teoría errores de redondeo y aritmética de un computador
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1.- ALGUNOS CONCEPTOS
(1) Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional entre un conjunto finito
de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida.
(2) Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, exime de ambigüedades, seguidas en
su orden lógico nos conduce a la solución de un problema específico
(3) Método numérico: Procedimiento para transformar un problema matemático en
numérico y resolver este último.
El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el problema
matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y el de salida.
Los pasos a seguir son:
1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución.
2. Aproximación:
Crear una solución para un número finito de valores existencia y unicidad
Estabilidad y convergencia
3. Resolución:
Elección de un algoritmo numérico.
Elección del algoritmo: Costo y estabilidad Codificación del algoritmo
Ejecución del programa
2.- FUENTE Y PROPAGACIÓN DE ERRORES
Sistemas numéricos. Aritmética del computador. Fuentes de errores. Errores de redondeo y discretización. Propagación de errores. Estabilidad e inestabilidad numérica.
3.- SISTEMAS NUMÉRICOS
Los sistemas numéricos más antiguos son: Babilónico: base 60 Romano: (I, V, X, L, C, D y M) Hindú y árabe: decimal El extendido uso del sistema decimal oculta la existencia de otros sistemas numéricos: Binario: base 2 Octal: base 8 Hexadecimal: base 16
SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
Nombre Abrev. Factor Valor
kilo K 210 1024
mega M 220 1048576
giga G 230 1073741824
tera T 240 1099511627776
peta P 250 1125899906842624
exa E 260 1152921504606846976
zetta Z 270 1180591620717411303424
yotta Y 280 1208925819614629174706176
bronto B 290 1237940039285380274899124224
geop Ge 2100 1267650600228229401496703205376
4.- Teoría Errores de redondeo y aritmética de un computador
El cálculo numérico es aquel aplicado a métodos obtiene resultados numéricos que se
aproximan a resultados exactos.
Estos resultados pueden ser hallados con la precisión que se desee o precisando márgenes
de error.
Los Métodos numéricos se utilizan para resolver problemas que presentan dificultad para
hallar soluciones por métodos analíticos tradicionales.
Los métodos numéricos proporcionan una sucesión de valores que se aproximan a una
solución del problema.
¿Cómo podemos representar un número racional?
Un numero racional se puede expresar en forma decimal. Se da a menudo el caso que hace
falta una cantidad infinita de cifras.
13
= 0,333333,… Ec (1)
13
= 0,3 Ec (2)
Podemos abreviar la Ec (2) por la serie
S= (0,3)+(0,03)+(0,003)+(0,0003)+…
S= (3*10-1)+(3*10-2) +(3*10-3) +(3*10-4)+...
S=310
+3100
+31000
+3
10000+…
S=∑K=1
∞
3(10)−K=13
Si usamos una cantidad finita de cifras, entonces obtenemos una aproximación de 13
Por Ejemplo
13= (0,3)+(0,03)+(0,003)+Xerror
13= (3*10-1)+(3*10-2) +(3*10-3) + Xerror
13=
310+
3100+
31000+ Xerror
13=
3331000+ Xerror
13-3331000 = Xerror
Xerror = 1000−9993000
Xerror = 13000
El error de aproximación es 13000 , podemos comprobar que:
13=0,333+ 1
3000 = 3331000+
13000
5.- Notación Científica
Una forma estándar de representar un numero real muy grande o muy pequeño, es llamado “Notación Científica”. Consiste en desplazar la coma decimal a la vez una potencia de base diez adecuada. El numero entero que multiplica la potencia diez debe estar entre 1 y 9.
Ejemplo
(1) 0,0000747 = 7,47x10-5
(2) 31,4159265 = 3,14159265x10+1
(3) 9700000000 =97x10+9
ARITMETICA DE LA COMPUTADORA
Los errores surgen al usar calculadoras o computadoras para cálculos de números reales,
la aritmética de la maquina sólo utiliza números con cantidades finitas de cifras.
Los cálculos se realizan únicamente con una cantidad aproximadas de cifras .
La computadora solo usa un sub-conjunto relativamente pequeño del sistema de los
números reales.
