ME AHT

Termodinamika oktatási segédlet

dr. Karaffa Ferenc

TÁMOP 4.2.1.B-10/2/KONV-0001-2010 projekt keretében Miskolc 2011

2

Hővezetés alapegyenletei

3

HŐVEZETÉS

A hőközlés három tiszta formája ismeretes: hővezetés, hőátadás (konvekció) és

hősugárzás. A szilárd testeken belül, mivel az elemi részecskék egymáshoz viszonyított

helyzetüket nem változtatják meg, a hőátvitel csak vezetéses formában valósul meg.

A hővezetés differenciálegyenlete

A hővezetés differenciálegyenlete instacionárius esetben, homogén, izotróp testre a

következő alakban írható fel:

( ) ( )t,rgTgraddivtTcp

+=

∂∂ λρ

Az egyenletben szereplő λ hővezetési tényező skalár mennyiség. Anizotróp test esetén

egy tenzor-mennyiség lép a helyére. A ( )t,rg függvény pedig a hőforrás, illetve hőnyelő

erőssége.

Ha a ρ sűrűség, pc fajhő és a λ hővezetési tényező állandó értékek, akkor a hővezetési

feladat lineáris és a differenciálegyenlet a következő alakot ölti:

pcgta

tT

ρ+∆=

∂∂ .

Az egyenletben

pca

ρλ

=

a hőmérsékletvezetési tényező.

Ha termikus paraméterek – a fajhő és a hővezetési tényező – a hőmérséklettől függnek,

akkor a hővezetési feladat megoldása egy nemlineáris differenciálegyenletből nyerhető. Ekkor

egy alkalmasan megválasztott integrál-transzformáció segítségével egy alakilag lineáris

differenciálegyenletre vezethető vissza a feladat. Az integrál-transzformáció

( )∫=T

dQ0

ϑϑλ .

A deriváltak a következők lesznek:

tT

tQ

∂∂

=∂∂ λ ( )T.Q ∇∇=∆ λ .

4

Ezeket behelyettesítve, a differenciálegyenlet a következő alakot ölti:

( ) ( )( )Qct,rgQQa

tQ

pρ

+∆=

∂∂ .

A lineáris megoldások természetesen nem vihetők át közvetlenül a nemlineáris feladatra,

de az integrál-transzformáció különböző numerikus megoldások esetén előnyösen felhasználható.

Stacionárius, hőforrásmentes hővezetés esetén pedig ezzel az integrál-transzformációval az

eredetileg nemlineáris hővezetési feladat a lineáris Laplace-egyenlet

0=∆Q

megoldására vezethető vissza.

A hővezetési differenciálegyenlet megoldása ( )t,rTT = a test belsejében a helynek és az

időnek folytonos, legalább kétszer differenciálható függvénye, melynek a test felületén lehetnek

folytonosság szakadásai.

Kezdeti és peremfeltételek

A differenciálegyenlet megoldásához kezdeti és peremfeltételekre van szükség. A kezdeti

feltétel a folyamat kezdetét jelentő 0=t időpontban a test belsejében kialakuló hőmérséklet

eloszlást jelenti:

( ) ( )rftrT

==0, .

5

A potenciálelmélet peremfeltételei

A peremfeltételek a test felületén érvényes előírásokat jelentenek. A műszaki

gyakorlatban többféle peremfeltétel fogalmazható meg.

Ezek a következők:

o A potenciálelmélet első peremfeltétele:

( ) ( )t,rft,rT i,Ai

1= ,

vagyis a felület pontjaiban a hőmérséklet változása adott. A peremfeltételi egyenlet

jobboldalán szereplő ( )t,rf i,

1 függvény lehet csak a helynek vagy csak az időnek

függvénye, valamint állandó, sőt akár nulla is. Ez utóbbi esetben homogén elsőfajú

peremfeltételről van szó.

o A potenciálelmélet második peremfeltétele:

A potenciálelmélet második peremfeltétele a test felületi pontjaiban a hőmérséklet

normális irányú deriváltjára fogalmaz meg előírást.

( )t,rfnT

i,Ai

i

2=

∂∂

Ez utóbbi esetben homogén másodfajú a peremfeltétel.

o A potenciálelmélet harmadik peremfeltétele:

A potenciálelmélet harmadik peremfeltétele (nevezik vegyes peremfeltételnek is) a

newtoni hőátadási törvény a test felületén.

( ) ( )t,rfTTnT

i,KAiAi

i ii

i

3=−+

∂∂ αλ

Az egyenlet jobboldalán szereplő ( )t,rf i,

3 függvény a korábbi peremfeltételek

jobboldalain szereplő függvényekhez hasonlóan szintén lehet csak a helynek vagy csak az

időnek a függvénye, valamint állandó, sőt akár nulla is. A iλ hővezetési tényező és az iα

konvektív hőátadási tényező állandó értékek. A iAT és a

iKT pedig a felületi, illetve a

6

környezeti hőmérsékletet jelentik. A hővezetési tényező és a konvektív hőátadási tényező

állandó volta miatt a peremfeltétel lineáris lesz.

Nem lineáris peremfeltételek

A peremfeltételek egy jelentős csoportja nem lineáris. Például az előző harmadfajú

peremfeltétel is nem lineáris, ha a hővezetési tényező és a konvektív hőátadási tényező egyike,

vagy mindkettő a hőmérséklet függvénye

( ) ( )( ) ( )t,rfTTTnTT i,KAi

Aii ii

i

3=−+

∂∂ αλ .

