teoria grafurilor ˘si combinatoric astaff.fmi.uvt.ro/~mircea.marin/lectures/tgc/l-01ro.pdf · 6...
TRANSCRIPT
Teoria Grafurilor si CombinatoricaCurs 1: Introducere.
Principii de numarare. Aranjamente, permutari si combinari
octombrie 2018
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Scopul cursului
Familiarizare cu notiunile de baza din combinatorica si teoriagrafurilor
Cuprins
1 Principii de numarare, permutari si combinari2 Metode de enumerare, principiul incluziunii si excluziunii3 Combinari4 Structura ciclica a permutarilor. Tehnici avansate de numarare5 Teoria lui Polya de numarare6 Notiuni fundamentale de teoria grafurilor7 Retele de transport8 Tipuri si structuri de date pentru grafuri9 Arbori: definitii, generare, arbori de cost minim
10 Drumuri, circuite, cai si cicluri11 Problema comis-voiajorului. Grafuri planare12 Colorarea grafurilor. Teoria lui Ramsey13 Cuplaje
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aspecte organizatorice
Curs: Mircea MarinSeminar: Mircea Marin & Gatina Claudiu
Pagina web:https://staff.fmi.uvt.ro/~mircea.marin/lectures/TGC
Material de curs: disponibil din pagina web
Evaluare: 50% proba scrisa (examen final), 50% seminar
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Descrierea primului curs
Principii fundamentale de numarare
Regula produsuluiRegula sumeiDemonstratii combinatoriale; exemple
Tehnici de numarare pentru
combinari - selectii neordonate de elemente distincte din omultime finitapermutari - selectii ordonate de elemente distincte din omultime finita
Generalizari
permutari cu repetitiecombinari cu repetitiepermutari cu elemente nediferentiate
Numere binomiale si multinomiale
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Principii fundamentale de numarare1. Regula produsului
Regula produsului. Daca o procedura poate fi descompusa ın o secventade 2 proceduri astfel ıncat
prima se poate efectua ın n1 feluria doua se poate efectua ın n2 feluri
atunci exista n1 · n2 feluri de a efectua acea procedura.
Regula generalizata a produsului. Daca o procedura poate fi descompusaın o secventa de m proceduri astfel ıncat
prima se poate efectua ın n1 feluria doua se poate efectua ın n2 feluri. . .a m-a se poate efectua ın nm feluri
atunci exista n1 · n2 · . . . · nm feluri de a efectua aceaprocedura.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Principii fundamentale de numarare1. Regula produsului
Regula produsului. Daca o procedura poate fi descompusa ın o secventade 2 proceduri astfel ıncat
prima se poate efectua ın n1 feluria doua se poate efectua ın n2 feluri
atunci exista n1 · n2 feluri de a efectua acea procedura.
Regula generalizata a produsului. Daca o procedura poate fi descompusaın o secventa de m proceduri astfel ıncat
prima se poate efectua ın n1 feluria doua se poate efectua ın n2 feluri. . .a m-a se poate efectua ın nm feluri
atunci exista n1 · n2 · . . . · nm feluri de a efectua aceaprocedura.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(1) O companie are 12 birouri si 2 angajati: Gheorghe si Ion. Incate feluri se pot aloca birouri diferite celor doi angajati?
Raspuns
Alocarea se poate descompune ın 2 operatii distincte: alocareaunui birou pentru Gheorghe, urmata de alocarea unui biroupentru Ion.Exista 12 alternative pentru prima operatie, deoarece sunt 12birouri ın total.Exista 11 alternative pentru operatia a doua, deoarece biroulalocat lui Gheorghe nu mai este liber.
⇒ conform regulii produsului, sunt 12 · 11 = 132 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(1) O companie are 12 birouri si 2 angajati: Gheorghe si Ion. Incate feluri se pot aloca birouri diferite celor doi angajati?
Raspuns
Alocarea se poate descompune ın 2 operatii distincte: alocareaunui birou pentru Gheorghe, urmata de alocarea unui biroupentru Ion.Exista 12 alternative pentru prima operatie, deoarece sunt 12birouri ın total.Exista 11 alternative pentru operatia a doua, deoarece biroulalocat lui Gheorghe nu mai este liber.
⇒ conform regulii produsului, sunt 12 · 11 = 132 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(1) O companie are 12 birouri si 2 angajati: Gheorghe si Ion. Incate feluri se pot aloca birouri diferite celor doi angajati?
RaspunsAlocarea se poate descompune ın 2 operatii distincte: alocareaunui birou pentru Gheorghe, urmata de alocarea unui biroupentru Ion.
Exista 12 alternative pentru prima operatie, deoarece sunt 12birouri ın total.Exista 11 alternative pentru operatia a doua, deoarece biroulalocat lui Gheorghe nu mai este liber.
⇒ conform regulii produsului, sunt 12 · 11 = 132 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(1) O companie are 12 birouri si 2 angajati: Gheorghe si Ion. Incate feluri se pot aloca birouri diferite celor doi angajati?
RaspunsAlocarea se poate descompune ın 2 operatii distincte: alocareaunui birou pentru Gheorghe, urmata de alocarea unui biroupentru Ion.Exista 12 alternative pentru prima operatie, deoarece sunt 12birouri ın total.
Exista 11 alternative pentru operatia a doua, deoarece biroulalocat lui Gheorghe nu mai este liber.
⇒ conform regulii produsului, sunt 12 · 11 = 132 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(1) O companie are 12 birouri si 2 angajati: Gheorghe si Ion. Incate feluri se pot aloca birouri diferite celor doi angajati?
RaspunsAlocarea se poate descompune ın 2 operatii distincte: alocareaunui birou pentru Gheorghe, urmata de alocarea unui biroupentru Ion.Exista 12 alternative pentru prima operatie, deoarece sunt 12birouri ın total.Exista 11 alternative pentru operatia a doua, deoarece biroulalocat lui Gheorghe nu mai este liber.
⇒ conform regulii produsului, sunt 12 · 11 = 132 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(1) O companie are 12 birouri si 2 angajati: Gheorghe si Ion. Incate feluri se pot aloca birouri diferite celor doi angajati?
RaspunsAlocarea se poate descompune ın 2 operatii distincte: alocareaunui birou pentru Gheorghe, urmata de alocarea unui biroupentru Ion.Exista 12 alternative pentru prima operatie, deoarece sunt 12birouri ın total.Exista 11 alternative pentru operatia a doua, deoarece biroulalocat lui Gheorghe nu mai este liber.
⇒ conform regulii produsului, sunt 12 · 11 = 132 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(2) Intr-o sala de laborator, scaunele sunt numerotate cu o literamare urmata de un numar ıntre 1 si 50. Cate scaune pot finumerotate diferit ın felul acesta?Se presupune ca sunt 26 litere mari.
Raspuns
Problema poate fi descompusa ın o secventa de 2 subprobleme:prima este alegerea unei litere din cele 26 posibile, iarurmatoarea este alegerea unui numar din cele 50 posibile.conform regulii produsului, exista 26 · 50 = 1300 variante.
(3) Cate siruri diferite de 7 biti exista?
Raspuns
Fiecare din cei 7 biti poate fi ales ın 2 feluri: 0 sau 1.⇒ conform regulii produsului, exista 27 = 128 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(2) Intr-o sala de laborator, scaunele sunt numerotate cu o literamare urmata de un numar ıntre 1 si 50. Cate scaune pot finumerotate diferit ın felul acesta?Se presupune ca sunt 26 litere mari.
