Teorija elementarnih cestica

Voja Radovanovic

Beograd, 2013.

Contents

1 Simetrija prostor-vremena 41.1 Lorencova grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Poenkareova grupa - nehomogene Lorencove transformacije . . . . . . . . . . . . 111.3 Vignerov metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Unutrasnje simetrije; kvark model 202.1 Klasifikacija interakcija i cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 SU(2) i izospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Stranost, hipernaboji,...; zakoni odrzanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Osmostruko svrstavanje hadrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 SU(n) tenzori i Jungove seme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 SU(3) kvark model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8.1 ω − φ mesanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.9 Sest kvarkova i veca simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.10 Dopunski kvanatni broj: boja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.11 Sta su elementarne cestice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Klasicna teorija polja 503.1 Ojler-Lagranzeve jednacine kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Hamiltonova formulacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Neterina teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4 Fazna invarijantnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5 Translaciona invarijantnost i tenzor energije impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6 Lorencova simetrija i uglovni moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7 Neterina teorema u analitickoj mehanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Kalibraciona (gradijentna, gauge) simetrija 664.1 Cestica u elektromagnetnom polju, lokalna simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 Neabelova kalibraciona simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1

5 Spontano narusenje simetrije 745.1 Spontano narusenje diskretne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2 Spontano narusenje abelova simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Goldstonova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4 Higsov mehanizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Slabe interakcije 836.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 Vajlove jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3 Maseno vektorsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7 Standardni model elektroslabih interakcija 907.1 Leptonski sektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2 Higsov mehanizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.3 Interakcija leptona sa gauge poljima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.4 Mase leptona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.5 Rezime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8 Elektroslaba interakcija kvarkova 1018.1 Mase kvarkova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.2 Naelektrisana kvark struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.3 Neutralna i elektromagnetna kvark struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.4 Lagranzijan standardnog modela-rezime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9 Raspadi i neki procesi u standardnom modelu 108

10 Kvantna hromodinamika 111

2

Literatura:

1. S Weinberg, Quantum Field Theory (vol I), CUP (2005)

2. D. B. Lichtenberg, Unitary Symmetry and elementary particles, Academic Press (1978)

3. H. F. Jones, Groups, Representations and Physics, (2-nd ed.), IoP (1998)

4. Greiners, Muller, Quantum Mechanics, Symmetries, Springer (2001)

5. T. Cheng, L. Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford UP (1998)

6. C. Burgess and G. Moore, The Standard Model: A Primer, CUP (2006)

7. M. Peskin and D. Schroeder, Quantum Field Theory, Addison Wesley (1995)

8. V. Radovanovic, Problem Book in Quantum Field Theory, Springer (2008)

3

1 Simetrija prostor-vremena

1.1 Lorencova grupa

Prostor Minkovskog je realan cetvorodimenzionalan prostor u kome je definisana metrika. Vek-tori polozaja u prostoru Minkovskog su

x = xµeµ =

x0

x1

x2

x3

=

ctxyz

,

gde su xµ kontravarijantne komponente vektora x u bazi

e0 =

1000

, e1 =

0100

, e2 =

0010

, e3 =

0001

.

Metrika prostora Minkovskog je

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

.

Ona sluzi za odredjivanje duzine vektora x2 = xTgx.Lorencove transformacije x′µ = Λµ

νxν ostavljaju kvadrat cetvorovektora x = xµeµ nepromen-

jen, tj. x′2 = x2 odakle slediΛTgΛ = g . (1.1)

Lorencove transformacije cine grupu O(1, 3, R). Da bi ovo pokazali potrebno ja da proverimo dasu svi aksiomi grupe zadovoljeni:1. Neka su Λ1 i Λ2 Lorencove transformacije. Primenimo prvo transformaciju Λ1 a zatim Λ2.Vektor koordinate x posle prve Lorencove transformacije prelazi u x′ = Λ1x. Ako sada primenimotransformaciju Λ2 dobicemo

x′′ = Λ2x′ = Λ2Λ1x .

Sada cemo pokazati da je Λ2Λ1 Lorencova transformacija. To se vidi direktno:

(Λ2Λ1)Tg(Λ2Λ1) = ΛT1 (ΛT

2 gΛ2)Λ1 = ΛT1 gΛ1 = g .

Ovim smo pokazali zatvorenostost.2. Jedinicni element grupe je jedinicna matrica.3. Mnozenje matrica je asocijativno, pa asocijativnost vazi i za Lorencove transformacije.4. Iz (1.1) sledi da je inverzni element Λ−1 = g−1ΛTg. On je takodje Lorencova transformacijajer je

(Λ−1)TgΛ−1 = g .

4

Time smo pokazali da Lorencove transformacije cine grupu.Uslov (1.1) u komponentnoj notaciji ima oblik

ΛµρgµνΛ

νσ = gρσ . (1.2)

Za ρ = σ = 0 iz ove jednacine slediΛµ

0gµνΛν

0 = 1 , (1.3)

odnosno (Λ0

0

)2 −3∑i=1

(Λi

0

)2= 1 . (1.4)

Odavde je (Λ00)

2 ≥ 1, odnosnoΛ0

0 ≥ 1 ili Λ00 ≤ −1 . (1.5)

Ukoliko je Λ00 ≥ 1 ovakve Lorencove transformacije ne menjaju smer vremena i nazivaju se

ortohronim Lorencovim transformacijama. Transformacije za koje je Λ00 ≤ −1 menjaju smer

vremena.Uzimanjem determinante od ΛTgΛ = g dobijamo

det Λ = ±1 . (1.6)

Zanimljivo, determinanta Lorencovih transformacija je ili 1 (prave Lorencove transformacije) ili−1.

Pod relativistickom kovarijantnoscu neke teorije podrazumeva se njena kovarijantnost ne nacelu Lorencovu grupu, vec samo na prave ortohrone Lorencove transformacijame, za koje vazi:

det Λ = 1, Λ00 ≥ 1 . (1.7)

Bustovi i rotacije zadovoljavaju ovaj uslov i ove transformacije su podgrupa cele Lorencove grupe.Vidimo da se Lorencova grupa sastoji iz cetiri dela kako je prikazano u sledecoj tabeli:

det Λ Λ00 Oznaka Naziv

+1 ≥ 1 L↑+ Prave ortohrone

+1 ≤ −1 L↓+ PT koset

−1 ≥ 1 L↑− P koset

−1 ≤ −1 L↓− T koset

• Lorencova grupa je nepovezana, sastoji se od cetiri disjunktna podskupa saglasno det Λ =±1 i vrednosti Λ0

0. Nije moguce neprekidnom transformacijom preci iz jedne komponenteu drugu. Transformacije za koje je det Λ = 1 cine podgrupu SO(1, 3, R) .

• Prave ortohrone Lorencove transformacije, L↑+ takodje cine podgrupu. Ona je invarijantnapodgrupa1, dok su druge komponente koseti.

1Za podgrupu H grupe G kaze se da je invarijantna ako

(∀g ∈ G) gHg−1 = H .

Ako grupa sem trivijalnih (same sebe i jedinicnog elementa) ne sadrzi druge invarijantne podgrupe ona se nazivaprostom. Ukoliko ni jedna invarijantna podgrupa nije Abelova grupa je poluprosta.

5

Prave orthorone Lorencove transformacije L↑+ se sastoji od rotacija i bustova. Rotacije su

Λ =

(1 00 R~n(ϕ)

), R~n(ϕ) ∈ SO(3). (1.8)

Rotacije su podgrupa Lorencove grupe. Matrica busta duz x− ose je

Λµν =

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

. (1.9)

Neke osobine Lorencove grupe:

• Elementi iz L↑+ u okolini jedinice su Λµν = δµν +ωµν ∈ L↑+. Iz ΛTgΛ = g sledi ωµν = −ωνµ

(Problem Book... ,problem 1.2). L↑+ je sestoparametarska podgrupa. Moze se pokazati daje ona Lijeva grupa.

• L↑+ je nekompaktna grupa (prostor parametara bustova je nekompaktan 0 ≤ v < c, nesadrzi limes v → c).

• L↑+ je dvostruko povezana.Grupu rotacija, SO(3) cine 3× 3 matrice R koje zadovoljavaju uslove RTR = 1 i detR =+1. SO(3) je podgrupa Lorencove grupe. Proizvoljna rotacija

Rij(ϕ,n) = cosϕδij + (1− cosϕ)ninj − sinϕεijknk (1.10)

je zadata sa uglom rotacije ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π i ortom n oko koga je izvrsena rotacija. Rota-ciona grupa je troparametarska. Prostor parametara SO(3) grupe π−kugla tj. kuglapoluprecnika π kod koje su antipodi identifikovani. Ova identifikacija je zbog

R(π,n) = R(π,−n) .

6

SO(3) je povezana i to dvostruko. Postoje dve klase puteva:

O

slika 1 slika 2

Put prikazan na slici 1 moze biti kontrakovan u tacku neprekidnom transformacijom,dok put prikazan na slici 2 ne moze. Dakle, prva fundamentalna grupa SO(3) grupeje π1(SO(3)) = Z2. Elementi Z2 su g, g2 = e, gde je e jedinicni element grupe. Uni-verzalna natkrivajuca grupa za grupu SO(3) je SU(2), tj. SO(3) = SU(2). Moze bitipokazano da za svaku visestruko povezanu grupu G postoji jedna grupa G koja je prostopovezana, homomorfna2 sa G i ne sadrzi nijednu podgrupu koja je homomorfna sa G.Ona se naziva univerzalno natkrivajucom grupom. Grupe SU(2) i SO(3) su homomorfne.Prostor parametara grupe SU(2) je trosfera, S3. Ireducibilne reprezentacije univerzalnonatkrivajuce grupe su jednoznacne, dok su ireducibilne reprezentacije SO(3) dvoznacne ilijednoznacne.

• Veza izmedju SL(2, C) i L↑+Cetvorovektoru xµ pridruzicemo hermitsku matricu X = xµσ

µ gde je σµ = (1, σ). σ =(σ1, σ2, σ3) su Paulijeve matrice. Uvescemo i σµ = (1,−σ). Matrice σµ su normalizovaneprema Tr(σµσν) = 2gµν . Matrica X je

X = X† =

(x0 + x3 x1 − ix2

x1 + ix2 x0 − x3

). (1.11)

Mnozeci X = xµσµ sa σν i uzimanjem traga dobijamo

xµ =1

2Tr(Xσµ). (1.12)

Lako se vidi da je detX = x2. Transformacije oblika

X → X ′ = SXS†

gde je S ∈ SL(2, C) ne menjaju duzinu cetvorovektora

detX ′ = detX ⇔ x′2 = x2 .

2Dve grupe G i G′ su homomorfne ako postoji preslikavanje svakog elementa grupe G u element iz G′ kojecuva mnozenje u grupi.

7

Iz X ′ = x′µσµ sledi

x′µ =1

2Tr(σµX ′)

=1

2Tr(σµSσνS

†)xν= Λµ

νxν , (1.13)

tj.

Λµν =

1

2Tr(σµSσνS

†) . (1.14)

Ovo je veza izmedju grupa SL(2, C) i L↑+. Lako se pokazuje da je

S(Λ1)S(Λ2) = S(Λ1Λ2) , (1.15)

ali je ovo preslikavanje 2 − 1; Lorencovoj transformaciji Λ odgovaraju dve matrice ±S isSL(2, C).

Grupe L↑+ i SL(2, C) su homomorfne, L↑+ = SL(2, C)/Z2. Grupa SL(2, C) je natrkrivajuca

za L↑+.

Zadatak: Proizvoljnu matricu S ∈ SL(2, C) mozemo napisana kao proizvod jedne unitarnei jedne hermitske matrice, S = UH. Neka je

S = eiθσ3/2 =

(eiθ/2 0

0 e−iθ/2

)(1.16)

unitarna matrica. Pokazati da je odgovarajuca matrica Lorencove transformacije rotacijaoko z−ose. Slicno, ako je S cisto hermitska matrica S = e−ϕσ

3/2 naci odgovarajucu matricuΛ.

• Grupa L↑+ je prosta.

Zanima nas da klasifikujemo ireducibilne reprezentacije L↑+ grupe, tj. njene univerzalnonatkrivajuce grupe SL(2, C). Prvo cemo naci algebru Lorencove grupe i to na dva nacina. Prvije u reprezentaciji klasicnog skalarnog polja. Klasicno sklarno polje se (V. Radovanovic, ProblemBook in Quantum Field Theory, Springer, 2006 zadatak 1.13) pri Lorencovim transformacijamatransformise na sledeci nacin

ϕ′(x′ = x+ δx) = ϕ(x) .

8

Varijacija forme polja je

δ0ϕ(x) = ϕ′(x)− ϕ(x) = ϕ(x− δx)− ϕ(x) = −δxµ∂µϕ

odnosno

δ0ϕ(x) = −ωµνxν∂µϕ = −1

2ωµν(xν∂µ − xµ∂ν)ϕ .

Sa druge strane je

δ0ϕ(x) = − i2ωµνMµνϕ

odakle jeMµν = i(xµ∂ν − xν∂µ) . (1.17)

Ovo su generatori Lorencove grupe u prostoru klasicnog skalarnog polja. Reprezentovali smo ihdiferencijalnim operatorima. Izracunajmo komutator izmedju dva generatora:

[Mµν ,Mρσ] = i2 [xµ∂ν − xν∂µ, xρ∂σ − xσ∂ρ] . (1.18)

Lako se vidi da je[xµ∂ν , xρ∂σ] = gνρxµ∂σ − gσµxρ∂ν , (1.19)

pa je[Mµν ,Mρσ] = i (gσµMνρ + gρνMµσ − gρµMνσ − gσνMµρ) . (1.20)

Dobili smo komutacione relacije Lorencove algebre.Drugi nacinKomutator izmedju dva generator Lorencove grupe smo nasli u konkretnoj reprezentaciji.

Izracunajmo ga sada u proizvoljnoj reprezentaciji. Element iz L↑+ ima oblik

U(Λ) = e−i2Mµνωµν ,

gde su U(Λ), odnosno Mµν element Lorencove grupe,odnosno generatori u nekoj reprezentaciji.Kako se radi o reprezentaciji to mora vaziti

U−1(Λ)U(Λ′)U(Λ) = U(Λ−1Λ′Λ) .

Uzmimo da je transformacijiaΛ′ = I + ω′

infinitezimalna. Lako se vidi da je

(Λ−1Λ′Λ)µν = (Λ−1)µρ (δρσ + ω′ρσ) Λσν

= δµν + (Λ−1)µρΛσνω′ρσ (1.21)

pa imamo

U−1(Λ)

(1− i

2Mρσω′ρσ

)U(Λ) = 1− i

2(Λ−1)µρΛ

σνω′ρσMµ

ν

U−1(Λ)MρσU(Λ) = (Λ−1)µρΛσνMµ

ν

= (Λ−1)µρΛσ

νMµν

= ΛρµΛσ

νMµν . (1.22)

9

Vidi se da je operator Mρσ tenzor drugog reda. Sada cemo uzeti da je transformacija Λ infinitez-imalna (

1 +i

2ωµνM

µν

)Mρσ

(1− i

2ωµνM

µν

)= Λρ

µΛσνM

µν

= (δρµ + ωρµ) (δσν + ωσν)Mµν

= Mρσ + ωσνMρν + ωρµM

µσ ,

pa je

i

2ωµν [Mµν ,Mρσ] = ωµνM

ρνgσµ + ωµνMνσgρµ

=1

2(Mρνgσµ +Mνσgρµ −Mρµgσν −Mµσgρν)ωµν .

Dakle:[Mµν ,Mρσ] = i (gσµMνρ + gρνMµσ − gρµMνσ − gσνMµρ) , (1.23)

dobili smo komutacione relacije Lorencove algebre.Definisimo nove generatore

Ji =1

2εijkMjk, Ki = M0i ; (1.24)

Ji su generatori rotacija, a Ki bustova. Ako dalje definisemo operatore

Mi =1

2(Ji + iKi) , Ni =

1

2(Ji − iKi) (1.25)

komutacione relacije (1.23) postaju

[Mi,Mj] = iεijkMk [Ni, Nj] = iεijkNk [Mi, Nj] = 0. (1.26)

Dobili smo (pomalo nelegalno jer smo napravili kompleksne kombinacije generatora, tj. kom-pleksifikovali smo algebru) dve su(2) algebre tj.

so(1, 3)C ∼= su(2)⊕ su(2) .

Ireducibilne reprezentacije Lorencove grupe klasifikovacemo preko Kazimirovih operatora

M2 =3∑i=1

(Mi)2 ,

N2 =3∑i=1

(Ni)2 . (1.27)

koji poticu od ove dve SU(2) grupe. One daju kvantne brojeve j1, j2, tj. Kazimirovi operatorise svode na brojeve:

M2 → j1(j1 + 1)

N2 → j2(j2 + 1) . (1.28)

10

Ireducibilne reprezentacije Lorencove grupe indeksiramo sa (j1, j2).Pri Lorensovim transformacijama klasicna polja ϕr(x) transformisu se prema

ϕ′r(x′ = Λx) = Srsϕs(x) . (1.29)

Njihovi pandani, kvantna polja φr(x) se pri Lorentz-ovim transformacijama transformisu prema

U(Λ)φr(x)U−1(Λ) = S−1rs (Λ)φs(Λx) .

Za skalarno polje S = I, za Dirakovo S(Λ) = e−iωµνσµν/4, dok je za vektorsko S = Λµ

ν . Polja setransformisu po reprezentacijama Lorencove grupe:

• (0, 0) skalarno polje

• (12, 0)⊕ (0, 1

2) Dirakovo polje

• (12, 1

2) elektromagnetno polje

• (12, 0) levo Vajlovo polje

• (0, 12) desno Vajlovo polje.

Ireducibilne rerezentacije za koje je j1 + j2 ceo broj su jednoznacne, dok su one za kojeje to poluceo broj dvoznacne. Stanja unutar ireducibilne reprezentacije (j1, j2) klasifikujemopreko (j1)3 = −j1, j1 − 1, . . . , j1 i (j2)3 = −j2, j2 − 1, . . . , j2. Dimenzija reprezentacije (j1, j2) je(2j1 + 1)(2j2 + 1); ove reprezentacije nisu unitarne jer je, L↑+ nekompaktna grupa.

Zadatak: Pokazati da je definiciona reprezentacija Lorencove grupe (12, 1

2) reprezentacija.

Iz (1.26) se vidi da je maksimalan broj komutirajucih generatora 2 te je rang Lorencovealgebre 2.

Zadatak: Pokazati da su 14MµνM

µν i 18εµνρσMµνMρσ Kazimirovi operatori Lorencove grupe.

1.2 Poenkareova grupa - nehomogene Lorencove transformacije

Poenkareove transformacije su izometrije prostora Minkovskog i sastoje se od Lorencovih trans-formacija i translacija

x′µ = (Λ, a)xµ = Λµνx

ν + aµ ,

tako da je (Λ, a) ∈ P . Lako se vidi da je

(Λ, a) = (I, a)(Λ, 0) ,

gde je (I, a) translacija a (Λ, 0) Lorencova transformacija.Poenkareova grupa P je desetoparametarska Lijeva grupa. Lorencove transformacije (Λ, 0) supodgrupa Poenkareove grupe. Translacije T4 (tj. (1, a)) su invarijantna Abelova podgrupa,pa je Poenkareova grupa semidirektni proizvod P = T4 ∧ O(1, 3, R). Poenkareova grupa kaoi Lorencova se sastoji od cetiri disjunkntne komponente P ↑+, P

↓+, P

↑−, P

↓−. Topoloske osobine

P ↑+:

11

1. nekompaktna jer su L↑+ i T4 nekompaktne;

2. dvostruko povezana;

3. niti prosta niti poluprosta.

Pri infinitezimalnim Poenkareovim transformacijama koordinate se transformisu prema

x′µ = xµ + δxµ = xµ + ωµνxν + εµ , (1.1)

gde su ωµν parametri Lorencovih transformacija, a εµ parametri translacija. Proizvoljan element

iz P ↑+ je U(ω, ε) = eiεµPµ− i

2Mµνωµν . Generator translacija je cetvoroimpuls P µ, a Lorencovih trans-

formacija Mµν . Nadjimo sada komutacione relacije u Poenkareovoj algebri. Odredimo generatoretranslacija u reprezentaciji klasicnog skalarnog polja. Varijacija forme klasicnog skalarnog poljapri translaciji je

δ0φ = −δxµ∂µφ (1.2)

= −εµ∂µφ (1.3)

= iεµPµφ (1.4)

Dakle, cetvoroimpuls je

P µ = i∂µ = (i∂

∂t,−i∇) .

Koristeci (1.17) lako se nalazi algebra Poenkareove grupe:

[Pµ, Pν ] = 0

[Mρσ, Pµ] = [i(xρ∂σ − xσ∂ρ), i∂µ] = i (gµσPρ − gµρPσ)

[Mµν ,Mρσ] = i (gσµMνρ + gρνMµσ − gρµMνσ − gσνMµρ) . (1.5)

Zadatak: Prepisati Poenkareovu algebru koristeci spin Ji, impuls Pi, hamiltonijan H, generatorebustova Ki. Primetite da sa hamiltonijanom komutiraju komponente spina i impulsa. Oni sukonstante kretanja.

Da bi klasifikovali unitarne ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe moramo naci Kaz-imirove operatore. Ove reprezentacije Poenkareove grupe su beskonacno dimenzione, jer je grupanekompaktna.

Definisimo vektor Pauli-Lubanskog

W µ =1

2εµνρσMνρPσ . (1.6)

Moze se pokazati da vazi (zadatak 1.14)[P 2,Mµν

]=

[P 2, Pµ

]= 0[

W 2,Mµν

]=

[W 2, Pµ

]= 0, (1.7)

12

gde je P 2 = PµPµ = m2 . Iz relacija (1.7) sledi da su P 2 i W 2 Kazimirovi operatori grupe P ↑+

i oni klasifikuju njene ireducibilne reprezentacije. Po Surovoj lema oni se svode na brojeve udatoj ireducibilnoj reprezentaciji. Ti brojevi klasifikuju reprezentaciju.

Jednocesticna stanja se transformisu po reprezentacijama Poenkareove grupe. Da bi klasifiko-vali vektore unutar jedne ireducibilne reprezentacije moramo da odredimo skup komutirajucihoperatora, tj. treba da Kazimirove operatore P 2,W 2 dopunimo medjusobno komutirajucim oper-atorima. Operatori impulsa komutiraju medjusobno [Pµ, Pν ] = 0, sto znaci da ih mozemo meritisimultano. Vektori stanja cestice su |p, σ〉, gde je p cetvoroimpuls (koji zadovoljava p2 = m2), aσ je skup dopunskih kvantnih brojeva. Vektori stanja su svojstveni vektori operatora impulsa

P µ|p, σ〉 = pµ|p, σ〉 .

Razmatrajmo sada masene cestice. U sistemu mirovanja impuls je

pµ = (m, 0, 0, 0), (1.8)

dok su komponente vektora Pauli-Lubanskog

W 0|p, σ〉 = 0

W i|p, σ〉 =1

2εijk0Mjkm|p, σ〉 = −1

2εijkMjkm|p, σ〉 = −mJi|p, σ〉.

Operatori Ji = 12εijkMjk su generatori rotacija i zadovoljavaju komutacione relacije su(2) algebre

[Ji, Jj] = iεijkJk .

Dakle, J je spin cestice. U sistemu mirovanja masene cestice komponente vektora Pauli-Lubanskogsu

W µ = (0,−mJ) (1.9)

pa je kvadrat vektora Pauli-Lubanskog

W 2 = −m2J2 .

Kazimirovi operatori P 2 i W 2 se svode na brojeve

P 2|p, σ〉 = m2|p, σ〉

W 2|p, σ〉 = −m2J2|p, σ〉 = −m2s(s+ 1)|p, σ〉 . (1.10)

Ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe su dakle klasifikovane masom i spinom, (m, j).Translacije deluju na stanja prema

U(I, a)|p, σ〉 = eiPµaµ |p, σ〉 = eip

µaµ|p, σ〉 ,

dok Lorencove transformacije na stanja deluju prema

U(Λ, 0)|p, σ〉 =∑σ′

Qσ′σ|p′, σ′〉,

13

gde je p′µ = Λµνpν , dok je Q unitarna matrica. Pokazimo da je p′ impuls stanja U(Λ)|p, σ〉:

P µU(Λ)|p, σ〉 = U(Λ)U−1(Λ)P µU(Λ)|p, σ〉= U(Λ)Λµ

ρPρ|p, σ〉

= ΛµρpρU(Λ)|p, σ〉. (1.11)

Kako je p2 = p′2 = m2 to Lorencove transformacije ne izbacuju impuls iz potprostora sa fiksnomvrednoscu p2. Potprostor stanja |p, σ〉; p2 = m2, p0 > 0 je invarijantan pod dejstvom Poenkare-ovih transformacija P ↑+, ali je on reducibilan. Da bi ga razbili na ireducibilne komonente moramoda uzmemo drugi Kazimirov operator, W 2. Iz[

W 2,Wµ

]= 0 i [Wµ,Wν ] 6= 0

sledi da W 2 i jedna komponenta vektora Pauli-Lubanskog mogu biti simultano dijagonalizovane.Uzecemo trecu komponentu vektora Pauli-Lubanskog W3.

Rezimirajmo:

• Skup komutirajucih operatora je P 2,W 2, P µ,W 3, p0/|p0|.

• Masa i spin klasifikuju ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe.

