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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Generación de Mallas Numéricas para Geometrías Irregulares y Complejas

presentada por

VICTOR LEONARDO TEJA JUÁREZ Ing. Electromecánico por el I. T. de Zacatepec

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor

Co-Director de tesis:

Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García

Jurado: Dr. José Jasson Flores Prieto – Presidente

Dr. Jesús Arce Landa – Secretario Dr. Efraín Simá Moo – Vocal

Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 8 de Noviembre de 2011

                                        

  

                                       

  

 

DEDICATORIAS A mis padres: José Belen y Celia. Sin duda ustedes son la piedra angular del ser humano que ahora soy. A ustedes todo mi respeto y cariño. Siempre quisieron ver a sus hijos realizarse profesionalmente, para ello han hecho un gran esfuerzo; venciendo obstáculos, sacrificando todo por nosotros y, aun con las carencias económicas que tuvieron, salieron adelante, ahora, ¡miren lo que han logrado!, no solo conmigo, sino con cada uno de sus hijos. De mi parte sólo les digo: ¡Gracias por apoyarme en todo lo que emprendo! A mis hermanos: María Bohemia, Humberto, José Guadalupe, Ofelia, Juan Gabriel, Max, José Luis y Jorge. Aun cuando tenemos diferencias, al final es el apoyo mutuo lo que nos caracteriza y siempre nos mantendrá unidos. ¡Gracias por su apoyo y críticas constructivas! A mis amigos: Daniela Adame, Thania Rodríguez y Roy Solano, por brindarme su apoyo incondicional en esta etapa de mi vida. A mis compañeros y amigos de generación: Azucena, Cintli, Ivett, Ingrid, Juanita, Daniel, David, Morayta, Rochin, Rafa, Nico, Meño, Ulysses, Francisco, Enrique, D’, Rigo, Arturo, Javier y Domingo, por todos los momentos que vivimos durante nuestros estudios de maestría.

 

AGRADECIMIENTOS

Gracias Padre mío, por regalarme la vida, se que Tú te encuentras siempre a

mi lado, gracias a Ti formo parte de la familia Teja-Juárez. Gracias por todas

las bendiciones que derramas sobre el mundo entero, en especial sobre mi

familia y amigos.

A Mi Familia, por su apoyo incondicional y sus buenos consejos ya sea de

padres o hermanos.

Al Dr. Jesús Xamán Villaseñor, por ser el asesor de este trabajo de tesis,

porque más que un asesor, somos amigos ¡Muchas gracias!

A mi co-asesora la Dra. Gabriela Álvarez García, por sus enseñanzas,

observaciones, por estar al pendiente en todo momento del desarrollo de este

trabajo de tesis, y su apoyo como persona en la etapa final del mismo.

Al comité revisor: Dr. Jesús Arce Landa, Dr. Efraín Simá Moo y Dr. José

Jasson Flores Prieto por sus comentarios e importantes sugerencias durante

la revisión de la tesis.

A los Catedráticos del Departamento de Ingeniería Mecánica del Cenidet,

muchas gracias por colaborar en mi formación como profesional y sus buenos

consejos.

A la familia Frías-Enríquez, por su apoyo en los tramites de titulación.

A mis “hermanos” Cintli, Ivett, y Morayta, por los buenos momentos en la

estancia de tesis.

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET),

por brindarme la oportunidad de formarme en ésta institución.

Al Concejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), por el apoyo

económico brindado durante la maestría.

REFLEXIONES Desiderata (Cosas deseadas)

Camina plácido entre el ruido y la prisa y recuerda qué paz se puede encontrar en el silencio. En cuanto sea posible y sin rendirte, mantén buenas relaciones con todas las personas. Enuncia tu verdad de una manera serena y clara y escucha a los demás, incluso al torpe e ignorante, también ellos tienen su propia historia. Esquiva a las personas ruidosas y agresivas, ya que son un fastidio para el espíritu. Si te comparas con los demás, te volverás vano y amargado, pues siempre habrá personas más grandes y más pequeñas que tú.

Disfruta de tus éxitos lo mismo que de tus planes. Mantén el interés en tu propia carrera por humilde que sea, ella es un verdadero tesoro en el fortuito cambiar de los tiempos. Sé cauto en tus negocios pues el mundo está lleno de engaños, mas no dejes que esto te vuelva ciego para la virtud que existe. Hay muchas personas que se esfuerzan por alcanzar nobles ideales. La vida está llena de heroísmo. Sé sincero contigo mismo, en especial no finjas el afecto y no seas cínico en el amor, pues en medio de todas las arideces y desengaños, el amor es perenne como la hierba.

Acata dócilmente el consejo de los años abandonando con donaire las cosas de la juventud. Cultiva la firmeza del espíritu, para que te proteja en las adversidades repentinas. Muchos temores nacen de la fatiga y la soledad. Sobre una sana disciplina, sé benigno contigo mismo. Tú eres una criatura del universo. No menos que las plantas y las estrellas, tienes derecho a existir. Y sea que te resulte claro o no, indudablemente el universo marcha como debiera.

Por eso debes estar en paz con Dios cualquiera que sea tu idea de Él, y sean cualesquiera tus trabajos y aspiraciones, conserva la paz con tu alma en la bulliciosa confusión de la vida. Aún con toda su falsedad, sus dolores y sueños fallidos, el mundo es todavía hermoso. Sé cauto, ¡esfuérzate por ser feliz!

Max Ehrmann

CONTENIDO Lista de figuras .......................................................................................................... i Lista de tablas .......................................................................................................... iv Nomenclatura ............................................................................................................. v Resumen ................................................................................................................... vii Abstract ................................................................................................................... viii   

Capítulo 1                 Introducción                                                                                                                                         Pág. 1.1 Ubicación del problema ...................................................................................... 1 1.2 Revisión bibliográfica .......................................................................................... 4

1.2.1 Generación de sistemas coordenados curvilíneos a partir de sistemas diferenciales elípticos ..................................................................................... 5 1.2.2 Otras metodologías para la generación de coordenados curvilíneos .............. 8 1.2.3 Conclusión de la revisión bibliográfica ....................................................... 12

1.3 Justificación del estudio .................................................................................... 13 1.4 Objetivo general ................................................................................................. 14 1.5 Alcance ................................................................................................................ 15 1.6 Estructura de la tesis ......................................................................................... 15

  

Capítulo 2 Conceptos Básicos en la Generación de Mallas 

                              2.1 Introducción ....................................................................................................... 16 2.2 Consideraciones para la generación de mallas ............................................... 17 2.3 Clasificación general de mallas ........................................................................ 17

2.3.1 Mallas estructuradas ..................................................................................... 17 2.3.2 Mallas no estructuradas ............................................................................... 18

2.4 Conceptos básicos del mapeo de una región arbitraria a una región regular ................................................................................................................ 19 2.5 Métodos de generación de mallas estructuradas ........................................... 27

Pág. 2.5.1 Métodos algebraicos ...................................................................................... 27 2.5.2 Métodos diferenciales ................................................................................... 29

2.5.2.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales parciales ....................... 29 2.5.2.2 Condiciones de frontera ......................................................................... 30 2.5.2.3 Generación de mallas mediante sistemas de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicos y parabólicos ............................... 32 2.5.2.4 Generación de mallas mediante sistemas de ecuaciones diferenciales parciales elípticos ............................................................. 32

