terdapat dua atau lebih produk yang dibentuk dari campuran ... · pdf filesoal-soal: 1. sebuah...
TRANSCRIPT
Permasalahan dalam linear programming pada umumnya adalah sebagai
berikut:
Terdapat dua atau lebih produk yang dibentuk dari campuran dua atau lebih bahan. Terdapat mesin atau fasilitas lain yang digunakan dalam manufaktur berbagai macam produk, dan kapasitasnya terbatas, atau bahan pembentuk produk terbatas. Untuk itu, kita harus memperhitungkan keuntungan yang kita dapatkan dalam memproduksi masing‐masing produk dan keuntungan total yang kita dapatkan.
Bentuk Standar dari Linear Programming pada umumnya adalah
sebagai berikut:
Aktifitas Jumlah sumberdaya
Sumber daya 1 2 …. n yang ada
A aA1 aA2 … aAn b1
B aB1 aB2 … Abn b2
… … … … … …
m am1 am2 … amn bm
Unit aktifitas c1 c2 … cn
Level aktivitas x1 x2 … xn
Maksimalisasi:
Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
101
Dengan kendala:
aA1x1 + aA2x2 + … + aAnxn ≤ b1
aB1x1 + aB2x2 + … + aBnxn ≤ b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm
dan, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …, xn ≥ 0
Contoh: (Maksimalisasi) PT. Mocin Bodong adalah produsen kendaraan bermotor berkualitas
ecek‐ecek dengan banyak lini produk, termasuk becak motor, berbagai jenis
skutik dan motor sport.
Karena penurunan pendapatan, manajemen perusahaan memutuskan
untuk merubah lini produknya. Beberapa produk yang tidak
menguntungkan tidak diproduksi lagi, dan keputusan ini akan
menyebabkan kapasitas produksi yang ada semuanya digunakan untuk
memproduksi salah satu atau kedua produk potensial yang banyak diminta
di pasar. Kedua produk tersebut adalah skubek dan skutrail. Dari hasil
penelitian manajemen, perusahaan sangat pede untuk bisa menjual semua
hasil produksinya yang dihasilkan dengan kapasitas produksinya.
PT Mocin Bodong mempunyai 3 pabrik, Pabrik 1 dan 2 digunakan
untuk pencetakan body dan spare parts, sedangkan pabrik 3 digunakan untuk
perakitan. Profil linear programming‐nya menjadi sebagai berikut:
PT. Mocin Bodong
Produk Kapasitas
Pabrik Skubek Skutrail Produksi
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Unit profit 300 500
Maksimalisasi:
Z = 300A + 500B
102
Tetapi proses mendapatkan keuntungan sebesar‐besarnya tersebut
mempunyai kendala yang berupa kapasitas produksi dari masing‐masing
pabrik, dimana pabrik 1 membutuhkan 1 unit satuan bahan baku untuk suku
cadang A dan kapasitas produksinya adalah 4. Pabrik 2 membutuhkan 2 unit
satuan bahan baku untuk suku cadang B dan kapasitas produksinya adalah
12. Sedangkan pabrik 3 membutuhkan 3 satuan waktu untuk merakit A dan
2 satuan waktu untuk merakit B dan kapasitas produksinya adalah 18. Dapat
kita bentuk model sebagai berikut:
A = 4 (1)
2B = 12 (2)
3A + 2B = 18 (3)
Persamaan linear sederhana dapat kita kerjakan sebagai berikut:
Hitungan 1: Hitungan 2:
(3) 3A + 2B = 18 x 1 3A + 2B = 18 (3) 3A + 2B = 18
(1) A = 4 x 3 3A = 12 (2) 2B = 12
2B = 6 3A = 6
B = 3 A = 2
3A + 2 (3) = 18 3 (2) + 2B = 18
3A = 12 2B = 12
A = 4 B = 6
Z = 300 (4) + 500 (3) Z = 300 (2) + 500 (6)
Z = 2.700 Z = 3.600
Dari kedua perhitungan tersebut kita mendapatkan 2 hasil yang
berbeda, dengan hambatan yang ada, ada 2 kemungkinan produksi, yaitu:
1. Produksi A = 4 dan B = 3, dengan profit sebesar 2.700.
2. Produksi A = 2 dan B = 6, dengan profit sebesar 3.600.
Secara logis kita akan memilih alternatif kedua yang menghasilkan
profit lebih tinggi, yaitu dengan memproduksi A sebanyak 2 unit dan B
sebanyak 6 unit, dengan total keuntungan sebesar 3.600.