• Jednocesticna stanja se klasifikuju impulsom p i projekcijom spina na z osu; W3 = −ms3.Jednocesticni vektori stanja su |m, s; p, s3〉

• U sistemu mirovanja stanja zadovoljavaju

W 3|p, s3〉 = −ms3|p, s3〉W 2|p, s3〉 = −m2s(s+ 1)|p, s3〉 , (1.12)

gde je p = (m,~0) impuls cestice u sistemu mirovanja.

14

Sada cemo razmotriti reprezentacije Poencareove grupe u slucaju bezmasenih cestica, p2 = 0.Uzecemo da je3 W 2 = 0. Kako je W µPµ = 0 to mora biti W µ = −λP µ. Lako se vidi da je

λ = −W0

P 0=

~J · ~pp0

=~J · ~p|~p|

helicitet. Helicitet je dobar kvantni broj za bezmasene cestice jer je invarijantan na Lorencovetransformacije. Za masene cestice on nije invarijantno definisan. Npr. neka elektron impulsa pima helicitet +1/2. Lorencovim bustom mozemo preci u sistem u kojem je impuls ovog elektrona−p pa mu je helicitet −1/2. Stanja bezmasenih cestica su |p, λ〉.Vektor Pauli-Lubanskog W µ je generalizacija spina i cesto se naziva kovarijantni spin. Do sadasmo razmatrali dve klase IR Poencareove grupe:

1. p2 = m2 > 0, p0|p0| = +1

U sistemu mirovanja bazu |p, s3〉 cini (2s+ 1) vektor.

2. p2 = 0, pµ 6= 0, W 2 = 0Postoji jedno helicitetno stanje |p, λ〉. Ako je teorija invarijantna na parnost onda postojedva nezavisna helicitetna stanja. Npr. za foton λ = ±1.

Pored ove dve klase postoji jos cetiri moguce reprezentacije od P ↑+ koje su nefizicke:

1. p2 = m2 > 0, p0|p0| = −1, negativno-energetske masena stanja.

2. p2 = 0, p0 < 0, negativno-energetske bezmasena stanja..

3. pµ = 0, vakuum.

4. p2 < 0, tzv. tahionska stanja (stanja imaginarne mase) koja su nefizicka.

1.3 Vignerov metod

Pomocu Vignerovog metoda nalaze se ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe.Neka je p fiksni cetvoroimpuls (tzv. standardni impuls). Proizvoljan impuls p se dobija iz p

transformacijom Lpp

p = Lppp.

Ova Lorencova transformacija nije jednoznacno definisana jer transformacija Lpp · ` takodjezadovoljava gornji uslov ukoliko je `p = p−rotacija oko p. Ukoliko zahtevamo da se dopunskikvantni broj σ ne menjaja

U(Lpp)|p, σ〉 = |p, σ〉 (1.13)

3Kasnije cemo videti da ako bi W 2 < 0 spin bi bio neprekidan sto je fizicki neprihvatljivo.

15

gornja transformacija je fiksirana i naziva se Vignerovim bustom. Lako se vidi da je

U(Λ)|p, σ〉 = U(Λ)U(Lpp)|p, σ〉= U(Lp′p)U(L−1

p′p)U(Λ)U(Lpp)|p, σ〉= U(Lp′p)U(L−1

p′pΛLpp)|p, σ〉= U(Lp′p)U(R)|p, σ〉, (1.14)

gde je R = L−1p′pΛLpp tzv. Vignerova rotacija i p′µ = Λµ

νpν .

Transformacije R ostavljaju standardni impuls p invarijantnim i one cine podgrupu Poenkareovegrupe. Ova podgrupa se naziva mala grupa.Zadatak: Pokazati da Wignerove rotacije cine grupu.Mala grupa je relevantni deo Poenkareove grupe za klasifikaciju ireducibilnih reprezentacija. Iz(1.14) sledi

U(Λ)|p, σ〉 = U(Lp′p)∑σ′

Dσ′σ(R)|p, σ′〉

=∑σ′

Dσ′σ(R)|p′, σ′〉,

odnosnoU(a,Λ)|p, σ〉 = eip

′a∑σ′

Dσ′σ(R)|p′, σ′〉, (1.15)

gde je Dσ′σ(R) matricni element reprezentacije male grupe. Unitarne ireducibilne reprezentacijeP ↑+ su dobijene preko unitarnih ireducibilnih reprezentacija male grupe. Ove transformacijeindukuju reprezentacije cele Poenkareove grupe. Dalje cemo posebno razmatrati masene i bez-masene cestice:

• Masene cesticeKao sto smo rekli za standardni impuls uzecemo pµ = (m, 0, 0, 0). Mala grupa je SO(3)

16

(zbirka) m000

=

(1 00 R

)m000

, (1.16)

gde R ∈ SO(3). Vignerov bust Lpp je cist bust iz sistema mirovanja u sistem gde cesticaima impuls p. D(s)(R)− je (2s + 1)−dimenziona reprezentacija SO(3) (tj. njene uni-verzalno natkrivajuce grupe SU(2)).

• Slucaj bezmasenih cestica p2 = 0 i p0 > 0 je razlicit od masenog jer ne mozemo preci usistem mirovanja. Za standardni impuls uzecemo p = (k, 0, 0, k), sto odgovara bezmasenojcestici koja se sa impulsom k krece duz z−ose. Malu grupu cine one transformacije kojene menjaju standardni impuls; dakle

ω νµ p

ν = 0

tj. 0 ω01 ω02 ω03

ω01 0 −ω12 −ω13

ω02 ω12 0 −ω23

ω03 ω13 ω23 0

k00k

=

0000

,

odakle dobijamo ω03 = 0, ω01 = ω13, ω02 = ω23 dok je ω12 proizvoljno. Ovi uslovi sestgeneratora Lorencovih transformacija redukuju na tri:

1

2ωµνM

µν = ω01(M01 +M13) + ω02(M02 +M23) + ω12M12 . (1.17)

Generator M12 je generator rotacije oko z–ose. Iz prethodnih uslova sledi da postojijos dva generatora: M01 + M13 i M02 + M23. Primetimo da je W1 = (M02 + M23)k ,W2 = −(M01 +M13)k i W0 = −M12k. Lako se pokazuje da vazi

[W1,W2] = 0, [W0/k,W1] = −iW2, [W0/k,W2] = iW1 ,

odnosno

[M02 +M23,M01 +M13] = 0,

[J3,M02 +M23] = −i(M01 +M13),

[J3,M01 +M13] = i(M02 +M23) . (1.18)

Ove komutacione relacije definisu E(2) algebru. E(2) je euklidska grupa; sastoji se odrotacije oko z−ose i translacije u xy− ravni (zbirka, zadatak 1.18). Komutacione relacijeE2 grupe su

[E1, E2] = 0

[J3, E1] = iE2

[J3, E2] = −iE1 (1.19)

17

Vidi se da je J3 = −W 0/k = M12, E1 = −W2/k = M01 +M13, E2 = W1/k = M02 +M23.Zadatak: Pokazati da su

P1 = −i ∂∂x, P2 = −i ∂

∂y, Lz = i

(y∂

∂x− x ∂

∂y

)(1.20)

generatori E(2) grupe. Pokazati takodje da je P 21 + P 2

2 Kazimirov operator.Proizvoljan element iz E(2) grupe je oblika

e−iθJ3e−i(α1E1+α2E2) , (1.21)

gde si θ, α1 i α2 parametri. Reprezentacije klasifikujemo sa E21 + E2

2 i J23 . Operatori E1 i

E2 komutiraju i mogu biti simultano dijagonalizovani

E1|a1, a2〉 = a1|a1, a2〉E2|a1, a2〉 = a2|a1, a2〉 . (1.22)

svojstvene vrednosti ovih operatora klasifikuju vektore. Iz

eiθJ3E1e−iθJ3 = E1 cos θ − E2 sin θ

eiθJ3E2e−iθJ3 = E1 sin θ + E2 cos θ (1.23)

sledi da postoji kontinum svojstvenih stanja

|θ; a1, a2〉 , (1.24)

za proizvoljno θ koji zadovoljavaju

E1|θ; a1, a2〉 = (a1 cos θ − a2 sin θ)|θ; a1, a2〉E2|θ; a1, a2〉 = (a1 sin θ + a2 cos θ)|θ; a1, a2〉 , (1.25)

gde je|θ; a1, a2〉 = e−iθJ3|a1, a2〉 (1.26)

Kako za bezmasene cestice niko nije observirao kontinualni stepen slobode θ mora bitia1 = a2 = 0. Stanja su onda klasifikovana sa svojstvenom vrednoscu generatora rotacijeoko z ose, J3

J3|λ〉 = λ|λ〉 . (1.27)

Ove reprezentacije su jednodimenzione

e−iθJ3|λ〉 = e−iλθ|λ〉 . (1.28)

Ovde je θ ugao rotacije oko z ose; λ je ceo ili poluceo broj da bi rotacija za 2π bila ±1.

18

Do istog zakljucka mozemo doci ’jezikom’ komponenti vektora Paula Lubanskog imajucina umu vezu komponenti W1 i W2 sa generatorima E1, E2. Iz4

wµpµ = 0 sledi

(w0 − w3)k = 0 tj.

w0 = w3.

Imamo dve mogucnosti wµ = (w0, w1 6= 0, w2 6= 0, w0) ili wµ = (w0, 0, 0, w0) . U prvomslucaju w2 = −(w1)2 − (w2)2 < 0 vektori u reprezentaciji su neprekidni5. To bi znacilo dapostoji kontinum bezmasenih stanja. Ovu mogucnost odbacujemo kao nefizicku. Dakle,mora biti wµ = (w0, 0, 0, w0). Helicitet je odredjen sa

−w0

p0

= λ.

Malu grupu redukujemo na rotacije oko z−ose tj. na SO(2) ∼ U(1). Ireducibilnereprezentacije su jednodimenzione e−iλθ, λ = 0,±1,±1

2, . . .

Zakljucak: Reprezentacije grupe male grupe E2 su:

a) beskonacno dimenzione w1, w2 6= 0; ovo odbacujemo

b) konacno dimenzione u slucaju w2 = 0. One su unitarne i jednodimenzionalne. Dakle,za bezmasene cestice je

W0|p, λ〉 = −λk|p, λ〉W1|p, λ〉 = W2|p, λ〉 = 0

W 3|p, λ〉 = −λk|p, λ〉 (1.29)

Lorencova transformacija Λ deluje na stanje |p, λ〉 prema

U(Λ)|p, λ〉 = eiθ(p,Λ)λ|Λp, λ〉 . (1.30)

Vidimo da nema promene heliciteta cestice. U slucaju masene cestica spina s pojavljuje2s + 1 stanje odredjeno sa kvantnim brojem s3. Za masene cestice moze da se koristii helicitetni bazis; helicitet takodje uzima vrednosti −λ, λ + 1, . . . , λ. Kod bezmasenihcestica situacija je drugacija. Bezmasena cestica moze biti samo u jednom helicitetnomstanju λ. Apsolutna vrednost heliciteta se naziva spinom cestice s = |λ|. Parnost operatorimpulsa prebacuje u −P, tj. menja mu znak, a operator spina se ne menja. Ovo znacida parnost menja helicitet cestice λ→ −λ. Iz ovog razloga ukoliko je teorija invarijantnana parnost za ceticu spina s imacemo dva helicitetna stanja |p, λ = ±s〉. To se desava uelektrodinamici, gde su stanja fotona |p,±1〉 .

4Opet pisemo na stanjima.5(W 1)2 + (W 2)2 je Kazimirov operator u E(2) algebri.

19

2 Unutrasnje simetrije; kvark model

2.1 Klasifikacija interakcija i cestica

Cestice mozemo podeliti u leptone i hadrone kao i cestice koje prenose interakciju tzv. gauge(kalibracione) bozone. Leptoni su cestice bez strukture koje ucestvuju u slabim, a ne ucestvujuu jakim interakcijama. Njihov spin je 1/2. Postoji sest leptona: elektron, elektronski neutrino,mion, mionski neutrino, taon i taonski neutrino.

cestica masa spine− 0, 51 MeV 1

2

νe < 10eV 12

µ− 105 MeV 12

νµ < 0, 16MeV 12

τ− 1, 8 GeV 12

ντ < 18MeV 12

Dugo se verovalo da su neutrini bezmasene cestice. Po novijim rezultatitam oni ipak imaju maluali nenultu masu: me < 10eV, mνµ < 0, 16 MeV, mντ < 18 MeV.Mion i taon su cestice vrlo slicne elektronu, samo vece mase. Oni su nestabilni; mion se raspadana elektron prema µ− → e−+ νe+νµ . Svaki lepton ima i svoju anticesticu. Anticestica elektronuje pozitron, e+. Takodje µ+ je anticestica od µ−, a τ+ od τ−. Ove anticestice imaju sve kvantnebrojeve iste kao i cestice, sem sto imaju naelektrisanje suprotnog znaka i suprotan leptonski broj.Za razliku od njih antineutrini i neutrini se razlikuju po znaku heliciteta. Leptoni obrazuju trifamilije: elektron i njegov neutrino su prva familja, mion i minoski neutrino cine drugu familijua taon i taonski neutrino su treca familija.

Hadroni su mezoni i barioni i ucestvuju i u jakim i u slabim interakcijama. Hadrona ima puno,oko 200−300, pa ne mogu biti fundamentalne cestice. Videcemo kasnije da su oni vezana stanjakvarkova; preciznije mezoni su kvark-antikvark stanje a barioni su sastavljeni od tri kvarka. Utablici je dato nekoliko mezona i bariona. Mezoni su bozoni dok su barioni fermioni. U sledecojtabeli dato je nekoliko mezona

Mezoni

cestica masa spinπ±, π0 138 MeV 0

K+, K−, K0, K0 439 MeV 0η0 500 MeV 0

ρ±, ρ0 770 MeV 1ω 1

π+ i π− mezoni su jedno drugom anticestice; razlikuju se po znaku naelektrisanja. Neutralniπ0 mezon je sam sebi anticestica. Anticestica od K+ mezona je K− mezon.

U narednoj tabeli je dato nekoliko bariona:

Barioni

20

cestica masa spinp 938 MeV 1

2

n 939 MeV 12

Λ0 1100 MeV 12

Σ±, Σ0 1180 MeV 12

Ξ0, Ξ− 1190 MeV 12

Ω− 1600 MeV 32

∆++, ∆+, ∆0, ∆− 1236 MeV 32

Anticestica protona je antiproton, p−; razlikuju se po znaku naelektrisanja. Antineutron jeneutralan kao i neutron; oni se razlikuju po znaku magnetnog dipolnog momenta. Magnetnidipolni moment neutrona je µ = −1, 913 e~

2mpc. To sto neutralna cestica ima magnetni moment

sugerise da je sastavljena od naelektrisanih cestica. Zanimljivo je da Σ− nije anticestica od Σ+.Pored leptona i hadrona postoje cestice koje su prenosnici interakcija. Foton je prenosilac

elektromagnetne interakcije; W± i Z0 gauge bozoni prenose slabu interakciju. Jaku interakcijuprenose gluoni.

U narednim lekcijama cemo korak po korak videti da leptoni, kvarkovi i gauge bosoni el-ementarne cestice. Leptona i kvarkova ima po sest; oni su fermioni spina 1/2. Kvarkovi su:up (gornji), down (donji), strange (cudni), charmed (sarmirani), top (vrh) and boottom (dno).Hadroni su vezana stanja kvarkova; npr. proton se sastoji od dva u kvarka i jednog d kvarka.

U prirodi postoji cetiri tipa interakcija: gravitaciona, elektromagnetna, jaka i slaba. Njihoveosobine su sumirane u tablici:

vrsta domet intenzitet dejstvo prenosnikgravitacione ∞ ∼ 10−39 sve cestice graviton

elektromagnetne ∞ 1137

naelektrisane cestice fotonjake ∼ 10−15 m 1 hadroni gluonislabe 10−15 m 10−5 hadroni i leptoni W±, Z

Jaka interakcija drzi kvarkove unutar hadrona i dominantna je u sudarima u kojima ucestvujusamo hadroni. Slaba interakcija se javlja izmedju kvarkova ali i izmedju leptona. Procesi kojiukljucuju neutrina su uvek slabi procesi. Vektorski bozoni W±, Z prenose slabu interakciju. Zajake interakcije pre bi se moglo reci da su brze a slabe spore jer je srednje vreme zivota cesticakoje se raspadaju po jakoj interakciji τ ∼ (10−22 − 10−23)s a po slaboj τ ∼ (10−7 − 10−13)s.Elektromagnetna interakcija je interakcija izmedju naelektrisanih cestica. Prenosnik interakcijeje foton. Spin gauge bozona je 1; to su vektorske cestice.

2.2 Simetrija

Grupa simetrije u relativistickoj kvantnoj fizici je direktni proizvod Poenkareove i neke un-utrasnje simetrije, P ⊗ G. Invarijantnost na Poenkareove transformacije P ↑+ daje masu i spincestica. Unutrasnja grupa simetrije G je kompaktna Lijeva grupa. Proizvoljan element iz G je

U = eiTaθa

21

gde su T a genetarori u odgovarajucoj reprezentaciji, a θa realni parametri. Komutacione relacijeizmedju generatora su

[T a, T b] = ifabcTc ,

gde su fabc strukturne konstante; one ne zavise od reprezentacije. Pri transformaciji U stanjafizickih sistema se transformisu prema

|ψ〉 → U |ψ〉 ≡ |ψ′〉 .

Da bi se pri transformacijama ocuvale verovatnoce prelaza

|〈ψ′|ψ′〉|2 = |〈ψ|ψ〉|2 (2.1)

operatori U su ili unitarni ili antiunitarni6. Ovo je Vignerov teorem.Stanje ψ zadovoljava Sredingerovu jednacinu

i∂ψ

∂t= Hψ . (2.2)

Da bi i transformisano stanje zadovoljavalo jednacinu istog oblika

i∂ψ′

∂t= Hψ′ (2.3)

mora vazitiH = U−1HU . (2.4)

Pretpostavili smo da je ∂U∂t

= 0. Kazemo da je transformacija U simetrija sistema. Iz (2.4) sledi(uzimamo da su parametri infinitezimalni)

(1− iT aθa)H (1 + iθaT a) = H

⇒ [T a, H] = 0 , (2.5)

tj. generatori simetrije komutiraju sa Hamiltonijanom.Ako je |n〉 svojstveno stanje Hamiltonijana sa energijom En tj.

H|n〉 = En|n〉

onda je U |n〉 takodje svojstveno stanje sa istom energijom

H(U |n〉) = En(U |n〉) .

Grupa simetrije dakle pravi degeneraciju stanja tj. multiplete. Kako je grupa simetrije P ⊗ Gto

[T a, P µ] = 0 [T a,Mµν ] = 0.

Zakljucujemo da cestice u multipletima imaju istu masu i spin.

6Ovo znaci da su generatori hermitski operatori.

22

2.3 SU(2) i izospin

Jake interakcije su priblizno nezavisne od nalektrisanja nukleona. Preciznije hamiltonijan Hs

jakih interakcija je invarijantan na izospinske odnosno SU(2) transformacije tj.

[Hs, Ia] = 0, (2.6)

gde su Ia generatori SU(2) grupe.Izospin i spin nemaju nikakve veze, sem istu matematiku sadrzanu u SU(2) grupi. Generatori

SU(2) grupe u fundamentalnoj reprezentaciji su Ia = σa/2 gde su σa Paulijeve matrice

σ1 =

(0 11 0

)σ2 =

(0 −ii 0

)σ3 =

(1 00 −1

). (2.7)

Lako se vidi da su strukturne konstante simbol Levi-Civita

[Ia, Ib] = iεabcIc .

Kazimirov operator je I2 =∑

a (Ia)2 tj. [

I2, Ia]

= 0

tako da njegove svojstvene vrednosti klasifikuju ireducibilne reprezentacije grupe SU(2). Rangsu(2) algebre je 1 sto znaci da se skup medjusobno komutirajucih generatora sastoji samo odjednog elementa. Najcesce se uzima da je to I3. Iz

[I2, I3] = 0 (2.8)

sledi da postoji zajednicki svojstveni bazis ova dva operatora:

I2|I, I3〉 = I(I + 1)|I, I3〉I3|I, I3〉 = I3|I, I3〉 ,

gde je I = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . ; I3 = −I,−I + 1, . . . , I . Kvantni broj I klasifikuje ireducibilnereprezentacije a I3 vektore stanja unutar jedne ireducibilne reprezentacije. Dimenzija ireducibilnereprezentacije (I) je

dim(D(I)

)= 2I + 1 .

U dvodimenzionalnoj reprezentaciji, I = 1/2 bazisni vektori su:∣∣∣12,1

2

⟩= p =

(10

) ∣∣∣12,−1

2

⟩= n =

(01

)(2.9)

Mi smo ih identifikovali sa protonom i neutronom. Dakle, nukleoni imaju izospin7 1/2 dokje projekcija izospina na z osu, I3 za proton +1/2 a za neutron −1/2. Proton i neutron suizospinska stanja jedne cestice-nukleona. Proizvoljan vektor u dvodimenzionoj reprezentaciji

ξi =

(ξ1

ξ2

)(2.10)

7Koncept izospina uveo je Hajzenberg.

23

pri SU(2) transformacijama se transfomise po

ξ → ξ′ = e−i~σ~θ2 ξ . (2.11)

Koncept izospina moze biti prosiren na druge hadrone. Triplet π mezona je bazis trodimenzionereprezentacije

|1,+1〉 = π+ |1,−1〉 = π− |1, 0〉 = π0.

Slicno je i za triplet (ρ−, ρ0, ρ+) i (Σ−,Σ0,Σ+). ∆ rezonace su kvartet SU(2) grupe

|32,+

3

2〉 = ∆++ |3

2,1

2〉 = ∆+ |3

2,−1

2〉 = ∆0 |3

2,−3

2〉 = ∆−.

Proizvod dve ireducibilne reprezentacije je reducibilna reprezentacija i ona moze biti razlozenana ireducibilne komponente

D(I) ⊗D(I′) = D(I+I′) ⊕ · · · ⊕D(|I−I′|) .

Svojstvena stanja od J2 = (I + I′)2 i J3 = I3 + I ′3 nisu |I, I3〉|I ′, I ′3〉 vec

|J, J3〉 =∑I3,I′3

〈I, I3, I′, I ′3|J, J3〉 |I, I3〉|I ′, I ′3〉 , (2.12)

gde su 〈I, I3, I′, I ′3|J, J3〉 Klebs- Gordanovi koeficijenti. Izospin stanja dve cestice izospina 1/2 je

1 ili 0. Drugim recima proizvod dve dvodimenzione reprezentacije je direktni zbir trodimenzionei singletne reprezentacije.

I :1

2⊗ 1

2= 1⊕ 0

dim : 2× 2 = 3 + 1

Bazisni vektori trodimenzione reprezentacije su simetricni:

|1,+1〉 = pp |1, 0〉 =1√2

(pn + np) |1,−1〉 = nn,

dok je jednodimenziona reprezentacija antisimetricna

|0, 0〉 =1√2

(pn− np) .

Posmatrajmo proizvod dvodimenzione i trodimenzione ireducibilne reprezentacije. Klebs-Gordanove koeficijente cemo odrediti primenom operatora J± = Jx ± iJy na |I, I3〉

J±|I, I3〉 =√I(I + 1)− I3(I3 ± 1)|I, I3 ± 1〉 . (2.13)

Vektor maksimalne tezine u reprezentaciji 3/2 je∣∣∣32,3

2〉 =

∣∣∣12,1

2〉∣∣∣1, 1〉. (2.14)

24

Delovanjem sa J− na njega dobijamo∣∣∣32,1

2〉 = (J−1 ⊗ 1 + 1⊗ J−2)

∣∣∣12,1

2〉∣∣∣1, 1〉 (2.15)

=

√2

3|12,1

2〉|1, 0〉+

√1

3|12,−1

2〉|1, 1〉 . (2.16)

Ponavljajuci ovaj postupak dobijamo:∣∣∣32,−1

2〉 =

√1

3|12,1

2〉|1,−1〉+

√2

3|12,−1

2〉|1, 0〉 , (2.17)

∣∣∣32,−3

2〉 = |1

2,−1

2〉|1,−1〉 . (2.18)

Vektor |12, 1

2〉 nalazimo iz uslova ortogonalnosti na |3

2, 1

2〉. Rezultat je∣∣∣1

2,1

2〉 =

√1

3|12,1

2〉|1, 0〉 −

√2

3|12,−1

2〉|1, 1〉 . (2.19)

Operator spustanja onda daje∣∣∣12,−1

2〉 =

√2

3|12,1

2〉|1,−1〉 −

√1

3|12,−1

2〉|1, 0〉 . (2.20)

Sada cemo se ukratko potsetiti Vigner-Ekartovog teorema. Ireducibilni tenzorski operatori8,T

(j)m , m = −j,−j + 1, . . . , j su definisani zakonom transformacije pri SU(2) transformacijama

(T (j)m )′ = U(R)T (j)

m U−1(R) =∑m′

D(j)m′m(R)T

(j)m′ . (2.21)

Na osnovu gornje definicije moze se pokazati da ireducibilni tenzorski operatori zadovoljavajusledece relacije:

[J3, T(j)m ] = mT (j)

m

[J±, T(j)m ] =

√j(j + 1)−m(m± 1)T

(j)m±1 .

(2.22)

Zadatak: Ako je ~V vektorski operator9 pokazati da su

T(1)1 = −Vx + iVy√

2, T

(1)0 = Vz , T

(1)−1 =

Vx − iVy√2

(2.23)

8Koristimo oznake: j za ireducibilnu reprezentaciju SU(2) a m za klasifikaciju vektora.9Pri rotacijama se transformise na sledci nacin

~V ′ = ~V + ~V × ε~n .