 

Capítulo 3 Metodología de Transformación de Coordenadas  

3.1 Introducción ....................................................................................................... 34 3.2 Transformación de coordenadas ...................................................................... 35

3.2.1 Sistemas de coordenadas curvilíneas ........................................................... 35 3.2.2 Longitud diferencial en dirección de un eje coordenado ............................. 39 3.2.3 Áreas en sistemas de coordenadas curvilíneas .............................................. 41

3.3 Técnica avanzada de transformación de coordenadas ................................ 43 3.3.1 Uso de ecuaciones diferenciales parciales elípticas para la obtención de sistemas coordenados curvilíneos ............................................................ 44 3.3.2 Transformación de las ecuaciones de generación ........................................ 48 3.3.3 Condiciones de frontera para las ecuaciones transformadas ........................ 53 3.3.4 Funciones de control de malla P y Q ........................................................... 55

3.4 Interpolación transfinita (TFI) ........................................................................ 58 3.4.1 TFI Bidimensional ........................................................................................ 59 3.4.2 TFI Tridimensional ....................................................................................... 62

3.5 Transformación de la ecuación general de convección-difusión para la variable escalar ............................................................................................ 64 3.6 Ecuación de difusión de calor en el plano transformado .............................. 68

    

Capítulo 4 Solución Numérica de las Ecuaciones Transformadas 

Pág. 

4.1 Diferencias finitas ............................................................................................. 70 4.1.1 Formulación en series de Taylor ................................................................... 71

4.1.1.1 Aproximación en diferencias finitas para la primera derivada ............ 73 4.1.1.2 Aproximación en diferencias finitas para la segunda derivada ........... 73 4.1.1.3 Aproximación en diferencias finitas para derivadas parciales mixtas . 75

4.2 Volumen finito .................................................................................................. 77 4.3 Solución numérica de las ecuaciones para la generación de mallas estructuradas ..................................................................................................... 78

4.3.1 Discretización de las ecuaciones de generación de malla ........................... 78 4.3.2 Implementación numérica de la TFI ............................................................ 81 4.3.3 Algoritmo de solución de las ecuaciones de generación de malla ............... 83

4.3.3.1 Diagrama de flujo para generación de malla ....................................... 83 4.3.4 Definición de las propiedades de malla ........................................................ 85

4.4 Solución numérica de la ecuación de difusión de calor en coordenadas curvilíneas en dos dimensiones ............................................................................... 87

4.4.1 Discretización de la ecuación de difusión de calor en coordenadas curvilíneas en dos dimensiones ................................................................... 87

4.4.1.1 Transformación y discretización de las condiciones de frontera para la ecuación de difusión de calor en coordenadas curvilíneas .... 91

4.4.2 Metodología de solución de la ecuación de difusión de calor utilizando coordenadas de cuerpo ajustado ................................................................... 94

4.4.2.1 Diagrama de Flujo para Difusión de Calor .......................................... 94 4.5 Métodos de solución del sistema de ecuaciones algebraicas ......................... 96

4.5.1 Métodos directos .......................................................................................... 96 4.5.2 Métodos iterativos ......................................................................................... 96 4.5.3 Criterio de convergencia .............................................................................. 98

 

Capítulo 5 Verificación de los Códigos Numéricos Implementados  

Pág.  5.1 Verificación del código numérico SGRID2D ............................................... 100

5.1.1 Geometría simplemente conectada: dominio triangular ............................. 100 5.1.2 Geometrías múltiplemente conectadas ....................................................... 102

5.1.2.1 Primera configuración del mallado de una región circular múltiplemente conectada ....................................................................... 102 5.1.2.2 Segunda configuración del mallado de una región circular múltiplemente conectada ...................................................................... 104 5.1.2.3 Tercera configuración del mallado de una región circular múltiplemente conectada ...................................................................... 106

5.2 Verificación del código Numérico DIF2DCG ............................................. 108 5.2.1 Difusión de calor en un medio compuesto .................................................. 108 5.2.2 Difusión de calor en una geometría doblemente conectada ....................... 111 5.2.3 Difusión de calor en la placa caliente del GHPA ........................................ 114

  

Capítulo 6 Resultados  6.1 Aplicaciones del código numérico de generación de mallas SGRID2D ..... 118

6.1.1 Aplicación del código SGRID2D para el mallado de geometrías bidimensionales ......................................................................................... 119

6.1.1.1 Mallado de una superficie trapezoidal ................................................. 119 6.1.1.2 Mallado de una cavidad con un techo a dos aguas ............................. 122 6.1.1.3 Mallado de la vista lateral de un automóvil ......................................... 124 6.1.1.4 Mallado de otras geometrías ............................................................... 126

6.1.2 Aplicación del código SGRID2D para generar mallas tridimensionales . 129 6.1.2.1 Generación de mallas tridimensionales por extrusión ........................ 129 6.1.2.2 Generación de mallas tridimensionales por revolución ..................... 131

6.2 Difusión de calor en coordenadas de cuerpo ajustado ................................ 132

Pág. 6.2.1 Análisis de la distribución de temperatura en un aparato de placa caliente con guarda para medir la conductividad térmica (placa caliente) ............................................................................................ 133

6.2.1.1 Modelo físico ........................................................................................ 134 6.2.1.2 Modelo matemático .............................................................................. 135 6.2.1.3 Independencia de malla ........................................................................ 136 6.2.1.4 Resultados: efecto de la longitud de la ranura y la temperatura ambiente sin disipación de energía en la ranura ................................. 138 6.2.1.5 Resultados: efecto de la disipación de calor en la ranura ................. 145

6.2.2 Análisis de la distribución de temperatura en un instrumento de barras cortadas para medir conductividad térmica en sólidos conductores................................................................................................... 159

6.2.2.1 Parámetros de la modelación ............................................................... 161 6.2.2.2 Modelo físico ........................................................................................ 162 6.2.2.3 Modelo matemático .............................................................................. 163 6.2.2.4 Independencia de malla ........................................................................ 164 6.2.2.5 Resultados: efecto de la posición de las ranuras ................................. 165 6.2.2.6 Resultados: análisis de diferentes materiales de muestra con las perforaciones hechas simétricamente ................................................. 169

  

Capítulo 7 Conclusiones    7.1 Conclusiones generales .................................................................................... 174 7.2 Recomendaciones y trabajos futuros ............................................................. 176

7.2.1 Recomendaciones en la generación de mallas bidimensionales con el código numérico SGRID2D ............................................................ 176 7.2.2 Recomendaciones para la solución de problemas de difusión de calor ...... 176 7.2.3 Trabajos futuros .......................................................................................... 177

Referencias Bibliográficas .................................................................................... 178

 