A gyakorlatban a könnyebb matematikai kezelhetőség érdekében sokszor linearizálják a

peremfeltételi előírásokat. Az ebből eredő hiba azonban csak akkor marad a megengedhető

mértéken belül, ha a folyamat előre jól megbecsülhető, nem túlságosan nagy hőmérséklet-

tartományban játszódik le.

Ugyancsak nem lineáris a peremfeltétel, ha a test felületén sugárzás révén jön létre

hőátadás.

044 =

−+

∂∂

KAA

TTnT

ii

λεσ .

A peremfeltételi egyenletben σ a Stefn-Boltzmann állandó, ε a felület geometriai

alakjától függő emisszió-tényező, KT a környező sugárzó test hőmérséklete.

Összetett peremfeltételek

Nagyon sokszor fordul elő a gyakorlatban, hogy összetett peremfeltételi előírásokra van

szükség, vagyis járulékos előírásokkal kell kiegészíteni a potenciálelmélet három peremfeltételét.

Érintkező testekre vonatkozó peremfeltételek

Az ilyen összetett peremfeltételi előírások fontos csoportja, amikor két különböző

hővezetési tényezővel rendelkező test érintkezéséről van szó.

7

Az szükségszerű, hogy az érintkezési felület két oldalán a hőáramsűrűség megegyezik

nT

nT

∂∂

=∂∂ 2

21

1 λλ .

Ez a peremfeltételi előírás azonban még nem egyértelmű, ehhez meg kell adni az

érintkezési felületek hőmérsékletét is. Ez a kiegészítő peremfeltételi előírás lehet az, hogy az

érintkezési felületek hőmérséklete azonos.

21 AATT = .

Ekkor az érintkező felületek közötti konvektív hőátadás elhanyagolható. Ha ez az

elhanyagolás nem tehető meg, akkor a felületi hőmérsékletek különböznek

21 AATT ≠

és a hőáramsűrűségek között összefüggés az alábbi alakot ölti:

( )2

12

1

21A

AAA n

TTTnT

∂∂

=−=∂∂ λαλ .

Peremfeltételek fázisváltozás esetén

Az összetett peremfeltételi előírások egy következő csoportja, ha hővezetési folyamatot

fázisátalakulás kíséri. Ekkor a fázishatáron a termikus jellemzők és/vagy deriváltjaik

ugrásszerűen változnak. Ezek a változások a hővezetési folyamat szempontjából peremfeltételi

előírásokkal tehetők egyértelművé.

Lehűlés esetén a hőáram iránya a folyadék fázisban a fázishatár felé mutat, a szilárd

fázisban pedig a fázishatártól elfelé. Ezen kívül a szilárd fázisban a hőáramot a fázisátalakuláskor

felszabaduló hő is növeli. Hevítés esetén ezzel ellentétes a folyamat.

8

Ha a fázishatár dt elemi idő alatti elmozdulása a felületre merőleges irányban Sdx , akkor

az ezzel azonos vastagságú rétegben

SS dxAqdQ ρ=

elemi hő szabadul fel, ahol Sq a dermedéshő (vagy az ellentétes folyamat esetén az olvadáshő).

Az ebből keletkező hőáram

dtdxAqQ S

S ρ= ,

mely a fázishatáron hozzáadódik a folyadékfázisból a szilárd fázis felé tartó hőáramhoz. Így a

peremfeltétel a fázishatáron a hőáramsűrűségekre vonatkozóan a következőképpen alakul:

dtdxq

xT

xT S

Sρλλ +∂∂

=∂∂ 1

12

2 .

Az egyenletben az 1 index a folyékony fázisra, a 2 index a már megszilárdult fázisra utal.

Mivel a fázishatáron két különböző hővezetési tényezőjű test érintkezik, a fázishatáron uralkodó

hőmérsékletre vonatkozóan egy kiegészítő peremfeltételt is meg kell adni. Ez pedig pl.

egydimenziós esetben

( ) ( ) SsS Tt,xTt,xT == 21 ,

ahol a ST az olvadási (vagy dermedési) hőmérséklet. A hőmérséklet-eloszlás a fázishatáron

folytonos függvény, míg deriváltja szakadást szenved.

Mint az előző két példából is látható, hogy a gyakorlatban számos összetett peremfeltételi

előírásra lehet szükség. Ezek a potenciálelmélet három peremfeltételének egyike melletti további

járulékos feltétel megfogalmazását jelentik.

9

Általános hővezetési feladat visszavezetése egyszerűbb feladatokra Ha hővezetési differenciálegyenlet lineáris, akkor bonyolultabb feladatok megoldása

visszavezethető egyszerűbb feladatokra.

Stacionárius peremfeltételek

A peremfeltételi egyenletek időben állandó felületi hőmérsékletet, hőáramsűrűséget,

illetve időben állandó környezeti hőmérsékletet tartalmaznak. A hővezetési feladat hőforrások

nélküli esetben Descartes derékszögű koordinátarendszerben a következőképpen fogalmazható

meg:

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zT

yT

xTa

tT .

A kezdeti feltétel: ( ) ( )z,y,xf,z,y,xT =0 .