25

ireducibilni vektorski operatori.Matricni element ireducibilnog tenzorskog operatora izmedju izospinskih stanja je

〈I ′, I ′3|T(J)M |I, I3〉 = 〈II3; JM |I ′I ′3〉〈I ′|T J |I〉 (2.24)

tj. proizvod redukovanog matricnog elementa 〈I ′|T J |I〉 i Clebsh-Gordan-ovog koeficijenta. Ovoje tzv. Vigner-Ekartov teorem.

Posmatrajmo sada raspad cestice u dve cestice: a→ c+ d. Matricni element prelaza je

〈cd|S|a〉 = 〈IcId; I3cI3d|S|IaI3a〉=

∑I′

〈IcId; I3cI3d|I ′I ′3〉〈I ′I ′3|S|IaI3a〉 ,

gde smo koristili relacije komletnosti. Hamiltonijan komutira sa izospinom pa su izospin i njegovatreca komponenta odrzani u jakim interakcijama. S matricni element je10

〈II3|S|I ′I3′〉 = δII′δI3I′3A(I) . (2.25)

Dalje je〈cd|S|a〉 = 〈IcId; I3cI3d|IaI3a〉AIa . (2.26)

Rezultat je izrazen preko nezavisnih amplituda A(Ia). Razmatrajmo sada proizvod dvodimen-zione i trodimenzione reprezentacije.

I : 12

⊗1 =1

2⊕ 3

2dim : 2︸︷︷︸ × 3︸︷︷︸ = 2 + 4

(p, n) (π+, π−, π0)

Iz (2.17) i (2.26) sledi

〈π+n|S|∆+〉 =1√3A3/2 , (2.27)

〈π0p|S|∆+〉 =

√2

3A3/2 . (2.28)

Sirina raspada je odredjena sa

Γ =

∫|S|2

T

1

2Ei

∏f

V dpf(2π)3

. (2.29)

Ona je verovatnoca raspada u jedinici vremena pomnozena sa faznim prostorom finalnih cestica.U gornjem primeru raspada ∆+ rezonance fazni prostor je isti za oba kanala pa je odnos sirinaraspada

Γ (∆+ → p, π0)

Γ (∆+ → n, π+)=

(√23

)2

(√13

)2 = 2.

10Ova relacija je specijalni slucaj Vigner-Ekartove teoreme, gde je S skalarni ireducibilni operator.

26

Ovaj rezultat je u skladu sa eksperimentom. Dakle, u eksperimentu se vidi SU(2) simetrija, tj.CG koeficijenti.Razmatrajmo dalje rasejanje dve cestice u dve cestice

a+ b→ c+ d .

Primenom relacija kompletnosti imamo

〈cd|S|ab〉 =∑II′

〈IcId; I3cI3d|II3〉〈II3|S|I ′I ′3〉〈I ′I ′3|IaIbI3aI3b〉 (2.30)

Kako je〈II3|S|I ′I ′3〉 = AIδII′δI3I′3 (2.31)

to na kraju dobijamo

〈cd|S|ab〉 =∑I

〈IcId; I3cI3d|II3〉〈II3|IaIbI3aI3b〉AI . (2.32)

Izrazi (2.14)-(2.20) daju

∣∣∣32,3

2〉 = pπ+

∣∣∣32,1

2〉 =

√2

3pπ0 +

√1

3nπ+

∣∣∣32,−1

2〉 =

√1

3pπ− +

√2

3nπ0∣∣∣3

2,−3

2〉 = nπ−∣∣∣1

2,1

2〉 =

√1

3pπ0 −

√2

3nπ+

∣∣∣12,−1

2〉 =

√2

3pπ− −

√1

3nπ0 . (2.33)

Lako se onda primenom (2.32) dobija

〈π+p|S|π+p〉 = A3/2

〈π−p|S|π−p〉 =1

3A3/2 +

2

3A1/2

〈π−p|S|π0n〉 =

√2

3A3/2 −

√2

3A1/2 . (2.34)

Eksperimentalni rezultat daje A3/2 A1/2 pa se dobija

σ(π+p→ π+p) : σ(π−p→ π−p) : σ(π0n→ π−p) = 9 : 1 : 2 . (2.35)

Mase cestica u SU(2) multipletima nisu iste. Zbog toga je SU(2) simetrija priblizna simetrija.Mera narusenja ove simetrije je npr.

mn −mp

mn +mp

∼ 0, 7 · 10−3 .

27

2.4 Stranost, hipernaboji,...; zakoni odrzanja

1940 − 1950 otkrivene su cestice koje se proizvode brzo, a raspadaju se sporo. Npr. Λ0 i K0

cestice se stvaraju u procesuπ− + p→ K0 + Λ0

preko jake interakcije. Srednje vreme zivota K0L mezona je τ(K0

L) ≈ 10−8 s sto znaci da se onraspada po slaboj interakciji. Slicno je i za Λ0 cesticu:

Λ0 → π− + pK0 → π+π−

. (2.36)

Dakle ove cestice se stvaraju u jakoj a raspadaju po slaboj interakciji. Ova osobina je bila cudnakad su ove cestice otkrivene i zato se uvodi novi kvantni broj stranost. Stranost je aditivnikvantni broj i odrzava se u jakim interakcijama. Stranost hadrona iz gornjeg procesa je

S(n) = S(π) = 0

S(Λ0) = −1

S(K0) = +1.

Za jak proces

π− + p → Λ0 +K0

S : 0 + 0 = −1 + 1 (2.37)

vidimo da je stranost ocuvana. Za slab proces

Λ0 → π− + p− slaba interakcija

S : −1 6= 0 + 0

stranost nije ocuvana. Videcemo kasnije da strane cestice sadrze s kvark.Barionski kvantni broj bariona je 1 antibariona −1, dok ostale cestice imaju barionski broj

nula.B(barioni) = 1 B(antibarioni) = −1 B(mezoni, leptoni) = 0.

Barionski broj se odrzava u svim interakcijama. Zbir barionskog broja i stranosti cestice jehipernaboj

Y = B + S.

Naelektrisanje Q je odrzano u svim interakcijama. Veza izmedju naelektrisanja hipernaboja itrece komponente izospina cestica je tzv. Gell-Mann-Nishijima relacija

Q = I3 +Y

2. (2.38)

Otkrice jos jednog kvantnog broja koji se odrzava u jakim interakcijama zahteva da se izospinskasimetrija prosiri do neke grupe ranga 2.

28

Postoje tri vrste leptonskog broja: leptonski elektronski Le, mionski Lµ i taonski Lτ . Zaelektron i elektronski neutrino Le = 1, pozitron i antineutrino imaju Le = −1 dok je za sve ovecestice leptonski mionski i taonski kvantni broj jednak nuli. Slicno Lµ(µ−) = 1 itd. Proverimoodrzanje leptonskoh brojeva u slabom procesu raspada miona µ+

µ+ → e+ + νµ + νe

Lµ : −1 = 0 + (−1) + 0

Le : 0 = −1 + 1 .

U procesuµ+µ− → e+e−

nema mesanja izmedju mionske i elektronske linije.

2.5 Osmostruko svrstavanje hadrona

Gell-Mann i Ne’eman (1961.) su grupisali mezone i barione istog spina i parnosti u (I3, Y )dijagram. Ovo je poznato kao osmostruko svrstavanje.

Mezoni 0−

29

Mezoni 1−

Barioni 12

+Barioni 3

2

+

Cestice sa istom vrednoscu hipernaboja su multipleti izospinske grupe SU(2); p i n su dublet,pioni su triplet itd.

U vreme kad su Gell-Mann i Ne’eman grupisali cestice na gornji nacin Ω− cestica nije bilaotkrivena. Otkrivena je 1964. godine. Njeni kvantni brojevi su

I3(Ω−) = 0

Y (Ω−) = −2 = B + S ⇒ S(Ω−) = −3.

Videcemo kasnije da su dijagrami u kojima se nalaze mezoni i barioni tezinski dijagrami jednodi-menzione, osmodimenzione i desetodimenzione reprezentacije SU(3) grupe. SU(3) simetrija jevise narusena od SU(2) simetrije jer se mase cestica u SU(3) multipletima vise razlikuju negounutrar SU(2) multipleta. Mera narusenja je

mΣ −mn

mΣ +mn

∼ 0, 12 .

2.6 SU(3)

SU(3) grupu cine 3 × 3 unitarne matrice jedinicne determinante. Elemente ove grupe mozemonapisati u obliku

U = eiεa λa

2 ,

gde su εa realni parametri, a λa Gell-Mann-ove matrice:

30

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

λ8 =1√3

1 0 00 1 00 0 −2

Gell-Mann-ove matrice su normalizovane prema

Tr (λaλb) = 2δab . (2.39)

Rang grupe SU(3) je 2, tj. maksimalan skup komutirajucih generatora je dva11; [λ3, λ8] = 0.Zadatak: Naci strukturne konstante fabc i Kartanov tenzor za SU(3) grupu.

2.7 SU(n) tenzori i Jungove seme

Elementi SU(n) grupe (u definicionoj reprezentaciji) su n× n unitarne matrice jedinicne deter-minante:

UU † = U †U = I detU = 1 . (2.40)

Mozemo ih zapisati u obliku U = eiH , gde je H hermitska matrica nultog traga. Hermitskamatrica ima n realnih dijagonalnih elemenata; vandijagonalni elementi zadovoljavaju (Hij)

? =

Hji pa su odredjeni sa 2n(n−1)2

realnih parametara. Zbog TrH = 0 sledi da je broj nezavisnihpartametara matrice H jednak n2−1, sto znaci da je SU(n) grupa ima n2−1 generatora. Rangalgebre predstavlja maksimalan broj njenih komutirajucih generatora. Ovi generatori cine tzv.Kartanovu podalgebru. Moze se pokazati da je rang su(n) algebre r = n− 1.

Vektorψi = (ψ1, ψ2, . . . , ψn) ∈ Cn

se pri SU(n) transformacijama transformisu po

ψi → ψ′i = Uijψj , (2.41)

gde je U SU(n) matrica. Lako se vidi da je i U∗ takodje SU(n) matrica. Konjugovanjem (2.41)dobijamo

ψ∗i → ψ∗′

i = U∗ijψ∗j = ψ∗jU

†ji . (2.42)

Dakle ψ∗i se transformise po konjugovanoj reprezentaciji. Dalje cemo uvesti sledecu notaciju(konjugacija podize indeks)

ψi ≡ ψ∗i Uij ≡ Uij U i

j = U∗ij . (2.43)

11Ovo fizicki znaci da imamo dva aditivna kvantna broja.

31

Relacije (2.41) i (2.42) postaju

ψi → ψ′i = Uijψj

ψi → ψ′i = U ijψ

j .

Velicina ψiξi je invarijanta tj. transformise se po singletnoj (jedinicnoj) reprezentaciji SU(n)

grupe. Tenzori viseg ranga se pri SU(n) transformacijama transformisu po

ψ′i1i2...ipj1j2...jq

= (U i1k1 . . . )(Uj1

l1 . . . )ψk1...kpl1...lq

.

Lako se vidi da je Kronekerov simbol invarijantan tenzor

δik = U ijU

lk δ

jl .

Pored njega simbol Levi-Civita, εi1i2...in je takodje invarijantan tenzor

ε′i1...in = U j1i1. . . U jn

inεj1...jn = detU · εi1...in = εi1...in .

Kontrakcija proizvodi tenzore nizeg reda.Zadatak: Pokazati da je εi1i2...inψ

i1i2...in skalar.Proizvoljan tenzor viseg reda je najcesce reducibilan, tj. on se transformise po nekoj re-

ducibilnoj reprezentaciji SU(n) grupe. Mi cemo da dekomponujemo ovaj reducibilaan tenzor uireducibilne komponente. Transformacije ireducibilne tenzore prebacuju ponovo u te ireducibilnetenzore. Invarijantni tenzori se koriste za dobijanje ireducibilnih komponenti reducibilnih ten-zora. Npr. neka je T ij tenzor drugog reda. Mnozenjem ovog tenzora sa δj i dobijamo

T = δj iTij = TrT. (2.44)

T je skalar. Polazni tenzor T ij mozemo da razlozimo u dva tenzora prema

T ij = (T ij −1

nTδi j) +

1

nTδi j . (2.45)

Prvi sabirak je tenzor nultog traga a drugi je sam trag. Pri SU(n) transformacijama tenzornultog traga prelazi u tenzor nultog traga a trag prelazi u trag. Oni su ireducibilni tenzori.Tenzor T ij smo dekomponovali u ireducibilne komponente.

Posmatracemo tenzore samo sa gornjim indeksima. Zakon transformacije tenzora drugogreda je

ψ′ij = U ikU

jlψ

kl (2.46)

Zamenom indeksa i i j dobijamo

ψ′ji = U jlU

ikψ

lk = U ikU

jlψ

lk . (2.47)

Permutacija indeksa je definisana sa P12ψij = ψji. Lako se vidi da se ψkl i ψlk transformisu

na isti nacin, tj. permutacija indeksa ne menja transformacioni zakon. Definisimo simetrican iantisimetrican deo tenzora ψij

Sij =1

2

(ψij + ψji

)Aij =

1

2

(ψij − ψji

)(2.48)

32

Lako se vidi da

P12Sij = Sij

P12Aij = −Aij. (2.49)

Takodje

Sij′ = U ikU

jlSkl

Aij′ = U ikU

jlA

kl . (2.50)

Dakle, pri SU(n) transformacijama simetrican (antisimetrican) tenzor se transformisu u simetrican(antisimetrican) tenzor. Tenzor ψij smo dekomponovali

ψij = Sij + Aij (2.51)

u ireducibilne komponente. Simetrican i antisimetrican tenzor ne mogu se dalje dekomponovati.Ovo se moze generalisati na tenzore viseg ranga (koji ima ili samo gornje ili samo donje in-dekse). Bazisni vektori (tenzori) ireducibilnih reprezentacija SU(n) grupe su tenzori definisanepermutacione simetrije izmedju indeksa. Npr. tenzor treceg reda ξijk se dekomponuje na sledecinacin

ξijk =1

6(ξijk + (ξj[ik] + ξi[jk]) + (ξ[ij]k + ξ[ji]k) + ξ[ijk]) . (2.52)

Prvi sabirak u (2.52) je totalno simetrican

ξijk = S123ξijk

= (1 + P12 + P13 + P23 + P13P12 + P12P13)ξijk

= ξijk + ξjik + ξkji + ξikj + ξkij + ξjki . (2.53)

Zadnji sabirak je totalno antisimetrican

ξ[ijk] = A123ξijk

= (1− P12 − P13 − P23 + P13P12 + P12P13)ξijk

= ξijk − ξjik − ξkji − ξikj + ξkij + ξjki . (2.54)

Ostali sabirci u (2.52) su tenzori mesane simetrije. Tenzor ξj[ik] je simetrican po prvom idrugom indeksu:

ξj[ik] = S12A13ξijk

= (1 + P12)(1− P13)ξijk

= ξijk + ξjik − ξjki − ξkji . (2.55)

Prvo smo izvrsili antisimetrizaciju po prvom i trecem indeksu pa zatim simetrizaciju po prvom idrugom. Dobijeni tenzor nije antisimetrican po prvom i trecem indeksu. Postoji jos jedan tenzorsimetrican po prvom i drugom indeksu, ξi[jk] On je

ξi[jk] = S12A23ξijk

= (1 + P12)(1− P23)ξijk

= ξijk + ξjik − ξikj − ξkij . (2.56)

33

Tenzor ξi[jk] ne sadrzi nova bazisna stanja u odnosu na tenzor ξj[ik]. Preostala dva tenzoramesane simetrije su antisimetricna po prvom i drugom indeksu:

ξ[ij]k = A12S23ξijk

= (1− P12)(1 + P23)ξijk

= ξijk + ξikj − ξjik − ξkij (2.57)

ξ[ji]k = A12S13ξijk

= (1− P12)(1 + P13)ξijk

= ξijk + ξkji − ξjik − ξjki . (2.58)

Ireducibilne komponente permutacione grupe nalaze se pomocu Jungovih sema. One za slucajSU(n) grupe izgledaju kao na slici

Sastoje se od najvise n vrsta i svaki sledeci red sadrzi isto ili manje kockica nego prethodni.Fundamentalni teorem: Ako je ν−cesticno stanje ireducibilan tenzor permutacione grupe Sν i

ako je ono konstruisano od jednocesticnih stanja koja su bazisni vektori ireducibilne n−dimenzionereprezentacije od SU(n) onda je to stanje ireducibilan tenzor SU(n) grupe.

Kompaktna poluprosta Lijeva algebra ranga l ima l dijagonalnih operatoraHi (i = 1, 2, . . . , l).Njihov zajednicki svojstveni problem je

Hiψ(j)m = miψ

(j)m (2.59)

gde (j) oznacava reprezentaciju, dok indeks m klasifikuje vektore. Uvedimo vektore

m = (m1,m2, . . . ,ml)

H = (H1, H2, . . . , Hl) (2.60)

tada (2.59) postajeHψ(j)

m = mψ(j)m , (2.61)

gde su ~m tezine. Standardna forma su(2) algebre je

H1 =1

2σ3, E1 =

σ1 + iσ2

2√

2, E−1 =

σ1 − iσ2

2√

2.

Bazisni vektori ove reprezentacije su

ψ(1/2)1/2 =

(10

)= u1 ψ

(1/2)−1/2 =

(01

)= u2

H1u1 =1

2u1 m(1) = +

1

2

H1u2 = −1

2u2 m(2) = −1

2.

34

U kvantnoj mehanici u1, u2 su bazisna spinska stanja, dok na ovom kursu u1, u2 su bazisnaizospinska stanja (p, n). Tezine su ±1

2. To je z−projekcija (izo)spina. Svojstvene vektore

oznacavacemo kao na slici

Dakle, jedna kockica predstavlja dvodimenzionu ireducibilnu reprezentaciju SU(2) grupe. Proizvoddve dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe SU(2) je reducibilna reprezentacija kojaje direktni zbir singletne i trodimenzione reprezentacije

1

2⊗ 1

2→ 1⊕ 0 .

Vektori trodimenzione reprezentacije su simetricni a jednodimenzione antisimetricni12

Dve kockice u vrsti (koloni) oznacavaju simetricno (antisimetricno) stanje. Mozemo dalje anal-izirati trocesticno stanje. Ireducibilne reprezentacije su Jungove seme SU(2) grupe koje se sastojeod tri kockice. Jungova sema sa tri kockice u vrsti oznacava simetricna stanja. Pored njih postojii stanje mesane simetrije. Ocigledno je da ne postoji trocesticno totalno antisimetricno stanje.Zato Jungova sema za SU(2) grupu moze imati najvise dve vrste.

Jasno je da su bazisni tenzori simetricne reprezentacije:

u1u1u1,1√3

(u2u1u1 + u1u2u1 + u1u1u2) ,

1√3

(u2u2u1 + u2u1u2 + u1u2u2), u2u2u2 . (2.62)

12ψiψj = 12 (ψiψj + ψjψi) + 1

2 (ψiψj − ψjψi)

35

Kod dva stanja mesane simetrije mozemo ukloniti prve kolone jer se taj deo tezora transformisepo singletnoj (jednodimenzionoj) reprezentaciji. Do sada smo razmatrali SU(2) grupu. Ovose moze generalisati. Simetrican tenzor Sij reprezentujemo Jungovom semom od dve kockice uvrsti (prva Jungova sema na slici) a antisimetrican sa dve kockice u koloni (druga sema). TrecaJungova sema na slici je totalno simetrican tenzor treceg reda, dok je zadnji tenzor mesanesimetrije.

Standardno uredjenje

Razmotricemo tenzor mesane simetrije grupe SU(3)

Postoji osam nezavisnih tzv. standardno uredjenih Jungovih sema. Nestandardne seme su ilinula ili se mogu napisati kao linearna kombinacija standardnih. Da bi dobili standardno uredjenjeJungove seme SU(n) grupe potrebno je da brojeve 1, . . . , n upisujemo u kockice seme ali takoda oni ne opadaju u vrsti, a rastu kad se gleda po kolonama. To je uradjeno na prethodnojslici za SU(3) simetriju. Posto postoji osam standardno uredjenih Jungovih sema ireducibilnareprezentacija je osmodimenziona.

Racunanje dimenzije ireducibilne reprezentacije SU(n) grupeDimenzija ireducibilne reprezentacije je kolicnik D1/D2. U svaku kockici Jungove seme

upisemo po jedan broj na sledeci nacin. U prvu kockici stavimo broj n, narednu u prvoj vrstibroj n+ 1 itd. U narednoj vrsti startujemo sa brojem n− 1, zatim doilazi n itd. Proizvod svihovih brojeva je D1. Broj D2 je takodje proizvod brojeva pridruzenih svakoj kockici seme. Taj

36

broj za datu kockicu je broj kockica koji se od date vidi na desno i na dole plus broj 1 za samukockicu. Na sledecoj slici su izracunate dimenzije za dve seme.

Proizvod IR SU(n) grupe je reducibilna reprezentacija. Ireducibilne komponente nalazimo pri-menom sledeceg pravilaDekompozicija

1. U prvi red prve tablice upisemo a, u drugi b itd.

2. Dodajemo kockicu sa indeksom a u drugu tablicu na sve moguce nacine, zatim drugu aitd, ali tako da se u istoj koloni ne nalazi dva a. To ponovimo sa b, c,...

3. Svi dodati simboli se procitaju sa desna na levo u prvom redu, zatim u drugom itd. Levood svakog elementa mora biti:

N(a) ≥ N(b) ≥ N(c) . . .

Primer

Prvi korak :

Drugi korak :

37

Treci korak :

Vektor ψi se transformise po definicionoj (n−dimenzionoj-fundamentalnoj) ireducibilnoj reprezentacijiSU(n) grupe. Njega predstavljamo jednom kockicom. Kako je ψiψi skalar to se ψi = (ψi)

∗ trans-formise po konjugovanoj n∗ ireducibilnoj reprezentaciji.

=

=

Dve reprezentacije su konjugovane ako kad jednu Jungovu semu zarotiramo za 1800 i dodamodrugoj semi dobijemo jedinicnu reprezentaciju.

2.8 SU(3) kvark model

Matrice λ3 i λ8 komutiraju i one cine Karatnovu podalgebru su(3) algebre

H1 =1√6

1 0 00 −1 00 0 0

H2 =1

3√

2

1 0 00 1 00 0 −2

. (2.1)

Zajednicki svojstveni bazis ove dve matrice je

u1 =

100

u2 =

010

u3 =

001

. (2.2)

38

Uvedimo vektorH = (H1, H2) . (2.3)

Tezine se lako nalaze:

Hu1 =

(1√6,

1

3√

2

)u1 ⇒m(1) =

(1√6,

1

3√

2

)Hu2 =

(− 1√

6,

1

3√

2

)u2 ⇒m(2) =

(− 1√

6,

1

3√

2

)Hu3 =

(0,−√

2

3

)u3 ⇒m(3) =

(0,−√

2

3

). (2.4)

Tezine su dvodimenzionalne. Ako uvedemo

I3 =

√6

2m1 Y =

√2m2

onda vektori tezina u koordinatama (I3, Y ) su

m(1) =

(1

2,1

3

)m(2) =

(−1

2,1

3

)m(3) =

(0,−2

3

). (2.5)

Tezinski dijagram trodimenzione reprezentacije je prikazan na slici

Ako je U = eiθa λa

2 onda konjugovanjem dobijamo U∗ = e−iθa λa∗

2 , odakle sledi da su −λ∗a2

=

−λTa2

generatori konjugovane trodimenzione reprezentacije, 3∗. Konjugovana reprezentacija nijeekvivalentna prvoj fundamentalnoj za SU(n), n > 2. Tezinski dijagram 3∗ reprezentacije je

39

3∗ je tzv. druga fundamentalna reprezentacija SU(3) grupe13. Visedimenzione reprezentacijedobijaju se mnozenjem fundamentalnih reprezentacija. Mezoni i barioni nalaze se u singletnoj(jedinicnoj), osmodimenzionoj i desetodimenzionoj repreprezentaciji grupe SU(3) (osmostrukosvrstavanje). Gell-Mann i Zweig su uveli kvarkove kao konstituente hadrona. Kvarkovi se nalazeu trodimenzionoj reprezentaciji SU(3) grupe. Postoji tri tipa (flavour) kvarkova: up (gornji),down (donji) i strange (cudni). Njihovi kvantni brojevi su dati u tabeli

Q I I3 Y S Bu 2/3 1/2 1/2 1/3 0 1/3d −1/3 1/2 −1/2 1/3 0 1/3s −1/3 0 0 −2/3 −1 1/3

Naelektrisanje se racuna prema

Q = I3 +Y

2= I3 +

1

2(B + S) .

Vidimo da je naelektrisanje (anti)kvarkova trecinsko, tj. nije celobrojan umnozak elementarnognaelektrisanja. Antikvarkovi su anticestice kvarkova. Oni su bazisni vektori konjugovane trodi-menzione reprezentacije, 3∗

13Grupa SU(n) ima n− 1 fundamentalnu reprezentaciju.