Apéndice A ............................................................................................................. 182  

i  

LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 – Estructura de la matriz para una malla estructurada ................................................... 18 Figura 2.2 – Representación de la matriz de conectividad de una malla no estructurada ............. 18 Figura 2.3 – Mapeo de una región irregular simplemente conectada en la región computacional como un rectángulo ........................................................................ 21 Figura 2.4 – Diferentes arreglos para mapeo .................................................................................. 23 Figura 2.5 – Mapeo de una región irregular doblemente conectada en una región rectangular .... 24 Figura 2.6 – Mapeo de una región doblemente conectada en una región simplemente conectada usando un corte divisorio ........................................................................... 25 Figura 2.7 – Mapeo de una región múltiplemente conectada .......................................................... 26 Figura 2.8 – (a) Dominio físico (b) Dominio computacional .......................................................... 28

Figura 3.1 – Sistema de coordenadas curvilíneas .......................................................................... 35 Figura 3.2 – Área en el plano físico ................................................................................................. 41 Figura 3.3 – Áreas en los planos físico y transformado ................................................................... 42 Figura 3.4 – Isotermas obtenidas para un problema de conducción ............................................... 44 Figura 3.5 – Sistema coordenado obtenido con la superposición de las isotermas ........................ 45 Figura 3.6 – Condiciones de contorno cuasi-ortogonales ................................................................ 46 Figura 3.7 – Comportamiento de la ecuación de Laplace en superficies convexas y cóncavas .... 47 Figura 3.8 – Condiciones de contorno para x y y ............................................................................ 54 Figura 3.9 – Condiciones de frontera para x y y en el plano físico transformado ........................... 54 Figura 3.10 – Especificación de puntos internos ............................................................................. 55 Figura 3.11 – Atracción de las líneas ξ = constante en dirección de: (a) línea coordenada ξ = ξj, términos P1 y Q1 de las Ecs. (3.117) y (3.118) y (b) el punto (ξi,ηi), términos P2 y Q2 de las Ecs. (3.117) y (3.118) ......................................................... 57 Figura 3.12 – Comportamiento de los términos P y Q de atracción de coordenadas .................... 58 Figura 3.13 – Mapeo de un cuadro unitario en una figura con cuatro lados curvos ....................... 59 Figura 3.14 – Proyector P ................................................................................................................ 60 Figura 3.15 – Transformación bilineal P P ...................................................................................... 60 Figura 3.16 – Malla en una superficie ............................................................................................. 63

Figura 4.1 – Plano físico transformado ........................................................................................... 78 Figura 4.2 – Discretización del espacio para la obtención de las métricas .................................... 81 Figura 4.3 – Mapeo de las curvas frontera ...................................................................................... 82 Figura 4.4 – Volumen de control genérico, nodo central P y las esquinas ..................................... 85 Figura 4.5 – Volumen de control característico en una malla de cuerpo ajustado ......................... 86 Figura 4.6 – Volumen de control elemental en el plano transformado ........................................... 89 Figura 4.7 – Flujo de calor establecido en la frontera oeste ........................................................... 92 Figura 5.1 – Mapeo de una región triangular del dominio físico a una región cuadrada en el dominio computacional .......................................................................................... 101 Figura 5.2 – Mallado de una región simplemente conectada. (a) Malla obtenida con el código SGRID2D y (b) Malla reportada por Thompson et al., 1977 ......................... 101 Figura 5.3 – Corte divisorio para la configuración 1 de una región circular múltiplemente conectada. (a) Plano físico y (b) Plano computacional ...................... 102

Pág.

ii  

Figura 5.4 – Mallado de una región circular múltiplemente conectada configuración 1. (a) Malla obtenida con el código SGRID2D y (b) Malla reportada por Thompson et al., 1977................................................................................................. 103 Figura 5.5 – Corte divisorio para la configuración 2 de una región circular múltiplemente conectada. (a) Plano físico y (b) Plano computacional .............................................. 104 Figura 5.6 – Mallado de una región circular múltiplemente conectada configuración 2. (a) Malla obtenida con el código SGRID2D y (b) Malla reportada por Thompson et al., 1977................................................................................................. 105 Figura 5.7 – Corte divisorio para la configuración 3 de una región circular múltiplemente conectada. (a) Plano físico y (b) Plano computacional .............................................. 106 Figura 5.8 – Mallado de una región circular múltiplemente conectada configuración 3. (a) Malla obtenida con el código SGRID2D y (b) Malla reportada por Thompson et al., 1977................................................................................................. 107 Figura 5.9 – Modelo físico de un medio sólido compuesto ........................................................... 108 Figura 5.10 – Isotermas en un medio sólido compuesto: (a) Isotermas reportadas por Chang y Payne y (b) Isotermas obtenidas con el código numérico desarrollado DIF2DCG ............................................................................................. 110 Figura 5.11 – Modelo físico de una geometría doblemente conectada ........................................ 111 Figura 5.12 – Corte divisorio y mapeo para una región cuadrada doblemente conectada ........ 111 Figura 5.13 – Malla obtenida al aplicar el código SGRID2D para una región cuadrada doblemente conectada ............................................................................................. 112 Figura 5.14 – Isotermas en una geometría doblemente conectada: (a) Isotermas reportadas por Minkowycz y Sparrow y (b) Isotermas obtenidas con el código numérico desarrollado DIF2DCG ............................................................................ 113 Figura 5.15 – Modelo físico de la placa caliente ........................................................................... 114 Figura 5.16 – Malla obtenida al aplicar el código SGRID2D para un semicírculo ......................... 116

Figura 6.1 – Tipos de geometría .................................................................................................... 118 Figura 6.2 – Contorno a mallar en forma trapezoidal (geometría irregular) ................................... 119 Figura 6.3 – Malla obtenida para una superficie trapezoidal con P y Q = 0 .................................. 120 Figura 6.4 – Malla trapezoidal con refinamiento en: (a) las cuatro fronteras y (b) las fronteras y la coordenada central solo con las líneas ξ ................................. 120 Figura 6.5 – Malla trapezoidal con refinamiento en: (a) las cuatro fronteras y la coordenada central con ambas líneas ξ y η, (b) las fronteras superior, lateral derecha y una coordenada en la parte lateral izquierda ............................................ 121 Figura 6.6 – Contorno a mallar de una cavidad con un techo a dos aguas (geometría irregular) . 122 Figura 6.7 – Cavidad a dos aguas: (a) sin refinamiento y (b) con refinamiento en la coordenada central superior ...................................................................................... 123 Figura 6.8 – Cavidad a dos aguas: (a) Con refinamiento en las fronteras laterales y en la frontera superior y (b) con refinamiento en la coordenada central superior y en la frontera izquierda .............................................................................................. 124 Figura 6.9 – Vista lateral de un automóvil ...................................................................................... 124 Figura 6.10 – Contorno a mallar para el perfil de un automóvil ..................................................... 125 Figura 6.11 – Malla para el perfil de un automóvil (flujo externo) ................................................. 126 Figura 6.12 – Mallado del contorno de la cabeza humana vista de perfil y vista frontal: (a) Sin atracción de líneas de malla en las fronteras y, (b) Con atracción de líneas de malla en las fronteras superior e inferior .............................................. 127 Figura 6.13 – Mallado de diferentes geometrías bidimensionales ................................................. 128 Figura 6.14 – Extrusión de una geometría 2D en el eje z .............................................................. 129

Pág.