Raspuns
Problema poate fi descompusa ın o secventa de 2 subprobleme:prima este alegerea unei litere din cele 26 posibile, iarurmatoarea este alegerea unui numar din cele 50 posibile.conform regulii produsului, exista 26 · 50 = 1300 variante.
(3) Cate siruri diferite de 7 biti exista?
Raspuns
Fiecare din cei 7 biti poate fi ales ın 2 feluri: 0 sau 1.⇒ conform regulii produsului, exista 27 = 128 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(2) Intr-o sala de laborator, scaunele sunt numerotate cu o literamare urmata de un numar ıntre 1 si 50. Cate scaune pot finumerotate diferit ın felul acesta?Se presupune ca sunt 26 litere mari.
RaspunsProblema poate fi descompusa ın o secventa de 2 subprobleme:prima este alegerea unei litere din cele 26 posibile, iarurmatoarea este alegerea unui numar din cele 50 posibile.
conform regulii produsului, exista 26 · 50 = 1300 variante.
(3) Cate siruri diferite de 7 biti exista?
Raspuns
Fiecare din cei 7 biti poate fi ales ın 2 feluri: 0 sau 1.⇒ conform regulii produsului, exista 27 = 128 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(2) Intr-o sala de laborator, scaunele sunt numerotate cu o literamare urmata de un numar ıntre 1 si 50. Cate scaune pot finumerotate diferit ın felul acesta?Se presupune ca sunt 26 litere mari.
RaspunsProblema poate fi descompusa ın o secventa de 2 subprobleme:prima este alegerea unei litere din cele 26 posibile, iarurmatoarea este alegerea unui numar din cele 50 posibile.conform regulii produsului, exista 26 · 50 = 1300 variante.
(3) Cate siruri diferite de 7 biti exista?
Raspuns
Fiecare din cei 7 biti poate fi ales ın 2 feluri: 0 sau 1.⇒ conform regulii produsului, exista 27 = 128 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(2) Intr-o sala de laborator, scaunele sunt numerotate cu o literamare urmata de un numar ıntre 1 si 50. Cate scaune pot finumerotate diferit ın felul acesta?Se presupune ca sunt 26 litere mari.
RaspunsProblema poate fi descompusa ın o secventa de 2 subprobleme:prima este alegerea unei litere din cele 26 posibile, iarurmatoarea este alegerea unui numar din cele 50 posibile.conform regulii produsului, exista 26 · 50 = 1300 variante.
(3) Cate siruri diferite de 7 biti exista?
Raspuns
Fiecare din cei 7 biti poate fi ales ın 2 feluri: 0 sau 1.⇒ conform regulii produsului, exista 27 = 128 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(2) Intr-o sala de laborator, scaunele sunt numerotate cu o literamare urmata de un numar ıntre 1 si 50. Cate scaune pot finumerotate diferit ın felul acesta?Se presupune ca sunt 26 litere mari.
RaspunsProblema poate fi descompusa ın o secventa de 2 subprobleme:prima este alegerea unei litere din cele 26 posibile, iarurmatoarea este alegerea unui numar din cele 50 posibile.conform regulii produsului, exista 26 · 50 = 1300 variante.
(3) Cate siruri diferite de 7 biti exista?
Raspuns
Fiecare din cei 7 biti poate fi ales ın 2 feluri: 0 sau 1.⇒ conform regulii produsului, exista 27 = 128 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(2) Intr-o sala de laborator, scaunele sunt numerotate cu o literamare urmata de un numar ıntre 1 si 50. Cate scaune pot finumerotate diferit ın felul acesta?Se presupune ca sunt 26 litere mari.
RaspunsProblema poate fi descompusa ın o secventa de 2 subprobleme:prima este alegerea unei litere din cele 26 posibile, iarurmatoarea este alegerea unui numar din cele 50 posibile.conform regulii produsului, exista 26 · 50 = 1300 variante.
(3) Cate siruri diferite de 7 biti exista?
RaspunsFiecare din cei 7 biti poate fi ales ın 2 feluri: 0 sau 1.
⇒ conform regulii produsului, exista 27 = 128 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsului
(2) Intr-o sala de laborator, scaunele sunt numerotate cu o literamare urmata de un numar ıntre 1 si 50. Cate scaune pot finumerotate diferit ın felul acesta?Se presupune ca sunt 26 litere mari.
RaspunsProblema poate fi descompusa ın o secventa de 2 subprobleme:prima este alegerea unei litere din cele 26 posibile, iarurmatoarea este alegerea unui numar din cele 50 posibile.conform regulii produsului, exista 26 · 50 = 1300 variante.
(3) Cate siruri diferite de 7 biti exista?
RaspunsFiecare din cei 7 biti poate fi ales ın 2 feluri: 0 sau 1.
⇒ conform regulii produsului, exista 27 = 128 variante.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor dintre 2 multimi finite
(4) Cate functii sunt de la o multime cu m elemente la o multimecu n elemente?
Raspuns f : {a1, . . . , am} → {b1, . . . , bn}
Definirea unei astfel de functii poate fi descompusa ın m etapeindependente: ın etapa i se fixeaza valoarea lui f (ai )Etapa i are n posibilitati, deoarece putem alege pentru f (ai )orice valoare din multimea {b1, . . . , bn}
⇒ conform regulii produsului, numarul de functii esten · . . . · n︸ ︷︷ ︸
m ori
= nm
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor dintre 2 multimi finite
(4) Cate functii sunt de la o multime cu m elemente la o multimecu n elemente?
Raspuns f : {a1, . . . , am} → {b1, . . . , bn}Definirea unei astfel de functii poate fi descompusa ın m etapeindependente: ın etapa i se fixeaza valoarea lui f (ai )
Etapa i are n posibilitati, deoarece putem alege pentru f (ai )orice valoare din multimea {b1, . . . , bn}
⇒ conform regulii produsului, numarul de functii esten · . . . · n︸ ︷︷ ︸
m ori
= nm
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor dintre 2 multimi finite
(4) Cate functii sunt de la o multime cu m elemente la o multimecu n elemente?
Raspuns f : {a1, . . . , am} → {b1, . . . , bn}Definirea unei astfel de functii poate fi descompusa ın m etapeindependente: ın etapa i se fixeaza valoarea lui f (ai )Etapa i are n posibilitati, deoarece putem alege pentru f (ai )orice valoare din multimea {b1, . . . , bn}
⇒ conform regulii produsului, numarul de functii esten · . . . · n︸ ︷︷ ︸
m ori
= nm
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor dintre 2 multimi finite
(4) Cate functii sunt de la o multime cu m elemente la o multimecu n elemente?
Raspuns f : {a1, . . . , am} → {b1, . . . , bn}Definirea unei astfel de functii poate fi descompusa ın m etapeindependente: ın etapa i se fixeaza valoarea lui f (ai )Etapa i are n posibilitati, deoarece putem alege pentru f (ai )orice valoare din multimea {b1, . . . , bn}
⇒ conform regulii produsului, numarul de functii esten · . . . · n︸ ︷︷ ︸
m ori
= nm
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor injective dintre 2 multimi finite
(5) Cate functii injective sunt de la o multime cu m elemente la omultime cu n elemente?[Observati ca trebuie sa avem m ≤ n.]
Raspuns: descompunem problema ın n subprobleme distincte
Presupunem ca f : {a1, a2, . . . , am} → {b1, b2, . . . , bn}Exista n cai de alegere a valorii luif (a1) ∈ {b1, . . . , bn}.Exista n − 1 cai de alegere a valorii luif (a2) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1)}....Exista n − (m − 1) cai de alegere a valorii luif (am) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1), . . . , f (am−1)}.
