termodinamika (1- 2) k keadaan_kesetimbangan_sistem
DESCRIPTION
unj fmipa-fisikaTRANSCRIPT
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
Pertemuan 1 – 2KEADAAN KESETIMBANGAN SISTEM
Dr. I Made Astra, M.SiJurusan FisikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
1
Teori Trafik Dasar
1. Deskripsi Trafik
2. Diagram Transisi Kondisi
3. Pola Kedatangan Panggilan
4. Pola Lamanya Waktu Pendudukan
5. Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan
13/04/23 2© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Deskripsi Trafik
SistemPola kedatangan panggilan
Pola lamanya waktu pendudukan
•Berkas sempurna•Berkas tak sempurna•Sistem rugi•Sistem tunggu•FIFO•Etc.
13/04/23 3© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Deskripsi Trafik (2)
Salah satu pendeskripsian matematis dari trafik adalah birth and death process (Proses kelahiran dan kematian) Merupakan salah satu kasus Markov chain dimana perubahan
keadaan (state) terjadi selangkah demi selangkah (one step at a time)
Dalam jaringan telepon, proses kelahiran adalah proses datangnya panggilan sedangkan proses kematian adalah proses berakhirnya panggilan
Pola kedatangan panggilan dan pola pendudukan dideskripsikan dengan distribusi probabilitas
Bila deskripsi pola trafik dengan distribusi probabilitasnya serta disiplin operasinya diketahui, maka banyak hal dapat diketahui (harga rata-rata trafik, blocking dst.)
13/04/23 4© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Diagram Transisi Kondisi
Jumlah saluran dalam berkas yang diduduki disebut kondisi (keadaan/state)
Proses kedatangan panggilan atau berakhirnya pendudukan dapat merubah kondisi berkas yang bersangkutan
Kondisi dan perubahannya dapat digambarkan oleh suatu diagram transisi kondisi• Kondisi : bulatan dan angka• Arah transisi : panah
0 1 2 n
b0b1 b2 bn-1 bn
1 2 3 n n+1
13/04/23 5© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Diagram Transisi Kondisi (2)Kondisi menyatakan jumlah saluran atau
peralatan yang didudukiProbabilitas kondisi menyatakan lamanya suatu
kondisi berlangsung di dalam selang waktu tertentu (1 jam sibuk)
Probabilitas transisi menunjukkan peluang terjadinya transisi dari suatu keadaan ke keadaan yang lain di dalam selang waktu yang sangat kecil (Δt )
13/04/23 6© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process)
Call arrival dapat diartikan percobaan pertama untuk menghubungkan beberapa perangkat bagi terbentuknya suatu panggilan (first attempt to connect some device for the purpose of establishing a call) event sesaat (instantaneous)
Pengertian di atas merupakan pengertian yang legitimate karena proses pendudukan perangkat (seizing) pada umumnya sangat singkat dibandingkan dengan holding time-nya setelah seizure
Dengan fakta-fakta tersebut di atas marilah kita turunkan distribusi kedatangan panggilan
13/04/23 7© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (2) Misalkan proses call arrival (seperti yang sudah didefiniskan pada
slide no 6) berlangsung terus pada selang waktu yang sangat lama Dan bayangkan selang waktu yang lama tersebut dibagi menjadi
interval-interval yang lebih kecil dengan durasi Δt • Dengan membuat agar Δt sangat singkat, kita dapat menjamin
bahwa peluang terjadinya kedatangan lebih dari satu (pada selang Δt ) dapat diabaikan
Δt Δt Δt
0 T
13/04/23 8© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (3)
Misalkan a menyatakan jumlah rata-rata kedatangan per satuan waktu
Satu satuan waktu terdiri dari 1/Δt intervalMaka peluang suatu interval (yang dipilih secara
acak) mengandung sebuah kedatangan adalah a/(1/Δt ) = a.Δt = dengan kata lain ini adalah peluang meunculnya pangggilan dalam interval Δt
13/04/23 9© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (4)
Peluang bahwa ada tepat (exactly) sebanyak x panggilan yang terjadi selama selang waktu T adalah merupakan peluang bahwa ada sebanyak x dari T/Δt interval yang mengandung panggilan (Δt dipilih agar T/Δt merupakan sebuah integer)
Maka x merupakan distribusi binomial, sehingga distribusi peluangnya adalah :
px=
TΔt ( ( T
Δt ( (
- 1TΔt
( (
- 2TΔt
( (
- x +1… (1-aΔt ) (T/Δt )-x
(a/Δt )x
x !
