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Facoltà di Ingegneria Civile ed Industriale

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Teoria di Prandtl per l’ala finita

Relatore: Candidato:

Prof. Paolo Gualtieri Marco Siniscalco

N° di matricola 1390662

Anno Accademico 2013/2014

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Indice

I. Introduzione……………………………………………………………….pag.4

II. Impostazione del problema…………………………………………pag.5

III. Sviluppo della teoria di Prandtl…………………………………....pag.8

IV. Forze Aerodinamiche…………………………………………………..pag.11

V. Distribuzione della portanza ellittica……………………………pag.13

VI. Conclusioni…………………………………………………………………pag.17

VII. Bibliografia…………………………………………………………………pag.18

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I. Introduzione

Lo scopo del presente elaborato è quello di analizzare ed approfondire gli argomenti base che

hanno portato allo sviluppo degli studi che meglio descrivono il comportamento di un profilo

alare in tre dimensioni. La teoria della linea portante, sviluppata dal fisico Ludwig Prandtl,

rappresenta uno dei modelli più validi nella definizione del comportamento della sezione

alare di un velivolo attraverso un fluido perfetto, irrotazionale e incomprimibile. Il suo

successo fu legato alla capacità di sfruttare i modelli di chi, prima di lui, aveva tentato di

applicare al caso tridimensionale le conoscenze apprese da un profilo bidimensionale. Il saper

rispondere alle fondamentali domande

“come distribuire il valore della

circolazione lungo l’ala” e “come legare la

distribuzione di circolazione con la vorticità

lungo l’ala” fu alla base del successo della

teoria di Prandtl. Egli focalizzò inoltre

l’attenzione sull’effetto che la vorticità

potesse avere sulle prestazioni di un

aeromobile in termini di resistenza.

Entriamo nello specifico affermando che aerodinamicamente il flusso ha un comportamento

tridimensionale. Infatti, mentre in un’ala infinita la corrente è sviluppata in due dimensioni, in

quanto la velocità di ciascuna particella è caratterizzata da una componente nulla in direzione

parallela all’apertura (e l’andamento delle linee di corrente è sempre lo stesso in ciascun

piano parallelo alla corrente), nell’ala finita l’andamento della corrente varia da sezione a

sezione, assumendo caratteristiche di tridimensionalità. I ripetuti studi hanno dimostrato che,

a parità di angolo d’attacco, l’ala assume un comportamento tridimensionale. È infatti

possibile notare sostanziali modifiche nelle proprietà aerodinamiche, rappresentate dalla

diminuzione della portanza e aumento della resistenza, le quali si accentuano ancor di più al

diminuire dell’allungamento alare.

Per la comprensione completa dell’argomento sarà necessario introdurre come primo

concetto base il calcolo della corrente a potenziale. Il problema può essere affrontato tramite

l’equazione di Laplace

𝛻2𝜑 = 0

con condizioni al contorno, sulla superficie del corpo

(𝑈∞ + ∇𝜑) ∙ 𝑛 = 0 → ∇𝜑 ∙ 𝑛 = −𝑈∞ ∙ 𝑛

Figura 1. Vortice di scia

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e sulla superficie della scia

(𝑈∞ + ∇𝜑1) ∙ 𝑛𝑤 = (𝑈∞ + ∇𝜑2) ∙ 𝑛𝑤 = 0

che ci permettono di esprimere l’uguaglianza

∇𝜑1 ∙ 𝑛𝑤 = ∇𝜑2 ∙ 𝑛𝑤

(∇𝜑2 − ∇𝜑1) ∙ 𝑛𝑤 = 𝜕(𝜑2 − 𝜑1)

𝜕𝑛𝑤= 0

e la differenza di pressione nulla sulla scia

∆𝑝𝑤 = 0

che in termini di velocità risulta essere

𝑉22 − 𝑉1

2 = [(𝑈∞ + ∇𝜑2) − (𝑈∞ + ∇𝜑1)] ∙ 𝑉𝑤 = ∇(𝜑2 − 𝜑1) ∙ 𝑉𝑤 = 0

Quest’ultima equazione afferma semplicemente che nel caso stazionario il salto di potenziale

si mantiene costante seguendo una particella trasportata con velocità pari a 𝑉𝑤 . Il problema

proposto dalla formula di Laplace e dalle condizioni al contorno è noto come problema

esterno di Neumann per l’equazione di Laplace. Questo deve essere risolto su un generico

corpo con superficie 𝑆𝐵 per il contorno e superficie 𝑆𝑤 per la scia. Basandoci sull’equazione

del potenziale data da

𝛷(𝑃) = −1

4𝜋∫ [𝜎 (

1

𝑟) − 𝜇

𝜕

𝜕𝑛(

1

𝑟)] 𝑑𝑆

𝑆𝐵

+1

4𝜋∫ [𝜇

𝜕

𝜕𝑛(

1

𝑟)]

