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Capítulo 1 Vectores y sistemas coordenados

El desarrollo matemático de la teoría electromagnética utiliza tanto escalares como vectores. Un escalar es una cantidad que sólo tiene magnitud, mientras que un vector tiene tanto magnitud como dirección. En este capítulo se considerarán algunas propiedades elementales de los vectores, los sistemas coordenados en los cuales se suelen representar los vectores y el álgebra vectorial. Los conceptos aquí introducidos suministran un lenguaje conveniente para expresa ciertas ideas fundamentales del electromagnetismo y de las matemáticas en general. OBJETIVOS Después de estudiar este capítulo, resolver los ejercicios y comprobar la solución obtenida, el estudiante debe estar capacitado para:

1. Identificar y representar campos escalares y vectoriales. 2. Sumar y restar vectores. 3. Expresar un vector en diferentes sistemas coordenados. 4. Obtener relaciones entre los vectores unitarios en los diferentes sistemas. 5. Realizar e interpretar productos escalares y vectoriales. 6. Usar las identidades de los triples productos escalares y vectoriales. 7. Transformar campos vectoriales.

1.1 ESCALARES Y VECTORES Una cantidad escalar es aquella que puede representarse por un simple número. La

altitud, la temperatura, la energía y la potencia son cantidades escalares. Cuando a cada punto de una región se le asocia un escalar, se dice que se esta en presencia de una función escalar o un campo escalar, que puede también ser función del tiempo.

Para establecer, por ejemplo, el campo de temperaturas de la superficie terrestre, se puede medir tal temperatura en diversos puntos y en un instante dado. Tal información generalmente se da en forma gráfica uniendo los puntos de igual temperatura, lo cual origina las isotermas de un mapa del estado del tiempo. A los campos escalares a veces se les denomina campos potenciales y a las líneas o superficies sobre las cuales el campo tiene una magnitud constante se denominan equipotenciales. Por ejemplo, en el levantamiento topográfico de una colina ilustrado en la figura 1.1, las curvas de igual altura corresponden a puntos sobre la superficie terrestre que gozan de la misma energía potencial, o sea que son equipotenciales.

Supóngase ahora que del punto más alto de la colina sale un manantial cuyas aguas corren y se esparcen por las laderas. La velocidad en un punto de la avenida tiene magnitud y dirección. En el presente texto se asumirá que magnitud es igual a valor absoluto, por lo tanto la magnitud de cualquier cantidad es siempre positiva. A las cantidades que tienen tanto magnitud como dirección se les denomina vectores. Cuando a cada punto de una región se le asocia un vector, se tendrá un campo vectorial.

Un vector puede representarse gráficamente por un segmento de línea recta dibujada en la dirección del vector, con la dirección indicada por la punta de una flecha y con la longitud proporcional a la magnitud del vector. En el texto impreso, la notación convencional emplea el tipo normal de letras para los escalares y negritas para los vectores. Cuando se escribe a mano o en máquina de escribir, el carácter vectorial de una

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cantidad se muestra poniendo una raya o una flecha sobre la letra que la representa. Omitir dicha raya o flecha puede conducir a errores cuando se emplean vectores.

La magnitud de un vector B es un escalar que se escribe como B o |B|. Un vector unitario en la dirección de B se define como un vector cuya magnitud es uno y su dirección es a lo largo de B. Para los vectores unitarios se reservará la letra a y se usará como subíndice la letra del vector asociado, es decir que:

!

aB

=B

B=B

B (1.1)

y como |aB| = 1, se tendrá simplemente que B = BaB (1. 2) que especifica al vector B en términos de su magnitud B y de su dirección aB.

Figura 1.1 Curvas de nivel de un levantamiento topográfico

Dos vectores A y B pueden sumarse para generar otro vector C, es decir: C = A + B (1. 3) adición que gráficamente se obtiene de acuerdo a la regla del paralelogramo o a la regla de cabeza a cola, tal como se ilustra en la figura 1.2. Nótese que los dos vectores no necesitan estar ubicados en el mismo punto, ya que un vector puede ser desplazado de un punto a otro sin que cambie su valor, siempre que no se alteren su magnitud y su dirección. Cuando un vector se dibuja como una flecha de longitud finita, su ubicación está definida por la cola de la flecha. Si los vectores de la figura 1.2 son coplanares, o sea que yacen en el mismo plano (en este caso el plano del papel), pueden sumarse expresando cada vector en términos de sus componentes horizontal y vertical y sumar luego las componentes correspondientes. Tal proceso puede extenderse a los vectores en tres dimensiones, como se verá en la sección 1.3. La substracción de vectores se define en términos del negativo de un vector, que es el vector de dirección opuesta al original. Así:

