teorija potražnje i
DESCRIPTION
Teorija potražnje I. Maksimizacija korisnosti i funkcija potražnje. Potrošačev problem - ukratko. U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa: Skup mogućih izbora Skup dostupnih izbora (budžetski skup) Relaciju preferencije ≿ definiranu na - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/1.jpg)
Teorija potražnje I
Maksimizacija korisnosti
i funkcija potražnje
![Page 2: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/2.jpg)
Potrošačev problem - ukratko U analizi ponašanja potrošača istaknuli
smo četiri konstrukcijska elementa: Skup mogućih izbora Skup dostupnih izbora (budžetski skup)
Relaciju preferencije ≿ definiranu na Pretpostavku ponašanja (potrošač bira
najbolju od mogućih alternativa u skladu sa svojom relacijom preferencije) ili
tako da x* ≿ x za svaki
* Bx Bx
![Page 3: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/3.jpg)
Funkcija korisnosti - ukratko Svaka binarna relacija koja je potpuna,
refleksivna, tranzitivna i neprekidna može se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti
Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿
Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti
![Page 4: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/4.jpg)
Funkcija korisnosti - ukratko Ako su preferencije racionalne,
neprekidne, lokalno nezasićene i konveksne, funkcija korisnosti se “lijepo ponaša”
Ove pretpostavke osiguravaju da je funkcija korisnosti neprekidna
Mi ćemo još pretpostaviti i da je diferencijabilna (tada možemo koristiti metode diferencijalnog računa za detaljniju analizu potrošačevog ponašanja)
![Page 5: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/5.jpg)
Funkcija korisnosti - ukratko Također znamo da je funkcija korisnosti
strogo rastuća i strogo kvazikonkavna te da su to njena ordinalna svojstva (koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija)
Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija
![Page 6: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/6.jpg)
Funkcija korisnosti - ukratko Funkcija korisnosti nam je potrebna
jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje
U tu svrhu razvit ćemo model u kojem potrošači između košara dobara koje su im dostupne biraju onu koju najviše vole
![Page 7: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/7.jpg)
Izbor potrošača
Walrasovski budžetski skup
Cijene i bogatstvo (dohodak) su
strogo pozitivni
, :wB X w p x p x
![Page 8: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/8.jpg)
Potrošačev problem
Potrošačev problem može se napisati kao
... (3.1)
. . :t d w p x
![Page 9: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/9.jpg)
Pitanja
Pitanja koja postavljamo: Da li postoji rješenje ovog problema? Ako rješenje postoji, kako do njega
doći?
![Page 10: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/10.jpg)
Da li rješenje postoji?
Budući da je u (x) neprekidna funkcija definirana na skupu
koji je kompaktan (zatvoren i ograničen), možemo primjeniti Teorem o maksimalnoj vrijednosti
Prema ovom teoremu neprekidna funkcija definirana na kompaktnom skupu ima maksimum (i minimum)
Dakle, ovaj problem ima rješenje
,wBp
![Page 11: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/11.jpg)
Kako do rješenja?
Potrošač se suočava sa problemom maksimizacije funkcije cilja (korisnosti) uz ograničenja
Funkcije ograničenja mogu biti predstavljene kao: uvjeti nenegativnosti jednakosti nejednakosti
(primjeri za L=2)
1 20, 0x x 1 2( , )h x x c
1 2( , )g x x b
![Page 12: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/12.jpg)
Kako do rješenja?
Naše ograničenje dato je u formi nejednakosti
Ova činjenica, zajedno sa činjenicom da imamo i uvjete nenegativnosti, omogućuje primjenu Kuhn-Tuckerove metode
Ovu metodu nelinarnog programiranja detaljnije će obraditi profesor Neralić
1 2( , )g x x w p x
![Page 13: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/13.jpg)
Kako do rješenja?
Mi ćemo poći od pretpostavke monotonosti preferencija te naročito njihove lokalne nezasićenosti
Ovo svojstvo osigurat će da će se optimalno rješenje nalaziti u gornjem rubu budžetskog skupa, dakle, ograničenje će biti obvezujuće
Tako će se potrošačevo ograničenje moći izraziti u formi jednakosti ili
1 2( , )h x x w p x
![Page 14: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/14.jpg)
Kako do rješenja?
U svijetu L = 2 i uz momentalno zanemarivanje uvjeta nenegativnosti potrošačev problem postaje
1 2
1 1 2 2
max( , )
. .
x x
t d p x p x w
![Page 15: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/15.jpg)
Kako do rješenja?
