutem disso ele seraacute tanto maior se
seu preccedilo for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual Por fim o
lucro nunca seraacute negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de
cobrar um preccedilo igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das
hipoacuteteses
- como a situaccedilatildeo eacute a mesma para a firma 2 vamos restringir nossa atenccedilatildeo para
preccedilos tais que
pi ge c i = 1 2
qual o equiliacutebrio de Nash desse mercado
- paradoxo de Bertrand o uacutenico equiliacutebrio de Nash seraacute ambas as firmas
cobrarem um preccedilo igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero
- como a funccedilatildeo lucro eacute descontiacutenua noacutes natildeo podemos mostrar esse resultado
pelos argumentos padrotildees diferenciando e resolvendo as condiccedilotildees de primeira
ordem
- entatildeo o que fazer
observe que a firma com o menor preccedilo deteacutem todo o mercado Segue que
cada firma tem um incentivo a anunciar um preccedilo menor do que o da rival
Em uacuteltima instacircncia isso direcionaraacute o preccedilo de equiliacutebrio para baixo ateacute o
custo marginal
Vejamos agora o argumento formal para isso
1 note que um equiliacutebrio de Nash do jogo eacute cada firma cobrar o custo marginal
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada
unidade eacute vendida ao seu custo de produccedilatildeo
- porque eacute um equiliacutebrio Se ela elevar seu preccedilo ela perderaacute toda a demanda
que tinha posto que o preccedilo da rival seraacute estritamente menor nenhuma firma tem
incentivos a desviar
- segue que natildeo eacute possiacutevel que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero de
modo que a escolha de preccedilo de cada firma eacute oacutetima dada a escolha alheia
(melhor resposta)
2 agora vamos mostrar que natildeo haacute outro equiliacutebrio de Nash Como cada firma
i = 1 2 escolhe pi ge c eacute suficiente mostrar que natildeo haacute equiliacutebrio para pi gt c
Entatildeo deixe (p1 p2) ser um equiliacutebrio
- se p1 gt c entatildeo porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1 teremos
p2 euro (c p1] de modo a ter um lucro estritamente positivo ndash fora desse intervalo
seria nulo
- aleacutem disso p1 p2 pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e
dividindo o mercado com 1 ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preccedilo
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preccedilo
Logo
p1 gt c rarr p2 gt c e p2 lt p1
- mas para uma estoacuteria similar para as firmas com os papeacuteis trocados
p2 gt c rarr p1 gt c e p1 lt p2
de modo que se o preccedilo de uma firma estaacute acima do custo marginal ambos os
preccedilo devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preccedilo
um pouco menor do que a rival o que eacute impossiacutevel
no modelo de Bertrand o preccedilo seraacute igual ao custo marginal com apenas
duas firmas Isso estaacute em forte contraste com o que ocorre em Cournot
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
onde a diferenccedila entre o preccedilo e o custo marginal cai apenas na medida
em que o nuacutemero de firmas no mercado aumenta
Parte II ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Completa
Na parte I consideramos situaccedilotildees nas quais os jogadores se moviam
ldquosimultaneamenterdquo isto eacute sem saber quais eram os movimentos dos outros
participantes do jogo Na parte II analisamos jogos nos quais os jogadores se
movimentam em uma sequecircncia fixa Em tais jogos dinacircmicos os jogadores que
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua
estrateacutegia oacutetima Um exemplo bem conhecido de jogo dinacircmico eacute o xadrez Isso
deve servir como uma advertecircncia de que prever comportamento em jogos
dinacircmicos nem sempre eacute direto Muitas vezes a barganha por um contrato de
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas
sequumlenciais Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem
tomou a decisatildeo de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se
mudaraacute pra laacute Por consequumlecircncia esse tambeacutem eacute um jogo dinacircmico
A questatildeo central nos jogos dinacircmicos diz respeito agrave credibilidade das
ameaccedilas e promessas dos agentes Agraves vezes por exemplo pode ser oacutetimo saber
que o outro jogador observa sua atitude antes de tomar suas decisotildees
Noacutes representamos os jogos ateacute agora apenas pela forma normal (ou
estrateacutegica) Veremos entretanto que haacute uma outra forma de representaccedilatildeo a
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
forma extensiva uma forma mais detalhada do que a forma normal Segue daiacute
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informaccedilatildeo quando o
passamos para a forma normal enquanto o inverso nem sempre eacute possiacutevel de se
fazer Nos jogos estaacuteticos natildeo haacute problemas em trataacute-lo apenas na forma
estrateacutegica sendo inclusive mais conveniente Todavia isso com certeza
ocorreria nos jogos dinacircmicos Por isso os abordaremos utilizando a forma
extensiva
Um jogo (de informaccedilatildeo completa e perfeita) na forma extensiva nos daacute as
seguintes informaccedilotildees
quais satildeo os jogadores participantes
quais satildeo as accedilotildees possiacuteveis para cada jogador em cada vez em que ele
for chamado a decidir
a ordenaccedilatildeo do jogo quem age e quando
toda a histoacuteria pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma
decisatildeo
os payoffs dos jogadores para cada conjunto possiacutevel de accedilotildees que
tenham sido tomadas ateacute o final do jogo
Exemplo
Na figura acima temos a representaccedilatildeo de um jogo na forma extensiva Por
convenccedilatildeo (mas novamente nem sempre) o jogador 1 (j1) eacute o primeiro a jogar
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Esse ponto eacute dito noacute iniciale eacute uacutenico no sentido a ficar claro ao longo do texto
Esse jogador pode jogar duas estrateacutegias ou e ou d Diferentemente de jogos
estaacuteticos agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e soacute entatildeo faz a sua escolha
Ele tambeacutem ou joga e ou joga d No entanto eacute fundamental dizer que em jogos
dinacircmicos a noccedilatildeo de estrateacutegia (e de conjunto de estrateacutegias) de um jogador eacute
mais complexa do que a mesma noccedilatildeo em jogos de escolha simultacircnea Aqui
uma estrateacutegia deve ser vista como um plano completo de accedilatildeo deve
especificar para o jogador em questatildeo as suas possibilidades de accedilatildeo
contingentes agrave todas as accedilotildees possiacuteveis dos jogadores que jogaram antes dele
No jogo acima por exemplo o espaccedilo de estrateacutegias do jogador 2 eacute
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas o payoffs satildeo
dados pelos nuacutemeros situados apoacutes os uacuteltimos noacutes de decisatildeo ditos noacutes
terminais Por convenccedilatildeo o primeiro nuacutemero se refere ao payoffs do jogador que
jogou primeiro o segundo nuacutemero ao payoff do jogador que jogou em segundo
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores
Logo lendo o jogo acima na forma extensiva temos
1 os jogadores 1 e 2
2 os espaccedilos de estrateacutegias S1 = fe dg e S2 como acima exposto
3 a ordenaccedilatildeo 1 joga primeiro 2 observa a escolha de 1 e entatildeo faz a sua
escolha
4 a histoacuteria pregressa do jogo quando 2 eacute chamado a jogar ele sabe
inequivocadamente qual foi a escolha de 1
5 os payoffs os ganhos dos jogadores para toda combinaccedilatildeo possiacutevel de
escolhas dos jogadores
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Note entatildeo que a representaccedilatildeo na forma extensiva apresenta todas as
caracteriacutesticas destacadas acima Ela possui em geral (mas nem sempre como
veremos em exemplos abaixo) o formato de ldquoaacutervores crescendo para baixordquo E a
tiacutetulo de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo seraacute o
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e jogar d se 1 jogou d Os
payoffs seratildeo (4 1)
Induccedilatildeo Retroativa jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita
Os jogos de informaccedilatildeo completa e perfeita podem ser sintetizados da
seguinte forma (para o caso de dois jogadores com mais de dois natildeo haacute
mudanccedila significativa)
1 o jogador 1 escolhe uma accedilatildeo entre as suas possibilidades delimitadas pelo
conjunto de possibilidades de estrateacutegias
2 o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e entatildeo escolhe uma accedilatildeo no seu
conjunto de estrateacutegias factiacuteveis que agora depende da accedilatildeo que o jogador 1
tomou
3 o jogo termina e os payoffs cada jogador satildeo determinados em funccedilatildeo da sua
escolha e tambeacutem do elemento de interaccedilatildeo estrateacutegica a escolha do outro
jogador
Essa definiccedilatildeo simples segue a apresentaccedilatildeo de Gibbons (1992) mas
pode ser muito ampliada Aleacutem da possibilidade de existecircncia de mais de dois
jogadores poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores
pudessem vir a jogar mais de uma vez Aleacutem de diversas situaccedilotildees mais
relevantes inclusive de natureza econocircmica mesmo outras mais simples se
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
adaptariam claramente a esses casos Pense por exemplo na maior parte dos
jogos de cartas ou de tabuleiros em geral jogam de duas a seis pessoas uma
apoacutes a outra com accedilotildees tomadas um grande nuacutemero de vezes durante o jogo
Normalmente pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo perfeita e completa
A forma de se resolver situaccedilotildees dessa natureza eacute a descrita a seguir
Assim como em jogos estaacuteticos solucionar jogos dinacircmicos eacute tambeacutem um
