termodinamica: entropia e probabilita’ modello statistico di boltzmann
TRANSCRIPT
![Page 1: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/1.jpg)
Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’
Modello Modello statistico di statistico di BoltzmannBoltzmann
Modello Modello statistico di statistico di BoltzmannBoltzmann
![Page 2: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/2.jpg)
Microstati e Macrostati• La Termodinamica Classica classifica gli
stati in base alle caratteristiche macroscopiche (P,V,T)
• La Termodinamica Statistica utilizza i microstati cioè stati microscopici in cui possono trovarsi le molecole (posizione e quantità di moto di ogni molecola)
![Page 3: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/3.jpg)
Ipotesi fondamentale
Ogni microstato ha la stessa Ogni microstato ha la stessa probabilita’ di esistereprobabilita’ di esistere
Come nel lancio dei dadiCome nel lancio dei dadi
![Page 4: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/4.jpg)
Probabilità
• Lanciando un dado le possibilità di ottenere 1-2-3-4-5-6 sono egualmente probabili; si definisce probabilità P:
P = N° casi favorevoli/ N° casi possibili
• Lanciando due dadi la probabilità di ottenere due facce uguali é 1/36 che può considerarsi come prodotto di 1/6 per 1/6 cioè il prodotto delle singole probabilità di ottenere una faccia su un dado.
![Page 5: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/5.jpg)
Microstati e Probabilita’
• Consideriamo 2 molecole da distribuire in due recipienti collegati
BA
RECIPIENTE I RECIPIENTE II
![Page 6: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/6.jpg)
Possibili distribuzioni:
A
B
A
A A
B
BB
P(tutte le molecole nel recipiente I) = 1 / 4 = 25%
P(metà molecole in ciascun recipiente) = 1 / 2 = 50 %
![Page 7: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/7.jpg)
Microstati e Probabilita’
• Consideriamo 3 molecole da distribuire in due recipienti collegati
A B C
![Page 8: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/8.jpg)
Altre possibili distribuzioni:
A
BC
C
B
A
P(tutte nel recipiente I) = 1 / 8
![Page 9: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/9.jpg)
Possibili distribuzioni:
AB
C
C
B
A
C
C
C
CA
B
BA
B
A
A
B
P(2 nel recipiente I) = 3 / 8
![Page 10: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/10.jpg)
Microstati e Probabilita’
• Consideriamo 4 molecole da distribuire in due recipienti collegati
A B C D
![Page 11: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/11.jpg)
P(tutte le molecole nel recipiente I) = 1 / 16 = P(tutte le molecole nel recipiente I) = 1 / 16 = 6 %6 %
A
B C
D
Possibili distribuzioni:
![Page 12: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/12.jpg)
Altre possibili distribuzioni:
Puo’ essere ottenuto in Puo’ essere ottenuto in 44 modi modi diversi:diversi:
A
B
C D
A BC
D
A B C
D
ABC
D
Con 3 molecole nel I recipiente ed 1 nell’altro:
![Page 13: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/13.jpg)
Ovviamente abbiamo anche le altre 4 possibilità:
A
B
CD
ABC
D
ABC
D
A B C
D
Con 3 molecole nel II recipiente ed 1 nel recipiente I:
![Page 14: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/14.jpg)
Infine altre possibili distribuzioni:
Possono essere ottenute in Possono essere ottenute in 66 modi diversi: modi diversi:
A
B
C
D
A B
C D
A
B
C
D
A
B
C
D
AB
CDAB
C D
![Page 15: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/15.jpg)
Microstati e Probabilita’
• In sintesi con 4 molecole da distribuire nei due recipienti collegati:
A B C D
Abbiamo in totale 16 casi possibili : • P(tutte le molecole nel recipiente I) = 1 / 16• P(2 molecole in ciascun recipiente) = 6 / 16 = 3 / 8 = 40%
![Page 16: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/16.jpg)
Analogamente se si lanciano 4 monete simultaneamente si ha:
Macrostato Possibili microstati (T=teste, C=croci) Numero di microstati