⇒ conform regulii produsului, exista n · (n − 1) · . . . · (n −m + 1)astfel de functii.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor injective dintre 2 multimi finite
(5) Cate functii injective sunt de la o multime cu m elemente la omultime cu n elemente?[Observati ca trebuie sa avem m ≤ n.]
Raspuns: descompunem problema ın n subprobleme distincte
Presupunem ca f : {a1, a2, . . . , am} → {b1, b2, . . . , bn}Exista n cai de alegere a valorii luif (a1) ∈ {b1, . . . , bn}.Exista n − 1 cai de alegere a valorii luif (a2) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1)}....Exista n − (m − 1) cai de alegere a valorii luif (am) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1), . . . , f (am−1)}.
⇒ conform regulii produsului, exista n · (n − 1) · . . . · (n −m + 1)astfel de functii.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor injective dintre 2 multimi finite
(5) Cate functii injective sunt de la o multime cu m elemente la omultime cu n elemente?[Observati ca trebuie sa avem m ≤ n.]
Raspuns: descompunem problema ın n subprobleme distincte
Presupunem ca f : {a1, a2, . . . , am} → {b1, b2, . . . , bn}
Exista n cai de alegere a valorii luif (a1) ∈ {b1, . . . , bn}.Exista n − 1 cai de alegere a valorii luif (a2) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1)}....Exista n − (m − 1) cai de alegere a valorii luif (am) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1), . . . , f (am−1)}.
⇒ conform regulii produsului, exista n · (n − 1) · . . . · (n −m + 1)astfel de functii.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor injective dintre 2 multimi finite
(5) Cate functii injective sunt de la o multime cu m elemente la omultime cu n elemente?[Observati ca trebuie sa avem m ≤ n.]
Raspuns: descompunem problema ın n subprobleme distincte
Presupunem ca f : {a1, a2, . . . , am} → {b1, b2, . . . , bn}Exista n cai de alegere a valorii luif (a1) ∈ {b1, . . . , bn}.
Exista n − 1 cai de alegere a valorii luif (a2) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1)}....Exista n − (m − 1) cai de alegere a valorii luif (am) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1), . . . , f (am−1)}.
⇒ conform regulii produsului, exista n · (n − 1) · . . . · (n −m + 1)astfel de functii.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor injective dintre 2 multimi finite
(5) Cate functii injective sunt de la o multime cu m elemente la omultime cu n elemente?[Observati ca trebuie sa avem m ≤ n.]
Raspuns: descompunem problema ın n subprobleme distincte
Presupunem ca f : {a1, a2, . . . , am} → {b1, b2, . . . , bn}Exista n cai de alegere a valorii luif (a1) ∈ {b1, . . . , bn}.Exista n − 1 cai de alegere a valorii luif (a2) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1)}.
...Exista n − (m − 1) cai de alegere a valorii luif (am) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1), . . . , f (am−1)}.
⇒ conform regulii produsului, exista n · (n − 1) · . . . · (n −m + 1)astfel de functii.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor injective dintre 2 multimi finite
(5) Cate functii injective sunt de la o multime cu m elemente la omultime cu n elemente?[Observati ca trebuie sa avem m ≤ n.]
Raspuns: descompunem problema ın n subprobleme distincte
Presupunem ca f : {a1, a2, . . . , am} → {b1, b2, . . . , bn}Exista n cai de alegere a valorii luif (a1) ∈ {b1, . . . , bn}.Exista n − 1 cai de alegere a valorii luif (a2) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1)}....Exista n − (m − 1) cai de alegere a valorii luif (am) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1), . . . , f (am−1)}.
⇒ conform regulii produsului, exista n · (n − 1) · . . . · (n −m + 1)astfel de functii.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea functiilor injective dintre 2 multimi finite
(5) Cate functii injective sunt de la o multime cu m elemente la omultime cu n elemente?[Observati ca trebuie sa avem m ≤ n.]
Raspuns: descompunem problema ın n subprobleme distincte
Presupunem ca f : {a1, a2, . . . , am} → {b1, b2, . . . , bn}Exista n cai de alegere a valorii luif (a1) ∈ {b1, . . . , bn}.Exista n − 1 cai de alegere a valorii luif (a2) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1)}....Exista n − (m − 1) cai de alegere a valorii luif (am) ∈ {b1, . . . , bn} − {f (a1), . . . , f (am−1)}.
⇒ conform regulii produsului, exista n · (n − 1) · . . . · (n −m + 1)astfel de functii.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea submultimilor unei multimi finite
(6) Numarul de submultimi al unei multimi finite S = {a1, a2, . . . , an}este 2n.
DemonstratiePentru fiecare submultime B a lui A definim sirul de bitib1b2 . . . bn cu
bi =
{1 daca ai ∈ B0 daca ai 6∈ B
Numarul de submultimi al lui A coincide cu numarul de siruridistincte de biti b1 . . . bnDefinirea a unui sir de biti de lungime n se poate descompuneın n subprobleme distincte: subproblema i fixeaza valoareabitului bi
⇒ conform regulii produsului, exista 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸n ori
= 2n astfel de siruri.
⇒ numarul de submultimi al unei multimi S cu n elemente este 2n.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea submultimilor unei multimi finite
(6) Numarul de submultimi al unei multimi finite S = {a1, a2, . . . , an}este 2n.
Demonstratie
Pentru fiecare submultime B a lui A definim sirul de bitib1b2 . . . bn cu
bi =
{1 daca ai ∈ B0 daca ai 6∈ B
Numarul de submultimi al lui A coincide cu numarul de siruridistincte de biti b1 . . . bnDefinirea a unui sir de biti de lungime n se poate descompuneın n subprobleme distincte: subproblema i fixeaza valoareabitului bi
⇒ conform regulii produsului, exista 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸n ori
= 2n astfel de siruri.
⇒ numarul de submultimi al unei multimi S cu n elemente este 2n.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea submultimilor unei multimi finite
(6) Numarul de submultimi al unei multimi finite S = {a1, a2, . . . , an}este 2n.
DemonstratiePentru fiecare submultime B a lui A definim sirul de bitib1b2 . . . bn cu
bi =
{1 daca ai ∈ B0 daca ai 6∈ B
Numarul de submultimi al lui A coincide cu numarul de siruridistincte de biti b1 . . . bnDefinirea a unui sir de biti de lungime n se poate descompuneın n subprobleme distincte: subproblema i fixeaza valoareabitului bi
⇒ conform regulii produsului, exista 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸n ori
= 2n astfel de siruri.
⇒ numarul de submultimi al unei multimi S cu n elemente este 2n.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea submultimilor unei multimi finite
(6) Numarul de submultimi al unei multimi finite S = {a1, a2, . . . , an}este 2n.
DemonstratiePentru fiecare submultime B a lui A definim sirul de bitib1b2 . . . bn cu
bi =
{1 daca ai ∈ B0 daca ai 6∈ B
Numarul de submultimi al lui A coincide cu numarul de siruridistincte de biti b1 . . . bn
Definirea a unui sir de biti de lungime n se poate descompuneın n subprobleme distincte: subproblema i fixeaza valoareabitului bi
⇒ conform regulii produsului, exista 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸n ori
= 2n astfel de siruri.
⇒ numarul de submultimi al unei multimi S cu n elemente este 2n.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea submultimilor unei multimi finite
(6) Numarul de submultimi al unei multimi finite S = {a1, a2, . . . , an}este 2n.