Geometrijski, naš cilj je pronaći najviši nivo skup (krivulju indiferencije) koji ima dodirnu točku sa skupom ograničenja
Dakle, krivulju koja je tangencijalna na skup ograničenja u točki optimalnog rješenja x*
![Page 16: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/17.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Slika 3.1: U optimalnom rješenju x* najviša nivo krivulja od f tangencijalna je na skup ograničenja C
b x*
C
![Page 18: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/18.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Nagib nivo krivulje od f u točci x* je
*
1
*
2
( )
( )
fx
fx
x
x
![Page 19: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/19.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Skup ograničenja, odnosno njegov gornji rub, lokalno aproksimiramo funkcijom ograničenja h
Nagib funkcije ograničenja u točci x* je
*
1
*
2
( )
( )
hx
hx
x
x
![Page 20: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/20.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Kako su (zbog tangencijalnosti) nagibi funkcije f i ograničenja h u točci optimalnog rješenja x* jednaki, možemo pisati
... (3.2)
* *
1 1
* *
2 2
( ) ( )
( ) ( )
f hx xf hx x
x x
x x
![Page 21: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/21.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Preuredimo ovaj izraz na sljedeći način
... (3.3)
* *
1 2
* *
1 2
( ) ( )
( ) ( )
f fx xh hx x
x x
x x
![Page 22: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/22.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Kako su vrijednosti ovih omjera jednake te uz pretpostavku da su nazivnici različiti od nule, vrijednost ovog omjera označit ćemo sa
... (3.4)
* *
1 2
* *
1 2
( ) ( )
( ) ( )
f fx xh hx x
x x
x x
![Page 23: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/23.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Napišimo izraz (3.4) kao dvije jednadžbe
... (3.5)
* *
1 1
* *
2 2
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
f h
x x
f h
x x
x x
x x
![Page 24: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/24.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Imamo dvije jednadžbe sa tri nepoznanice
Treća jednadžba nam je jednadžba ograničenja pa sustav jednadžbi postaje:
1 2( , , )x x
![Page 25: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/25.jpg)
Maksimizacija korisnosti
...(3.6)
* *
1 1
* *
2 2
1 2
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( , ) 0
f h
x x
f h
x x
h x x c
x x
x x
![Page 26: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/26.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Definirajmo Lagrangeovu funkciju
Ako uvrstimo naše funkcije cilja i ograničenja izraz postaje
... (3.7)
1 2 1 2 1 2( , , ) ( , ) ( ( , ) )L x x f x x h x x c
1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) ( , ) ( )L x x u x x p x p x w
![Page 27: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/27.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Sistem (3.6) ekvivalentan je zahtjevu da je diferencijal od L jednak nuli,
Odavde slijedi da se ekstremi traže “bez ograničenja”
Ovo funkcionira samo kada su i
iz izraza (3.3) u optimalnom rješenju različiti od nule
1 2( , , ) 0DL x x
1
h
x
2
h
x
![Page 28: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/28.jpg)
Kvalifikacija ograničenja
To se naziva kvalifikacija ograničenja i predstavlja blagu restrikciju skupa
ograničenja Ono znači da se kritične točke funkcije
ograničenja h ne nalaze među rješenjima ovog sistema jednadžbi
1
0h
x
2
0h
x
![Page 29: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/29.jpg)
Kvalifikacija ograničenja
Ako je ograničenje linearno, kvalifikacija ograničenja bit će automatski zadovoljena
Može se prijeći na postupak maksimizacije korisnosti kao da se radi o neograničenoj optimizaciji
![Page 30: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/30.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Kritične ili stacionarne točke u problemu neograničene optimizacije dobiju se izjednačavanjem parcijalnih derivacija prvog reda po svim varijablama s nulom
![Page 31: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/31.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Ovi se uvjeti nazivaju uvjeti prvog reda (First Order Conditions)
Za izraz (3.7) uvjeti prvog reda su sljedeći:
... (3.8)
11 1
22 2
1 1 2 2
0
0
( ) 0
L up
x x
L up
x x
Lp x p x w
![Page 32: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/32.jpg)
Maksimizacija korisnosti
Jednadžbe (3.8) predstavljaju nužne ali ne i dovoljne uvjete za maksimum
Za dovoljne uvjete treba konzultirati uvjete drugog reda