=T(T-Δt )(T-2Δt )…(T-x-1Δt )(1-aΔt )-x {(1-aΔt )1/Δt }T ax
x!
13/04/23 10© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (5)
aTx
x ex
aTp
!
Bila Δt 0, maka (1 – aΔt )1/Δt e-a, maka px menjadi :
Ini merupakan distribusi Poisson Jadi pola kedatangan panggilan berdistribusi Poisson Mean value dari distribusi Poisson di atas adalah at demikian
pula dengan variansinya akan berharga at ciri distribusi Poisson
13/04/23 11© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola antar waktu kedatangan(Interarrival time distribution)
aTetF 1)(
Seperti sebelumnya, sumbu waktu dibagi kedalam interval-interval yang lebih kecil Δt
Misalkan dipilih suatu waktu secara acak (random instant) Selang waktu sampai terjadinya suatu panggilan berikutnya akan
melebihi t, jika dan hanya jika interval pertama, kedua … ke-(t/Δt ) tidak mengandung kedatangan panggilan. Peluang terjadinya event ini adalah (1-aΔt )t/Δt yang akan cenderung menjadi e-at jika Δt mendekati nol
Maka fungsi distribusi dari t (yaitu peluang bahwa selang waktu sampai panggilan berikutnya lebih kecil dan sama dengan t) adalah
13/04/23 12© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola antar waktu kedatangan(Interarrival time distribution) (2)
Probability density function dari F(t) adalah
f(t) = dF(t)/Δt = ae-at
Ini adalah distribusi eksponensial negatif Mean value dari f(t) adalah 1/a yang merupakan
rata-rata selang waktu antar kedatangan panggilan
13/04/23 13© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) Diasumsikan bahwa sebuah panggilan berakhir secara acak Dengan mengambil waktu awal (origin) merupakan saat dimulainya
panggilan, maka peluang bahwa panggilan berakhir dalam selang (t,t+Δt ] adalah μΔt (analogi dengan kedatangan panggilan)
Peluang bahwa waktu pelayanan lebih besar dari t (H(t)) adalah sama dengan peluang bahwa panggilan tidak berakhir dalam selang (0,t]
t t+Δt
13/04/23 14© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) (2)
Dengan mempartisi selang (0,t] kedalam sejumlah n interval dan dengan membuat agara Δt =t/n maka peluang berakhirnya panggilan setelah t (waktu pelayanan melebihi t) adalah (1 – μΔt )n
Bila n menuju 0 maka H(t) = e-μt
Peluang terjadinya pendudukan yang berakhir pada waktu kurang dari t adalah F(t) = 1 - e-μt
Maka probability density function dari waktu pelayanan adalah f(t) = μe-μt
Dengan demikian waktu pendudukan berditribusi eksponensial negatif dengan mean μ-1
• μ disebut laju waktu pelayanan
13/04/23 15© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) (3)
Diketahui bahwaa =
= 1/h
λ = harga rata-rata kedatangan panggilan1/ λ = selang waktu antar kedatangan panggilanμ = laju berakhirnya panggilan1/ μ = selang waktu antar berakhirnya pendudukanh = harga rata-rata waktu pendudukan1/h = selang waktu antar pendudukan
13/04/23 16© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan
Akan dicari peluang bersyarat : suatu panggilan datang pada selang (t,Δt) bila diketahui bahwa selama waktu t tidak ada panggilan datang
Bila x adalah panggilan yang datang, maka kita akan mencari P(x t+Δt | x > t)
t t+Δt
Pangggilan datang Tidak ada panggilan datang