DemonstratiePentru fiecare submultime B a lui A definim sirul de bitib1b2 . . . bn cu
bi =
{1 daca ai ∈ B0 daca ai 6∈ B
Numarul de submultimi al lui A coincide cu numarul de siruridistincte de biti b1 . . . bnDefinirea a unui sir de biti de lungime n se poate descompuneın n subprobleme distincte: subproblema i fixeaza valoareabitului bi
⇒ conform regulii produsului, exista 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸n ori
= 2n astfel de siruri.
⇒ numarul de submultimi al unei multimi S cu n elemente este 2n.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea submultimilor unei multimi finite
(6) Numarul de submultimi al unei multimi finite S = {a1, a2, . . . , an}este 2n.
DemonstratiePentru fiecare submultime B a lui A definim sirul de bitib1b2 . . . bn cu
bi =
{1 daca ai ∈ B0 daca ai 6∈ B
Numarul de submultimi al lui A coincide cu numarul de siruridistincte de biti b1 . . . bnDefinirea a unui sir de biti de lungime n se poate descompuneın n subprobleme distincte: subproblema i fixeaza valoareabitului bi
⇒ conform regulii produsului, exista 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸n ori
= 2n astfel de siruri.
⇒ numarul de submultimi al unei multimi S cu n elemente este 2n.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii produsuluiNumararea submultimilor unei multimi finite
(6) Numarul de submultimi al unei multimi finite S = {a1, a2, . . . , an}este 2n.
DemonstratiePentru fiecare submultime B a lui A definim sirul de bitib1b2 . . . bn cu
bi =
{1 daca ai ∈ B0 daca ai 6∈ B
Numarul de submultimi al lui A coincide cu numarul de siruridistincte de biti b1 . . . bnDefinirea a unui sir de biti de lungime n se poate descompuneın n subprobleme distincte: subproblema i fixeaza valoareabitului bi
⇒ conform regulii produsului, exista 2 · . . . · 2︸ ︷︷ ︸n ori
= 2n astfel de siruri.
⇒ numarul de submultimi al unei multimi S cu n elemente este 2n.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Principii fundamentale de numarare2. Regula sumei
Regula sumei. Daca o procedura se poate efectua ın 2 feluri, pentru feluli sunt ni variante, si nici una din variantele de primul felnu coincide cu vreo varianta de felul 2, atunci existan1 + n2 variante de a efectua procedura.
Regula generalizata a sumei. Presupunem ca o procedura poate fiefectuata ın m feluri, pentru felul i sunt ni variante, sivariantele efectuate ın feluri diferite sunt diferite. Atunciexista n1 + n2 + . . . + nm variante de a efectua procedurarespectiva.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Principii fundamentale de numarare2. Regula sumei
Regula sumei. Daca o procedura se poate efectua ın 2 feluri, pentru feluli sunt ni variante, si nici una din variantele de primul felnu coincide cu vreo varianta de felul 2, atunci existan1 + n2 variante de a efectua procedura.
Regula generalizata a sumei. Presupunem ca o procedura poate fiefectuata ın m feluri, pentru felul i sunt ni variante, sivariantele efectuate ın feluri diferite sunt diferite. Atunciexista n1 + n2 + . . . + nm variante de a efectua procedurarespectiva.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Principii fundamentale de numarare2. Regula sumei
Regula sumei. Daca o procedura se poate efectua ın 2 feluri, pentru feluli sunt ni variante, si nici una din variantele de primul felnu coincide cu vreo varianta de felul 2, atunci existan1 + n2 variante de a efectua procedura.
Regula generalizata a sumei. Presupunem ca o procedura poate fiefectuata ın m feluri, pentru felul i sunt ni variante, sivariantele efectuate ın feluri diferite sunt diferite. Atunciexista n1 + n2 + . . . + nm variante de a efectua procedurarespectiva.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii sumei
(1) Un student trebuie sa aleaga un proiect de programare din 3liste. Prima lista contine 9 proiecte, a doua 8, iar a treia 12.Nici un proiect nu apare ın mai multe liste. Cate proiecteposibile exista?
Raspuns
Proiectul poate fi ales independent din una din cele 3 listeDeoarece nici un project nu apare ın mai multe liste, putemaplica regula sumei ⇒ 9 + 8 + 12 = 29 posibilitati.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii sumei
(1) Un student trebuie sa aleaga un proiect de programare din 3liste. Prima lista contine 9 proiecte, a doua 8, iar a treia 12.Nici un proiect nu apare ın mai multe liste. Cate proiecteposibile exista?
Raspuns
Proiectul poate fi ales independent din una din cele 3 listeDeoarece nici un project nu apare ın mai multe liste, putemaplica regula sumei ⇒ 9 + 8 + 12 = 29 posibilitati.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii sumei
(1) Un student trebuie sa aleaga un proiect de programare din 3liste. Prima lista contine 9 proiecte, a doua 8, iar a treia 12.Nici un proiect nu apare ın mai multe liste. Cate proiecteposibile exista?
RaspunsProiectul poate fi ales independent din una din cele 3 liste
Deoarece nici un project nu apare ın mai multe liste, putemaplica regula sumei ⇒ 9 + 8 + 12 = 29 posibilitati.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aplicatii ale regulii sumei
(1) Un student trebuie sa aleaga un proiect de programare din 3liste. Prima lista contine 9 proiecte, a doua 8, iar a treia 12.Nici un proiect nu apare ın mai multe liste. Cate proiecteposibile exista?
RaspunsProiectul poate fi ales independent din una din cele 3 listeDeoarece nici un project nu apare ın mai multe liste, putemaplica regula sumei ⇒ 9 + 8 + 12 = 29 posibilitati.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.
Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.
Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Probleme mai complexe de numarare
Multe probleme de numarare nu pot fi rezolvate folosind doar regulasumei sau doar regula produsului, ınsa pot fi rezolvate daca folosimambele reguli.
Exemple
(1) Se stie ca o parola este un sir ıntre 6 si 8 caractere lungime, si cafiecare caracter este fie o litera mare sau o cifra zecimala. Fiecareparola contine cel putin o cifra. Cate parole posibile sunt?
Raspuns
Fie P numarul total de parole, si P6, P7 si P8 numarul deparole cu lungimea 6, 7, sau 8.Conform regulii sumei, P = P6 + P7 + P8.Calculul lui Pm pentru m ∈ {6, 7, 8}, se poate face astfel:
Fie Wm numarul de siruri de litere mari si cifre cu lungimea m.Conform regulii produsului, Wm = (26 + 10)m = 36m
Fie Nm numarul de siruri de litere mari cu lungimea m.Conform regulii produsului, Nm = 26m.
Se observa usor ca Pm = Wm − Nm (explicati de ce!).
⇒ P = W6−N6+W7−N7+W8−N8 = 366−266+367−267+368−268.Teoria Grafurilor si Combinatorica
Exemple mai complexe de numarare
(2) In cate feluri putem alege 2 carti scrise ın limbaje diferitedintr-o colectie de 5 carti scrise ın romana, 9 scrise ın engleza,si 10 ın germana?
Raspuns
R&E = 5× 9 = 45 cf. regulii produsuluiR&G = 5× 10 = 50 cf. regulii produsuluiE&G = 9× 10 = 90 cf. regulii produsului
⇒ 45 + 50 + 90 = 185 feluri (cf. regulii sumei).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Exemple mai complexe de numarare
(2) In cate feluri putem alege 2 carti scrise ın limbaje diferitedintr-o colectie de 5 carti scrise ın romana, 9 scrise ın engleza,si 10 ın germana?