A peremfeltételek:

Elsőfajú ( ) )z,y,x(ft,z,y,xT

iiiiii AAAi,AAA 1=

Másodfajú: ( )iii

i

AAAi,A

z,y,xfnT

2=∂∂

Harmadfajú: ( )[ ] 0=−+∂∂

KAAAA

Tz,y,xTnT

iii

i

αλ .

Az egyenletekben iii AAA z,y,x a test felületi pontjainak koordinátáit jelentik, míg KT az

időtől független, legfeljebb helytől függő környezeti hőmérsékletet. A peremfeltételek közül

természetesen mindig csak egy érvényes, de az bármelyik lehet.

Ez esetben a hővezetési feladat megoldása a megfelelő stacionárius feladat ( )z,y,xϕ

megoldásának, valamint a zérus peremfeltételű, illetve zérus környezeti hőmérsékletű

instacionárius feladat ( )t,z,y,xψ megoldásának az összege,

10

vagyis

( ) ( ) ( )t,z,y,xz,y,xt,z,y,xT ψϕ += .

Ugyanis ha a fenti megoldást behelyettesítjük a megoldandó differenciálegyenletbe, az két

részfeladatra választható szét.

• Stacionárius feladat:

a differenciálegyenlet:

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zyxϕϕϕ

peremfeltételek:

elsőfajú ( ) )z,y,x(fz,y,x

iiiiii AAAi,AAA 1=ϕ

másodfajú: ( )iii

i

AAAi,A

z,y,xfn 2=

∂∂ϕ

harmadfajú: ( )[ ] 0=−+∂∂

KAAAA

Tz,y,xn iii

i

ϕαϕλ .

Ennek a feladatnak a megoldása: ( )z,y,xϕϕ = .

• Instacionárius feladat

A differenciálegyenlet:

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zyxa

tψψψψ .

kezdeti feltétel: ( ) ( ) ( )z,y,xz,y,xf,z,y,x ϕψ −=0 .

peremfeltételek:

11

Elsőfajú ( ) 0=t,z,y,xiii AAAψ

Másodfajú: 0=∂∂

iAnψ

Harmadfajú: ( ) 0=+∂∂

iii

i

A,AAA

zy,xn

ψαψλ .

Az instacionárius feladat megoldása: ( )t,z,y,xψψ =

Látható, hogy stacionárius feladat megoldása szükségképpen megelőzi az instacionárius

feladat megoldását. Ugyanis az instacionárius feladat kezdeti feltétele már tartalmazza a

stacionárius feladat megoldását.

Instacionárius peremfeltételek

A lineáris hővezetési feladat hőforrások nélküli esetben Descartes derékszögű

koordinátarendszerben a következőképpen fogalmazható meg.

A differenciálegyenlet:

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zT

yT

xTa

tT .

A kezdeti feltétel: ( ) ( )z,y,xf,z,y,xT =0 .

A peremfeltételek:

Elsőfajú ( ) )t,z,y,x(ft,z,y,xT

iiiiii AAAi,AAA 1=

Másodfajú: ( )t,z,y,xfnT

iii

i

AAAi,A

2=∂∂

Harmadfajú: ( ) ( )[ ] 0=−+∂∂ t,z,yxTt,z,y,xT

nT

iiiiii

i

AA,AKAAAA

αλ .

12

A peremfeltételek közül természetesen ismét csak az egyik érvényes.

A fenti feladat visszavezethető

- az azonos kezdeti feltételű, de zérus peremfeltételű, illetve zérus környezeti

hőmérsékletű instacionárius feladat ( )t,z,y,xϕϕ = megoldásának, valamint

- a zérus kezdeti feltételű, de időben változó peremfeltételű, illetve időtől függő

környezeti hőmérsékletű instacionárius feladat ( )t,z,y,xψψ = megoldásának összegére.

A megoldás:

( ) ( ) ( )t,z,yxt,z,y,xt,z,y,xT ψϕ += .

A fenti megoldást a megoldandó differenciálegyenletbe helyettesítve, az eredeti feladat a

következő két részfeladat megoldására válik szét:

Zérus peremfeltételű instacionárius feladat

A differenciálegyenlet:

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zyxa

tϕϕϕϕ .

A kezdeti feltétel: ( ) ( )z,y,xf,z,y,x =0ϕ .

A peremfeltételek:

Elsőfajú ( ) 0=t,z,y,x

iii AAAϕ

Másodfajú: 0=∂∂

iAnϕ

Harmadfajú: ( ) 0=+∂∂ t,z,y,x

n iii

i

AAAA

ϕαϕλ .

Ennek a feladatnak a megoldása: ( )t,z,y,xϕϕ = .

13

Zérus kezdeti feltételű instacionárius feladat

Mivel az előző részfeladat kezdeti feltétele megegyezett az eredeti feladat kezdeti

feltételével, ezért a második részfeladatban a kezdeti feltétel zérus.

A differenciálegyenlet:

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zyxa

tψψψψ .

A kezdeti feltétel: ( ) 00 =,z,y,xψ .

A peremfeltételek:

Elsőfajú ( ) )t,z,y,x(ft,z,y,x

iiiiii AAAi,AAA 1=ψ

Másodfajú: ( )t,z,y,xfn iii

i

AAAi,A

2=∂∂ψ

Harmadfajú:

( ) ( )[ ] 0=−+∂∂ t,z,yxt,z,y,x

n iiiiii

i

AA,AKAAAA

ψψαψλ .