En 1985 el Instituto for Electrical and Electronic Engineers, IEEE (Instituto para
Ingenieros Eléctricos y Electrónicos) público un informe llamado Binary Floating Point
Aritmetic Standard 744-1985. Especificaron formatos para precisiones simple, doble y
extendida; en general los fabricantes de microcomputadoras utilizaban los estándares para
el hardware de punto flotante..
Las computadoras no usan sistema decimal en calculo ni en memoria, usan sistema
Binario.
Se precisan formatos para las precisiones simples, dobles y extendidas.
Los fabricantes de microcomputadoras utilizan estas especificaciones para el harware de
punto flotante.
Este sistema de memoria que utiliza el computador consiste en un enorme número de
registros magnéticos y electrónicos, en los que cada elemento tiene los estados “encendido”
y “apagado”.
Si examinamos el lenguaje de la maquina utiliza otros lenguajes como Octal y Hexadecimal
(estos son parientes del binario).
El sistema Hexadecimal proporciona el uso más eficiente en el espacio de memoria de la
maquina.
6.- RANGO DE LAS CONSTANTES NUMERICAS
Las constates numéricas que se usan en los programas se clasifican en tres categorías:
(a) Números Enteras
(b) Números Reales
(c) Números Complejas
En el lenguaje de programación no siempre se puede manipular de manera directa los números
complejos. Las constantes que se usan en los programas son decimales a menos que se
indique lo contrario
En cuanto a la mayor o menor longitud de un numero real que se puede representar en una
computadora varía de acuerdo al diseño del hardware como también del software utilizado.
RANGO APROXIMADO
En la IBM PC, la diferencia entre 1 y el menor número mayor que uno (1) pero distinguible es
1,19x10 -7 este intervalo se llama épsilon de la maquina.
El intervalo entre cualquier número real y el siguiente
(épsilon de la maquina) x R R= número real
PC IBM 2,9x10-39 hasta 1,7x10 38
IBM 70 5,4x10-79 hasta 7,2x10 75
FORTRAN IB 231-1 hasta -(231-1 )
7.- NUMEROS DENTRO DEL HARDWARE DE LA MAQUINA
Las formas que se usan los bits para valores enteros de puntos flotantes varían de acuerdo
al uso de la computadora
Se utiliza los digitos o signos “1” y “0” y su base es dos.
Bit : del ingles Binary diglt, representa el digito binario. Además, el bit es la unidad mínima
de información empleada en la teoría de información. Representa el elemento de memoria
que consta de las posiciones de “encendido” y “ apagado”, a la manera de un dispositivo
semiconductor o punto magnético en una superficie de registro.
Byte u Octeto: Es un conjunto de 8 bits. Formalmente es una secuencia de 8 bits
contiguos, cuyo tamaño depende del código del información o caracteres que se esté
usando.
1 BYTE ___________8 Byts
8.- PRECISION DE LAS VARIABLES EN LA COMPUTADORA
Existen variantes del sistema de numeración binario
Binario puro: Solamente se puede representar por enteros positivos.
Signo Magnitud: El bit más significativo representa el signo (0= +) y el (1= -) y los (n-1)
números restantes representan el valor absoluto del numero.
El computador almacene una cantidad binaria tal como:
X ≈ ± q x 2 n
Donde : ± , el signo se representa con 1 para (-) y 0 para ( +)
q , representa la mantisa
2, es la base de binario
N, es el exponente que llamaremos también característica
Complemento a la Base Disminuida: En los números negativos cada dígito se escribe como
[d]b = (b − 1) − (di)b
Complemento a la Base: [N]b de un número (N)b se define como:
[N]b = bn − (N)b,
donde, n es el número de dígitos de (N)b
En 1985 el Instituto for Electrical and Electronic Engineers, IEEE (Instituto para
Ingenieros Eléctricos y Electrónicos) público un informe llamado Binary Floating sobre
formatos standard. Los formatos para representar números cortos 2 Bytes es decir 16 bytes ,
puntos flotantes y de precisión simple con 4 Bytes o 32 bits y con doble precisión con 8
Bytes, es decir 64 bits
Los números se distribuyen de forma exponencial en la recta real
(−1)S2E−127(1 + 0.F) (−1)S 2 E−1023 (1 + 0.F)donde, S representa el bit de signo, E el exponente y F la parte fracción binaria del número.