Raspuns
R&E = 5× 9 = 45 cf. regulii produsuluiR&G = 5× 10 = 50 cf. regulii produsuluiE&G = 9× 10 = 90 cf. regulii produsului
⇒ 45 + 50 + 90 = 185 feluri (cf. regulii sumei).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Demonstratii combinatoriale
O demonstratie combinatoriala este o demonstratie carefoloseste argumente de numarare, precum regula sumei siregula produsului pentru a demonstra ceva.
Demonstratiile ilustrate mai devreme sunt combinatoriale.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aranjamente, permutari si combinariDefinitii
Presupunem ca A este o multime finita cu n elemente.
Un aranjament de n luate cate r (sau r -permutare) al lui A este osecventa ordonata 〈a1, a2, . . . , ar 〉 de elemente distincte din A.
O permutare a lui A este un aranjament 〈a1, a2, . . . , an〉 al tuturorelementelor lui A.
O r -combinare a lui A este o submultime {a1, a2, . . . , ar} cu relemente a lui A.
Exemple
〈3, 1, 2〉 si 〈1, 3, 2〉 sunt permutari ale multimii {1, 2, 3}.〈3, 1〉 si 〈1, 2〉 sunt 2-permutari ale multimii {1, 2, 3}.2-combinarile lui {1, 2, 3} sunt submultimille {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
P(n, r) := nr. de r -permutari ale unei multimi cu n elemente.
C (n, r) := nr. de r -combinari ale unei multimi cu n elemente.Notatie alternativa:
(nr
).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aranjamente, permutari si combinariDefinitii
Presupunem ca A este o multime finita cu n elemente.
Un aranjament de n luate cate r (sau r -permutare) al lui A este osecventa ordonata 〈a1, a2, . . . , ar 〉 de elemente distincte din A.
O permutare a lui A este un aranjament 〈a1, a2, . . . , an〉 al tuturorelementelor lui A.
O r -combinare a lui A este o submultime {a1, a2, . . . , ar} cu relemente a lui A.
Exemple
〈3, 1, 2〉 si 〈1, 3, 2〉 sunt permutari ale multimii {1, 2, 3}.〈3, 1〉 si 〈1, 2〉 sunt 2-permutari ale multimii {1, 2, 3}.2-combinarile lui {1, 2, 3} sunt submultimille {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
P(n, r) := nr. de r -permutari ale unei multimi cu n elemente.
C (n, r) := nr. de r -combinari ale unei multimi cu n elemente.Notatie alternativa:
(nr
).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Aranjamente, permutari si combinariDefinitii
Presupunem ca A este o multime finita cu n elemente.
Un aranjament de n luate cate r (sau r -permutare) al lui A este osecventa ordonata 〈a1, a2, . . . , ar 〉 de elemente distincte din A.
O permutare a lui A este un aranjament 〈a1, a2, . . . , an〉 al tuturorelementelor lui A.
O r -combinare a lui A este o submultime {a1, a2, . . . , ar} cu relemente a lui A.
Exemple
〈3, 1, 2〉 si 〈1, 3, 2〉 sunt permutari ale multimii {1, 2, 3}.〈3, 1〉 si 〈1, 2〉 sunt 2-permutari ale multimii {1, 2, 3}.2-combinarile lui {1, 2, 3} sunt submultimille {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
P(n, r) := nr. de r -permutari ale unei multimi cu n elemente.
C (n, r) := nr. de r -combinari ale unei multimi cu n elemente.Notatie alternativa:
(nr
).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
PermutariCare este valoarea lui P(n, r)?
Teorema
P(n, r) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1).
Demonstratie
A = {a1, . . . , an}r -permutare = 〈p1, p2, ..., pr 〉 cu p1, p2, . . . , pr ∈ A
elemente distincte.
subprobleme distincte de selectiep1 ∈ A p2 ∈ A− {p1} . . . pr ∈ A− {p1, . . . , pr−1}
nr. de posib. n n − 1 . . . n − r + 1
⇒ P(n, r) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1) =n!
(n − r)!
Remarca. n! reprezinta produsul 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n.n! se numeste n factorial. Prin definitie, 0! = 1.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
PermutariCare este valoarea lui P(n, r)?
Teorema
P(n, r) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1).
DemonstratieA = {a1, . . . , an}r -permutare = 〈p1, p2, ..., pr 〉 cu p1, p2, . . . , pr ∈ A
elemente distincte.
subprobleme distincte de selectiep1 ∈ A p2 ∈ A− {p1} . . . pr ∈ A− {p1, . . . , pr−1}
nr. de posib. n n − 1 . . . n − r + 1
⇒ P(n, r) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1) =n!
(n − r)!
Remarca. n! reprezinta produsul 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n.n! se numeste n factorial. Prin definitie, 0! = 1.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
PermutariCare este valoarea lui P(n, r)?
Teorema
P(n, r) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1).
DemonstratieA = {a1, . . . , an}r -permutare = 〈p1, p2, ..., pr 〉 cu p1, p2, . . . , pr ∈ A
elemente distincte.
subprobleme distincte de selectiep1 ∈ A p2 ∈ A− {p1} . . . pr ∈ A− {p1, . . . , pr−1}
nr. de posib. n n − 1 . . . n − r + 1
⇒ P(n, r) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1) =n!
(n − r)!
Remarca. n! reprezinta produsul 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n.n! se numeste n factorial. Prin definitie, 0! = 1.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
PermutariCare este valoarea lui P(n, r)?
Teorema
P(n, r) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1).
DemonstratieA = {a1, . . . , an}r -permutare = 〈p1, p2, ..., pr 〉 cu p1, p2, . . . , pr ∈ A
elemente distincte.
subprobleme distincte de selectiep1 ∈ A p2 ∈ A− {p1} . . . pr ∈ A− {p1, . . . , pr−1}
nr. de posib. n n − 1 . . . n − r + 1
⇒ P(n, r) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1) =n!
(n − r)!
Remarca. n! reprezinta produsul 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n.n! se numeste n factorial. Prin definitie, 0! = 1.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari si CombinariPropertati
Teorema
P(n, r) = C (n, r)× P(r , r).
Demonstratie combinatoriala
Enumerarea r -combinarilor unei multimi cu n elemente poatefi descompusa ın o secventa de 2 activitati:
1 Se selecteaza r elemente din multimea cu n elemente2 Se aranjeaza elementele selectate.
Exista C (n, r) moduri de a selecta r elemente din o multimecu n elemente ⇒ activitatea (1) se poate face ın C (n, r)moduri.
Exista P(r , r) moduri de aranjare a celor r elemente selectate⇒ activitatea (2) se poate face ın P(r , r) moduri.
⇒ conform regulii produsului, exista P(n, r) = C (n, r)× P(r , r)moduri.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari si CombinariPropertati
Teorema
P(n, r) = C (n, r)× P(r , r).
Demonstratie combinatoriala
Enumerarea r -combinarilor unei multimi cu n elemente poatefi descompusa ın o secventa de 2 activitati:
1 Se selecteaza r elemente din multimea cu n elemente2 Se aranjeaza elementele selectate.
Exista C (n, r) moduri de a selecta r elemente din o multimecu n elemente ⇒ activitatea (1) se poate face ın C (n, r)moduri.
Exista P(r , r) moduri de aranjare a celor r elemente selectate⇒ activitatea (2) se poate face ın P(r , r) moduri.
⇒ conform regulii produsului, exista P(n, r) = C (n, r)× P(r , r)moduri.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari si CombinariPropertati
Teorema
P(n, r) = C (n, r)× P(r , r).
