teorija_osnove inženjerskog proračuna_vtŠbj

STRUČNI STUDIJ MEHATRONIKE

Teorijski materijali

Osnove inženjerskog proračuna


2

1 Kut

Kut je dio ravnine omeđen s dva pravca koja se sijeku. Obično se obilježava

kružnim lukom među pravcima. Ako je duljina luka manja od četvrtine opsega kružnice, kut

je šiljast ili oštar, ako je jednaka četvrtini, kut je pravi, ako je veća od četvrtine a manja od

polovine, kut je tup, ako je jednaka polovini, kut je ispružen, ako je veća od polovine, kut je

izbočen ili konkavan, i napokon, ako je jednaka opsegu kružnice, kut je puni.

Dva kuta su komplementarna ako im je zbroj pravi kut, a suplementarna ako im je zbroj

ispruženi kut. Najvažnije jedinice mjere kuta su stupnjevi(°) i radijani (rad).

Kut od jednog radiana je kut koji obuhvaća kružni luk čija je duljina jednaka radijusu

tog luka.

Slika 1.1 Radijanska mjera

Označimo sa Φ kut izražen u radijanima a sa φ označimo kut izražen u

stupnjevima. Tada formule za pretvorbu izgledaju:

2 , 360360 2ϕπ ϕ

πΦ

Φ = ⋅ ⋅ = °° ⋅

Formule u kojima se koristi lučna mjera kuta:

Duljina kružnog luka: )

s rα= ⋅

Opseg kruga: 2O r π= ⋅

Površina kruga: 2A r π= ⋅

duljina kružnog luka = radijus

1 radian

radijus


3

Površina kružnog isječka: )

2

2rA α⋅

=

Kutevi s okomitim kracima su sukladni (sl. 1.1) (Sukladnost je istovremena sličnost i

jednakost odn. Podudarnost geometrijskih likova.)

ZADACI – PRETVORBA RADIJANA U STUPNJEVE 1. Zadane su mjere kuta u stupnjevima, pretvorite ih u radijane

50 , 72 , 93 , 105 , 126 , 157 , 293 , 402° ° ° ° ° ° ° °

2. Zadane su mjere kuta u radijanima, pretvorite ih u stupnjeve

30.2 rad, 2 rad, 6 rad, 7.2 rad, 2.5 rad, rad, rad, 12 rad2 3π ππ π

Slika 1.2 Kutevi s okomitim kracima


4

2 Trokut

2.1 Sličnost trokuta Trokut omeđuju tri stranice, a njihove duljine označavamo malim slovima. Obično duljine

stranica označavamo slovima a ,b i c .

Vrh trokuta je zajednička točka dviju stranica. Vrhove označavamo velikim tiskanim

slovima, a obično A, B i C. Unutarnji kutovi trokuta označavaju se uglavnom malim grčkim

slovima α , β i γ . Uobičajeno je da se označava abecednim redom i to tako da je vrh

kuta α točka A, a nasuprot je stranica a (analogijom se označavaju i ostali kutevi, točke i

stranice)

Slični trokuti imaju jednake kuteve i proporcionalne stranice.

Trokuti su slični ako je ispunjen neki od sljedeća četri uvjeta:

• trokuti imaju sve tri stranice proporcionalne

SSS: a : aB1B = b : bB1B = c : cB1B

• trokuti imaju dvije stranice proporcionalne i kuteve među njima jednake

SKS: α = αB1B, b : bB1B = c : cB1B

• trokuti imaju dva kuta jednaka kuta

KK: α = αB1B, β = βB1B

• trokuti imaju dvije stranice proporcionalne, a kutovi nasuprot većoj stranici su

sukladni

SSK: α = αB1, B a : aB1B = b : bB1 B(a > b)

Površine sličnih trokuta proporcionalne su kvadratima stranica.

c A

C

B

a b

α β

γ

A' B'