Ennek a feladatnak a megoldása: ( )t,z,y,xψψ = , melyet a Duhamel-elv alkalmazásával

lehet megtalálni.

A Duhamel-elv értelmében ezt a részfeladatot a peremfeltételekben

állandót ==τ

helyettesítéssel – vagyis időben állandónak tekintett peremfeltételek mellett – megoldjuk. Ez azt

jelenti, hogy az időtől függő peremfeltételek egy pillanatértékéhez tartozó hőmérséklet-eloszlást

határozzuk meg. Ez a megoldás:

( )t,z,y,xψψ =

14

Feltételezzük, hogy a ψ -re előírt, időben változó peremfeltételek a τ=t időpont előtt

nem működnek, és a τ=t időpontban hirtelen, ugrásszerűen lépnek fel és ezután már a τ=t

időpontnak megfelelő állandó értéken maradnak érvényben. Az ehhez tartozó megoldás az

előbbiek szerint:

( )τψψ −= tzyx ,,, t ⟩ τ .

Ha viszont az előbbi peremfeltételek a ττ dt += időpillanatban lépnek működésbe és

utána folyamatosan érvényben maradnak, akkor az ehhez tartozó megoldás nyilvánvalóan:

( )ττψψ dtzyx −−= ,,, t ⟩ ττ d+ .

A kettő különbsége azt az elemi ψd megváltozást jelenti, amit τ ⟩ t ⟩ ττ d+

időintervallum alatt működő, zérustól különböző peremfeltételek okoznak. .

( ) ( ) τψτψψψττψτψψ dt

dt

dtzyxtzyxd∂∂

=

∂∂

−−=−−−−= ,,,,,,

Viszont a keresett ( )t,z,y,xψψ = megoldás nem más, mint a zérus kezdőfeltételhez

viszonyított azon megváltozás, amit éppen a t≤≤τ0 időintervallum alatt működésbe lévő

peremfeltételek okoznak. Ebből következően tehát, ha az előbbi elemi megváltozást erre az

időintervallumra integráljuk, akkor megkapjuk a második részfeladat keresett ( )t,z,y,xψψ =

megoldását:

( ) ( )∫ −∂∂

=t

dt,,z,y,xt

t,z,y,x0

τττψψ .

Ezzel az eredeti feladat megoldása a következő lesz:

( ) ( ) ( )∫ −∂∂

+=t

dt,,z,y,xt

t,z,y,xt,z,y,xT0

τττψϕ .

15

Többdimenziós feladatok visszavezetése egydimenziós feladatok szorzatára

Az egydimenziós feladatok megoldása viszonylag egyszerű matematikai eszközökkel

érhető el. Ezért nagy jelentőséggel bírnak azok a módszerek, melyek segítségével többdimenziós

feladatok megoldása visszavezethető egydimenziós hővezetési feladatok megoldására. Az egyik

ilyen módszer egydimenziós feladatok megoldásának szorzataként állítja elő a többdimenziós

feladat megoldását.

A megoldandó instacionárius hővezetési differenciálegyenlet az 321 x,x,x derékszögű

koordinátarendszer egy meghatározott tartományában a következő:

0123

2

22

2

21

2

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

tT

axT

xT

xT ia ⟩ ix ⟩ ib ( )321 ,,i =

a kezdeti feltétel: ( ) ( )321321 0 x,x,xfx,x,xT =

a peremfeltételek: ( )ii

ii

axiaxi

t,x,x,xThxT

==

−∂∂

321 ( )3,2,1=i

( )ii

ii

bxibxi

t,x,x,xThxT

==

′+∂∂

321 ( )3,2,1=i .

A peremfeltételi egyenletekben

i

iih

λα

= és i

iih

λα′′

=′

a konvektív hőátadási tényező és a hővezetési tényező hányadosa.

Ennek a háromdimenziós feladatnak a megoldása három olyan egydimenziós feladat

( )t,xT ii megoldásának szorzataként állítható elő, melynek a matematikai megfogalmazása a

következő:

0121

2

=∂∂

−∂∂

tT

axT ii ia ⟩ ix ⟩ ib ( )321 ,,i =

16

a kezdeti feltétel: ( ) ( )iii xf,xT =01

a peremfeltételek: ( )ii

ii

axiiaxi

i t,xThxT

==

−∂∂ ( )321 ,,i =

( )ii

ii

bxiibxi

i t,xThxT

==

′+∂∂ ( )321 ,,i = .

Az ( )ii xf kezdőfeltételek szorzata szükségképpen az eredeti kezdőfeltételt szolgáltatja:

( ) ( ) ( ) ( )332211321 xf.xf.xfx,x,xf = . Ezekkel az eredeti háromdimenziós feladat megoldása az alábbi függvényszorzat lesz: ( ) ( ) ( ) ( )txTtxTtxTtxxxT ,.,.,,,, 332211321 = .

Ezt a megoldást visszahelyettesítve az eredeti differenciálegyenletbe és peremfeltételekbe

a következő egyenletek adódnak:

0111 323

32

2132

22

22

1321

21

12

=

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

tT

axTTTT

tT

axTTTT

tT

axT

011 =

−

∂∂

+− iiii

ii TTh

xTT ii ax = 321 ,,i =

011 =

+−

∂∂

+− ii'i

i

ii TTh

xTT ii bx = 321 ,,i =

Tehát a szorzat alakban előállított megoldás az eredeti differenciálegyenletet a

hozzátartozó kezdeti és peremfeltételekkel együtt kielégíti. Természetesen a vázolt megoldási

módszer első és második peremfeltétel esetén is érvényes.