𝑆𝑊

𝑑𝑆 + 𝛷∞(𝑃)

allo scopo di valutare il campo di velocità, questa equazione viene derivata ottenendo

∇𝛷 = −1

4𝜋∫ 𝜎∇ (

1

𝑟) 𝑑𝑆

𝑆𝐵

+1

4𝜋∫ 𝜇∇ [

𝜕

𝜕𝑛(

1

𝑟)]

𝑆𝐵+𝑆𝑊

𝑑𝑆 + ∇𝛷∞

Se sostituissimo questa formula nella condizione al contorno ∇Φ∙n=0 si avrebbe la possibilità

di ricavare la distribuzione singolare sconosciuta.

II. Impostazione del problema

La causa prima della generazione di vorticità lungo l’ala risulta essere la differenza di

pressione che si viene a creare tra dorso e ventre del profilo. Tramite questo squilibrio è

possibile spiegare la portanza. Il dorso è in depressione rispetto al ventre con conseguente

generazione di una forza verso l’alto. È qui che si evidenzia una prima grande differenza tra

l’ala finita e quella infinita. Diversamente da quanto accade per i profili analizzati in due

dimensioni, nell’ala di apertura finita la zona di separazione tra le due superfici si interrompe

all’estremità alare e qui il fluido tende a muoversi dal basso verso l’alto proprio per la

differenza di pressione lungo il profilo, che può essere osservata in Figura 2. Questo

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fenomeno dà luogo alla

formazione di un movimento

vorticoso che genera quindi la scia

a valle delle due estremità. Quanto

detto sembra far venir meno il

discorso fatto sul potenziale.

Siamo, in realtà, in presenza di una corrente “quasi a potenziale”, in tutto il campo il moto è

irrotazionale eccetto che in corrispondenza delle superfici di discontinuità per la velocità,

ovvero sulla scia.

Risulta importante ai fini della trattazione prendere d’esempio il problema di un ala con

spessore zero, angolo d’attacco e di camber (inclinazione alare) diversi da zero. Nella

valutazione di questo quesito ci avvaliamo della classica formula di Laplace

𝛻2𝜑 = 0

con le condizioni al bordo che richiedono che sia

𝜕𝛷

𝜕𝑧= 𝑄∞ (

𝜕𝜂

𝜕𝑥− 𝛼)

Avremo perciò un problema antisimmetrico rispetto all’asse z che può essere risolto tramite il

modello della distribuzione della linea di vortice. Nel definire meglio questo metodo, si deve

prima di tutto chiarire che le linee di vortice non possono né nascere né morire nel fluido, per

questo motivo dovranno svanire nel flusso. Al fine di non generare forze nel fluido, è

necessario che questi vortici liberi risultino essere paralleli al flusso in ogni punto della scia.

𝑄 × 𝛤 = 0

Per descrivere questo metodo, studiamo quindi il campo di velocità associato alla presenza di

un vortice rettilineo. La relazione utilizzata per verificare il campo su un tratto infinitesimo di

lunghezza dl in una zona vorticosa Γ è la legge di Biot Savart

∆𝑞 = −∆𝛤

4𝜋 𝑟 x 𝑑𝑙

𝑟3

Denotando i vortici distribuiti su ala e scia come 𝛾𝑥 quelli nella direzione x e 𝛾𝑦 quelli diretti

nella direzione y, l’azione di rotazione del fluido provocata da questi nell’intorno dell’ala

induce una componente di velocità ortogonale al piano dell’ala e diretta verso il basso,

denominata downwash (w) o velocità indotta

𝑤 = −1

4𝜋∫

𝛾𝑦(𝑥 − 𝑥0) + 𝛾𝑥(𝑦 − 𝑦0)