Demonstratie combinatoriala
Enumerarea r -combinarilor unei multimi cu n elemente poatefi descompusa ın o secventa de 2 activitati:
1 Se selecteaza r elemente din multimea cu n elemente2 Se aranjeaza elementele selectate.
Exista C (n, r) moduri de a selecta r elemente din o multimecu n elemente ⇒ activitatea (1) se poate face ın C (n, r)moduri.
Exista P(r , r) moduri de aranjare a celor r elemente selectate⇒ activitatea (2) se poate face ın P(r , r) moduri.
⇒ conform regulii produsului, exista P(n, r) = C (n, r)× P(r , r)moduri.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari si CombinariPropertati
Teorema
P(n, r) = C (n, r)× P(r , r).
Demonstratie combinatoriala
Enumerarea r -combinarilor unei multimi cu n elemente poatefi descompusa ın o secventa de 2 activitati:
1 Se selecteaza r elemente din multimea cu n elemente2 Se aranjeaza elementele selectate.
Exista C (n, r) moduri de a selecta r elemente din o multimecu n elemente ⇒ activitatea (1) se poate face ın C (n, r)moduri.
Exista P(r , r) moduri de aranjare a celor r elemente selectate⇒ activitatea (2) se poate face ın P(r , r) moduri.
⇒ conform regulii produsului, exista P(n, r) = C (n, r)× P(r , r)moduri.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari si CombinariPropertati
Teorema
P(n, r) = C (n, r)× P(r , r).
Demonstratie combinatoriala
Enumerarea r -combinarilor unei multimi cu n elemente poatefi descompusa ın o secventa de 2 activitati:
1 Se selecteaza r elemente din multimea cu n elemente2 Se aranjeaza elementele selectate.
Exista C (n, r) moduri de a selecta r elemente din o multimecu n elemente ⇒ activitatea (1) se poate face ın C (n, r)moduri.
Exista P(r , r) moduri de aranjare a celor r elemente selectate⇒ activitatea (2) se poate face ın P(r , r) moduri.
⇒ conform regulii produsului, exista P(n, r) = C (n, r)× P(r , r)moduri.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
CombinariNumararea combinarilor
C (n, r) =?
Stim ca P(n, r) = n!(n−r)!
Am demonstrat deja ca P(n, r) = C (n, r)× P(r , r)
⇒ C (n, r) =P(n, r)
P(r , r)=
n!
(n − r)!· 0!
r !=
n!
r !(n − r)!
Teoria Grafurilor si Combinatorica
CombinariNumararea combinarilor
C (n, r) =?
Stim ca P(n, r) = n!(n−r)!
Am demonstrat deja ca P(n, r) = C (n, r)× P(r , r)
⇒ C (n, r) =P(n, r)
P(r , r)=
n!
(n − r)!· 0!
r !=
n!
r !(n − r)!
Teoria Grafurilor si Combinatorica
CombinariNumararea combinarilor
C (n, r) =?
Stim ca P(n, r) = n!(n−r)!
Am demonstrat deja ca P(n, r) = C (n, r)× P(r , r)
⇒ C (n, r) =P(n, r)
P(r , r)=
n!
(n − r)!· 0!
r !=
n!
r !(n − r)!
Teoria Grafurilor si Combinatorica
CombinariNumararea combinarilor
C (n, r) =?
Stim ca P(n, r) = n!(n−r)!
Am demonstrat deja ca P(n, r) = C (n, r)× P(r , r)
⇒ C (n, r) =P(n, r)
P(r , r)=
n!
(n − r)!· 0!
r !=
n!
r !(n − r)!
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Proprietati ale combinatiilor
Teorema
C (n, r) = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r) pentru toti n > r > 0.
Demonstratie combinatoriala
Fie S = {a1, a2, . . . , an}. Exista C (n, r) moduri de a selecta relemente din S . Avem 2 cazuri distincte:
1 Selectia celor r elemente din S contine a1. Fie N1 numarul deastfel de selectii.
2 Selectia celor r elemente din S nu contine a1. Fie N2 numarulde astfel de selectii.
Conform regulii sumei, C (n, r) = N1 + N2. Insa:
N1 = C (n − 1, r − 1) deoarece N1 reprezinta numarul deselectii de submultimi de r − 1 elemente din {a2, . . . , an}N2 = C (n− 1, r) deoarece N2 reprezinta numarul de selectii desubmultimi de r elemente din {a2, . . . , an}
⇒ C (n, r) = N1 + N2 = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Proprietati ale combinatiilor
Teorema
C (n, r) = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r) pentru toti n > r > 0.
Demonstratie combinatoriala
Fie S = {a1, a2, . . . , an}. Exista C (n, r) moduri de a selecta relemente din S . Avem 2 cazuri distincte:
1 Selectia celor r elemente din S contine a1. Fie N1 numarul deastfel de selectii.
2 Selectia celor r elemente din S nu contine a1. Fie N2 numarulde astfel de selectii.
Conform regulii sumei, C (n, r) = N1 + N2. Insa:
N1 = C (n − 1, r − 1) deoarece N1 reprezinta numarul deselectii de submultimi de r − 1 elemente din {a2, . . . , an}N2 = C (n− 1, r) deoarece N2 reprezinta numarul de selectii desubmultimi de r elemente din {a2, . . . , an}
⇒ C (n, r) = N1 + N2 = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Proprietati ale combinatiilor
Teorema
C (n, r) = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r) pentru toti n > r > 0.
Demonstratie combinatoriala
Fie S = {a1, a2, . . . , an}. Exista C (n, r) moduri de a selecta relemente din S . Avem 2 cazuri distincte:
1 Selectia celor r elemente din S contine a1. Fie N1 numarul deastfel de selectii.
2 Selectia celor r elemente din S nu contine a1. Fie N2 numarulde astfel de selectii.
Conform regulii sumei, C (n, r) = N1 + N2. Insa:
N1 = C (n − 1, r − 1) deoarece N1 reprezinta numarul deselectii de submultimi de r − 1 elemente din {a2, . . . , an}N2 = C (n− 1, r) deoarece N2 reprezinta numarul de selectii desubmultimi de r elemente din {a2, . . . , an}
⇒ C (n, r) = N1 + N2 = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Proprietati ale combinatiilor
Teorema
C (n, r) = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r) pentru toti n > r > 0.
Demonstratie combinatoriala
Fie S = {a1, a2, . . . , an}. Exista C (n, r) moduri de a selecta relemente din S . Avem 2 cazuri distincte:
1 Selectia celor r elemente din S contine a1. Fie N1 numarul deastfel de selectii.
2 Selectia celor r elemente din S nu contine a1. Fie N2 numarulde astfel de selectii.
Conform regulii sumei, C (n, r) = N1 + N2. Insa:
N1 = C (n − 1, r − 1) deoarece N1 reprezinta numarul deselectii de submultimi de r − 1 elemente din {a2, . . . , an}N2 = C (n− 1, r) deoarece N2 reprezinta numarul de selectii desubmultimi de r elemente din {a2, . . . , an}
⇒ C (n, r) = N1 + N2 = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Proprietati ale combinatiilor
Teorema
C (n, r) = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r) pentru toti n > r > 0.
Demonstratie combinatoriala
Fie S = {a1, a2, . . . , an}. Exista C (n, r) moduri de a selecta relemente din S . Avem 2 cazuri distincte:
1 Selectia celor r elemente din S contine a1. Fie N1 numarul deastfel de selectii.
2 Selectia celor r elemente din S nu contine a1. Fie N2 numarulde astfel de selectii.
Conform regulii sumei, C (n, r) = N1 + N2. Insa:
N1 = C (n − 1, r − 1) deoarece N1 reprezinta numarul deselectii de submultimi de r − 1 elemente din {a2, . . . , an}N2 = C (n− 1, r) deoarece N2 reprezinta numarul de selectii desubmultimi de r elemente din {a2, . . . , an}
⇒ C (n, r) = N1 + N2 = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Proprietati ale combinatiilor
Teorema
C (n, r) = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r) pentru toti n > r > 0.