103
Soal-soal: 1. Sebuah pabrik pembuat boneka akan memproduksi boneka Si Unyil dan
Pak Ogah dengan menggunakan dua mesin. Waktu yang diperlukan
untuk memproduksi kedua boneka ini dapat dilihat pada tabel berikut:
Jenis Waktu yang dibutuhkan untuk membuat Sebuah Boneka (menit)
Boneka Mesin I Mesin II
Si Unyil 20 10 Pak Ogah 10 20
Mesin I dan mesin II masing‐masing beroperasi 8 jam per hari. Jika
pabrik tersebut menjual boneka Si Unyil dan boneka Pak Ogah dengan
keuntungan masing‐masing Rp10.000 dan Rp 8.500 per buah, buatlah
model matematika dari permasalahan ini agar pabrik tersebut dapat
memperoleh keuntungan sebesar‐besarnya!
2. Dengan modal Rp 450.000, Pak Jupri membeli pepaya seharga Rp 1.000
dan jeruk seharga Rp 3.500 per kilogram. Buah‐buahan ini dijualnya
kembali dengan menggunakan gerobak yang dapat memuat maksimum
300 kg. Jika keuntungan dari penjualan pepaya Rp 500 per kilogram dan
dari penjualan jeruk Rp 1.000 per kilogram, tentukanlah keuntungan
maksimum yang diperoleh Pak Jupri!
Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program
yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua,
maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simpleks. Metode
simpleks adalah suatu prosedur aljabar (yang bukan secara grafik) untuk
mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah optimasi yang
terkendala.
Perhitungan dalam metode simpleks didasarkan pada aljabar matriks,
terutama mencari invers matirks untuk penyelesaian persamaan linier
simultan, oleh karena itu penyelesaian optimal dengan metode simpleks
diawali pengubahan kendala pertidaksamaan menjadi persamaan.
Untuk mencari nilai optimum dengan menggunakan metode simpleks
dilakukan dengan proses pengulangan (iterasi) dimulai dari penyelesaian
dasar awal yang layak (feasible) hingga penyelesaian dasar akhir yang layak
dimana nilai dari fungsi tujuan telah optimum
Persyaratan Metode Simpleks Terdapat tiga persayaratan untuk memecahkan masalah linier
programing, yaitu:
a. Semua kendala pertidaksamaan harus diubah menjadi persamaan.
b. Sisi kanan dari tanda pertidaksamaan kendala tidak boleh ada nilai
negatif.
c. Semua variabel dibatasi pada nilai non negatif.
105
Penulisan Standar dari Metode Simpleks Berdasarkan ketiga persyaratan di atas, maka kita dapat menulis
bentuk standar dari metode simpleks sebagai berikut:
Fungsi Tujuan Maksimisasi Sebagai contoh untuk dua variabel dan dua kendala:
Maksimumkan: Z = C1 X1 + C2 X2
Dengan Kendala:
Bentuk standar metode simpleks di atas dapat ditulis menjadi:
a. Fungsi tujuan bentuk eksplisit diubah menjadi bentuk implisit.
-Z + C1 X1 + C2 X2 = 0
b. Kendala bentuk pertidaksamaan (tanda ) diubah menjadi persamaan
dengan cara menambahkan variabel slack pada ruas kiri, sehingga
menjadi:
dimana: S1 dan S2 adalah variabel slack (non negatif).
c. Dalam notasi matriks, kita peroleh:
00 21
2222121
1212111
XdanX
KXaXa
KXaXa
22222121
11212111
KSXaXa
KSXaXa
100
010
001
2221
2211
21
aa
aa
CC
2
1
1
1
2
1 0
K
K
S
S
X
X
106
d. Tabel Simpleks Pertama
Fungsi Tujuan Minimalisasi
Minimumkan: C = c1 X1 + c2 X2
Dengan kendala:
Bentuk standar metode simpleks dapat ditulis menjadi:
a. Fungsi tujuan semula bentuk eksplisit diubah menjadi bentuk implisit:
- C + c1 X1 + c2 X2 = 0
b. Kendala pertidaksamaan (tanda )
Diubah menjadi persamaan dengan cara dikurangi variabel slack
kemudian ditambah variabel buatan:
a11 X1 + a12 X2 – S1 + A1 = K1
a21 X1 + a22 X2 - S2 + A2 = K2
dimana:
S1 dan S2 adalah variabel slack
A1 dan A2 adalah variabel buatan
c. Dalam notasi matriks, kita peroleh:
Variabel
Dasar Z X1 X2 S1 S2
Nilai kanan
(konstanta)
Z
S1
S2
-1
0
0
+C1 +C2 0 0
a11 a12 1 0
a21 a22 0 1
0
K1
K2
00 21
2222111
1222111
XdanX
KXaXa
KXaXa
107
d. Tabel Simpleks Pertama
Contoh-contoh: 1. Masalah Maksimalisasi Dengan Kendala Bentuk Baku (Semua
Kendala Bertanda ≤):
Maksimumkan Z = 8000 X1 + 7000 X2
Dengan kendala:
Variabel
Dasar C X1 X2 S1 S2 A1 A2
Nilai kanan
(konstanta)
S1
S2
-1
0
0
+c1 +c2 0 0 0 0
a11 a12 -1 0 1 0
a21 a22 0 -1 0 1
0
K1
K2
11000
01010
00001
2221
1211
21
aa
aa
cc
2
1
2
1
2
1
2
1
0
K
K
A
A
S
S
X
X
C
00
274
162
2432
21
21
21
21
XdanX
XX
XX
XX
108
Langkah Membentuk Tabel Simpleks I:
a. Fungsi tujuan dalam bentuk implisit:
- Z + 8000 X1 + 7000 X2 = 0
b. Karena masalah maksimalisasi, maka kendala ditambah variabel
slack:
c. Tabel Simpleks I (awal)
Variabel
Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3
Nilai kanan
(konstanta)
Baris 1 = Z
Baris 2 = S1
Baris 3 = S2
Baris 4 = S3
-1 8000 7000 0 0 0
0 2 3 1 0 0
0 2 1 0 1 0
0 1 4 0 0 1
0
24
16
27
Kolom kunci adalah kolom X1 dan Baris kunci adalah baris 3.
Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:
a. Kolom kunci adalah kolom yang berada pada angka positif terbesar
dalam baris pertama, yaitu kolom X1.
b. Baris kunci adalah:
Baris 2 =
Baris 3 =
274
162
2432
321
221
121
SXX
SXX
SXX
122
24
)(
)(
AKKkuncikolomAngka
NKkananNilai
terkecilpositifkuncikolomAngka
kananNilai 8
2
16
109
Baris 4 =
Baris kunci adalah baris 3.
c. Baris kunci baru (baris 3 baru):
Baris kunci lama:
Z X1 X2 S1 S2 S3 NK
0 2 1 0 1 0 16
Baris kunci baru = Baris lama dibagi angka kunci
0 1 ½ 0 ½ 0 8
d. Baris lain yang baru
Baris (1) Baru = Baris (1) lama – (Baris kunci baru x 8000)
Baris (2) Baru = Baris (2) lama – (Baris kunci baru x 2)
Baris (4) Baru = Baris (4) lama – (Baris kunci baru x 1)
e. Tabel Simpleks II
Variabel
Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3
Nilai
Kanan
Baris (1) = Z
Baris (2) = S1
Baris (3) = X1
Baris (4) = S3
-1 0 3000 0 -4000 0
0 0 2 1 -1 0
0 1 ½ 0 ½ 0
0 0 3,5 0 -½ 0
-64.000
8
8
19
Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:
a. Kolom kunci = Kolom X2
b. Baris kunci =
271
27
kuncikolomAngka
kolomNilai
110
Baris 2 = terkecilpositifAKK
NK 4
2
8
Baris 3 = 162/1
8
AKK
NK
Baris 4 = 43,55,3
19
AKK
NK
Baris kunci adalah baris 2.
c. Baris kunci baru (baris 2 baru) =
Z X1 X2 S1 S2 S3 NK
0 0 1 ½ -½ 0 4
d. Baris lain yang baru =
Baris (1) Baru = Baris (1) lama – (Baris kunci baru x 3000)
Baris (3) Baru = Baris (3) lama – (Baris kunci baru x ½)
Baris (4) Baru = Baris 94) lama – (Baris kunci baru x 3,5)
e. Tabel Simpleks III
Variabel
Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3
Nilai
Kanan
Baris (1) = Z
Baris (2) = X2
Baris (3) = X1
Baris (4) = S3
-1 0 0 -1500 -2500 0
0 0 1 ½ -½ 0
0 1 0 -1/4 ¾ 0
0 0 0 -7/4 5/4 1
-76.000
4
6
5
Karena pada baris (1) tidak ada lagi yang bernilai positif, penyelesaian
optimal selesai.
X1 = 6 ; X2 = 4 ; - Z = -76.000
Z = 76.000
111
Soal-soal:
1. Fungsi tujuan, maksimumkan: Z = 3X1 + 5X2
Kendala:
a. 2X1 <= 8
b. 3X2 <= 15
c. 6X1 + 5X2 <= 30
2. Maksimumkan: Z = 400X1 + 300X2
Fungsi kendala:
a. 4X1 + 6X2 <= 1200
b. 4X1 + 2X2 <= 800
c. X1 <= 250
d. X2 <= 300
2. Masalah Minimalisasi Dengan Kendala Bentuk Baku (Semua Kendala
Bertanda ≥):
Minimumkan: C = 6X1 + 24X2
Kendala: X1 + 2X2 ≥ 3
X1 + 4X2 ≥ 4
Dan X1, X2 ≥ 0
Penyelesaian:
Langkah membentuk Tabel Simpleks I:
1. Penyesuaian Fungsi tujuan dan Kendala:
Minimisasi: C = 6X1 + 24X2 + MA1+ MA2
Kendala : X1 + 2X2 –S1 + A1 = 3
X1 + 4X2 – S2+ A2 = 4
Keterangan: S1, S2: Variabel Slack
A1,A2: Variabel Buatan
112
2. Penyesuaian Fungsi tujuan agar siap masuk pada Tabel Simpleks I,
karena nilai M akan dianggap Nol.