D = A - B (1. 4) tal como se indica en la figura 1.3. Los vectores pueden multiplicarse por escalares, con lo cual cambiará su magnitud; la dirección se invertirá sólo cuando el escalar es negativo. Cuando se multiplican dos vectores surgen dos posibilidades, conocidas como el

aa

100

150200

250

(x)

(y)

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producto escalar y el producto vectorial. La definición del producto escalar, escrito como A.B es: A.B = AB cos θAB (1. 5)

Figura 1.2 Suma de vectores C = A + B. (a) los dos vectores (b) regla del paralelogramo y (c) regla de cabeza a cola.

Figura 1.3 Substracción de vectores D = A - B. (a) regla del paralelogramo y (b) regla de cabeza a cola.

en donde θAB es el ángulo más pequeño entre A y B. El producto escalar es conmutativo, ya que el signo del ángulo no afecta el valor del coseno. El nombre de este producto surge de la naturaleza escalar del resultado, aun cuando también se emplean las denominaciones de producto interno y producto punto. Si los vectores A y B son perpendiculares entre si, se tendrá que A.B = 0.

Figura 1.4 El producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores, escrito como A x B, se define como: A x B = AB sen θAB an (1. 6) en donde an es un vector unitario normal al plano formado por los vectores A y B y cuya dirección está dada por la regla del sacacorchos dextrógiro; tal sacacorchos al rotar dextrógiramente desde A hacia B a través del menor ángulo, avanzará en la dirección

aaa

AB

AA

B

B

C C

(a) (b) (c)

aaa

θAB

anA X B

A

B

aaa

-B

A

B

D

(a) (b)

A

-B

D

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perpendicular tanto a A como a B, tal como se muestra en la figura 1.4. Nótese que la magnitud del producto vectorial es el área del paralelogramo formado por A y B. De la ecuación 1.6 se obtiene que A x B = - B x A y que A x A = 0.

1.2 SISTEMAS COORDENADOS Para describir las variaciones espaciales de las cantidades físicas hace falta definir en una forma conveniente todos los puntos del espacio, lo cual conduce al uso de un sistema coordenado adecuado. De éstos el más sencillo y el más útil en ingeniería es el rectangular o cartesiano, pero también se usan con frecuencia el sistema cilíndrico circular y el esférico. En este texto se preferirá usar el término coordenadas cartesianas ya que la expresión coordenadas rectangulares normalmente se asocia con la geometría bidimensional. El adjetivo cartesiano se emplea en honor al filósofo y matemático francés René Descartes (Turena 1596, Estocolmo 1650) y se deriva de la forma latinizada Renatus Cartesius. Es Descartes el padre de la geometría analítica.

En el sistema cartesiano se utilizan tres ejes coordenados perpendiculares entre sí, llamados eje x, eje y y eje z; las coordenadas de un punto son los valores numéricos (x,y,z), en donde la coordenada x del punto representa la distancia entre el punto y el plano yz y similarmente para las coordenadas y y z, tal como se muestra en la figura 1.5. Una manera lógica para identificar un vector es proporcionar las tres componentes vectoriales que se encuentran a lo largo de los tres ejes coordenados. Aquí resulta conveniente definir los vectores unitarios a lo largo de los ejes, los cuales de acuerdo a la notación establecida se designarán por ax, ay y az, y se ilustran en la figura 1.5. Debe señalarse que es bastante común el uso de los vectores unitarios i, j y k. Ya que el ángulo entre dos de estos vectores unitarios diferentes es 90°, se tendrá que

!

ak.a

r=1 k = r

0 k " r

# $ %

(1. 7)

Figura 1.5 Coordenadas cartesianas de un punto.

