SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Vuko Vukčević, Mihael Lobrović

Teorijsko – numerički pristup problemu laminarnog graničnog

sloja oko ravne ploče

Zagreb, 2011.

Ovaj rad izrađen je na Katedri za hidromehaniku plovnih objekata pod vodstvom profesorice

dr. sc. Andreje Werner i predan je na natječaj za dodjelu Rektorove nagrade u akademskoj

godini 2011.

Popis oznaka:

𝑥 - Kartezijeva koordinata u uzdužnom smjeru ploče

𝑦 - Kartezijeva koordinata u okomitom smjeru na ploču

𝑣𝑥 - komponenta vektora brzine u smjeru x - osi

𝑣𝑦 - komponenta vektora brzine u smjeru y - osi

𝜌 - gustoća fluida

𝑝 - polje tlaka

𝜈 - kinematička viskoznost fluida

𝜇 - dinamička viskoznost fluida

d∗

d𝑥 - operator derivacije * po x - u

𝜕∗

𝜕𝑥 - operator parcijalne derivacije * po x - u

𝜕2∗

𝜕𝑥2 - operator druge parcijalne derivacije * po x - u

𝜕∗

𝜕𝑦 - operator parcijalne derivacije * po y - u

𝜕2∗

𝜕𝑦2 - operator druge parcijalne derivacije * po y - u

𝜕3∗

𝜕𝑦3 - operator treće parcijalne derivacije * po y - u

𝜕2∗

𝜕𝑥𝜕𝑦 - operator parcijalne derivacije * po 𝑥 - u i po 𝑦 – u

L - duljina ploče

B - širina ploče

𝛿 - debljina graničnog sloja

𝑣𝛿 - brzina vanjskog potencijalnog strujanja

𝑣∞ - konstanta brzina paralelnog vanjskog potencijalnog strujanja

Re - Reynoldsov broj

𝜓 - funkcija toka

𝜂 - Blasiusova bezdimenzijska varijabla

𝜑 - primitivna funkcija od Blasiusovog bezdimenzijskog profila brzine

𝜑′ - Blasiusov bezdimenzijski profil brzine

𝜑′′ - prva derivacija Blasiusovog bezdimenzijskog profila brzine

𝜑′′′ - druga derivacija Blasiusovog bezdimenzijskog profila brzine

𝑢 - supstitucijska funkcija za 𝜑′

𝑣 - supstitucijska funkcija za 𝜑′′

𝑖 - brojač koraka klasične Runge - Kutta metode

𝐴𝑘𝑖 - koeficijenti funkcije prirasta klasične Runge - Kutta metode u i-tom koraku (k = 1,2,3,4)

𝐵𝑘𝑖 - koeficijenti funkcije prirasta klasične Runge - Kutta metode u i-tom koraku (k = 1,2,3,4)

𝐶𝑘𝑖 - koeficijenti funkcije prirasta klasične Runge - Kutta metode u i-tom koraku (k = 1,2,3,4)

𝑗 - brojač konvergencije metodom gađanja

𝛼𝑗 - niz vrijednosti za početni uvjet 𝑣(0)

𝛽𝑗 - niz vrijednosti za granični uvjet 𝑢 ∞

ℎ - korak Runge - Kutta metode

𝑒 - točnost numeričkog postupka za rubni uvjet

𝛥 - apsolutna vrijednost razlike između rješenja R - K metodom i Howarthove integracije

𝜏𝑤 - tangencijalno naprezanje po površini ploče

𝐷 - sila otpora ploče

Sadržaj rada

Uvod............................................................................................................................................1

Prandtlove jednadžbe za granični sloj........................................................................................2

Numerička analiza....................................................................................................................14

Analiza rezultata i greške..........................................................................................................21

Zaključak...................................................................................................................................27

Prilog 1.....................................................................................................................................28

Zahvala......................................................................................................................................33

Popis literature.........................................................................................................................34

Sažetak rada..............................................................................................................................36

Summary....................................................................................................................................37

1

1. Uvod

U ovom radu se razmatra ravninsko, stacionarno laminarno strujanje nestlačivog,

viskoznog fluida u području u blizini ravne ploče, koje je poznato pod nazivom granični sloj.

Granični sloj je područje vrtložnog strujanja viskoznog fluida u kojem su inercijalne i

viskozne sile koje djeluju na fluid istog reda veličine, i definiran je kao relativno tanko

područje u neposrednoj blizini krutih granica unutar kojeg se tangencijalna komponenta

brzine naglo mijenja u smjeru normalno na stijenku, od nule na samoj krutoj i nepomičnoj

stijenci do brzine slobodne struje na vanjskom rubu graničnog sloja [1]. Najprije će se

razmatrati Prandtlovo pojednostavljenje Navier - Stokesovih jednadžbi koje opisuju

spomenuto strujanje, da bi se na kraju uvođenjem Blasiusove bezdimenzijske funkcije,

problem najviše moguće teorijski pojednostavnio, čime se dobije obična nelinearna

diferencijalna jednadžba poznatija pod nazivom Blasiusova diferencijalna jednadžba. Kako

matematička analiza još uvijek nije dala analitički egzaktno rješenje spomenute jednadžbe,

problem će se riješiti numerički klasičnom Runge - Kutta metodom četvrtog reda [2], uz što

će se analizirati i veličina greške, te će se dobiveni rezultati prikazati tablično i grafički. Na

kraju razmatranja dobiveni rezultati će se usporediti s Howarthovom integracijom [3], te će se

dati izraz za određivanje sile otpora ravne ploče u laminarnom režimu strujanja što je izrazito

bitno za samu inženjersku primjenu.

2

2. Prandtlove jednadžbe za granični sloj

Ograničit ćemo se na ravninsko stacionarno strujanje duž blago zakrivljene krute

stijenke, odnosno stijenke čiji je radijus zakrivljensti znatno veći od debljine graničnog sloja,

𝑅 ≫ 𝛿, slika 1. Dinamika strujanja u području laminarnog graničnog sloja oko takve stijenke

se opisuje Navier - Stokesovim jednadžbama [4] za nestlačivo, viskozno, adijabatsko i

stacionarno strujanje, a one se izvode iz zakona očuvanja količine gibanja za materijalni

volumen fluida za što je potrebno znanje teorema iz više matematičke analize, kao što su:

Leibnitzov transportni teorem [5], Stokesov teorem [6] i Gaussov teorem [7] (poznat i kao

Green - Gauss teorem, odnosno Gauss - Ostrogradski teorem). Te jednadžbe su nelinearne

parcijalne diferencijalne jednadžbe eliptičkog tipa čija nelinearnost proizlazi iz konvektivnih

članova, te su egzaktna rješenja spomenutih jednadžbi poznata za samo mali broj fizikalnih

problema strujanja Newtonovskog fluida [8]. Strujanje se promatra u 𝑂𝑥𝑦 koordinatnom

sustavu gdje se os 𝑂𝑥 poklapa sa konturom stijenke, a os 𝑂𝑦 je u svakoj točki okomita na os

𝑂𝑥, slika 1. Za daljnja razmatranja potrebno je navesti definiciju debljine graničnog sloja 𝛿

koja je definirana kao udaljenost od stijenke u smjeru poprečne osi 𝑦 preko koje se brzina

mijenja od 0 do 99% (ili 99.5%) iznosa vanjskog potencijalnog strujanja 𝑣𝛿 = 𝑣𝛿(𝑥), to jest,

pri 𝑦 = 𝛿, vrijedi 𝑣𝑥 = 0.99𝑣𝛿 (odnosno 𝑣𝑥 = 0.995𝑣𝛿 ).