C'

k • a k • b

k • c

α

γ

β

Slika 2.1 Sličnost trokuta


5

2.2 Pravokutni trokut

Kutevi u pravokutnom trokutu: 90 , 90γ α β= ° + = °

Stranice koje se nalaze uz pravi kut, odnosno zajedno tvore pravi kut nazivaju se katete, a

stranica nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza

Pitagorin teorem:

Površina kvadrata nad hipotenuzom

jednaka je zbroju površina kvadrata

nad katetama 2 2 2c a b= +

Odnosi kateta i hipotenuze:

sin , sin

cos , cos

a ac cb ac c

α α

α α

= =

= =

Odnosi među katetama:

tg , tg

ctg , ctg

a bb ab aa b

α β

α α

= =

= =

Riječima: Sinus kuta kojeg čine kateta i hipotenuza jednak je omjeru nasuprotne katete i

hipotenuze. Kosinus tog kuta jednak je omjeru priležeće katete i hipotenuze. Tangens tog

kuta jednak je omjeru nasuprotne i priležeće katete. Kotangens kuta jednak je omjeru

priležeće i nasuprotne katete. Tangens i kotangens kuta su obrnuto proporcionalni:

-1 1ctg tgtg

α αα

= =

Slika 2.3 Jedinična kružnica

α

cosα

sinαtgα

ctgα

Slika 2.2 Pravokutni trokut

AC

B

a

b

α

β

c


6

ZADACI – PRAVOKUTNI TROKUT, TRIGONOMETRIJA

1. Izračunajte: 55 77 26sin cos6 3 4

tgπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. Izračunajte: 113 71 115sin cos3 6 4

ctgπ π π−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Izračunajte:

813

817

18

98

5

ππ

ππ

ctgctg

ctgctg

+

−⋅

4. Izračunajte: °⋅°+°⋅°°⋅°+°⋅°

145sin35sin125sin55sin162sin12sin108sin282sin

5. Izračunajte: 12

23sin1241sin ππ

−

6. Izračunajte: °−°−°

41cos153sin37sin

2

7. Izračunajte:xx

xxxx22 cos3cos

sin3coscos5sin−

⋅−⋅

8. Izračunajte: 24

43cos24

85cos π⋅

π

2.3 Općeniti trokut, sinusov i kosinusov poučak

2.3.1 Sinusov poučak Dužina CD v= označava visinu spuštenu iz

točke C. Time je trokut podijeljen na dva

pravokutna trokuta. Iz slike se vidi da je

sinb vα = , što znači da je sinv b α=

ali isto tako je sinv a β= . Znači da vrijedi:

sin sina bβ α= , ili sin sin

a bα β= .

Na potpuno isti način se može

dokazati da je sin sin

b cβ γ=

Sinusov poučak glasi: Omjer stranice trokuta i sinusa nasuprotnog kuta jednak je za sve

stranice trokuta.

Slika 2.4 Općeniti trokut

c A

C

B

a b

R

α βD


7

sin sin sina b cα β γ= =

Ovaj odnos jednak je promjeru opisane kružnice:

2sin

a Rα=

ZADACI - SINUSOV POUČAK 1. Riješite trokut ako su zadani cm6.4a,72,50 =°=β°=α

(dva kuta i stranica nasuprot jednoga od njih)

2. Riješite trokut ako su zadani cm71.5b,cm56.4a,'2356 ==°=β

(dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici)

3. Riješite trokut ako su zadani °=α== 30,cm5b,cm3a (dvije stranice i kut nasuprot

manjoj stranici)

4. Riješite trokut ako su zadani opseg trokuta 20cm i dva kuta 41.6° i 69.5° .

5. Razlika duljina dviju stranice trokuta je 6cm, a kutevi nasuprot tim stranicama

su °632, i °875, . Odredi nepoznate stranice i kuteve trokuta.

6. Riješite trokut ako su zadani cm,a 683= i ''',' 3647363735 °=°= βα

2.3.2 Kosinusov poučak Dužina CD je visina iz točke C. Iz slike čitamo da je

22 2ADb v= +

22 2 2( BD ) BDb c a= − + −

2 22 2 22 BD BD BDb c c a= − + + −

2 2 2 2 BDb a c c= + −

Iz slike se vidi da je kut uz B jednak BD

cosa

β = znači da je BD cosa β= .