iii  

Figura 6.15 – Geometría doblemente conectada a extruir ............................................................. 129 Figura 6.16 – Malla tridimensional generada por extrusión (tubería incrustada) ........................... 130 Figura 6.17 – Malla tridimensional generada por extrusión (cavidad a dos aguas) ....................... 130 Figura 6.18 – Revolución de una geometría bidimensional ........................................................... 131 Figura 6.19 – Malla para flujo externo del vehículo lanzador de cohetes (Maliska, 1995) ............ 131 Figura 6.20 – Malla tridimensional del vehículo lanzador de cohetes generada por revolución. .......................................................................................................... 132 Figura 6.21 – Placa caliente con guarda ....................................................................................... 133 Figura 6.22 – Modelo físico de la placa caliente ........................................................................... 134 Figura 6.23 – Variación de la temperatura en la condición de simetría ........................................ 137 Figura 6.24 – Malla utilizada para resolver la difusión de calor en la placa caliente .................... 137 Figura 6.25 – Isotermas para la placa caliente con una longitud de ranura de: (a) 1cm, (b) 2 cm, (c) 3 cm, (d) 4 cm, (e) 5 cm y (f) 6 cm y una temperatura ambiente de 10ºC.................................................................................................................... 139 Figura 6.26 – Perfil de temperatura en el eje η, para una Ta = 10ºC ............................................ 140 Figura 6.27 – Isotermas para la placa caliente con una longitud de ranura de: (a) 1cm, (b) 2 cm, (c) 3 cm, (d) 4 cm, (e) 5 cm y (f) 6 cm y una temperatura ambiente de 30ºC..................................................................................................................... 141 Figura 6.28 – Perfil de temperatura en el eje η, para una Ta = 30ºC ............................................ 142 Figura 6.29 – Isotermas para la placa caliente con una longitud de ranura de: (a) 1cm, (b) 2 cm, (c) 3 cm, (d) 4 cm, (e) 5 cm y (f) 6 cm y una temperatura ambiente de 65ºC..................................................................................................................... 143 Figura 6.30 – Perfil de temperatura en el eje η, para una Ta = 65ºC ............................................ 144 Figura 6.31 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 1cm de ranura y Ta = 10ºC ....................................................................................... 145 Figura 6.32 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 1cm de ranura y Ta = 30ºC ........................................................................................ 146 Figura 6.33 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 1cm de ranura y Ta = 65ºC ........................................................................................ 147 Figura 6.34 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 3cm de ranura y Ta = 10ºC ........................................................................................ 148 Figura 6.35 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 3cm de ranura y Ta = 30ºC ........................................................................................ 149 Figura 6.36 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 3cm de ranura y Ta = 65ºC ........................................................................................ 150 Figura 6.37 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 6cm de ranura y Ta = 10ºC ....................................................................................... 151 Figura 6.38 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 6cm de ranura y Ta = 30ºC ........................................................................................ 152

Pág.

iv  

Figura 6.39 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 6cm de ranura y Ta = 65ºC ........................................................................................ 153 Figura 6.40 – Perfiles de temperatura en el eje η con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente y Ta = 10ºC .......................................................................................... 155 Figura 6.41 – Perfiles de temperatura en el eje η con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente y Ta = 30ºC .......................................................................................... 156 Figura 6.42 – Perfiles de temperatura en el eje η con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente y Ta = 65ºC .......................................................................................... 157 Figura 6.43 – Esquema de la barra compuesta referencia-muestra-referencia (Esquivel, 2010) . 159 Figura 6.44 – Perfil de temperaturas y flujo de calor en una barra compuesta cobre-baquelita-cobre con material aislante en su radio exterior (Esquivel, 2010). ...................................................................................................... 160 Figura 6.45 – Modelo físico del aparato de barras cortadas .......................................................... 162 Figura 6.46 – Malla para resolver la difusión de calor en el aparato de barras cortadas ............ 164 Figura 6.47 – Variación de la temperatura en la primer interface referencia muestra .................. 165 Figura 6.48 – Isotermas del aparato de barras cortadas con diámetro de 25 mm materiales referencia-muestra y, posición de la ranura a (a) 5 mm, (b) 10 mm, (c) 15 mm y (d) 20 mm de la interface .................................................................................... 167 Figura 6.49 – Isotermas del aparato de barras cortadas con diámetro de 50 mm materiales referencia-muestra y, posición de la ranura a (a) 5 mm, (b) 10 mm, (c) 15 mm y (d) 20 mm de la interface ..................................................................................... 168 Figura 6.50 – Simulación numérica del aparato de barras cortadas cobre-aluminio-cobre para 25 mm de diámetro; (a) Isotermas y, (b) Vector flujo de calor ..................... 169 Figura 6.51 – Simulación numérica del aparato de barras cortadas cobre-aluminio-cobre para 50 mm de diámetro; (a) Isotermas y, (b) Vector flujo de calor ..................... 170 Figura 6.52 – Isotermas y flujo de calor de la simulación numérica del aparato de barras cortadas cobre-hierro-cobre para (a) 25 mm y (b) 50 mm de diámetro ................... 171 Figura 6.53 – Isotermas y flujo de calor de la simulación numérica del aparato de barras cortadas cobre-plomo-cobre para (a) 25 mm y (b) 50 mm de diámetro .................. 172 

LISTA DE TABLAS

 Tabla 2.1 – Formato de datos para una malla no estructurada ........................................................ 19 Tabla 2.2 – Condiciones de frontera y solución para los diferentes tipos EDP´s  ............................ 31  Tabla 4.1 – Aproximación en diferencias finitas de la derivada parcial mixta /   ................ 76 

 Tabla 5.1 –Temperaturas obtenidas para la línea central en la interface de los dos materiales  .. 109 Tabla 5.2 –Temperaturas obtenidas en dirección r en estado permanente  .................................. 116 

 Tabla 6.1 Parámetros de modelación ............................................................................................. 138 Tabla 6.2 Valores de conductividad de los materiales seleccionados  .......................................... 161 

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NOMENCLATURA LATINAS a, b, c, d, e, f Coeficientes de las ecuaciones para la obtención de sistemas coordenados curvilíneos y conservación

Matriz de coeficientes de las métricas de la transformación respecto al sistema coordenado cartesiano

Matriz de coeficientes de las métricas de la transformación respecto al sistema coordenado curvilíneo Cp Calor específico (J/kg) , , Diferenciales en el sistema coordenado curvilíneo , , Diferenciales en el sistema coordenado cartesiano

Vector columna de las diferenciales del sistema coordenado cartesiano

Vector columna de las diferenciales del sistema coordenado curvilíneo dL Longitud diferencial en el plano físico (m) ds Elemento diferencial general (m) dS Área diferencial en el plano físico (m2) dV Elemento diferencia del volumen (m3) Dij Coeficientes difusivos en la ecuación general de conservación de la variable genérica

Derivada de primer orden de una función general Derivada de segundo orden de una función general

gij Tensor métrico J Jacobiano de la transformación P, Q Funciones de control de malla , , Operadores proyector

r, θ, z Coordenadas del dominio físico en el sistema coordenado cilíndrico t Variable tiempo en el domino físico (s) T Temperatura ( ºC) u,v,w Componentes de velocidad (m/s) x,y,z Coordenadas del dominio físico en el sistema coordenado cartesiano xi Métrica de la transformación x con respecto a i, donde i = ξ, η, ζ yi Métrica de la transformación y con respecto a i, donde i = ξ, η, ζ zi Métrica de la transformación z con respecto a i, donde i = ξ, η, ζ

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GRIEGAS α, β, γ Coeficientes de la ecuación general para obtención de sistemas coordenados curvilíneos bidimensionales.