Slika 1. Laminarni granični sloj duž blago zakrivljene krute stijenke

3

Polazne jednadžbe su jednadžba kontinuiteta (1) (jednadžba očuvanja mase) te Navier

- Stokesove jednadžbe (2) i (3) (jednadžbe količine gibanja), koje glase:

𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑥 +

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑦 = 0 (1)

𝑥 - komponenta Navier - Stokesovih jednadžbi:

𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑥 + 𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦 = −

1

𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑥 + 𝜈 (

𝜕2𝑣𝑥

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑣𝑥

𝜕𝑦2 ) (2)

𝑦 - komponenta Navier - Stokesovih jednadžbi:

𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑥 + 𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑦 = −

1

𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑦 + 𝜈 (

𝜕2𝑣𝑦

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑣𝑦

𝜕𝑦2 ) (3)

Budući da je 𝛿 jako mala veličina u odnosu na duljinu ploče L, odnosno vrijedi

da je 𝛿

𝐿 << 1, pa se jednadžbe (2) i (3) mogu znatno pojednostavniti. Slijedi procjena reda

veličine pojedinih fizikalnih veličina:

𝑥 ~ 𝐿 (4)

𝑦 ~ 𝛿 (5)

𝑣𝑥 ~ 𝑣𝛿 (6)

𝑝 ~ 𝜌 𝑣𝛿2 (7)

Pomoću odnosa (4) − (7) moguće je procijeniti red veličine pojedinih članova u

jednadžbama (1), (2) i (3), iz čega slijedi za članove jednadžbe (2):

𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑥 ~

𝑣𝛿2

𝐿 (8)

4

1

𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑥 ~

𝑣𝛿2

𝐿 (9)

𝜈 𝜕2𝑣𝑥

𝜕𝑥2 ~ 𝜈 𝑣𝛿

𝐿2 (10)

𝜈 𝜕2𝑣𝑥

𝜕𝑦2 ~ 𝜈 𝑣𝛿

𝛿2 (11)

Ako se usporedi red veličine člana (10) s redom veličine člana (11), zbog 𝐿2 ≫ 𝛿2

slijedi da je:

𝜈 𝜕2𝑣𝑥

𝜕𝑥2 << 𝜈 𝜕2𝑣𝑥

𝜕𝑦2 (12)

tako da se član 𝜈 𝜕2𝑣𝑥

𝜕𝑥2 može zanemariti.

Iz jednadžbe kontinuiteta (1) slijedi:

|𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑥| = |

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑦| ~

𝑣𝛿

𝐿 (13)

te nadalje imamo:

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑦 ~

𝑣𝑦

𝛿 (14)

Uspoređivanjem izraza (13) i (14) dobije se:

𝑣𝛿

𝐿 ~

𝑣𝑦

𝛿 → 𝑣𝑦 ~ 𝑣𝛿

𝛿

𝐿 (15)

čime smo procijenili red veličine brzine 𝑣𝑦 .

5

Uz sada poznati red veličine komponente brzine 𝑣𝑦 , možemo procijeniti red veličine

posljednjeg preostalog člana iz jednadžbe (2):

𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦 ~ 𝑣𝛿

𝛿

𝐿 𝑣𝛿

𝛿 ~

𝑣𝛿2

𝐿 (16)

Budući da je granični sloj područje podjednakog utjecaja viskoznih i inercijskih sila, u

𝑥 komponenti Navier - Stokesovih jednadžbi zadržava se viskozni član s desne strane

nejednakosti (12). Taj član mora imati isti red veličine kao i ostali zadržani članovi, odnosno

vrijedi:

𝜈 𝑣𝛿

𝛿2 ~ 𝑣𝛿

2

𝐿 (17)

Nadalje, izraz (17) možemo raspisati u sljedećem obliku:

𝜈 𝑣𝛿

𝛿2 ~ 𝑣𝛿

2

𝐿 𝐿 𝑣𝛿

𝜈 𝜈

𝐿 𝑣𝛿

~ 𝜈 𝑣𝛿

𝐿2 𝑅𝑒 (18)

gdje je 𝑅𝑒 Reynoldsov broj [9], 𝑅𝑒 = 𝐿 𝑣𝛿

𝜈. Uspoređivanjem lijeve strane s krajnjom desnom

stranom izraza (18) dobije se:

𝜈 𝑣𝛿

𝛿2 ~ 𝜈 𝑣𝛿

𝐿2 𝑅𝑒 → 𝛿

𝐿 ~

1

𝑅𝑒 (19)

Dakle, uvjet 𝛿

𝐿 << 1, bit će ispunjen samo kada je 𝑅𝑒 >> 1, što uz zadane 𝑣𝛿 i 𝐿, kada su reda

veličine približno 1, znači da viskoznost fluida 𝜈 treba biti relativno mala vrijednost.

Upotrebom jednostavnih matematičkih operacija i izraza (15) i (19) može se

procijeniti red veličina pojedinih članova u jednadžbi (3):

6

𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑥 ~ 𝑣𝛿 𝑣𝛿

𝛿

𝐿 1

𝐿 ~

𝑣𝛿2

𝐿

1

𝑅𝑒 (20)

𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑦 ~ 𝑣𝛿

𝛿

𝐿 𝑣𝛿

𝛿

𝐿 1

𝛿 ~

𝑣𝛿2

𝐿

1

𝑅𝑒 (21)

𝜈 𝜕2𝑣𝑦

𝜕𝑥2 ~ 𝐿 𝑣𝛿

𝑅𝑒 𝛿 𝑣𝛿

𝐿

1

𝐿2 ~ 𝑣𝛿

2

𝐿

1

𝑅𝑒3 (22)

𝜈 𝜕2𝑣𝑦

𝜕𝑦2 ~ 𝐿 𝑣𝛿

𝑅𝑒 𝛿 𝑣𝛿

𝐿

1

𝛿2 𝐿

𝐿 ~

𝑣𝛿2

𝐿 𝑅𝑒

𝑅𝑒 ~

𝑣𝛿2

𝐿

1

𝑅𝑒 (23)

Iz jednadžbi (20) − (23) vidljivo je da su članovi, budući da sadrže 𝑅𝑒 u nazivniku,

zanemarivi kada je 𝑅𝑒 >> 1, odnosno da svi ti članovi teže k nuli. Dakle, preostali član u (3),

koji predstavlja gradijent tlaka u smjeru okomitom na ploču, je također zanemariv, odnosno:

𝜕𝑝

𝜕𝑦 ≈ 0 (24)

što je osnovno svojstvo graničnog sloja, to jest tlak se po presjeku graničnog sloja može

smatrati konstantnim i jednakim tlaku u vanjskom strujanju.

Na samom gornjem rubu graničnog sloja, pri stacionarnom ravninskom strujanju,

primjenom jednadžbe (2), uz zanemarenje viskoznosti jer se nalazimo u području

potencijalnog strujanja, te imajući na umu da se brzina i tlak na vanjskom rubu graničnog

sloja mijenjaju po zakonu 𝑣𝛿 = 𝑣𝛿(𝑥), 𝑝 = 𝑝(𝑥) proizlazi:

𝑣𝛿 d𝑣𝛿

d𝑥 = −1

𝜌 d𝑝

d𝑥 (25)

Korištenjem prethodno izvedenih izraza, dolazi se do Prandtlovih jednadžbi za

laminarni granični sloj, koje vrijede samo unutar graničnog sloja:

7

𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑥 + 𝑣𝑦

𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦 = 𝑣𝛿

d𝑣𝛿

d𝑥 + 𝜈

𝜕2𝑣𝑥

𝜕𝑦2 (26)

𝜕𝑝

𝜕𝑦 = 0 (27)

𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑥 +

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑦 = 0 (28)

uz rubne uvjete:

𝑣𝑥 = 𝑣𝑦 = 0 za 𝑦 = 0

𝑣𝑥 → 𝑣∞ za 𝑦 → ∞ (𝛿)

𝑣𝑥 = 𝑣𝑥0(𝑦) za 𝑥 = 𝑥0 (ulazni brid)

Primjenom funkcije toka 𝜓(𝑥,𝑦) [10], koja je za ravninsko strujanje definirana

pomoću sljedećih izraza:

𝑣𝑥 = 𝜕𝜓

𝜕𝑦 (29)

𝑣𝑦 = − 𝜕𝜓

𝜕𝑥 (30)

jednadžba kontinuiteta (28) prelazi u oblik:

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦 −

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦 = 0 (31)

iz čega je vidljivo da funkcija toka 𝜓(𝑥, 𝑦) zadovoljava spomenutu jednadžbu. Jednadžba (27)

ostaje ista, a jednadžba (26) prelazi u oblik:

8

𝜕𝜓

𝜕𝑦 𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦 −

𝜕𝜓

𝜕𝑥 𝜕2𝜓

𝜕𝑦2 = 𝑣𝛿 d𝑣𝛿

d𝑥 + 𝜈

𝜕3𝜓

𝜕𝑦3 (32)

𝜕𝑝

𝜕𝑦 = 0 (33)

s rubnim uvjetima:

𝜓 = 0 za 𝑦 = 0

𝜕𝜓

𝜕𝑦 =

𝜕𝜓

𝜕𝑥 = 0 za 𝑦 = 0, 𝑥 > 0

𝜕𝜓

𝜕𝑦 → 𝑣𝛿 za 𝑦 → ∞ 𝛿 , 𝑥 ∈ ℝ

𝜕𝜓

𝜕𝑦 = 𝑣𝑥0(𝑦) za 𝑥 = 𝑥0 (ulazni brid)

Prandtlove jednadžbe su nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe čije analitičko

rješenje nije poznato. Za razliku od Navier - Stokesovih jednadžbi, koje su eliptičkog tipa, ove

jednadžbe su paraboličkog tipa. Jednadžbe eliptičkog tipa karakterizira to da promjena stanja

u nekoj točki strujanja izaziva promjenu strujanja u čitavom području u kojemu je strujanje

definirano, dok jednadžbe paraboličkog tipa karakterizira da na stanje u promatranoj točki

strujanja utječe samo stanje uzvodno od te točke, što znači da nije potrebno zadavati rubni

uvjet na kraju ploče, odnosno na koordinati 𝑥 = 𝐿.

Promatra se beskonačno tanka i beskonačno duga ravna ploča uronjena pod nultim

napadnim kutem u jednoliko paralelno strujanje neograničenog, viskoznog, nestlačivog fluida

konstantnom brzinom 𝑣∞ . Ishodište Kartezijevog koordinatnog sustava 𝑂𝑥𝑦 postavljeno je na

9

ulazni brid ploče, koordinatna os 𝑂𝑥 u uzdužnom smjeru ploče, te koordinatna os 𝑂𝑦 u smjeru

normale na ploču, to jest u smjeru okomitom na ploču.

Slika 2. Laminarni granični sloj uz ravnu ploču

U tom slučaju, kako je 𝑣∞ konstantna brzina, jednadžba (32) postaje:

𝜕𝜓

𝜕𝑦 𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦 −

𝜕𝜓

𝜕𝑥 𝜕2𝜓

𝜕𝑦2 = 𝜈 𝜕3𝜓

𝜕𝑦3 (34)

a rubni uvjeti glase:

𝑣𝑥 = 𝜕𝜓

𝜕𝑦 = 0 za 𝑦 = 0, 𝑥 > 0

𝑣𝑦 = − 𝜕𝜓

𝜕𝑥 = 0 za 𝑦 = 0, 𝑥 > 0

𝑣𝑥 = 𝜕𝜓

𝜕𝑦 = 𝑣∞ za 𝑦 → ∞, 𝑥 ∈ ℝ

𝑣𝑥 = 𝜕𝜓

𝜕𝑦 = 𝑣∞ za 𝑥 = 0, 𝑦 ∈ ℝ ∖ {0}

)(yv

v

v

x

y

.constp

)(x

10

Kako je na ulaznom bridu 𝑥 = 𝑦 = 0 to zahtijeva beskonačni gradijent brzine u toj

točki, što predstavlja singularitet u matematičkom smislu. S druge strane, pri optjecanju ploče

se na prednoj strani pojavljuje točka zastoja. U okolini točke zastoja je brzina mala, pa

Reynoldsov broj poprima niske vrijednosti, tako da Prandtlove jednadžbe ne vrijede za to

područje radi pretpostavke koje smo uveli u (19). Dakle, samo rješenje problema vrijedi za

vrijednosti 𝑥 veće od neke male udaljenosti nizvodno od ulaznog brida.

Ako Reynoldsov broj uvrstimo u (19), te primjenom izraza (4) dobiva se:

𝛿

𝑥 ~

1

𝑥 𝑣∞𝜈

→ 𝛿

𝑥 ~

𝜈

𝑥𝑣∞ → 𝛿 ~

𝜈𝑥

𝑣∞ (35)

Kako je red veličine od 𝑦 jednak redu veličine od 𝛿, to smo izrazom (34) dobili i

procjenu reda veličine za 𝑦. Taj izraz je dao ideju Blasiusu da se problem pokuša formulirati

pomoću nove bezdimenzijske varijable 𝜂 [11], koja je definirana kao:

𝜂 = 𝑦

𝛿 =

𝑦

𝜈𝑥

𝑣∞

= 𝑦 𝑣∞𝜈𝑥 (36)

Traženi profil brzine 𝜑′(𝜂) možemo napisati u obliku:

𝑣𝑥 = 𝜕𝜓

𝜕𝑦 = 𝑣∞ 𝜑′ (37)

gdje je 𝜑′ bezdimenzijski profil brzine, odnosno, derivacija funkcije 𝜑 po 𝜂, odnosno

𝜑′ = d𝜑

d𝜂 =

𝑣𝑥

𝑣∞. S druge strane, koristeći pravila iz osnovne matematičke analize, izraz (37)

možemo napisati kao:

11

𝑣𝑥 = 𝜕𝜓

𝜕𝑦 =

𝜕𝜓

𝜕𝜂 𝜕𝜂

𝜕𝑦 =

𝜕𝜓

𝜕𝜂

𝑣∞

𝜈𝑥 (38)

Nadalje, uspoređivanjem izraza (37) te (38) možemo pisati:

𝜕𝜓

𝜕𝜂

𝑣∞

𝜈𝑥 = 𝑣∞ 𝜑′ →

𝜕𝜓

𝜕𝜂 = 𝜈𝑥𝑣∞ 𝜑′ (39)

te se integracijom izraza (39) po 𝜂 dolazi do:

𝜓 = 𝜈𝑥𝑣∞ 𝜑 (40)

Koristeći izraz (40) pojedini članovi u Prandtlovoj jednadžbi (32) mogu se napisati u

ovisnosti o funkciji 𝜑 te njenim derivacijama, pa slijedi:

𝑣𝑥 = 𝜕𝜓

𝜕𝑦 = 𝑣∞ 𝜑′ (41)

𝑣𝑦 = − 𝜕𝜓

𝜕𝑥 = −

𝜕

𝜕𝑥 ( 𝜈𝑥𝑣∞ 𝜑) = − 𝜈𝑣∞ 𝜑

1

2 𝑥 − 𝜈𝑥𝑣∞

𝜕𝜑

𝜕𝜂 𝜕𝜂

𝜕𝑥

= − 1

2

𝜈𝑣∞

𝑥 𝜑 + 𝜑′ 𝜈𝑥𝑣∞

1

2 𝑦

𝑣∞

𝜈

1

𝑥3

= − 1

2

𝜈𝑣∞

𝑥 𝜑 +

1

2 𝜑′

𝜈𝑣∞

𝑥 𝜂

= − 1

2

𝜈𝑣∞

𝑥 𝜑 − 𝜂𝜑′

12

𝑣𝑦 = 1

2

𝜈𝑣∞

𝑥 𝜂𝜑′ − 𝜑 (42)

𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑥 =

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦 = … = −

1

2 𝑣∞

𝑥 𝜂𝜑′′ (43)

𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦 =

𝜕2𝜓

𝜕𝑦2 = … = 𝑣∞ 𝑣∞

𝜈𝑥 𝜑′′ (44)

𝜕2𝑣𝑥

𝜕𝑦2 = 𝜕3𝜓

𝜕𝑦3 = … = 𝑣∞

2

𝜈𝑥 𝜑′′′ (45)