a. Fungsi Tujuan dalam bentuk Implisit
-C + 6X1 + 24X2 + MX1 + MX2 = 0
b. Penyesuain Fungsi Tujuan:
Fungsi Tujuan X1 X2 S1 S2 A1 A2 NK
Cj-Zj 6 24 0 M 0 M 0
Kendala (1) x M 1M 2M -M M 0 0 3M
Cj-Zj (6-M) (24-2M) M 0 0 M -3M
Kendala (2) xM 1M 4M 0 0 -M M 4M
Cj-Zj (6-2M) (24-6M) M 0 M 0 -7M (nilai M =0)
c. Tabel Simpleks I
Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:
1. Kolom Kunci:
Kolom X2 (Negatif terkecil)
2. Baris Kunci:
Baris 3: NK/AKK = 3/2 = 1,5
Baris 3: NK/AKK = 4/4 = 1 ...Baris Kunci
3. Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);
4. Baris lain (Baris 1 dan Baris 2) yang baru;
5. Tabel Simpleks II:
Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1 A2 NK
Cj-Zj (6-2M) (24-6M) M 0 M 0 0
A1 1 2 -1 1 0 0 3
A2 1 4 0 0 -1 1 4
113
Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1 A2 NK
Cj-Zj (-1/2M) 0 M 0 (6-1/2M) (-6+3/2M) (-24+6M)
A1 ½ 0 -1 1 ½ -1/2 1
A2...X2 ¼ 1 0 0 -1/4 1/4 1
Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:
1. Kolom Kunci:
Kolom X1(Negatif terkecil)
2. Baris Kunci:
Baris 2: NK/AKK = 1/(1/2)=2..Baris Kunci
Baris 3: NK/AKK = 1/(1/4) = 4.
3. Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);
4. Baris lain (Baris 1 dan Baris 3) yang baru.
5. Tabel Simpleks III:
Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1 A2 NK
Cj-Zj 0 0 0 M 6 (-6+M) (-24+7M)
A1...X1 1 0 -2 2 1 -1 2
X2 0 1 ½ -1/2 -2/4 2/4 1/2
Titik Optimal:
X1 = 2 ; X2 = ½;
-Zj = -24+7M....
Zj=C= 24.
Pendahuluan Persoalan transportasi merupakan bentuk khusus pemrograman linier
yang membahas masalah pendistribusian atau pengalokasian suatu
komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah
tujuan (destination, demand), dengan tujuan meminimumkan ongkos
pengangkutan yang terjadi. Beberapa jenis persoalan pemrograman linier
dipecahkan dengan menggunakan prosedur perhitungan yang lebih efisien
bila dibandingkan metode simpleks, salah satu diantaranya adalah metode
transportasi. Persoalan transportasi pada umumnya terpusat pada pemilihan
rute dalam jaringan distribusi produk antara pusat industri (pabrik) dan
distribusi gudang atau antara distribusi gudang regional dan distribusi lokal
(pasar). Selain itu juga dapat berupa penggabungan dari kedua jaringan
distribusi tersebut, yaitu pendistribusian dari pusat ke gudang diteruskan
distribusi ke distribusi pengeluaran lokal (pasar).
Selain masalah-masalah pendistribusian, model transportasi dapat juga
digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah penjadualan produksi
dan juga masalah inventory. Dalam menggunakan metode transportasi ini
pihak manajemen/perusahaan mencari rute pendistribusian barang/produk
yang nantinya akan dapat mengoptimalkan suatu tujuan tertentu dari
perusahaan yang bersangkutan. Misalnya tujuan untuk meminimumkan
total biaya transportasi, meminimumkan waktu yang digunakan dalam
pendistribusian, atau tujuan memaksimumkan laba.
Persoalan transportasi mempunyai ciri-ciri khusus sebagai berikut:
1. Terdapat sejumlah sumber dan tujuan tertentu
2. Kuantitas komoditas atau barang yang distribusikan dari setiap sumber
dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
115
3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu
tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
4. Ongkos pengakutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan,
besarnya tertentu.