Propiedad difusiva en la ecuación general de conservación ε Criterio de convergencia λ Conductividad térmica (W/m K)

Variable genérica de las ecuaciones diferenciales discretas ρ Densidad (W/m3) ξ, η, ζ Coordenadas en el dominio computacional regular ξi Métrica de la transformación ξ con respecto a i, donde i = x, y, z ηi Métrica de la transformación η con respecto a i, donde i = x, y, z ζi Métrica de la transformación η con respecto a i, donde i = x, y, z τ Variable tiempo en el domino computacional (s)

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RESUMEN

El objetivo de este trabajo es el desarrollo de un código numérico para generar mallas estructuradas en geometrías arbitrarias y acoplar este código para resolver problemas de difusión de calor. El código desarrollado tiene como base la técnica avanzada de transformación de coordenadas presentada por Thompson et al., 1977. Con esta técnica se construyen sistemas coordenados curvilíneos no-ortogonales (mallas) por medio de la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales elípticos. El código numérico desarrollado para la generación de mallas se verificó con el trabajo fuente reportado por Thompson et al., 1977. También, con este código se mallaron diferentes tipos de geometrías, por ejemplo: el perfil de un rostro humano y la vista lateral de un automóvil, demostrando con ello la capacidad de mallado. El mallado de estas geometrías tuvo como objetivo evaluar el desempeño del código numérico desarrollado, ello en base a la complejidad de la geometría y propiedades de malla tales como: el no traslape de la líneas y la distribución de las celdas de malla, obteniendo buenos resultados para las geometrías mencionadas.

Por otra parte, también se desarrolló un código numérico para resolver la difusión de calor en sistemas coordenados curvilíneos. Este código numérico se verificó con tres diferentes trabajos reportados en la literatura. Como ejemplo de aplicación se seleccionaron dos problemas de difusión de calor. El primero aborda el análisis de la distribución de temperaturas de la placa caliente del GHPA (Guarded Hot Plate Apparatus), considerando disipación de calor en la ranura u orificio de entrada para la fuente de calor. En el segundo problema, se llevó a cabo el análisis de la distribución de temperaturas del Aparato de Barras Cortadas, considerando las ranuras para la colocación de los sensores, cobre como material de referencia y, aluminio, hierro y plomo como materiales de muestra. En ambos casos, se obtuvieron aspectos importantes que no pueden observarse usando los modelos ortogonales. Los resultados obtenidos para el GHPA muestran que las isotermas pierden su forma circular en la frontera con la ranura, lo cual afecta la posición del sensor de temperatura. Para el caso del aparato de barras cortadas, se obtuvo que el error de cálculo de la conductividad térmica de la muestra, disminuye si se considera un diámetro de 50 mm en las barras, en vez de un diámetro de 25mm. Estos aspectos se deben considerar en el diseño y la experimentación con este tipo de aparatos para obtener mejores resultados en ellos.

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ABSTRACT

The objective of this work was to develop a numerical code to generate structured meshes in arbitrary geometries and couple this code to solve heat diffusion problems. The numerical code developed is based in the coordinate transformation technique advanced developed by Thompson et al., 1977. With this technique are built non-orthogonal curvilinear coordinated systems (meshes) by solving partial elliptic equations systems. The numerical code developed for mesh generation was verified with the sourcework reported by Thompson et al., 1977. Also, with this code different types of geometries were meshed, for example: the profile of a human face and the side view of an automobile, showing with this the meshing capacity. The meshing of these geometries was to evaluate the performance of the developed numerical code, that it is based on the complexity of the geometry and mesh properties such as: non-overlapping of the lines and the distribution of grid cells, obtaining good results for the geometries mentioned.

On the other hand, a numerical code to solve the heat diffusion in curvilinear coordinate systems was developed. As an example application two heat diffusion problems were selected. This numerical code was verified with three different studies reported in the literature. The first deals with the analysis of the temperature distribution of the GHPA slot for the heat source inlet. In the second problem the analysis of the temperature distribution of the device of cut bars was done, considering the slots for the sensors placement, copper as reference material and aluminum, iron and lead as samples. In both cases, important aspects that can´t be observed by using orthogonal models. The results obtained for the GHPA isotherms show that lost its circular shape on the border with the slot, which affects the position of temperature sensor. In the case of cut-bar apparatus, the error that was obtained for calculating the thermal conductivity of the sample, decreases when it is was considered a diameter of 50 mm on the bars, rather than a diameter of 25mm. These aspects should be considered in the design and experimentation with such devices to achieve better results in them.

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Capítulo 1 

Introducción  En este Capítulo se muestra la importancia de haber realizado este trabajo de

investigación. En el primer punto se presenta la ubicación del problema con una descripción general del tema; posteriormente se presenta una breve revisión bibliográfica, la cual contiene el estado del arte sobre mallas estructuradas, haciendo una división temática entre los sistemas elípticos y no elípticos. Los últimos apartados contienen la justificación, el objetivo, el alcance y la estructura general de este trabajo de tesis.

1.1 Ubicación del Problema

La solución numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs) requiere

de la discretización de las ecuaciones para reemplazar las ecuaciones diferenciales continuas con un sistema simultáneo de ecuaciones algebraicas discretas. Se han desarrollado diferentes técnicas para la construcción del proceso de solución, las tres técnicas básicas para resolver estos sistemas de ecuaciones son: Diferencias Finitas, Elemento Finito y Volumen Finito. En el caso de la técnica de Diferencias Finitas, las derivadas en las EDPs se representan en los puntos de malla por expresiones algebraicas finitas que se obtienen con la serie de Taylor, donde, generalmente la serie es truncada en los términos lineales despreciando los términos de orden cuadrático y superior. Si la solución varía fuertemente entre los puntos de malla se pueden obtener resultados no congruentes. Un remedio para ello, es usar más puntos de malla y con ello las distancias entre los puntos serán reducidas. Sin embargo, esto puede ser costoso desde el punto de vista computacional, ya que la solución requerirá un mayor número de ecuaciones algebraicas. La otra posibilidad de discretización es retornar las EDPs a su forma fundamental integral y entonces representar las integrales sobre celdas discretas. Bajo esta situación se tienen dos alternativas, una es si representará la solución de las variables sobre celdas en términos de funciones seleccionadas y entonces integrar las funciones

Ubicación del Problema Capítulo1

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analíticamente sobre el volumen (técnica de Elementos Finitos) o balancear los “fluxes” a través de las caras de la celda (técnica de Volumen Finito).

La técnica de diferencias finitas es computacionalmente simple cuando se usa para la solución de problemas que involucran geometrías regulares con puntos distribuidos uniformes sobre la región de análisis. Sin embargo, con esta técnica es difícil sobrellevar la solución numérica de problemas con geometrías irregulares y/o complejas.