Por convención siempre se utilizarán sistemas coordenados dextrógiros. Para su identificación se abre la mano derecha y el dedo pulgar se coloca perpendicular al resto de los dedos, se hace rotar el cordial de manera que sea perpendicular tanto al índice como al pulgar. Si el índice corresponde a la coordenada x y el cordial a la y, el pulgar apuntará en la dirección z. Si la definición del producto vectorial se aplica a los vectores unitarios ax, ay y az, se tendrá que ax x ay = az, ay x az = ax, y az x ax = ay. De esta manera resulta más fácil definir un sistema cartesiano dextrógiro diciendo que ax x ay = az.

aa

(x)

(y)

(z)

y

x

z

P(x,y,z)

ax ay

az

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Un método alterno para interpretar los valores de las coordenadas, el cual debe usarse en los demás sistemas coordenados, es considerar que cada punto en el espacio proviene de la intersección de tres superficies mutuamente perpendiculares. Los ejes coordenados quedan entonces definidos por las normales a esas superficies en el punto. La elección de un sistema coordenado en particular dependerá de la simetría del problema a resolver. En el sistema cilíndrico circular ilustrado en la figura 1.6(a), las superficies mutuamente perpendiculares son un cilindro circular dado por ρ = constante y dos planos, uno de φ = constante y otro de z = constante, en donde ρ es el radio vector que va del origen a la proyección del punto sobre el plano xy. Al ángulo φ que forma ρ con el eje x se le denomina azimut. En este caso tienen que definirse también tres vectores unitarios aρ, aφ y az que se dirigen en la dirección en la cual aumentan los valores de las coordenadas, son mutuamente perpendiculares pero no siguen los ejes coordenados, los cuales sólo existen en el sistema cartesiano. El vector unitario aρ se dirige en dirección radial hacia fuera, es normal a la superficie ρ = ρ1 y está contenido en los planos φ = φ1 y z = z1. El vector unitario aφ es normal al plano φ = φ1, apunta en la dirección en la cual crece φ, pertenece al plano z = z1 y es tangente a la superficie cilíndrica ρ = ρ1. El vector unitario az es el mismo de las coordenadas cartesianas. La terna dextrógira será (aρ, aφ, az). En el sistema cilíndrico circular se acostumbra restringir la coordenada ρ a valores no negativos, mientras que la variación del ángulo φ es entre 0° y 360° (entre 0 y 2π radianes). No es posible, sin embargo, asociar una coordenada φ única a los puntos que caen sobre el eje z, ya que cualquier plano que contenga al eje z contendrá al punto en cuestión.

El sistema de coordenadas esférico (parte b de la figura 1.6), se constituye al igual que el cilíndrico circular tomando como referencia los tres ejes cartesianos. Las superficies mutuamente perpendiculares son una esfera de radio r, un cono definido por el ángulo θ entre el eje z y la línea trazada desde el origen hasta el punto considerado y un plano de φ = constante, el cual es el mismo que el de las coordenadas cilíndricas circulares. La terna dextrógira de vectores unitarios mutuamente perpendiculares será (ar, aθ, aφ). El ángulo θ recibe el nombre de ángulo de elevación y se acostumbra restringirlo para que varíe entre 0° (0 rad) cuando el punto está sobre el eje z positivo y 180° (π rad) si el punto está sobre el eje z negativo; por su parte r se restringe a valores no negativos y φ variará entre 0° y 360° (0 y 2π rad). Al igual que en las coordenadas cilíndricas, la coordenada φ no está definida de forma unívoca si el punto se encuentra sobre el eje z. Además, si el punto tiene coordenada r nula queda ubicado en el origen del sistema coordenado y no es posible definir unívocamente las coordenadas φ y θ.

La resolución de un vector típico A en los sistemas coordenados descritos será

A = Ax ax + Ay ay + Az az Cartesianas A = Aρ aρ + Aφ aφ + Az az Cilíndricas (1. 8) A = Ar ar + Aθ aθ + Aφaφ Esféricas

mientras que la magnitud vendrá dada, en cualquier sistema coordenado, por la expresión

A = A.A (1. 9)

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Figura 1.6 Sistemas coordenados: (a) cilíndrico circular y (b) esférico.

En las relaciones anteriores se han usado los subíndices de cada una de las variables de los diferentes sistemas coordenados, pero generalmente para abreviar se usan las expresiones en coordenadas cartesianas.

Vectores de posición y de distancia. A cada punto P(x,y,z) se le puede asociar un vector de posición r, definido como la distancia dirigida desde el origen hasta el punto P, es decir

!

r = xa x + ya y + za z (1.10)

El vector de posición de un punto P es útil para definir su posición en el espacio.