Demonstratie combinatoriala
Fie S = {a1, a2, . . . , an}. Exista C (n, r) moduri de a selecta relemente din S . Avem 2 cazuri distincte:
1 Selectia celor r elemente din S contine a1. Fie N1 numarul deastfel de selectii.
2 Selectia celor r elemente din S nu contine a1. Fie N2 numarulde astfel de selectii.
Conform regulii sumei, C (n, r) = N1 + N2. Insa:
N1 = C (n − 1, r − 1) deoarece N1 reprezinta numarul deselectii de submultimi de r − 1 elemente din {a2, . . . , an}N2 = C (n− 1, r) deoarece N2 reprezinta numarul de selectii desubmultimi de r elemente din {a2, . . . , an}
⇒ C (n, r) = N1 + N2 = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Proprietati ale combinatiilor
Teorema
C (n, r) = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r) pentru toti n > r > 0.
Demonstratie combinatoriala
Fie S = {a1, a2, . . . , an}. Exista C (n, r) moduri de a selecta relemente din S . Avem 2 cazuri distincte:
1 Selectia celor r elemente din S contine a1. Fie N1 numarul deastfel de selectii.
2 Selectia celor r elemente din S nu contine a1. Fie N2 numarulde astfel de selectii.
Conform regulii sumei, C (n, r) = N1 + N2. Insa:
N1 = C (n − 1, r − 1) deoarece N1 reprezinta numarul deselectii de submultimi de r − 1 elemente din {a2, . . . , an}N2 = C (n− 1, r) deoarece N2 reprezinta numarul de selectii desubmultimi de r elemente din {a2, . . . , an}
⇒ C (n, r) = N1 + N2 = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Exercitii
1 Dati o demonstratie algebrica, folosind formula pentruC (n, r), a faptului ca C (n, r) = C (n − 1, r − 1) + C (n − 1, r).
2 Dati o demonstratie combinatoriala a faptului caC (n, r) = C (n, n − r).
3 In cate moduri se pot alege primul, al doilea si al treileacastigator din 100 de participanti la un concurs?
4 In cate moduri se pot aseza n persoane la o masa rotunda?
5 Cate permutari ale literelor ABCDEFGH contin sirul ABC?
6 Cate siruri de biti cu lungimea n contin cifra 1 de exact r ori?
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari generalizate si combinariPermutari cu repetitie
In multe probleme de numarare se doreste folosirea repetata aunor elemente.
Permutarile si combinarile presupun ca fiecare element apare osingura data.
O r -permutare cu repetitie a unei multimi cu n elemente estean aranjament de r elemente din acea multime, ın care fiecareelement poate sa apara de mai multe ori.
Exemplu
Cate siruri cu lungimea n se pot forma cu litere mici si mari dinalfabetul latin?Raspuns: |Alfabetlatin| = 52 ⇒ 52n siruri (cf. regulii produsului)
Teorema
Numarul de r -permutari cu repetitie al unei multimi cu n elementeeste nr .
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari generalizate si combinariPermutari cu repetitie
In multe probleme de numarare se doreste folosirea repetata aunor elemente.
Permutarile si combinarile presupun ca fiecare element apare osingura data.
O r -permutare cu repetitie a unei multimi cu n elemente estean aranjament de r elemente din acea multime, ın care fiecareelement poate sa apara de mai multe ori.
Exemplu
Cate siruri cu lungimea n se pot forma cu litere mici si mari dinalfabetul latin?Raspuns: |Alfabetlatin| = 52 ⇒ 52n siruri (cf. regulii produsului)
Teorema
Numarul de r -permutari cu repetitie al unei multimi cu n elementeeste nr .
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari generalizate si combinariPermutari cu repetitie
In multe probleme de numarare se doreste folosirea repetata aunor elemente.
Permutarile si combinarile presupun ca fiecare element apare osingura data.
O r -permutare cu repetitie a unei multimi cu n elemente estean aranjament de r elemente din acea multime, ın care fiecareelement poate sa apara de mai multe ori.
Exemplu
Cate siruri cu lungimea n se pot forma cu litere mici si mari dinalfabetul latin?Raspuns: |Alfabetlatin| = 52 ⇒ 52n siruri (cf. regulii produsului)
Teorema
Numarul de r -permutari cu repetitie al unei multimi cu n elementeeste nr .
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari generalizate si combinariPermutari cu repetitie
In multe probleme de numarare se doreste folosirea repetata aunor elemente.
Permutarile si combinarile presupun ca fiecare element apare osingura data.
O r -permutare cu repetitie a unei multimi cu n elemente estean aranjament de r elemente din acea multime, ın care fiecareelement poate sa apara de mai multe ori.
Exemplu
Cate siruri cu lungimea n se pot forma cu litere mici si mari dinalfabetul latin?Raspuns: |Alfabetlatin| = 52 ⇒ 52n siruri (cf. regulii produsului)
Teorema
Numarul de r -permutari cu repetitie al unei multimi cu n elementeeste nr .
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari generalizate si combinariPermutari cu repetitie
In multe probleme de numarare se doreste folosirea repetata aunor elemente.
Permutarile si combinarile presupun ca fiecare element apare osingura data.
O r -permutare cu repetitie a unei multimi cu n elemente estean aranjament de r elemente din acea multime, ın care fiecareelement poate sa apara de mai multe ori.
Exemplu
Cate siruri cu lungimea n se pot forma cu litere mici si mari dinalfabetul latin?Raspuns: |Alfabetlatin| = 52 ⇒ 52n siruri (cf. regulii produsului)
Teorema
Numarul de r -permutari cu repetitie al unei multimi cu n elementeeste nr .
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Combinari cu repetitie
O r -combinare cu repetitie a unei multimi cu n elemente esteo selectie de r elemente din multimea respectiva, ın carefiecare element poate sa apara de oricate ori.
Q: Care este numarul r -combinarilor cu repetitie al unei multimicu n elemente?
Exemplu
In cate feluri se pot selecta 5 bancnote din o cutie cu bani carecontine bancnote de $1, $2, $5, $10, $20, $50. Presupunem ca:ordinea de selectie a bancnotelor nu conteaza; exista cel putin 5bancnote de fiecare denominatie.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Combinari cu repetitieExemplu – continuat
Cinci bancnote nu neaparat distincte = o 5-combinare cu repetitie dinmultimea {$1, $2, $5, $10, $20, $50} de tipuri de bancnote = a plasare decinci * ın sertarele cutiei de bani ilustrate mai jos:
Numarul de * ın un sertar reprezinta numarul de bancnote luate dinacel sertar.
⇒ Numarul de 5-combinari cu repetitie al unei multimi cu 6 elemente =
numarul de moduri de plasare a 5 * ın 6 sertare.
$1 $2 $5 $10 $20 $50cutie de bani cu 6 tipuri de bancnote
|||∗∗||∗∗∗∗∗ ∗∗∗
∗|| ∗ |∗|∗∗|∗ ∗ ∗ ∗∗
· · ·Teoria Grafurilor si Combinatorica
Combinari cu repetitie
Observatie
Fiecare plasare de 5 * ın 6 sertare posibile este descrisa unicde catre un sir de 5 * si 5 bare rosii.