𝑟3𝑤𝑖𝑛𝑔+𝑤𝑎𝑘𝑒

𝑑𝑥0𝑑𝑦0

Figura 2. Differenza di pressione lungo l’ala

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Inizialmente le incognite all’interno di questa formula sembrerebbero essere due, ma

rifacendoci al teorema di Helmholtz possiamo sostenere che la forza del vortice è costante

lungo la sua linea. Dunque, tenendo conto della somma di tutti i contributi infinitesimali,

sull’ala risulterà essere 𝜕𝛾𝑥

𝜕𝑦=

𝜕𝛾𝑦

𝜕𝑥 e l’incognita è ridotta a una sola. È necessario infine

specificare come viene ricavata la superficie di portanza per il γ ignoto. La velocità indotta

dovrà essere uguale ed opposta in segno alla velocità del flusso libero

−1

4𝜋∫

𝛾𝑦(𝑥 − 𝑥0) + 𝛾𝑥(𝑦 − 𝑦0)

𝑟3𝑤𝑖𝑛𝑔+𝑤𝑎𝑘𝑒

𝑑𝑥0𝑑𝑦0 = Q∞ (∂η

∂x− α)

Grazie alla formula appena desunta avremo la possibilità di calcolare la distribuzione di

velocità.

Proprio il presente legame tra velocità e pressione è sempre al centro di ogni analisi fatta su di

una superficie investita da un flusso. Nell’analizzare un profilo sottoposto ad una corrente

fluida vi sono diverse configurazioni in cui si viene a

disporre il punto di ristagno lungo l’ala. Questa

posizione è determinata dal valore di circolazione Γ

che noi introduciamo nel problema. Osservando

quanto mostrato in Figura 3, è facile vedere come la

migliore configurazione risulti essere la (b), in base

anche a quanto stabilito dalla condizione di Kutta.

Infatti, in questo caso il punto di ristagno è

coincidente con l’estremo dell’ala, di conseguenza, il

flusso lascia la punta gentilmente e con velocità finita.

Le componenti delle velocità normali incontrandosi

all’estremo tenderanno ad annullarsi, così come il

gradiente di pressione ∆𝑃𝑇.𝐸. = 0 e la circolazione

𝛾𝑇.𝐸. = 0 . Vedremo più avanti nella trattazione come

per poter sviluppare portanza sia necessario avere

circolazione.

Se assumiamo la presenza di vortici detti aderenti (bound vortex) lungo la superficie dell’ala

la forza vorticosa di questi deve essere obbligatoriamente costante lungo la superficie, poiché

per il teorema di Helmholtz le linee di vortice non possono né terminare né cominciare in un

fluido e ad ogni cambiamento di 𝛾𝑦 corrisponde un egual variazione di 𝛾𝑥 . Affinché sia

verificata l’affermazione precedente è necessario che la vorticità non termini sull’estremo del

Figura 3. Punto di ristagno

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profilo ma si disperda oltre l’ala, lungo la coda. La forma della scia si definisce come uno strato

di vorticità differente dai “bound vortex” e generato da vortici liberi (trailing vortex). La

distinzione è basata sull’assenza di carichi creati lungo la scia stessa. È infatti facile osservare

come la differenza di pressione sia nulla lungo di essa

∆𝑃 = 𝜌𝑞 × 𝛾 = 0

poiché la velocità q e i vortici di scia sono paralleli.

III. Sviluppo della teoria di Prandtl

I teoremi sopracitati sono le linee guida per lo sviluppo della trattazione e dello studio portati

avanti da Prandtl. Infatti, grazie ad essi, abbiamo gli strumenti necessari per poter

comprendere il funzionamento di un ala di apertura

finita.

Prendiamo un profilo che generi portanza e

consideriamo le sue sezioni mediante piani paralleli

fra loro e normali all’asse z dell’ala, come mostrato

in Figura 4. A ciascuna sezione corrisponderà una

portanza per unità di apertura, la quale, una volta

integrata su tutto il profilo, ci fornirà il valore della

portanza totale elargita. In base al teorema di

Kutta-Joukowski, ad una portanza locale corrisponde

la presenza di una circolazione locale pari a

𝛤(𝑧) = −𝑙(𝑧)

𝜌𝑈

che deve avere valore costante, poiché ad ogni cambiamento di valore di γ in una direzione

corrisponde una variazione uguale dell’altra componente.

