teoria ogólna tsunami jako soliton?...

TsunamiTeoria ogólna

Tsunami jako soliton?Podsumowanie

Teoretyczne podstawy modelowania tsunami

Jacek Grela

04.04.2011 / Seminarium UJ

Jacek Grela



O czym bedziemy mówic?

TsunamiTsunami - zjawisko przyrody

Teoria ogólnaRównania StokesaPrzyblizenia

SolitonyOdkrycie samotnej fali i równanie KdVInne nieliniowe modele

PodsumowaniePodsumowanieLiteratura

Jacek Grela



Zjawisko

Tsunami jako zjawisko przyrody

Tsunami to trzy fazy:I WytworzenieI PropagacjaI Załamanie przy brzegu (powódz)

Jacek Grela



Zjawisko

GeneracjaGłównie trzesienia ziemi, rzadziej wybuchy wulkanów

Teoria: Dynamika płyt tektonicznychJacek Grela



Zjawisko

Propagacja

Teoria: Ruch falowyJacek Grela



Zjawisko

Run-up

The Great Wave Off Kanagawa, Hokusai XIX w.

Teoria: Metody numeryczne głównie

Jacek Grela



Zjawisko

Wystepowanie i skutki

‘04 na Oceanie Indyjskim: 250 tys. ofiar’11 w Japonii: 20 tys. ofiar

Jacek Grela



Równania StokesaPrzyblizenia

Równania Stokesa

Stokes 1847 - wychodzimy z równan Eulera (niescisliwa,nielepka ciecz):

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0 (1)

ρ(∂u∂t

+ u · ∇u)

=

00−ρg

−∇p (2)

ρ = const → ∇ · u = 0

∇× u = 0→ u = ∇φ

Jacek Grela




Warunki brzegowe

-10-5

0 5

10 -10

-5

0

5

10

-600-500-400-300-200-100

0 100

Z

η (x,y,t)h(x,y,t)

X

Y

Z

Jacek Grela




Równania

∇2φ = 0 dla − h(x , y) < z < η(x , y , t)∇φ · ∇(z + h(x , y)) = 0 dla z = −h(x , y)∂tη + ∂xη ∂xφ+ ∂yη ∂yφ = ∂zφ dla z = η(x , y , t)∂tφ+ 1

2 |∇φ|2 + gη = 0 dla z = η(x , y , t)

Laplace + 3 dynamiczne równania brzegowe... wygladajaciezko.

Jacek Grela




Przyblizenie

Wprowadzamy parametry:

α =ad

β =

(dλ

)2

Gdzie: a− amplituda, d − głebokosc zbiornika, λ− długosc fali.Antycypujemy tez pewna predkosc fali v

Jacek Grela




Za pomoca tych wielkosci wprowadzamy zmiennebezwymiarowe:

x → λx , y → λy , z → dz, t → λv t

η → aη, h→ dh, φ→ gaλv φ

Przeskalowane równania:

β(φxx + φyy ) + φzz = 0 dla − h(x , y) < z < η(x , y , t)β(φxhx + φyhy ) + φz = 0 dla z = −h(x , y)βηt + αβ(φxηx + φyηy ) = φz dla z = αη(x , y , t)βφt + 1

2αβ(φ2x + φ2

y ) + 12αφ

2z + gη = 0 dla z = αη(x , y , t)

Jacek Grela




Dla tsunami rozpatruje sie przyblizenie α→ 0 (mała amplituda)i β → 0 (płytki zbiornik). Zakładamy ruch wzdłuz x i stałoscpodłoza h(x , y) = d . Równania:

φzz(x , z, t) + φxx(x , z, t) = 0 (3)φz(x , z = −d , t) = 0 (4)

ηt(x , z = 0, t) = ψz(x , z = 0, t) (5)ψt(x , z = 0, t) = −gη(x , z = 0, t) (6)

Poszukujemy rozwiazania periodycznego:

φ(x , z, t) = A(z)ei(ωt−kx) (7)

Nie znamy k , ω ani A(z).