Uvrštavajući jednadžbe (41) − (45) u jednadžbu (34) Prandtlova parcijalna nelinearna

diferencijalna jednadžba postaje obična nelinearna diferencijalna jednadžba trećeg reda kako

slijedi:

− 1

2 𝑣∞ 𝜑′

𝑣∞

𝑥 𝜂𝜑′′ +

1

2

𝜈𝑣∞

𝑥 𝜂𝜑′ − 𝜑 𝑣∞

𝑣∞

𝜈𝑥 𝜑′′ = 𝜈

𝑣∞2

𝜈𝑥 𝜑′′′

iz čega, sređivanjem jednadžbe (kraćenjem te dijeljenjem sa 𝑣∞2 i sa 𝑥) dalje slijedi:

− 1

2 𝜑′ 𝜂𝜑′′ +

1

2 𝜑′ 𝜂𝜑′′ −

1

2 𝜑𝜑′′ = 𝜑′′′

te konačno, množenjem s 2, dobije se Blasiusova diferencijalna jednadžba:

2𝜑′′′ + 𝜑𝜑′′ = 0 (46)

s rubnim uvjetima:

𝜑 = 0 za 𝜂 = 0

𝜑′ = 0 za 𝜂 = 0

13

𝜑′ = 1 za 𝜂 → ∞

Time se zadatak sveo na određivanje funkcije 𝜑(𝜂) u intervalu 0 < 𝜂 < ∞, koja

zadovoljava običnu nelinearnu diferencijalnu jednadžbu (46) s pripadajućim rubnim uvjetima,

što je, počevši od Navier - Stokesovih jednadžbi (2) i (3), te jednadžbe kontinuiteta (1) znatno

pojednostavljenje u matematičkom smislu.

14

3. Numerička analiza

Kao što je već spomenuto, Blasiusova diferencijalna jednadžba (46) sa pripadajućim

rubnim uvjetima je obična nelinearna diferencijalna jednadžba trećeg reda, koja nema

egzaktno analitičko rješenje. Ta jednadžba predstavlja problem granične vrijednosti u

matematičkom smislu, gdje rubni uvjeti nisu zadani u jednoj točki domene funkcije, nego u

dvije (kao što je u ovom slučaju, na početku, te na kraju intervala), ili više njih, odnosno

jednadžba ne predstavlja Cauchyev problem [12] početne vrijednosti gdje su svi rubni uvjeti

diferencijalne jednadžbe zadani na početku intervala. Kroz povijest, gore spomenuta

jednadžba se rješavala na razne načine. Sam Blasius je rješavao razvojem funkcije 𝜑(𝜂) u

Taylorov red za male 𝜂, te asimptotskim razvojem za velike 𝜂 zbog asimptotskog rubnog

uvjeta 𝜑′(∞) = 1. Ta dva razvoja, koja na kraju rezultiraju s tri nepoznate konstante

integracije, usklađuju se tako da za područje u kojemu vrijede oba razvoja, funkcije 𝜑,𝜑′ ,𝜑′′

moraju biti jednake, što na kraju daje tri jednadžbe s tri nepoznanice. Töpfer je, s druge

strane, rješavao jednadžbu tako da ju je transformirao u problem početne vrijednosti, odnosno

Cauchyev problem, koji ima prednost zato što su svi rubni uvjeti zadani u jednoj točki, te je

nakon takve transformacije jednadžbu rješavao numeričkim metodama.

U ovom radu, za rješavanje jednadžbe koristi se klasična Runge – Kutta metoda 4.

reda (u daljnjem tekstu R - K metoda), čiji je izvod detaljno opisan u [2], a zasniva se na

aproksimaciji nepoznate funkcije s njenom derivacijom koja ju u obliku poligona aproksimira

u točkama udaljenim za korak ℎ (koji može biti konstantan ili varijabilan). Važno je

spomenuti da se ovom metodom rješavaju obične diferencijalne jednadžbe prvog reda, te je

potrebno bilo kakvu diferencijalnu jednadžbu koja se promatra izraziti tako da na jednoj strani

bude sama derivacija tražene funkcije. Funkcija koja je sama na jednoj strani jednadžbe,

razvija se u Taylorov red, te je potrebno pretpostaviti da je ona dovoljno diferencijabilna.

15

Prije svega, zbog jednostavnosti, diferencijalnu jednadžbu (46) pomoću jednostavnih

supstitucija 𝜑 = 𝑦, te 𝜂 = 𝑥 zapisujemo u standardnom matematičkom obliku:

2𝑦′′′ + 𝑦𝑦′′ = 0 (47)

s rubnim uvjetima:

𝑦 = 0 za 𝑥 = 0

𝑦′ = 0 za 𝑥 = 0

𝑦′ = 1 za 𝑥 → ∞

Kao što je spomenuto, R - K metoda može rješavati samo obične diferencijalne

jednadžbe prvog reda, te je potrebno jednadžbu (47) jednostavnim supstitucijama zapisati kao

sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda [13] kako slijedi:

Uz 𝑦′ = 𝑢 slijedi 2𝑢′′ + 𝑦𝑢′ = 0

Nadalje, uz: 𝑢′ = 𝑣 slijedi 2𝑣′ + 𝑦𝑣 = 0

Konačno, problem se svodi na sustav od tri obične diferencijalne jednadžbe prvog reda

koje glase:

𝑦′ = 𝑢 (48)

𝑢′ = 𝑣 (49)

𝑣′ = − 0.5𝑦 𝑣 (50)

s rubnim uvjetima:

𝑦(0) = 0

𝑢(0) = 0

16

𝑢(∞) = 1

Za svaku diferencijalnu jednadžbu definiraju se koeficijenti funkcije prirasta [13]

R - K metode, pa za (48) imamo:

𝐴1𝑖 = ℎ 𝑢𝑖 (48a)

𝐴2𝑖 = ℎ (𝑢𝑖 + 0.5𝐴1

𝑖 ) (48b)

𝐴3𝑖 = ℎ (𝑢𝑖 + 0.5𝐴2

𝑖 ) (48c)

𝐴4𝑖 = ℎ (𝑢𝑖 + 𝐴3

𝑖 ) (48d)

Gdje indeks 𝑖 označuje broj iteracije, a ℎ korak. Za (49) one su slične i glase:

𝐵1𝑖 = ℎ 𝑣𝑖 (49a)

𝐵2𝑖 = ℎ (𝑣𝑖 + 0.5𝐵1

𝑖 ) (49b)

𝐵3𝑖 = ℎ (𝑣𝑖 + 0.5𝐵2

𝑖 ) (49c)

𝐵4𝑖 = ℎ (𝑣𝑖 + 𝐵3

𝑖 ) (49d)

Dok su za (50):

𝐶1𝑖 = ℎ (− 0.5𝑦𝑖 𝑣𝑖) (50a)

𝐶2𝑖 = ℎ [− 0.5𝑦𝑖 (𝑣𝑖 + 0.5𝐶1

𝑖)] (50b)

𝐶3𝑖 = ℎ [− 0.5𝑦𝑖 (𝑣𝑖 + 0.5𝐶2

𝑖 )] (50c)

𝐶4𝑖 = ℎ [− 0.5𝑦𝑖 (𝑣𝑖 + 𝐶3

𝑖 )] (50d)

Vrijednosti funkcija 𝑦,𝑢, 𝑣, i funkcija 𝜑,𝜑′ ,𝜑′′ se računaju prema sljedećim izrazima:

17

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 1

6(𝐴1

𝑖 + 2𝐴2𝑖 + 2𝐴3

𝑖 + 𝐴4𝑖 ) (51)

𝑢𝑖+1 = 𝑢𝑖 + 1

6(𝐵1

𝑖 + 2𝐵2𝑖 + 2𝐵3

𝑖 + 𝐵4𝑖 ) (52)

𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 + 1

6(𝐶1

𝑖 + 2𝐶2𝑖 + 2𝐶3

𝑖 + 𝐶4𝑖 ) (53)

gdje su funkcije 1

6(∗1

𝑖 + 2∗2𝑖 + 2∗3

𝑖 + ∗4𝑖 ); ∗ = 𝐴,𝐵,𝐶, pripadajuće funkcije prirasta [2].