To uvrstimo u gornju formulu i dobijemo: 2 2 2 2 cosb a c ac β= + − .

R2sin

csin

bsin

a=

γ=

β=

α

R ... polumjer opisane kružnice


8

Na isti način možemo izvesti i za ostale stranice

Kosinusov poučak glasi: Kvadrat stranice u trokutu jednak je zbroju kvadrata drugih dviju

stranica, umanjenom za dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos2 cos2 cos

a b c bcb a c acc a b ab

αβγ

= + −

= + −

= + −

ZADACI - KOSINUSOV POUČAK 1. Riješite trokut ako je cmb,cma 3740 == i °=18γ

(dvije stranice i kut između njih)

2. Riješite trokut ako je cmc,cmb,cma 91017 ===

(tri stranice)

3. Duljine stranica trokuta su u omjeru 2 : 4 : 8. Odredite najmanji

kut trokuta.

4. Odredite kuteve trokuta ako je cmc,cmb,cma 211320 ===

5. Odredite stranicu c ako je ',cmb,cma 40481820 °=== γ

6. Odredite stranicu a ako je ',m,c,m,b 50634321 °=== α

7. Odredite stranice a i b ako je ',cmv,cmc c 1062510 °=== α

8. Odredite ct ako je ',cmb,cma 26985682 °=== γ

abcbacos

acbcacos

bcacbcos

2

2

2

222

222

222

−+=

−+=

−+=

γ

β

α

γ

β

α

cosabbaccosaccabcosbccba

222

222

222

222

−+=

−+=

−+=


9

9. Iz točke A na moru vidi se vrh

svjetionika pod kutem '1911°=α , a iz

točke B koja je za d = 52,7m bliže,

vidi se vrh pod kutem '4830°=β , a

podnožje pod kutem '459°=γ . Kolika

je

visina svjetionika?

10. Kolike su napetosti na dijelovima AC i

BC konstrukcije ako je G = 4750N,

',' 45311274 °=°= βα ?

11. Dva broda isplovila su pod kutem od

°37 . Dok je jedan brod prešao 32km,

drugi je prešao 25km. Koliko su tada

bili udaljeni jedan od drugoga?

12. Na putu iz grada A u grad B zrakoplov

je skrenuo s kursa '3812° . Nakon 78

km leta pilot je ispravio kurs i letio još

120km do mjesta B. Ako zrakoplov leti

stalnom brzinom 420km na sat,

izračunajte

koliko je

vremena

zrakoplov

dulje letio

zbog skretanja?

13. Brod plovi prema luci i od nje je

udaljen 12km. Nakon što su prešli 5

km kapetan shvati da je skrenuo s

kursa za °21 . Koliko su tada bili

udaljeni od luke?


10

3 Jednadžba pravca

3.1 Implicitna jednadžba pravca Implicitna jednadžba pravca je

ax by c+ = (1)

gdje su a, b i c realni brojevi, pri čemu je barem jedan od brojeva a i b različit od nule.

3.2 Eksplicitna jednadžba pravca Eksplicitna jednadžba pravca je

y kx l= + (2)

pri čemu su k i l realni brojevi (k je koeficijent smjera pravca, a l njegov odsječak na osi y).

α−

= =−

1 0

1 0

tany ykx x

(3)

3.3 Segmentni oblik jednadžba pravca Segmentni oblik jednadžbe pravca je

1x ym n

+ = (4)

gdje su m i n realni brojevi različiti od nule. Točke ( ,0)m i (0, )n su točke presjeka pravca i

koordinatnih osi.