4 teste TTTT 1
3 teste, 1 croce TTTC, TTCT, TCTT, CTTT 4
2 teste, 2 croci TTCC,TCTC,CTTC,TCCT,CTCT,CCTT 6
1 testa, 3 croci CCCT, CCTC, CTCC, TCCC 4
4 croci CCCC 1
![Page 17: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/17.jpg)
MACROSTATO Numero di microstati ProbabilitàTESTE CROCI
100 0 1 8.0·10-31
99 1 1.0·102 8.0·10-29
90 10 1.7·1013 1.0·10-17
80 20 5.4·1020 4.0·10-10
60 40 1.4·1028 0.01
55 45 6.1·1028 0.05
50 50 1.0·1029 0.08
45 55 6.1·1028 0.05
40 60 1.4·1028 0.01
20 80 5.4·1020 4.0·10-10
10 90 1.7·1013 1.0·10-17
1 99 1.0·102 8.0·10-29
0 100 1 8.0·10-31
Probabilità dei vari macrostati per un lancio di 100 monete
![Page 18: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/18.jpg)
Microstati e Probabilita’
• Con N molecole da distribuire nei due recipienti collegati:
Abbiamo in totale 2N casi possibili :
• P(tutte le molecole restano nel recipiente I) = 1 / 2N (Considerando il numero di molecole in una mole questo numero é praticamente 0)
• P(N/2 molecole siano in ciascun recipiente) = 50 %
![Page 19: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/19.jpg)
Entropia• Boltzmann defini’ una grandezza che misura la
probabilita’ di un stato: l’Entropia.
• Le molecole tendono a raggiungere lo stato piu’ probabile.
• E’ necessario calcolare il numero di microstati possibili per delineare uno stato macroscopico, per questo si utilizza la statistica.
• Accade sempre ciò che é più probabile che possa accadere!
![Page 20: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/20.jpg)
Entropia• Per arrivare all’equazione di Boltzmann con la
quale viene definita l’entropia in termini statistici partiamo da un esempio fisico concreto: l’espansione isotermica di un gas da un recipiente I ad un altro recipiente identico II …
• Stavolta però consideriamo n moli e quindi praticamente un numero molto grande di molecole …
![Page 21: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/21.jpg)
Entropia
• ΔS = n R lg (V2/V1) = N K (lg(V2) – lg(V1))=
k (lg(V2N) – k (lg(V1N) = S2 - S1
Pertanto si ha: S = k (lg(VN) ;
Più in generale possiamo definire l’entropia S dello stato A = k (lg(P(A)).
L’Entropia S(A) dello stato A di un sistema termodinamico è una funzione della probabilità dello stato A.
![Page 22: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/22.jpg)
Diavoletto di Maxwell• Inizialmente le molecole sono distribuite
equamente nei 2 recipienti … Il diavoletto fa in modo da far
passare solo le molecole dal recipiente II al recipiente I …e dopo un tempo abbastanza lungo accade che tutte le molecole saranno nel recipiente I …?
Con quale probabilità ciò può accadere? Abbiamo visto che
P = 1 / 2N considerando il numero di molecole questo numero é praticamente 0 !)
![Page 23: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/23.jpg)
Probabilita’ ed Equilibrio
Estremamente Estremamente probabile!probabile!
• Le molecole si muovono casualmente nei due recipienti
• Dopo un certo tempo, ogni molecola ha probabilita’ ½ di trovarsi in uno dei due
• La distribuzione piu’ probabile e’ quella con circa il 50% delle molecole in ogni recipiente
![Page 24: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/24.jpg)
Entropia • Un ragionamento analogo spiega perche’
due gas si mescolano
Lo stato finale e’ piu’ probabile anche se Lo stato finale e’ piu’ probabile anche se più disordinato !più disordinato !
![Page 25: Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’ Modello statistico di Boltzmann](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/5542eb74497959361e8dccbb/html5/thumbnails/25.jpg)
Secondo Principio della Termodinamica
• Versione microscopica:
Un sistema isolato con molte molecole interagenti,
evolvera’ verso lo stato con maggiore probabilità e rimarra’ in quello stato
macroscopico! Durante la sua evoluzione la variazione di
entropia dell’ universo (sistema+ambiente) cresce
sempre !!