Appare legittimo domandarsi cosa accada ai vortici agli estremi dell’ala: la soluzione fisica più

naturale è la dispersione di questa vorticità nella scia di coda in modo tale che nessuna forza

agisca sui vortici. Tale condizione è verificata se circolazione e velocità risulteranno essere

paralleli sull’estrema punta. Analizzando qualitativamente la corrente intorno alle estremità

dell’ala, risulta chiaro come sia facile osservare la formazione di due vortici rettilinei semi-

infiniti allineati con la direzione della velocità esterna che contribuiscono a formare una scia

vorticosa dietro l’ala. L’insieme dei vortici aderenti di lunghezza finita lungo la superficie alare

(bound vortex) e dei due vortici con rotazione opposta che si estendono dalle estremità verso

Figura 4. Piani normali all’asse z

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l’infinito (trailing vortex) viene

schematizzato come un unico

vortice il quale prende il nome di

“horseshoe” o ferro di cavallo per

la sua forma ad U come mostrato

in Figura 5. Questa configurazione

presenta un limite che non la

rende applicabile alla realtà.

Osservando la formula della

velocità indotta si può realizzare

come questo contributo tenda

all’infinito nei pressi dell’estremità del vortice portante. È qui che Prandtl intervenne in

maniera decisiva per poter completare il modello. Egli risolse il problema, non utilizzando un

unico vortice a staffa, ma sovrapponendo diversi vortici a ferro di cavallo di forza differente e

aventi il “bound vortex” sempre sulla stessa linea detta linea portante. La distribuzione della

vorticità lungo la linea portante, che dà il nome all’intera trattazione, presenta una

ripartizione a gradini. Ad essa sono legate le coppie di vortici che partono dal profilo e si

disperdono in coda. Non vi è dubbio che vi sia uno stretto legame tra fra la circolazione Γ e la

circolazione presente nella scia. Si può affermare che:

La vorticità totale dell’ala è pari alla somma totale della vorticità sulla linea portante

poiché i vortici di coda non danno contributo.

La forza dei vortici di coda è pari alla variazione della forza dei vortici aderenti.

È possibile osservare la rappresentazione di questo fenomeno in Figura 6.

Dopo aver definito le

caratteristiche fondamen-

tali che sono alla base della

teoria di Prandtl, ci

apprestiamo a considerare

adesso il campo di moto

associato allo schema di

vortici prodotto nella scia. La condizione al bordo risulta essere data dalla relazione

𝜕𝛷𝑎𝑙𝑎

𝜕𝑦+

𝜕𝛷𝑠𝑐𝑖𝑎

𝜕𝑦+ 𝑄∞𝛼 = 𝑤𝑏 + 𝑤𝑖 + 𝑄∞𝛼 = 0

Figura 5. Horseshoe o ferro di cavallo

Figura 6. Schema linea portante e vortici liberi

10

dove con 𝑤𝑏 e 𝑤𝑖 ci riferiamo rispettivamente alla

componente di velocità normale indotta dall’ala e dalla scia

mentre con 𝑄∞𝛼 al flusso libero. Per quanto riguarda il

dominio di velocità introduciamo un sistema di riferimento

uguale a quello utilizzato in Figura 7. La nostra attenzione si

focalizzerà in particolare a calcolare la velocità indotta in corrispondenza del vortice di

lunghezza finita schematizzato sull’ala, detto anche vortice portante. L’asse x è orientato come

la velocità 𝑄∞ , l’asse z è diretto come l’asse dell’ala e l’asse y rivolto verso l’alto. Sapendo che i

vortici di scia sono posizionati a −𝑏

2 e +

𝑏

2 si avrà

𝑤𝑖 =1

4𝜋∫

−𝑑𝛤𝑑𝑧

𝑑𝑧0

𝑧 − 𝑧0

𝑏/2

−𝑏/2

la velocità indotta dalla scia, e

𝑤𝑏 = −𝛤(𝑧)

2𝜋𝑐(𝑧)

2

la velocità indotta dall’ala.