Slika 3.1 Pravac u ravnini

α

y

x0 0 0P ( , )x y

1 1 1P ( , )x y

m

n


11

3.4 Jednadžba pravca kroz dvije točke Jednadžba pravca koji prolazi točkama 0 0A( , )x y i 1 1B( , )x y (uz uvjet 0 1x x≠ ) glasi:

1 00 0

1 0

( )y yy x x yx x−

= − +−

(5)

Implicitna jednadžba se lagano dobije množenjem s x1 − x0 i sredivanjem izraza:

1 0 1 0 1 0 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )y y x x x y y y x x x y− − − = − + − (6)

pri čemu se ova formula smije upotrijebiti i u slučajevima kada vrijedi 0 1x x= .

3.5 Jednadžba pravca sa zadanim koeficijentom smjera koji prolazi kroz jednu točku

Jednadžba pravca koji prolazi točkom 0 0A( , )x y i ima koeficijent smjera k je:

0 0( )y k x x y= − + (7)

presjeci pravca i koordinatnih osi

Točka presjeka pravca i osi x se dobije tako da se u jednadžbu pravca uvrsti 0y = i

dobivena jednadžba riješi po x. Dobiveno rješenje 0x odreduje traženu točku presjeka s

osi x: 0( ,0)x .

Točka presjeka pravca i osi y se dobije tako da se u jednadžbu pravca uvrsti 0x = i

dobivena jednadžba riješi po y. Dobiveno rješenje y0 odreduje traženu točku presjeka s

osi y: 0(0, )y .

3.6 Skiciranje pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu Budući je pravac jednoznačno određen s dvije svoje točke, dovoljno je odrediti položaj

dviju njegovih točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu i zatim skicirati pravac koji

njima prolazi. Da bi skica bila preciznija, može se odrediti i više od dvije točke, a korisno je

odrediti i sjecišta pravca s koordinatnim osima.


12

ZADACI – JEDNADŽBA PRAVCA 1. Zadane su točke A( 8, 4)− − i B(2,9). Napišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik

jednadžbe pravca koji prolazi točkama A i B, odredite sjecišta pravca s koordinatnim

osima i skicirajte pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu.

2. Zadane su točke A( 3, 3)− − i B(3, 7)− . Napišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik

jednadžbe pravca koji prolazi točkama A i B, odredite sjecišta pravca s koordinatnim

osima i skicirajte pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu.

3. Zadane su točke A( 3, 3)− − , B(3, 4)− i C(6,8) . Napišite jednadžbe pravca koji prolaze

točkama A i B te B i C, odredite koeficijente smjera pojedinog pravca i skicirajte pravce

u pravokutnom koordinatnom sustavu.


13

4 Metoda najmanjih kvadrata - MNK

Linearna metoda najmanjih kvadrata zasniva se na jednadžbi pravca

y a bx= + (1)

(Eksplicitni oblik jednadžbe pravca smo u prethodnom poglavlju zapisivali u obliku

y l kx= + )

koristi se da bismo zadani skup podataka, ( )1 1,x y , ( )2 2,x y ,..., ( ),n nx y , gdje ne 2n ≥

opisali pomoću jednadžbe pravca.

Metoda najmanjih kvadrata zasniva se na izjavi da krivulja koja najbolje aproksimira

zadane podatke ima najmanju grešku odstupanja:

[ ] [ ]2 21 1

1 1( ) ( ) min

n n

i ii i

y f x y a bx= =

∏ = − = − + =∑ ∑ (2).

Pri čemu su a i b nepoznati koeficijenti a zadani su ix i iy . Da bi se postigla najmanja

pogreška razlike kvadrata prva derivacija gornjeg izraza po a i b mora dati nulu.