13/04/23 17© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (2) P (x > t) = e-λt
• ingat P(x>t) = 1- P(x t)=1 –(1- e-λt) = e-λt
P(t < x t+Δt) merupakan peluang bahwa (x >t dan x t+Δt), atau bisa kita pandang juga sebagai usaha mencari peluang munculnya panggilan pada selang (t+ Δt)
Maka P(t < x t+Δt) =1– P(x t) - P (x > t+ Δt) =1– P(x t) – (1 – P (x t+ Δt))
= P (x t+ Δt) – P(x t)
P(x t+Δt | x > t) = P(t < x t+Δt)
P(x > t)
13/04/23 18© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (3)
P(t < x t+Δt) = 1– P(x t) - P (x > t+ Δt) = 1– P(x t) – (1 – P (x t+ Δt)) = P (x t+ Δt) – P(x t) = (1 – e-λ(t+ Δt)) – (1 – e- λt) = e- λt – e-λ(t+ Δt)
Maka,
P(x t+Δt | x > t) = P(t < x t+Δt)
P(x > t)
= e- t – e-(t+ Δt)
1-(1-e- t)
13/04/23 19© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (4)
P(x t+Δt | x > t) = P(t < x t+Δt)
P(x > t)
= e- t – e-(t+ Δt)
1-(1-e- t)
= e- t – e-(t+ Δt)
e- t
= 1 – e-Δt
13/04/23 20© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Bila kita uraikan menggunakan deret Mc Laurin, akan kita peroleh
P(x t+Δt | x > t) = Δt -Δt)2
2!
Δt)3
3!+ …= P (Δt)
13/04/23 21© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (5)
Bila Δt 0 maka P(Δt) λ.Δt + 0(Δt) 0(Δt) merupakan fungsi Δt yang harganya akan lebih
cepat menjadi 0 daripada Δt nya sendiri bila Δt mendekati nol
P(Δt ) tak tergantung t Hanya mungkin terjadi satu peristiwa dalam suatu waktu
tertentu, karena bila terjadi lebih dari satu peristiwa maka probabilitasnya akan sebanding dengan Δt 2 (atau Δt 3 dst.) dan ini berarti akan menjadi nol (bila Δt mendekati nol)
13/04/23 22© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (6)
Kita sudah memperoleh hasil sebagai berikut (dengan Δt mendekati nol (Δt )):• Peluang (datangnya 1 panggilan dalam waktu Δt ) =
λt + 0(Δt )• λ=laju rata-rata datangnya panggilan
• Dengan analogi : Peluang (berakhirnya 1 pendudukan dalam waktu Δt ) = μt + 0(Δt )
• μ=1/h= laju rata-rata berakhirnya panggilan
13/04/23 23© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (7)
Bila kita gunakan koefisien kelahiran dan kematian :• Peluang (datangnya 1 panggilan pada kondisi n
dalam waktu Δt ) = bnΔt + 0(Δt )• Peluang (berakhirnya 1 panggilan pada kondisi n
dalam waktu Δt ) = dnΔt + 0(Δt )• Peluang (terjadi lebih dari 1 peristiwa datang
dan/atau berakhir dalam waktu Δt ) = 0(Δt )
13/04/23 24© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (8)
Kondisi pada t
Kondisi pada (t+Δt )
Transisi Prob(transisi dlm Δt /kondisi pada t)
n n Tak ada yang datang ataupun berakhir
(1-bnΔt )(1-dnΔt )=1- bnΔt - dnΔt +0(Δt )
n-1 n 1 panggilang datang dan tak ada yang berakhir
bn-1Δt (1- dn-1Δt )+0(Δt )= bn-
1Δt +0(Δt )
n+1 n Tak ada yang datang dan 1 pendudukan berakhir
(1- bn+1Δt )dn+1Δt +0(Δt )= dn+1Δt +0(Δt )
Kondisi lainnya
n Lebih dari 1 transisi O(Δt )
Kondisi n pada saat t+Δt dapat terjadi melalui beberapa kemungkinan :
13/04/23 25© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Kita akan mencari probabilitas kondisi n pada waktu t : P(n,t)
• P(n,t+Δt )=P(n,t)(1-bnΔt -dnΔt )+P(n-1,t)bn-1Δt +P(n+1,t)dn+1Δt +0(Δt )