In general, numarul de r -combinari cu repetitie al unei multimicu n elemente = numarul de siruri cu r * si n − 1 bare rosii.
I: In cate feluri putem aranja n − 1 bare si r *?
R: Secventa are lungimea n + r − 1
⇒ secventa are n + r − 1 pozitii⇒ trebuie sa alegem r pozitii din cele n + r − 1 care sa fie
ocupate cu *; celelalte vor fi ocupate cu bare.
Exista C (n + r − 1, r) de selectii de acest fel.
Teorema
Numarul de r -combinari cu repetitie al unei multimi cu n elementeeste C (r + n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Combinari cu repetitie
Observatie
Fiecare plasare de 5 * ın 6 sertare posibile este descrisa unicde catre un sir de 5 * si 5 bare rosii.
In general, numarul de r -combinari cu repetitie al unei multimicu n elemente = numarul de siruri cu r * si n − 1 bare rosii.
I: In cate feluri putem aranja n − 1 bare si r *?
R: Secventa are lungimea n + r − 1
⇒ secventa are n + r − 1 pozitii⇒ trebuie sa alegem r pozitii din cele n + r − 1 care sa fie
ocupate cu *; celelalte vor fi ocupate cu bare.
Exista C (n + r − 1, r) de selectii de acest fel.
Teorema
Numarul de r -combinari cu repetitie al unei multimi cu n elementeeste C (r + n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Combinari cu repetitie
Observatie
Fiecare plasare de 5 * ın 6 sertare posibile este descrisa unicde catre un sir de 5 * si 5 bare rosii.
In general, numarul de r -combinari cu repetitie al unei multimicu n elemente = numarul de siruri cu r * si n − 1 bare rosii.
I: In cate feluri putem aranja n − 1 bare si r *?
R: Secventa are lungimea n + r − 1
⇒ secventa are n + r − 1 pozitii⇒ trebuie sa alegem r pozitii din cele n + r − 1 care sa fie
ocupate cu *; celelalte vor fi ocupate cu bare.
Exista C (n + r − 1, r) de selectii de acest fel.
Teorema
Numarul de r -combinari cu repetitie al unei multimi cu n elementeeste C (r + n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Combinari cu repetitie
Observatie
Fiecare plasare de 5 * ın 6 sertare posibile este descrisa unicde catre un sir de 5 * si 5 bare rosii.
In general, numarul de r -combinari cu repetitie al unei multimicu n elemente = numarul de siruri cu r * si n − 1 bare rosii.
I: In cate feluri putem aranja n − 1 bare si r *?
R: Secventa are lungimea n + r − 1
⇒ secventa are n + r − 1 pozitii⇒ trebuie sa alegem r pozitii din cele n + r − 1 care sa fie
ocupate cu *; celelalte vor fi ocupate cu bare.
Exista C (n + r − 1, r) de selectii de acest fel.
Teorema
Numarul de r -combinari cu repetitie al unei multimi cu n elementeeste C (r + n − 1, r).
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari si combinariRezumat
Tip Repetitii Formulaadmise?
r -permutari Nu P(n, r) =n!
(n − r)!
r -combinari Nu C (n, r) =n!
r !(n − r)!r -permutari Da nr
cu repetitie
r -combinari Da C (n + r − 1, r) =(n + r − 1)!
r !(n − 1)!cu repetitie
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari cu elemente nediferentiate
Problema
Cate siruri distincte se pot obtine reordonand literele siruluiSUCCES?
SUCCES contine 2 S-uri, 2 C-uri, 1U, 1 E.
alegerea locurilor lui S-uri: C (6, 2) ⇒ 4 locuri ramase.
alegerea locurilor pentru C-uri: C (4, 2) ⇒ 2 locuri ramase.
alegerea locului pentru U: C (2, 1) ⇒ 1 loc ramas.
alegerea locului pentru E: C (1, 1).
⇒ cf. regulii produsului, numarul este
C (6, 2)× C (4, 2)× C (2, 1)× C (1, 1) =6!
2!2!1!1!
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari cu elemente nediferentiate
Problema
Cate siruri distincte se pot obtine reordonand literele siruluiSUCCES?
SUCCES contine 2 S-uri, 2 C-uri, 1U, 1 E.
alegerea locurilor lui S-uri: C (6, 2) ⇒ 4 locuri ramase.
alegerea locurilor pentru C-uri: C (4, 2) ⇒ 2 locuri ramase.
alegerea locului pentru U: C (2, 1) ⇒ 1 loc ramas.
alegerea locului pentru E: C (1, 1).
⇒ cf. regulii produsului, numarul este
C (6, 2)× C (4, 2)× C (2, 1)× C (1, 1) =6!
2!2!1!1!
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Permutari cu elemente nediferentiate
Teorema
Numarul de permutari diferite de n obiecte, dintre care n1 suntelemente nediferentiate de tip 1, n2 sunt elemente nediferentiatede tip 2, . . . , si nk sunt elemente nediferentiate de tip nk , este
n!
n1!n2! · · · nk !.
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Numere binomiale si multinomiale
Numerele binomiale sunt coeficientii cn,k din formulabinomului
(x + y)n =n∑
k=0
cn,k · xn−kyk
Numerele multinomiale sunt coeficientii cn,k1,...,kr din formula
(x1 + . . . + xr )n =n∑
k1+...+kr=n
cn,k1,...,kr · xk11 xk2
2 . . . xkrr
Exemple
(x + y)3 = 1 · x3 + 3 · x2y + 3 · x y2 + 1 · y3
(x1 + x2 + x3)2 = 1 · x21 + 1 · x2
2 + 1 · x23 +
2 · x1x2 + 2 · x1x3 + 2 · x2x3
Teoria Grafurilor si Combinatorica
Numere binomiale si multinomialeFormule de calcul
(x1 + . . . + xr )n =
n∑k1+...+kr=n
n!
k1! . . . kr !· xk1
1 xk22 . . . xkrr
Demonstratie combinatoriala
(x1 + . . . + xr )n =
n paranteze︷ ︸︸ ︷(x1 + . . . + xr ) · . . . · (x1 + . . . + xr )
In cate feluri poate fi produs monomul xk11 · . . . · xkrr ?
B Alegem k1 paranteze din care provine x1 ⇒ C (n, k1) posibilitati.
B Alegem k2 paranteze din care provine x2 ⇒ C (n− k1, k2) posibilitati.. . .
B Alegem kr paranteze din care provine xr ⇒ C (n −∑r−1
i=1 ki , kr )posibilitati.
⇒ cf. regulii produsului, nr. de aparitii al lui xk11 · . . . · xkrr ın partea
dreapta este C (n, k1)C (n − k1, k2) · . . . · C (n −∑r−1
i=1 ki , kr ) =n!
k1! . . . kr !Teoria Grafurilor si Combinatorica
Numere binomiale si multinomialeConcluzii
Pentru formula n!k1!...kr ! cu k1 + . . . + kr = n se foloseste
adesea notatia( nk1,...,kr
).
Formula binomiala este
(x + y)n =n∑
k=0
(n
k
)xkyn−k
Formula multinomiala este
(x1 + . . . + xr )n =∑
k1+...+kr=n
(n
k1, . . . , kr
)xk1
1 · . . . · xkrr
Remarca.(nk
)=( nk,n−k
)si
(x1 + x2)n =n∑
k=0
(n
k
)xk1 x
n−k2 =
∑k1+k2=n
(n
k1, k2
)xk1
1 xk22 .
Teoria Grafurilor si Combinatorica