Kao što je vidljivo iz jednadžbi (51), (52) i (53), vrijednosti funkcija se računaju u

čvorovima koji su određeni korakom ℎ. Nadalje je vidljivo, da bi uopće započeli s

proračunom, potrebno je poznavati rubne uvjete na početku intervala, odnosno vrijednosti

funkcija 𝑦0,𝑢0, 𝑣0 (to jest vrijednosti tih funkcija u točki 0), što nam je poznato za funkcije 𝑦 i

𝑢, međutim vrijednost 𝑣0 nam je nepoznata te ju je potrebno odrediti. Za njeno određivanje

poslužit ćemo se metodom gađanja [14], čija je ideja naći odgovarajuću vrijednost 𝑣0 koja

nakon provedbe algoritma, zadovoljava rubni uvjet 𝑢(∞) = 1. Međutim, da bi se izbjeglo

nasumično pogađanje brojeva 𝑣0 (pri čemu je jako mala vjerojatnost da se nađe odgovarajući

𝑣0 koji bi zadovoljio 𝑢(∞) = 1 s nekom prihvatljivom točnošću), zadaju se prve dvije različite

vrijednosti 𝑣0 te se provedbom algoritma u posebnom nizu koji ćemo nazvati 𝛽𝑗 zabilježavaju

vrijednosti funkcije 𝑢(∞). Pomoću zabilježenih vrijednosti se, za zadnje dvije iteracije,

linearnom interpolacijom ili ekstrapolacijom određuje nova vrijednost 𝑣0 koja bi tada, po

jednadžbi pravca trebala zadovoljavati uvjet 𝑢(∞) = 1. To se jednostavno može geometrijski

interpretirati kao da se povuče pravac kroz dvije poznate točke, te se traži točka koja ima

koordinatu (1, 𝑣0), iz čega odredimo sljedeći 𝑣0 koji ponovno ulazi u svoj zasebni niz koji

ćemo nazvati 𝛼𝑗 . Matematička formula za linearnu interpolaciju jednostavno se izvodi i u

ovom slučaju glasi:

18

𝛼𝑗 = 𝛼𝑗−2 + (𝛼𝑗−1 − 𝛼𝑗−2) 1− 𝛽𝑗−2

𝛽𝑗−1− 𝛽𝑗−2 (54)

Pomoću tako izračunatih zadnjih 𝛼 i 𝛽, određivat će se novi početni uvjeti 𝑣0 sve dok

se ne zadovolji određena (zadana) točnost (odnosno dok se ne zadovolji uvjet |𝛽𝑗 − 1| ≤ 𝑒).

Potrebno je naglasiti da se konvergencija ovakve metode nije još uvijek teorijski dokazala,

iako u praksi daje dobre rezultate za većinu problema, a uz to je vrlo lako uočiti da metoda ne

konvergira ili da daje pogrešne rezultate. Još valja spomenuti da je kroz praksu pokazano, da

broj koraka 𝑗 (odnosno brzina konvergencije) ovisi o početnim vrijednostima koje se zadaju

(𝛼0 i 𝛼1). Upravo zbog toga će se, iz same fizike problema, procijeniti red veličine funkcije 𝑣

(odnosno 𝜑′′). Ukoliko 𝜑′′ iz jednadžbe (44) stavimo na jednu stranu jednadžbe, a ostale

vrijednosti na drugu stranu dobijemo:

𝑣 = 𝜑′′ = 𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦

𝜈𝑥

𝑣∞3 (55)

Sada će se u izrazu (55) procijeniti red veličine ℴ svakog člana u odnosu na bazu 10

zanemarajući fizikalne dimenzije budući je 𝜑′′ bezdimenzijska funkcija, pa vrijedi:

𝜈 ~ ℴ(10-6

) (56)

𝑣∞ ~ ℴ(100) (57)

Pomoću izraza (56) i (57), te da kritični Reynoldsov broj, koji karakterizira prijelaz iz

laminarnog u turbulentni režim strujanja, gdje naše jednadžbe više ne vrijede, 𝑅𝑒 = 𝑥 𝑣∞

𝜈 ima

red veličine ℴ(106) [15], možemo procijeniti red veličine od 𝑥 koji tada iznosi:

𝑥 ~ ℴ(100) (58)

19

Nadalje, pomoću (57), te uz 𝛿

𝐿 << 1, gdje možemo pisati 𝛿 ~ ℴ(10

-3) [15], imamo:

𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦 ~

𝑣∞

𝛿 ~ ℴ(10

3) (59)

No, tu je još potrebno napomenuti da Prandtlove jednadžbe (26) i (27), a time i naša

Blasiusova diferencijalna jednadžba (47) vrijede za 𝜕𝑝

𝜕𝑥 < 0, što znači da se gibanje odvija

nizvodno, to jest, da nema odvajanja strujanja (a potom i moguće pojave natražnog strujanja),

što povlači 𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦 (𝑦 = 0) > 0, [11]. Odnosno, gradijent brzine u smjeru okomitom na ploču

mora biti pozitivan broj, a kako je preostali član pod korijenom, zaključujemo da funkcija 𝜑′′

mora biti nenegativna na cijeloj domeni [16].

Sada, korištenjem (56) − (59) vidimo da:

𝑣 = 𝜑′′ ~ ℴ(100)

te se za prve dvije vrijednosti 𝑣0, odnosno za 𝛼𝑜 i 𝛼1 uzima: 𝛼𝑜 = 1 i 𝛼1 = 2.

Treba napomenuti da su ovako dobivene vrijednosti samo aproksimacije koje mogu

biti prilično pogrešne (na kraju će se pokazati da je taj red veličine bliži 10-1

), međutim

određivanje reda veličine 𝑣0, pa barem približno uz neku grešku je korisno iz razloga što,

ukoliko stavimo na primjer velike vrijednosti 𝛼𝑜 i 𝛼1 moguće je da će se, pri pokretanju

algoritma, susresti sa problemima koji su vezani za memoriju računala i ograničenja

programskog jezika.

Još jedan problem je što je naš rubni uvjet 𝑢(∞) = 1 definiran u beskonačnosti, te bi

trebalo taj broj zamijeniti relativno velikim brojem u kojemu se zadovoljava 𝑢 ≈ 1. Kako je

20

krajnje nepraktično unaprijed zadavati taj relativno veliki broj (odnosno zadavati broj koraka

u for petlji čime direktno određujemo taj broj), te izvršavanjem programa iznova „gađati“ da

bude zadovoljeno 𝑢 ≈ 1 za spomenuti broj, računanje funkcija u ekvidistantnim čvorovima

računa se u while petlji, iz koje se izlazi dok se ne postigne uvjet |𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1| ≤ 𝑒, gdje je 𝑒

unaprijed zadana točnost (u našem slučaju izabrati ćemo 𝑒 = 10-10

), odnosno riječima, izlazak

iz petlje se ostvaruje kada funkcija 𝑢 bude konvergirala prema nekom broju. Tu treba biti

oprezan zbog toga što metodom gađanja sami postavljamo rubni uvjet 𝑣0, a iz teorije

diferencijalnih jednadžbi je poznato da diferencijalna jednadžba, ovisno o rubnim uvjetima

može imati jedno, više, ili nema rješenje, međutim, za većinu problema, rješenje će

konvergirati bez obzira na rubne uvjete, što je i ovdje slučaj. Uostalom, ukoliko se dogodi da

rješenje ne konvergira, to se vrlo brzo u praksi uoči, posebno iz razloga što program javlja

grešku u radu sa memorijom.

Algoritam za rješavanje diferencijalne jednadžbe (47) je napisan u programskom

jeziku Python, na čijem kraju se nalaze naredbe za grafički prikaz funkcija 𝑦,𝑢 i 𝑣 u ovisnosti

o varijabli 𝑥, čije će se slike kasnije prikazati uz tablične podatke u ekvidistantnim čvorovima.