exerciacutecio de previsatildeo em que o analista busca antever o comportamento dos
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral
dos jogadores Mas se antes os jogadores consideravam estrateacutegias que fossem
racionalizaacuteveis apenas agora eles tecircm de trabalhar com estrateacutegias que sejam
sequencialmente racionais Isto eacute aquelas que natildeo envolvam
promessasameaccedilas natildeo criacuteveis (como a do sequestrador que ameaccedila explodir a
granada e se matar)
Definiccedilatildeo - Uma estrateacutegia que seja sequencialmente racional deve prescrever
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisatildeo que o jogador
possa estar Ou seja o jogador natildeo joga apenas estrateacutegias racionalizaacuteveis ele
jogaraacute estrateacutegias racionalizaacuteveis sempre que for chamado a jogar Ou seja caso
o jogador esteja em determinado ponto na aacutervore de decisatildeo ele deve ter
estrateacutegias que satildeo oacutetimas a partir daiacute dadas as possiacuteveis estrateacutegias e escolhas
futuras dos outros jogadores
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de
informaccedilatildeo perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo) o procedimento que
adotamos para resolvecirc-lo eacute dito induccedilatildeo retroativa (backward induction) e eacute
descrito da seguinte forma Comeccedilamos sempre pelo final do jogo analisando o
jogador que joga por uacuteltimo no caso o jogador 2 Esse jogador jaacute observou a
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estrateacutegia tal que condicional agrave
escolha de 1 lhe decirc o maior payoff possiacutevel O jogador 2 faz entatildeo a sua escolha
Passamos a seguir para a anaacutelise do problema de escolha do jogador 1 O
fundamental aqui eacute entender que como se trata de um ambiente de informaccedilatildeo
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
completa o jogador 1 tambeacutem sabe qual seraacute a melhor atitude que o jogador 2
pode tomar para cada escolha que ele jogador 1 venha a fazer O jogador 1 por
isso natildeo escolheraacute aleatoriamente sua estrateacutegia ficando depois ldquotorcendordquo para
que o outro jogador faccedila algo que tambeacutem seja favoraacutevel a ele Na verdade no
momento de fazer a opccedilatildeo da melhor estrateacutegia a se tomar ele jaacute consideraraacute
que dependendo do que ele escolher isso afetaraacute a escolha do jogador 2 e esse
pensaraacute apenas no seu proacuteprio bem-estar no momento de definir sua estrateacutegia
Procedendo assim e dado que a forma de resposta do jogador 2 eacute dada pela sua
escolha condicional agrave decisatildeo de 1 o seu problema eacute o problema de escolher
uma estrateacutegia que lhe decirc o maior payoff possiacutevel dado que o jogador 2 reagiraacute
de forma oacutetima agrave sua tomada de decisatildeo Da soluccedilatildeo desse conjunto de tomadas
de decisatildeo do jogador 1 e do jogador 2 teremos um (ou mais) par de estrateacutegias
que caracterizaraacute o resultado de induccedilatildeo retroativa desse jogo Esse
resultado elimina qualquer tipo de ameaccedila ou promessa que natildeo sejam criacuteveis
pois o jogador 1 antecipa o que o jogador 2 faraacute em cada uma das situaccedilotildees
possiacuteveis buscando o seu proacuteprio bem-estar Assim jogador 1 natildeo acredita em
eventuais ameaccedilas que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem
atitudes desse uacuteltimo que natildeo sejam oacutetimas para ele mesmo uma vez que o
jogador 1 jaacute fez a sua accedilatildeo
Exemplo1
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Qual o resultado de induccedilatildeo retroativa do jogo acima Vejamos o que o jogador 2
deve fazer em cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis
se o jogador 1 joga e o jogador 2 deve jogar e tambeacutem e obter payoff de 3
unidades (dando 1 para o jogador 1) pois a alternativa seria obter apenas
2 unidades caso escolhesse d
se o jogador 1 joga d o jogador 2 deve tambeacutem jogar d e obter payoff de 1
unidade (gerando 2 para o jogador 1) preferiacutevel a zero que eacute o que seria
obtido se nesse caso ele escolhesse e
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente ele sabe que as opccedilotildees
efetivamente alcanccedilaacuteveis satildeo apenas (e e) e (d d) Diante disso iraacute jogar d e
assim garantiraacute utilidade de 2 unidades O resultado de induccedilatildeo retroativa eacute
portanto (d jogar d dado que 1 jogou d)
Note por outro lado que esse resultado estaacute longe de constituir algo proacuteximo
do que se poderia denominar socialmente oacutetimo eficiente ou afim Se ele fosse
por exemplo (e d) ambos os jogadores estariam melhor Sendo assim por que
natildeo sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado
Porque o jogador 1 sabe que uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo o
jogador 2 natildeo teria incentivos em mantecirc-lo pois poderia obter um payoff superior
Ciente disso o jogador 1 natildeo se deixa levar por promessas como essas por natildeo
serem criacuteveis Da mesma forma mesmo que o jogador 2 ameace jogar e caso o
jogador 1 jogue d esse uacuteltimo sabe que tal ameaccedila tambeacutem natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo a aceita Tudo isso eacute simples consequecircncia do pleno conhecimento
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores Nesse caso natildeo se requer
muito bastando que ambos os indiviacuteduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba
que o jogador 2 tambeacutem o seja
Eacute importante lembrar tambeacutem que natildeo eacute necessaacuterio que cada jogador jogue
apenas uma vez durante o jogo como jaacute comentamos antes Cada um deles pode
ser chamado a escolher mais de uma vez sendo que a loacutegica de resoluccedilatildeo natildeo
se altera Sempre se olharaacute inicialmente para o m do jogo destacando as
respostas oacutetimas em cada situaccedilatildeo e se encontraraacute o resultado de induccedilatildeo
retroativa tomando como base tais possibilidades
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Exemplo 2
Considere o tradicional jogo onde uma firma estaacute instalada (I) em um mercado
enquanto monopolista e uma outra firma (E) estaacute considerando entrar nesse
mercado Ela escolhe entre entrar ou natildeo Caso entre a antiga monopolista
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preccedilos por exemplo) ou acomodar-se
(constituir um duopoacutelio um mercado onde apenas duas firmas produzem)
Vejamos a forma extensiva deste jogo
Na forma extensiva teriacuteamos
1 os jogadores as firmas E e I
2 os espaccedilos de estrateacutegia
SE = (fora entra)
SI = (luta se a firma E entra acomoda se a firma E entra)
3 ordenaccedilatildeo a firma E decide se entra ou natildeo a firma I observa a decisatildeo de E e
entatildeo decide se reage ou se acomoda
4 a histoacuteria pregressa I ao fazer sua escolha sabe o que E jogou
5 os payoffs
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
O resultado por induccedilatildeo retroativa seraacute a firma E entrar no mercado e a
firma I acomodar-se Isto porque se E entra o payoff de I eacute maior caso ela
acomode
Como E sabe disso ela iraacute entrar apesar de uma eventual ameaccedila da
firma I de lutar caso ela faccedila isso
Podemos representar o jogo acima tambeacutem na forma normal
Nota-se portanto que haacute dois equiliacutebrios de Nash no jogo acima o
resultado por induccedilatildeo retroativa e o conjunto de estrateacutegias onde E natildeo entra e I
luta se E entra A questatildeo central aqui eacute que essa uacuteltima ameaccedila natildeo eacute criacutevel e
portanto natildeo deveria ser considerada Temos portanto que o conceito de
equiliacutebrio de Nash natildeo elimina tais possibilidades pois ele natildeo incorpora a ideacuteia
de que as estrateacutegias devem ser sequencialmente racionais Apenas um equiliacutebrio
de Nash no jogo acima pode ser obtido via induccedilatildeo retroativa e portanto apenas
esse equiliacutebrio eacute um resultado sequencialmente racional
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinacircmicos eacute o
chamado Teorema de Zermelo Ele nos diz que todo jogo finito de informaccedilatildeo
perfeita possui um equiliacutebrio de Nash em estrateacutegias puras que pode ser obtido
via induccedilatildeo retroativa (e que seraacute portanto sequencialmente racional) Aleacutem
disso se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos
entatildeo existe apenas um equiliacutebrio de Nash que pode ser derivado dessa forma
Barganha sequumlencial
Barganha eacute algum tipo de situaccedilatildeo que encontramos corriqueiramente no
dia-a-diaObservamos desde situaccedilotildees muito simples quando um filho
adolescente barganha com o pai o horaacuterio que ele pode chegar em casa nas
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
noites de sexta-feira e saacutebado em que ele propotildee chegar mais tarde em troca de
algum tempo a mais de estudo diaacuterio ateacute situaccedilotildees complexas em que
presidiaacuterios barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebeliatildeo
ou paiacuteses que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que
eles comercializam Na verdade exemplos de situaccedilotildees de barganha satildeo
extremamente faacuteceis de encontrar e noacutes de fato nos deparamos com tais
situaccedilotildees em todos os momentos - ainda que natildeo tenhamos em mente que tal
caso especiacutefico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinacircmico de
informaccedilatildeo completa
O processo de barganha eacute geralmente interpretado como o processo de
construccedilatildeo de um acordo muacutetuo sobre a provisatildeo de um contrato No mundo real
o protoacutetipo baacutesico eacute a negociaccedilatildeo entre um vendedor e um comprador sobre um