In corrispondenza del vortice portante, l’insieme di queste due componenti di velocità andrà a

sommarsi con la velocità della corrente indisturbata, modificando sia la direzione sia

l’intensità della velocità incidente sull’ala. Riportiamo nuovamente la relazione tra le velocità

precedentemente esposta dando una forma più esplicita ai vari contributi contenuti in essa,

avendo diviso tutto per 𝑄∞

−𝛤(𝑧)

2𝜋𝑐(𝑧)

2 𝑄∞

−1

4𝜋𝑄∞∫

𝑑𝛤𝑑𝑧

𝑑𝑧0

𝑧 − 𝑧0+ 𝛼 = 0

𝑏/2

−𝑏/2

Nonostante il fenomeno si produca sulla punta del profilo, esso comunque interessa il flusso

su tutta l’ala modificando quindi le linee di corrente a monte. Si può ben dire che la

generazione di vortici da parte del profilo dell’ala, particolarmente evidente lungo le sue

estremità, provoca una variazione dell’angolo d’attacco dell’ala stessa sottoposta al flusso di

un fluido libero. Da quanto detto, è evidente che questa equazione possa essere vista anche

come una combinazione di angoli (Figura 8)

−𝛼𝑒𝑓𝑓 − 𝛼𝑖 + 𝛼 = 0

dove l’angolo determinato dalla velocità indotta è pari a

𝛼𝑖 ≅−𝑤𝑖

𝑄∞

e l’equazione viene riscritta

Figura 7. Sistema di riferimento

11

𝛼𝑒𝑓𝑓 = 𝛼 − 𝛼𝑖

È possibile quindi affermare

che nel caso di un ala finita

l’effettivo angolo di attacco

risulta essere più piccolo

dell’angolo geometrico ini-

ziale. Il valore di α è infatti

diminuito di un angolo

indotto 𝛼𝑖 , determinato dal

“downwash” sviluppato dalla

scia.

Per rendere la relazione tra gli angoli adatta ad ogni caso è possibile assumere che la sezione

in due dimensioni abbia un’inclinazione della portanza locale pari a 𝑚0 e che il suo effettivo

angolo locale d’attacco sia 𝛼𝑒𝑓𝑓 . Se dovessero essere contati anche gli effetti del camber,

allora il valore effettivo verrebbe misurato dall’angolo di portanza zero della sezione, così che

𝐶𝑙(𝑧) =𝜌𝑄∞𝛤(𝑧)

12 𝜌𝑄∞

2𝑐(𝑧)= 𝑚0(𝑧)𝛼𝑒𝑓𝑓(𝑦)

Pertanto l’espressione degli angoli diventa

𝛼𝑒𝑓𝑓 = 𝛼 − 𝛼𝑖 − 𝛼𝐿0

dove 𝛼𝐿0 è l’angolo a portanza zero dovuto alla sezione di camber.

IV. Forze Aerodinamiche

Come diretta conseguenza del moto di un aeromobile attraverso l’aria si ha uno scambio di

forze tra il fluido e il velivolo che possono essere valutate per mezzo dell’aerodinamica.

Durante il movimento, il fluido esercita sull’aeromobile una forza F dovuta alle pressioni

normali e alle sollecitazioni tangenziali esercitate a causa del moto relativo tra il mezzo e

l’aria. Grazie ad F avremo la possibilità di ricavare i valori dei coefficienti aerodinamici, i quali

dipendono da angoli aerodinamici, e il valore delle sue singole componenti di cui nutriamo

particolare interesse per lo sviluppo della trattazione. La portanza e la resistenza rivestono un

ruolo fondamentale nel calcolo delle prestazioni di un aeromobile poiché da esse dipendono

principalmente le caratteristiche aerodinamiche del velivolo. Diamo quindi una definizione

più esaustiva di queste componenti. La portanza è la componente della forza aerodinamica

perpendicolare alla velocità relativa ed il suo valore è dato da

Figura 8. Relazione tra gli angoli

y

12

𝐿 = 𝜌𝑄∞ ∫ 𝛤(𝑧)𝑑𝑧𝑏/2

−𝑏/2

Si intende oltremodo sottolineare nella trattazione l’importanza della distribuzione del carico

di portanza lungo l’apertura alare. Sezione per sezione risulterà differente la ripartizione di L

e da essa dipenderanno le caratteristiche di stallo dell’ala finita in relazione alle

caratteristiche di stallo del profilo.