Dados dos puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) el vector distancia r12 denota el desplazamiento del punto 1 al 2, es decir:

r12 = (x2 ! x1)ax + (y2 ! y1)ay + (z2 ! z1)az (1.11)

Es importante destacar la diferencia entre un punto P y un vector A. Aun cuando ambos se pueden representar de manera similar por (x,y,z) y (Ax,Ay,Az) respectivamente, el punto P no es un vector. El vector A, sin embargo, puede depender del punto P. Si, por ejemplo, A = xyax - y2ay + yzaz, y P es (2,-1,-1), A en P será -2ax - ay + az. Un campo vectorial es constante o uniforme cuando no depende de las variables espaciales. Así, el campo B = 4ax + 5ay - 6az será uniforme, mientras que el campo A antes mencionado no será uniforme, porque varía de punto a punto.

Ejemplo 1.1. Los puntos P1 y P2 están ubicados en (1,3,-5) y (2,4,-6), encontrar:

a) El vector de posición de P1. b) El vector distancia de P1 a P2. c) La distancia entre P1 y P2. d) Un vector paralelo a P1P2 con magnitud 3.

Solución: a) r1 = ax + 3ay - 5az

aa

(x)

(y)

(z)

z

P(ρ,φ,z)

(x)

(y)

(z)

P(r,θ,φ)

φ

ρ

φ

θ

r

(a) (b)

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b) r12 = r2 - r1 = (2,4,-6) - (1,3,-5) = ax + ay - az

c) d = | r12| = 1.732

d) aA = ±r12

| r12 |= ±

(1,1,!1)

1.73A = ±

3(1,1,!1)

1.73= ±1.73(ax + ay ! az )

Ejercicio 1.1. Repetir el ejemplo anterior cuando P1 y P2 están en (0,2,4) y (-3,1,5),

Coordenadas ortogonales generalizadas La introducción de un sistema generalizado de coordenadas ortogonales permitirá

simplificar futuros desarrollos del cálculo vectorial. En tal sistema u1, u2 y u3 representan las variables coordenadas; un punto típico del espacio P(u1, u2, u3) es la intersección de tres superficies u1 = c1, u2 = c2 y u3 = c3. La intersección de dos de estas superficies define las líneas coordenadas, tal como se ilustra en la figura 1.7.

Figura 1.7 Coordenadas Ortogonales generalizadas

Los vectores unitarios a1, a2 y a3 son mutuamente perpendiculares y son tangentes a las líneas coordenadas en el punto típico P de esa figura. Un vector asociado con el punto P(u1, u2, u3) se puede expresar como: A = A1 a1 + A2a2+ A3 a3 Generalizadas (1. 12)

Los vectores A1a1, A2a2 y A3a3 son las componentes de A y los escalares A1, A2 y A3 son las proyecciones de A sobre los respectivos ejes coordenados.

La figura 1.8 sirve de base para la transformación de los campos escalares. En ella se destaca la presencia de cuatro triángulos rectángulos y de ellos se deduce, de una manera sencilla, las relaciones geométricas que se resumen en la tabla 1.1. La obtención de las relaciones incluidas en la tabla entre los vectores unitarios es un poco más laboriosa, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.2. Obtención de las relaciones entre los vectores unitarios de los sistemas coordenados cartesiano y cilíndrico. Al compartir ambos sistemas la coordenada z, el problema se torna bidimensional, como se ilustra en la figura 1.9. De ella se obtiene que

aaa

u3 aumenta

u2 aumenta

u1 aumenta

P(u1,u2,u3)a1

a2

a3u2 = constante u1 = constante

u3 = constante

8

ax = cosφ aρ- senφ aφ ay = senφ aρ+ cosφ aφ

az = az

o también aρ = cosφ ax + senφ ay aφ = -senφ ax+ cosφ ay

az = az

Figura 1.8 Coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas de un punto

Ejercicio 1.2. Obtenga las relaciones entre los vectores unitarios de los sistemas coordenados cilíndrico y esférico.

Figura 1.9 Vectores unitarios en coordenadas cartesianas y cilíndricas.

1.3 ÁLGEBRA VECTORIAL El álgebra vectorial se desarrollará partiendo de la conocida álgebra escalar. Si se usa por simplicidad el sistema de coordenadas cartesianas, un vector A quedará completamente definido por sus componentes según los ejes coordenados, Ax, Ay y Az; Ai = A cos αi donde αi es el ángulo entre A y el correspondiente eje coordenado. Para los

aa

(x)

(y)

(z)

y

x

zr

ρ

φ

θ

aaa

(x)

(y)

φ

ax

ay

aρ

aφ

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campos vectoriales cada una de las componentes debe considerarse que es una función de las coordenadas.