Ha a differenciálegyenlet peremfeltételei a különböző koordináta irányokra merőleges

síkokban különbözőek, akkor az egydimenziós feladat peremfeltételei is különböznek, de a

megoldás akkor is előállítható az egydimenziós feladatok megoldásainak szorzataként.

17

A hővezetési differenciálegyenlet numerikus megoldása

Ha a termikus paraméterek (fajhő, sűrűség, hővezetési tényező, konvektív hőátadási

tényező) függetlenek a hőmérséklettől, valamint a peremfeltételek lineárisak, akkor – különösen

egyszerű alakú geometriai testek esetén – különféle matematikai módszerek alkalmazásával

lehetséges a hővezetési differenciálegyenlet egzakt megoldásának előállítása.

Viszont ha termikus paraméterek a hőmérséklet függvényei, vagy a peremfeltételek nem

lineárisak, vagy test – melyben a hővezetési folyamat lejátszódik - bonyolult geometriai alakzatú,

akkor szinte kizárólag valamilyen numerikus módszer segítségével állítható elő a feladat közelítő

megoldása. Ilyen közelítő eljárás a nagyon gyakran használt véges differenciák módszere.

A véges differenciák módszerének alkalmazásakor a differenciálegyenletet és a kezdeti,

valamint peremfeltételeket differenciaegyenletté alakítják. A hővezetési feladat megoldása ezután

egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldására vezethető vissza.

Az alkalmazott differenciák többfélék lehetnek. Egy ( )xyy = egyváltozós függvényen

bemutatva, a következő differenciák definiálhatók:

elsőrendű haladó differenciák kkk yyy −=∆ +1 ,

másodrendű haladó differenciák kkkkkk yyyyyy +−=∆−∆=∆ +++ 1212 2 ,

elsőrendű retreográd differenciák 1−−=∆ kkk yyy ,

másodrendű retrográd differenciák 2112 2 −−− +−=∆−∆=∆ kkkkkk yyyyyy ,

elsőrendű centrális differenciák 21

21

−+−=∆

kkk yyy ,

másodrendű centrális differenciák 1112 2 −++ +−=∆−∆=∆ kkkkkk yyyyyy .

A véges differenciák módszere a hővezetési feladatok széles körére alkalmazható, mint

hatásos eszköze a jól közelítő numerikus módszereknek. Ezzel sokszor olyan nemlineáris

hővezetési feladatok is megoldhatók, amelyeknek egzakt matematikai megoldása reménytelen.

18

Heat Conduction

teaching material

19

HEAT CONDUCTION

Three modes of heat transfer may be distinguished: conduction, convection and radiation.

Conduction is the mode of heat transfer in which energy is transferred on a molecular scale with

no movement of macroscopic portions of matter relative to one another.

The differential equation of heat conduction

The differential equation of heat conduction for a stationary, homogeneous, isotropic solid

with heat generation within the body is

( ) ( )t,rgTgraddivtTcp

+=

∂∂ λρ

In the equation λ is called the thermal conductivity of the material which is a positive,

scalar quantity. In the case anisotropic solids the thermal conductivity involves nine components

of a second-order tensor. The heat generation may be due to nuclear, electrical, chemical,

gamma-ray, or other sources. The heat generation rate in the medium, generally specified as heat

generation per unit time, per unit volume, is denoted by the symbol ( )t,rg . When the density ρ ,

the specific heat at constant pressure pc and the thermal conductivity λ are assumed to be

constant (i. e. independent of position and temperature), the differential equation of heat

conduction simplifies to

pcgta

tT

ρ+∆=

∂∂ ,

where:

pca

ρλ

=

the thermal diffusivity.

The heat conduction problem becomes nonlinear either due to the nonlinearity of the

differential equation or the boundary conditions or both. The difficulty in the analysis of

nonlinear problems is due to the fact that no general theory is yet available for the solution of

20

nonlinear partial differential equation. Each problem should be treated individually and the

principle of superposition being not applicable.

When the density ρ , the specific heat at constant pressure pc and the thermal

conductivity λ are assumed to depend on temperature, but the heat generation ( )t,rg is

independent of temperature, then a change of the dependent variable by means of the Kirchoff

transformation will remove the thermal conductivity outside the differential operator. A new

dependent variable Q is defined according to Kirchoff transformation as

( )∫=

TdQ

0ϑϑλ .

The derivatives are obtained as

tT

tQ

∂∂

=∂∂ λ ( )TQ ∇⋅∇=∆ λ .

The nonlinear partial diffferential equation of heat conduction can be written in the form

( ) ( )( )Qct,rgQQa

tQ

pρ

+∆=

∂∂ .

This equation is still nonlinear because ( )Qa depends on temperature, but it is in a form

that is more suitable for analysis then the original equation.

In the case of steady-state problems, the nonlinear differential equation of heat conduction

is transformed to a linear equation by the Kirchoff tansformation. When no heat generation in the

medium, the equation simplies to the Laplace equation

0=∆Q

The solution of the differential equation ( )t,rTT

= is continuous, differentiable at least

twice function of the time and the position inside the body. But the solution may be discontinuous

function in certain points of the surface of the body.

