Teoria Haosului“Un fenomen care pare a se desfășura la întâmplare, are de fapt un element de regularitate ce ar putea fi descris matematic.".”

TEORIA HAOSULUI 1 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

Proiect realizat de:Catrina DianaDocan MariaFlorea Laura

Gherghescu Ioana

Cuprins

✤ Introducere Teoria Haosului ………………………………………… pag 3

✤ Cine a inventât Teoria Haosului?……………………………………..pag 4

✤ Atractorii………………………………………………………………pag 5

✤ Principalele aspecte ale Teoriei Haosului……………………………..pag 6

✤ Fractalii………………………………………………………………..pag 7

✤ Curba lui Koch………………………………………………………..pag 8

✤ Triunghiul lui Sierpinski………………………………………………pag 9

✤ Curba lui Hilbertx………………………………………………….pag 10

✤ Buretele lui Menger…………………………………………………..pag 10

✤ Fractalii naturali………………………………………………………pag 11

✤ Efectul fluturelui ……………………………………………………..pag 12

TEORIA HAOSULUI 2 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

✤ Bibliografie ………………………………………………………….pag 13

Introducere

Teoria haosului este studiul sistemelor complexe aflate in permanenta miscare, bazate pe concepte matematice ale recursivitatii, fie sub forma unui proces recursiv, fie un set de ecuatii diferite care modifica un sistem

Numele de “Teoria haosului” provine de la faptul ca sisemele pe care teo-ria le descrie sunt aparemt dezordonate, dar teoria haosului cauta de fapt or-dinea interioara in acest aparent inamplatoare date. Teoria haosului este un

domeniu de studiu în matematică, fizică, economie și filozofie și se ocupă cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile față de conditiile inițiale. Aceasta sensibilitate mai este numita și efectul flu-turelui. Mici modificări ale condițiilor inițiale (cum ar fi rotunjirea numerelor cu care se lucrează) au ca efect rezultate haotice, facând ca anticiparea efectelor pe termen lung sa fie imposibilă. Acest lucru se întamplă chiar daca sistemele sunt deterministe, ceea ce înseamna că comportamentul lor viitor este determinat în întregime de condițiile inițiale, fără intervenția altor ele-mente aleatorii.

Cu alte cuvinte, natura deterministă a acestor sisteme nu le face predictibile. Acest comportament este cunoscut sub denumirea de “haos determinist”.

Teoria haosului porneste de la ideea ca trebuie sa cautam in natura termeni contrarii. tensiunea genrata de contradictii, de cuumulare si relaxare, de in-vatare si uitare, etc. Natura “lucreaza neliniar” si implicit haotic. De exemplu, o mica intarziere a autobuzului de dimineata poate sa strice întreg programul din aceeasi zi.

TEORIA HAOSULUI 3 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

Cine a inventat teoria haosului?

Edward Lorenz s-a nascut în 1917, în West Hartford, Connecticut. A urmat cursurile facultatii de matematica din cadrul Universitatii Harvard si si-a dat doctoratul în meteorologie la MIT, în 1948.

Lucrând ca meteorolog la MIT, Lorenz a de-scoperit, în 1963, faptul ca se poate obtine un comportament haotic doar cu trei vari-abile, demonstrând astfel ca o dinamica foarte complexa poate aparea într-un sistem foarte simplu din punct de vedere formal. Aceste observatii au condus la formularea a ceea ce se numeste efectul fluturelui, termen prezentat într-un studiu din 1972, intitulat "Previzibilitatea: poate bataia din aripi a unui fluture din Brazilia sa declanseze o tor-nada în Texas?”.

Descoperirile lui Lorenz au marcat începutul unui nou câmp de cercetare, care a avut un mare impact, nu numai asupra matemati-cilor, ci, virtual, asupra tuturor speciali-tatilor, de la biologie, la fizica si stiinte so-ciale.În meteorologie, teoria sa conduce la concluzia potrivit careia este fundamen-tal imposibil sa prevezi vremea pe o perioada mai mare de doua-trei sap-tamâni, cu un grad rezonabil de precizie.

Lorenz a observat cum mici ajustari ale valorilor de intrare (rotunjirea unor la valori, punând în loc de 0,345676, de pilda, 0,345) au generat scenarii ale vremii radical diferite fata de cazul în care s-au pastrat valorile initiale. Pe de alta parte, cercetatorul american a observat un fapt esential, o caracteristica fundamentala a sistemelor haotice: la variatii multiple a valorilor de intrare sunt favorizate anumite modele pentru rezultatele finale. Asadar, desi nu se poate prezice exact care va fi modelul final în functie de variabila modificata, anumite rezultate par a fi favorite în pofida altora. Aceste modele favorite pentru a descrie starea finala a sistemului au fost denumite de Lorenz: atrac-tori.