Cuando la geometría es irregular, principalmente la dificultad recae en la

aplicación de las condiciones de frontera, ya que estas no coincidirán con los ejes coordenados y tendrán que ser interpoladas con los nodos interiores, para generar una expresión de diferencias finitas en los nodos próximos a las fronteras. Tales interpolaciones producen grandes errores en la vecindad de curvaturas pronunciadas o irregularidades de una geometría (Ozisik, 1994). Por lo tanto, es difícil e inexacto resolver problemas con el tradicional método de diferencias finitas sobre regiones con geometrías irregulares y/o complejas.

La técnica de elemento finito se utiliza para analizar geometrías complicadas,

en esta técnica el dominio sometido a análisis se cubre con elementos triangulares o con una distribución aleatoria de puntos. Ninguna de estas dos colecciones de puntos es recomendable para soluciones eficientes en diferencias finitas y volumen finito, ya que es difícil el proceso de identificación de nodos vecinos en un punto y, las matrices resultantes carecen de una estructura agrupada, es decir, las matrices resultantes son dispersas.

La solución y forma de la malla es un factor clave en la solución de la

Dinámica de Fluidos Computacional (DFC). En la práctica es frecuente distribuir los puntos de malla de acuerdo a las características del análisis, concentrando más puntos de malla en la región donde puede haber altos gradientes de la variable en análisis. Los cuerpos o espacios a modelar generalmente son geometrías irregulares o complejas, para llevar a cabo un análisis detallado sobre ellos, es necesario, discretizar adecuadamente el espacio donde ocurre el fenómeno, para después aplicar sobre este las ecuaciones de conservación, las cuales se resolverán por alguna técnica numérica.

Ubicación del Problema Capítulo1

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La generación de sistemas coordenados curvilíneos ha proporcionado la llave para desarrollar las soluciones de sistemas de EDP´s sobre regiones con formas irregulares o complejas en las fronteras. Aunque, mucho del impulso para estos desarrollos proviene de la Dinámica de Fluidos, las técnicas son igualmente aplicables a transferencia de calor, electromagnetismo, estructuras y otras áreas que involucren soluciones de campo.

El uso de transformación de coordenadas y el mapeo de la región irregular a

una regular sobre el dominio computacional aplicado a la técnica de volumen finito, es relativamente nuevo (Maliska, 1995). Muchas transformaciones están disponibles en las cuales el dominio físico y el computacional están relacionados con expresiones algebraicas. La técnica avanzada de transformación de coordenadas propuesta por Thompson et al. (1977), permite realizar esta transformación por la solución de EDP´s sobre el dominio regular computacional. Por lo tanto, el esquema combina la flexibilidad de la técnica de elemento finito para tratar geometrías complejas mientras mantiene la simplicidad de la técnica de diferencias finitas. En esta aproximación una malla curvilínea se genera sobre el dominio físico, tal que un miembro de cada familia de líneas coordenadas es coincidente con la frontera del dominio físico. Por lo tanto, el esquema es también llamado “coordenadas de frontera ajustada o de cuerpo ajustado” (boundary fitted coordinate o body fitted coordinate).

Con los sistemas coordenados generados para mantener las líneas

coordenadas coincidentes con las fronteras, pueden escribirse códigos numéricos los cuales son aplicables a configuraciones generales sin la necesidad de procedimientos especiales en las fronteras. Aun cuando las fronteras se encuentren en movimiento, el uso de tales sistemas coordenados permite que todos los cálculos se hagan en una malla arreglada con distribución uniforme de celdas cuadradas en el plano transformado. Esto simplifica la codificación de la solución, particularmente con respecto a las condiciones de frontera, las cuales pueden representarse sin necesidad de alguna interpolación. En la técnica avanzada de transformación de coordenadas desarrollada por Thompson et al. (1977), la solución se obtiene automáticamente de las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales parciales sobre el dominio computacional regular. Esta técnica, ha sido implementada por la Agencia Aeronáutica y Administración Espacial (National Aeronautics and Space Administration, NASA) en su librería COSMIC.

Revisión Bibliográfica Capítulo1

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Es claro que, para resolver numéricamente problemas con geometrías irregulares o complejas en las áreas de Transferencia de Calor y Dinámica de Fluidos se requiere primero generar el dominio computacional del sistema físico irregular. Por lo tanto, en este trabajo es de interés particular el desarrollo de un código de cómputo que genere las mallas computacionales de sistemas complejos a partir de la solución de EDP´s, para aplicarlo posteriormente en la solución de problemas de DFC y Transferencia de Calor con geometrías irregulares o complejas. 1.2 Revisión Bibliográfica

En la década de los 70´s, la necesidad de encontrar maneras eficientes de

tratar los acoplamientos y las no-linealidades de las ecuaciones de Navier-Stokes en geometrías irregulares con el método de diferencias finitas, condujo a los primeros desarrollos del empleo de sistemas coordenados curvilíneos para el tratamiento de problemas en geometrías arbitrarias.

Básicamente, hay dos procedimientos de generación de sistemas coordenados

curvilíneos: (1) Generación de sistemas coordenados curvilíneos por la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales y (2) Generación de sistemas coordenados curvilíneos por trasformaciones algebraicas. Poniendo especial atención al primer punto, existen tres tipos de sistemas diferenciales para generar sistemas de coordenadas curvilíneas, estos son: elíptico, parabólico e hiperbólico. El sistema diferencial mayormente usado para generar mallas es el sistema elíptico, puesto que este tiene ventajas en cuanto a suavidad y distribución de puntos de malla, Spekreijse (1995), Kaul (2003) y Villamizar (2007), entre otros. Atendiendo el segundo punto, los métodos algebraicos son fáciles de implementar computacionalmente, pero estos están limitados en cuanto a las geometrías que se les puede dar solución y, generalmente no permiten una apropiada distribución de puntos de malla. Recientemente, los métodos algebraicos se utilizan como una primera aproximación en un método hibrido algebraico-diferencial, entre ellos el más popular es el método de la Interpolación Transfinita (TFI).

La revisión bibliográfica se realizó dividiendo los estudios encontrados en la literatura sobre la generación de mallas estructuradas en dos apartados: a).- generación de sistemas coordenados curvilíneos (mallas) a partir de sistemas diferenciales elípticos y b).- otras metodologías de generación de sistemas coordenados curvilíneos.

Revisión Bibliográfica Capítulo1

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1.2.1 Generación de Sistemas Coordenados Curvilíneos a Partir de Sistemas Diferenciales Elípticos

Los pioneros en la generación de sistemas coordenados curvilíneos por la solución numérica de EDP´s fueron Thompson et al. (1977), quienes propusieron un método general para la generación de sistemas coordenados de frontera ajustada en dos dimensiones, a partir de un sistema diferencial parcial elíptico con condición de frontera de Dirichlet sobre todas las fronteras. Las ecuaciones elípticas para las coordenadas fueron resueltas por aproximación de diferencias finitas. Para probar su método propusieron una serie de aplicaciones, las cuales incluyen configuraciones de un cuerpo singular, dos cuerpos segmentados, un sistema coordenado triangular. Los autores presentaron las líneas de corriente en flujo potencial para superficies de alas dobles (aplicación de aeronáutica). Ellos concluyeron que la eficiencia de su método fue demostrada por la aplicación a la solución de varios sistemas diferenciales parciales. Por otra parte, las coordenadas de frontera ajustada permitieron que algunos problemas que solo habían sido aproximados por la técnica de elemento finito, fueran tratados por diferencias finitas.