40

Njihovi kvantni brojevi su dati u tabeli:

Q I I3 Y S Bu −2/3 1/2 −1/2 −1/3 0 −1/3d 1/3 1/2 1/2 −1/3 0 −1/3s 1/3 0 0 2/3 1 −1/3

Zadatak: Pokaati da se ui i εijkujuk transformisu na isti nacin pri SU(3) transformacijama.Mezoni su vezana stanja kvarka i antikvarka:

Oni su u osmodimenzionoj i singletnoj reprezentaciji grupe SU(3). Standardne tablice osmodi-menzione reprezentacije su

gde smo izracunali tezine za svaku komponentu tenzora koristeci aditivnost tezina. Tezinskidijagrami osmodimenzione i singletne reprezentacije su

41

Sada cemo odrediti kvark strukturu skalarnih mezona. Kako je η′ singlet to je

η′ =uu+ dd+ ss√

3. (2.6)

Talasna funkcija π0 mezona je

π0 =uu− dd√

2. (2.7)

Iz uslova ortogonalnosti dobija se

η0 =uu+ dd− 2ss√

6. (2.8)

Preostale cestice su:

Mezoni η0 i η′ imaju iste kvantne brojeve.Vektorski mezoni imaju spin 1. Oni imaju istu kvark strukturu kao i skalarni mezoni (spin

0) i zapravo su pobudjena kvark-antikvark stanja. Tako npr. ρ+ mezon se sastoji od ud kao iπ+ mezon. Oni imaju razlicite mase. Masa ρ+ mezona je 770MeV a π+ mezona oko 140MeV .

Barioni su vezana stanja tri kvarka. Proizvod tri trodimenzione reprezentacije, 3 × 3 × 3razlozicemo u ireducibilne komponente:

42

Dobili smo jednu desetodimenzionu, dve osmodimenzione i singletnu IR grupe SU(3).Proizvod dve trodimenzione reprezentacije je direktni zbir jedne simetricne

uSij = uiuj + ujui (2.9)

i jedne antisimetricne ireducibilne reprezentacije

uAij = uiuj − ujui. (2.10)

Sada preostaje da ove tenzore pomnozimo sa jos jednim tenzorom uk. Proizvod uAijuk dekom-ponujemo prema

uAijuk =1

3[(uAijuk + uAkiuj + uAjkui)

+ (uAijuk − uAkiuj)+ (uAijuk − uAjkui)] . (2.11)

Prvi red u (2.11) je antisimetrican tenzor

uiujuk − ujuiuk + ukuiuj − uiukuj + ujukui − ukujui , (2.12)

tj. singletna reprezentacija. Drugi red u (2.11) je tenzor mesane simetrije (osmodimenzionareprezentacija)

uiujuk + uiukuj − ujuiuk − ukuiuj (2.13)

dok je treci reduiujuk + ukujui − ujuiuk − ujukui . (2.14)

Oba ova ireducibilna tenzora su antisimetricna po prvom i drugom indeksu i one sadrze istebazisne vektore. Proizvod uSijuk se dekomponuje prema

uSijuk =1

3[(uSijuk + uSkiuj + uSjkui)

+ (uSijuk − uSjkui)+ (uSijuk − uSkiuj)] . (2.15)

Prvi red u (2.15) je totalno simetrican tenzor (desetodimenziona reprezentacija)

uiujuk + ujuiuk + ukuiuj + uiukuj + ujukui + ukujui . (2.16)

U drugom i trecem redu je nova osmodimenziona reprezentacija simetricna po prva dva indeksa.Npr. tenzor u drugom redu je

uiujuk + ujuiuk − ukujui − ujukui . (2.17)

Tenzor u trecem redu nije nova osmodimenziona reprezentacija. Dakle proizvod tri trodimen-zione reprezentacije je direktni zbir singletne, dve osmodimenzione (jedne simetricne a druge

43

antisimetricne po prva dva indeksa) i jedne desetodimenzione ireducibilne reprezentacije. Ovadekompozicija je ista kao i dekompozicije (2.52) jer se tenzori ξijk i uiujuk transformisu na istinacin.

Na osnovu kvantnih brojeva lako mozemo odrediti kvark strukturu 1/2 bariona:

p = uud n = udd Σ+ = uus Σ0 =ud+ du√

2s Σ− = sdd

Ξ0 = ssu Ξ− = ssd Λ0 =ud− du√

2s .

Funkcije stanja se mogu takodje lako naci, npr.

p =2uud− duu− udu√

6

n =udd+ dud− 2ddu√

6. . . . (2.18)

Postoje dve osmodimenzione reprezentacije. Jedna je simetricna po prva dva indeksa i mi smou njoj napisali talasne funkcije protona i neutrona. Druga osmodimenziona reprezentacija jeantisimetricna po prva dva indeksa. Napisite talasne funkcije protona i neutrona u ovom oktetu.

Stanja desetodimenzione reprezentacije su totalno simetricna pa je

2.8.1 ω − φ mesanje

Osma komponenta vektorskog mezonskog multipleta i singlet su

ω8 =uu+ dd− 2ss√

6

ω1 =uu+ dd+ ss√

3. (2.19)

44

Za obe je I3 = 0 i Y = 0. Realne fizicke cestice ω (783 MeV) i φ (1020 MeV) ne moraju biti nijedna od njih dve vec njihove linearne kombinacije

ω = sin θω8 + cos θω1

φ = cos θω8 − sin θω1 ,

(2.20)

gde je θ ugao mesanja. Ispostavlja se da je

ω =uu+ dd√

2(2.21)

φ = ss . (2.22)

Eksperimentalna vrednost ugla mesanja je θ = 39 . Ovo mesanje je moguce zbog spontanognarusenja simetrije.

2.9 Sest kvarkova i veca simetrija

Rihter i Ting su 1974. godine otkrili J/ψ−mezon (sarmonijum) pri sudarima elektrona i poz-itrona. Masa ovog mezona je dosta velika, 3100MeV. Sa druge strane njegova sirina raspadaje dosta mala, Γ = 0, 07MeV. Dakle, radi se o veoma uskoj rezonanci. Sirina raspada drugihmezona grupisanih u SU(3) multiplete je znatno veca od ove; npr. sirina ρ mezona je 150MeV.Kako je J/ψ−mezon znatno vece mase to bi njegova sirina, zbog veceg faznog prostora, trebaloda bude znatno veca. Ocekivali bi da je ona reda 100MeV. Iz ovoga se jedino moze zakljucitida je J/ψ−mezon vezano stanje novog kvarka i odgovarajuceg antikvarka. Novi cetvrti kvarkje poznat kao ”charmed” (sarm) c. Dakle, J/ψ ∼ cc. Kvark c nosi novi kvantni broj: sarm,C pa simetriju moramo prosiriti sa SU(3) na SU(4). Rang SU(4) grupe je tri. Postoje triaditivna kvantna broja: treca komponenta izospina, hipernaboj (ili stranost), i sarm (C). Onise odrzavaju u jakim interakcijama.

1977. godine Lederman je otkrio Y−mezon. Njegova masa je 9460MeV. Opet, ovaj mezonima znatno manju sirinu nego sto bi se ocekivalu u okviru SU(4) simetrije. Sastoji se od bkvarka i njegovog antikvarka. Slovo b potice od ”bottom” ili “beauty”. Novi adtitivni kvantnibroj obelezili smo sa D. Iz razloga simetrije sa leptonima morao je postojati i sesti kvark, tzv.t kvark (”top” ili ”true“ kvark). Ovaj kvark je otkriven 1995 godine u Fermilab-u. Ukupnasimetrija je SU(6)− flejvorna14 simetrija kvarkova. Dakle postoji sest kvarkova grupisanih u trigeneracije (

ud

) (cs

) (tb

).

Grupa simetrije je prosirena do SU(6):

SU(6) ⊃ . . . ⊃ SU(3) ⊃ SU(2) .

14flavour=tip kvarka

45

Kvarkovi su u setodimenzionoj reprezentaciji SU(6) grupe. Naelektrisanje je

Q = I3 +B + S + C +D +G

2,

gde su C,D i G novi kvantni brojevi pored I3 i S. Naelektrisanje kvarka je ili 23

ili −13. Kvantni

brojevi kvarkova su dati u tabeli

B I I3 S C D G Qu 1/3 1/2 1/2 0 0 0 0 2/3d 1/3 1/2 −1/2 0 0 0 0 −1/3c 1/3 0 0 0 1 0 0 2/3s 1/3 0 0 −1 0 0 0 −1/3t 1/3 0 0 0 0 0 1 2/3b 1/3 0 0 0 0 −1 0 −1/3

Kao sto smo ranije rekli ne postoje slobodni kvarkovi; kvarkovi su zarobljeni (konfajnment)unutar hadrona. Navescemo dva indirektna dokaza za postojanje kvarkova:

1. `N → `′ +×Posmatramo rasejanje lakih leptona na protonu (neutronu). U ovom eksperimentu proton(neutron) se ponasa kao da ima tri centra rasejanja.

2. Posmatrajmo raspad vektorskog mezona u lepton-antilepton par

V 0 → ll, l ∈ (e, µ) . (2.23)

Proces je elektromagnetni pa je sirina raspada proporcionalna sa kvadratom naelektrisanjae2q:

Γ(V 0 → ll) ∼ e2q , (2.24)

sto se lako vidi iz Fajnmanovog dijagrama

U sledecoj tabeli date su talasne funkcije tri vektorska mezona kao i vrednost e2q za svaki

on njih:

ρ0 =uu− dd√

2e2q =

[23−(−1

3

)√

2

]2

=1

2

ω0 =uu+ dd√

2e2q =

[23

+(−1

3

)√

2

]2

=1

18

φ = ss e2q =

1

9. (2.25)

46

Lako se vidi da je odnos sirina raspada

Γ(ρ0 → `l) : Γ(ω0 → `¯) : Γ(φ→ `¯) = 9 : 1 : 2

sto je u skladu sa experimentalnim rezultatom.

2.10 Dopunski kvanatni broj: boja

∆++ rezonanca je vezano stanje tri up kvarka

∆++ = uuu, ` = 0 .

Posto je ona osnovno stanje tri u kvarka to je totalni uglovni moment orbitalnog dela talasnefunkcije ` = 0, tj. ona je totalno simetricna. Spin ove rezonanace je S = 3/2 U stanju Sz = +3/2projekcija spina na z−osu svakog up kvarka mora biti +1/2. Spinski deo talasne funkcije jesimetrican, bas kao sto je i prostorni. Mozemo zakljuciti da je ili totalna talasna funkcija tri upkvarka totalno simetricna funkcija cime bi bio narusen Paulijev princip ili kvarkovi imaju noviskriveni stepen slobode

ψ = ψorb · ψspinψizospin · (?) .

Taj novi stepen slobode je tzv. kolor (boja). Svaki kvark moze biti u tri boje, preciznije svakikvark je triplet SU(3)c grupe.

flavour colouru uR uG uBd dR dG dBs sR sG sBc cR cG cBt tR tG tBb bR bG bB

SU(3)c grupa (nazivamo je SU(3) kolorna grupa) nema nikakve veze sa SU(3) simetrijomvezanom za tip kvarka. Hadroni su SU(3)c singleti. Kolorna talasna funkcija vezanog stanja triup kvarka u ∆++ rezonanci je

εαβγuαuβuγ = uRuGuB − uGuRuB − uRuBuG + uBuRuG − uBuGuR + uGuBuR ,

pa je talasna funkcija antisimetricna u skladu sa Paulijevim principom. Talasna funkcija mezonaje takodje singlet SU(3)c grupe:

qRqR + qB qB + qB qB .

Odnos preseka da se elektron pozitronski par raseje u hadrone i u µ+µ− par je

R =σ(e−e+ → hadroni)

σ(e−e+ → µ−µ+)=

∑tip.kvark.

e2q . (2.1)

47

Mase kvarkova15 su

mu = md ' 300 MeV ms ∼ 600 MeV mc ∼ 1600 MeV .

1. Za energije elektrona i pozitrona u sistemu centra mase koje su ispod 2mc = 3000GeV, uizrazu (2.1) sumiramo po u, d i s kvarku:

R = 3 ·

((2

3

)2

+

(−1

3

)2

+

(−1

3

)2)

= 3 · 2

3= 2.

2. Ukoliko je energija takva da se mogu kreirati u, d, s i c kvarkovi, tj E < 10000GeV ondaje

R = 3(e2u + . . .+ e2

c

)=

10

3.

Obe sume smo mnozili sa tri zbog kolornih stepeni slobode kvarkova. Gornji rezultati zaR su u saglasnosti sa experimentalnium rezultatom koji je prikazan na grafiku

Eksperiment:

m(ω) = 783 MeV m(φ) = 1020 MeV m(ρ) ∼ 770MeV

Napomenimo jos da je efikasni presek za rasejanje e−e+ → qq dat sa

σ(e−e+ → qq) ∼ 1

p4

√1−

4m2q

p2∼ 1

s5=

1

E52

,

gde je p ukupni cetvoroimpuls pozitrona i elektrona.

15Ovo su mase kvarkova kao konstituenata hadrona, to nije masa koju bi stavili u lagranzijan. Masa protonaje oko 900MeV pa je masa u i d kvarka oko 300MeV.

48

2.11 Sta su elementarne cestice

Elementarne cestice su leptoni, kvarkovi i gauge bozoni. Postoji tri generacije leptona:(eνe

) (µνµ

) (τντ

)Leptoni ucestvuju u slabim a ne u jakim interakcijama. Kvarkovi su cestice spina 1/2 kojitakodje formiraju tri familije: (

ud

) (cs

) (tb

)Ucestvuju i u slabim i u jakim interakcijama. Oni nose kolorni stepen slobode.Gauge bozoni su prenosioci interakcija. To su W± i Z0− bozoni koji su prenosioci slabe inter-akcije, foton koji je prenosilac elektromagnetne interakcije, gluoni koji prenose jaku interakciju.Sve ove cestice imaju spin jedan. Prenosnik gravitacione interakcije je graviton. Njegov spin je 2i on jos nije eksperimentalno detektovan. Dodajmo jos i da je Higsov bozon takodje elementarnacestica. O njemu vise reci na narednim stranicama.

49

3 Klasicna teorija polja

3.1 Ojler-Lagranzeve jednacine kretanja

Lagranzev formalizam je uveden u analitickoj mehanici. Dejstvo sistema sa konacnim brojemstepeni slobode je

S[qi] =

∫ tf

ti

L(qi, qi, t)dt , (3.1)

gde su q1, . . . , qn generalisane koordinate a q1, . . . , qn generalisane brzine. Prava trajektorijasistema je ona za koju je dejstvo stacionarno, tj.

δS = 0 . (3.2)

Ovo je Hamiltonov princip. Lako se moze pokazati da uslov stacionarnosti dejstva daje La-granzeve jednacine kretanja

d

dt

(∂L∂qi

)− ∂L

∂qi= 0 . (3.3)

U teoriji polja generalisane koordinate zamenjujemo poljima

qi(t)→ φrx(t) = φr(x) (3.4)

Indeks r je diskretan i on prebrojava polja. Iz prethodnog izraza vidimo da je polje sistem sabeskonacno puno stepeni slobode, jer x ∈ V . Relativisticka polja poseduju izvesna transforma-ciona svojstva pri Lorencovim transformacijama. Za skalarno polje je

φ′(x′ = Λx) = φ(x) . (3.5)

Vektorsko polje se pri Lorencovim transformacijama menja po

A′µ(x′ = Λx) = ΛµνA

ν(x) (3.6)

a Dirakovoψ′(x′) = e−iωµνσ

µν/4ψ(x) .

Generalnoφ′r(x

′ = Λx) = Srs(Λ)φs(x) . (3.7)

Matrice S(Λ) cine reprezentaciju Lorencove grupe

S(Λ1)S(Λ2) = S(Λ1Λ2) .

Polja se transformisu po reprezentacijama Lorencove grupe.Zakon transformacije polja pri Poenkareovim transformacijama je

φ′(x′ = Λx+ a) = φ(x)

A′µ(x′ = Λx+ a) = ΛµνA

ν(x)

ψ′(x′ = Λx+ a) = e−iωµνσµν/4ψ(x) , (3.8)

50

respektivno za skalarno, vektorsko i Dirakovo polje.Transformacija moze biti aktivna (deluje na fizicki sistem, a koordinatni sistem je fiksiran)

ili pasivna (sistem je fiksiran dok transformisemo koordinatni sistem, tj. gledamo isti objekat izrazlicitih sistema). Ako skalarno polje φ(x) transliramo za a duz x− ose dobicemo novu funkcijuφ′(x)

φ′(x) = φ(x− a) , (3.9)

odnosnoφ′(x′ = x+ a) = φ(x).

Transformacija je delovala aktivno; koordinatni sistem je fiksiran a transformacija delujena polje. Transliranje skalarnog polja udesno u fiksnom koordinatnom sistemu ekvivalentno jetransliranju koordinatnog sistema ulevo za a dok je polje fiksirano. U ovom drugom slucajukazemo da transformacija deluje pasivno:

φ′(x′ = x+ a) = φ(x).

φ′(x′) je nova funkcija u novom koordinatnom sistemu.U opstem slucaju dejstvo je oblika

S =

∫ t2

t1

dtL =

∫ t2

t1

dt

∫d3xL =

∫Ω

d4xL ,

gde je Lagranzijan

L =

∫d3xL .

51

Velicina L je gustina Lagranzijana.Gustina Lagranzijana je funkcija polja i izvoda polja

L = L(φr(x), ∂µφr(x)) . (3.10)

Jednacine kretanja za polja se dobijaju iz Hamiltonovog principa. Pri varijaciji polja

φr(x)→ φ′r(x) = φr(x) + δφr(x) (3.11)

infinitezimalna promena dejstva (tj. varijacija dejstva) je

δS =

∫Ω

d4x(L(φ′r(x), ∂µφ

′r(x))− L(φr(x), ∂µφr(x))

)=

∫Ω

d4x( ∂L∂φr

δφr +∂L

∂(∂µφr)δ(∂µφr)

)=

∫Ω

d4x( ∂L∂φr

δφr +∂

∂xµ

( ∂L∂(∂µφr)

δφr

)− ∂µ

( ∂L∂(∂µφr)

)δφr

)=

∫Ω

d4x( ∂L∂φr− ∂µ

( ∂L∂(∂µφr)

))δφr +

∮∂Ω

∂L∂(∂µφr)

δφrdΣµ

=

∫Ω

d4x( ∂L∂φr− ∂µ

( ∂L∂(∂µφr)

))δφr , (3.12)

Povrsinski integral je nula jer je varijacija polja na granici oblasti integracije nula. Iz Hamiltonovogprincipa δS = 0 slede Lagranzeve jednacine kretanja

∂L∂φr− ∂µ

( ∂L∂(∂µφr)

)= 0 . (3.13)

Lagranzijan nije jednoznacno odredjen. Lagranzijanu mozemo da dodamo divergenciju nekefunkcije polja

L → L+ ∂µΛµ(φr) . (3.14)

Ovo je pokazano u zadatku 5.4.Ako je f(x) funkcija a F [f(x)] funkcional, funkcionalni izvod δF [f(x)]

δf(y)je definisan sa

δF =

∫dyδF [f(x)]

δf(y)δf(y) .

Gustina Lagranzijana za slobodno skalarno polje je

L =1

2(∂φ)2 − m2

2φ2 . (3.15)

Da bi sastavili jednacine kretanja trebaju nam

∂L∂φ

= −m2φ,∂L

∂(∂µφ)= ∂µφ . (3.16)

52

Jednacina kretanja je Klajn-Gordonova jednacina

( +m2)φ = 0. (3.17)

Gustina Lagranzijana kompleksnog skalarnog polja je

L = (∂µφ†)(∂µφ)−m2φ†φ , (3.18)

gde je

φ =φ1 + iφ2√

2φ† =

φ1 − iφ2√2

. (3.19)

Jednacine kretanja su( +m2)φ = 0 ( +m2)φ† = 0 (3.20)

Realno skalarno polje ima jedan a kompleksno dva stepena slobode. Spin skalarnog polja je 0.Dirakovo polje opisuje cestice spina s = 1/2. Gustina Lagranzijana je

L = ψ(iγµ∂µ −m)ψ . (3.21)

ψ i ψ su nezavisna polja pa dobijamo dve jednacine kretanja

(iγµ∂µ −m)ψ = 0

i∂µψγµ +mψ = 0. (3.22)

Dobili smo Dirakovu jednacinu.Lagranzijan vektorskog masenog polja je

L = −1

4FµνF

µν +m2

2AµA

µ , (3.23)

gde je Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. Variranjem ovog dejstva dobija se (Prokina jednacina)

∂µFµν +m2Aν = 0. (3.24)

Lagranzijan elektromagnetnog polja

L = −1

4FµνF

µν − jµAµ . (3.25)

Da bismo sastavili jednacine kretanja za potencijale, moramo prvo odrediti

∂L∂Aβ

= −jβ (3.26)

i

∂L∂(∂αAβ)

= −1

2F µν ∂Fµν

∂(∂αAβ)

= −1

2F µν(δαµδ

βν − δβµδαν )

= −1

2(Fαβ − F βα)

= −Fαβ .

53

Figure 1: Lanac tackastih masa

Jednacine kretanja (Maksvelove jednacine) su

∂αFαβ = jβ , (3.27)

odnosno

∂µ(∂µAν − ∂νAµ) = 0

Aν − ∂ν∂µAµ = 0 . (3.28)

Spin vektorskog polja je 1. Bezmaseno vektorsko polje ima dva a maseno tri stepena slobode.Sledeci primer je polje koje nije relativisticko. Neka je n malih kuglica masa m vezano oprugamakonstanti elasticnosti k kao na slici 3.1. Rastojanje izmedju susednih kuglica je l i tada su oprugenedeformisane. Razmotrimo longitudinalne oscilacije ovog sistema. Neka je ξi elongacija i−tekuglice. Lagranzijan sistema je

L =1

2

n∑i=1

mξ2i −

1

2

n∑i=1

k(ξi+1 − ξi)2

=1

2

n∑i=1

l(mlξ2i − kl

(ξi+1 − ξil

)2). (3.29)

U limesu l → 0 velicina m/l = µ predstavlja masu jedinice duzine zice, suma prelazi u integral,diskretna promenjiva sada postaje polje ξ = ξ(t, x). Lagranzijan postaje

L =1

2

∫dx(µ(∂ξ∂t

)2

− Y(∂ξ∂x

)2), (3.30)

gde je Y = kl modul elasticnosti. Jednacina kretanja je

µ∂2ξ

∂t2− Y ∂

2ξ

∂x2= 0 . (3.31)

Fazna brzina longitudinalnih talasa je

v =

√Y

µ. (3.32)

3.2 Hamiltonova formulacija

Analiticka mehanika: Dejstvo sistema sa konacnim brojem stepeni slobode je

S[qi] =

∫ tf

ti

L(qi, qi, t)dt , (3.33)

54

gde su q1, . . . , qn generalisane koordinate a q1, . . . , qn generalisane brzine. Generalisani impulsisu definisani sa

pi =∂L

∂qi. (3.34)

Da bi se n predhodnih jednacina resilo po generalisanim brzinama potrebno je da

det[ ∂2L

∂qi∂qj

]6= 0 . (3.35)

Hamiltonijan je Lezandrova transformacija Lagranzijana

H(p, q) =n∑i=1

piqi − L(q, q) . (3.36)

Hamiltonijan je funkcija generalisanih koordinata i impulsa. Iz

δ

∫dt[ n∑i=1

piqi −H(q, p)]

= 0 (3.37)

dobijaju se Hamiltonove jednacine

pi = −∂H∂qi

= pi, H , (3.38)

qi =∂H

∂pi= qi, H . (3.39)

Poasonova zagrada definisana je sa

f, g =n∑i=1

( ∂f∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi

). (3.40)

Teorija poljaGeneralisani impulsi definisani su sa

πr(x) =∂L∂φr

. (3.41)

Hamiltonijan zavisi od generalisanih impulsa i polja

H =

∫d3x[∑

r

πrφr − L]. (3.42)

VelicinaH =

∑r

πrφr − L (3.43)

je gustina Hamiltonijana. Lako se vidi da je gustina Hamiltonijana realnog skalarnog polja

H =1

2π2 +

1

2(∇φ)2 +

m2

2φ2 . (3.44)

55

Variranjem

δ

∫dt

∫d3x(∑

r

πrφr −H)

=

∫dt

∫d3x[δπrφr + πrδφr −

δH

δφrδφr −

δH

δπrδπr

]=

∫dt

∫d3x[δπrφr − πrδφr −

δH

δφrδφr −

δH

δπrδπr

]= 0 (3.45)

dobijamo Hamiltonove jednacine

∂πr∂t

= − δHδφr

∂φr∂t

=δH

δπr. (3.46)

Poasaonova zagrada je definisana sa

F (t,x), G(t,y) =

∫d3z( δF (t,x)

δφr(t, z)

δG(t,y)

δπr(t, z)− δF (t,x)

δπr(t, z)

δG(t,y)

δφr(t,x)

). (3.47)

Lako se vidi da jeφr(t,x), πs(t,y) = δrsδ(x− y) . (3.48)

Hamiltonove jednacine mozemo prepisati u sledecem obliku

∂πr∂t

= πr, H

∂φr∂t

= φr, H . (3.49)

Hamiltonove jednacine za skalarno polje:

∂π

∂t= m2φ−∆φ

∂φ

∂t= π (3.50)

Kombinovanjem ovih jednacina dobijamo Klajn-Gordonovu jednacinu.

3.3 Neterina teorema

Transformacija simetrije ostavljaju sistem invarijantnim, ona preslikava resenja jednacina kre-tanja ponovo u resenja. Posledica svake globalne kontinualne simetrije su odrzane velicine(naboji, inegrali kretanja).

Pri neprekidnim infinitezimalnim transformacijama

xµ → x′µ = xµ + δxµ

φr(x)→ φ′r(x′) = φr(x) + δφr(x) (3.51)

56

dejstvo se promeni za

δS =

∫Ω′d4x′L(φ′r(x

′), ∂′µφ′(x′))−

∫Ω

d4xL(φr(x), ∂µφr(x)) .