Međutim, ako je funkcija korisnosti strogo kvazikonkavna (opadajuća MRS za dva dobra), tada su uvjeti prvog reda i nužni dovoljni da bi rješenje bilo pravi unutarnji maksimum
![Page 33: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/33.jpg)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Označimo sa
i sa
gradijent vektore funkcije korisnosti i ograničenja u točci x
1
2
( )
f
xf
f
x
x
1
2
( )
hx
hhx
x
![Page 34: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/34.jpg)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Budući da nivo skupovi od f i h imaju isti nagib u točci x* , njihovi gradijenti u točki x* leže na istom pravcu
Gradijent vektor pokazuje smjer najbrže promjene funkcije
U slučaju maksimuma oni pokazuju u istom smjeru ( u slučaju minimuma u obrnutom)
![Page 35: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/35.jpg)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
• Slika 3.2: Gradijenti od f i h leže na istom pravcu kroz x* kada je x* ograničeni maksimum (a) ili minimum (b) (kolinearni su)
*h xx*
C
x*
C
*f x
*h x
*f x
![Page 36: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/36.jpg)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Izraz (3.5) uz pomoć gradijent vektora možemo napisati kao
ili f (x*) = h (x*)
1 1
2 2
f h
x x
f h
x x
![Page 37: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/37.jpg)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
To znači da su gradijent vektori kolinearni
Lagrange-ov multiplikator je faktor proporcionalnosti, skalar kojim se množi gradijent vektor ograničenja kako bi se izjednačio (i po duljini) sa gradijent vektorom funkcije korisnosti
![Page 38: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/38.jpg)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije 2 varijable i jednog ograničenja u formi jednakosti uz pomoć gradijent vektora izražava se kao
... (3.9)
* *
1 2
( ), ( ) 0,0h h
x x
x x
![Page 39: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/39.jpg)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije n varijabli i jednog ograničenja u formi jednakosti uz pomoć gradijent vektora izražava se kao
... (3.10)
* * *
1 2
( ), ( ),..., ( ) 0,0,...,0n
h h h
x x x
x x x
![Page 40: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/40.jpg)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Ako umjesto jednog ograničenja u formi jednakosti imamo m jednadžbi koje definiraju skup ograničenja, logika analize ostaje ista ali se umjesto gradijent vektora koristi Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda
![Page 41: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/41.jpg)
Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja
* *1 1
1
* *2 2
1
* *
1
( ) ... ( )
( ) ... ( )( )
( ) ( )
n
n
m m
n
h h
x x
h h
x xD
h h
x x
x x
x xh x
x x
![Page 42: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/42.jpg)
Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja Kaže se da ograničenje zadovoljava NDCQ (nondegenerate
constraint qualification) (nedegeneriranu kvalifikaciju ograničenja) ako vrijedi r(Dh(x*))=m ,to jest, ako je rang Jacobijeve matrice maksimalan
Ovo je uvjet regularnosti koji osigurava da skup ograničenja ima svugdje dobro definirane n-m dimenzionalne tangencijalne ravnine
1( ,...., )mh h
![Page 43: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/43.jpg)
Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 Uvažavajući uvjete tangentnosti iz (3.2)-
(3.4) prve dvije jednadžbe iz (3.8) možemo napisati kao
što je poznati izraz za jednakost granične stope supstitucije MRS i omjera cijena u točci ravnoteže potrošača
11
2
2
upx
u px
![Page 44: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/44.jpg)
Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 U rubnom optimumu gdje ova
jednakost ne vrijedi, potrošač nije u mogućnosti podesiti potrošnju oba dobra da se izjednače MRS i omjer cijena
![Page 45: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/45.jpg)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Slika 3.3:(a) Unutarnje rješenje (b) Rubno rješenje
*u x
x1
x2
*112
2
pnagib MRS
p x
x1
x2
*:u ux xp
* ,x wx p
p
λp
*u x
* ,x wx p
1
2
pnagib
p
*12nagib MRS x
![Page 46: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/46.jpg)
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Kada sistem jednadžbi (3.8) riješimo za
dobijemo sljedeći rezultat
Ovo pokazuje da u točci optimalne potrošnje potrošač ostvaruje jednaku graničnu korisnost po jedinici novca (dohotka)
1 2
1 2
u ux xp p
![Page 47: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/47.jpg)