Enteros cortos
Shorts
2 Bytes 16 bits Signo
1bit
4 exponente o
característica
11 la mantisa 3 cifras
Enteros
Largos
Precisión
Simple
4 Bytes 32 bits Signo
1bit
8 exponente o
característica
23 la mantisa 7 cifras
Enteros
Puntos
Flotantes
Float
4 Bytes 32 bits Signo
1bit
8 exponente o
característica
23 la mantisa 7 cifras
Precisión
Doble
Double
Precisión
8 Bytes 64 bits Signo
1bit
11 exponente o
característica
52 la mantisa 16 cifras
Los resultados que en valor absoluto son menores que el valor mínimo que soporta se les
llaman underflows, mientras los mayores que están por el máximo se le llaman overflows.
9.- ERRORES
Los métodos numéricos presentan errores inevitables, por lo tanto se debe considerar tal
situación como algo inherente al cálculo numérico.
LAS FUENTES DE ERRORES
En datos de entrada
En los códigos
Temperamento del computador “El programa no quiere correr”.
Cuantización del sistema de numeración de redondeo o de truncamiento.
2(13
) –(23
)≠0,6666666- 0,6666667= -0,0000001
Aproximación de los algoritmos
ex =∑n=0
∞xn
n!≈∑n=0
∞xn
n!
(9.1) ERROR ABSOLUTO:
Definición 1.1. Si p ∈Rn, y p es una aproximación p (, se define el Error absoluto como:
Eabs = |p−p|
En forma práctica puede representarse el valor verdadero con V v y el valor aproximado conV a
esto es por el excesivo uso de la ( en este material, por lo tanto, el error absoluto también
puede definirse como la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado y se
representarse por:
Eabs = |V v−V a|
Ejemplo 1.1.
Sea la cantidad exacta 5 y el número aproximado 5,3. Sea la cantidad exacta 2 y el número
aproximado 2,1.
Solución
Sea la cantidad exacta 5 y el número aproximado 5,3. El error absoluto es: 0,3.
Sea la cantidad exacta 2 y el número aproximado 2,1. El error absoluto es: 0,1
Luego: 5 – 2 1 3; diferencia entre las cantidades exactas.
5,3 – 2,1 = 3,2; diferencia entre las cantidades aproximadas.5 – 2 = 3,0; diferencia entre los errores absolutos.
El error absoluto de la diferencia es 0,2, y 0,3 es el mayor error absoluto de uno de susTérmino
Eabs = |5−5,3| = 0,3
Eabs = |2−2,1| = 0,1
Eabs = |3−3,2| = 0,2
Ejemplo 1.2.
Sean: 8, 2 y 10 los números exactos y su suma: 8 +2 + 10 = 20
Sean: 8,2; 2,1 y 10,2 los números aproximados y su suma: 8,2 + 2,1 + 10,2 = 20,5.
Hallar el error absoluto.
Solución
Eabs = |V v−V a| = |20 – 20,5| = 0,5
La suma algebraica de los errores absolutos es: 0,2 + 0,1 + 0,2 = 0,5
Ejemplo 1.3.Sea el resultado de una operación en donde se comprueba que el valor exacto es 8 y El valor
aproximado hallado es 8,2. Calcular el error absoluto.
Solución
Eabs = |V v−V a| = | 8 – 8,2 | = 0,2
(9.1.1)Cota del Error Absoluto
m es una cota del error absoluto si: m > 0 y |V v−V a| ≤ m
(9.2) ERROR RELATIVO:
Definición 1.2. Si p ∈Rn, y p es una aproximación p (, se define el Error relativo como:
ER = |p−p|
|p| |p|≠0
En forma práctica, el error relativo se define como el cociente entre en error absoluto y el
valor verdadero, se representa por:
ER = |V v−V a|
|vv| |vv|≠0
(9.2.1)Cota del Error Relativo
m es una cota del error relativo si: m > 0 y |V v−V a|
|vv| ≤ m; m,vv≠0
Teorema 1.
El error relativo de una suma de varios números aproximados está situado entre el menor y el
mayor de los errores relativos de los sumandos, mientras tales números presenten errores
relativos del mismo sentido.
Ejemplo 1.4.
Sean: 2, 10 y 5 los números exactos y sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados
respectivamente.