Model Transportasi Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai
berikut:
Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan.
Gambar 11.1. Model Transportasi
- Masing-masing sumber mempunyai kapasitas ai , i = 1, 2, 3,...,m
- Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak bj j = 1, 2,
3,….,n.
- Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j
adalah sebanyak xij.
- Ongkos pengiriman per unit dari sumber I ke tujuan j adalah cij
116
Dengan demikian, maka formulasi pemrograman liniernya adalah
sebagai berikut:
Minimumkan: z = ijxm
1i
n
1j ijc
Berdasarkan pembatas: m2,...,1,i,ian
1j ijx
jdaniseluruhuntuk0ijx
n2,...,1,i,jam
1i ijx
Sebagai ilustrasi, jika ada 2 buah sumber dan 3 tujuan (m = 2, n = 3)
Gambar 11.2. Ilustrasi Model Transportasi
Formulasi:
Minimumkan:
z = c11.x11 + c12.x12 + c13. x13 + c21.x21 + c22.x22 + c23.x23
Berdasarkan pembatas:
x11 + x12 + x13 = a1 Pembatas sumber
x21 + x22 + x23 = a2
x11 + x21 = b1
x12 + x22 = b2 Pembatas tujuan
x13 + x23 = b3
117
Sedangkan tabel pemrograman liniernya adalah:
z x11 x12 x13 x21 x22 x23 Solusi Persamaan tujuan 1 -c11 -c12 -c13 -c21 -c22 -c23 0 Pembatas 0 1 1 1 a1 Sumber 0 1 1 1 a2 Pembatas 0 1 1 b1 Sumber 0 1 1 b2
0 1 1 b3
Tabel 11.1. Tabel pemrograman linier model Transportasi
Semua koefisien teknologis akan berharga nol atau satu (lihat tabel di
atas), dan in merupakan karakter/sifat model transportasi.
Dari tabel di atas kita juga tidak dapat melihat solusi awal secara jelas,
karena itu pada persoalan transportasi tidak lagi digunakan tabel seperti itu,
tetapi diganti dengan tabel sebagai berikut:
Tujuan (j) Supply 1 2 3 c11 c12 c13
Sumber (i) 1
x11 x12 x13 a1
c21 c22 c23
2 x21 x22 x23
a2
Demand b1 b2 b3
Tabel 11.2. Tabel matriks persoalan transportasi
Dengan demikian, walaupun persoalan transportasi ini dapat
diselesaikan dengan metode simpleks, tetapi karena sifat-sifatnya yang
khusus itu, maka dapat disusun suatu prosedur yang jauh lebih sederhana,
yang secara sepintas lalu seakan-akan tidak ada hubungannya dengan
metode simpleks.
Keseimbangan Dalam Model Transportasi Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total supply
(sumber) sama dengan total demand (tujuan). Dengan kata lain:
m
1i
n
1jbjai
118
Dalam persoalan yang sebenarnya, batasan ini tidak selalu terpenuhi;
atau dengan kata lain, jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau
lebih kecil daripada jumlah yang diminta. Jika hal ini terjadi, maka model
persoalannya disebut sebagai model yang tidak seimbang (unbalanced).
Batasan di atas dikemukakan hanya karena ia menjadi dasar dalam
pengembangan teknik transportasi. Namun, setiap persoalan transportasi
dapat dibuat seimbang dengan cara memasukan artificial variable (semu).
Dimana jika jumlah demand melebihi jumlah supply, maka dibuat suatu
sumber dummy yang akan mensupply kurangan tersebut, yaitu sebanyak:
i iaj jb
Sebaliknya, jika jumlah supply melebihi jumlah demand, maka dibuat
suatu tujuan dummy untuk menyerap kelebihan tersebut, yaitu sebanyak:
j jai ib
Ongkos transportasi per unit (cij) dari sumber dummy keseluruh tujuan
adalah nol. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataannya dari sumber
dummy tidak terjadi pengiriman. Begitu pula dengan ongkos transportasi per
unit (cij) dari semua sumber ke tujuan dummy adalah nol.
Jika pada persoalan transportasi dinyatakan bahwa dari sumber ke k
tidak dilakukan atau tidak boleh terjadi pengiriman ke tujuan ke 1, maka
nyatakanlah ck1 dengan suatu harga M yang besarnya tidak terhingga (ingat
teknik M pada metode simpleks). Hal ini dilakukan agar dari k ke 1 itu
benar-benar tidak terjadi pendistribusian komoditas.
Metode Pemecahan Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan langkah-
langkah sebagai berikut:
1. Tentukan solusi fisibel basis awal,
2. Tentukan entering variable dari variable-variabel nonbasis, bila semua
variabel sudah memenuhi kondisi optimum, STOP, bila belum, lanjutkan
ke langkah 3.