Adamson (1984) presentó un método para la generación de mallas

ortogonales con fronteras cerradas en dos dimensiones, basado en la técnica de coordenadas de frontera ajustada. El método permite el control del espaciado de malla por medio de la introducción de funciones de “empacamiento” en las ecuaciones diferenciales elípticas. Adamson, se concentró en dos aspectos: primero, la condición sobre un factor de escala el cual normaliza la razón de aspecto de malla; segundo, la condición para evitar la salida de las líneas de malla sobre las fronteras del dominio físico. El sistema de ecuaciones diferenciales parciales se resolvió utilizando la técnica de diferencias finitas. El autor aplicó su método para generar la malla en un fajo de varillas de sección transversal circular con éxito. Después de generar la malla, el autor resolvió el problema de flujo turbulento utilizando el modelo k-ε. En su conclusión, el autor destacó que debido a la derivación de la forma básica de la condición de ortogonalidad, el método descrito puede considerarse como la formulación más general posible para obtener un sistema coordenado curvilíneo ortogonal.

Spekreijse (1995) propuso un método para generar mallas en dominios físicos

bidimensionales y tridimensionales. El método de generación de malla está basado

Revisión Bibliográfica Capítulo1

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en un mapeo compuesto. Este mapeo compuesto consiste de una transformación algebraica basada en una interpolación transfinita no lineal y una transformación elíptica. La transformación elíptica está basada en la ecuación de Laplace para planos, o en la ecuación de Laplace-Beltrami para superficies. La transformación algebraica mapea el espacio computacional uno a uno en un espacio paramétrico. La transformación elíptica mapea el espacio paramétrico uno a uno en el plano o superficie y es discretizada con la técnica de diferencias finitas. Este mapeo compuesto pertenece a la familia se sistemas de generación de malla de ecuaciones de Poisson con funciones de control especificadas por la transformación algebraica y, define la distribución de puntos de malla en el dominio o superficie. El autor aplicó su método a una variedad de dominios en los que destaca una malla alrededor de una superficie de sustentación (ala) NACA0012, una malla Navier-Stokes tipo C y una malla alrededor de un cuerpo complejo, para los cuales obtuvo excelente suavidad, distribución y regularidad. Por último, el autor concluyó que se derivaron nuevas expresiones para las funciones de control las cuales únicamente dependen de la transformación algebraica. Por otra parte, mencionó que la generación de malla sobre superficies parámetrizadas puede llevarse a cabo fácilmente por la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales elípticas y un problema inverso.

En la década de los 90´s Kawata et al. (1996), propusieron un método para la

generación de mallas ortogonales con uniformidad en la proporción del espaciado de línea basado en las ecuaciones de Poisson, empleando términos fuente para las funciones de control de ortogonalidad y de espaciado de línea. Este método fue aplicado con éxito para generar una malla de domino tipo “O” y otra con 3 lados paralelos a los ejes cartesianos, con una desviación máxima de 1.584º y 0.60 33º sobre 90º respectivamente. El método desarrollado por los autores es aplicable para la minimización y optimización del tiempo del CPU.

Kaul (2003) desarrolló nuevos límites de frontera para los sistemas

diferenciales elípticos que se usan en la generación de mallas numéricas bidimensionales. Estos límites están basados en el principio de conservación de energía térmica en la vecindad de las fronteras y son derivados usando el Teorema de Green. Con estos nuevos límites el autor automatizó la aglomeración de puntos en las fronteras y eliminó la necesidad de la selección manual de los parámetros de decaimiento. Los nuevos límites de frontera para los sistemas elípticos se aplicaron de manera exitosa a la generación de cinco dominios para flujo interno, entre ellos, la generación de una malla de un engrane de 19 dientes, los cuales se resolvieron

Revisión Bibliográfica Capítulo1

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utilizando la técnica de diferencias finitas. El autor concluyó que, con los nuevos límites, los sistemas elípticos pueden ser generados sin intervención manual, de esta manera, pueden resolverse problemas de dinámica de fluidos y dinámica estructural ágilmente.

Tang y Baeder (2003) publicaron un método de redistribución de malla que

consta de dos pasos, primero un método de redistribución de malla el cual se usa para adaptar el dominio computacional y segundo una interpolación polinomial de alto orden para redistribuir la línea base en el dominio físico y generar el dominio físico final adaptado. El método desarrollado comprende la aproximación algebraica y la aproximación elíptica. Una limitación de los métodos de redistribución elíptica y algebraica es que fueron originalmente desarrollados solo para mallas cartesianas, el método desarrollado por los autores provee una manera directa de extender estos métodos de forma más general a mallas no cartesianas. Los autores llevaron a cabo dos aplicaciones; una fue la interacción de aleta-vortice en 2D y la segunda en un rotor de sobrevuelo en 3D, en los dos casos lograron un mejor refinamiento en la región del vórtice. Ellos concluyeron que el cambio de redistribución de malla del dominio físico al dominio computacional, hace que la implementación de un método de redistribución de malla algebraico sea más simple y permite que un método de redistribución de malla elíptico sea más factible para adaptación de mallas más grandes.

Villamizar et al. (2007) desarrollaron el algoritmo Corte de Bifurcación de

Control de Línea de Malla (Branch Cut Grid Line Control, BCGC), para la generación de coordenadas curvilíneas en dos dimensiones sobre regiones múltiplemente conectadas con singularidades en las fronteras, el cual está basado en la solución numérica de las ecuaciones de Poisson. También, los autores extendieron la técnica de desarrollo de las funciones de control del espaciado de malla propuesta por Thomas y Middlecoff (1980) a dominios múltiplemente conectados. Los autores analizaron varios dominios de tipo “O”, entre ellos, un dominio con una región astroide en el interior y, otro con una epicicloide, en ambos casos obtuvieron una buena suavidad y distribución de malla. Para verificar su propuesta, ellos compararon su método con el modulo para generar mallas Computer-Aided Engineering (CAE) del software comercial ANSYS, obteniendo mejores resultados de suavidad y ortogonalidad. Por último, los autores concluyeron que la característica más importante de su método es su habilidad para producir una malla con buena distribución y suavidad para dominios que tienen singularidades.

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Kaul (2010) extendió su propuesta publicada en el año 2003. El autor extendió la técnica de coordenadas de cuerpo ajustado (Thompson et al., 1977), para la generación de mallas estructuradas tridimensionales basadas en sistemas elípticos con formulación de límites de frontera tridimensionales. Este procedimiento completamente automático, elimina la necesidad de introducir manualmente los parámetros de decaimiento sobre las seis superficies frontera de un volumen dado. El autor aplicó la técnica de coordenadas de cuerpo ajustado formulando nuevos límites de frontera a varias geometrías tridimensionales, entre las que destacan: un escudo aeroespacial de Laboratorio de Ciencia de Marte (Mars Science Laboratory MSL) y un cono de tensión (Deceleretor Aerodynamic Inflatable IAD), obteniendo excelentes resultados en ambos casos. Estas geometrías fueron generadas sin intervención manual. Por último, Kaul concluyó que su método patentado es una poderosa herramienta para la generación de mallas tridimensionales en volúmenes con formas complejas.