bem em troca de dinheiro o contrato especifica o preccedilo a ser pago pelo iacutetem Em
uma negociaccedilatildeo salarial por exemplo o sindicato eacute o vendedor a firma o
comprador e o preccedilo eacute o salaacuterio-base
Tanto em contextos econocircmicos quanto legais um acordo pode ser
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociaccedilatildeo Eventualmente
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo Via de
regra esse atraso implica em algum tipo de custo agraves partes interessadas um
custo de oportunidade da negociaccedilatildeo ou seja dos ganhos que cada parte
poderia estar obtendo se o acordo jaacute tivesse sido fechado e um custo pecuniaacuterio
inerentes agrave negociaccedilatildeo como por exemplo custos processuais Esses custos de
oportunidade podem ser representados pela produccedilatildeo que natildeo se realizou e os
custos pecuniaacuterios pelos gastos com a intermediaccedilatildeo do acordo Tais custos
podem ser significativos em casos importantes como aquisiccedilotildees corporativas
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litiacutegios civis
Se natildeo se chega a um acordo entatildeo em algum periacuteodo de tempo as partes
param de barganhar como no caso em que comprador e vendedor buscam
parceiros alternativos para fazer seus negoacutecios Nesse caso se pensarmos no
contexto legal uma corte impotildee alguma regra que as partes devem seguir Nesse
sentido essas cortes legais satildeo um exemplo de resoluccedilatildeo judicial de impasses
No que se segue vamos analisar o modelo teoacuterico de barganha tendo como
pano de fundo um processo de negociaccedilatildeo entre um sindicato de trabalhadores e
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
uma entidade patronal representante das empresas na quais esses trabalhadores
satildeo funcionaacuterios Natildeo custa uma palavra de precauccedilatildeo aqui como em todo
modelo teoacuterico essa representaccedilatildeo eacute uma simplificaccedilatildeo das negociaccedilotildees que de
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido natildeo buscamos generalizar os
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensatildeo de negociaccedilotildees
como um todo mas tatildeo somente entender esses
processos de negociaccedilotildees como jogos dinacircmicos de informaccedilatildeo completa
O jogo se daacute como se segue Haacute dois jogadores 1 e 2 onde vamos
considerar que 1 representa uma associaccedilatildeo patronal e que 2 representa um
sindicato de trabalhadores
Eles estatildeo a negociar sobre a divisatildeo dos benefiacutecios da produccedilatildeo de um
determinado periacuteodo um ano por exemplo Esse benefiacutecio eacute de conhecimento
comum e obviamente sua totalidade soma 100 A negociaccedilatildeo se daacute entre as
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito
sobre essa totalidade Ambas as associaccedilotildees desejam obter o maacuteximo possiacutevel
para os seus associados e a dinacircmica da negociaccedilatildeo se daacute do seguinte modo
1 a associaccedilatildeo patronal propotildee uma divisatildeo
2 o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta se o sindicato aceita o jogo
termina e cada jogador obteacutem o acordado Caso contraacuterio ele natildeo aceita o jogo
continua
3 o sindicato propotildee uma divisatildeo
4 a associaccedilatildeo patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta se aceita o jogo
termina e cada parte recebe o combinado Se rejeita a proposta entatildeo a Justiccedila
do Trabalho impotildeem uma divisatildeo de 50 para cada uma das partes e o jogo
tambeacutem termina
Eacute necessaacuterio algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta
Por isso se o acordo for fechado em 2 entatildeo os jogadores tecircm 1 (100) para
repartir Se terminar com a associaccedilatildeo patronal aceitando a proposta no quaem 4
os benefiacutecios seratildeo apenas de euro (0 1) e se a barganha terminar com a
intervenccedilatildeo da Justiccedila entatildeo os benefiacutecios satildeo apenas de sup2 Esse termo eacute
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e
instituiccedilotildees) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetaacuteria em
diferentes periacuteodos de tempo captando portanto o custo de oportunidade acima
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
discutido Ou seja reflete o custo de oportunidade de natildeo receber o valor
imediatamente Em geral essa taxa de desconto eacute determinada pela taxa de juros
da seguinte forma
onde r eacute a taxa de juros de mercado Observe que quanto maior r menor a taxa
de desconto de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o
tempo Observe ainda que essa taxa pode refletir caracteriacutesiticas especiacuteficas das
partes engajadas na barganha Imagine por exemplo o custo de uma greve seja
maior para uma das partes Ou que um trabalhador especiacutefico assumiu
compromissos tais com sua renda que uma paralisaccedilatildeo no seu fluxo de renda
nesse periacuteodo especiacutefico pode lhe ser particularmente custosa Para facilitar a
nossa anaacutelise e sem perda de generalidade vamos considerar que ambas as
partes tecircm a mesma taxa de desconto
Logo haacute dois jogadores (1 e 2) as estrateacutegias satildeo as descritas na aacutervore
assim como a ordenaccedilatildeo e os payoffs Como trata-se de um ambiente de
memoacuteria perfeita os movimentos dos jogadores em cada noacute de decisatildeo eacute de
conhecimento comum em cada um desses noacutes
Sendo mais especiacutefico observe o que acontece no primeiro movimento o
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estatildeo barganhando ele quer x euro
[0 1] ou x de forma que ele estaacute oferecendo a 2 (1 - x) Como dito 2 pode
ou natildeo aceitar Se aceita a barganha termina e os ganhos satildeo dados Caso
contraacuterio 2 faz a contraproposta ao jogador 1 do total a ser dividido ele que (1 -
y) de modo que oferece a 1 y
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar Se 1 aceita o jogo
termina e os ganhos satildeo dados Note poreacutem que agora jaacute estamos no segundo
estaacutegio do jogo de forma que as partes jaacute incorreram em algum custo decorrente
do fato de que elas natildeo chegaram a um acordo no primeiro periacuteodo
De
Pede-se
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
1 Taxa de desconto intertemporal (jaacute estaacute feita em jogos repetidos mas ter em
mente a questatildeo da inaccedilatildeo taxa de juros reputaccedilatildeo e o exemplo do sorvete
derretendo)
2 Represente o jogo na sua forma extensiva
Os payoffs satildeo (x 1 - x) no primeiro estaacutegio no
segundo estaacutegio caso seja necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila
do Trabalho
2 Quanto cada jogador vai obter em equiliacutebrio perfeito
Por induccedilatildeo retroativa no segundo (e uacuteltimo) estaacutegio da barganha o
sindicato oferece (y) aos empresaacuterios que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam No
primeiro estaacutegio do jogo os empresaacuterios ofertam (1 - x) aos trabalhadores que
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos
Logo o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao
resultado por induccedilatildeo retroativa) seraacute a associaccedilatildeo patronal ofertar
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
aos trabalhadores no primeiro estaacutegio os trabalhadores
aceitarem a proposta feita o jogo terminarbe os ganhos seratildeo dados por
3 Se vocecirc representasse os trabalhadores vocecirc preferiria fazer a proposta em
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresaacuterios
A primeira coisa a ser feita eacute representar o jogo na forma extensiva
supondobque o sindicato de trabalhadores faccedila a oferta em primeiro lugar
no primeiro estaacutegio Nesse caso os payocurrens seriam (1 - x x) no primeiro
estaacutegio no segundo estaacutegio e
caso fosse necessaacuteria a intervenccedilatildeo da Justiccedila do Trabalho Resolvemos o jogo
da mesma maneira de modo que no segundo estaacutegio da barganha os
empresaacuterios oferecem (1 - y) aos trabalhadores que aceitam se e somente se
Logo a proposta seraacute
e os ganhos nesse estaacutegio seriam
No primeiro estaacutegio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresaacuterios Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta oacutetima seraacute
e os ganhos seriam
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Segue que o equiliacutebrio de Nash perfeito em subjogos seraacute o sindicato dos
trabalhadores ofertar aos patrotildees no primeiro estaacutegio os
empresaacuterios aceitarem essa proposta o jogo terminar ali Os ganhos seriam
dados por
Note que os trabalhadores estaratildeo melhor fazendo a oferta no primeiro estaacutegio se
ou seja se
o que eacute sempre verdade para todo
Equiliacutebrio Perfeito em Subjogos
Ateacute agora estudamos separadamente jogos dinacircmicos e jogos estaacuteticos
Entretanto eacute bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes
simultacircneas e outras natildeo simultacircneas ie que tenham informaccedilatildeo imperfeita em
pelo menos algum de seus estaacutegios A forma de resoluccedilatildeo segue a mesma loacutegica
anterior comeccedilar de traacutes para diante ateacute chegarmos no iniacutecio do jogo Entretanto
sempre quando nos depararmos com um ldquomini-jogordquo com lances simultacircneos (ou
no mesmo sentido que tenha informaccedilatildeo imperfeita) devemos resolvecirc-lo como
visto anterioriormente e entatildeo tomarmos seu resultado (o equiliacutebrio de Nash
encontrado) como os payoffs a serem distribuiacutedos caso o jogo atinja essa parte
simultacircnea Vamos a uma definiccedilatildeo
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva eacute um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades
inicia-se em um ponto de decisatildeo uacutenico (natildeo ligado a nenhum outro