3. Tentukan leaving variable diantara variabel-variabel basis yang ada,
kemudian hitung solusi yang baru. Kembali ke langkah 2.
119
Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal Terdapat tiga metode yang biasa digunakan untuk menentukan solusi
fisibel basis awal:
a. Metode pojok kiri atas-pojok kanan bawah (North West Corner)
Caranya adalah sebagai berikut:
Mulai dari pojok kiri atas, alokasikan sebesar x11 = min (a1,b1). Artinya:
jika b1 < a1 maka x11 = b1 ; jika b1 > a1, maka x11 = a1. Kalau x11 = b1,
maka selanjutnya yang menjadi yang mendapat giliran untuk
dialokasikan adalah x12 sebesar min(a1 – b1,b2); kalau x11 = a1 (atau b1 >
a1), maka selanjutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah
x21 sebesar min(b1-a1, a2), demikian seterusnya.
b. Metode ongkos terkecil (Least Cost)
Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengalokasian pada tempat
yang mempunyai satuan ongkos terkecil. Dengan mengambil ongkos
terkecil.
c. Metode pendekatan Vogel (Vogel’s approximation method, VAM)
Cara ini merupakan cara yang terbaik di bandingkan dengan kedua cara
diatas. Langkah-langkah pengerjaannya adalah:
1. Hitung Penalty untuk tiap kolom dan baris dengan jalan
mengurangkan elemen ongkos terkecil dari yang kedua terkecil.
2. Selidiki kolom atau baris dengan Penalty terbesar. Alokasikan
sebanyak mungkin pada variabel dengan ongkos terkecil, sesuiakan
supply dengan demand, kemudian tandai kolom atau baris yang sudah
terpenuhi. Kalau ada 2 buah kolom atau baris yang terpenuhi secara
simultan, pilih salah satu untuk di tandai, sehingga supply atau
demand pada baris atau kolom yang tidak terpilih adalah 0. Setiap
baris atau kolom denagan supply atau dimana = 0, tidak akan terbawa
lagi dalam perhitungan Penalty berikutnya.
3. Selanjutnya:
a) Tinggal satu kolom atau baris yang belum di tandai, STOP.
b) Bila tinggal satu kolom atau baris dengan supply atau demand
positif yang belum di tandai, tentukan variabel basis pada kolom
atau baris dengan cara ongkos terkecil.
c) Bila semua baris dan kolom yang belum di tandai mempunyai
supply dan diman = 0, tentukan varibel-varibel basis yang
berharga 0 dengan cara ongkos terkecil kemudian STOP.
120
d) Jika 3a, b, dan c tidak terjadi hitung kembali Penalty untuk baris
dan kolom yang belum di tandai kembali ke no.2.
Menentukan Entering Variabel dan Leaving Variabel Menentukan Entering dan Leaving Variable adalah tahap berikutnya dari
teknik pemecahan persoalan transportasi, setelah solusi visible basis awal
diperoleh. Ada 2 cara yang bisa dipergunakan dalam menetukan Entering
dan Leaving Variable yaitu dengan menggunakan metode Stepping Stone atau
metode Multipliers.
a. Metode Stepping Stone
Untuk menentukan entering dan leaving variabel ini, terlebih dahulu
harus di buat suatu loop tertutup bagi setiap variabel non basis loop
tersebut berawal dan berakhir pada variable nonbasis tadi, dimana tipa
sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-
variabel basis dalam tabel transportasi.
b. Metode multiplier
Cara ini iterasinya sama seperti Stepping Stone. Perbedaan utama terjadi
pada cara pengevaluasian variabel non basis, atau penentuan penurunan
ongkos transport per unit untuk tiap variabel. Cara ini dikembangkan
berdasarkan teori dualitas. Untuk tiap basis I dari tabel transformasi di
kenal sutu Multiplier iu , dan untuk kolom j disebut mulitiplier
jv sehingga untuk tiap variabel basis ijX didapat persamaan:
uj + vj + cij
Dari persamaan di atas kita dapat menghitug beberapa penurunan
ongkos transportasi perunit untuk tiap variabel nonbasis xij sebagai
berikut:
cij = xij – ui - vj
Langkah selanjutnya adalah seperti iterasi yang dilakukan oleh metode
stepping stone.
121
Contoh:
Sebuah perusahaan mempunyai tiga buah tempat perakitan mobil di A, B,
dan C. Perusahaan tersebut mempunyai 2 buah pusat distribusi di D dan E.
Kapasitas produksi A, B, dan C untuk periode yang akan datang adalah
1000, 1500, dan 1200 unit, sedangkan permintaan pusat distribusi D dan E
untuk periode yang akan datang adalah 2300 dan 1400 unit. Biaya
pengangkutan per unit dari A, B, dan C ke D dan E adalah seperti pada tabel.