21

Initial and boundary conditions

The differential equation of heat condition will have numerous solutions unless a set of

boundary conditions and an initial condition (for the time-dependent problem) are prescribed.

The initial condition specifies the temperature distribution in the medium at the origin of

the time coordinate (that is 0=t )

( ) ( )rft,rT ==0 .

Boundary Condition of the First Kind, the Second Kind and the Third Kind

The boundary conditions specify the temperature or the heat flow at the boundaries of the

region.

Boundary Condition of the First Kind

Temperature is prescribed along the boundary surface. For general case it is a function of

both time and position and represented in the form

( ) ( )t,rft,rT i,Ai

1= .

Special cases include temperature at the boundary surface as a function of position only

( )t,rf i,

1 , or a function of time, or a constant. If the temparature at the boundary surface vanishes,

we have

( ) 0=

iAt,rT .

This special case is called the homogeneous boundary condition of the first kind.

Boundary Condition of the Second Kind

The normal derivative of temperature is prescribed at the boundary surface, and it may be

a function of both time and position. It is given in the form

( )t,rfnT

i,Ai

i

2=

∂∂

22

If the normal derivative of temperature at the boundary surface vanishes, we have

.nT

iAi

0=∂∂

This special case is called the homogeneous boundary condition of the second kind. Boundary Condition of the Third Kind

A linear combination of the temperature and its normal derivative is prescribed at the

boundary surface:

( ) ( )t,rfTTnT

i,KAiAi

i ii

i

3=−+

∂∂ αλ .

A special case is

( ) 0=−+∂∂

ii

i

KAiAi

i TTnT αλ

which is called the homogeneous boundary condition of the third kind.

The three types of boundary conditions cover most cases of practical interest and they are

all linear boundary conditions.

Nonlinear boundary conditions

In engineering applications are nonlinear boundary conditions. For example the boundary

condition of third kind is nonlinear, if the thermal conductivity or heat transfer coefficient or both

are function of temperature:

( ) ( )( ) ( )t,rfTTTnTT i,KAi

Aii ii

i

3=−+

∂∂ αλ .

In practice the linearization of the boundary condition is applied because of easier

mathematical treatable. The error is inside the allowable limit when the temperature variations

are not too large.

23

The thermal radiation boundary condition with heat transfer obeying the fourth-power

law. Such boundary conditions are nonlinear because a power of temperature enters the boundary

condition:

044 =

−+

∂∂

KAA

TTnT

ii

λεσ .

In the equation σ is the Stefan-Boltzmann constant, ε is the emissivity of the surface and

KT is the temperature of the sorroundings.

Combined boundary conditions

Many times the combined boundary conditions are necessary. In this case the additional

conditions are given to complete the original (first of kind or second of kind or third of kind)

boundary conditions.

Boundary conditions for connected bodies.

When the two connected bodies have different thermal conductivity, combined boundary

condition is necessary. In this case the heat fluxes are the same at the both sides of connected

surfaces:

1 2

1 21 2

A A

T Tn n

λ λ∂ ∂=

∂ ∂.

But this condition are not enough. It is necessary to give the temperatures of the

connected surfaces. If there are no heat covection between the connected surfaces, the

temperature of connected surfaces are equal to each other.

21 AATT = .

If the convection between the connected surfaces can not be neglected, the temperatures

are different

21 AATT ≠

24

and the relation between the heat fluxes can be written as

( )2

12

1

21A

AAA n

TTTnT

∂∂

=−=∂∂ λαλ .

Boundary conditions for phase change

The other type of combined boundary condition when the heat conduction is accompanied

with phases change. In the interface the thermical properties and/or their derivatives do not

change continuously. The changes requirement the additional conditions.

For cooling the direction of heat flux in liquid phase is towards interface, in solid phase is

opposite direction. Besides the heat flux in solid phase is increased with the heat liberated at

phase change. For heating the process takes place in opposite direction.

During elemental time dt the interface is moving in normal direction to surface with the

elemental distance Sdx then the liberated elemental heat in the thick layer Sdx

SS dxAqdQ ρ=

where Sq is the latent heat of solidification (or melting). The heat transferred

dtdxAqQ S

S ρ= .

At interface this heat is added to heat flux towards the solid phase. The boundary

condition for heat fuxes at the interface can be written as

dtdx

qx

Tx

T SSρλλ +

∂∂

=∂∂ 1

12

2 .

In the equation the index 1 means properties of liquid phase, the index 2 means the

properties of solid phase. Since the body connecteg at the intarface have different thermal

conductivity, an additional boundary conduction is necessary. For example in one-dimensional

heat conduction

( ) ( ) SsS TtxTtxT == ,, 21 ,

25

Where ST th emelting (or solidification) temperature. At the interface the temperature

distribution is a continuous function, but its derivatives is not continuous.

These two examples show that in practice the heat conduction problems may require the

combined boundary conditions. In this case an additional boundary conditions is given besides

first kind or second kind or third kind bondary condition.

Splitting up of genaral heat conduction problems into simplier problems

If the heat conduction problem is linear, then the more complicated problems can split up

into simpler problems.

Steady-state bondary conditions

The surface temperatue, the heat flux and the surroundins temperature are constant. The

heat cunduction problem with no heat generation in the rectangular coordinate system ( )z,y,x is

given as

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zT

yT

xTa

tT .