• (P(n,t+Δt ) – P(n,t))/Δt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(Δt )
Bila Δt mendekati nol :
• dP(n,t)/Δt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(Δt )
Ini disebut persamaan kondisi dan berlaku untuk n=1,2,3,…
13/04/23 26© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (10) Persamaan kondisi dapat diselesaikan dengan 2
kasus• Kasus 1 : P(n,t) bukan fungsi waktu. Hal ini terjadi
bila sistem dalam keadaan kesetimbangan statistik (statistical equilibrium) [jam sibuk dianggap merupakan keadaan yang setimbang]
• Kasus 2 : P(n,t) merupakan fungsi waktu
13/04/23 27© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (11)
Kasus 1• Karena P(n,t) bukan fungsi waktu, maka dP(n,t)/Δt =
0 (berlaku untuk semua harga n)
• Untuk n=0 : 0=-b0P(0)+d1P(1)
b0P(0)=d1P(1) pers (1)
• Untuk n=1 : (b1+d1)P(1)=b0P(0)+d2P(2) pers (2)
• Untuk n=2 : (b2+d2)P(2)=b1P(1)+d3P(3) pers (3)
• Untuk n=3,4,dst. :
(bm+dm)P(m)=bm-1P(m-1)+dm+1P(m+1)
13/04/23 28© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (12)
Kasus 1 (cont.)• Substitusi dari persamaan (1) ke persamaan (2) dan seterusnya :
b1P(1)=d2P(2)b2P(2)=d3P(3)b3P(3)=d4P(4)
bmP(m)=dm+1P(m+1)Ini disebut persamaan kesetimbangan
m m+1
bm
dm+1
13/04/23 29© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (13)
Kasus 2 :• dP(n,t)/Δt = -(bn+dn) P(n,t) + bn-1P(n-1,t) + dn+1P(n+1,t) + 0(Δt )
Untuk n=0• dP(0,t)/Δt = -b0P(0,t) + d1P(1,t)
Selisih aliranmasuk dan keluar Aliran keluar
dr kondisi n
Aliran masuk ke kondisi n
13/04/23 30© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (14)
Untuk memudahkan solusi :• Tak ada pendudukan yang berakhir : dn=0• Rate datangnya panggilan sama untuk semua kondisi : bn=a
Maka • (*) d(P0,t)/Δt = -a P(n,t)+aP(n-1,t) untuk n1• (**) d(P0,t)/Δt = -a P(0,t) untuk n=0
Untuk menyederhanakan penyelesaian, digunakan syarat batas pada permulaan sistem (pada t=0 dan n=0) :• P(n,0) = 1 untuk n = 0 dan• P(n,0) = 0 untuk n 0
13/04/23 31© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (15) Penyelesaian untuk P(0,t) dapat diperoleh dari
persamaan (**):• P(0,t) = e-at,harga ini bila dimasukkan ke persamaan
(*) n=1, akan didapat :• dP(1,t)/Δt =-aP(1,t)+ae-at, bila persamaan ini diselesaikan,
akan memberikan P(1,t)=at.e-at, kemudian persamaan tersebut digunakan untuk menyelesaikan P(2,t)
• Akan diperoleh dP(2,t)/Δt =-aP(2,t)+a.at.e-at, yang bila diselesaikan akan menghasilkan P(2,t)=((at)2/2!)e-at
13/04/23 32© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (16)
Secara induksi akan diperoleh :
Gambar P(n,t) untuk beberapa harga n dan t dapat dilihat di diktat
Harga Mean =at Harga variansi = at
P(n,t)=(at)n
n!e-at Distribusi Poisson
13/04/23 33© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan (17)
PDF = P (x t) = 1 – P(x > t)
Jadi PDF = F(t) =1 – P(0,t) = 1 – e-at
pdf = f(t) = ae-at
Peluang waktu interval panggilanlebih besar dari t atau peluang tidak ada panggilan yang datangselama waktu t (P(0,t))
P(0,t)=(at)0
0!e-at
P(0,t)= e-at
13/04/23 34© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |
TERIMA KASIH
13/04/23 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id | 35