[ ]

[ ]

11

11

2 ( ) 0

2 ( ) 0

n

iin

ii

y a bxa

y a bxb

=

=

⎧∂∏= − + =⎪ ∂⎪

⎨∂∏⎪ = − + =

⎪ ∂⎩

∑

∑ (3)

Proširivanjem gornjih izraza dobije se:

1 1 1

2

1 1 1

1n n n

i ii i in n n

i i i ii i i

y a b x

x y a x b x

= = =

= = =

⎧= +⎪⎪

⎨⎪ = +⎪⎩

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ (4)

Odakle nepoznate parametre a i b dobijemo računajući sljedeći izraz:

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

2

22

22

y x x xya

n x x

n xy x yb

n x x

⎧ −⎪ =⎪ −⎪⎨

−⎪=⎪

−⎪⎩

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑

(5)

Gdje ∑ znači 1...

n

ii=∑

Pri čemu se ukupna greška računa:


14

2

1

2

1

( ( ) )n

i ii

n

ii

f x ys

y

=

=

−=∑

∑ (6)

ZADACI – MNK

1. Koristeći linearnu metodu najmanjih kvadrata pronađi pravac koji najbolje aproksimira

zadane točke. Odredi grešku aproksimacije.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 0.360024 2.66888 5.98046 9.54012 11.2017 15.0563 18.45 20.3067 24.8276 26.9515 29.4022

Rješenje: 0.08303309090909661 + 2.9787658181818184*x

y = 2,978765818182x + 0,083033090909

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

Zadana funkcijaAproksimacija


15

5 Linearna interpolacija

Interpolacija dolazi od riječi inter između i polos os, osovina, odnosno točka, čvor. Svako

izračunavanje nove točke između dviju ili više postojećih točaka podataka je interpolacija.

Postoje mnoge metode interpolacije od kojih mnoge uključuju prilagođavanje nekakve

vrste funkcije zadanim podacima i zatim procjenu vrijednosti te funkcije na željenoj točki.

Danom nizu od n različitih brojeva kx koje nazivamo čvorovi tako da za svaki kx postoji

drugi broj ky , naći ćemo funkciju f za koju vrijedi

( ) , 1,...,k kf x y k n= = (1)

Par kx , ky naziva se točka podataka, a f se naziva interpolant za te točke podataka.

Jedan od oblika interpolacije je izračun aritmetičke sredine iz vrijednosti dviju susjednih

točaka kako bi se odredila točka u njihovoj sredini. Isti se rezultat dobiva određivanjem

vrijednosti linearne funkcije u srednjoj točki.

Linearna interpolacija (ponekad se naziva lerp) je jedna od najjednostavnijih metoda

interpolacije. Kod ove metode se vrijednosti funkcije između dvije susjedne točke grafa

( ),a ax y i ( ),b bx y prikazuju kao da leže na pravcu između te dvije točke. Dakle, za

( ),a bx x x∈ se uzima da je interpolant zadan:

( )( )( )

b aa a

b a

y yy y x xx x

−= + −

− (2)

na točki ( ),x y .

Linearna interpolacija je brza i lagana, no nije odveć precizna.


16

Primjer 1 Pretpostavimo da imamo tablicu u kojoj su navedene vrijednosti nepoznate

funkcije f.

x f(x)

0 0

1 0.8415

2 0.9093

3 0.1411

4 -0.7568

6 -0.9589

6 -0.2794

Interpolacija osigurava način procjenjivanja funkcije na međutočkama, npr. ako x = 2,5.

Budući da je 2,5 sredina između 2 i 3, razumljivo je uzeti sredinu f(2,5) između f(2) =

0,9093 i f(3) = 0,1411, što daje rezultat od 0,5252.

(0.1411 0.9093)0.9093 (2.5 2) 0.5252(3 2)

y −= + − =

−

Slika 5.1 Vizualno predočeni podaci iz tablice

Slika 5.2 Prikaz podataka sa dodanom linearnom interpolacijom

-2

-1

-1

0

1

1

2

0 1 2 3 4 5 6

-2

-1

-1

0

1

1

2

0 1 2 3 4 5 6


17

Primjer 2 Na slici je prikazana tablično zadana funkcija. x f(x)

0 -1

1 1

3 3

4 5

5 7

8 6

Odredi vrijednost (2.6)f .