TEORIA HAOSULUI 4 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

Atractorii

Sistemele complexe par uneori prea haotice pentru a mai putea re-cunoaste in ele un tipar. Dar prin folosirea unor anumite tehnici, o gama larga de parametri pot fi concentrati intr-un singur punct de pe un grafic. Primii teoriticieni ai haosului au descoperit faptul ca sistemele complexe par a par-curge anumite cicluri de evenimente, chiar daca acele evenimente sunt rareori repetate si replicate exact. Reprezentarea sistemului sub forma unui grafic indica faptul ca exista o anumita stare la care sistemul incearca sa ajunga, un fel de echilibru.

Imaginati-va un oras cu 10.000 de locuitori, pentru a-i acomoda pe toti, orasul e nevoit sa construiasca 1 supermarket, 2 piscine, o biblioteca si o bis-erica. Sa presupunem ca aceasta configuratie multumeste pe toata lumea. Dar o companie va deschide o fabrica de inghetata in acest oras si va pune la dispozitie 10.000 de locuri de munca care vor atrage alti oameni. Orasul tre-buie sa se extinda rapid pentru a reusi sa ii acomodeze pe toti cei 20.000 de locuitori. Alte constructii vor fi adaugate la cele initiale, pana in clipa in care se va ajunge la un echilibru. Acest echilibru se numeste atractor.

Acum sa spunem ca in loc de a adauga 10.000 de oameni, 3.000 se vor muta si 7.000 vor ramane. Supermarket-ul are nevoie de cel putin 8.000 de clienti pentru a putea functiona. Asa ca se va inchide iar oamenii raman fara magazin. Cererea creste si o alta companie deschide un magazin in zona, sperand ca noul magazin va atrage noi oameni. Si asa si este, dar oamenii deja au hotarat ca pleaca iar noul magazin nu le schimba planurile. Magazinul e deschis timp de un an dupa care da faliment. Oamenii se muta, cererea creste, alt magazin deschis, oamenii se muta si iar nu sunt suficienti, magaz-inul se inchide iar si tot asa. Aceasta situatie reprezinta si ea un fel de echili-bru, un echilibru dinamic. Echilibrul dinamic se numeste atractor straniu. Diferenta dintre cei doi atractori e faptul ca atractorul reprezinta o stare fi-nala a sistemului, in timp ce atractorul straniu reprezinta o traiectorie pe care ruleaza sistemul de la o situatie la alta fara a ajunge la o finalitate.

Descoperirea atractorilor explica multe, dar cel mai interesant fenomen descoperit de Teoria Haosului este Auto-Similaritatea.

Un fulg de zapada este compus din molecule de apa. Aceste molecule nu au un sistem nervos sau A.D.N. care sa le spuna ce sa faca. Cum de stiu aceste molecule unde sa se duca si ce sa faca ca sa formeze o stea cu sase col-turi? Si de ce sunt diferite de fiecare data? De unde stie molecula, ce

TEORIA HAOSULUI 5 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

formeaza unul din colturile fulgului, ce model o sa urmeze celelalte molecule,

din alte colturi ale fulgului?

Principalele aspecte ale Teoriei Haosului sunt:

1. Cea mai mica schimbare a parametrilor initiali vor produce un comportament complet diferit al acelui sistem complex.

2. Principiul incertitudinii neaga acuratetea. De aceea sitiatia initiala a unui sistem complex nu poate fi determinata cu precizie, prin urmare nici evolu-tia unui sistem complex.

3. Sistemele complexe, de obicei, incearca sa ajunga intr-o anumita situatie. Acea situatie poate fi statica (Atractor) sau dinamica (Atractor Straniu).

FractaliiPentru a putea depasi aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensi-unile fractale. Cuvantul fractal provine din cuvantul fractional.

Un fractal este o structura fina la scari arbitrar de mici, este prra neregulat pentru a fi descris in limbaj geometric euclidian traditional, este autosimilar si are o definitie simpla si recursiva.