por linhas tracejadas)
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
conteacutem todos os pontos de decisatildeo que o sucedem e apenas esses
pontos
natildeo divide nenhum subjogo no sentido de que se um determinado ponto
de decisatildeo pertence a um subjogo entatildeo todo ponto ligado a ele por
alguma ldquolinha tracejadardquo tambeacutem pertence ie os subjogos natildeo cortam
tais linhas
Vimos em geral que quando analisamos equiliacutebrios de Nash de jogos em
forma extensiva estes podem conter muitos equiliacutebrios Muitos desses equiliacutebrios
podem parecer natildeo razoaacuteveis pois satildeo baseados em ameaccedilas inacreditaacuteveis
Equiliacutebrio de Subjogo Perfeito eacute um refinamento de equiliacutebrio de Nash que natildeo
permite ameaccedilas inacreditaacuteveis
Induccedilatildeo Reversa
A teacutecnica mais comum para encontrar os equiliacutebrios de subjogo perfeito de
um jogo finito Γ eacute conhecida como induccedilatildeo reversa Intuitivamente temos que a
teacutecnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vaacute resolvendo ateacute chegar ao
comeccedilo do jogo Podemos descrever mais formalmente esta teacutecnica nos
seguintes passos
1 Seja k = 1 e Γ(k) = Γ
2 Seja Zminus1 o conjunto de todas as histoacuterias que satildeo antecessoras imediatas das
histoacuterias terminais do jogo Γ(k) Para todo i isin N e h isin Zminus1 cap Hi o jogador i
enfrenta um problema de decisatildeo apoacutes histoacuteria h e portanto deve escolher a accedilatildeo
que maximiza sua utilidade esperada Se houver mais de uma accedilatildeo que produza
a mesma utilidade esperada existiraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito contendo
cada uma dessas accedilotildees Escolha uma delas para ser a accedilatildeo escolhida por i
segundo a estrateacutegia s isto eacute faccedila si(h) = a isin argmaxbisinMhui(h middot (b)) Passe ao
passo seguinte
3 Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira
(a) Para todo h isin Zminussup1 cap(cupi isin NHi) substitua as accedilotildees em Mh do jogo Γ(k) pelo
vetor de utilidades que corresponde a histoacuteria terminal atingida pela accedilatildeo
escolhida no passo anterior Passe ao passo seguinte
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
(b) Para todo h isin Zminus1 cap (cupiisinNHi)c isto eacute uma histoacuteria imediatamente
antecessora a uma histoacuteria terminal do jogo Γ(k) onde chance se move substitua
as accedilotildees em Mh pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada
dos jogadores de acordo com a distribuiccedilatildeo de probabilidade que descreve as
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das accedilotildees em Mh Passe
ao passo seguinte
4 Se o conjunto de todas as histoacuterias de Γ(k+1) em que algum jogador i isin N se
move for vazio Pare a iteraccedilatildeo e temos que s eacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito
em estrateacutegias puras de Γ Caso contraacuterio passe ao passo seguinte
5 Faccedila k = k + 1 Volte ao passo 2
Eacute faacutecil ver que como o jogo eacute finito apoacutes um nuacutemero finito de iteraccedilotildees o
algoritmo acima descrito produziraacute um equiliacutebrio de subjogo perfeito em
estrateacutegias puras Desta forma provamos construtivamente o seguinte teorema
Teorema Qualquer jogo em forma extensiva com informaccedilatildeo perfeita finito tem
um equiliacutebrio de subjogo perfeito puro
Jogos Repetidos
Nesse toacutepico analisaremos novamente se ameaccedilas e promessas em
relaccedilatildeo ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes Ao fazer
isso buscamos mostrar o que muda em uma anaacutelise de previsatildeo do resultado de
jogos quando esses satildeo jogados mais de uma vez Uma das principais ideacuteias eacute a
de cooperaccedilatildeo seraacute possiacutevel obtecirc-la caso o jogo se repita Intuitivamente
poderiacuteamos pensar que sim pois um jogador poderia cooperar ldquohojerdquo para que os
outros cooperem com ele ldquoamanhatilderdquo e isso poderia valer para todos os
envolvidos Deve-se portanto verificar quando e sob que condiccedilotildees essa intuiccedilatildeo
de fato poderaacute se manifestar na realidade
Os jogos repetidos satildeo divididos em dois grupos aqueles repetidos um nuacutemero
finito de vezes e aqueles repetidos ldquoinfinitamenterdquo Em relaccedilatildeo ao primeiro grupo
a intuiccedilatildeo fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de
jogos repetidos duas vezes o que iremos fazer a seguir
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Jogos repetidos finitos
A caracteriacutestica fundamental dos jogos repetidos finitos eacute que todos os
jogadores envolvidos sabem antecipadamente quantas vezes aquele jogo se
repetiraacute Pense por exemplo em um Congresso X de trecircs dias que ocorreraacute em
um determinado hotel Existindo dois vendedores de pipoca naquela regiatildeo eles
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles
dias com demanda especialmente ampliada) duraraacute exatamente trecircs dias e com
base nessa informaccedilatildeo eacute que definem suas estrateacutegias A questatildeo a se verificar eacute
o que muda no caso onde o jogo eacute jogado apenas uma vez como visto ateacute agora
e quando se repete um nuacutemero especiacutefico de vezes
Como sempre vamos iniciar a exposiccedilatildeo atraveacutes do um exemplo do
ldquodilema dos prisioneirosrdquo Suponha entatildeo que o jogo fosse jogado duas vezes
sendo que quando se reinicia o jogo o resultado do primeiro estaacutegio jaacute eacute
conhecimento comum Os payoffs dos jogadores seratildeo tidos como simplesmente
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga
Na forma de resoluccedilatildeo de jogos de tal natureza deve-se analisar de traacutes
para frente No caso especiacutefico citado acima os jogadores uma vez que se
iniciaraacute a segunda rodada do dilema dos prisioneiros sabem que o resultado do
primeiro estaacutegio jaacute foi consolidado e portanto natildeo tecircm mais como mudaacute-lo
Sendo assim eles se preocupam apenas com o que viraacute ou seja a segunda
rodada do jogo em questatildeo Pensando dessa forma o que eles iratildeo fazer no
segundo estaacutegio do jogo Iratildeo proceder como fariam se o jogo fosse jogado
apenas uma vez (pois afinal o que ocorreu na primeira rodada natildeo poderaacute mais
ser mudado) como ambos tecircm uma estrateacutegia dominante que eacute confessar a
jogaratildeo na segunda vez
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Como dito acima a ideacuteia por traacutes dos jogos repetidos eacute que como ele seraacute
jogado mais de uma vez pode ser que valha a pena cooperar no iniacutecio para que o
outro tambeacutem coopere com vocecirc nos estaacutegios subsequentes Todavia perceba
que uma vez que se saiba que se alcanccedilou o uacuteltimo estaacutegio do jogo ningueacutem
mais iraacute cooperar pois natildeo mais se necessitaraacute que o outro tambeacutem coopere no
futuro uma vez que o futuro para tal jogo natildeo existiraacute - pois aquela eacute a uacuteltima
rodada Portanto podemos concluir que
Observaccedilatildeo Em um jogo repetido um nuacutemero finito de vezes onde os payoffs
dos jogadores satildeo a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo eacute repetido
na uacuteltima rodada seraacute jogado um Nash do jogo natildeo repetido em questatildeo ainda
que exista uma combinaccedilatildeo de estrateacutegias que decirc payoffs maiores para todos os
jogadores mas que natildeo seja em equiliacutebrio de Nash Esta seria atingiacutevel apenas
via cooperaccedilatildeo mas essa natildeo existiraacute na uacuteltima vez em que o jogo eacute repetido
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes no primeiro estaacutegio os
jogadores portanto sabem que na rodada seguinte ambos iratildeo confessar e
assim obter um payoff de -6 cada Eles podem entatildeo pensar o jogo repetido duas
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estaacutegio acrescido de -6 para ambos
nos payoffs referentes a todos os resultados possiacuteveis uma vez que eles
antecipam que esse seraacute o ganho de cada um na uacuteltima rodada O jogo original eacute
portanto encarado como se fosse o seguinte
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
O que se fez acima foi simplesmente adicionar 10485766em todos os payocurrens
possiacuteveis de todos os jogadores Visualizando esse jogo eles devem entatildeo
novamente confessar dado que essa permanece sendo uma estrateacutegia
dominante para ambos Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros
repetido duas vezes seraacute os dois jogadores confessarem em todas elas A
cooperaccedilatildeo natildeo pode portanto ser atingida em nenhum estaacutegio ainda que
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez por
exemplo Ainda assim o outro natildeo cooperaria porque ele saberia que agindo
assim uma vez que o resultado do primeiro estaacutegio emergisse no segundo
ningueacutem iria cooperar E entatildeo natildeo cooperar no primeiro daria um payoff total
superior a ele independente do que o outro fizesse sendo pois uma estrateacutegia
dominante Essas conclusotildees permanecem inalteradas mesmo se mudaacutessemos
apenas o nuacutemero de vezes em que o jogo eacute repetido Isto eacute o resultado eacute vaacutelido
mesmo para o ldquodilemardquo - ou qualquer outro jogo de informaccedilatildeo completa - jogado
n vezes sendo n um nuacutemero finito Imagine que ele fosse repetido quatro vezes
Na uacuteltima ningueacutem cooperaria pois natildeo haveria um ldquofuturordquo para o jogo que
justificasse essa atitude Na penuacuteltima rodada tambeacutem ningueacutem cooperaria
porque todos saberiam que na uacuteltima natildeo haveria cooperaccedilatildeo O mesmo
ocorreria na segunda rodada cooperar para quecirc dado que na terceira e na
quarta ningueacutem o faraacute Na primeira o mesmo raciociacutenio se manteria O resultado