CARTESIANAS CILINDRICAS ESFERICAS x ρ cosφ r senθ cosφ y ρ senφ r senθ senφ z z r cosθ ax cosφ aρ− senφ aφ senθcosφ ar + cosθcosφ aθ− senφ aφ ay senφ aρ+ cosφ aφ senθsenφ ar + cosθsenφ aθ+ cosφ aφ az az cosθ ar − senθ aθ

CILINDRICAS CARTESIANAS ESFERICAS ρ (x2+y2)1/2 r senθ φ arc tan (y/x) φ z z r cosθ aρ cosφ ax + senφ ay senθ ar + cosθ aθ aφ -senφ ax + cosφ

ay aφ

az az cosθ ar − senθ aθ ESFERICAS CILINDRICAS CARTESIANAS

r (ρ2+z2)1/2 (x2+y2+z2)1/2

θ arc cos z

!2+ z

2

arc cos z

x2+ y

2+ z

2

φ φ arc cot (x/y) ar senθ aρ + cosθ az senθcosφ ax+ senθsenφ ay+ cosθ az aθ cosθ aρ - senθ az cosθcosφ ax+ cosθsenφ ay− senθ az aφ aφ - senφ ax + cosφ ay Tabla 1.1 Relaciones geométricas entre coordenadas y vectores unitarios

para los sistemas coordenados cartesiano, cilíndrico y esférico. Bajo la óptica del álgebra, la suma de dos vectores se define como el vector cuyas componentes son la suma de las correspondientes componentes de los vectores originales. De esta manera en la ecuación 1.3 C = A + B, si A = (Ax,Ay,Az) y similarmente para B y C, se tendrá que: Cx = Ax + Bx Cy = Ay + By Cz = Az + Bz (1. 13) definición que el equivalente a la regla del paralelogramo ya estudiada. La operación de substracción queda definida como la suma del negativo del vector, –A, en donde las componentes de este vector son (-A)x = -Ax (-A)y = -Ay (-A)z = -Az (1. 14) Ya que la suma y resta de números reales es asociativa y conmutativa, también lo será la suma y resta de vectores, lo cual se expresa en notación vectorial como: A+(B+C) = (A+B)+C= (A+C)+B= A+B+C (1. 15) y de esta manera sobran los paréntesis, tal como lo indica la última forma.

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La definición del producto escalar, en términos de las componentes de los vectores, es: A.B = AxBx + AyBy + AzBz (1. 16) definición que es equivalente a la ya dada, del producto de las magnitudes de los vectores por el coseno del ángulo entre ellos. Ejemplo 1.3. Dado el campo vectorial G = yax -2.5xay + 3az y el vector A = (2ax + ay -2az)/3, encontrar en el punto P(4,5,2): a) la componente escalar de G en el punto P en la dirección de A; b) la componente vectorial de G en el punto P en la dirección de A y c) el ángulo que forma G en el punto P con A. a) Primero se evalúa el campo vectorial G en el punto dado, obteniéndose G = 5ax -10ay +3az La componente pedida es la proyección de G sobre A, o sea: G.A = (5ax -10ay +3az).(2ax + ay -2az)/3 = (10 – 10 – 6)/3 = -2 b) Se busca un vector unitario en la dirección de A, aA = A/A y A resulta unitario, de manera que (G.A)aA = -2A = -1.333ax - 0.667ay + 1.333az

c) Por definición del producto escalar G.aA = Gcosθ

!

cos" = #2

134$" = 99.95°

Ejercicio 1.3. Repetir el ejemplo 1.3, cuando A = (2ax + ay -2az)/2 En términos de las componentes, el producto vectorial C = A x B será:

Cx = AyBz -AzBy Cy = AzBx –AxBz Cz = AxBy –AyBx (1. 17) Una forma de recordar el producto vectorial es escribiéndolo en forma de

determinante:

AxB =

ax ay az

Ax Ay Az

Bx By Bz

(1. 18)

el cual al expandirlo coincide precisamente con la definición de la ecuación 1.17.