La resistenza è una forza aerodinamica a carattere dissipativo pertanto, affinché il velivolo

possa avanzare senza perdere energia meccanica, la resistenza deve essere necessariamente

bilanciata da un opportuno sistema di propulsione. È possibile scomporre questa componente

in varie forme. La più intuitiva è la resistenza d’attrito, generata dagli effetti della viscosità

dell’aria. La sua manifestazione risulta più evidente su corpi affusolati e sottili poiché la

superficie lambita dal fluido risulta essere maggiore rispetto a corpi tozzi. Meno immediata,

ma sicuramente di maggiore importanza è la resistenza indotta, la quale è il risultato della

generazione di portanza. La formazione dei vortici liberi, ma soprattutto di quelli marginali,

dà luogo ad un’azione frenante che prende il nome proprio di resistenza indotta. Essa è

causata dalla distribuzione delle velocità indotte che sono diretta conseguenza della

formazione dei vortici alle estremità

alari. La portanza locale è per

definizione un vettore parallelo alla

velocità incidente effettiva, di

conseguenza forma con la normale al

vento indisturbato un angolo pari ad 𝛼𝑖.

Ciò produce una componente di questo

vettore nel riferimento geometrico

diretto come il flusso libero,

rappresentato in Figura 9, la cui formula

è data da

𝐷𝑖 = 𝜌𝑄∞ ∫ 𝛼𝑖 𝛤(𝑧)𝑑𝑧𝑏/2

−𝑏/2

L’effetto è quello di una rotazione della velocità della corrente imperturbata di un angolo

detto angolo d’incidenza indotta nella zona a valle del profilo. La presenza dei bordi di

estremità costituisce un effetto dannoso in quanto determina una diminuzione della portanza

ed un incremento di resistenza. L’aumento della resistenza si verifica solo se s’instaura la

corrente di scorrimento, cioè solo se esiste una differenza di pressione fra dorso e ventre e

Figura 9. Valori delle forze

13

quindi se esiste portanza. La resistenza indotta può essere, allora, ritenuta come il prezzo da

pagare per la produzione della portanza.

V. Distribuzione ellittica di Portanza

Il grosso della portanza sviluppata da un velivolo è prodotta dalle ali che hanno forma e pianta

accuratamente studiati in modo tale da poter sfruttare con la massima efficienza le forze

aerodinamiche. La forma in pianta dell’ala riveste un grande interesse poiché da essa dipende

la distribuzione di portanza lungo l’apertura

alare. In particolare focalizziamo l’attenzione

su una distribuzione ellittica della circolazione

lungo il profilo. La soluzione risulterà essere

piuttosto semplice poiché, non solo la velocità

indotta 𝑤𝑖 diventa costante lungo l’ala, ma a

questo modello corrisponde il valore più basso

registrato per la resistenza indotta. La

distribuzione proposta della circolazione mostrata in Figura 10 è pari a

𝛤(𝑧) = 𝛤𝑚𝑎𝑥 [1 − (𝑧

𝑏/2)

2

]

1/2

Grazie a questa espressione è possibile arrivare al calcolo del termine 𝑑𝛤

𝑑𝑧 presente all’interno

dell’espressione del “downwash”. Effettuiamo quindi la derivata ed otteniamo

𝑑𝛤

𝑑𝑧=

𝛤𝑚𝑎𝑥

2⌊1 − (

𝑧

𝑏/2)

2

⌋

1/2

(−24

𝑏2𝑧)

Sostituendo questa espressione nella formula della velocità indotta e utilizzando delle

trasformazioni per arrivare all’integrale di Glauert, è possibile pervenire ad un valore di 𝑤𝑖 e

𝛼𝑖 pari a

𝑤𝑖 = −𝛤𝑚𝑎𝑥

2𝑏

𝛼𝑖 =𝛤𝑚𝑎𝑥

2𝑏𝑄∞

i quali sono costanti lungo il profilo.