(3) (1)(2.6) (1) (2.6 1) 2.63 1

y yf y −= + − =

−

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Slika 5.3 Vizualni prikaz podataka

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Slika 5.3 Linearna interpolacija


18

6 Mjerne jedinice i SI sustav Medunarodni sustav jedinica SI (kratica SI izvedena je prema francuskom nazivu Le System

International d'Unites) je moderni metrički sustav mjera, kojeg je uspostavila 1960. Generalna

konferencija o utezima i mjerama (CGPM, Conférence Générale des Poids et Mesures). CGPM je

međunarodna organizacija koja se brine o širenju SI i po potrebi njegovoj modifikaciji, sukladno

napretku u znanosti i tehnologiji. Sadašnja verzija SI, usvojena 1971., temelji se na sedam

osnovnih jedinica za sedam osnovnih veličina koje su medusobno neovisne.

Tablica 6.1 Osnovne fizikalne veličine i pripadne jedinice SI sustava

FIZIKALNA VELIČINA NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL

Duljina l metar m

Masa m kilogram kg

Vrijeme t sekunda s

Električna struja I amper A

Termodinamička

temperatura T kelvin

K

Količina tvari n mol mol

Intenzitet svijetlosti Iv kandela cd

Tablica 6.2 Dopunske SI jedinice


Kut Φ,φ,α,β... radijan rad

Prostorni kut Φ,φ,α,β... steradijan sr

Sve druge veličine, nazvane izvedene veličine, mogu se definirati pomocu tih sedam osnovnih

veličina. Sukladno tome, izvedene veličine imaju izvedene jedinice.


19

Tablica 6.3 Neke od izvedenih SI jedinica bez posebnih znakova i naziva


Površina A, S četvorni metar m2

Volumen V kubni metar m3

Brzina v metar u

sekundi m/s

Ubrzanje a metara u

sekundi na

kvadrat

m/s2

Gustoća ρ kilograma po

kubičnom

metru

kg/m3

Obujamni protok Q kubičnih

metara u

sekundi

m3/s

Moment sile M njutn metara Nm

Neke od izvedenih velicina toliko su česte i važne u praksi da su njihove (izvedene) jedinice dobile

specijalni naziv i oznaku (simbol). SI sustav ima 22 takve specijalne oznake, a za naše potrebe

nabrojat ćemo samo sljedeće:

Tablica 6.4 Neke od izvedenih SI jedinica s posebnim imenom


Frekvencija f herc (hertz) Hz

Sila F njutn (newton) N

Tlak, naprezanje p paskal (pascal) Pa, N/m2

Energija E džul (joule) J

Snaga P vat (watt) W

Električni napon U (V) volt V

Količina elektriciteta Q kulon

(coulomb) C

Električni otpor R om (ohm) Ω


20

Primjer:

Po definiciji je sila = masa · akceleracija

masa je osnovna veličina (ne definira se pomoću drugih pojmova)

akceleracija nije osnovna veličina; ona se definira kao brzina/vrijeme, pa zahtjeva prethodno

definiranje brzine: brzina = dužina/vrijeme;

brzina je izvedena veličina koja je definirana samo s osnovnim veličinama.

Konačno, složeni pojam sile može se objasniti korištenjem samo osnovnih pojmova (veličina):

sila = masa · dužina · vrijeme-2 ,

a s jedinicama: N = kg · m · s-2.

Pojmovi tlak, energija i snaga su složeniji od pojma sila, pa bi izražavanje tih veličina s osnovnim

jedinicama bilo vizualno još kompliciranije i stoga nepraktično. To je i razlogom da su za

kompleksnije kombinacije osnovnih jedinica uvedene nove oznake, poput N u našem primjeru.

SI definira 20 prefiksa, za potencije na bazi 10, koji se mogu koristiti uz osnovne ili izvedene

jedinice. U inženjerskoj praksi korištenje prefiksa je svakodnevica, pa samim time i prijeka

potreba, tako da će se u kolegiju dat poseban naglasak na račun s prefiksima, kako bi student čim

brže i bolje savladao njihovo korištenje.