TEORIA HAOSULUI 6 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

Mai tarziu, un cercetator pe nume Feigenbaum studia bifurcatiile unei dia-grame si incerca sa isi dea seama cat de repede apar acele bifurcatii. A reusit sa isi de-a seama ca au au o viteza de aparitie constanta. El a calculat-o la 4.669. cu alte cuvinte, a descoperit scara la care diagrama devenea auto-simi-lara. Daca se micsora diagrama de 4.669 ori, ea ar fi aratat ca una din regiu-nile bifurcatiei. A decis sa studieze si celelalte ecuatii cautand un factor de scalare a lor. Spre surpriza sa, factorul de scalare era acelasi. Nu numai ca

aceasta ecuatie complicata dadea dovada de regu-laritate, dar regularitatea era identica cu cea a unei ecuatii mult mai simple. Aceasta era o descoperire revolutionara. El a descoperit ca o intreaga clasa de functii matematice se comportau in acelasi fel.

Aceasta universalitate putea sa ii ajute pe alti cerc-etatori care studiau ecuatiile haotice Structurile fractale au fost observate si in alte locuri: vasele de sange care se ramnifica, ramurile unui copac, struc-tura interna a plamanilor, graficele de la bursa, etc. Toate acestea au un singur lucru in comun: auto-similaritatea.

Cateva exemple de fractali sunt Curba lui Koch, Triunghiul lui Sierpinski, Curba lui Hilbert, Buretele lui Menger

Curba lui Koch

Un alt matematician, Helge von Koch, a creat o constructie matematica numita Curba lui Koch. Pentru a crea curba lui Koch, imaginati-va un triunghi echilat-eral. Acuma adaugati pe fiecare latura un alt triunghi echilateral si continuati sa adaugati pe fiecare din laturile triunghi-urilor un alt triunghi echilateral, ceea ce rezulta e o curba Koch. Orice parte a ei, marita, arata exact ca originalul.

TEORIA HAOSULUI 7 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

Aceasta e o figura autosimilara. Curba lui Koch prezinta un paradox intere-sant. De fiecare data cand un nou triunghi este adau-gat la figura centrala, lungimea liniei creste. Dar aria interioara a curbei lui Koch ramane mai mica decat aria unui cerc desenat in jurul triunghiului original. In esenta, este o linie de o lungime infinita ce inconjoara

o

zona finita.

Triunghiul lui Sierpinski

Probabil cel mai cunoscut fractal al tuturor tim-purilor este asa-numitul triunghi al lui Sierpinski. Modul de realizare al acestui fractal este foarte simplu: la inceput se deseneaz„ un triunghi pe care il vom diviza in patru parti egale, iar trei din-tre ele (cele din exterior) vor fi si ele divizate (folosind acelasi procedeu), procesul continuand la infinit pentru toate triunghiurile formate. In figura de mai jos este prezentata modalitatea de con-structie descrisa anterior.

O alta modalitate de realizare a acestui fractal este urmatoarea: se porneste de la un triunghi plin in care se decupeaza triunghiuri egale cu un sfert din triunghiul initial. Daca repetam la infinit acest proces, atunci vom obtine un

TEORIA HAOSULUI 8 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

fractal identic cu triunghiul lui Sierpinski (uneori, cand este realizat prin aceasta tehnica el se mai numeste si garnitura lui Sierpinski.

Pana acum totul ar parea in regula, nici o lege a matematicii nefiind incalcata. Problema a aparut atunci cand Sierpinski a incercat sa deter-mine aria pe care o ocupa acest fractal. Pe de o parte am putea crede ca aria este zero, deoarece un numar infinit de gauri ac-opera in cele din urma orice suprafata plina din triunghi. Pe de alta parte insa, la un moment dat, indepartam doar un sfert din aria ramasa, lasand mare parte inca acoperita si, deci, ori-cat de mult am repeta aceasta operatiune, intotdeauna va ra-

mane mai mult decat s-a luat. Deci aria nu ajunge niciodata zero. Acest tip de problema l-a tulburat pe Leibnitz si a ridicat dificultati matematicienilor inca din antichitate. Dar, sa vedem, totusi, cat este aria triunghiului lui Siepinski. Chiar daca intuitia sugereaza ca ea ar fi zero, exista o demonstratie care ne arata ca ea nu poate fi zero. Cu toate acestea, comunitatea matematicienilor a hotarat ca aria sa fie considerata zero, acest lucru datorandu-se in principal imposibilitatii raspunderii la intrebarea: "Daca aria nu este zero, atunci cat este?". Neputand combate acest lucru, Sierpinski si colegii lui au admis ca problema ariei infinit de mici, dar diferita de zero a fost doar "un vis urat”.