Ω i Ω′ su jedna te ista oblast prostora Minkovskog parametrizovana jednom sa x a drugi put sax′ koordinatama (pasivna transformacija). Element zapremine prostora Minkovskog se menjana sledeci nacin

d4x′ =

∣∣∣∣∂x′µ∂xν

∣∣∣∣ d4x∣∣∣∣∂x′µ∂xν

∣∣∣∣ = det

[δµν +

∂

∂xνδxµ]≈ 1 + ∂µ(δxµ)

gde smo koristilidet(1 + A) = eTr ln(1+A) = eTrA+... = 1 + TrA+ . . . .

Totalna varijacija polja jeδφ = φ′(x′)− φ(x)

dok jeδ0φ = φ′(x)− φ(x)

varijacija forme polja. Veza izmedju njih je

δφ = φ′(x′)− φ(x)

= φ′(x′)− φ(x′) + φ(x′)− φ(x)

= δ0φ(x′) + ∂µφδxµ

= δ0φ(x) + ∂µφδxµ . (3.52)

U poslednjem koraku smo umesto x′ napisali x sto je korektno jer racunamo u prvom redu poδx. Lako se vidi da diferenciranje komutira sa varijacijom forme:

δ0∂µφ = ∂µδ0φ .

Varijacija forme Lagranzijana je

δ0L =∂L∂φ

δ0φ+∂L

∂(∂µφ)δ0∂µφ

a njegova totalna varijacija jeδL = δ0L+ ∂µLδxµ .

57

Prema tome infinitezimalna promene dejstva je

δS =

∫(1 + ∂µδx

µ)d4x(L+ δL)−∫d4xL

=

∫d4x(δL+ L∂µδxµ)

=

∫d4x(δ0L+ ∂µLδxµ + ∂µδx

µL)

=

∫d4x

(∂L∂φr

δ0φr + ∂µ

(∂L

∂(∂µφr)δ0φr

)− ∂µ

∂L∂(∂µφr)

δ0φr + ∂µ(Lδxµ)

)=

∫d4x∂µ

(∂L

∂(∂µφr)δ0φr + Lδxµ

)=

∫d4x∂µJ

µ . (3.53)

Polja zadovoljavaju jednacine kretanja, sto smo iskoristili u cetvrtom redu. Ako su neprekidnetransformacije (3.51) simetrija nase klasicne teorije, tj. δS = 016 onda je

∂µJµ = 0, (3.54)

gde je Neter struja Jµ data sa

Jµ =∂L

∂(∂µφr)δ0φr + Lδxµ =

∂L∂(∂µφr)

δφr − T µνδxν , (3.55)

gde je:

T µν =∂L

∂(∂µφr)∂νφr − Lδµν .

tenzor energije-impulsa. Definisimo naelektrisanja sa

Qa =

∫d3xJa0 . (3.56)

16Opstije: Dejstvo poseduje simetriju ukoliko je

δS =

∫d4x∂µK

µ ,

pa je Neterina struja (∂L

∂(∂µφr)δ0φr + Lδxµ

)−Kµ .

58

Diferencirajmo naboje po vremenu:

dQa

dt=

d

dt

∫d3xja0

=

∫d3x

∂ja0∂t

=

∫d3xdiv~ja (3.57)

=

∮ja · dS . (3.58)

Oblast integracije je najcesce ceo prostor i ja → 0 kad r → ∞. Dakle, uz odgovarajucuasimptotiku polja u beskonacnosti dobijamo

dQa

dt= 0 , (3.59)

tj. naboji su konstante kretanja.Ovim smo pokazali Neterinu teoremu: Ako je dejstvo invarijantno na neprekidne transformacije(koje cine n-parametarsku Lijevu grupu) onda postoji n velicina (naboji) koji su konstante kre-tanja. Njih dakle ima onoliko koliko grupa simetrije ima generatora.

3.4 Fazna invarijantnost

Lagranzijan kompleksnog slobodnog polja

L = (∂µφ†)(∂µφ)−m2φ†φ , (3.60)

invarijantan je na fazne (U(1)) transformacije

φ→ eiθφ, φ† → e−iθφ† . (3.61)

Ove transformacije nisu prostorno vremenske vec su tzv. unutrasnje jer x′ = x. Infinitezimalnepromene su

δφ = iθφ

δφ† = −iθφ†

δxµ = 0 (3.62)

pa je Neter struja

jµ =∂L

∂(∂µφ)δφ+

∂L∂(∂µφ†)

δφ† − T µνδxν

= iθ∂µφ†φ− iθ∂µφφ†

= iθ(φ∂µφ† − φ†∂µφ) . (3.63)

59

Ocuvan naboj je

Q = iq

∫d3x(φ†∂0φ− φ∂0φ) . (3.64)

Kao sto je poznata iz kursa Kvantne mehanike talasna funkcija je odredjena do na fazu.Dirakov Lagranzijan

L = ψ(i∂µγµ −m)ψ

je takodje invarijantan na fazne transformacije

ψ → eiθψ ψ → e−iθψ.

Neter struja je

jµ =∂L

∂(∂µψ)δψ + δψ

∂L∂(∂µψ)

jµ = −θ(ψγµψ) . (3.65)

Kako je θ konstantan parametar to ga mozemo odbaciti pa je struja

jµ = ψγµψ . (3.66)

Ocuvani naboj je

Q =

∫d3xψ†ψ . (3.67)

3.5 Translaciona invarijantnost i tenzor energije impulsa

Pri translacijama

x′µ = xµ + εµ

δφ = 0⇒ δ0φ = −εµ∂µφ (3.68)

dejstvo slobodnog skalarnog polje je invarijantno. Neterina struja je

jµ = (−∂µφ∂νφ+ Lgµν)εν = −Tµνεν . (3.69)

Ocuvana velicina je cetvoroimpuls skalarnog polja

P ν =

∫d3xT 0ν . (3.70)

Nulta komponenta impulsa je Hamiltonijan

H = P 0 =

∫d3xT 00

=

∫d3x[1

2(∂0φ)2 +

1

2(∇φ)2 +

m2

2φ2]

=

∫d3xH . (3.71)

60

Implus slobodnog skalarnog polja je

P i = −∫

d3x∂0φ∂iφ . (3.72)

Tenzor energije impulsa skalarnog polja je simetrican mada u opstem slucaju nije. O simetrizacijitenzora energije videti u zadatku 5.18.

3.6 Lorencova simetrija i uglovni moment

Pri Lorencovim transformacijama δxµ = ωµνxν polja se menjaju po

φ′r(x′ = Λx) = Srs(ω)φs(x) =

(e−

i2ωµνΣµν

)rsφs(x) , (3.73)

gde su Σµν generatori Lorencove grupe u prostoru komponenti polja17. Totalna varijacija poljaje

δφr(x) = − i2ωµν(

Σµν

)rsφs(x) (3.74)

pa je Neterina struja

jµ =∂L

∂(∂µφr)δφr − T µνδxν

= − i2

∂L∂(∂µφr)

ωνρ(Σµν)rsφs(x)− T µνωνρxρ

=1

2ωνρ[− i ∂L

∂(∂µφr)(Σµν)rsφs(x) + (xnT

µρ − xnT µρ)

]=

1

2ωνρMµ

νρ . (3.75)

Ocuvane velicine su

Mνρ =

∫d3xM0

νρ

=

∫d3x[− i ∂L

∂(∂0φr)(Σµν)rsφs(x) + (xνT

0ρ − xρT 0

ν)]. (3.76)

M0i su generatori bustova a Mij generatori rotacija.

17Ovo su generatori u sistemu mirovanja. U zadatku 8.5 pokazano je da je generator spinorskog polja

i(xµ∂ν − xν∂µ) +1

2σµν .

Prva dva sabirka su orbitalni moment dok je

Σµν =1

2σµν

spinski deo uglovnog momenta

61

3.7 Neterina teorema u analitickoj mehanici

U ovoj lekciji cemo generalnije ispitati svojstva simetrije mehanickih sistema. Sistem je opisanlagranzijanom odnosno dejstvom

S =

∫ t2

t1

L(q(t), q(t), t)dt . (3.77)

Ispitivanje simetrije sistema svodi se na ispitivanje ponasanja dejstva pri transformacijamasimetrije. Pri kontinulanim18 transformacijama generalisane koordinate i vreme prelaze u nove,primovane koordinate i vreme prema t→ t′(t), qi(t)→ q′i(t

′). Mi cemo se ograniciti na infinitez-imalne transformacije:

t → t′ = t+ δt(t)

qi(t) → q′i(t′) = qi(t) + δqi(t) . (3.78)

Sa δt(t) oznacili smo infinitezimalnu promenu vremena koja moze da zavisi od t, a sa δqi(t)promene generalisanih koordinata.

Potrazimo promenu dejstva pri transformacijama (3.78). Dejstvo se menja zbog promenekoordinata i vremena. Takodje granice integracije se menjaju. Donja granica integracije nakonsmene postaje t′1 = t′(t1) odnosno infinitezimalno t′1 = t1 + δt(t1). Slicno vazi i za gornju granicuintegracije. Promenu dejstva obelezicemo sa δS i ona je razlika dejstva posle i pre transformacije:

δS = S ′ − S

=

∫ t′2

t′1

L(q′(t′), q′(t′), t′)dt′ −∫ t2

t1

L(q(t), q(t), t)dt . (3.79)

U novom dejstvu S ′ napravicemo smenu promenljive: sa integracije po t′ precicemo na integracijupo t. Jasno je da je

dt′ = dt(

1 +d(δt)

dt

)(3.80)

kao i da je

L(q′(t′), q′(t′), t′) = L(q′(t+ δt), q′(t+ δt), t+ δt)

= L(q′(t), q′(t), t) +dL(q′(t), q′(t), t)

dtδt

= L(q′(t), q′(t), t) +dL(q(t), q(t), t)

dtδt . (3.81)

Pri prelazu iz drugog u treci red uklonili smo primove na koordinatama i brzinama od kojihzavisi lagranzijan u drugom sabirku jer radimo u prvom redu po malim velicinama. Taj clan jeinfinitezimalno mala velicina prvog reda zbog δt. Transformisano dejstvo je

S ′ =

∫ t2

t1

dt(

1 +d(δt)

dt

)(L(q′(t), q′(t), t) +

dL

dtδt)

=

∫ t2

t1

dt(L(q′(t), q′(t), t) +

d(Lδt)

dt

), (3.82)

18Transformacije mogu biti neprekidne (kontinualne) i diskretne.

62

s tacnoscu do prvog reda po malim velicinama.Ako uvedemo varijaciju forme koordinata sa

δ0qi(t) = q′i(t)− qi(t)

onda je

L(q′(t), q′(t), t) = L(q(t), q(t), t) +∑i

∂L

∂qiδ0qi +

∑i

∂L

∂qiδ0

(dqidt

). (3.83)

Primenom Lagranzevih jednacina∂L

∂qi=

d

dt

(∂L∂qi

)(3.84)

imamo

L(q′(t), q′(t), t) = L(q(t), q(t), t) +d

dt

(∑i

∂L

∂qiδ0qi

)(3.85)

Prema tome infinitezimalna promena dejstva je

δS =

∫ t2

t1

dt[ d

dt(Lδt) +

d

dt

(∑i

∂L

∂qiδ0qi

)](3.86)

odnosno

δS =

∫ t2

t1

dtd

dt

[Lδt+

∑i

∂L

∂qiδ0qi

]=

[Lδt+

∑i

∂L

∂qiδ0qi

]∣∣∣t2t1. (3.87)

Ako se dejstvo ne menja pri transformacijama (3.78), tj. ako je δS = 0 onda kazemo da su tetransformacije simetrija naseg modela. Onda iz (3.87) sledi da je velicina

Q = Lδt+∑i

∂L

∂qiδ0qi (3.88)

konstanta kretanja. Dakle, svaka kontinualna transformacija na koju je dejstvo invarijantno dajevelicine koje su konstante kretanja. Ovaj iskaz je Neterina teorema.

Varijacija forme koordinate δ0qi(t) je povezana sa totalnom varijacijom koordinate δqi(t).Lako se vidi

δqi(t) = q′i(t′)− qi(t)

= q′i(t′)− qi(t′) + qi(t

′)− qi(t)= δ0qi(t

′) + qi(t+ δt)− qi(t)= δ0qi(t) + δtqi(t) . (3.89)

Gornja formula je tacna u linearnom redu po varijacijama δt i δqi, zato je δ0qi(t′) = δ0qi(t).

63

Generalnije, dejstvo je invarijantno ukoliko je promena lagranzijana izvod po vremenu nekefunkcije

δS =

∫ t2

t1

dtdδF

dt= δF

∣∣∣t2t1. (3.90)

Promena dejstva, tj. δF se nalazi eksplicitno zamenom transformacije (3.78) u dejstvo. Ako jeδF 6= 0 onda je velicina

Q = Lδt+∑i

∂L

∂qiδ0qi − δF (3.91)

konstanta kretanja.Primer 1. Vremenske translacije su definisane sa

t′ = t+ τ

q′i(t′) = qi(t) , (3.92)

gde je τ konstanta. Ako Lagranzijan ne zavisi ekspicitno od vremena onda je

δS = 0 , (3.93)

tj. δF = 0. Iz δqi(t) = 0 sledi δ0qi(t) = −τ qi(t). Ocuvana velicina prema (3.91) je

Q = Lτ −∑i

qi∂L

∂qiτ = −τ

(∑i

piqi − L). (3.94)

Konstantu −τ mozemo ignorisati pa je ocuvana velicina generalisana energija.Primer 2. Lagranzijan slobodnog izolovanog sistema cestica koje intereaguju centralnim konzer-vativnim silama je

L =1

2

N∑α=1

mαr2α −

1

2

N∑αβ=1

Vαβ(|rα − rβ|) . (3.95)

On je invarijantan na rotacije

t′ = t

r′α = rα + δθ × rα . (3.96)

Opet je δF = 0. Ocuvana velicina je

N∑α=1

∂L

∂rαδ0rα =

N∑α

mαrα · (δθ × rα)

= δθ ·N∑α

mαrα × rα

= δθ · L . (3.97)

64

Ugao rotacije δθ je konstantan pa je moment impulsa L konstanta kretanja. Rotaciona simetrijadaje moment impulsa kao ocuvanu velicinu.Primer 3. Pokazati da je Lagranzijan iz Primera 2 invarijantan na translacije

t′ = t

r′α = rα + ε , (3.98)

gde je ε konstantan vektor i da je cuvana velicina impuls sistema.Primer 4. Ispitati da li je model iz Primera 2 invarijantan na Galilejev bust. Pokazite da jevelicina mrc − tP konstanta kretanja.Galilejev bust je zadat sa

t′ = t

r′α = rα − δVt . (3.99)

Uzeli smo da je brzina δV kojom se krece sistem S ′ infinitezimalano mala. Promena dejstva je

δS =

∫dt[1

2

∑α

mα(rα − δV)2 − 1

2

∑αβ

Uαβ(|rα − rβ|)]

−∫

dt[1

2

∑α

mαr2α −

1

2

∑αβ

Uαβ(|rα − rβ|)]

= −∫

dt∑α

mαrα · δV

=

∫dt

d

dt

(−∑α

mαrα · δV). (3.100)

U gornjoj formuli promenu dejstva smo nasli u linarnom redu po brzini δV. Vidimo da jepromena dejstva integral od izvoda velicine

δF = −∑α

mαrα · δV (3.101)

po vremenu. Dakle Galilejev bust je transformacija simetrije naseg dejstva. Dalje je δt = 0 iδrα = −δVt pa je

Q =N∑α=1

∂L

∂rαδ0rα +

N∑α=1

mαrα · δV

= −N∑α=1

mαrα · δVt+N∑α=1

mαrα · δV

=(mrc − tP

)· δV (3.102)

integral kretanja. Kako je δV proizvoljno to je velicina mrc − tP konstanta kretanja.U prethodna cetiri primera analizirali smo vremenske translacije, rotacije, prostorne translacije

65

i bustove. Ove transformacije cine Galilejeve transformacije. Vidimo da zbog invarijantnostidejstva na Galilejeve transformacija energija, impuls, moment impulsa i velicina mrc − tP sukonstante kretanja.Primer5. Lagranzijan cestice u gravitacionom polju je

L =1

2m(x2 + y2 + z2)−mgz . (3.103)

Pokazati da je ovaj Lagranzijan nije invarijantan na proizvoljne translacije

x → x+ ε1

y → y + ε2

z → z + ε3 , (3.104)

ali da jeste invarijantan na translacije u xy ravni, tj. kad je ε3 = 0.Dakle, ako imate nepoznat sistem i zelite da vidite sta mu je energija, impuls ili momont impulsapotrebno je da pogledate njegovo ponasanje pri vremenskim translacijama, prostornoj translacijii rotacijama. Slicno vazi i za druge velicine.

4 Kalibraciona (gradijentna, gauge) simetrija

4.1 Cestica u elektromagnetnom polju, lokalna simetrija

Neka se cestica mase m i naelektrisanja q nalazi u spoljnjem elektromagnetnom polju opisanompotencijalom Aµ = (ϕ,A). Lagranzijan je

L = −mc2

√1− v2

c2− qϕ+ qv ·A . (4.1)

Generalisani impuls konjugovan polozaju cestice je

P =∂L

∂v= p + qA =

mv√1− v2

c2

+ qA . (4.2)

Hamiltonijan se iz Lagranzijana dobija Lezandrovom transformacijom

H = P · v − L =√

(P− qA)2c2 +m2c4 + qϕ . (4.3)

Gornji izraz mozemo prepisati u obliku

(H − qϕ)2

c2− (P− qA)2 = m2c2 (4.4)

koji je ekvivalentan relaciji koju imamo za slobodnu relativisticku cesticu

E2

c2− p2 = m2c2 . (4.5)

66

Ocigledno da ako u (4.5) napravimo smenu

E → H − qϕp → P− qA (4.6)

dobijamo (4.4). U kvantnoj teoriji Hamiltonijan i impuls su diferencijalni operatori (kada delujuna talasne funkcije u koordinatnoj reprezentaciji)

H → i∂

∂tP→ −i∇ .

Iz (4.6) sledi da pri prelasku iz slobodne teorije na teoriju koja opisuje relativisticku cesticu uelektromagnetnom polju pravimo sledecu smenu

i∂

∂t→ i

∂

∂t− qϕ

−i∇ → −i∇− qA

⇒

∂

∂t→ ∂

∂t+ iqϕ

∇ → ∇− iqA

Kompaktno ova smena se moze zapisati u obliku

∂µ → ∂µ + iqAµ ≡ Dµ (4.7)

gde je Dµ tzv. kovarijantni izvod.Sredingerova jednacina za slobodnu cesticu je

i~∂

∂tψ = − ~2

2m∇2ψ .

Ova jednacina je invarijantna na globalne U(1) transformacije. Ako se cestica nalazi u elektro-magnetnom polju Hamiltonijan je

H =(P− qA)2

2m+ qϕ

pa jednacina kretanja ima oblik

i~∂

∂tψ =

[(−i~∇− qA)2

2m+ qϕ

]ψ

i~∂

∂tψ =

[−(~∇− iqA)2

2m+ qϕ

]ψ(

i∂

∂t− qϕ

)ψ =

[−(∇− iqA)2

2m

]ψ , (4.8)

sto je u skladu sa gore opisanom zamenom ∂µ → Dµ. Ova jednacina ima vecu simetriju odglobalne fazne invarijantnosti. Ta simetrija je

ψ(t, ~r)→ e−iqθ(t,~r)Ψ(t, ~r)

67

ϕ→ ϕ+∂θ

∂tA→ A−∇θ

Aµ → Aµ + ∂µθ

Ovo je lokalna U(1) simetrija. Termin lokalna znaci da parametar θ nije konstanta kao uslucaju globalne simetrije, vec je funkcija vremena i polozaja. Lokalana simetrija se naziva igauge, kalibracionom ili gradijentnom simetrijom.

Lokalna U(1) simetrija u Kvantnoj ElektrodinamiciSlobodni Dirakov Lagranzijan je

L0 = ψ(iγµ∂µ −m)ψ (4.9)

i on je invarijantan na globalne U(1) transformacije

ψ → e−iθψ , (4.10)

gde je θ konstanta. Zamenom obicnog izvoda sa kovarijantnim

Dµ = ∂µ + iqAµ (4.11)

slobodni Dirakov Lagranzijan postaje

L = ψ(iγµDµ −m)ψ − 1

4FµνF

µν (4.12)

gde smo dodali i kineticki clan za elektromagnetno polje. Kroz kovarijantni izvod smo uveliinterakciju elektrona sa elektromagnetnim poljem (minimalno kuplovanje)

L = ψ(iγµ∂µ −m− qγµAµ)ψ − 1

4FµνF

µν . (4.13)

Ovaj Lagranzijan je invarijantan na lokalne fazne transformacije

ψ → e−iqθψ Aµ → Aµ + ∂µθ .

To cemo lako proveriti:

L → ψeiqθ[ie−iqθγµ∂µψ + qe−iqθγµ(∂µθ)ψ −me−iqθψ

− qγµAµe−iqθψ − qγµ(∂µθ)e

−iqθψ]

− 1

4FµνF

µν

= ψ(iγµ∂µ −m− qγµAµ)ψ − 1

4F µνFµν . (4.14)

Dakle, zamenom obicnog izvoda sa kovarijantnim mi lokalizujemo globalnu simetriju i na tajnacin uvodimo interakciju elektrona sa elektromagnetnim poljem. Ova lokalna simetrija jeAbelova. Ovakav vid interakcije se naziva minimalno kuplovanje.

68

4.2 Neabelova kalibraciona simetrija

Neka je

Ψ =

(ψpψn

)dublet SU(2) grupe, gde su ψp i ψn Dirakovi spinori protona odnosno neutrona. Lagranzijan

L = Ψ(iγµ∂µ −m)Ψ

je invarijantan na SU(2) globalne transformacije

Ψ→ eiθa τa

2 Ψ . (4.1)

Parametri θa su konstante. Ako u jednoj tacki prostor-vremena definisemo sta je p, a sta n, ondato vazi u svakoj tacki prostor-vremena. Sada cemo da lokalizujemo ovu simetriju tj. parametritransformacije θa = θa(x) postaju funkcije koordinata prostora Minkovskog. Polja materije sesada transformisu prema

Ψ(x)→ U(θ(x))Ψ(x) = eiθa(x)τa

2 Ψ(x) .

Lako se vidi da kineticki clan u Lagranzijanu nije invarijantan na lokalne transformacije

Ψγµ∂µΨ→ ΨγµU−1∂µ(UΨ) = Ψ(U−1γµ∂µU)Ψ + Ψγµ∂µΨ .

Da bi postigli invarijantnost Lagranzijana obican izvod ∂µ zamenicemo sa kovarijantnim izvodom

Dµ = ∂µ − igAaµτa

2= ∂µ − igAµ .

Uveli smo tri gauge potencijala Aaµ, a = 1, 2, 3. Ima ih onoliko koliko ima grupa simetrije imageneratora. Sa g smo oznacili konstantu interakcije. Na ovaj nacin smo povecali simetriju. Cenakoju placamo je uvodjenje dopunskih stepeni slobode dok je korist da lokalizacijom simetrijeuvodimo interakciju. Ovo su prvi uradili Yang i Mills (Yang, Mills, Phys. Rev. 96 (1954) 191).Da bi imali lokalnu invarijantnost Lagranzijana zahtevacemo da se DµΨ transformise isto kao iΨ:

(DµΨ)′ = U(θ)(DµΨ) . (4.2)

Ovaj zahtev dace nam zakon transformacije potencijala

∂µΨ′ − igA′µΨ′ = U(θ)(∂µΨ− igAµΨ)

(∂µU)Ψ + U∂µΨ− igA′µUΨ = U∂µΨ− igUAµΨ

∂µU − igA′µU = −igUAµ

A′µU =1

ig∂µU + UAµ . (4.3)

Iz poslednjeg izraza uz(∂µU)U−1 = −U∂µU−1 (4.4)

69

dobijamo zakon transformacije potencijala pri lokalnim (gauge, kalibracionim) transformacijama

A′µ = U

(Aµ +

i

g∂µ

)U−1 . (4.5)

Za infinitezimalne lokalne transformacije je

U(θ) = eiτa

2θa ≈ 1 +

i

2τaθa

pa je

A′bµτ b

2=

(1 +

i

2τaθa

)Abµ

τ b

2

(1− i

2τaθa

)− i

g· i

2τa∂µθ

a

(1− i

2τaθa

)A′bµ

τ b

2= Abµ

τ b

2+i

2θaτaτ b

2Abµ −

i

2Abµ

τ bτa

2θa +

1

2gτ b∂µθ

b

A′cµτ c

2= Acµ

τ c

2+ iθaAbµiε

abc τc

2+

1

2gτ c∂µθ

c (4.6)

odnosno19

A′cµ = Acµ +1

g∂µθ

c − εcabθaAbµ

≡ Acµ +1

g(Dµθ)

c . (4.7)

Dakle infinitezimalna promena potencijala je

δAaµ =1

g∂µθ

c − εcabθaAbµ . (4.8)

Pri globalnim transformacijama potencijal se transformisu prema

Ac′µ = Acµ − εcabθaAbµ ,

odnosno uvodeci vektor Aµ = (A1µ, A

2µ, A

3µ)

A′µ = Aµ − θ ×Aµ .

Ovo je vektorski zakon transformacije. Indeks unutrasnje grupe simetrije, a je vektorski indeks.Pri lokalnim infinitezimalnim transformacijama varijacija potencijala δAaµ je zbir gradijentnogclana i clana koji odgovara vektorskoj reprezentaciji SU(2) grupe.

19U pridruzenoj reprezentaciji kovarijantni izvod deluje prema

Dµθa = ∂µθ

a + gεabcAbµθc .