D E
A 80 215 B 100 108 C 102 68
Total Suplai = 1000 + 1500 + 1200 = 3700
Total permintaan = 2300 + 1400 = 3700 model dalam keadaan seimbang
Model Pemrograman Linier dari persoalan tersebut:
Fungsi tujuan: min. Z = 80x11+215x12+100x21+108x22+102x31+ 68x32
Kendala Sumber: x11 + x12 = 1000
x21 + x22 = 1500
x31 + x32 = 1200
Kendala Tujuan: x11 + x21 + x31 = 2300
x12 + x22 + x32 = 1400
xij 0 i = 1,2,3
j = 1,2
Jika kita selesaikan dengan metode simpleks maka kita membuat tabel
simpleks yang jumlah kolomnya adalah sebanyak i x j (jumlah variabel
keputusan) + i + j (jumlah variabel buatan), sedangkan jumlah baris kendala
dan baris tujuan dan i + j baris kendala
122
V.D. x11 x12 x21 x22 x31 x32 R1 R2 R3 R4 R5 R.K.
Z -80 -215 -100 -108 -102 -68 0 0 0 0 0 0
2M 2M 2M 2M 2M 2M 0 0 0 0 0 7400M
R1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1000
R2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1500
R3 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1200
R4 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 2300
R5 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1400
Persoalan seperti ini lebih efektif diselesaikan dengan teknik transportasi.
Sekarang kita tulis persoalan tersebut dengan tabel transportasi. Kita jadikan
kotak yang besar tempat variabel xij dan kotak yang kecil tempat biaya
transportasi Cij.
80 215
x11 x12 1000
100 108
x21 x22 1500
102 68
x31 x32 1200
2300 1400
Kita tidak selalu mempunyai jumlah sumber yang sama dengan jumlah
tujuan. Agar kita dapat menyelesaikan dengan teknik transportasi maka
model dibuat seimbang.
- Jika kelebihan suplai maka tambahan tujuan semu yang akan menampung
kelebihan suplai yang permintaannya = ji ba
- Jika kekurangan suplai maka tambahan tujuan semu yang akan menyuplai
kekurangan tersebut yang kapasitasnya = ij ab
Jumlah suplai:
Jumlah permintaan
123
Contoh 1.a:
Seperti halnya contoh 1 akan tetapi sumber 2 jumlah suplainya 1300 dan
bukan 1500.
Contoh 1.b:
Seperti halnya contoh 1 akan tetapi tujuan 1 jumlah permintaannya 1900 dan
bukan 2300.
80 215 0
x11 x12 x13 1000
100 108 0
x21 x22 x13 1500
102 68 0
x31 x32 x33 1200
1900 1400 400
Sebenarnya tidak ada barang yang dikerjakan dari Sumber Semu ke semua
Tujuan atau dari semua Sumber ke Tujuan Semu. Dengan demikian biaya
transportasi dari Sumber Semu atau ke Tujuan Semu adalah nol, kecuali:
- Jika ada penalti atas pengiriman dari sumber semu atau pengiriman ke
tujuan semu.
- Biaya tersebut dapat berupa biaya persediaan pada sumber yang mengirim
ke tujuan semu atau biaya penalti atas kekurangan suplai.
Contoh:
Dari persoalan pada contoh 1b di atas, sumber 1 dan 3 memberikan biaya
persediaan atas kelebihan barang sebesar $ 5 per unit, sedangkan sumber
80 215
x11 x12
1000
100 108
x21 x22 1300
102 68
x31 x32 1200
0 0
x41 X42 200
2300 1400
124
tidak tidak mau kelebihan suplai (terdapat sisa) maka kita beri biaya yang
besar sekali (dalam persoalan ini kita beri biaya sebesar M (bilangan yang
besar sekali), maka tabelnya menjadi:
80 215 5
x11 x12 x13 1000
100 108 M
x21 x22 x13 1500
102 68 5
x31 x32 x33 1200
1900 1400 400
Model Produksi Persediaan Model transportasi dapat digunakan untuk memecahkan persoalan
produksi-persediaan.
Contoh:
PT. Alfa untuk 4 bulan yang akan datang memperoleh permintaan sebanyak
200, 400, 300, 150. Oleh karena peralatan produksinya juga dipakai untuk
memproduksi barang lain, maka jumlah produksi untuk 4 bulan yang akan
datang adalah 100, 350, 400, 200. Permintaan pada suatu bulan dapat
dipenuhi oleh:
Produksi pada bulan tersebut
Kelebihan produksi dari bulan sebelumnya yang disimpan sebagai
persediaan.