Ejemplo 1.4. Dados los vectores A = -ax + ay + az B = ax - ay + az

Encontrar an, el vector unitario perpendicular al plano formado por A y B, cuyo sentido es dextrógiro de A a B. Encontrar el ángulo que ambos vectores forman. Se tiene que:

AxB =

ax ay az

!1 1 1

1 !1 1

= 2ax + 2ay

an =AxB

|AxB |=2(ax + ay )

2 2=ax + ay

2

A = 3 , B = 3 |A x B| = 2 2 = ABsenθAB = 3 senθAB θAB = arc sen (2 2 /3) = 70.53° ó 109.47°

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Para saber cual de los dos valores es, se encuentra el producto escalar A.B= -1 –1 +1 = -1 = ABcosθAB, de donde cosθAB=-(1/3) y θAB = 109.47°.

Ejercicio 1.4. Si A = ax + 3az y B = 5ax + 2ay - 6az, encontrar θAB.

Las operaciones algebraicas antes descritas pueden combinarse de diferentes formas y muchos de los resultados son obvios. Hay, sin embargo, dos productos vectoriales triples que merecen especial mención. El primero de ellos es el triple producto escalar D = A.BxC que viene dado por el determinante

D = A.BxC =

Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

= !B.AxC (1. 19)

producto que no se altera si se intercambian los puntos y las cruces o por una permutación cíclica de los tres vectores. El otro triple producto interesante es el triple producto vectorial D = Ax(BxC). Aplicando reiteradamente la definición del producto vectorial se obtiene que: D = Ax(BxC) =B(A.C) - C(A.B) (1. 20) que se conoce como la regla de baca (sic) menos caballo. Aquí los paréntesis en el producto vectorial son vitales, de no aparecer el producto no quedaría bien definido. Ejemplo 1.5. Dados los vectores P = 2ax - az Q = 2ax - ay + 2az

R = 2ax - 3ay + az

Encontrar Px(QxR) sin realizar ningún producto vectorial. Solución: por la condición impuesta en el enunciado, utilizar la regla bac cab. Px(QxR) = Q(P.R) – R(P.Q) P.R= 3, P.Q = 2 y así Px(QxR) = 3Q – 2R = (6,-3,6) – (4,-6,2) Px(QxR) = (2,3,4) Ejercicio 1.5. Encontrar Px(QxR) si P = 2ax - ay + az Q = ax + ay + az

R = 2ax + 3az

1.4 TRANSFORMACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES La transformación de campos vectoriales entre dos sistemas coordenados se obtiene a partir de las relaciones entre los vectores unitarios en ambos sistemas, más las relaciones entre las componentes escalares de cada vector. Por ejemplo, para obtener las componentes en coordenadas cilíndricas del vector A = (Ax,Ay,Az), se igualan las expresiones de dicho vector en los dos sistemas coordenados y se multiplican ambos lados por el vector unitario del sistema destino. Para obtener la componente Aρ se tendrá: aρ.(Aρaρ+ Aφaφ+Azaz) = aρ.(Axax+ Ayay+Azaz) Aρ = Ax aρ.ax+ Ay aρ.ay+Az aρ.az

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Ahora aρ.az = 0 y de la tabla 1.1 aρ.ax = cosφ y aρ.ay = senφ, de manera que Aρ = Ax cosφ + Ay senφ (1.21)

y similarmente Aφ = -Ax senφ + Ay cosφ (1.22)

Az = Az (1.23) Para los campos vectoriales, los Ai serán funciones de las coordenadas y habrá que transformarlos, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.6. Expresar en coordenadas cilíndricas el campo vectorial

A =10

rar+ r cos!a! + a"

Solución:

A! =10

ra!.ar + r cos"a!.a" + a!.a#

Aquí aρ.aφ = 0 y de la tabla 1.1 aρ.ar = senθ y aρ.aθ = cosθ, con lo cual

A! =10

rsen" + r cos2 "

De la misma tabla

r = !2 + z2 cos" =z

!2 + z2# sen" =

!

!2 + z2

A! =10!

!2 + z2+ !2 + z2

z2

!2 + z2

Similarmente

Aφ = 1 y Az=

10z

!2 + z2" !2 + z2

!z

!2 + z2

Ejercicio 1.6. Expresar en coordenadas cartesianas el campo vectorial

B =sen!

r2ar+cos!

r2a!