70

Lagranzijan invarijantan na globalne SU(2) transformacije

L0 = Ψ(i∂µγµ −m)Ψ (4.9)

pri lokazlizaciji simetrije prelazi u

L = Ψ

[iγµ(∂µ − igAaµ

τa

2

)−m

]Ψ

= L0 + gΨγµAaµτa

2Ψ = L0 + Lint (4.10)

gde je interakcija (minimalni kapling)

Lint = gψiγµAaµ

τaij2ψj . (4.11)

Verteks je

Kao sto smo vec rekli Aaµ su gauge polja, njihov Lorencov indeks µ ukazuje da je njihov spins = 1. Oni su prenosioci interakcije. Jang i Mils su smatrali da su polja materije p i n sto smovec rekli dok su gauge polja π mezoni

A3µ = π0,

A1µ ± iA2

µ√2

= π± . (4.12)

Njihova interpretacija je bila pogresna. Nukleoni ne intereaguju tako sto razmenjuju π mezone,ali princip lokalizacije simetrije odnosno konstrukcije gauge teorije je dobar.

Da bi Lagranzijan bio kompletan moramo dodati kineticki clan za gauge polja. U slucajuabelove simetrije tenzor jacine polja je definisan sa

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ . (4.13)

Kako ovo generalisati na neabelovu teoriju? Nadjimo komutator dva kovarijantna izvoda

[Dµ, Dν ] Ψ = DµDνΨ−DνDµΨ

= ∂µ(DνΨ)− igAµ(DνΨ)− (µ↔ ν)

= ∂µ∂νΨ− ig(∂µAν)Ψ− igAν∂µΨ− igAµ∂νΨ− g2AµAνΨ− (µ↔ ν)

= −ig(∂µAν − ∂νAµ − ig [Aµ, Aν ])Ψ . (4.14)

Tenzor jacine polja definisacemo sa

[Dµ, Dν ] Ψ = −igFµνΨ . (4.15)

71

Iz posledenje relacije sledi

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − ig [Aµ, Aν ] , (4.16)

odnosno

F aµν

τa

2= ∂µA

aν

τa

2− ∂νAaµ

τa

2− igiεabcAaµAbν

τ c

2. (4.17)

Iz poslednjeg izraza sledi da su komponente jacine polja

F aµν = ∂µA

aν − ∂νAaµ + gεabcAbµA

cν . (4.18)

Nadjimo sada kako se Fµν transformise pri kalibracionim transformacijama

F ′µνΨ′ =

i

g

[D′µ, D

′ν

]Ψ′

= − 1

ig(D′µD

′ν −D′νD′µ)Ψ′

= − 1

igU(DµDν −DνDµ)Ψ = UFµνΨ . (4.19)

Dakle jacina polja se transformise prema

F ′µν = UFµνU−1 . (4.20)

Sada cemo gornji zakon transformacije prepisati preko komponenti

F ′aµντa

2=

(1 + i

τa

2θa)F bµν

τ b

2

(1− iτ

a

2θa)

= F bµν

τ b

2+ iθaF b

µν

[τa

2,τ b

2

]= F b

µν

τ b

2− θaF b

µνεabc τ

c

2. (4.21)

DakleF ′cµν = F c

µν − εcabθaF bµν . (4.22)

Tenzor jacine polja se transformise kao vektor; drugim recima indeks gauge grupe u njegovojoznaci je pravi vektorski indeks. Napomenimo da se Fµν transformise isto i pri lokalnim i priglobalnim transformacijama. Polja materije transformisu se po fundamentalnoj reprezentacijiSU(2) grupe, tenzor jacine polja po pridruzenoj reprezentaciji. Gauge potencijali se transformisunestandardno (nelinearno) pri gauge transformacijama.

Izraz F aµνF

µνa je gauge invarijanta velicina sto se lako proverava:

Tr(FµνFµν)→ Tr(UFµνU

−1UF µνU−1) = Tr(FµνFµν) .

KoriscenjemTr(τaτ b) = 2δab

72

imamoTr(FµνF

µν) = 2F aµνF

µνa

pa je Lagranzijan

L = Ψ(iγµDµ −m)Ψ− 1

4F aµνF

µνa (4.23)

Za razliku od elektromagnetizma gde foton ne intereaguje sam sa sobom u neabelovoj gaugeteoriji postoji interakcija kalibracionog polja samog sa sobom. To sledi iz clana

(∂µAaν − ∂νAaµ + εabcAbµA

cν)

2 .

Prethodno izlaganje se moze lako generalisati. Neka je G prosta grupa ciji su elementi

U = eiθaTa .

Komutacione relacije su [T a, T b

]= ifabcT c.

Polja materije su u fundamentalnoj reprezentaciji grupe G:

ψ → ψ′ = eiTaθaψ ≡ Uψ . (4.24)

Kovarijantni izvod je (kada deluje na polja materije)

Dµ = ∂µ − igAaµT a . (4.25)

Iz zahteva(Dµψ)′ = U(Dµψ) (4.26)

sledi zakon transformacije potencijala

A′aµ = Aaµ +1

g∂µθ

c − fabcθbAcµ . (4.27)

Tenzor jacine polja je definisan preko komutatora pa dobijamo

F aµν = ∂µA

aν − ∂νAaµ + fabcAbµA

cν . (4.28)

73

Njegov zakon transformacije jeF ′aµν = F a

µν − fabcθbF cµν . (4.29)

Jang-Milsov Lagranzijana je

L = Ψ[iγµ(∂µ − igAaµT a

)−m

]Ψ− 1

4F aµνF

µνa . (4.30)

Iz gornjeg Lagranzijana variranjem po potencijalim dobijamo jednacinu kretanja:

DνFµνa = Jµa ,

gde je sruja Jµa = gψγµT aψ. U prethodnoj formuli kovarijantni izvod Dµ deluje na velicinu kojase transformise po pridruzenoj reprezentaciji

DµF = (DµF )aT a = ∂µF − i[Aµ, F ] . (4.31)

Lako se vidi da je(DµF )a = ∂µF

a + gfabcAbµFc . (4.32)

Takodje tenzor jacine polja zadovoljava sledeci identitet

DµFνρ + cikl. = 0 .

Maseni clan m2AaµAµa nije gauge invarijantna velicina i zbog toga ga ne mozemo staviti u La-

granzijan.

5 Spontano narusenje simetrije

Ako je G simetrija fizickog sistema ciji je hamiltonijan H onda mora vaziti

U(g)HU †(g) = H , g ∈ G , (5.1)

tj. hamiltonijan je invarijantan na transformacije ove grupe. Stanja su dobijena delovanjemskupa kreacionih operatora ΦA na vakuum, tj. |A〉 = ΦA|0〉 . Pri transformacijama grupe Goperator ΦA se menja prema

UΦAU† = ΦB . (5.2)

Operator ΦB delovanjem na vakuum daje stanje |B〉. Dakle

|B〉 = ΦB|0〉= U(g)ΦAU

†(g)|0〉= U(g)ΦA|0〉= U(g)|A〉 (5.3)

Simetrija Hamiltonijana se manifestuje u degeneraciji energetskih nivoa

EA = 〈A|H|A〉 = 〈B|H|B〉 = EB . (5.4)

74

U prethodnom racunu koristili smo pretpostavku da je osnovno stanja invarijantno

U |0〉 = |0〉 .

Ako vakuum nije simetrican, tj. |0〉 6= U |0〉 necemo imati degeneraciju nivoa, mada su Hamil-tonijan H i Lagranzijan L invarijantni. U tom slucaju kazemo da je simetrija spontano narusena.Ovaj termin nije najpodesniji, jer simetrija postoji u hamiltonijanu odnosno lagranzijanu, alisimetriju ne poseduje osnovno stanje.

Feromagnetizam je primer spontanog narusenja simetrije. Ukoliko je temperatura iznadtzv. Kirijeve tempereature, Tc feromagnetik je u paramagnetnoj fazi, dok je za T < Tc on uferomagnetnoj fazi. Kada stavimo feromagnetik u dovoljno jako spoljasnje magnetno polje Bmagnetizacija M je paralelna spoljasnjem polju. Gustina slobodne energije u blizini Kirijevetemperature je

u(M) = (∂iM)2 + V (M) ,

gde je potencijal

V (M) = α1(T )(M ·M) + α2(M ·M)2 + . . . (αi > 0)

Gustina slobodne energije u i potencijala V su invarijantni na rotacije. Funkcija α1 je

α1(T ) = α(T − TC) ,

gde je α pozitivna konstanta. Minimum energije je odredjen sa

∂V

∂Mi

= 0

odakle dobijamoM(α1 + 2α2M

2) = 0 .

Ukoliko je temperatura iznad kriticne T > TC osnovno stanje ima nultu magnetizaciju M = 0 .U feromagnetnoj fazi, T < TC osnovno stanje je odredjeno sa

M =

√− α1

2α2

Intenzitet magnetizacije osnovnog stanje je odredjen odnosom konstanti α1 i α2 dok je smerproizvoljan sto reflektuje SO(3) simetriju. Ali kada izberemo jedan smer za magnetizaciju(pomocu spoljasnjeg magnetnog polja) onda smo narusili rotacionu simetriju. Bolji termin jeskrivena simetrija.

75

Simetrija vakuuma nije SO(3) vec SO(2).Spomenucemo jos jedan primer iz nuklearne fizike. Jezgra poseduju rotacionu simetriju.

Nuklearna sila je rotaciono invarijantna, ali osnovno stanje kada je spin jezgra razlicit od nulenije rotaciono invarijantno.

U |0〉 6= 0 Qa|0〉 6= 0 ∃ 〈φj〉0 6= 0

[Qa, φj] = itaijφj ⇒ 〈|φi|〉 6= 0

〈0|φi(x)|0〉 = 〈0|φi(x)|0〉 = 〈0|eipxφi(0)e−ipx|0〉 = 〈0|φi(0)|0〉 = const

5.1 Spontano narusenje diskretne simetrije

Neka je gustina Lagranzijana data sa

L =1

2(∂µφ)2 − V (φ) , (5.5)

gde je potencijal

V (φ) =µ2

2φ2 +

λ

4φ4 . (5.6)

Da bi potencijal bio ogranicen sa donje strane uzecemo da je λ > 0 . Generalisani impuls je

π =∂L∂φ

= ∂0φ (5.7)

pa je Hamiltonijan

H =

∫d3x[(φ)2 − 1

2(∂µφ)2 + V (φ)]

=

∫d3x[

1

2(π)2 +

1

2(∇φ)2 + V (φ)] . (5.8)

Minimum energije je odredjen minimumom potencijala V (φ). Razlikujemo dva slucaja:

a) µ2 > 0

76

U ovom slucaju φ = 0 je minimum energije. Osnovno stanje je nedegenerisano.

b) Ako je µ2 < 0 onda za minimum dobijamo

∂V

∂φ= 0

µ2φ+ λφ3 = 0

φ(µ2 + λφ2) = 0

φ = 0 ∨ φ = ±√−µ

2

λ(5.9)

U kvantnoj teoriji postoje dva vakuum |0±〉 tako da

〈0±|φ(x)|0±〉 = v = ±√−µ

2

λ.

Simetrija hamiltonijana H i lagranzijana L je φ → −φ. Kada jedan od minimuma potencijalaizaberemo za osnovno stanje ono ne poseduje diskretnu simetriju. Hilbertovi prostori stanjakonstruisani nad ova dva vakuuma |0±〉 su ortogonalni20. Uzmimo da je 〈φ〉 = +v vakuum iuvedimo novo polje

φ′ = φ− v (5.10)

cija je VOV nula. Smenom (5.10) u Lagranzijan dobijamo

L =1

2(∂φ′)2 − (−µ2)φ′2 − λvφ′3 − λ

4φ′4 (5.11)

20Moze se pokazati da je amplituda tuneliranja iz jednog u drugi vakuum

〈0−|0+〉 ∼ e−CV

gde je C konstanta a V zapremina prostora u kojoj razmatramo kvantnu teoriju. Kad V →∞ gornja amplitudatezi nuli. Ovo je suprotno kvantno mehanickom analogonu kada bi potencijal bio

V (x) =µ2

2x2 +

λ

4x4.

77

odakle vidimo da je polje φ′ postalo maseno polje; njegova masa je

m(φ′) =√−2µ2 . (5.12)

5.2 Spontano narusenje abelova simetrija

Neka je gustina Lagranzijana data sa

L =1

2(∂µφ1)2 +

1

2(∂µφ2)2 − V (φ2

1 + φ22) , (5.13)

gde je potencijal

V (φ21 + φ2

2) = −µ2

2(φ2

1 + φ22) +

λ

4(φ2

1 + φ22)2 . (5.14)

Prethodna gustina Lagranzijana moze biti prepisana u obliku

L = (∂µφ)†∂µφ+ µ2φ†φ− λ(φ†φ)2 (5.15)

gde smo uveli komplesna polja. Lagranzijan (5.13) je invarijantan na SO(2) rotacije(φ′1φ′2

)=

(cosα sinα− sinα cosα

)(φ1

φ2

). (5.16)

Gustina Lagranzijana (5.15) je invarijantna na U(1) transformacije

φ → e−iαφ (5.17)

φ† → e+iαφ† (5.18)

Ove dve grupe su lokalno izomorfne.Stacionarne tacke potencijala nalazimo iz

∂V

∂φi= −µ2φi + λ(φ2

1 + φ22)φi = 0

φi(−µ2 + λ(φ21 + φ2

2)) = 0 . (5.19)

Za µ2 > 0 minimum je u

φ21 + φ2

2 =µ2

λ= v2

78

Gornja jednacina je invarijantna na rotacije. Izborom 〈φ1〉0 = v i 〈φ2〉0 = 0 za osnovno stanjenarusili smo SO(2) simetriju. Sada cemo ispitati cesticni spektar teorije. Uvdimo smenu

φ′1 = φ1 − v 〈φ′1〉 = 0 .

Gustina Lagranzijana postaje

L =1

2

[(∂φ′1)2 + (∂φ′2)2

]− µ2φ′21 − λvφ′1(φ′21 + φ′22 )− λ

4(φ′21 + φ′22 )2,

odakle citamo mase primovanih polja:

m(φ′2) = 0 m(φ′1) =√

2µ .

Polje φ′1 je dobilo masu dok je polje φ′2 bezmaseno. Bezmaseno polje naziva se Goldstonov bozon.

5.3 Goldstonova teorema

Neka je grupa G kontinualna globalna simetrija Lagranzijana, a H grupa simetrije osnovnogstanja. Neka je n broj generatora G , a n′ broj generatora podgrupe H (n′ ≤ n). Uslednarusenja simetrije u cesticnom spektru pojavljuje se n− n′ bezmasenih Goldstonovih bozona.

Gustina Lagranzijana

L =1

2(∂µφi)

2 − V (φi) (5.20)

je invarijantna naφi → φ′i = φi + iεaT aijφj, a = 1, 2, . . . n (5.21)

Kako je potencijal invarijantan to imamo

δV =∂V

∂φiδφi = iεa

∂V

∂φiT aijφj = 0 a = 1, 2, . . . n .

Iz poslednje relacije sledi∂V

∂φiT aijφj = 0 . (5.22)

Diferenciranjem poslednje relacije po φk i uzimanjem φi = vi gde je

∂V

∂φ

∣∣∣φi=vi

= 0

imamo∂2V

∂φk∂φi

∣∣∣viT aijvj = 0 . (5.23)

Sa druge strane potencijal mozemo da razvijemo oko vakuuma

V (φi) = V (vi) +1

2

∂2V

∂φi∂φk

∣∣∣v(φi − vi)(φk − vk)

79

Matrica

(M2)ik =∂2V

∂φi∂φk

∣∣∣v

je kvadrat masene matrice. Izraz (5.23) postaje

M2kiT

aijvj = 0 (5.24)

svojstveni problem matrice M2. Svojstveni vektori su V a = T av. Oznacimo generatore grupe Gna sledeci nacin

H ︷ ︸︸ ︷T 1, . . . T n

′, T n

′+1, . . . T n︸ ︷︷ ︸G

Jasno je da je

T aijvj = 0 a = 1, . . . n′; T aijvj 6= 0 a = n′ + 1, . . . n .

Dakle M2 ima n− n′ nultih svojstvenih vrednosti (V a 6= 0). To su Goldstonovi bozoni.

5.4 Higsov mehanizam

Higsov mehanizam je spontano narusenje lokalne simetrije. Objasnicemo ga na primeru lokalneU(1) simetrije sa jednim kompleksnim poljem. Jang-Milsov Lagranzijan je

L = (Dµφ)†Dµφ+ µ2φ†φ− λ(φ†φ)2 − 1

4FµνF

µν , (5.25)

gde je kovarijantni izvodDµφ = (∂µ − igAµ)φ , (5.26)

a tenzor jacine poljaFµν = ∂µAν − ∂νAµ . (5.27)

Prethodni Lagranzijan je dobijen lokalizacijom globalne U(1) simetrije. On je invarijantan na

φ→ φ′ = e−iθφ

A′µ = Aµ −1

g∂µθ . (5.28)

Potencijal jeV (φ) = −µ2φ†φ+ λ(φ†φ)2 . (5.29)

Ekstremne vrednosti potencijala su odredjeni sa

∂V

∂φ†= −µ2φ+ 2λ(φ†φ)φ = 0

∂V

∂φ= −µ2φ† + 2λ(φ†φ)φ† = 0 (5.30)

80

odakle za µ2 > 0 dobijamo da je miniumum potencijala u

φ†φ =µ2

2λ=v2

2. (5.31)

Kompleksno polje mozemo zapisati preko realnih polja

φ =φ1 + iφ2√

2. (5.32)

Izabracemo jednu tacku za osnovno stanje ove teorije

〈0|φ|0〉 =v√2

(5.33)

tj.〈0|φ1|0〉 = v 〈0|φ2|0〉 = 0. (5.34)

Osnovno stanje (5.34) nije U(1) invarijantno, tj. simetrija je spontano narusena. Da bi ispitalicesticni spektar teorije uvodimo nova polja

φ′1 = φ1 − v φ′2 = φ2 (〈φ′i〉 = 0)

cija je vakummska ocekivana vrednost jednaka nuli. 〈φ′i〉 = 0 . Dakle

φ =v + φ′1 + iφ′2√

2φ† =

v + φ′1 − iφ′2√2

. (5.35)

Lako se vidi da je

(Dµφ)†Dµφ = [(∂µ + igAµ)φ†](∂µ − igAµ)φ

=1

2[(∂µ + igAµ)(v + φ′1 − iφ′2)](∂µ − igAµ)(v + φ′1 + iφ′2)

=1

2[(∂µφ

′1)2 + (∂µφ

′2)2 − ig∂µ(φ′1 − iφ′2)Aµ(v + φ′1 + iφ′2) +

+ igAµ(v + φ′1 − iφ′2)∂µ(φ′1 + iφ′2) + v2g2AµAµ + . . .] . (5.36)

Gustina Lagranzijana je

L =1

2[(∂µφ

′1)2 + (∂µφ

′2)2 + igAµ(v + φ′1 + iφ′2)∂µ(φ′1 − iφ′2)]

+ . . .+v2g2

2AµA

µ − 1

4FµνF

µν − µ2φ′21 − λvφ′1(φ′21 + φ

′22 )− λ

4(φ′21 + φ

′22 )2

odakle vidimo da je gauge polje postalo maseno

m(A) = vg .

Takodje dobili smo da je masa skalarnog polja (Higsov bozon) m(φ′1) = µ√

2 . Pre spontanognarusenja simetrije imali smo bezmaseno gauge polje Aµ (2 stepena slobode), i dva realna

81

skalarna polja sto je ukupno cetiri stepena slobode. Posle narusenja simetrije polje Aµ je postalomaseno pa ima tri stepena slobode. Pored toga imamo i primovana polja pa je ukupan brojstepeni slobode 5. Ovo neslaganje broja stepeni slobode je prividno jer se ispostavlja da polje φ′2daje nulti doprinos matrici rasejanja. Ono nije fizicki stepen slobode i moze biti odkalibrisano.Naime postoji gauge transformacija posle koje to polje nestaje iz teorije. To se postize u tzv.unitarnom gaugu.

Parametrizujmo polje φ na sledeci nacin (polarna parametrizacija)

φ(x) =1√2

(v +H(x)) eiξ(x)v . (5.37)

Za male oscilacije polja H(x) i ξ(x) se svode na φ′1 i φ′2. Kalibraciona transformacija na polje ipotencijal deluje prema

φ → φ(x) = e−iθ(x)φ(x)

Aµ → A′µ = Aµ −1

g∂µθ(x) (5.38)

odnosno

H ′ = H

ξ′ = ξ − vθ

A′µ = Aµ −1

g∂µθ(x) . (5.39)

Ako umesto potencijala Aµ uvedem Bµ = Aµ − 1gv∂µξ onda se vidi da je polje Bµ invarijantno

na gauge transformacije. Ako specijalno izaberemo da je gauge parametar θ = ξ/v dobijamo daje

H ′ = H

ξ′ = 0

A′µ = Bµ . (5.40)

Ovim izborom gauge parametra fiksirali smo kalibracionu transformaciju. Presli smo u tzv.unitarni gauge

φ → φu(x) = e−iξ(x)v φ(x) =

1√2

(v +H(x))

Aµ → Bµ = Aµ −1

gv∂µξ(x) . (5.41)

Kovarijantni izvod se transformise kao i samo polje

Dµφ→ (Dµφ)u = e−iξ(x)v (Dµφ)

= (∂µ − igBµ)φu . (5.42)

82

Lagranzijan postaje

L = (∂µφ†u + igBµφ

†u)(∂

µφu − igBµφu)

+ µ2φ†uφu − λ(φ†uφu)2 − 1

4GµνG

µν

=1

2(∂µH)2 +

1

2g2BµB

µ(v2 + 2vH +H2) +µ2

2(v +H)2 − λ

4(v +H)4 − 1

4GµνG

µν

=1

2(∂µH)2 − µ2H2 − 1

4(∂µBν − ∂νBµ)2 +

1

2g2v2BµB

µ +

+1

2g2BµB

µH(H + 2v)− λvH3 − 1

4λH4 (5.43)

gde jeGµν = ∂µBν − ∂νBµ (5.44)

Polje Bµ je postalo maseno m(B) = gv, Higsovo polje takodje ima masu m(H) = µ√

2 dok jepolje ξ nestalo tj. odkalibrisano. Ono bi bilo Goldstonov bozon da je simetrija globalna. Uzargonu se kaze da je gauge polje pojelo Goldstonov bozon i tako povecalo broj stepeni slobodeza jedan, tj. postalo je maseno. Analiza broja stepeni slobode data je u sledecoj tablici

pre SNS st. slobode posle SNS st. slobodeφ1 1 H maseno 1φ2 1 Bµ maseno 3Aµ 2

ukupno 4 ukupno 4

6 Slabe interakcije

6.1 Uvod

Najpoznatiji slabi proces je raspad neutrona (β− raspad)

n→ p+ e− + νe.

Fermi je predlozio Lagranzijan koji opisuje ovoj proces

LF = −GF√2

(pγµn)(eγµν) + h.c. , (6.1)

gde je GF = 10−5 1m2p

Fermijeva konstanta a mp je masa protona. Fermijev lagranzijan je proizod

dve vektorske struje. Ovaj raspad je tzv. semileptonski raspad jer u njemu pored leptonaucestvuju i hadroni. U ovu klasu raspada spadaju i sledeci raspadi

K+ → µ+ + νµ, e+ + νe

K+ → π0 + µ+ + νµ, π0 + e+ + νe . (6.2)

83

Postoje i cisto leptonski slabi procesi. Primer je raspad miona:

µ− → e− + νµ + νe .

Treca grupa slabih procesa su hadronski procesi, npr.

K+ → π+π0 (6.3)

i mnogi drugi.Eksperimentalno je otkriveno da slabe interakcije narusavaju parnost (Lee, Yang, Wu). To

znaci da lagranzijan slabih interakcija nije invarijantan na parnost. Uzecemo da je Lagranzijaninterakcije opet proizvod dve naelektrisane struje

L = −GF√2J†µJ

µ , (6.4)

ali zbog narusenja parnosti struja Jµ je razlika pravog vektora (V) i aksijalnog vektora (A).Preciznije struja je zbir leptonske i hadronske struje

Jµ = Jµlep + Jµhadr . (6.5)

Leptonska struja jeJµlep = νeγ

µ(1− γ5)e+ νµγµ(1− γ5)µ , (6.6)

dok je hadronskaJµhad = uγµ(1− γ5)d′ + cγµ(1− γ5)s′ . (6.7)

s i d kvarkovi su pomesani

d′ = cos θcd+ sin θcs

s′ = cos θcs− sin θcd , (6.8)

gde je θc = 130 tzv. Kabibo ugao. On je fenomenoloski parametar. Ove struje nisu invarijantnena parnost. Zbog oblika struja ovaj model se naziva V − A teorija.

Glavni nedostatak ova dva modela slabih interakcija je da nisu renormalizabilini i unitarni.Unitarnost S matrice je povezana sa cinjenicom da verovatnoca da sistem iz pocetnog stanjapredje u sva moguca stanja iznosi 1: ∑

f

|〈f |S|i〉|2 = 1. (6.9)

Odavde je ∑f

〈i|S†|f〉〈f |S|i〉 = 〈i|S†S|i〉 = 1 (6.10)

odnosno S†S = I .