Curba lui Hilbert

Curba lui Hilbert este un exemplu de curba continua, de lungime infinita, fara autointersectii, care umple un patrat.

TEORIA HAOSULUI 9 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

Hilbert a gasit o curba care poate trece prin fiecare punct al spatiului, aceasta curba se bazeaza pe o constructie recursiva. Numim curba de ordin Hilbert de ordinul K curba curba realizata dupa urmatoarele reguli ce trece prin fiecare nod al unei grile de 2K*2K noduri si trece prin noduri vecine ale grilei.

Buretele lui Menger

Buretele Menger este un obiect fractal cu un numar infinit de cavitati descris pentru prima data de matematicianul austriac Karl Menger in 1926. Pentru a construi buretele plecam de la un sub divizat in 27 de cuburi. Eliminam cubul

central si cele 6 cuburi care au o fata comuna cu cubul central. Ramanem cu 20 de cuburi. Dupa 6 iteratii avem 64.000.000 de cuburi. Fiecare fata a bu-retelui Menger este un covor Sierpiski. Cubul are suprafata infinita dar cuprinde un volum egal cu zero!

Fractalii naturali

In natura, sunt considerati fractali muntii presarati cu stanci colturoase, corola unui arbore sau radacinile acestuia raspandite in sol in toate directiile, norii al caror contur se modifica permanent, reteaua hidrografica, valurile marii, reteaua de vase sanguine, un fulg de zapada; chiar si Universul sau parti ale sale, avand o structura neregulata, pot fi considerate fractali. Carac-teristicile fractalilor vin in contrast cu ordinea din geometria euclidiana si cu perfectiunea cristalelor din lumea fizica.

TEORIA HAOSULUI 10 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

Arborii si ferigile sunt fractali naturali care pot fi modelati usor pe calculator folosind un algoritm re-cursiv. Natura recursiva este evidenta în aceste ex-emple — o ramura a unui arbore sau o frunza a unei

ferigi este o copie în miniatura a întregului: nu identice, dar similare. O alta planta la care se poate observa usor auto-similitudinea este conopida (sau broccoli).

Efectul fluturelui

În teoria haosului, efectul fluturelui este sensibilitatea dependenței față de condițiile inițiale, în care o mică schimbare într-un loc dintr-un sistem neliniar determinist poate duce la diferențe mari într-o stare târzie. Numele efectului, in-ventat de Edward Lorenz, este derivat din exemplul teoretic de formare a unui ura-gan care este condiționat de faptul dacă un fluture îndepărtat a bătut sau nu din aripi în urmă cu mai multe săptămâni.

Una dintre principalele lecţii ale acestui efect este aceea că e imposibil sau ex-trem de greu din punct de vedere uman

TEORIA HAOSULUI 11 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA

să calculezi cu exactitate aceste schimbări. Pe de altă parte, sunt o mulţime de fluturi care roiesc liberi în lume, în sensul că există o multitudine de cauze care se combină între ele şi generează efecte multiple.separatorUneori cauza nu se dovedeşte a fi decât efectul altei cauze, care la rândul ei este efectul altei cauze şi aşa mai departe, iar savantul care ar calcula s-ar trezi că prin acest lanţ de evenimente ajunge până la potop sau la creaţie.

Un exemplu complet dependent de condițiile inițiale îl reprezintă arun-carea unei monede. Există aici două variabile: cât de repede moneda ajunge să lovească solul și viteza cu care ea se rotește în aer. Teoretic, este posibil ca aceste două variabile să fie contro-late, influențate în mod clar, reușind astfel să se stabilească pe ce parte va cădea moneda. Practic însă, e imposibil de calculat în mod conștient și exact viteza de rotație a monedei și înălțimea de la care este aruncată, lungimea drumului său până la sol. Prin urmare, greu de „citit” foarte clar rezultatul final.

Ceea ce contează, totuși, este să te bazezi cu încredere pe informația minții

subconștiente atunci când vrei rezultatul corect. Acea parte a minții care decide în mod nonconș-tient cu ce viteză arunci, de la ce înălțime și, bineînțeles, pe ce parte va ateriza moneda. Subconș-tientul știe dinainte.

Bibliografie

✤ http://ro.wikipedia.org/wiki/Efectul_fluturelui

✤ https://blogfilosofie.wordpress.com/2008/02/10/efectul-fluture/

✤ http://mariacalinescu.eu/e-business/ce-sunt-fractalii/

✤ http://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_haosului

TEORIA HAOSULUI 12 COLEGIUL NATIONAL SFANTUL SAVA