Solución
Sean: 2, 10 y 5 los números exactos y su suma: 2 +10 + 5 = 17
Sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados y su suma: 2,1 + 10,2 + 5,3 = 17,6
El error absoluto de la suma es: Eabs = |17 – 17,6| = 0,6
El error relativo de la suma es: Er =¿17 –17,6∨ ¿
¿17∨¿¿¿
= 0,617 = 0,035294
Ejemplo 1.5.
Solución
Sean: 5 y 10 los números exactos (verdaderos) y sean 5,3 y 10,2 los números aproximados,
respectivamente.
Solución
Sean: 5, 10 los números exactos y su suma: 10 + 5 = 15
Sean: 5,3; 10,2 y su suma: 5,3 + 10,2 = 15,5
El error absoluto : Eabs = |15 –15,5|
El error relativo es: Er =|15 –15,5|¿15∨¿¿ =
0,515 = 0,0333
El error relativo entre 5 y 5,3 es: Er =|5 –5,5|¿5∨¿¿ =
0,55 = 0,01
El error relativo entre 10 y 10,2 es: Er =|10 –10,2|¿10∨¿¿ =
0,210 = 0,02
Luego: 0,01 + 0,02 =003
(9.3) ERRORES INHERENTES
Estos errores se deben principalmente a aquellos datos obtenidos experimentalmente y que
corresponden a los datos de entrada de un problema, debido principalmente al instrumento de
medición empleado, como a las condiciones de realización del experimento.
(9.4) ERRORES DE TRUNCAMIENTO
Estos errores son originados por aproximación de soluciones analíticas de un determinado
problema por medio de métodos numéricos. Por medio de la serie de Taylor se evalúa la
función exponencial, que dicho sea de paso, es una serie infinita. Siendo imposible tomar todos
los términos de la serie, se requiere cortar o truncar dicha serie después de cierto número de
términos. Esta situación introduce a un error, que es el error de truncamiento, que depende del
método numérico empleado e independiente de la manera de realizar los cálculos.
Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usara ya
que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tendera a cortar el numero de
términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se
supone es exacta).
(9.5) ERROR NUMÉRICO TOTAL
El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el cálculo. Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan
que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por
otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación,
disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente
mayor error de redondeo).
Entonces, que criterio debemos utilizar…?. Lo ideal sería determinar el punto en que los
errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento.
En la práctica se debe considerar que actualmente las computadoras tienen un manejo de
cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza
enormemente, aunque no se debe dejar de considerar su aporte al error total.
(9.6) ERRORES DE REDONDEO
Estos errores se presentan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico
requieren y se deben a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones
aritméticas como productos y cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de
cifras que permita el instrumento de cálculo, normalmente, una calculadora.
En este tipo de error existen dos situaciones que pueden perjudicar la precisión de la operación
y son:
a- Cuando se suman una sucesión de números, especialmente si estos decrecen en
valor absoluto.
b- Cuando se halla la diferencia entre dos números casi idénticos, ya que se cancelan los
dígitos principales.
Cuando las cantidades estudiadas pertenecen a los números irracionales las calculadoras y los
computadores cortan los números decimales introduciendo así un error de redondeo. Para
ilustrar,
Ejemplo 1.7
El valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito.
83
Si se corta el numero en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) se está
obteniendo u error de E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008...
Sin embargo, considerando que el numero que seguia al corte era mayor que 5, entonces
conviene dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error seria solo de
E = 2.718281828 -2.71828183 = -0.000000002. , que en términos absolutos es mucho menor
que el anterior.
En general, el error de corte producido por las computadoras será muy inferior al error
introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.
Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo
puede tener incidencia importante en el cálculo final.
Ejemplo 1.8.
Redondea los siguientes números a tres dígitos significativos:
a) 27,0670 b) 37,23 c) 7,415
Solución
a) 27,0670 = 27,1 b) 37,23 = 37,2 c) 7,415 = 7,42
Ejemplo 1.9.
Redondea las siguientes cantidades a números enteros:
a) 23,617 b) 237,21 c) 7,5
Solución
a) 23,617 = 24 b) 237,21 = 237 c) 7,5 = 8
Ejemplo 1.10.