Programski kod dan je u Prilogu 1.

21

4. Analiza rezultata i greške

Prije izvršavanja programa opisanog u trećem poglavlju, potrebno je odrediti korak ℎ

i točnost 𝑒. Kako program Python koristi double precision zapis realnih brojeva, njegova

jedinična greška iznosi približno 1.11 ∙ 10-16

prema [13], pa ćemo točnost 𝑒 uzeti 10-10

što je i

više nego dovljno za praktične potrebe jer je moguće da se prilikom velikog broja

matematičkih operacija i brojnih iteracija ta greška „nagomila“ do otprilike 10-10

. S druge

strane, korak ℎ ćemo odrediti na praktičan i jednostavan način. Ako želimo da maksimalna

greška bude 10-6

, znači da se prvih 6 decimalnih mjesta poslije decimalne točke ne mijenja

daljnjim usitnjavanjem koraka. Dakle, pozivom programa za razne korake koje smo dakle

konstantno smanjivali, dobili smo sljedeće vrijednosti 𝑣0:

Tablica 1. Vrijednosti 𝑣𝑜(ℎ)

Iz tablice 1 vidljivo je da, smanjivanjem koraka ℎ, 𝑣𝑜 konvergira prema nekom broju

koji je približno jednak 0.3320589, čime je indirektno provjerena stabilnost i konvergencija

R-K metode za zadani problem [17]. Daljnjim smanjivanjem koraka, vrijednost prvih šest

decimalnih mjesta kod 𝑣𝑜 se ne mijenja, pa se može reći da je maksimalna moguća greška

približno jednaka 10-6

.

Kako su konačno određeni korak ℎ i točnost 𝑒, sada se može sa tim vrijednostima

pokrenuti program, koji će ispisati vrijednosti funkcija 𝑦,𝑢 i 𝑣 u svakom 40000-tom koraku

(odnosno za 𝑥 = 0, 0.2, 0.4 ... do krajnje vrijednosti). Program ispisuje i koliku vrijednost

poprima brojač 𝑗, odnosno potreban broj iteracija metode gađanja koja je konačno dala takav

𝑣𝑜 da je zadovoljeno 𝑢(𝑥∞) = 1, gdje je s 𝑥∞ označen 𝑥 s kojim smo zamijenili našu

beskonačnost, koji se također ispisuje.

ℎ 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000005

𝑣𝑜 0.3289821 0.3317485 0.3320266 0.3320557 0.3320589

22

Tablica 2. Rezultati proračuna

𝑥 (𝜂) 𝑦 (𝜑) 𝑢 (𝜑′) 𝑣 (𝜑′′ )

0.0 0.0000000 0.0000000 0.3320589

0.2 0.0066409 0.0664083 0.3319854

0.4 0.0265598 0.1327651 0.3314714

0.6 0.0597347 0.1989387 0.3300807

0.8 0.1061086 0.2647111 0.3273908

1.0 0.1655725 0.3297824 0.3230087

1.2 0.2379501 0.3937790 0.3165907

1.4 0.3229836 0.4562651 0.3078669

1.6 0.4203236 0.5167606 0.2966648

1.8 0.5295218 0.5747624 0.2829323

2.0 0.6500292 0.6297704 0.2667527

2.2 0.7811994 0.6813155 0.2483519

2.4 0.9222974 0.7289874 0.2280925

2.6 1.0725147 0.7724607 0.2064552

2.8 1.2309875 0.8115156 0.1840070

3.0 1.3968199 0.8460506 0.1613605

3.2 1.5691083 0.8760877 0.1391281

3.4 1.7469651 0.9017676 0.1178761

3.6 1.9295418 0.9233361 0.0980860

3.8 2.1160482 0.9411245 0.0801256

4.0 2.3057665 0.9555247 0.0642338

4.2 2.4980615 0.9669636 0.0505194

4.4 2.6923846 0.9758773 0.0389722

4.6 2.8882734 0.9826899 0.0294834

4.8 3.0853478 0.9877959 0.0218709

5.0 3.2833026 0.9915483 0.0159065

5.2 3.4818983 0.9942519 0.0113416

5.4 3.6809515 0.9961616 0.0079275

5.6 3.8803249 0.9974841 0.0054318

5.8 4.0799179 0.9983818 0.0036483

6.0 4.2796586 0.9989791 0.0024020

6.2 4.4794967 0.9993688 0.0015501

6.4 4.6793978 0.9996179 0.0009806

6.6 4.8793388 0.9997741 0.0006080

6.8 5.0793045 0.9998701 0.0003695

7.0 5.2792853 0.9999278 0.0002202

7.2 5.4792750 0.9999620 0.0001286

7.4 5.6792701 0.9999817 0.0000736

7.6 5.8792681 0.9999929 0.0000413

7.8 6.0792679 0.9999991 0.0000227

7.841615 6.1208830 1.0000000 0.0000200

23

Iz tablice 2 je vidljivo da je integracija izvršena do 𝑥∞ = 7.841615, odnosno za taj 𝑥

funkcija 𝑢 poprima vrijednost 1. Nadalje je vidljivo da su funkcije 𝑦 i 𝑢 rastuće na cijeloj

domeni, te da je funkcija 𝑣 padajuća funckija. Zanimljivo je da, budući 𝑢 ima horizontalnu

asimptotu u 1, tu vrijednost bi mogli i interpretirati kao maksimum funkcije 𝑢, što bi dovelo

do zaključka, uz pretpostavku neprekidnosti i derivabilnosti funkcije 𝑢, da derivacija od 𝑢,

odnosno funkcija 𝑣 u toj točki, ima vrijednost 0, što je ako bolje pogledamo rezultate i

potvrđeno, jer se vidi da kako 𝑥 (𝜂) → ∞, funkcija 𝑣 (𝜑′′) → 0, čime se s velikim oprezom

može reći da su funkcija 𝑢, a time i funkcije 𝑦 i 𝑣 neprekidne funkcije. Također, kao što je

spomenuto, program ispisuje koju vrijednost poprima brojač 𝑗, odnosno konvergencija prema

konačnom početnom rubnom uvjetu 𝑣0 koji daje vrijednost 𝑢(𝑥∞) = 1 je ostvarena u 8 koraka.

Grafički prikaz funkcija dan je na slikama 3, 4 i 5:

Slika 3. Grafički prikaz funkcije 𝜑 𝜂 , odnosno 𝑦 𝑥

24

Slika 4. Grafički prikaz funkcije 𝜑′ 𝜂 , odnosno 𝑢 𝑥

Slika 5. Grafički prikaz funkcije 𝜑′′ 𝜂 , odnosno 𝑣 𝑥

25

Vrlo zanimljiva je činjenica da je u programu izvršeno otprilike 188198760 računanja

vrijednosti raznih funkcija, dakle izvršeno je strahovito puno matematičkih opercacija u svega

desetak sekundi, što na ovakvom praktičnom primjeru demonstrira veliku moć današnjih

računala.

Dobiveni rezultati će se usporediti s Howarthovom integracijom, koja se i danas

koristi za praktične proračune, na način da ćemo za nekoliko različitih vrijednosti 𝜂 u tablici 3

prikazati i rezultate proračuna R - K metodom i Howarthove, te njihovu apsolutnu vrijednost

razlike Δ u posebnim stupcima, gdje je 𝛥𝜑∗ = |𝜑𝑅−𝐾∗ − 𝜑𝐻𝑜𝑤𝑎𝑟𝑡 ℎ

∗ |, dok * označuje red

derivacije, odnosno pripadnu funkciju:

Tablica 3. Usporedba rezultata proračuna s Howarthovom integracijom

Iz tablice 3 je vidljivo da su dobiveni rezultati gotovo identični s Howarthovim, odsnosno

njihova apsolutna razlika je u najgorem slučaju reda veličine 10-5

, a ponegdje čak ide do 10-8

.