Altra caratteristica della distribuzione ellittica ci suggerisce che l’integrale lungo l’ala è

semplicemente metà dell’area di un ellisse, di conseguenza possiamo dare un valore esatto

alle componenti di portanza

Figura 10. Distribuzione della circolazione

z

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𝐿 =𝜋𝑏

4𝜌𝑄∞𝛤𝑚𝑎𝑥

e resistenza

𝐷𝑖 =𝜋

8𝜌𝛤2

𝑚𝑎𝑥

Al fine di rendere di facile interpretazione i dati ottenuti dalle forze aerodinamiche si

adoperano con maggiore frequenza i coefficienti aerodinamici, derivati direttamente dalle

forze. L’espressione di questi fattori verrà data nella loro forma generale e nella forma

specifica per una distribuzione ellittica. Nel caso del coefficiente di portanza si ha

𝐶𝐿 ≡𝐿

12 𝜌𝑄∞

2𝑆=

𝜋𝑏

2𝑆

𝛤𝑚𝑎𝑥

𝑄∞

mentre per il coefficiente di resistenza si ottiene

𝐶𝐷𝑖≡

𝐷𝑖

12 𝜌𝑄∞

2𝑆=

1𝑆

𝜋𝑏2𝐶𝐿

2

Si intende sottolineare come per la pianta ellittica corrisponda il valore qualitativamente

migliore che si possa avere per questi coefficienti.

In precedenza era stata definita la relazione tra gli angoli in un caso generico. È nostra

intenzione ora esaminare la stessa espressione, ma nel caso di una distribuzione di tipo

ellittico. Tenendo conto dei valori ricavati per 𝑤𝑖 e 𝛼𝑖, inserendo all’interno anche

l’espressione di Γ(z) e conoscendo il valore della corda c(z), si ricaverà

−2𝛤𝑚𝑎𝑥

𝑚0(𝑧)𝑐0𝑄∞−

𝛤𝑚𝑎𝑥

2𝑏𝑄∞+ 𝛼(𝑧) − 𝛼𝐿0

(𝑧) = 0

I termini appena introdotti sono tutti costanti per una pianta di forma ellittica con profilo

alare costante, tranne 𝛼(𝑧), che, essendo l’unico rimasto, sarà anche esso costante.

Conoscendo le caratteristiche della superficie ellittica e introducendo il fattore di apertura

alare, anche definito “aspect ratio” (AR)

𝑆 = 𝜋𝑐0𝑏

4 𝐴𝑅 =

𝑏2

𝑆

Figura 11. Relazione tra AR e Vortici di scia

15

e sostituendo queste due formule nell’espressione di 𝛤𝑚𝑎𝑥 si ottiene

𝛤𝑚𝑎𝑥 =2𝑏𝑄∞(𝛼 − 𝛼𝐿0

)

1 +𝜋𝐴𝑅𝑚0

Recuperando il valore del coefficiente di portanza precedentemente espresso, tenendo conto

di 𝑚0 = 2𝜋 , si perviene alla formula

𝐶𝐿 =2𝜋

1 +2

𝐴𝑅

(𝛼 − 𝛼𝐿0) = 𝐶𝐿𝛼

(𝛼 − 𝛼𝐿0)

Anche in questa occasione si manifesta la differenza tra ala sottile e ala finita. Nel modello con

ali ad allungamento finito, la pendenza della retta di portanza è minore rispetto a quella

corrispondente del profilo a causa delle velocità indotte dai vortici di scia. La teoria di Prandtl

concentra l’attenzione proprio su questa influenza e consente di calcolare, in funzione di AR, il

coefficiente di portanza. Dal confronto

riportato in Figura 12, appare chiaro

come il coefficiente di portanza nel caso

tridimensionale necessiti di maggiore

incidenza per poter avere lo stesso

valore del rispettivo fattore del caso

bidimensionale. Per elevati valori

dell’incidenza, la legge di variazione del

coefficiente di portanza si discosta

sempre più da questa relazione fino a

raggiungere valori di incidenza critica o

stallo al di sopra dei quali il coefficiente di portanza diminuisce provocando ingenti problemi.

Per quanto riguarda la resistenza, a causa del fatto che la velocità indotta è sempre piccola

rispetto alla velocità di volo, il coefficiente 𝐶𝐷𝑖 è dato dal prodotto del coefficiente di portanza

per l’angolo d’incidenza indotta

𝐶𝐷𝑖=

1

𝜋𝐴𝑅𝐶𝐿

2

In questo modo si ha la possibilità di apprezzare il vantaggio che ci conferisce l’incremento

dell’apertura alare. Infatti all’aumentare di AR il coefficiente di resistenza indotta si riduce.