Redondea las siguientes cantidades a dos cifras decimales:
a) 57,2367 b) 0,789 c) 92,3341
Solución
a) 57,2367 = 57,24 b) 0,789 = 0,79 c) 92,3341 = 92,33
(9.7) ERROR PORCENTUAL
Este tipo de error consiste simplemente en el error relativo expresado en por ciento %. Se
expresa matemáticamente por:
E% =ERx100% = |V v−V a|
|vv| 100% |vv|≠0
REDONDEO TRUNCADO
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras
significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí se redondea37
a cuatro cifras significativas
se tiene 0.4285.
REDONDEO SIMÉTRICO
El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra
descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada está entre 0 y 4. Por
ejemplo sí se redondea 37 a 4 cifras significativas tenemos 0.4286.
Para verificar estos dos tipos de errores, se realiza la siguiente operación:
37+47 = 1
Empleando únicamente 4 cifras significativas y usando los dos tipos de redondeo.
Se obtiene:
0.4285 + 0,5714 = 0.9999 “Redondeo truncado”
0.4286 + 0.5714 = 1.0000 “Redondeo simétrico”
Se concluye que por lo general el redondeo simétrico lleva a resultados más precisos.
Y=P1(x)= f(a)+ f´(a)(x-a)
Y = f(x)
APROXIMACIONES POR LA SERIE DE TAYLOR
Una función puede aproximarse cerca de un punto a mediante una recta tangente a través de
un punto (a, (a)). Llamemos esta recta la aproximación Lineal a f cerca de a
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y
x, entonces el valor de la función esta dado por:
x
y
a
f(a)(a,f(a))
x
1 2
y
f(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)22!
+…+f´´´´(a)(x−a)3
3 ! +f Iv (a)
(x−a)4
4 ! +f v (a)
(x−a)5
5 !+…f n
(x−a)n
n!
Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xi
expresando la serie de Taylor como:
Después de estudiar la serie de Taylor hagamos algunos ejemplos que ilustren la definición.
Ejemplo1.11
Calcule P 1 (x) con base (alrededor) a=1 para f(x) = Ln(x) y uselo para aproximar Ln(0,9) y
Ln(1.5).
Observe que la función Logaritmo cumple con las condiciones dirigidas a aproximaciones
analíticas
(a) f(x) es continua es continua en [ a,b]
(b) Diferenciable en las sus n+1 derivada
Condiciones que cumple la función logaritmo, así que se puede representar en la
representación del polinomio de Taylor de orden =2 con base a=1
f(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)2
2 !+…+f´´´´(a)
(x−a)3
3 ! +f Iv (a)
(x−a)4
4 ! +f v (a)
(x−a)5
5 !+…f n(x−a)
n
n!
Orden F(x) = ln(x) Evaluada en x=1 F(1) =Ln(1)= 0
Orden 1F´(x) =
1x
Evaluada en x=1F´(1)=
11
= 1
Orden 2F´´(x) =
−1x2
Evaluada en x=1F´´(x) =
−112
=-1
Por tanto la representación del polinomio de Taylor de la función alrededor de a=1 es
P(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)2
2 !
P2(x) = 0 +1(x-1)- 1 (x−1)2
4
Ln(x)≅ (x-1)-(x−1)2
2
Para calcular aproximación de Ln (0,9)
(1) Utilizando calculadora Ln(0,9)= -0,105360515
(2) Utilizando la aproximación de la serie Taylor:
Ln(0,9))≅ (0.9-1) -(0.9−1)2
2
Ln (0,9))≅ (-0,1) -(−0,1)2
2 = -0,1 –
0,0012
=- 0,1005
(a) Si buscamos el error absoluto, debemos aplicar la siguiente fórmula:
Eabs = |V v−V a|
El error tomando 4 cifras significativas
Eabs =|−0,1053−(−0,1005)|= |-0,0048| = 0,0048
Eabs = 0,0048
(b) Si buscamos el error Relativo, debemos aplicar la siguiente fórmula
ER = |V v−V a|
|vv| |vv|≠0
ER = E|¿||v v|
¿
ER = 0 ,00480 ,1053
ER = 0,0455
( c ) Finalmente, si buscamos el error porcentual, utilizamos la siguiente formula:
E% =ERx100% = |V v−V a|
|vv| 100%
E% =0,0455 100%
E% =4,55 %
Cuando a=0, el polinomio de Taylor de orden n se simplifica como un polinomio de
Mac claurin particularmente útil cerca de x=0.