84

Renormalizabilnost je vezana za ponasanje teorije na visokim energijama. Amplituda prelazaza neki proces pored dijagrama bez petlji (’tree level diagrams’) ukljucuje u visim redovimateorije perturbacije dijagrame sa petljama. U prvom redu teorije perturbacije pri rasejanje elek-trona na Kulonovom potencijalu imamo jedan dijagram. U trecem redu (po konstanti interakcijee) imamo sedam dijagrama koji ukljucuju verteksnu korekciju, polarizaciju vakuuma i sopstvenuenergiju elektrona. Usled interakcije masa i naelektrisanje elektrona dobijaju korekcije. Polazniparametri21, su masa i naelektrisanje elektrona m0 i e0. Zbog doprinosa dijagrama viseg redaoni prelaze u fizicke parametre

m = m0 + δm+ · · ·e = e0 + δe+ . . . . (6.11)

δe i δm su korekcije naelektrisanja i mase elektrona u prvom redu teorije perturbacije (jednapetlja). Tacke obelezavaju doprinose u visim redovima teorije perturbacije. Polazni parametri senazivaju goli parametri. Slicno se desava i sa elektronom u kristalnoj resetki. Usled interakcijenjegova masa se menja u odnosu na masu van resetke. U teoriji polja dijagrami viseg reda sudivergentni. To znaci da su korekcije δm i δe divergentne. Da bi dobili konacnu teoriju uzima seda su goli parametri divergentni. Teorija je renormalizabilna ukoliko goli parametri teorije moguda apsorbuju beskonacnosti i postanu fizicki parametri. Nase razmatranje je pojednostavljeno.Napomenimo da se i sama polja renormalizuju u teoriji.

Sledeci model slabih interakcija koji je konstruisan je IVB ( intermedijalni vektorski bozoni)model. On je napravljen po analogiji sa elektrodinamikom. Uvedeno je maseno vektorsko poljeW µ koje prenosi slabu interakciju. Lagranzijan interakcije je proizvod toga polja sa strujom

L = −gJµWµ + c.c. (6.12)

gde je g konstanta interakcije. Ovaj model ima bolje ponasanje na visokim energijama odprethodno opisana dva modela ali je i on nerenormalizabilan.

6.2 Vajlove jednacine

U Vajlovoj (kiralnoj) reprezentaciji γ matrice su

γ0 =

(0 II 0

), γ =

(0 σ−σ 0

),

dok je γ5 matrica

γ5 = iγ0γ1γ2γ3 =

(−I 00 I

). (6.13)

Svojstvene vrednosti matrice γ5 su ±1; odgovarajuci projektori su

PL =1

2(1− γ5) =

(I 00 0

)PR =

1

2(1 + γ5) =

(0 00 I

). (6.14)

21To su parametri koji figurisu u lagranzijanu

85

Nazivamo ih levim odnosno desnim projektorom jer oni projektuju Dirakov spinor

ψ =

(ψLψR

)(6.15)

na levi odnosno desni spinor:

PLψ =

(ψL0

)PRψ =

(0ψR

). (6.16)

Levi i desni Vajlov spinor su svojstveni spinori operatora kiralnosti (matrica γ5). Dirakovajednacina u Vajlovoj reprezentaciji gama matrica je(

−m i ∂∂t

+ iσ · ∇i ∂∂t− iσ · ∇ −m

)(ψLψR

)= 0 , (6.17)

odnosno (i∂

∂t+ iσ · ∇

)ψR = mψL(

i∂

∂t− iσ · ∇

)ψL = mψR . (6.18)

Ako je m = 0 prethodne jednacine su dekuplovane(i∂

∂t+ iσ · ∇

)ψR = 0 (6.19)(

i∂

∂t− iσ · ∇

)ψL = 0 , (6.20)

i nazivaju se Vajlovim jednacinama. One su jednacine za bezmasenu cesticu spina 1/2.Zadatak: Pokazite da se levi(desni) spinor transformisu po (1/2, 0) odnosno (0, 1/2) ire-

ducibilnim reprezentacijama Lorencove grupe.Partikularno resenje za levi Vajlov spinor ψL je

ψL = φe−i(Et−p·x) . (6.21)

Zamenom u jednacinu (6.20) dobijamo E = ±Ep = ±|p|, tj. postoje pozitivno i negativnoenergetska resenja. Neka je pµ = (Ep,p). Pozitivno energetsko resenje za levi spinor je

ψL = u(p)e−ip·x . (6.22)

Impuls ovog stanja je p. Zamenom ovog partikularnog resenja u (6.20) dobijamo

σ · p|p|

u(p) = −u(p) . (6.23)

86

Iz poslednje jednacine vidimo da je helicitet 22 ovog stanja λ = −12. Specijalno ako je p = pez

onda je u(p) =

(01

), pa je partikularno resenje

ψL =

(01

)e−ip·x . (6.25)

U cetvorokomponentnoj notaciji resenje je

u2(p)e−ip·x =

0100

e−ip·x . (6.26)

Energija ovog resenja je Ep = |p|, impuls pez a helicitet je negativan.Analizirajmo sada negativno energetsko resenje

ψL = v(p)eip·x . (6.27)

Zamenom u (6.20) dobijamoσ · p|p|

v(p) = −v(p) . (6.28)

Ako je p = p~ez onda je v(p) =

(01

), pa je partikularno resenje

ψL =

(01

)eip·x . (6.29)

U cetvorokomponentnoj notaciji resenje je

v1(p)eip·x =

0100

eip·x . (6.30)

Energija ovog resenja je E = −|p|, impuls −pez a helicitet je +12. Intepretacija ovog resenja u

teoriji supljina je da odsustvo ovakvog resenja je ekvivalentno sa prisustvom anticestice energije+|p|, impulsa p i pozitivnog heliciteta. Opste resenje za levo Vajlovo polje je

ψL =1

(2π)3/2

∫d3p

1√|p|

(u2(p)c2(p)e−ip·x + v1(p)d†1(p)eip·x

). (6.31)

22U Vajlovoj reprezentaciji matrica Σ je

Σ =

(σ 00 σ

). (6.24)

87

U okviru kvantne teorije polja interpretacija resenja je jednostavnija. Jednocesticno stanjec†2(p)|0 > ima pozitivnu energiju, impuls p i negativan helicitet (levu polarizaciju). Stanjed†1(p)|0 > opisuje anticesticu pozitivne enegije, impulsa p i pozitivnog heliciteta (desna polar-izacija). Bezmasena levo polarisana cestica je neutrino a desno polarisana anticestica je antineu-trino. Dakle, levo Vajlovo polje opisuje neutrino i antineutrino.

Partikularno resenje za desni Vajlov spinor ψR je

ψR = φei(Et−p·x) (6.32)

Zamenom u jednacinu (6.19) dobijamo E = ±Ep = ±|p|, tj. postoje pozitivno i negativnoenergetska resenja. Pozitivno energetski desni spinor je

ψR = u(p)e−ip·x . (6.33)

Zamenom ovog partikularnog resenja u (6.19) dobijamo

σ · p|p|

u(p) = u(p) . (6.34)

Iz poslednje jednacine vidimo da je helicitet ovog stanja λ = +12

jer je impuls cestice p. Ako je

p = pez onda je u(p) =

(10

), pa je partikularno resenje

ψR =

(10

)e−ip·x . (6.35)

U cetvorokomponentnoj notaciji resenje je

u1(p)e−ip·x =

0010

e−ip·x . (6.36)

Energija ovog resenja je Ep = |p|, impuls pez a helicitet je pozitivan.Za negativno energetsko resenje

ψR = v(p)eip·x . (6.37)

iz (6.19) dobijamoσ · p|p|

v(p) = v(p) . (6.38)

Helicitet ovog resenja nije +12

vec −12

jer je impuls ovog stanja −p. Ako je p = pez onda je

v(p) =

(10

), pa je partikularno resenje

ψR =

(10

)eip·x . (6.39)

88

U cetvorokomponentnoj notaciji resenje je

v2(p)eip·x =

0010

eip·x . (6.40)

Opste resenje za desno Vajlovo polje je

ψR =1

(2π)3/2

∫d3p

1√|p|

(u1(p)c1(~p)e−ip·x + v2(~p)d†2(p)eip·x

). (6.41)

Ovo polje opisuje cestice pozitivnog i anticestice negativnog heliciteta.Lako se vidi da su svojstvene vrednosti operatora kiralnosti 1

2γ5 za stanja

u1(p)e−ip·x, u2(p)e−ip·x, v1(p)eip·x i v2(p)eip·x

respektivno data sa +12,−1

2,−1

2,+1

2. Za bezmasene cestice operator kiralnost i helicitet se pok-

lapaju.

6.3 Maseno vektorsko polje

Lagranzijan masenog vektorskog polja je

L = −1

4FµνF

µν +m2

2VµV

µ , (6.42)

gde je Fµν = ∂µVν − ∂νVµ. Variranjem ovog dejstva dobija se jednacina kretanja

∂µFµν +m2V ν = 0. (6.43)

Delovanjem sa ∂µ dobijamo da maseno vektorsko polje zadovoljava sledeci uslov

∂νVν = 0 , (6.44)

i prema tome ono ima tri stepena slobode. Jednacina kretanja je onda

( +m2)V µ = 0 . (6.45)

Partikularno resenje ove jednacine jeεµ(k)e−ik·x , (6.46)

gde je εµ(k) vektor polarizacije. Zamenom (6.46) u (6.44) dobijamo kµεµ(k) = 0 . Postoje tri

nezavisna stanja polarizacije εµr (k), r = 1, 2, 3 koja zadovoljavaju relacije ortogonalnosti

εµr (k)ε∗µs(k) = −δrs . (6.47)

89

Polarizacioni vektori zavise od sistema reference. U sistemu u kome se cestica krece sa impulsomk duz z−ose za vektore polarizacije mozemo izabrati

ε1(k) =

0100

, ε2(k) =

0010

, ε3(k) =1

m

k00ωk

. (6.48)

Ovi vektori zadovoljavaju uslov (6.44), ortogonalni su i deo su bazisa u prostoru Minkovskog.Cetvrti vektor u bazisu je εµ0 = kµ/m. Projekcija spina na z−osu vektora ε3(k) je 0. Sa vektoraε1 i ε2 precicemo na

ε+(k) =1√2

01i0

, ε−(k) =1√2

01−i0

(6.49)

za koje je projekcija spina na z−osu±1. Polarizacioni vektori zadovoljavaju relacije kompletnosti

3∑r=1

εµr (k)εν∗r (~k) = −gµν +kµkν

m2. (6.50)

Opste resenje jednacine (6.45) je

V µ(x) =3∑r=1

∫d3k

(2π)3/2

1√2ωk

(εµr (k)ar(k)e−ik·x + εµ∗r (k)b†r(k)eik·x

). (6.51)

U kvantnoj teoriji polja ar(k) i br(k) su anihilacioni operatori za cestice odnosno anticestice,dok su a†r(k) i b†r(k) odgovarajuce kreacioni operatori. Oni zadovoljavaju standardne bozonskekomutacione relacije.

Propagator je definisan sa

iDµν(x− y) = < 0|TV µ(x)V ν†(y)|0 >

=

∫d4k

(2π)4iDµν(k)e−ik·(x−y) , (6.52)

gde je

Dµν(k) =i(− gµν + kµkν

m2

)k2 −m2 + iε

. (6.53)

7 Standardni model elektroslabih interakcija

7.1 Leptonski sektor

Model slabih interakcija potice od Glesoua, Vajnberga i Salama. Polazna tacka u konstrukcijimodela elektroslabih interakcija je identifikacija grupe simetrije i odredjivanje reprezentacija u

90

kojima se nalaze polja. Za pocetak razmatracemo samo prvu generaciju leptona: elektron injegov neutrino. Uzecemo, za pocetak da su i elektron i neutrino bezmaseni. Talasnu funkcijuelektrona e dekomponovacemo u komponentu leve kiralnosti

eL = PLe =1

2(1− γ5)e

i komponentu desne kiralnosti

eR = PRe =1

2(1 + γ5)e .

Dakle,e = eL + eR . (7.1)

One su svojstvene funkcije operatora kiralnosti

γ5eL = −eLγ5eR = eR . (7.2)

Elektronski neutrino ima levu kiralnost, PRνe = 0, PLνe = νe. Levi (desni) kiralni spinor priLorencovim transformacijama ostaje levi (desni) spinor. Parnost levi spinor transformise u desnii obrnuto (

ψLψR

)→ γ0

(ψLψR

)=

(0 II 0

)(ψLψR

)=

(ψRψL

). (7.3)

Teorija koja je invarijantna na parnost sadrzi i levi i desni spinor. Takav je slucaj sa kvantnomelektrodinamikom. Medjutim, slabe interakcije nisu invarijantne na parnost. Zato se u stan-darnom modelu elektroslabih interakcija levi i desni spinori tretiraju razlicito. Grupa simetrijestandardnog modela elektroslabih interakcija je SU(2)L × U(1)Y . Levi elektron i elektronskineutrino cine dublet SU(2)L grupe:

L =

(νee

)L

(7.4)

dok je desni elektron eR singlet. Dakle, pri SU(2)L transformacijama dublet i singlet se trans-formisu po

L→ L′ = eiθaτa

2 L ,

eR → e′R = eR . (7.5)

SU(2)L transformacija moze da eL transformise u νe, ali ne moze u eR. Razlicito tretiranje leve idesne komponente fermiona vezano je za narusenje parnosti kod slabih interakcija. Grupa SU(2)je tzv. grupa slabog izospina. On nema nikakve veze sa izospinom koji smo ranije uveli kodjakih interakcija. Slabi izospin singleta je 0 dok je treca komponeta slabog izospina neutrina 1

2a

levog elektrona −12. Pored izospina uvescemo i tzv. slabi hipernaboj, Y . On je generator U(1)Y

grupe i definisan je preko naelektrisanja

Q = I3 +Y

2. (7.6)

91

Za levi dublet hipernaboj je YL = −1 a za eR slabi hipernaboj je YR = −2. Gustina Lagranzijana

L0 = iLγµ∂µL+ ieRγµ∂µeR

= i(νe eL

)γµ∂µ

(νeeL

)+ ieRγ

µ∂µeR

= iνLγµ∂µνL + ieγµ∂µe (7.7)

je invarijantna na SU(2)L globalne transformacije i na U(1)Y transformacije

L→ eiβYL2 L

eR → eiβYR2 eR . (7.8)

Lokalizacijom SU(2)L × U(1)Y simetrije dobijamo leptonski sektor standardnog modela

Llep = iLγµDµL+ ieRγµDµeR

= iLγµ(∂µ − ig1YL2Bµ − ig2

τa

2W aµ )L

+ ieRγµ(∂µ − ig1

YR2Bµ)eR . (7.9)

Uveli smo cetiri gauge polja: W aµ , a = 1, 2, 3 i Bµ. Kineticki clan za njih je

Lgauge = −1

4F aµνF

µνa − 1

4fµνf

µν . (7.10)

Ukljucivanjem preostale dve generacije leptona imamo sledeca polja materije

Lµ =

(νµµ

)L

, µR, Lτ =

(νττ

)L

, τR . (7.11)

7.2 Higsov mehanizam

Cestice koje prenose slabu interakciju su masene cestice jer su slabe interakcije kratko dometneSto se neutrina tice njihova masa nije nula, ali je vrlo mala. Mi cemo uzeti da je masa neutrinanula. Elektron (a i mion i taon) nisu bezmasene cestice. Za gauge bozone, W a

µ , Bµ kao iza elektron nismo mogli da stavimo odgovarajuce masene clanove u Lagranzijan jer oni nisuinvarijantni. Kako ce ove cestice dobiti masu?

Oba ova problema resavamo Higsovim mehanizmom. Uvodimo dublet skalarnih polja

φ =

(φ+

φ0

), (7.12)

gde je

φ+ =φ1 + iφ2√

2

φ0 =φ3 + iφ4√

2.

92

Polja φ+ i φ0 su kompleksna. Hipernaboj ovog dubleta je Y (φ) = 1. Da bi narusili SU(2)L ⊗U(1)Y simetriju uvescemo Lagranzijan

Lsc = (Dµφ)†(Dµφ) + µ2φ†φ− λ(φ†φ)2 , (7.13)

gde je kovarijantni izvod

Dµφ =(∂µ − ig1

Y

2Bµ − ig2

τa

2W aµ

)φ . (7.14)

Lagranzijan (7.13) je SU(2)L ⊗ U(1)Y invarijantan.Ekstremne vrednosti potencijala odredjujemo iz

∂V

∂φ†= (−µ2 + 2λ(φ†φ))φ = 0 . (7.15)

Za µ2 > 0 minimum potencijala je

〈φ†φ〉0 =µ2

2λ=v2

2.

Za vakuum cemo izabrati

< φ >0=1√2

(0v

), (7.16)

gde je v realan broj. Sada cemo odrediti simetriju vakuuma. Promena polja φ pri SU(2)L⊗U(1)Yje

φ→ φ′ = eiτaθa

2+iβY

2 φ

≈ φ+ i(τaθa

2+ i

βY

2

)φ . (7.17)

Infinitezimalna promena vakumma je

δφ0 = i(τaθa

2+ i

βY

2

)φ0

=i

2

(θ3 + βY θ1 − iθ2

θ1 + iθ2 −θ3 + βY

)(0

v/√

2

)=

iv

2√

2

(θ1 − iθ2

βY − θ3

)(7.18)

Invarijantnost vakuuma δφ0 = 0 daje θ1 = θ2 = 0 i β = θ3. Dakle vakuum je invarijantan natransformaciju

eiθ3

(τ32

+Y2

)= eiθ3Q . (7.19)

Simetrija vakuuma je U(1)Q, fazna simetrija ciji je generator naelektrisanje. Ovo je vazno jerzelimo da foton ostaje bezmasen. Potpuno ekvivalentno simetriju vakuuma vidimo iz sledecegrazmatranja. Generatori τ1

2, τ2

2, τ3

2, Y

2narusavaju simetriju vakuuma, jer npr.

τ1φ0 =1√2

(0v

)6= 0 (7.20)

93

itd. Ali, generator23 Q = I3 + Y2

ostavlja vakuum invarijantnim:

Qφ0 =1

2√

2

[(1 00 −1

)+

(1 00 1

)](0v

)= 0 . (7.21)

Ovo znaci da smo na nivou osnovnog stanja polaznu simetriju SU(2)L × U(1)Y narusili doU(1)Q. Generator ove simetrije je naelektrisanje; radi se o simetriji elektromagnetizma.

Sada cemo uvesti smenu

φ = ei2v

(τ1ξ1(x)+τ2ξ2(x)+(τ3−Y )ξ3(x)

)(0

v+H(x)√2

)

= U−1

(0

v+H(x)√2

), (7.22)

tj. uvescemo nova realna polja, ξa, H. Kalibracionom transformacijom prelazimo u unitarnigauge

φ → φ′ = UΦ =

(0

v+H(x)√2

)W aµ → W ′a

µ = ...

Bµ → B′µL → L′

eR → e′R . (7.23)

U daljem necemo pisati primove na poljima. Vidimo da su polja ξa odkalibrisana. Nadjimo prvo

Dµφ =(∂µ − ig1

Y

2Bµ − ig2

τa

2W aµ

)( 0v+H(x)√

2

)

=1√2

(−ig2

2(W 1

µ − iW 2µ)(v +H)

∂µH − ig12 (v +H)Bµ + ig22W 3µ(v +H)

). (7.24)

Lagranzijan Lscal postaje

Lscal =1

2(∂H)2 − µ2H2 +

g22v

2

4W+µ W

µ−

+v2

8(g1Bµ − g2W

3µ)2 + . . . , (7.25)

gde smo izostavili interakcione clanove i uveli kompleksna polja

Wµ =W 1µ + iW 2

µ√2

W †µ =

W 1µ − iW 2

µ√2

. (7.26)

23Sa generatora τ1

2 ,τ2

2 ,τ3

2 ,Y2 prelazimo na τ1

2 ,τ2

2 ,12 (τ3 + Y ), 1

2 (τ3 − Y )

94

Cesto se koristi sledeca notacija W(−)µ = Wµ, W

(+)µ = W †

µ. Iz (7.25) vidimo da je masa Higsovog

bozona m =√

2µ. Gauge bozoni W± su postali takodje maseni

MW =g2v

2.

Poslednji clan u (7.25) zahteva dalju analizu. On moze biti prepisan u obliku

v2

8(g1Bµ − g2W

3µ)2 =

1

2

(Bµ W

3µ

)M2

(Bµ

W µ3

)(7.27)

gde je matrica M2 data sa

M2 =v2

4

(g2

1 −g1g2

−g1g2 g22

). (7.28)

Svojsvtene vrednosti ove matrice su λ1 = 0 i λ2 = v2

4(g2

1+g22). Rotacijom za ugao θW (Vajnbergov

ugao) ova matrica se dijagonalizuje. Uvedimo(Bµ

W µ3

)=

(cos θW − sin θWsin θW cos θW

)(Aµ

Zµ

), (7.29)

gde su Zµ i Aµ nova polja. Lako se vidi da je(cos θW sin θW− sin θW cos θW

)(g2

1 −g1g2

−g1g2 g22

)(cos θw − sin θwsin θw cos θw

)=

(A BB C

), (7.30)

gde je

A = (g1 cos θW − g2 sin θW )2 ,

B = −g1g2 cos(2θW ) + (g22 − g2

1)1

2sin(2θW ) ,

C = (g1 sin θW + g2 cos θW )2 .

U dijagonalnom bazisu (7.27) postaje

1

2

(Aµ Zµ

)(0 0

0 v2

4(g2

1 + g22)

)(Aµ

Zµ

). (7.31)

Lako se nalazi da je (B = 0)

tan θW =g1

g2

(7.32)

odnosno

sin θW =g1√g2

1 + g22

cos θW =g2√g2

1 + g22

.

95

Fizicka polja su

Zµ =−g1Bµ + g2W

3µ√

g21 + g2

2

Aµ =g2Bµ + g1W

3µ√

g21 + g2

2

. (7.33)

Dakle

Lscal =1

2(∂H)2 − µ2H2 +

g22v

2

4W+µ W

µ− +1

2

v2(g21 + g2

2)

4ZµZ

µ + . . . (7.34)

Vidimo da je masa Z bozona

MZ =v√g2

1 + g22

2(7.35)

dok je foton Aµ bezmasen. Rezimirajmo: Naelektrisani gauge bozoni W±, neutralni gauge bozonZ0 i Higs su dobili mase. Foton je ostao bezmasen (elektromagnetna gauge simetrija je ostalaposle narusenja simetrije). Polja ξa(x) su odkalibrisana.

7.3 Interakcija leptona sa gauge poljima

Interakcija leptona sa gauge poljim je sadrzana u (7.9). Interakcioni clan je

Lint = iLγµ(ig1

2Bµ − ig2

τa

2W aµ

)L+ ieRγ

µig1BµeR

= −(νe e

)Lγµ(g1

2Bµ −

g2

2

(W 3µ

√2W+

µ√2W−

µ −W 3µ

))(νee

)L

− g1eRγµBµeR

= −g1

4(νγµ(1− γ5)νBµ + eγµ(1− γ5)eBµ)− g1

2eγµ(1 + γ5)eBµ

+g2

4

(νγµ(1− γ5)νW 3

µ +√

2νγµ(1− γ5)eW+µ

+√

2eγµ(1− γ5)νW−µ − eγµ(1− γ5)eW 3

µ

). (7.36)

Dalje je potrebno polja Bµ i W 3µ izraziti preko fizickih polja Aµ i Zµ. Iz (7.36) sledi da je

interakcija leptona sa gauge poljima

Lint = Lnael.str + Lneutr.str. + Lem . (7.37)

Sva tri sabirka u prethodnom izrazu su proizvod gustine struje i gauge potencijala. Prvi sabirakje

Lnael.str =g2

2√

2(νγµ(1− γ5)eW+

µ + eγµ(1− γ5)νW−µ ) . (7.38)

Kako postoji promena naelektrisanja duz fermionske linije u verteksu struja je naelektrisana.Naravno ona je kuplovana sa naelektrisanim gauge bozonima. Iz (7.38) vidimo da je eνeW−verteks

ig2

2√

2γµ(1− γ5) . (7.39)

96

U najnizem redu teorije perturbacije dijagram za rasejanje

e−νe → µ−νµ

je

Amplituda za ovaj proces u najnizem redu teorije perturbacije je

M =( ig2

2√

2

)2

v(p1)γµ(1− γ5)u(p2)u(q1)γν(1− γ5)v(q2)−i(gµν + kµkν/M

2W )

k2 −M2W

. (7.40)

U nisko-energetskom limesu, k2 M2W kapling postaje( g2

2√

2

)2 1

M2W

. (7.41)

Sa druge strane u okviru cetvorofermionske V − A teorije (6.4) dijagram za ovaj proces je datna desnoj strani slike

pa je ( g2

2√

2

)2 1

M2W

=GF√

2(7.42)

odakle jeg2

2

8= GFM

2W/√

2 (7.43)

pa jev = (GF

√2)−1/2 ≈ 250GeV. (7.44)

97

W 3µ preko fizickih polja Aµ i Zµ postaje

Lneutr.str =1

4

√g2

1 + g22 νγ

µ(1− γ5)νZµ

+g2

1

2√g2

1 + g22

eγµ(1 + γ5)eZµ

+g2

1 − g22

4√g2

1 + g22

eγµ(1− γ5)eZµ , (7.45)

odnosnog2

4 cos θW

(eγµ(−1 + 4 cos2 θW + γ5)e+ νγµ(1− γ5)ν

)Zµ . (7.46)

U prethodnom izrazu u struji nema promene naelektrisanja pa se ona naziva neutralnom.Kuplovana je sa neutralnim Z bozonom. Neutralne struje su eksperimentalno otkrivene. Nprproces e−νe → e−νe ”ide” preko neutralne struje:

Dobili smo nove vertekse: eeZ−verteks je

ig2

4 cos θW

(γµ(−1 + 4 cos2 θW + γ5

), (7.47)

a νeνeZ−verteks jeig2

4√

2γµ(1− γ5) . (7.48)

Poslednji sabirak u interakcionom lagranzijanu leptona sa gauge poljima

Lem = − g1g2√g2

1 + g22

eγµeAµ (7.49)

98

je kapling elektromagnetne struje eγµe sa Aµ. Ovo potvrdjuje da je Aµ stvarno foton. Takodjevidimo da je naelektrisanje elektrona

e =g1g2√g2

1 + g22

. (7.50)

Zadatak: Pokazati da se fizicka polja W±, Z0, A pri U(1)Q transformisu prema

δW±µ = ±θ3W±

µ

δAµ =1

e∂µ(2θ3)

δZµ = 0 . (7.51)

7.4 Mase leptona

Maseni clan za elektron−mee = −m(eLeR + eReL) (7.52)

nismo mogli da stavimo u Lagranzijan jer on nije invarijantan na SU(2)L transformacije. Za-hvaljujuci spontanom narusenju lokalne simetrije tj. Higsovim mehanizamom gauge bozoniW±, Z0 su dobili mase. Takodje isti mehanizam ce kreirati mase elektrona, miona i taona.Lagranzijanu SM dodacemo Jukavin clan

LJuk = −Ge√2

[eR(Φ†L) + (LΦ)eR)] (7.53)

koji je SU(2)L ⊗ U(1)Y invarijantan. Posle narusenja simetrije dobijamo

LJuk. = −Ge

2

[eR(0 v +H

)(νLeL

)L

+(νL eL

)( 0v +H

)eR

]= −Ge

2(v +H)(eLeR + eReL)

= −Ge

2(v +H)ee . (7.54)

Iz poslednjeg izraza vidimo da je mase elektrona

me =vGe

2

dok je neutrino bezmasen24. Pored toga dobili smo i interakciju elektrona sa Higsom. Ge je redavelicine 10−6 i to je vrlo mali kapling.