geral pode ser apresentado da seguinte maneira
Observaccedilatildeo Definindo um jogo repetido T vezes como J (T) sendo J o jogo si-
multacircneo de informaccedilatildeo completa que eacute repetido e tendo que quando se reinicia
um estaacutegio de J (T) todos sabem quais satildeo os resultados dos estaacutegios anteriores
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs
obtidos nos T estaacutegios de J (T) se cada um dos estaacutegios (J) de J (T) possui um
equiliacutebrio de Nash uacutenico J (T) possui um uacutenico ENPS qual seja o equiliacutebrio de
Nash de J em todo estaacutegio de J (T) Se o jogo J eacute dinacircmico (mas tambeacutem com
informaccedilatildeo completa) e possui um uacutenico ENPS o ENPS do jogo repetido J (T)47
seraacute tambeacutem o ENPS de J em cada estaacutegio Em suma se um jogo com apenas
um Nash - ou ENPS - (e com informaccedilatildeo completa como todos os que vimos ateacute
agora) for repetido um nuacutemero finito de vezes o ENPS
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
do jogo repetido seraacute o equiliacutebrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os
seus estaacutegios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs obtidos em cada estaacutegio
Apesar do resultado ldquodesanimadorrdquo visto acima de que mesmo se o jogo
for repetido n vezes a cooperaccedilatildeo natildeo seraacute atingida em nenhum estaacutegio - dadas
nossas hipoacuteteses adicionais - um caso diferente emerge se existem mais de um
Nash no jogo que seraacute jogado mais de uma vez
Parte III ndash Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos ateacute aqui eram determiniacutesticos Isso
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil
de estrateacutegia Eacute claro que o mundo eacute muito mais complicado do que isso
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderatildeo a mais quando reduzem
seus preccedilos Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo
quais contratos seratildeo aceitos por seus afiliados Operadores de bolsas de valores
natildeo sabem o valor de liquidaccedilatildeo de todas as empresas cujas accedilotildees negociam
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo
Ou seja quando um jogador escolhe entre suas estrateacutegias ele natildeo sabe
quais estrateacutegias os outros jogadores escolheram por isso natildeo tem certeza
quanto agraves consequecircncias de suas escolhas Para analisar as decisotildees dos
jogadores em um jogo seria uacutetil entatildeo ter uma teoria de tomada de decisatildeo que
nos permita expressar as preferecircncias de um agente sobre escolhas com
consequecircncias incertas em termos de sua atitude perante as consequecircncias
Existem muitas regras de decisatildeo que podem ser adotadas dependendo da
situaccedilatildeo por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza
Assumiremos que o agente escolhe accedilotildees que satildeo funccedilotildees do estado da
natureza para consequecircncias ou precircmios e que o agente eacute capaz de determinar
qual a utilidade dessas consequecircncias onde um estado da natureza eacute uma
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
descriccedilatildeo de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisatildeo
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma
probabilidade sobre o espaccedilo dos estados da natureza outras natildeo precisam
desta descriccedilatildeo probabiliacutestica e podem ser usadas em casos onde tal informaccedilatildeo
natildeo eacute disponiacutevel ao agente
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferecircncia surge como um meacutetodo de
anaacutelise de investimentos capaz de considerar as preferecircncias individuais dos
decisores em relaccedilatildeo ao risco Esta importante ferramenta deve ser sempre
aplicada em situaccedilotildees onde estatildeo envolvidos riscos e incertezas A grande
vantagem da Teoria da Utilidade eacute que sua aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel natildeo apenas em
anaacutelises de decisotildees que envolvam resultados quantitativos mas tambeacutem
qualitativos A quantificaccedilatildeo eacute realizada pela associaccedilatildeo de um valor abstrato de
utilidade para cada uma das situaccedilotildees possiacuteveis Portanto um evento que natildeo
tem correspondente numeacuterico ou monetaacuterio pode ser transformado em valores de
utilidade
A primeira apresentaccedilatildeo de utilidade como unidade para medir
preferecircncias foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738 no
qual estatildeo descritas ideacuteias baacutesicas como quantificaccedilatildeo do quanto gostamos mais
de um bem do que de outro e quanto maior quantidade temos de algo menos
estamos dispostos a pagar mais por ele No entanto o grande marco na Teoria da
Utilidade foi a publicaccedilatildeo de Theory of games and economic behaviour por John
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944 quando houve a associaccedilatildeo da
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisatildeo e a Teoria dos Jogos
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Preferecircncia ao Risco
O niacutevel de aversatildeo ao risco de determinada empresa pode ser definido
atraveacutes de entrevistas visando agrave determinaccedilatildeo da utilidade que cada valor
monetaacuterio representa para os tomadores de decisatildeo Ela eacute fundamental para
modelarmos a melhor decisatildeo a ser tomada pelos gerentes atraveacutes da definiccedilatildeo
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados
Durante as entrevistas deve ficar claro ao tomador de decisatildeo que o
analista deseja conhecer suas reais preferecircncias e esperanccedilas e que isso eacute
fundamental para o sucesso do processo Deve haver ciecircncia de que natildeo existem
utilidades corretas ou incorretas mas utilidades que representem realmente os
sentimentos subjetivos do indiviacuteduo
Normalmente os investidores buscam oportunidades de negoacutecio com
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco quando
apresentam o mesmo retorno Portanto este eacute o comportamento racional no
mundo dos negoacutecios onde empresaacuterios sempre procuram maximizar o retorno
esperado e minimizar o risco do empreendimento
No entanto a situaccedilatildeo criacutetica eacute a que se tem que decidir entre um investimento de
elevado retorno monetaacuterio mas alto risco e um de menor retorno poreacutem de baixo
risco E na realidade satildeo estes os tipos de decisotildees de investimento que
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresaacuterios Portanto
focaremos nossa anaacutelise no comportamento dos gerentes em situaccedilotildees onde eles
devem ponderar suas preferecircncias individuais e subjetivas entre o retorno e o
risco dos projetos
Este tipo de ponderaccedilatildeo eacute bastante conhecido como ldquotradeoffrdquo entre risco e
retorno e ocorre quando o investidor abre matildeo de um maior retorno para evitar
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
maior exposiccedilatildeo ao risco ou daacute prioridade ao projeto mais atrativo
financeiramente apesar de seu elevado risco O primeiro tipo de comportamento eacute
tiacutepico do gerente avesso ao risco e o segundo caracteriza um indiviacuteduo propenso
ao risco ou seja aquele que se arrisca sem temer o fracasso colocando tudo a
perder pois sempre acredita que alcanccedilaraacute o atraente resultado de sucesso
Dessa forma este novo modelo decisoacuterio seraacute capaz de determinar a melhor
estrateacutegia a ser tomada levando em consideraccedilatildeo a disposiccedilatildeo do investidor em
assumir riscos
Por fim o uacuteltimo tipo de indiviacuteduo eacute o indiferente ao risco que baseia suas
decisotildees apenas no criteacuterio de maximizaccedilatildeo do valor monetaacuterio esperado sem
considerar sua limitaccedilatildeo de recursos
Abaixo estatildeo ilustradas as funccedilotildees-utilidade dos trecircs tipos de
comportamento frente ao risco
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
A partir de agora iremos concentrar nossa discussatildeo em como se define a
utilidade de cada valor monetaacuterio para os tomadores de decisatildeo
Funccedilatildeo-Utilidade
A forma mais conveniente de expressar a preferecircncia de um indiviacuteduo ao
risco eacute atraveacutes da construccedilatildeo de sua funccedilatildeo-utilidade tambeacutem conhecida como
funccedilatildeo de preferecircncia Conforme apresentado na Figura os mais variados
comportamentos dos indiviacuteduos frente ao risco satildeo apresentados atraveacutes dessas
funccedilotildees
As funccedilotildees-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumannem
1953 Posteriormente foram aprimoradas e desenvolvidas por vaacuterios outros
Elas podem ser determinadas analiticamente atraveacutes do uso de funccedilotildees
matemaacuteticas que tecircm seus paracircmetros ajustados de modo a melhor se
adequarem ao comportamento da organizaccedilatildeo As mais usualmente aplicadas
satildeo a linear exponencial logariacutetmica e quadrada
O coeficiente de aversatildeo ao risco estaacute sempre presente nas funccedilotildees-utilidade
Trata-se de um valor individualizado e uacutenico para cada empresa que reflete
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco Ele eacute
inversamente proporcional agrave toleracircncia ao risco
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
A funccedilatildeo-utilidade exponencial eacute a mais aplicada devido agrave facilidade de
modelagem do coeficiente de aversatildeo ao risco que coincide exatamente com o
paracircmetro c da funccedilatildeo como pode ser verificado pela formulaccedilatildeo
Essas funccedilotildees satildeo obtidas atraveacutes da definiccedilatildeo da utilidade para o tomador
de decisatildeo de cada um dos possiacuteveis resultados do evento incerto Como natildeo