Figura 12. Grafico coefficiente di portanza

16

Lo studio effettuato nei precedenti paragrafi

era riferito all’apertura alare totale, ma se

dovessimo prendere sezione per sezione il

valore dei coefficienti aerodinamici, questo

risulterebbe essere sempre uguale.

È interessante osservare come sia possibile

verificare che la distribuzione del carico

assuma anche essa una forma di tipo ellittico.

Come mostrato anche in Figura 13, il valore

della velocità indotta dall’ala sommato con il

valore della velocità indotta dai vortici

aderenti deve essere uguale al valore del flusso

libero, rispettando la condizione della seguente equazione

𝑤𝑏 + 𝑤𝑖 + 𝑄∞𝛼 = 0

che stabilisce che la componente della velocità normale debba essere zero.

Come già affermato in

precedenza, una stretta relazione

lega la differenza di pressione con

la circolazione. Questo legame è

facilmente riscontrabile nella

suddivisione dei valori di questi

due contributi lungo l’apertura

alare. Osservando Figura 14, si

nota come il valore maggiore della

derivata della circolazione si

riscontri sulle estremità alari, qui

dove è anche massimo il valore del vortice di scia. La forza della circolazione lungo la coda

sarà

𝑑𝛤(𝑧)

𝑑𝑧= −

4𝛤𝑚𝑎𝑥

𝑏2

𝑧

√[1 − (𝑧

𝑏/2)

2

]

Il valore della differenza di pressione avrà chiaramente un andamento opposto, poiché

proprio alle estremità il suo contributo si annullerà provocando la formazione della scia.

Figura 13. Distribuzione ellittica del carico

Figura 14. Relazione tra ΔP e dΓ

z

17

VI. Conclusioni

Essere riusciti a realizzare un modello che ben descriva l’andamento in tre dimensioni di

un’ala ha permesso di poter sperimentare in fase di progettazione il comportamento di un

velivolo. La capacità di rispondere alle domande che ci si era posti nell’introduzione è stato di

fondamentale importanza per verificare il passaggio da analisi bidimensionale a

tridimensionale. Si ritiene, quindi, di dover riportare i seguenti risultati ottenuti:

La teoria della linea portante, secondo la quale la circolazione presenta una

distribuzione a gradini lungo l’ala, definisce la differenza tra vortici aderenti e vortici

liberi e attesta che il contributo di vorticità sull’apertura alare è conferito solo dai

primi.

La formazione della scia, causata dalla dispersione di vorticità per via dei teoremi di

Helmholtz, crea una componente di velocità, detta indotta, che andrà ad influire sulle

prestazioni dell’aeromobile.

A livello aerodinamico il “downwash” provoca la generazione della resistenza indotta

che rappresenta lo scotto da pagare per la presenza della portanza.

La forma alare a cui corrispondono i migliori valori dei coefficienti aerodinamici di

portanza e resistenza risulta essere quella ellittica.

Un discorso a parte si vuole dedicare all’apertura alare AR. Come già visto nella sezione “V.

Distribuzione ellittica di portanza”, all’aumentare di questo fattore le prestazioni del nostro

velivolo ottengono un notevole miglioramento. Infatti, osservando la formula del coefficiente

di resistenza indotta 𝐶𝐷𝑖, si può notare come questo sia inversamente proporzionale ad AR. La

limitazione a questo punto nasce nella possibilità della fusoliera di resistere al peso e alle

sollecitazioni sviluppate da una superficie alare eccessivamente slanciata. Futuri sviluppi

andrebbero concentrati nella capacità di sfruttare meglio i materiali a propria disposizione o

studiare nuove forme geometriche al fine di mantenere leggerezza, aspetto fondamentale nel

campo aeronautico, e guadagnare allo stesso tempo in termini di resistenza.

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VII. Bibliografia

J. Andreson, Fundamentals Of Aerodynamics (Third Edition), McGraw-Hill Inc, 2001

J. Katz, A. Plotkin, Low-Speed Aerodynamics, McGraw-Hill Inc, 1991

L. Quartapelle, F. Auteri, Fluidodinamica incomprimibile e Fluidodinamica comprimibile,

Ambrosiana, 2013