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Izraz
pokazuje koliko dodatne korisnosti potrošač dobije ako potroši malo više na dobro i
To znači da potrošač ima više novaca za potrošiti, to jest, da je njegovo ograničenje oslabljeno
Slabljenje ograničenja znači da potrošač ima veći dohodak
*( )i
up
x
![Page 48: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/48.jpg)
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Ovaj rezultat implicira da
predstavlja graničnu vrijednost relaksiranja ograničenja u problemu maksimizacije korisnosti
Pokazuje (u optimumu) graničnu korisnost dodatne novčane jedinice u potrošnji, to jest, graničnu promjenu korisnosti izazvanu graničnim povećanjem dohotka
![Page 49: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/49.jpg)
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Tako se ekonomski interpretira
kao granična korisnost dohotka Na taj način predstavlja novu
mjeru vrijednosti rijetkih resursa u problemu maksimizacije uz ograničenje
![Page 50: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/50.jpg)
Rješenje problema maksimizacije korisnosti Dakle, rješenjem problema maksimizacije
korisnosti uz ograničenje kada je rješenje jedinstveno dobijemo dvije vrste objekata: Vektor (ili skup vektora) optimalnog
rješenja x* i vrijednost Lagrange-ovog multiplikatora
Vrijednost potrošačeve maksimalne korisnosti
![Page 51: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/51.jpg)
Rješenje problema maksimizacije korisnosti Analizirajmo prvo vektor optimalne
potrošnje Vektor optimalne potrošnje x* ovisi
o parametrima iz problema potrošačevog izbora (p i w) i bit će jedinstveno određen
1 2( , ) ( ( , ), ( , ),..., ( , ))Lw x w x w x wx p p p p
![Page 52: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/52.jpg)
Rješenje problema maksimizacije korisnosti
Rješenje problema maksimizacije potrošačeve korisnosti uz dato ograničenje možemo smatrati FUNKCIJOM iz skupa cijena i dohotka,
, u skup količina
![Page 53: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/53.jpg)
Funkcija potražnje
Pravilo koje svakom paru cijena i bogatstva
u problemu maksimizacije korisnosti pridružuje vektor optimalne potrošnje označava se sa i predstavlja Walrasovu (običnu, tržišnu) funkciju potražnje
Ako se svakom paru cijene-bogatstvo pridružuje SKUP optimalnih vektora potrošnje to se naziva Walrasovo višeznačno preslikavanje ili korespondencija potražnje
![Page 54: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/54.jpg)
Maksimizacija korisnosti – funkcija potražnje• Slika 3.4: Izvođenje krivulje potražnje iz
maksimizacije korisnosti
0 02w p
0 01 2p p 1 0
1 2p p
01p
11p
0 0 02 1 2, ,x p p w
1 0 02 1 2, ,x p p w
0 0 01 1 2, ,x p p w 1 0 0
1 1 2, ,x p p w
0 0 01 1 2, ,x p p w 1 0 0
1 1 2, ,x p p w
2x
1p
1x
1x
0 01 1 2, ,x p p w
![Page 55: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/55.jpg)
Funkcija potražnje
Iz Slike 3.4 vidljivo je da će različite razine dohotka i cijene dobra 2 mijenjati položaj i oblik krivulje potražnje za dobrom 1
Međutim, njen će položaj i oblik uvijek ovisiti o relaciji preferencije datog potrošača
![Page 56: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/56.jpg)
Korespondencija potražnje
Kada je preslikavanje višeznačno, umjesto pojma funkcija potražnje koristimo pojam korespondencija potražnje
Ako je u neprekidna funkcija korisnosti koja predstavlja lokalno nezasićenu relaciju preferencije ≿ definiranu na skupu moguće potrošnje , tada Walrasova korespondencija potražnje x(p,w) ima sljedeća svojstva:
![Page 57: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/57.jpg)
Korespondencija potražnje
Walrasova korespondencija potražnje je: Homogena nultog stupnja Zadovoljava Walrasov zakon Konveksna je
![Page 58: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/58.jpg)
Korespondencija potražnje
Homogenost nultog stupnja Skup mogućih potrošnji u problemu
maksimizacije korisnosti ne mijenja se ako se sve cijene i dohodak pomnože sa nekim skalarom
To znači da se u tim uvjetima ne mijenja ni skup optimalnih košara dobara
( , ) ( , )w w x p x p
![Page 59: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/59.jpg)
Korespondencija potražnje
Walrasov zakon Jedini način da x* bude optimalna
košara dobara je ako ne postoji košara koja je u budžetskom skupu a koju bi potrošač više volio
Ovo proizlazi iz pretpostavke o lokalnoj nezasićenosti preferencija i vrijedi samo ako x* zadovoljava ( , )w w p x p
![Page 60: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/60.jpg)
Korespondencija potražnje