poderia ser diferente o melhor resultado tem maacutexima utilidade e o pior miacutenima
A utilidade eacute um valor abstrato que serve para quantificar o quatildeo desejaacutevel
eacute cada uma das ocorrecircncias para determinada pessoa Portanto eacute flagrante o
elevado grau de subjetividade envolvido na definiccedilatildeo das funccedilotildees-utilidade E por
esta razatildeo elas satildeo absolutamente especiacuteficas para determinada pessoa em
determinada situaccedilatildeo natildeo podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor
ou outro cenaacuterio
Valor Esperado da Utilidade
A melhor decisatildeo a ser tomada eacute definida com auxiacutelio da funccedilatildeo utilidade
atraveacutes do criteacuterio de maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU)
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto eacute dado por
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Onde
VPLs rArr Valor Presente Liacutequido do Sucesso ps rArr Probabilidade de Sucesso
VPLf rArr Valor Presente Liacutequido do Fracasso e pf rArr Probabilidade de Fracasso
Assim como a metodologia do VME a tomada de decisatildeo atraveacutes do Valor
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e
empreendido se apresentar um VEU positivo do contraacuterio deve ser abandonado
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura soacute que dessa vez
atraveacutes da maximizaccedilatildeo do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
diferentemente da resoluccedilatildeo anterior pelo criteacuterio do VME leva em consideraccedilatildeo
a preferecircncia do decisor frente ao risco financeiro
Inicialmente vamos obter junto ao tomador de decisatildeo fictiacutecio sua opiniatildeo
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possiacuteveis nas duas
loterias oferecidas considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100
Para a Loteria A
U(R$ 120000000) = 80
U( - R$ 20000000) = -90
Para a Loteria B
U(R$ 1200) = 20
U( - R$ 200) = - 5
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade
VEUA = 05(80)+05(-90) rArr VEUA = -5
VEUB = 05(20)+05(-5) rArr VEUB = 75
Portanto o decisor assim como a maioria dos brasileiros nem se arriscaria
na Loteria A ndash tem utilidade negativa ndash pois natildeo seria capaz de suportar a perda
de R$ 20000000 A loteria de valores de menor vulto seria aceita tendo utilidade
positiva para o indiviacuteduo
Atraveacutes deste exemplo fica niacutetida a vantagem de se utilizar a Teoria da
Utilidade como ferramenta de suporte agrave tomada de decisatildeo que sempre se daacute de
maneira individual e subjetiva
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Equivalente Certo
Outro conceito fundamental para a aplicaccedilatildeo da Teoria da Utilidade eacute o de
Equivalente Certo Ele corresponde ao menor valor monetaacuterio certo e seguro que
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situaccedilatildeo
incerta tambeacutem conhecida como loteria
O Equivalente Certo surge da comparaccedilatildeo entre uma opccedilatildeo de
investimento incerto e arriscado com possibilidade de perdas e outra sem
incertezas ou risco bastando colocar o dinheiro no bolso Entatildeo ele eacute o valor
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebecirc-lo ou participar de
um determinado jogo
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e
incertezas o Equivalente Certo eacute o valor miacutenimo que estariacuteamos dispostos a
receber para nos desfazermos dele ou seja eacute o valor justo de venda do projeto
Em uma decisatildeo de investimentos sob incertezas podemos definir o
comportamento do indiviacuteduo frente ao risco atraveacutes da comparaccedilatildeo entre o
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) do negoacutecio
Vejamos
bull Indiferente ao Risco EqC = VME
bull Propenso ao Risco EqC gt VME
bull Avesso ao Risco EqC lt VME
Alguns autores gostam de apresentar a aversatildeo ao risco como um temor
do desconhecido e incerto um sentimento de estar fora do controle da situaccedilatildeo
Nesses casos de aversatildeo ao risco a diferenccedila entre o Valor Monetaacuterio Esperado
e o Equivalente Certo do investidor eacute chamada de ldquoPrecircmio de Riscordquo Assim
sendo o tomador de decisatildeo seraacute recompensado com este precircmio pelo risco de
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
perda ao decidir pela opccedilatildeo arriscada em detrimento ao ganho certo dado pelo
EqC De maneira anaacuteloga seria o valor que o indiviacuteduo avesso ao risco abre matildeo
para se prevenir do risco de perder
O melhor entendimento do que realmente eacute o Equivalente Certo na praacutetica
seraacute possiacutevel com o exemplo apresentado Um milionaacuterio excecircntrico propotildee a
referida Loteria I incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas Ele lanccedilaraacute
uma moeda natildeo viciada ao ar e no caso de a face que estiver voltada para cima
ser cara lhe paga R$ 120000 e se for coroa lhe exige R$ 20000 Qual seria o
miacutenimo valor monetaacuterio certo que vocecirc aceitaria dele para natildeo entrar neste jogo
Ou seja qual eacute o menor valor que o torna indiferente entre recebecirc-lo com certeza
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionaacuterio
Ressaltemos que o milionaacuterio faraacute ofertas partindo de R$ 5000 e
crescentes de forma aritmeacutetica em R$ 5000 ateacute que o indiviacuteduo abordado aceite
o montante oferecido para abandonar a loteria
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Sabemos que o Valor Monetaacuterio Esperado (VME) deste jogo eacute de R$ 50000
No entanto como jaacute vimos anteriormente o comportamento dos indiviacuteduos frente
ao risco eacute muito variaacutevel e influenciado principalmente por suas capacidades
financeiras O milionaacuterio oferece a loteria a trecircs pessoas bem diferentes
bull Mauriacutecio Engenheiro com renda mensal de R$ 200000
bull Alexandre Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 4000000
e
bull Joatildeo Assalariado com renda mensal de R$ 20000
Mauriacutecio que estava estacionando seu carro quando encontrou o
milionaacuterio usaria seu raciociacutenio loacutegico tendo um comportamento frio sem se
deixar levar muito pela emoccedilatildeo frente a essa boa oportunidade de
complementaccedilatildeo do orccedilamento mensal A perda de R$ 20000 natildeo seria bem-
vinda mas em nada mudaria o rumo de sua vida De forma que se portou de
forma indiferente ao risco e aceitou natildeo jogar quando o milionaacuterio lhe ofereceu R$
50000 ndash o Valor Monetaacuterio Esperado da loteria
Alexandre que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando
reencontrou um antigo amigo ndash o milionaacuterio excecircntrico ndash natildeo pocircde perder muito
tempo com a loteria oferecida No entanto como comumente se arrisca em jogos
de azar porque sempre acredita ser possiacutevel ganhar o maior precircmio apostava que
iria conseguir os R$ 120000 ateacute porque passar aquele encontro perdendo
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
somente R$ 20000 lhe faria pouca falta Dessa forma se comportou como
propenso ao risco e soacute aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$
70000
Joatildeo tinha acabado de sacar da agecircncia bancaacuteria todo o seu salaacuterio
quando foi abordado pelo milionaacuterio excecircntrico Ponderando bastante os efeitos
negativos da opccedilatildeo arriscada percebeu que a perda dos R$ 20000 seria traacutegica
para toda a sua famiacutelia cuja subsistecircncia no mecircs dependia de seus rendimentos
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder
uma menor as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situaccedilatildeo do que
acreditam na primeira Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco
bastante comedido aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcanccedilou R$
30000 valor que representava o salaacuterio de um mecircs e meio de trabalho duro
O milionaacuterio que tinha por ldquohobbyrdquo analisar o complexo comportamento
dos seres humanos em relaccedilatildeo ao dinheiro resolveu refinar um pouco seu jogo
pedindo para os trecircs participantes relacionarem utilidades em uma escala
definida entre (-100) e 100 para cada um dos valores monetaacuterios oferecidos
Veremos como cada um dos trecircs considerou as utilidades para cada um dos
resultados
Mauriacutecio (EqC = R$ 50000)
UM (R$120000) = 30 e UM ( - R$20000) = -10
VEUM = 05(30)+ 05(-10) rArr VEUM = 10
UM (EqC) = UM (R$50000) = 10
Alexandre (EqC = R$ 70000)
UA (R$120000) = 10 e UA ( - R$20000) = -2
VEUA = 05(10)+ 05(-2) rArr VEUA = 4
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
UA (EqC) = UA (R$70000) = 4
Joatildeo (EqC = R$ 30000)
UJ (R$120000) = 90 e UJ (- R$20000) = -50
VEUJ = 05(90)+ 05(-50) rArr VEUJ = 20
UJ (EqC) = UJ (R$30000) = 20
Apresentamos plotada na Figura a funccedilatildeo-utilidade de cada um dos trecircs
participantes que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta
frente ao risco A funccedilatildeo-utilidade linear de Mauriacutecio explicita seu comportamento
indiferente ao risco Joatildeo nitidamente se comporta com aversatildeo ao risco como
mostra sua funccedilatildeo-utilidade convexa A curva de Alexandre eacute a mais difiacutecil de ser
interpretada pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele Se os
valores monetaacuterios fossem superiores perceberiacuteamos com maior clareza a forma
cocircncava de sua funccedilatildeo-utilidade
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Atraveacutes deste exemplo simples e descontraiacutedo pudemos verificar como o
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indiviacuteduos E comprovamos atraveacutes
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemaacuteticas aquilo
que jaacute esperaacutevamos a loteria oferecida pelo milionaacuterio excecircntrico apresenta maior