Ejemplo 1.12
Calcular la función sen(x)=2 por métodos numéricos y hallar su error absoluto, el error relativo
y el error porcentual. Considera el cálculo para seno de x para S 4 mediante su serie de Taylor.
La serie de Taylor de la función seno es:
Vemos cual es la condición necesaria para hacer una aproximación por la serie de Taylor
f(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)2
2 !+…+f´´´´(a)
(x−a)3
3 ! +f Iv (a)
(x−a)4
4 ! +f v (a)
(x−a)5
5 !+…f n(x−a)
n
n! Alrededo de a=0
Orden F(x) = sen(x) Evaluada en x=1 F(x) = sen(1) = 0
Orden 1 F´(x) = cos(x) Evaluada en x=1 F´(x) = cos(1)= 1
Orden 2 F´´(x)= -sen(x) Evaluada en x=1 F´´(x)= -sen(1)= 0
Orden 3 F´´´(x)=-cos(x) Evaluada en x=1 F´´´(x)= -cos(1)= -1
Orden 4 Flv(x)= sen(x) Evaluada en x=1 Flv(x)= sen(1)= 0
Orden 5 Fv(x)= cos(x) Evaluada en x=1 Flv(x)= cos(1) = 1
Orden 6 Fvl(x)= sen(x) Evaluada en x=1 Flv(x)= -sen(1)= 0
Orden 7 Fvll(x)= cos(x) Evaluada en x=1 Flv(x)= -cos(1) = - 1
P4(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)2
2 !+ f´´´(a)
(x−a)3
3 ! + flv(a)
(x−a)4
4 ! + flv(a)
(x−a)5
5 !
+flv(a) (x−a)6
6 !+ flv(a)
(x−a)7
7 !
P4(x)= 0+1(x-0) + 0 (x−0)2
2 !-1
(x−0)3
3 ! + 0
(x−0)4
4 ! +1
(x−0)5
5 !- 1
(x−0)7
7 !
P4(x)= 0+1x -1 (x )3
6 + 1 (x )
5
120-1 (x )
7
840
Para calcular aproximación de sen(2)
(1) Utilizando calculadora sen(2) = 0,034899496
(2) Utilizando la aproximación de la serie Taylor:
Sen (2) ≅ 0+1(2) -1 (2)3
6 + 1 (2)
5
120 -1 (2)7
5040
≅ 2-1,33333 + 0,266666−0,02540≅ 0,90796
vv=0,03489Va= 0 ,90796
(a) Calcular el error absoluto tomando 5 cifras significativas, debemos aplicar la siguiente fórmula:
Eabs = |V v−V a| = |0 ,034899−0 ,90796|=0 ,87307
(b) Calcular el error absoluto tomando 5 cifras significativas, debemos aplicar la siguiente fórmula:
ER = |V v−V a|
|vv| = =
0 ,873070,90796
= ER = 0,961573
( C ) Calcular el error porcentual tomando 5 cifras significativas, debemos aplicar la siguiente fórmula:
E% =ERx100% = |V v−V a|
|vv| 100 %
E% =0,961573x100% =96,157%
Conclusión:
Al comparar los resultados hallados en los ejemplos 2.10 y 2.11, se verifica que la precisión del
valor hallado es consistente con el valor real o verdadero, sin embargo se nota que con una
sola iteración mas, la precisión aumentó enormemente, pasando de un error porcentual de
4,56% , que puede considerarse valor totalmente apropiado para la función buscada. Cada
caso presenta situaciones particulares, puede suceder que, como en el caso 2.11, con muy
pocas iteraciones se pueda conseguir un resultado óptimo; sin embargo hay otros casos
similares en que no sucede tal cosa.
ESTABILIDAD Y CONDICIÓN
Los algorítmos numéricos debe dar resultados precisos y exactos. Estabilidad: Un algoritmo
es estable si cambios pequeños en los datos iniciales producen cambios pequeños en los
resultados
Condición: Algunos algoritmos son estables solamente para un conjunto de condiciones
iniciales. Estos algoritmos son condicionalmente estables
Crecimiento del error: Si ϵ 0 denota el error inicial y ϵ n el error después de n iteraciones,
decimos que el error crece:
Linealmente si ϵ n ≈ knϵ 0
Exponencialmente si ϵ n≈ knϵ 0 Hay que evitarlo Por lo general es inevitable el
crecimiento lineal del error.