Tablica 6.5 SI prefiksi

Faktor Naziv Oznaka Faktor Naziv Oznaka

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zetta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 mili m

1015 peta P 10-6 micro μ

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto ha 10-21 zepto z

101 deka da 10-24 yocto y


21

ZADACI – JEDINICE 1. Pretvorite u određene mjerne jedinice:

a. __0,25 mm 2,5 10 m= ⋅

b. __7520000 m 7,52 10 m= ⋅

c. 4,285 × 10-4

[mm] = 4,285 × 10__

[cm] = 4,285 × 10__

[m]

d. 120000000 [km] = 1,2 ×10__

[km] = 1,2 × 10__

[m]

e. 1 [god] = _________ [s]

2. Izračunajte u traženim mjernim jedinicama:

a. 3200 mm 0,0022 km 22 dm 1,5 m 0,284 kmS = + + − +

_________mmS =

b. 2 2 2 225 m 0,000015 km 17,5 dm 320 cmA = + − −

2_________mA =

c. 3 3 31500 cm 22 m 3 dmV = + −

_________ lV =

3. Izračunajte vrijednosti u traženim mjernim jedinicama:

a. tsv =

228 km3 dana

v =

_______m / sv =

b. 1,5 m1 s

v =

_______km / hv =

c. 3200 km4 dana,21 sat

v =

_______m / sv =

d. vst =

362500 km700 m / s

t =

_________ satit =


22


a. tva =

120 km / h20 min

a =

2_________m / sa =

b. 6 km / h2 dana

a =

2_________m / sa =

c. tav ⋅=

22,8m / s 25minv = ⋅

2_________m / sv =


a. xkF ⋅=

0,3 N/m 0,001 kmF = ⋅

_______NF =

b. t

vmF ⋅=

300 g 10 km/h10 s

F ⋅=

________NF =

c. m

tFv ⋅=Δ

4 N s0,004 t

vΔ =

_______m/svΔ =

d. μ⋅= NFt

NFt=μ

62,5 10 MN

0,010 kNμ

−⋅=


23

_________=μ


a. AFp =

20,001 MN

250000 mmp =

2__________Pa N/mp ⎡ ⎤= ⎣ ⎦

b. hgpp ⋅⋅+= ρ0

3 2 4101300 Pa 1000 kg/m 9,81 m/s 10 mmp = + × ×

__________Pap =

c. hgp ⋅⋅= ρ

3 22500 kg/m 9,81 m/s 50cmp = ⋅ ⋅

___________Pap =

d. AFp =

A

gmgmgmp ⋅+⋅+⋅= 321

3

220 kg 120000 mg 2,8 10 t

12800000 mmg g gp

−⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅=

___________Pap =


a. hFW ⋅=

hgmW ⋅⋅=

4 210 mg 9,81 m/s 1500 mmW = ⋅ ⋅

2

2kg m_________ J( )

sW =

b. 221

rmmGF ⋅

⋅=

7 4

2 23

10 kg×9,5×10 t6,67 Nm /kg ×2,5×10 m

F =

________MNF =


24

c. t

WP =

135 kJ2 dana

P = _______ J/sP =

d. vAQ ⋅=

20,02512m 122km/hQ = ⋅

___________ l/sQ =

e. 221

rQQkF ⋅

⋅=

( )

8 89 2

24

2,23 10 C 1,25 10 C9 10 Nm/C3 10 km

F− −

−

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

⋅

_________μNF =

f. QFE =

8

71,5 10 MN

2 10 CE

−

−

⋅=

⋅

N__________C

E =

g. rQk ⋅=φ

k

rQ ⋅=φ

9 2600 V 2,5 cm9 10 Nm/C

Q ⋅=

⋅

__________ CQ =

h. AElF

⋅⋅

=λ

5 2 2125 kN 500 cm

4,2 10 MN/m 200 dmλ ⋅=

⋅ ⋅

__________mλ =

teorija_osnove inženjerskog proračuna_vtŠbj

Documents