Produksi dari bulan berikutnya. Di sini merupakan suplai yang
terlambat.
Pada persoalan ini:
Biaya produksi adalah $4/unit
Biaya persediaan adalah $0.5/unit/bulan
Biaya penalti adalah $2/unit/bulan
Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan model transportasi.
125
Model Transportasi Model Produksi Persediaan
i : sumber tujuan bulan produksi i
j : tujuan j bulan permintaan j
cij : biaya transportasi biaya produksi + penalti + persediaan / unit
a I : jumlah suplai jumlah produksi bulan produksi i
bj : jumlah permintaan jumlah permintaan bulan persediaan j
Bulan produksi Bulan permintaan
dengan :
xij = jumlah jumlah suplai bulan produksi i untuk memenuhi permintaan
bulan permintaan j
cij = biaya produksi + persediaan + penalti
Jika i = j cij = biaya produksi
i > j cij = biaya produksi + biaya penalti
i < j cij = biaya produksi + biaya persediaan
x22:c22
x21:c21
x23:c23
x24:x24
200
300
400
150
400
100
200
350
1
2
3
4
1
2
3
4
126
4 4.5 5 5.5
x11 x12 x13 x14 100
6 4 4.5 5
x21 x22 x23 x24 350
8 6 4 4.5
x131 x32 x33 x34 400
10 8 6 4
x41 x42 x43 X44 200
200 400 300 150
Contoh:
Sebuah perusahaan mengoperasikan sebuah pengergajian. Kebutuhan mata
gergaji yang tajam bervariasi setiap harinya tergantung jenis kayu yang
dipotong seperti pada tabel berikut:
Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at Sabtu Minggu Kebutuhan gergaji (unit) 24 12 14 20 18 14 22
Perusahaan tersebut dapat memenuhi kebutuhan gergaji yang tajam dengan
cara berikut:
1. Membeli gergaji baru dengan harga Rp. 120.000 per unit.
2. Mengasah gergaji yang telah dipakai yang selesai dalam waktu semalam
dengan biaya sebesar Rp. 60.000 per unit.
3. Mengasah gergaji yang telah dipakai yang selesai dalam waktu dua hari
dengan biaya sebesar Rp. 30.000 per unit.
Buatlah model transportasi untuk menentukan berapa banyak gergaji yang
harus dibeli, yang diasah selesai dalam waktu semalam dan yang selesai
dalam waktu dua hari.
Penyelesaian:
Persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan model transportasi
dengan 8 sumber dan 7 tujuan. Sumber dari persoalan ini adalah sumber
pertama yaitu gergaji yang dibeli. Pada kondisi ekstrim jumlah yang dibeli
adalah keseluruhan gergaji yang dibutuhkan yaitu total sebanyak 124 unit,
127
sedangkan sumber ke 2 sampai sumber ke 8 sebanyak hari produksi (7 hari)
di mana besarnya adalah sebanyak mata gergaji yang telah dipakai pada
hari-hari tersebut. Sedangkan tujuannya adalah permintaan/kebutuhan pada
hari pertama sampai dengan hari ke tujuh. Oleh karena model tidak dalam
keadaan seimbang, di mana terdapat kelebihan suplai maka ditambahkan
tujuan semu yang akan menampung kelebihan supai tersebut, sehingga
sekarang jumlah tujuan menjadi 8. Biaya transportasi dari persoalan ini
adalah Rp. 120.000, Rp. 60.000 dan Rp. 30.000, yaitu biaya pembelian mata
gergaji yang baru, mata gergaji yang diasah dan selesai dalam 1 malam dan
mata gergaji yang selesai diasah dalam waktu dua hari. Biaya transportasi
pada baris 1 adalah Rp. 120.000 yaitu biaya pembelian gergaji baru,
sedangkan biaya sebesar Rp. 60.000 adalah biaya dari mata gergaji yang
dipakai pada hari ke i yang diasah dalam waktu semalam yang dapat
dipakai kembali pada hari ke i + 1 dan hari ke i + 2, Biaya sebesar Rp. 30.000
adalah biaya dari mata gergaji yang dipakai pada hari ke i yang selesai
diasah setelah 2 hari yang dapat dipakai pada hari ke i + 3 dan hari
berikutnya. Dengan demikian model transportasi dari persoalan ini adalah:
1 2 3 4 5 6 7 8 Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at Sabtu Minggu Semu
12 12 12 12 12 12 12 0
124
M 6 6 3 3 3 3 0
24
M M 6 6 3 3 3 0
23
M M M 6 6 3 3 0
14
M M M M 6 6 3 0
20
M M M M M 6 6 0
18
M M M M M M 6 0
14
M M M M M M M 0
22
24 12 14 20 18 14 22 124