The initial condition is

( ) ( )z,y,xf,z,y,xT =0 .

The boundary conditions:

the first kind ( ) )z,y,x(ft,z,y,xT

iiiiii AAAi,AAA 1=

the second kind: ( )iii

i

AAAi,A

z,y,xfnT

2=∂∂

the third kind: ( )[ ] 0=−+∂∂

KAAAA

Tz,y,xTnT

iii

i

αλ .

26

In the equations iii AAA z,y,x the coordinates of the points of surface and KT is assumed to

be independent of time, but it may be function of position. Of course from the boundary

conditions always only one is prescribed.

In this case the solution of heat conduction problem is the sum of the solution of steady-

state problem ( )z,y,xϕ and the solution of the time-dependent problem with zero initial and

surroundings temperatures ( )t,z,y,xψ :

( ) ( ) ( )t,z,y,xz,y,xt,z,y,xT ψϕ += .

Substituted the solution into the original partial differential equation, it splits into two

simpler problems.

Steady-state problem The partial differential equation

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zyxϕϕϕ

Boundary conditions the first kind ( ) )z,y,x(fz,y,x

iiiiii AAAi,AAA 1=ϕ

the second kind: ( )iii

i

AAAi,A

z,y,xfn 2=

∂∂ϕ

the third kind ( )[ ] 0=−+∂∂

KAAAA

Tz,y,xn iii

i

ϕαϕλ .

The solution of steady-state problem is: ( )z,y,xϕϕ = .

Time dependent problems The partial differential equation:

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zyxa

tψψψψ .

27

The initial condition: ( ) ( ) ( )z,y,xz,y,xf,z,y,x ϕψ −=0 .

The boundary conditions:

the first kind ( ) 0=t,z,y,x

iii AAAψ

the second kind: 0=∂∂

iAnψ

the third kind: ( ) 0=+∂∂

iii

i

A,AAA

zy,xn

ψαψλ .

The solution of time-dependent heat conduction problem: ( )t,z,y,xψψ =

First the solution of steady-state problem has to be found because the initial condition of

time-dependent problem contains the solution of steady-state problem.

Time-dependent boundary conditions

The linear heat cunduction problem with no heat generation in the rectangular coordinate

system ( )z,y,x is given as

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zT

yT

xTa

tT .

The initial condition: ( ) ( )z,y,xf,z,y,xT =0 .

The boundary conditions:

the first kind ( ) )t,z,y,x(ft,z,y,xT

iiiiii AAAi,AAA 1=

the second kind: ( )t,z,y,xfnT

iii

i

AAAi,A

2=∂∂

the third kind: ( ) ( )[ ] 0=−+∂∂ t,z,yxTt,z,y,xT

nT

iiiiii

i

AA,AKAAAA

αλ .

28

From the boundary condition always only one is given. The solution of time-dependent heat conduction problem is the sum of

- the solution of time-dependent problem with the original initial condition and

homogeneous boundary conditions ( )t,z,y,xϕϕ = and

- the solution of time-dependent heat condition problem with zero initial condition and

time-dependent boundary condition respectively time-dependent sorroundings

temperature ( )t,z,y,xψψ =

The solution is given as:

( ) ( ) ( )t,z,yxt,z,y,xt,z,y,xT ψϕ += .

Substituted the solution into the original partial differential equation, it splits into two

simpler problems.

Time-dependent heat conduction problem with homogeneous boundary conditions

The partial differential equation:

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zyxa

tϕϕϕϕ .

The initial condition: ( ) ( )zyxfzyx ,,0,,, =ϕ .

The boundary conditions:

the first kind ( ) 0,,, =tzyx

iii AAAϕ

the second kind: 0=∂∂

iAnϕ

the third kind: ( ) 0,,, =+∂∂ tzyx

n iii

i

AAAA

ϕαϕλ .

The solution is: ( )tzyx ,,,ϕϕ = .

29

Time-dependent heat conduction problem with zero initial condition.

Since the initial condition of the previous problem and the original problem was the same,

the second problem has zero initial condition.

The partial differential equation:

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zyxa

tψψψψ .

The initial condition: ( ) 00,,, =zyxψ .

The boundary conditions:

the first kind ( ) ),,,(,,, ,1 tzyxftzyxiiiiii AAAiAAA =ψ

the second kind: ( )tzyxfn iii

i

AAAiA

,,,,2=∂∂ψ

the third kind: ( ) ( )[ ] 0,,,,, , =−+∂∂ tzyxtzyx

n iiiiii

i

AAAKAAAA

ψψαψλ .

The solution of this problem is: ( )t,z,y,xψψ = . The solution can be found by use of

Duhamel’s theorem.

By the Duhamel’s theorem the partial differential equation is solved assumed

.constt ==τ that is the boundary condition does not depend on time. The variable τ is merely a parameter but

not a time variable. In this case the solution of the time-dependent heat conduction problem

means a temperature distribution at moment. This solution is given as

( )t,z,y,xψψ =

It is assumed, that the time-dependent boundary conditions for solution ψ are not valid

before τ=t . At moment τ=t the time-dependent boundary conditions are valid suddenly and

then remain valid.