Zanimljivo je da, kao što smo prije spomenuli, R - K metoda konvergira za 𝑥∞ = 7.841615,

dok je rubni uvjet 𝜑′(𝑥∞) = 1 u Howarthovoj integraciji zadovoljen za približno 𝑥∞ ≈ 8.4, što

je vjerojatno rezultat greške zaokruživanja [13].

R - K Howarth 𝛥

𝜂 𝜑𝑅−𝐾 𝜑𝑅−𝐾′ 𝜑𝑅−𝐾

′′ 𝜑𝐻𝑜𝑤𝑎𝑟𝑡 ℎ 𝜑𝐻𝑜𝑤𝑎𝑟𝑡 ℎ′ 𝜑𝐻𝑜𝑤𝑎𝑟𝑡 ℎ

′′ 𝛥𝜑 𝛥𝜑′ 𝛥𝜑′′

0.0 0.0000000 0.0000000 0.3320589 0.0000000 0.0000000 0.3320570 0 0 1.89-E6

1.0 0.1655725 0.3297824 0.3230087 0.1655720 0.3297800 0.3230070 5.19E-7 2.45E-6 1.68E-6

2.0 0.6500292 0.6297704 0.2667527 0.6500240 0.6297660 0.2667520 5.22E-6 4.44E-6 6.57E-7

3.0 1.3968199 0.8460506 0.1613605 1.3968080 0.8460440 0.1613600 1.19E-5 6.60E-6 4.89E-7

4.0 2.3057665 0.9555247 0.0642338 2.3057460 0.9555180 0.0642340 2.05E-5 6.74E-6 2.47E-7

5.0 3.2833026 0.9915483 0.0159065 3.2832740 0.9915420 0.0159070 2.86E-5 6.27E-6 4.68E-7

6.0 4.2796586 0.9989791 0.0024020 4.2796210 0.9989730 0.0024020 3.76E-5 6.13E-6 3.74E-8

7.0 5.2792853 0.9999278 0.0002202 5.2792390 0.9999220 0.0002200 4.63E-5 5.84E-6 1.58E-7

7.8 6.0792679 0.9999991 0.0000227 6.0792140 0.9999930 0.0000230 5.39E-5 6.11E-6 2.94E-7

26

Kako su funkcije 𝜑, 𝜑′ te 𝜑′′ određene, vrlo jednostavnim matematičkim operacijama

iz jednadžbe (44) možemo odrediti silu otpora ploča različitih dimenzija u laminarnom režimu

strujanja, jer je tangecijalno naprezanje na površini ploče 𝜏𝑤 dano izrazom [4]:

𝜏𝑤 = 𝜇 𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦 (za 𝑦 = 0) (60)

gdje je 𝜇 dinamička viskoznost fluida, pa se integracijom tangencijalnog naprezanja po

površini ploče dobije ukupna sila otpora:

𝐷 = 𝐵 𝜏𝑤 𝑑𝑥𝐿

0 ≅ 0.664 𝜌 𝑣∞

2 𝐵𝐿 𝐿𝑣∞𝜈

−12 (61)

gdje je konstanta 0.664 dobivena zaokruživanjem na treću decimalu, što je i više nego

dovoljno za praktičnu upotrebu, broja 0.6641178 koji je izračunat kao 2𝜑′′(0), iz razloga što

ploča ima dvije stranice, to jest dvije površine po kojima treba integrirati, dok dimenziju

širine ploče možemo jednostavno izvući ispred znaka integrala, jer u smjeru širine nema

nikakvih promjena budući se razmatra ravninski problem.

27

5. Zaključak

Kao što je prikazano u radu, na relativno jednostavan način se riješio vrlo komplicirani

problem koji opisuju Navier - Stokesove jednadžbe, što je isplativiji i brži način nego

postavljanje i provođenje eksperimentalnih ispitivanja za što je potrebna skupa laboratorijska

oprema koja uključuje i bazen za modelska ispitivanja. Jednostavnim algoritmom koji se

sastoji od ugnježđenih while petlji, te korištenjem računala i programskog jezika Python došli

smo do rješenja Blasiusove diferencijalne jednadžbe (47). Uspoređivanjem rezultata

proračuna s Howarthovim, doprinjelo je točnosti rješenja, te je pokazano da je ovako formiran

algoritam krajnje stabilan i izrazito pouzdan za inženjersku primjenu. Problem razmatran u

ovom radu se kroz povijest i eksperimentalno određivao, te je u [3] opisano da se

eksperimentalni podaci profila brzine odlično podudaraju s Howarthovom integracijom, čime

direktno možemo zaključiti i da se odlično podudaraju s rješenjima dobivenim R - K

metodom, što je zapanjujuće zbog velikog broja, iako izrazito opravdanih pretpostavki i

približenja koje smo uveli u drugom poglavlju, te samih nesavršenosti i grešaka u aritmetici

računala. Na kraju rada smo na temelju rezultata dali izraz za određivanje sile otpora (61)

ravne ploče u laminarnom režimu strujanja, koji je krajnje jednostavan, i koji pokazuje da

tangecijalno naprezanje pada po zakonu 𝜏𝑤 ~ 1

𝑥 u smjeru osi 𝑥, što slijedi ukoliko bolje

pogledamo jednadžbu (44) uzevši u obzir izraz za tangencijalno naprezanje (60). Time je i

doprinos ukupnoj sili otpora to manji što je ploča dulja. Ovakvim razmatranjem se, kranje

efikasno i brzo, te dovoljno točno riješio temeljni problem moderne mehanike fluida.

28

6. Prilog 1

import matplotlib.pyplot as plt

from math import *

h=input('Upisite korak:')

e=input('Upisite tocnost:')

alpha=[]

beta=[]

alpha.append(input('Upsite prvu vrijednost za alpha:'))

alpha.append(input('Upsite drugu vrijednost za alpha:'))

i=0

j=0

while 1:

while j<2:

i=0

y=[0]

u=[0]

v=[]

A1=[]

A2=[]

A3=[]

A4=[]

B1=[]

B2=[]

B3=[]

B4=[]

C1=[]

C2=[]

C3=[]

C4=[]

v.append(alpha[j])

29

while 1:

A1.append(h*u[i])

A2.append(h*(u[i]+0.5*A1[i]))

A3.append(h*(u[i]+0.5*A2[i]))

A4.append(h*(u[i]+A3[i]))

y.append(y[i]+(1./6.)*(A1[i]+2.*A2[i]+2.*A3[i]+A4[i]))

B1.append(h*v[i])

B2.append(h*(v[i]+0.5*B1[i]))

B3.append(h*(v[i]+0.5*B2[i]))

B4.append(h*(v[i]+B3[i]))

u.append(u[i]+(1./6.)*(B1[i]+2.*B2[i]+2.*B3[i]+B4[i]))

C1.append(h*(-0.5*y[i]*v[i]))

C2.append(h*(-0.5*y[i]*(v[i]+0.5*C1[i])))

C3.append(h*(-0.5*y[i]*(v[i]+0.5*C2[i])))

C4.append(h*(-0.5*y[i]*(v[i]+C3[i])))

v.append(v[i]+(1./6.)*(C1[i]+2.*C2[i]+2.*C3[i]+C4[i]))

i+=1

if abs(u[i]-u[i-1])<=e:

break

else:

pass

beta.append(u[i])

j+=1

alpha.append(alpha[j-2]+((alpha[j-1]-alpha[j-2])*(1-beta[j-2]))/(beta[j-1]-beta[j-2]))

y=[0]

u=[0]

30

v=[]

A1=[]

A2=[]

A3=[]

A4=[]

B1=[]

B2=[]

B3=[]

B4=[]

C1=[]

C2=[]

C3=[]

C4=[]

v.append(alpha[len(alpha)-1])

i=0

while 1:

A1.append(h*u[i])

A2.append(h*(u[i]+0.5*A1[i]))

A3.append(h*(u[i]+0.5*A2[i]))