Konveksnost x(p,w) je konveksni skup ako je funkcija
korisnosti u kvazikonkavna Konveksnost preferencija implicira
konveksnost x(p,w) (Slika 3.5.(a)) Stroga konveksnost preferencija implicira da
je vrijednost x(p,w) jedinstveno određena (Slika 3.5.(b))
Ovo podrazumijeva strogu kvazikonkavnost funkcije korisnosti jer ona isključuje mogućnost ravnih dijelova na krivulji indiferencije
![Page 61: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/61.jpg)
Konveksnost i stroga konveksnost preferencija
• Slika 3.5.a: Konveksnost preferencija i x(p,w) • Slika 3.5.b: Stroga konveksnost preferencija i
x(p,w)
x1
x2
xx’’x’ *:u ux x
x1
x2
xx’’x’
*:u ux x
![Page 62: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/62.jpg)
Indirektna funkcija korisnosti
Drugi značajni objekt koji se dobije kao rezultat maksimizacije korisnosti je maksimalna vrijednost potrošačeve korisnosti
Posljedica ovog rezultata je formiranje indirektne funkcije korisnosti
![Page 63: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/63.jpg)
Indirektna funkcija korisnosti
Walrasova funkcija potražnje x(p,w) daje košaru dobara koja maksimizira potrošačevu korisnost uz dato budžetsko ograničenje
Ako supstituiramo ovu košaru u funkciju korisnosti, dobijemo korisnost koju potrošač dobiva birajući tu košaru pri cijenama p i dohotku w
![Page 64: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/64.jpg)
Indirektna funkcija korisnosti
Ovu funkciju nazvat ćemo indirektnom funkcijom korisnosti v (p, w)
Definirat ćemo ju kao
Primijetimo da je direktna korisnost funkcija košare dobara x dok je indirektna korisnost funkcija cijena i dohotka p i w
( , ) ( ( , ))v w u wp x p
![Page 65: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/65.jpg)
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
Svojstva uglavnom “naslijeđena” od funkcije potražnje
Pretpostavlja se lokalna nezasićenost preferencija
Indirektna funkcija korisnosti koja odgovara lokalno nezasićenim preferencijama ima sljedeća svojstva:
( , )wx p
![Page 66: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/66.jpg)
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
Homogena nultog stupnja Strogo rastuća u w i ne-rastuća u p
Kvazikonveksna u (p,w) Neprekidna Vrijedi Royev identitet
![Page 67: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/67.jpg)
Svojstva indirektne funkcije korisnosti Homogenost nultog stupnja:
Proizlazi iz homogenosti funkcije potražnje Kako se košara koju potrošač konzumira ne
mijenja ako se sve cijene i dohodak promijene za isti iznos tako se ne mijenja ni korisnost koju potrošač njome dobiva
Kako vrijedi To isto vrijedi
( , ) ( , ) 0w w za x p x p
( , ) ( ( , )) ( ( , )) ( , )v w u w u w v w p x p x p p
![Page 68: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/68.jpg)
Svojstva indirektne funkcije korisnosti je strogo rastuća u w
zbog lokalne nezasićenosti i ne-rastuća u p:
jer povećanje jedne ili više cijena smanjuje skup dostupnih izbora
( , )v wp
![Page 69: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/69.jpg)
Svojstva indirektne funkcije korisnosti je kvazikonveksna u (p,w)
Skup je konveksan za sve
Konveksna kombinacija dva vektora koji daju istu indirektnu korisnost neće biti veća od te indirektne korisnosti (dokaz u knjizi)
( , )v wp ( , ) : ( , )w v w vp pv
![Page 70: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/70.jpg)
Svojstva indirektne funkcije korisnosti je neprekidna
Male promjene u p i w rezultiraju u malim promjenama korisnosti
Ovo je naročito očito u slučaju kada su krivulje indiferencije strogo konveksne i diferencijabilne
( , )v wp
![Page 71: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/71.jpg)
Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje
Izraz koji nam omogućava povratak od indirektne korisnosti do funkcije potražnje naziva se Royev identitet
Uz pretpostavku (koja se može dokazati) da postoji za koji vrijedi
..
(3.11) kao i uz pretpostavku da je indirektna
funkcija korisnosti diferencijabilna
*( )0i
i
up
x
x
1,...,i l
![Page 72: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/72.jpg)
Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje
Parcijalne derivacije prvog reda po cijeni indirektne funkcije korisnosti bit će
...(3.12)
Kako vrijedi
**( , ) ( , )
i i
v w L
p p
p x
x
( , )0
v w
w
p
![Page 73: Teorija potražnje I](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132e6550346895d99a11f/html5/thumbnails/73.jpg)
Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje
Tako izraz (3.12) postaje
... (3.13)
čime smo dobili traženu funkciju potražnje
*
( , )
( , )( , )
i
v wp
wv ww
p
x x pp