30

The solution for this case is given as

( )τψψ dt,z,y,x −= t ⟩ τ

If the time-dependent boundary conditions are valid suddenly at moment ττ dt += and

then remain valid, the solution for this case is given as

( )ττψψ dt,z,y,x −−= t ⟩ ττ d+

The difference of the two solutions means the elemental change ψd because of the not

zero time-dependent boundary conditions at interval τ ⟩ t ⟩ ττ d+ .

( ) ( ) τψτψψψττψτψψ dt

dt

dt,z,y,xt,z,y,xd∂∂

=

∂∂

−−=−−−−=

But the found solution ( )t,z,y,xψψ = is the change are caused the time-dependent

boundary condition at interval t≤≤τ0 compared to zero initial condition. For this the solution of

heat conduction problem with time-dependent boundary conditions and zero initial condition

( )t,z,y,xψψ = is found integrated the elemental change for the interval t≤≤τ0

( ) ( )∫ −∂∂

=t

dt,,z,y,xt

t,z,y,x0

τττψψ

The solution of the original heat conduction problem can be written as

( ) ( ) ( )∫ −∂∂

+=t

dt,,z,y,xt

t,z,y,xt,z,y,xT0

τττψϕ .

The solution of the multidimensional problems as the product of solution of one- dimensional problems

The solution of the one-dimensional problems can be found with application of relatively

simple mathemathical methods. For this the those methods are very important by means of

solution of the multidimensional problems can be found as product of solution of one-

dimensional problems.

31

The partial differential equation in the region of the rectangular coordinate system

321 x,x,x is given as:

0123

2

22

2

21

2

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

tT

axT

xT

xT ia ⟩ ix ⟩ ib ( )321 ,,i =

The initial condition: ( ) ( )321321 0 x,x,xfx,x,xT =

The boundary conditions: ( )ii

ii

axiaxi

t,x,x,xThxT

==

−∂∂

321 ( )321 ,,i =

( )ii

ii

bxibxi

t,x,x,xThxT

==

′+∂∂

321 ( )321 ,,i = .

In the equations h and h′ are defined as

i

iih

λα

= és i

iih

λα′′

=′

The solution of the heat conduction problem can be found as the product of solutions of

three one-dimensional problems ( )t,xT ii . The mathematical formulation of the one-dimensional

heat conduction problem is given as

0121

2

=∂∂

−∂∂

tT

axT ii ia ⟩ ix ⟩ ib ( )321 ,,i =

the initial condition: ( ) ( )iii xf,xT =01

the boundary condition: ( )ii

ii

axiiaxi

i t,xThxT

==

−∂∂ ( )321 ,,i =

( )ii

ii

bxiibxi

i t,xThxT

==

′+∂∂ ( )3,2,1=i .

The product of the initial conditions ( )ii xf equal to the original initial condition, that is

( ) ( ) ( ) ( )332211321 xf.xf.xfx,x,xf = .

32

The solution of the original three-dimensional heat conduction problem can be written as

a product of the solution of one-dimensional heat conduction problems in the form:

( ) ( ) ( ) ( )t,xTt,xTt,xTt,x,x,xT 332211321 = .

Substituted the solution into the original three dimensional partial differential equation

and its boundary conditions the following equations are obtained

0111 323

32

2132

22

22

1321

21

12

=

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

tT

axTTTT

tT

axTTTT

tT

axT

011 =

−

∂∂

+− iiii

ii TTh

xTT ii ax = 321 ,,i =

011 =

+−

∂∂

+− ii'i

i

ii TTh

xTT ii bx = 321 ,,i =

The product solution satisfies the original partial differential equation together with its

initial and boundary conditions.

This method can be applied for the first kind and the second kind boundary conditions

too.

If the boundary conditions of the partial differential equation are different in the direction

normal to the coordinate plane, the solution can be found as the product of solution of the one-

dimensional heat conduction problem in that case too.

Numerical methods of solution

If the thermical coefficients (specific heat at constant pressure, density, thermal

conductivity, convection haet transfer coefficient) do not depend on temperature, the boundary

conditions are linear ones and the bodies have simple geometries, then the exact solution of

partial differential equation of the heat conduction can be found applied different mathemathical

methods.

If the thermical coefficients depend on temperature, the problems have nonlinear

boundary conditions and the geometry of bodies are comlex, then the approximate solutions can

33

be found with the aid if the some numerical methods. One of the often applied methods is the

finite-difference method.

Applied the finite-difference method the partial differential equation, the initial and

boundary conditions are written in the finite-difference form. The solution of partial differential

equation is reduced to the solution of a set of simultaneous algebric equations for the unknown

tmperatures at the nodes of the network constructed over the region.

The applied finete-differences may be different. For one variable function the following

finite differences can be defined:

first-order foward difference kkk yyy −=∆ +1 second-order forward difference kkkkkk yyyyyy +−=∆−∆=∆ +++ 121

2 2 first-order backward difference 1−−=∆ kkk yyy second-order backward difference 211

2 2 −−− +−=∆−∆=∆ kkkkkk yyyyyy first-order central difference

21

21

−+−=∆

kkk yyy

second-order central difference 1112 2 −++ +−=∆−∆=∆ kkkkkk yyyyyy

The finite-difference method is one of the best appriximate methods. It can be used within

wide bounds of heat conduction problems. It is often hopeless to find the solution of the nonlinear

heat conduction problems by means exact mathematical methods, but the finite-difference

method can be applied.