utilidade para Joatildeo que para Mauro e muito pouca utilidade para Alexandre
Conforme apresentado anteriormente a capacidade de absorver perdas
financeiras eacute um dos criteacuterios principais que definem o comportamento frente ao
risco A toleracircncia ao risco destes trecircs personagens pode ser vista de forma
anaacuteloga a das companhias de petroacuteleo Quanto maior a renda mensal no caso
das pessoas fiacutesicas ou maior o capital exploratoacuterio das empresas de petroacuteleo
maior a capacidade financeira de suportar perdas e consequumlentemente maior
toleracircncia ao risco
A apresentaccedilatildeo teoacuterica e a aplicaccedilatildeo praacutetica do conceito de Equivalente
Certo nos permite concluir que para determinado indiviacuteduo ou organizaccedilatildeo existe
a mesma preferecircncia ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente
Certo e a participaccedilatildeo no evento incerto e arriscado Dessa forma
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condiccedilotildees de risco e
incerteza deixa de lado o criteacuterio de maximizaccedilatildeo do VME que apresenta
limitaccedilotildees passando a adotar o de maximizaccedilatildeo do VEU Mas observamos pela
definiccedilatildeo acima que atingiremos este objetivo atraveacutes da maximizaccedilatildeo da
utilidade do EqC ou simplesmente pela proacutepria maximizaccedilatildeo dele uma vez que
quanto maior ele for maior sempre seraacute sua utilidade para o tomador de decisatildeo
Portanto no processo de tomada de decisatildeo em investimentos sob risco e
incerteza devemos sempre buscar a maximizaccedilatildeo do Equivalente Certo atraveacutes
da definiccedilatildeo do niacutevel oacutetimo de participaccedilatildeo no projeto
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Parte IV- Jogos Estaacuteticos com Informaccedilatildeo Incompleta
Uma das novas ideacuteias mais importantes na economia eacute que informaccedilatildeo
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econocircmico
e social tanto quanto o uso de trabalho terra ou tecnologia Aqui ldquoinformaccedilatildeo
privadardquo quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores
possuem mas outros natildeo Exemplos de informaccedilatildeo privada satildeo a financeira de
uma empresa que alguns acionistas sabem qual eacute e outros natildeo a disposiccedilatildeo de
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de uacuteltima hora que
natildeo eacute do conhecimento de seu empregador potencial e os resultados de um
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato
de trabalho proposto por uma empresa e que natildeo eacute compartilhado com o
negociador da empresa Tais casos satildeo conhecidos como jogos com Informaccedilatildeo
Incompleta tambeacutem ditos jogos bayesianos Lembre-se que em jogos
estaacuteticos e dinacircmicos de informaccedilatildeo completa por definiccedilatildeo a funccedilatildeo de ganho
dos jogadores era de conhecimento comum Em contraste nos jogos de
informaccedilatildeo incompleta a funccedilatildeo payoff de pelo menos um dos jogadores natildeo
seraacute de conhecimento comum o que denota um elemento de incerteza na medida
em que pelo menos um jogador estaraacute incerto sobre a funccedilatildeo payoff dos outros
jogadores
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o comeccedilo e
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estaacuteticos e posteriormente trataremos
de jogos dinacircmicos
Um exemplo padratildeo de jogos estaacuteticos de informaccedilatildeo incompleta satildeo
leilotildees fechados Cada participante (ldquobidderrdquo) sabe a sua proacutepria avaliaccedilatildeo do
bem leiloado mas natildeo conhece as avaliaccedilotildees dos demais participantes O lances
(ldquobidsrdquo) satildeo submetidos em envelopes fechados de modo que os movimentos dos
jogadores podem ser considerados simultacircneos No entanto a maioria dos jogos
bayesianos interessantes economicamente satildeo dinacircmicos Como noacutes veremos no
proacuteximo toacutepico a existecircncia de informaccedilatildeo privada leva naturalmente agrave tentativas
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e agrave tentativas da parte natildeo
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
informada de aprender e responder Essas questotildees satildeo inerentemente
dinacircmicas
Na proacutexima seccedilatildeo vamos definir a forma de representar de um jogo
bayesiano estaacutetico e a noccedilatildeo de equiliacutebrio correspondente qual seja equiliacutebrio
bayesiano de Nash
Como tais noccedilotildees satildeo mais complexas e abstratas do que as vistas ateacute
aqui faremos isso atraveacutes de um exemplo um oligopoacutelio de Cournot sob
informaccedilatildeo incompleta
Cournot sob informaccedilatildeo incompleta
Considere um duopoacutelio de Cournot padratildeo em que as firmas escolhem
simultaneamente o quanto produzir A curva de demanda inversa eacute
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A funccedilatildeo custo da firma 1 eacute dada por
C1 (q1) = cq1
e isso eacute de conhecimento comum Jaacute a funccedilatildeo custo da firma 2 natildeo Ela eacute dada
por
A firma 1 natildeo sabe ao certo qual eacute a funccedilatildeo custo da firma 2 (essa firma
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova
tecnologia) o que eacute de conhecimento comum aqui eacute a distribuiccedilatildeo de
probabilidades sobre a eficiecircncia da firma 2 e a proacutepria estrutura de informaccedilatildeo
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informaccedilatildeo superior a firma 2 sabe
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente
Como resolver esse jogo Considere primeiro o caso da firma 2 a firma
que tem mais informaccedilatildeo Caso ela seja ineficiente o seu problema seraacute
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
E analogamente caso ela seja mais eficiente vai
Decorre das CPOacutes dos problemas acima que
que satildeo as melhores respostas que a firma 2 pode dar agraves escolhas de 1 caso ela
seja de custo alto ou de custo baixo
Jaacute o problema da firma 1 a firma natildeo informada eacute maximizar o seu ganho
esperado em funccedilatildeo da chance de 2 ser ou natildeo eficiente Ou seja a firma 1
tal que as CPOacutes implicam que
tal que
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
seraacute a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar agraves escolhas de 2 Da
interseccedilatildeo dessas 3 equaccedilotildees de melhores respostas segue que
Substituindo essa expressatildeo acima em q2 (cH) e em q2 (cL) teremos as
demais ex- pressotildees de equiliacutebrio
Analogamente a firma 2 de custo baixo produziraacute
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Logo em equiliacutebrio as firmas produziratildeo
A oferta esperada da induacutestria seraacute
Ou seja
Logo
ou ainda
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
tal que
O preccedilo esperado por sua vez seraacute
Jaacute com relaccedilatildeo aos lucros das firmas em equiliacutebrio observe que o lucro da firma 1
seraacute
Para mostrarmos que o raciociacutenio acima estaacute correto tome a funccedilatildeo lucro
da firma1 um pouco mais ldquoabertardquo
Ou seja
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
tal que
exatamente a mesma expressatildeo inicial Como eacute comum em Cournot repare que
O lucro da firma 2 ineficiente de custo alto seraacute por sua vez
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
e portanto agora teremos o que eacute bastante comum em
Cournot
Para podermos ter uma interpretaccedilatildeo mais direta do lucro da firma 2 de
custo alto considere a expressatildeo abaixo
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Logo
Analogamente para a firma 2 de custo baixo teremos
de modo que o lucro dessa firma natildeo seraacute negativo se e somente se
ldquo A representaccedilatildeo na forma normal de um jogo bayesiano estaacutetico com n
jogadores especifica os espaccedilos das accedilotildees dos jogadores A1 A2 hellip An os
espaccedilos dos tipos dos jogadores T1 T2 hellip Tn suas crenccedilas p1 p2 hellip pn e
suas funccedilotildees de ganhos u1 u2 hellip un O tipo ti do jogador i eacute uma informaccedilatildeo
privada deste jogador determina sua funccedilatildeo de ganhos ui(a1 hellip an ti) e eacute
elemento do conjunto Ti dos possiacuteveis tipos para este jogador A crenccedila pi(t-i| ti)
do jogador i descreve a incerteza de i a respeito dos tipos possiacuteveis t-i dos n-1
outros jogadores dado o tipo ti de i Este jogo eacute denotado por G = A1 A2 hellip
An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn u1 u2 hellip un rdquo
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Conforme Harsanyi supotildee-se que inicialmente a natureza sorteia um vetor
de tipos ti Ti segundo uma distribuiccedilatildeo a priori de probabilidades p(t) Aisin
natureza revela a cada jogador i seu tipo i ignorado pelos outros jogadores A
seguir os jogadores escolhem simultaneamente suas accedilotildees ai Ai Finalmenteisin
os ganhos ui(a1 hellip an ti) satildeo distribuidos Observe que desta maneira
introduzindo o jogador fictiacutecio natureza um jogo com informaccedilatildeo incompleta eacute
transformado em jogo com informaccedilatildeo imperfeita Note que quando a natureza
revela ao jogador i seu tipo i este e os outros jogadores podem calcular sua
crenccedila pi(t-i| ti) segundo a regra de Bayes
Note tambeacutem que um jogador i pode dispor de informaccedilotildees privadas
relativas as funccedilotildees de payoff dos outros jogadores aleacutem daquelas relativas a sua
funccedilatildeo de payoff Neste caso sua funccedilatildeo de ganho depende dos tipos t1 hellip tn e
a escrevemos ui(a1 hellip an ti hellip tn )
Definiccedilatildeo de um equiliacutebrio de Nash bayesiano Uma estrateacutegia pura para o
jogador i num jogo bayesiano estaacutetico deve contemplar uma accedilatildeo para cada tipo ti