A4.append(h*(u[i]+A3[i]))

y.append(y[i]+(1./6.)*(A1[i]+2.*A2[i]+2.*A3[i]+A4[i]))

B1.append(h*v[i])

B2.append(h*(v[i]+0.5*B1[i]))

B3.append(h*(v[i]+0.5*B2[i]))

B4.append(h*(v[i]+B3[i]))

u.append(u[i]+(1./6.)*(B1[i]+2.*B2[i]+2.*B3[i]+B4[i]))

C1.append(h*(-0.5*y[i]*v[i]))

31

C2.append(h*(-0.5*y[i]*(v[i]+0.5*C1[i])))

C3.append(h*(-0.5*y[i]*(v[i]+0.5*C2[i])))

C4.append(h*(-0.5*y[i]*(v[i]+C3[i])))

v.append(v[i]+(1./6.)*(C1[i]+2.*C2[i]+2.*C3[i]+C4[i]))

i+=1

if abs(u[i]-u[i-1])<=e:

break

else:

pass

beta.append(u[i])

if abs(beta[j]-1)<=e:

break

j+=1

print 'Konvergencija prema konacnom pocetnom rubnom uvjetu v(0) koji daje vrijednost

u(beskonacno)=1 je ostvarena u', j ,' koraka i vrijednost funkcije v u 0 je priblizno v(0)=',

alpha[len(alpha)-1]

print 'Vrijednost funkcija se racunaju do vrijednosti x=', i*h ,', odnosno za taj x je zadovoljen uvjet

konvergencije funkcije u u beskonacnosti sa zadanom tocnoscu'

print y[0:len(y):40000]

print y[len(y)-1]

print u[0:len(u):40000]

print u[len(u)-1]

print v[0:len(v):40000]

print v[len(v)-1]

x=range(i+1)

for k in x:

x[k]=h*x[k]

32

plt.plot(x,y)

plt.ylabel('y')

plt.xlabel('x')

plt.show()

plt.plot(x,u)

plt.ylabel('u')

plt.xlabel('x')

plt.show()

plt.plot(x,v)

plt.ylabel('v')

plt.xlabel('x')

plt.show()

33

7. Zahvala

Srdačno se zahvaljujemo asistentima Fakulteta strojarstva i brodogradnje na

Zavodu za brodogradnju i pomorsku tehniku: Mati Grgiću, Ivu Ćatipoviću i Jadranki

Radanović koji su nam dijelili dragocjene savjete prije početka i u toku pisanja rada. Također

smo izrazito zahvalni profesorici sa Katedre za matematiku Sanji Singer, koja je uvijek bila

pristupačna za bilo kakva pitanja vezana za samu numeričku matematiku, te nam izrazito

pomogla. Profesorici Boženi Tokić sa Katedre za tehničke strane jezike također dugujemo

veliku zahvalnost jer nam je bila od velike pomoći oko prijevoda sažetka rada na engleski

jezik. Profesorica Nastia Degiuli sa Zavoda za brodogradnju i pomorsku tehniku nam je

neizmjerno pomogla u početku samog rada i pri pisanju rada, te smo joj na tome vrlo

zahvalni. Konačno, posebnu zahvalnost dugujemo profesorici Andreji Werner na puno

preporučene literature, te još više dobrih savjeta, i najbitinije, jer nas je od početka do kraja

vodila kroz ovaj rad svojim širokim znanjem iz spomenutog područja.

34

8. Popis literature

[1] Werner, A.: Podloge za predavanje iz Mehanika fluida IIB, rukopis FSB, Zagreb

[2] Hari, V., Drmač, Z., Marušić, M., Rogina, M., Singer, S., Singer, S.: Numerička

analiza, predavanja i vježbe, Sveučilište u Zagrebu, PMF - matematički odjel, Zagreb,

(2003.) http://web.math.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf

[3] Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnička enciklopedija, svezak broj 8

jugoslavenskog leksikografskog zavoda, Jugoslavenski leksikografski zavod, Zagreb,

(1982.)

[4] Degiuli, N., Werner, A.: Mehanika fluida IB - podloge za nastavu

http://www.fsb.hr/zbrodo/

[5] Kaplan, W.: Advanced calculus (4th edition), Addison Wesley Publishing

Company, (1991.)

[6] Pijush, K. K., Cohen, M. I.: Fluid mechanics (2nd edition), Academic Press,

(2002.)

[7] Kreyszig, E.: Advanced engineering mathematics, John Whiley & Sons, Inc.,

(2006.)

[8] Batchelor, G. K.: An introduction to fluid dynamics, Cambridge University

Press, (1998.)

[9] Landau, L. D., Lifshitz, E. M.: Fluid mechanics (2nd edition): Volume 6, Course

of theoretical physics, Reed educational and Professional Publishing Ltd, (1999.)

[10] Nakayama, Y., Boucher R. F.: Introduction to fluid mechanics, Butterworth -

Heinemann, (1998.)

[11] Schlichting, H.: Boundary - layer theory (7th edition), McGraw - Hill Book

Company, (1979.)

35

[12] Kurepa, S.: Matematička analiza 2 (funkcije jedne varijable), Tehnička knjiga,

Zagreb, (1990.)

[13] Singer, S.: Numerička matematika, predavanja, Zagreb, (2009.)

[14] Pejović, P.: Numerička analiza II. Deo, Naučna knjiga, Beograd, (1983.)

[15] Werner, A.: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida, zbirka zadataka, Fakultet

strojarstva i brodogradnje, Zagreb, (2002.)

[16] Kurepa, S.: Matematička analiza 1 (diferenciranje i integriranje), Tehnička

knjiga, Zagreb, (1989.)

[17] Singer, S.: Matematika IX, Predavanja na FSB, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet

strojarstva i brodogradnje, Zagreb, (2007/8.)

36

Sažetak rada

Vuko Vukčević, Mihael Lobrović

Teorijsko - numerički pristup problemu laminarnog graničnog sloja oko ravne ploče

U ovom radu se razmatra laminarni granični sloj uz ravnu ploču što predstavlja

osnovni problem moderne mehanike fluida. Jednostavnim procjenama reda veličine je

prikazano znatno pojednostavljenje početnih Navier - Stokesovih jednadžbi, da bi se, na kraju,

uvođenjem bezdimenzijskog profila brzine, problem maksimalno teorijski pojednostavnio.

Tako dobivena, obična nelinearna diferencijalna jednadžba, poznatija pod nazivom

Blasiusova diferencijalna jednadžba može se primjenom računala vrlo jednostavno riješiti

nekom od numeričkih metoda. Klasična Runge - Kutta metoda 4. reda, korištena u ovom radu,

se pokazala kao izrazito jednostavna, efikasna, te vrlo točna metoda. Konačno, korištenjem

dobivenih rezultata se odredio izraz za određivanje sile otpora ravne ploče u laminarnom

režimu strujanja što je od iznimne važnosti za razne tehničke primjene.

Ključne riječi: laminarni granični sloj, ravna ploča, Blasiusova diferencijalna

jednadžba, Runge - Kutta metoda četvrtog reda, sila otpora

37

Summary

Vuko Vukčević, Mihael Lobrović

Theoretical and numerical approach to laminar boundary layer across a flat plate

Laminar boundary layer across a flat plate, which is a fundamental problem of modern

fluid mechanics, is dealt with in this paper. A simple estimation of the order of magnitude

resulted in equations that were simpler than the initial Navier - Stokes equations.

Subsequently, by introducing a dimensionless velocity profile, the problem was theoretically

simplified to a maximum. The resulting Blasius differential equation, which is an ordinary

nonlinear differential equation, can be easily solved by using personal computers and some of

numerous numerical methods. The classical fourth order Runge - Kutta method, used in this

paper, has proven to be a simple, effective, and a very accurate method. Finally, using the

obtained solutions, an expression for the implicit calculation of drag force of a flat plate in a

laminar flow was produced, which is of great importance for various technical applications.

Key words: laminar boundary layer, flat plate, Blasius differential equation, fourth

order Runge - Kutta method, drag force