Jacek Grela




Po rachunku otrzymujemy rozwiazania:

η = aei(ωt−kx−π2 ) (8)

ψ =ag cosh(k(d + z))

ω cosh(kd)ei(ωt−kx−π2 ) (9)

z (nieliniowa!) relacja dyspersji:

ω2 = gk tanh(kd) (10)

Jacek Grela




Nawet tak prosty model ma nietrywialna zaleznosc ω(k).Jednak przyblizymy konsekwentnie kd << 1 (z β → 0):

ω2 = gdk2 (11)

Uzyskalismy stała zaleznosc dyspersyjna - a posteriori mamywiec spełnione równanie falowe:

ηtt = v2ηxx (12)

Jacek Grela




Pierwsze przyblizenie - teoria liniowaPodsumowujac, w pierwszym przyblizeniu uzyskalismy teorieliniowa z relacja dyspersji:

v =√

gd

Taka teoria dobrze opisuje tsunami:1. fala zwalnia przy brzegu - dobrze!2. brak dyspersji - fala sie nie rozmyje z czasem!

Jacek Grela




Wady teorii liniowej1. brak dyspersji2. brak mechanizmu ’nachodzenia fal’

Prawdziwe tsunami zachowuje sie troche inaczej - przykład ’04.

Jacek Grela



Historia solitonu i KdVInne nieliniowe modele

Krótka historia solitonuZ pomoca przychodzi John Scott Russell, który w 1834 roku nakanale w Edynburgu

zauwaza niezwykle dziwna fale

Zaciekawiony jej samotnoscia i stabilnoscia zaczyna ja badac(solitary wave).

Jacek Grela




Teoria zjawiska i dalsze losy

1895 Korteweg, de Vries

∂tη + 6η∂xη + ∂xxxη = 0 (13)

Lata 1834 - 1965 : ok. 20 artykułów1965: Kruskal i Zabusky uzyskali wazny wynik dotyczacy KdV

Jacek Grela




A co z tsunami?

Równania Stokesa dla kolejnych wyrazów przyblizeniawzgledem α i β odtwarzaja równanie KdV.

ηt + v(1 +3η2d

)ηx +vd2

6ηxxx = 0

Jak wyglada podstawowe rozwiazanie?

η(x , t) = a sech2

(√3a4d3 (x − νt)

), ν = v

(1 +

a2d

)

Jacek Grela




Własnosci równania KdV

η(x , t) = a sech2

(√3a4d3 (x − νt)

), ν = v

(1 +

a2d

)Wazne własnosci rozwiazan i równania KdV:

I fala w 2DI propagacja fali w jedna stroneI ν proporcjonalne do aI dyspersja zahamowana nieliniowosciaI nieskonczona liczba całek ruchuI mozliwosc obliczenia energii

Jacek Grela




Kruskal i Zabusky dowiedli wazna własnosc równania KdV:

f (0)→ N-soliton + zanikajacy ogon

Jacek Grela




Ta teoria wyjasnia lepiej np. tsunami ‘04 ale takze Chile 1960

Jacek Grela




Inne modele nieliniowe

Równania Stokesa mozna tez w inny sposób aproksymowac:I Boussinesq (pierwsza próba wyjasnienia fal Russella)

ηtt − ηxx −(

12η

2 + ηxx

)xx

= 0

I Kadomtsev–Petviashvili (uogólnienie KdV na dwa wymiary)

(ηt + ηηx + e2ηxxx)x ± ηyy = 0

I oraz inne

Jacek Grela



PodsumowanieLiteratura

Podsumujmy

I Dowiedzielismy sie czym jest tsunamiI Jaka teoria opisuje to zjawiskoI Poznalismy podstawowe przyblizenia stosowane w

praktyce

Teoria solitonów to oczywiscie cos wiecej niz woda:I fale akustyczne w ciele stałymI fale w plazmieI solitony optyczneI model neuronu

Jacek Grela




Literatura

I Tsunami and Nonlinear Waves , A. Kundu 2007I A Modern Introduction to the Mathematical Theory of

Water Waves , R.S. Johnson 1997I The Versatile Soliton, A.T. Filippov 2000I Dynamics of tsunami waves , F. Dias, D. DutykhI Explaining the physics of tsunamis to undergraduate

and non-physics students , G. Margaritondo 2005

Jacek Grela




Dziekuje za uwage!

Jacek Grela

teoria ogólna tsunami jako soliton?...

Documents