possiacutevel Os conjunto Si das estrateacutegias possiacuteveis eacute o conjunto de todas as
funccedilotildees com domiacutenio Ti e contradomiacutenio Ai
No jogo bayesiano estaacutetico G = A1 A2 hellip An T1 T2 hellip Tn p1 p2 hellip pn
u1 u2 hellip un uma estrateacutegia do jogador i eacute uma funccedilatildeo si(ti) onde para cada
tipo ti isin Ti si(ti) determina a accedilatildeo pertecente ao conjunto das accedilotildees possiacuteveis Ai
que o tipo ti escolheria se sorteado pela natureza As estrateacutegias s = (s1 hellip
sn) satildeo um equiliacutebrio de Nash bayesiano (em estrateacutegias puras) se para cada
jogador i e para cada ti isin Ti si (ti) eacute soluccedilatildeo de
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Em outras palavras a estrateacutegia de cada jogador (atenccedilatildeo uma estrateacutegia eacute
agora uma funccedilatildeo) deve ser a melhor resposta agraves estrateacutegias dos outros
32 Aplicaccedilotildees
32A Reinterpretando a estrateacutegia mista (Harsanyi)
Um NE em estrateacutegias mistas num jogo com informaccedilatildeo completa pode ser
reinterpretando enquanto BNE em estateacutegias puras num jogo semelhante com um
pouco de informaccedilatildeo incompleta Exemplo batalha dos sexos
32B Leilotildees de primeiro preccedilo envelopes fechados com valores privados vi
distribuidos uniformamente e se as estrateacutegias bi(vi) forem estritamente
crescentes e diferenciacuteaveis o uacutenico BNE simeacutetrico eacute bi(vi) = vi 2
32C Jogos de dupla oferta
Neste jogo o vendedor e o comprador simultaneamente propotildeem um preccedilo de
venda pv e um preccedilo de compra pc A venda eacute realizada a um preccedilo p = (pv +
pc) 2 somente se pc ge pv
Myerson e Satterthwaite obtiveram um importante resultado negativo natildeo
existe BNE onde uma troca voluntaacuteria seraacute realizada se ela for eficiente por
exemplo se uma firma possui uma informaccedilatildeo privada sobre a produtividade
marginal m de seu empregado e se este empregado possui uma informaccedilatildeo
privada sobre seu salaacuterio v de reservaccedilatildeo nenhum acordo voluntaacuterio ocorreraacute se
for eficiente (ie se v le m)
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Parte V ndash Jogos Dinacircmicos com Informaccedilatildeo Incompleta
Em um jogo dinacircmico jogadores mal informados podem aprender alguma coisa sobre o jogo observando os movimentos de oponentes mais bem informados Visto que incorporar tal aprendizado aacute anaacutelise eacute difiacutecil comeccedilamos esta parte apresentando conceitos importantes como o teorema de Bayes
Teorema de Bayes Suponha que os eventos A1 hellip Ak formem uma particcedilatildeo do
espaccedilo S de maneira que P(Ai) gt 0 i e seja B um evento tal que P(B) gt0 Entatildeoforall
O teorema de Bayes oferece uma regra simples para calcular a
probabilidade condicional de cada evento Aj dado B a partir da probabilidade
condicional de B dado cada evento Aj e da probabilidade natildeo condicionada
de cada evento Aj
Exemplo suponha que conforme as estatiacutesticas do ministeacuterio da sauacutede a
probabilidade de ser portador de um virus seja de 1 10 000 Um teste permite
detectar esta doenccedila com um grau de confiabilidade de 90 (ie caso um
indiviacuteduo seja portador da doenccedila e faccedila o teste o resultado seraacute positivo em 90
dos casosenquanto que caso um indiviacuteduo natildeo seja portador da doenccedila e faccedila
o teste o resultado seraacute positivo em 10 dos casos) Voceacute realiza o teste e o
resultado eacute positivo Qual eacute agora sua probabilidade de ter esta doenccedila (natildeo eacute 90
) A resposta eacute 9 10 000
Equiliacutebrio Bayesiano
Para um jogo bayesiano define-se um equiliacutebrio Bayesiano como sendo
um equiliacutebrio de Nash da representaccedilatildeo tipo-agente do jogo bayesiano em forma
normal Portanto um equiliacutebrio bayesiano especifica uma accedilatildeo pura ou uma
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
distribuiccedilatildeo de probabilidades sobre as accedilotildeesbpara cada tipo de cada jogador de
forma que cada um desses tipos maximiza sua utilidade esperada quando ele
sabe o seu tipo mas natildeo sabe o tipo dos demais jogadores Note que em um
equiliacutebrio bayesiano a estrateacutegia de um jogador depende apenas do seu tipo mas
natildeo dos tipos dos outros jogadores Conforme explicamos uma estrateacutegia deve
especificar uma accedilatildeo para cada tipo de jogador natildeo apenas para o verdadeiro
tipo pois caso contraacuterio natildeo poderiacuteamos determinar a utilidade esperada dos
outros jogadores que natildeo sabem qual eacute o verdadeiro tipo dos demais
Formalmente um equiliacutebrio bayesiano em estrateacutegias mistas de um jogo
bayesiano Γb eacute qualquer perfil de estrateacutegias σ timesisin iisinN timestiisinTi Δ(Ci) tal que para
todo i isin N e ti isin Ti
onde σj(cj |tj) eacute a probabilidade com que o tipo tj do jogador j escolhe accedilatildeo cj
Exemplo Considere um jogo bayesiano com dois jogadores suponha que
C1=x1 y1 C2 = x2 y2 T1 = 1 T2 = 21 22 p1(21|1) = 06 e as utilidades
satildeo dadas nas tabelas a seguir
Para o tipo 21
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Para o tipo 22
Neste jogo y2 eacute uma estrateacutegia fortemente dominada para o tipo 21 e x2 eacute
fortemente dominada para o tipo 22 entatildeo 21 deve escolher x2 e 22 deve
escolher y2 Portanto para o tipo 1 temos que a utilidade esperada de x1 eacute 06 e
a utilidade esperada de y1 eacute 04 Portanto o uacutenico equiliacutebrio bayesiano deste jogo
eacute σ1(x1|1) = 1 σ2(x2|21) = 1 e σ2(y2|22) = 1
Exemplo Considere o seguinte jogo Bayesiano no qual o jogador 1 pode ter tipo α
ou β onde segundo o uacutenico tipo do jogador 2 jogador 1 eacute do tipo α com
probabilidade 09 As utilidades dos jogadores satildeo dadas de acordo com o as
tabelas a seguir
Para o tipo α
Para o tipo β
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
Note que existem trecircs equiliacutebrios Bayesianos neste jogo (1) σ2(x2) = 1 σ1(x1|α)
= 1 e σ1(y1|β) = 1 (2) σ2(y2) = 1 σ1(y1|α) = 1 e σ1(y1|β) = 1 e (3) σ2(x2) = 12
σ1(x1|α) = 59 e σ1(y1|β) = 1
Exemplo Suponha que duas pessoas estatildeo envolvidas em uma disputa Pessoa
1 natildeo sabe se a pessoa 2 eacute forte ou fraca ela associa probabilidade α a pessoa 2
ser forte Pessoa 2 estaacute perfeitamente informada Cada pessoa pode lutar ou se
entregar Cada pessoa recebe uma utilidade 0 se ela se entregar natildeo importa o
que a outra pessoa faccedila Aleacutem disso cada pessoa recebe uma utilidade 1 se ela
lutar e seu adversaacuterio se entregar Se ambas pessoas lutarem entatildeo suas
utilidades satildeo (minus1 1) se a pessoa 2 for forte e (1minus1) se a pessoa 2 for fraca
Formulando esta situaccedilatildeo como um jogo Bayesiano e encontrando os equiliacutebrios
bayesianos se α lt 1 2 e se α gt 1 2
Soluccedilatildeo O jogo Bayesiano eacute N = 1 2 Ci = LE i isin N T1 = 1 T2 = FtFr
p(Ft|1) = α e as utilidades satildeo dadas por
bull se o jogador 2 for forte
bull se o jogador 2 for fraco
Seja σ1(L) σ2(L|Ft) e σ2(L|Fr) o perfil de estrateacutegias misto Entatildeo a
utilidade esperada do jogador 2 forte de lutar eacute 1 e de se entregar eacute 0 Logo este
tipo do jogador 2 sempre luta isto eacute em qualquer equiliacutebrio Bayesiano σ2(L|Ft) =
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
1 A utilidade esperada do jogador 2 fraco de lutar eacute minusσ1(L) + (1 minus σ1(L)) e de se
entregar eacute 0 Portanto ele iraacute lutar se σ1(L) lt 1 2 se entregar se σ1(L) gt 1 2 e eacute
indiferente se σ1(L) = 1 2 A utilidade esperada do jogador 1 de lutar eacute α[σ2(L|Ft)
times (minus1) + (1 minus σ2(L|Ft))] + (1 minus α) = 1 minus 2ασ2(L|Ft) e de se entregar eacute 0 Portanto
ele iraacute lutar se ασ2(L|Ft) lt 1 2 se entregar se ασ2(L|Ft) gt 1 2
e estaacute indiferente se ασ2(L|Ft) = 1 2 Como jaacute vimos que em todo equiliacutebrio
Bayesiano σ2(L|Ft) = 1 entatildeo o jogador 1 iraacute lutar se α lt 1 2 e se entregar se α
gt 1 2 Logo se α lt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 1
σ2(L|Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 0
Se α gt 1 2 entatildeo o uacutenico equiliacutebrio bayesiano eacute dado por σ1(L) = 0 σ2(L|
Ft) = 1 e σ2(L|Fr) = 1
Em um problema de decisatildeo ter mais informaccedilatildeo nunca eacute prejudicial pois o
tomador de decisatildeo pode sempre ignorar a informaccedilatildeo recebida Em um jogo isto
nem sempre eacute verdade Se um jogador possui mais informaccedilatildeo e os outros
jogadores souberem disso entatildeo o jogador pode estar numa situaccedilatildeo pior como
mostra o seguinte exemplo
Exemplo Considere que ambos jogadores consideram igualmente provaacuteveis que
estatildeo participando dos seguintes jogos onde 0 lt ϵ lt 1 2
Ou
Entatildeo a estrateacutegia L eacute estritamente dominante para o jogador 2 pois se 1
escolher T L teraacute uma utilidade esperada de 2ϵ enquanto M e R teratildeo utilidade 2
ϵ e se 1 escolher B L teraacute utilidade esperada 2 enquanto M e R teratildeo utilidade
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2
esperada 3 2 Sabendo disto 1 entatildeo escolheraacute B e no uacutenico equiliacutebrio de Nash
teremos que ambos jogadores recebem 2
Suponha agora que o jogador 2 antes do jogo recebe um sinal indicando
qual eacute o verdadeiro jogo Neste caso a estrateacutegia R eacute estritamente dominante
para o tipo do jogador 2 que acredita que o jogo eacute o primeiro enquanto que a
estrateacutegia M eacute estritamente dominante para o tipo do jogador 2 que acredita que o
jogo eacute o segundo Sabendo disto o jogador 1 escolheraacute T Entatildeo neste equiliacutebrio
o jogador 1 recebe 1 enquanto o jogador 2 recebe 3ϵlt2
Entatildeo ambos os jogadores saem perdendo com a informaccedilatildeo extra
adquirida pelo jogador 2