24Danas znamo da ovo nije tacno.

99

7.5 Rezime

Narusenjem simetrije SU(2)L × U(1)Y do elektromegnetne U(1)Q gauge simetrije gauge bozoniW±, Z0 dobili su mase

MW± =g2v

2

MZ =v√g2

1 + g22

2, (7.55)

dok je foton ostao bezmasen jer je preostala elektromagnetna gauge simetrija. Higs (spin=0) jetakodje masen m(H) =

√2µ. Takodje elektron je dobio masu, dok mu je naelektrisanje

e =g1g2√g2

1 + g22

. (7.56)

Kombinujuci prethodne formule dobijamo

MW

MZ

= cos θW

g1 =e

cos θW

g2 =e

sin θW

ρ =M2

W

M2Z cos2 θW

= 1 . (7.57)

Eksperimentalni rezultat za vrednost Wajnbergovog ugla je

sin2 θW = 0, 23120± 0, 0012⇒ θW ≈ 300 , (7.58)

dok je parametar ρ = 0, 998± 0, 005. Masa W± bozona je

MW = 2−5/4 e√GF

1

sin θW=

37GeV

sin θW≈ 80GeV (7.59)

dok je masa Z bozona

MZ =MW

cos θW≈ 90GeV . (7.60)

Pocetni Lagranzijan za leptone sadrzi sledece konstante: gauge kapling konstant g1, g2; param-retre potencijala µ2, λ i Jukava kaplinge Ge, Gµ, Gτ . Umesto njih mozemo uvesti

e, sin θW ,MW ,MH ,me,mµ,mτ . (7.61)

Gauge bozoni W±, Z0 su otktiveni u CERN-u (1984, K. Rubia, S. Vandermer) u sudarimaproton-antiproton. Higsov bozon je otkriven 2012. godine u CERN-u. njegova masa je 125GeV.

100

8 Elektroslaba interakcija kvarkova

Dirakove spinore kvarkova cemo dekomponovati na leve i desne:

u = uL + uR

d = dL + dR

....

t = tL + tR . (8.1)

Leve komponente cine slabe izospinske dublete dok desne komponente kvarkova su singletiSU(2)L grupe. Kvarkovi prve generacije su

QL1 =

(uLdL

), uR, dR . (8.2)

Preostale dve generacije kvarkova su

QL2 =

(cLsL

), cR, sR , (8.3)

QL3 =

(tLbL

), tR, bR . (8.4)

Hipernaboj dubleta je

Y (QL) = 2(Q− I3) = 2(2

3− 1

2

)=

1

3(8.5)

dok je hipernaboj singleta

Y (uR) = Y (cR) = Y (tR) =4

3

Y (dR) = Y (sR) = Y (bR) = −2

3. (8.6)

Uvescemo sledece oznake:

uR1 = uR, uR2 = cR, uR3 = tR

dR1 = dR, dR2 = sR, dR3 = bR (8.7)

i

QLm =

(uLmdLm

), m = 1, 2, 3 . (8.8)

Kvark sektor lagranzijana standardnog modela je

Lq = i

3∑m=1

QLmγµ(∂µ − ig1

Y (QLm)

2Bµ − ig2

τaW aµ

2

)QLm

+ i3∑

m=1

uRmγµ(∂µ − ig1

Y (uR)

2Bµ

)uRm

+ i3∑

m=1

dRmγµ(∂µ − ig1

Y (dR)

2Bµ

)dRm . (8.9)

101

8.1 Mase kvarkova

Ako je

ξ =

(ξ1

ξ2

)(8.10)

dublet SU(2) grupe onda je i ξ = iσ2ξ∗ takodje dublet SU(2) grupe.

Dokaz: Spinor ξ se transformise po dvodimenzionoj reprezentaciji

ξ′ = Uξ = ei2σaθaξ . (8.11)

Lako se vidi da Paulijeve matrice zadovoljavaju

σ2~σ∗σ2 = −~σ (8.12)

odakle sledi da jeiσ2U

∗(−iσ2) = U . (8.13)

Spinor ξ se transformisena sledeci nacin

ξ′ = iσ2ξ′∗ = iσ2U

∗ξ∗

= iσ2U∗(−iσ2)ξ

= Uξ . (8.14)

Konjugovana reprezentacija od dvodimenzione reprezentacije grupe SU(2) je ekvivalentna sasamom dvodimenzionom reprezentacijom. Higsov dublet

φ =

(φ+

φ0

)(8.15)

se transformise po 2-dimenzionoj IR SU(2)L grupe. Medjutim, i

φ = iσ2

(φ+

φ0

)∗=

(φ0

−φ−)

(8.16)

je takodje dublet. Hipernaboji su Y (φ) = 1, Y (φ) = −1.Kvarkovi dobijaju masu posle spontanog narusenja simetrije. Za pocetak razmatrajmo samo

prvu generaciju kvarkova. Jukavin Lagranzijan je

LJuk = −Gu√2

[uR(Φ†Q) + (QΦ)uR]− Gd√2

[dR(Φ†Q) + (QΦ)dR] , (8.17)

gde je

Q =

(uLdL

). (8.18)

Ovaj clan je invarijantan na SU(2)L ⊗ U(1)Y transformacije.Zadatak: Da li je uR(Φ†Q) invarijantan na SU(2)L, U(1)Y , U(1)Q transformacije?

102

Posle spontanog narusenja simetrije (8.17) prelazi u

LJuk = −Gd

2

[dR(0 v +H

)(uLdL

)+(uL dL

)( 0v +H

)dR

]− Gu

2

[ (uL dL

)(v +H0

)uR + uR

(v +H 0

)(uLdL

)]= −Gu

2(v +H)(uLuR + uRuL)− Gd√

2(v +H)(dLdR + dRdL)

= −1

2(v +H)(Guuu+Gddd) . (8.19)

Iz (8.19) vidimo da su u i d kvarkovi postali maseni:

mu =vGu

2, md =

vGd

2. (8.20)

Takodje imamo interakciju Higsovog bozona sa kvarkovima. Na slican nacin se moze dobiti imasa neutrina.

Sada cemo razmatrati sve tri generacije kvarkova. Jukavin lagranzijan je

LJuk = − 1√2

∑m,n

(G(u)mn(QLmΦ)uRn +G(u)∗

mn uRn(Φ†QLm))

− 1√2

∑m,n

(G(d)mn(QLmΦ)dRn +G(d)∗

mn dRn(Φ†QLm)), (8.21)

gde su G(u)mn i G

(d)mn kompleksni brojevi. Gornji lagranzijan poseduje SU(2)L ⊗ U(1)Y simetriju.

Posle spontanog narusenja simetrije Jukavin lagranzijan postaje

LJuk = −∑m,n

(uLmM(u)

mnuRn + uRnM(u)∗mn uLm

)(1 +

H

v

)−∑m,n

(dLmM(d)

mndRn + dRnM(d)∗mn dLm

)(1 +

H

v

), (8.22)

gde je

M(u)mn =

vG(u)mn

2, M(d)

mn =vG

(d)mn

2. (8.23)

Masene matrice M(u) i M(d) nisu dijagonalne. To znaci da kvark stanja uLm, uRm, . . . nisumasena stanja kvarkova vec gauge stanja.

Proizvoljna matrica M se moze dijagonalizovati pomocu tzv. biunitarne transformacijeS†MT = M, gde su S i T unitarne matrice a M dijagonalna matrica. Lako se vidi da jeMM† = SMM †S† = SM2S† i M†M = TM2T † . Matrice M†M i MM† su hermitske ipozitivne. Dakle,

M(u) = S(u)M (u)T (u)†

M(d) = S(d)M (d)T (d)† . (8.24)

103

Matrice M (u) i M (d) su dijagonalne sa pozitivnim svojstvenim vrednostima. Jukavin lagranzijanje

LJuk = −(uLm(S(u)M (u)T (u)†)mnuRn + uRm(T (u)M (u)S(u)†)mnuLn

)(1 +

H

v

)−(dLm(S(d)M (d)T (d)†)mndRn + dRm(T (d)M (d)S(d)†)mnuLn

)(1 +

H

v

). (8.25)

Sa polja uL, uR, . . . precicemo na nova polja

T (u)†uR = u′R, S(u)†uL = u′L

T (d)†dR = d′R, S(d)†dL = d′L (8.26)

gde je

u′L =

u′Lc′Lt′L

, d′L =

d′Ls′Lb′L

(8.27)

i analogno za desne komponente. Jukavin lagranzijan izrazen preko primovanih polja je

LJuk = −(u′LM

(u)u′R + u′RM(u)u′L

)(1 +

H

v

)−(d′LM

(d)d′R + d′RM(d)d′L

)(1 +

H

v

), (8.28)

gde su

M (u) =

mu 0 00 mc 00 0 mt

, (8.29)

M (d) =

md 0 00 ms 00 0 mb

(8.30)

dijagonalne masene matrice. Primovana stanja su masena stanja kvarkova. Jukavin lagranzijanje

LJuk = −(muu′u′ +mdd

′d′ + · · ·+mbb′b′)(

1 +H

v

). (8.31)

8.2 Naelektrisana kvark struja

Iz (8.9) se lako izdvaja deo Lagranzijana koji je linearan po naelektrisanim gauge bozonimaW (±). Oni su kuplovani sa naelektrisanom strujom. Taj clan je

Lnael.str =g2√

2

(uLmγ

µdLmW(+)µ + dLmγ

µuLmW(−)µ

)=

g2√2

(u′Lmγ

µ(S(u)†S(d))mnd′LnW

(+)µ + d′Lmγ

µ(S(d)†S(u))mnu′LnW

(−)µ

)=

g2√2

(u′Lγ

µV d′LW(+)µ + d′Lγ

µV †u′LW(−)µ

), (8.32)

104

gde smo uveli 3× 3 matricu V = S(u)†S(d). Ova matrica je unitarna i odgovorna je za promenutipa kvarka pri interakciji sa naelektrisanim W bozonima. Matrica V je poznata kao Kabibo-Kobajasi-Maskava matrica (CKM matrica). U nasim oznakama primovana stanja su masenastanja kvarkova i vidimo da su donje stanja donjih kvarkova pomesana. Ova matrica se odredjujeiz eksperimenta a ne iz teorije.

Unitarna n × n matrica je odredjena sa n2 realnih brojeva. Od njih n(n−1)2

su parametri

rotacija, a preostalih n(n+1)2

su faze. Medjutim, zahvaljujuci faznoj simetriji kvark polja 2n − 1faza moze biti apsorbovana u fazne rotacije kvark polja. Dakle, matrica V je odredjena sa (n−1)2

parametara. Od njih (n−1)(n−2)2

su faze a ostalo rotacioni uglovi.Ako razmatramo samo dve generacije kvarkova matrica V

V =

(cos θce

iα sin θceiβ

− sin θcei(α+γ) cos θce

i(β+γ)

)(8.33)

odredjena je sa tri faze i jednim uglom. Tri faze eliminisemo faznim rotacijama kvarkova pa jeCKM- matrica

V =

(cos θc sin θc− sin θc cos θc

)(8.34)

odredjena sa jednim parametrom, Kabibo uglom θc.Interakcija kvarkova i naelektrisanih bozona je odredjena sa

Lnael.str =g2√

2

(uγµ(1− γ5)(cos θcd+ sin θcs)

+ cγµ(1− γ5)(− sin θcd+ cos θcs))W+µ + c.c. . (8.35)

Kada ne bi bilo mesanja d i s kvarka, tj. kada bi θc = 0 onda bi imali samo vertekse duW, csW ,dok verteksi usW i dcW ne bi postojali. udW verteks je

ig2√2

cos θcγµ(1− γ5) , (8.36)

dok je suW verteksig2√

2sin θcγ

µ(1− γ5) , (8.37)

Preostala dva verteksa su analogna.

Eksperimentalni rezultat za Kabibo ugai je cos θc = 0, 97. U slucaju tri generacije kvarkovaCKM-matrica je odredjena sa tri ugla i jedmom fazom. Jedan od nacina njene parametrizacije

105

jeV = R1(θ2)R3(θ1)C(0, 0, δ)R1(θ3) (8.38)

gde je

R1(θi) =

1 0 00 cos θi sin θi0 − sin θi cos θi

, (8.39)

R3(θi) =

cos θi sin θi 0− sin θi cos θi 0

0 0 1

(8.40)

i

C(δ) =

1 0 00 1 00 0 eiδ

, (8.41)

Matricni elementi CKM matrice se odredjuju eksperimaentalno.

8.3 Neutralna i elektromagnetna kvark struja

Drugi deo kvark-bozon interakcije u (8.9) je interakcija neutralnih bozona Z0 i fotona sa kvark-strujom u kojoj nema promene naelektrisanja duz kvark-linije u Fajnmanovom dijagramu.

Lem + Lneutr =g1

6QLmγ

µQLmBµ +g2

2QLmγ

µ

(1 00 −1

)QLmW

3µ

+2

3g1uRmγ

µuRmBµ −1

3dRmγ

µQdRmBµ (8.42)

Eliminacijom Bµ i W 3µ preko fizickih polja Aµ i Zµ dobijamo elektromagnetni i neutralni deo

interakcije. Elektromagnetni deo je

Lem =g2 sin θW

2

(4

3uLmγ

µuLm +4

3uRmγ

µuRm −2

3dLmγ

µdLm −2

3dRmγ

µdRm

)Aµ (8.43)

Prelazak na primovana polja nista ne menja u gornjem izrazu pa dobijamo

Lem =g2 sin θW

2

(4

3umγ

µum −2

3dmγ

µdm

)Aµ . (8.44)

Prim smo izostavili. Elektromagnetna interakcija kvarkova sa fotonom data je sa

Lem =2

3e(uγµu+ cγµc+ tγµt

)Aµ

−1

3e(dγµd+ sγµs+ bγµb

)Aµ (8.45)

106

Deo (8.9) proporcionalan sa Zµ je

Lneutr =g2

2 cos θW

(− 1

3sin2 θW QLmγ

µQLm + cos2 θW QLmγµ

(1 00 −1

)QLm

−4

3sin2 θW uRmγ

µuRm +2

3sin2 θW dRmγ

µdRm

)Zµ

=g2

2 cos θW

(uLmγ

µuLm − dLmγµdLm

− 4

3sin2 θW (uLmγ

µuLm + uRmγµuRm)

+2

3sin2 θW (dLmγ

µdLm + dRmγµdRm)

)Zµ. (8.46)

Prelazak na primovana polja CKM matricom ne menja lagranzijan, pa dobijamo

Lneutral =g2

2 cos θW

(uLmγ

µuLm − dLmγµdLm

− sin2 θW (4

3umγ

µum −2

3dmγ

µdm))Zµ (8.47)

U zadnjem redu nismo pisali primove na poljima, jer je jasno da smo presli na masena kvarkstanja. Vidimo da u neutralnoj struji nema promene tipa (flavour) kvarkova.

Ovo je i eksperimentalno potvrdjeno. Raspad K+ mezona prema kanalu

K+ → π+νν (8.48)

je dosta malo verovatan; sto se vidi iz

Γ(K+ → π+νν)

Γ(K+ → all)∼ 10−7 . (8.49)

Ovakav proces ne moze da ide preko dijagrama

jer ne postoji Zsd verteks. Slicno

Γ(KL → µ+µ−)

Γ(KL → all)∼ 10−9 , (8.50)

jer dijagram

107

ne postoji u standardnom modelu. Ovi procesi su moguci u visem redu teorije perturbacije,sto se vidi iz dijagrama:

8.4 Lagranzijan standardnog modela-rezime

Lagranzijan standardnog modela elektroslabih interakcija sastoji se od nekoliko deloval

L = Ll + Lq + Lscal + Ljuk−lep + Ljuk−q + Lgauge . (8.51)

Leptonski Lagranzijan je

Ll = i∑m

Lmγµ(∂µ − ig1

YL2Bµ − ig2

τa

2W aµ )Lm

+ ieRγµ(∂µ − ig1

YR2Bµ)eR

+ iµRγµ(∂µ − ig1

YR2Bµ)mR + iτRγ

µ(∂µ − ig1YR2Bµ)τR , (8.52)

gde smo ukljucili sve tri generacije leptona. Kvark deo Lagranzijana je dat sa (8.9). On jeizrazen preko gauge stanja, a ne preko pravih masenih stanja kvarkova. Jukavin Lagranzijan zaleptone je

LJuk = −Ge√2

[eR(Φ†L1) + (L1Φ)eR)]− Gm√2

[µR(Φ†L2) + (L2Φ)µR)]− Ge√2

[τR(Φ†L3) + (L3Φ)τR)] .

(8.53)Jukavin Lagranzijan u kvark sektoru je dat u (8.21). Gauge sektor lagranzijana je

Lgauge = −1

4fµνf

µν − 1

4F aµνF

µνa . (8.54)

9 Raspadi i neki procesi u standardnom modelu

Sirina raspada se definise sa

Γ =

∫|Sfi|2

T

∏f

V d3pf(2π)3

. (9.1)

108

W+ bozon se raspada prema jednom od ovih kanala

W+ → e+νe

W+ → µ+νµ

W+ → τ+ντ

W+ → du, sc . (9.2)

Sirina raspada za prva tri procesa je

Γ =GF√

2

M3W

6π(9.3)

i nezavisna je od vrste leptona. Sirine raspada Z bozona su

Γ(Z0 → l−l+) =GFM

3Z

6√

2π(g2v + g2

a) =GFM

3Z

12√

2π[(1− 2 sin2 θW )2 + 4 sin4 θW ] ≈ 83, 4MeV , (9.4)

Z0 bozon se moze raspasti i na uu, dd, . . . . Higsov bozon se mose raspasti na fermion-antifermionpar

H → ff , f = l, q (9.5)

Sirina raspada je

Γ(H → ff) ∼ GFmHm2f

(1−

4m2f

m2H

)3/2

. (9.6)

Vidimo da je ona proporcionala kvadratu mase fermiona, tako da je dominantan raspad H → bb,jer je mb = 4, 5GeV. Higsov bozon se moze raspasti i na W+W−, Z0Z0.

109

Rasejanje ε−e+ → µ−µ+ ide preko tri dijagrama:

U okolini s ≈ 90GeV dominantan je dugi dijagram; izraz za efikasni presek za upadnu energijukoja je u okolini mase Z bozona je

σ ∼ 1

(s−M2Z)2 +m2

ZΓ2(9.7)

gde su uracunate i kvantne popravke. Γ je totalna sirina raspada Z0 bozona a s je ukupnaenergija upadnih cestica u sistemu centra mase.

Kako se raspada n?

110

10 Kvantna hromodinamika

Kao sto smo ranije rekli kvarkovi nose kvantni broj boje (colour) i zato ucestvuju u jakoj in-terakciji. Leptoni nemaju boju i ne ucestvuju u jakoj interakciji. Teorija jake interakcije jezasnovana na SU(3)c lokalnoj simetriji i ona se naziva kvantnom hromodinamikom. Indeks c jeod ’colour’, grupu cesto zovemo kolorna grupa. Kvarkovi su kolorni triplet: Svaki kvark mozebiti crven, zelen ili plav:

ψu =

ψuRψuGψuB

=

ψu1

ψu2

ψu3

,

ψd =

ψdRψdGψdB

=

ψd1

ψd2

ψd3

. . . . (10.1)

Stanja ψu, ψd, . . . , ψb transformisu se po fundamentalnoj trodimenzionoj reprezentaciji SU(3)cgrupe. Lagranzijan koji opisuje jaku interakciju kvarkova ima standardni oblik Jang-MilsovogLagranzijana:

L =

nq∑k=1

ψk(iγµDµ −mk)ψk −

1

4F aµνF

µνa , (10.2)

gde je Dµψ = ∂µ − igsAaµλa

2)ψ kovarijantni izvod. Prenosioci jakih interakcija, potencijali

Aµa, a = 1, . . . , 8 nazivaju se gluonima. Oni pripadaju osmodimenzionoj (pridruzenoj) reprezentacijigrupe. mk je masa k−tog kvarka, a gs konstanta jake interakcije. Interacija gluona sa kvarkovimaje data sa

Lint = gsψiλaij2γµψjA

aµ , i, j = 1, 2, 3 . (10.3)

Odgovarajuci verteks je dat na slici

111

Odredimo jacinu interakcije za dijagrame sa slike

Za prvi jacina kaplinga je

g2s

8∑a=1

λa31

2

λa13

2=g2s

4(λ5

31λ513 + λ4

31λ413) =

g2s

2, (10.4)

dok je za drugi 23g2s .

Fajnmanov dijagrami za rasejanju elektrona na protonu u okviru kvantne elektrodinamike su

112

Prvi dijagram je u najnizem redu teorije perturbacije i on ne sadrzi petlje (loops), dok suostali dijagrami sa petljama i oni su viseg reda. Dijagram

naziva se polarizacijom vakuuma i on je

−(−ie0)2

∫d4k

(2π)4Tr( 1

/k − /q −m+ iεγν

1

/k −m+ iεγµ). (10.5)

e0 je tzv. golo naelektrisanje elektrona. Za velike impulse k ovaj dijagram se ponasa kao∫ Λ k3dk

k2(10.6)

i on bi trebalo da bude kvadratno divergentan. Medjutim iz razloga simetrije ovaj dijagram jelogaritamski ultravioletno divergentan. Moze se pokazati da je za |q2| m2 on dat sa

α0Π(q2) = −α0

3πln( Λ2

|q2|+

5

3

), (10.7)

gde je Λ→∞ gornja granica integracije po k a

α0 =e2

0

4π.

Sumirajuci ovakve dijagrame

113

dobijamo efektivnu konstantu interakcije

αeff = α0(1 + α0Π(q2) + α0Π(q2)α0Π(q2) + . . . ) . (10.8)

Odmah se vidi da je

αeff (q2) =

α0

1− α0Π(q2). (10.9)

Dakle konstanta interakcije nije konstanta vec zavisi od energije. Sta je onda naelektrisanjeelektrona e koje mi znamo? Ono je definisano sa

α = αeff(q2 = 0) =e2

4π=

1

137(10.10)

odnosnoα =

α0

1− α0Π(0). (10.11)

Lako se dobija da je

αeff (q2) =

α

1− α(Π(q2)− Π(0))=

α

1− α3π

ln( |q2|

m2 )(10.12)

odnosno1

αeff

=1

α− 1

3πln( |q2|m2

). (10.13)

Da bi definisali e uzeli smo jednu specificnu vrednost q2 = 0. Zavisnost efektivne konstaneinterakcije od energije data je na slici

Vidimo da sa povevecanjem energije (smanjivanjem rastojanja) konstanta interakcije raste.Ovo je kvantno mehanicki analogon ekraniranja naelektrisanja u elektrodinamiui. NaelektrisanjeQ koje se nalazi u dielektriku efektivno je manje jer je ekranirano sredinom. Sa priblizavanjemnaelektrisanju (povecanje energije) vrednost naelektrisanja raste.

114

U kvantnoj hromodinamici vrednost odgovarajuce finkcije Π(q2) je

Π(q2) = −α0

4π(2

3nk − 11) ln

Λ2

|q2|, (10.14)

gde je

α0 =qs04π

(10.15)

a nk je broj kvarkova. Dijagrami koji daju Π(q2) su

Efektivna konstanta interakcije je

αeff (q2) =

α(µ2)

1− (23nk − 11)α(µ2) ln( |q

2|m2 )

, (10.16)

gde je µ2 referentna tacka. Za nk = 6 je 23nk − 11 = −7. U ovom slucaju efektivna konstanta

interakcija ima drugacije ponasanje od elektrodinamike. Ona opada sa energijom. Ovo senaziva asimptotskom slobodom (Nobelova nagrada; Policer, Gros, Vilcek). Ovo je objasnjenjeza zarobljenost (confinment) kvarkova unutar hadrona. Na malim rastojanjima (veca energija)konstanta interakcije je slabija. Sa povecanjem rastojanja izmedju kvarkova u mezonu konstantainterakcije raste i mi ne mozemo da rastavimo mezon na kvarkove.

115