RESUMEN: Un campo es la asociación de una cantidad a cada punto de una región; según la

naturaleza de tal cantidad se tendrán campos escalares y campos vectoriales. En este capítulo se estudiaron los vectores, los sistemas coordenados cartesiano, cilíndrico circular y esférico y las transformaciones de campos escalares y vectoriales. REFERENCIAS SELECTAS PARA AMPLIAR EL TEMA. Hayt Jr., William H: Teoría Electromagnética. Segunda edición en español. McGraw-Hill Interamericana de México. 1991. Traducción de la quinta edición en inglés. En el capítulo 1 se presenta casi todo el material expuesto en el presente capítulo.

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Johnk, Carl T. A.: Engineering Electromagnetic Fields and Waves. Segunda edición. John Wiley, New York, 1988. Las coordenadas ortogonales generalizadas se estudian en el capítulo 1. Marshall, Stanley V., DuBroff, Richard E. y Skitek, Gabriel G.: Electromagnetic Concepts and Applications. Cuarta edición. Prentice-Hall, 1996. Hay traducción de la Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1998. La primera parte del capítulo inicial estudia los campos escalares y vectoriales y las transformaciones de éstos, resumiendo los resultados en diversas tablas.

Sadiku, Matthew N. O.: Elements of Electromagnetics. Tercera edición. Oxford University Press, New York, 2001. El capítulo 1 trata sobre el álgebra vectorial. Los sistemas coordenados y las transformaciones vectoriales se estudian en el capítulo 2. Zahn, Marcus: Teoría Electromagnética, Interamericana, México, 1983. Traducción de Electromagnetic Field Theory: A Problem Solving Approach. John Wiley, New York, 1979. A través de ejemplos y con una breve exposición, parte del primer capítulo trata sobre los sistemas coordenados y el álgebra vectorial. Problemas. 1.2-1. Encontrar las coordenadas cartesianas de P(8,120°,5) 1.2-2. Encontrar las coordenadas cartesianas de P(8,120°,130°) 1.2-3. Ubicar el punto P(2,-1,3) en coordenadas cilíndricas. 1.2-4. Ubicar el punto P(2,-1,3) en coordenadas esféricas. 1.2-5. Encontrar la distancia que separa al punto P(10,90°,5) de los puntos A(15,90°,5); B(10,270°,5); C(10,90°,15); D(0,12.6°,0.417) y E(10,0°,10). 1.2-6. Encontrar la distancia que separa al punto P(10,60°,90°) de los puntos A(5,60°,90°); B(10,120°,90°); C(10,120°,270°) y D(10,60°,270°). 1.3-1. Demostrar que los siguientes vectores son perpendiculares

A = ax+ 4ay + 3az

B = 4ax+ 2ay - 4az 1.3-2. Demostrar que los siguientes vectores forman los lados de un triángulo rectángulo,

A = 2ax- ay + az

B = ax- 3ay - 5az C = 3ax- 4ay - 4az

1.3-3. Demostrar que los siguientes vectores son vectores unitarios en el plano x-y que forman ángulos α y β con el eje x. Mediante un producto escalar obténgase la fórmula de cos(α - β)

A = cosαax+ senαay B = cosβax+ senβay

1.3-4. Si A es un vector constante y r es el vector que va desde el origen al punto (u1,u2,u3), demostrar que

(r-A).A = 0 es la ecuación de un plano. 1.3-5. Con A y r definidos como en el problema 1.3-4, demostrar que

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(r-A).r = 0 es la ecuación de una esfera. 1.3-6. Dados los vectores

A = 3ax+ 4ay + az B = 2ay - 5az

encontrar el vector an unitario y perpendicular en el sentido dextrógiro al plano definido por A y B. Determinar el ángulo θAB. 1.3-7. Las puntas de tres vectores A, B y C dibujados desde el origen determinan un plano. Encontrar la menor distancia entre ese plano y el origen. 1.3-8. En relación al problema 1.3-7, demostrar que el vector

(AxB) + (BxC) + (CxA) es perpendicular al plano que determinan las puntas de los vectores. 1.4-1. Dado el campo vectorial

F = xy2zax + x2yzay + xyz2az encontrar la componente del campo que es normal a una esfera de radio r. 1.4-2. Dado el campo vectorial

G = (x+y2) ax + xz ay + (z2 + zy) az a) Encontrar, en coordenadas cartesianas, la componente del campo que tiene la dirección φ. b) En el punto (8,30°,60°) encontrar en coordenadas cartesianas el vector que tiene la dirección φ. 1.4-3. Un campo vectorial en coordenadas mixtas viene dado por

G = ρcosφ ax + rsenθsenφ ay + z az Expresar G en coordenadas esféricas.