1.2.2 Otras Metodologías para la Generación de Sistemas Coordenados Curvilíneos

Además de los sistemas coordenados curvilíneos generados con ecuaciones

diferenciales elípticas, desde hace cuatro décadas se han desarrollado diferentes técnicas para la generación de mallas, este apartado trata de manera general los métodos desarrollados por diferentes autores en las últimas dos décadas.

Smith y Eriksson (1987) hicieron una recopilación de los métodos algebraicos

para la generación de mallas estructuradas, los cuales fueron presentados en términos de la interpolación transfinita multivariante. Los autores presentaron el método desarrollado por Eriksson, el Método de las Dos Fronteras y el Método de Multisuperficie, los cuales abarcan problemas tridimensionales. En esta recopilación ellos mostraron una manera de atacar las singularidades de malla. Ellos mencionaron que las técnicas de diferencias finitas y volumen finito son capaces de sobrellevar las singularidades en mallas estructuradas. Ellos destacaron, que para mallar geometrías complejas tridimensionales es necesario seccionar la geometría utilizando bloques adjuntos uno a otro o bloques traslapados. Como conclusión, los autores mencionaron que los métodos algebraicos son recomendables para la generación rápida de mallas tanto bidimensionales como tridimensionales. También, los autores resaltaron que el uso del diseño asistido por computadora es una herramienta esencial en la generación de mallas tridimensionales complejas.

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Oh y Kang (1994) propusieron un método general para la generación de

mallas bidimensionales ortogonales simplemente conectadas. Su propuesta se basó en la descomposición de una transformación ortogonal global en mapeos consecutivos de un mapeo conformal y un mapeo auxiliar ortogonal, idea planteada previamente por Kang y Leal (1992). Ellos se percataron que una deficiencia del mapeo conformal es la no-ajustabilidad del tamaño de malla, por esta razón, enfocaron su trabajo a resolver este punto. Su método está basado en la técnica de frontera integral, un integrador numérico para las ecuaciones diferenciales ordinarias y la solución de la ecuación covariante de Laplace, utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden para la integración de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Los autores aplicaron el método que desarrollaron a una región ondulada asimétrica y otra simétrica, obteniendo en ambas configuraciones buenos resultados para la ortogonalidad y distribución de puntos de malla. Oh y Kang concluyeron que desde el punto de vista matemático el método que propusieron puede ser estimado como la implementación de la solución numérica de la existencia de la solución del problema de mapeo ortogonal.

Liou y Jeng (1995) desarrollaron un método de generación de mallas basado

en el método propuesto por Noack y Anderson (1988). El método desarrollado utiliza la solución de ecuaciones diferenciales parabólicas y la estrategia de “marcha frontal” de Liou y Jeng para generar mallas numéricas. El método propuesto fue aplicado exitosamente a la generación de mallas para regiones de flujo externo, regiones de flujo interno y regiones cerradas, entre ellas, los autores generaron una malla tipo O alrededor de un alabe (flujo externo), una malla para un canal convergente-divergente (flujo interno) y una malla en una región circular con cuatro esquinas aplanadas. Por último, los autores concluyeron que el método preserva la ortogonalidad de la malla y provee suavidad a la malla sobre el dominio entero.

Eca (1996) presentó un método para la generación de mallas ortogonales

bidimensionales con control de distribución de puntos frontera. El método está basado en la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales discretizado con la técnica de diferencias finitas y, la determinación iterativa de la función de control de distorsión en el dominio entero a partir de su definición. El método permite la especificación de la distribución de puntos frontera en todas las fronteras y también la distancia del primer nodo a la frontera. El autor realizó estudios de convergencia en regiones cóncavas y regiones limitadas por dos círculos

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a la mitad. Además, mostró diferentes aplicaciones para probar la ortogonalidad y otras con un role importante en la Dinámica de Fluidos tales como mallas alrededor de un “ala” y secciones transversales típicas de las popas de los barcos. El autor concluyó que los estudios de convergencia mostraron que la máxima desviación de la ortogonalidad de las mallas generadas está relacionada con el error de truncado en las aproximaciones por diferencias finitas. Además, el método no es capaz de tratar con dominios que contengan ángulos internos de más de 180º y, que la técnica de discretización no garantiza que las coordenadas de las esquinas del volumen de control se mantengan dentro del dominio. Por otra parte, el autor mencionó que el método desarrollado es una poderosa herramienta para generación de mallas ortogonales.

Smith y Johnston (1996) desarrollaron un método computacional para la

generación automática de mallas computacionales alrededor de configuraciones aerodinámicas complejas. El algoritmo utiliza una celda cartesiana incrustada y aproximación no-estructurada, que permiten la colocación eficiente de celdas computacionales para resolver regiones importantes de flujo cerca de la superficie en cuestión. El algoritmo desarrollado necesita una entrada CAD (Computer Aided Design) para definir la geometría del sistema y generar las celdas. La geometría es rota en elementos (líneas para dos dimensiones y parches para tres dimensiones) para permitir la descripción completa de la geometría. Para prevenir celdas demasiado grandes o celdas inaceptables, los autores impusieron una restricción sobre celdas utilizadas para la subdivisión. El método propuesto fue aplicado exitosamente para generar una malla alrededor de un ala NACA 00122, en la cual se resolvió la ecuación de Euler dependiente del tiempo. Los autores concluyeron que su método de generación de malla es extremadamente rápido y no requiere interacción del usuario, sin embargo, ellos mencionaron que se requiere un excesivo número de celdas para resolver características geométricas pequeñas de una geometría.

Posterior al método propuesto por Smith y Johnston, Jeng y Chen (1999)

propusieron una formulación de mínimos cuadrados del método de frontera de punto flotante basado en la ecuación de Beltrami, para la generación de mallas ortogonales con fronteras de punto flotante en dos dimensiones. Ellos se percataron que las formulaciones anteriormente propuestas podrían deteriorar la suavidad de la malla alrededor de las esquinas, por lo que su estudio se enfocó en desarrollar un método robusto de frontera de punto flotante. Los autores llevaron a cabo una serie de

Revisión Bibliográfica Capítulo1

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aplicaciones entre las cuales destaca una región compuesta de dos círculos a la mitad, y una región convergente-divergente. Ellos concluyeron que su método puede manejar problemas con fronteras continuas y discontinuas prescritas. Las pruebas numéricas que realizaron muestran que la mejor combinación de suavidad y ortogonalidad de malla puede ser obtenida empleando el método de frontera de punto flotante varias veces.

Akcelik et al. (2001) desarrollaron un método para generación de mallas

cuasi-ortogonales con control de razón de aspecto en dimensiones, basado en el operador covariante de Laplace y la discretización de diferencias finitas. Ellos mencionaron que al resolver problemas con métodos numéricos la calidad de la malla es importante para minimizar el error computacional. Los autores compararon su método con problemas de la literatura entre los que destacan una región circular y para una región cóncava obteniendo buenos resultados. Ellos concluyeron que su método tiene varias ventajas comparado con métodos previos, no requiere especificación de la función de distorsión, no sufre del colapso de las líneas de la malla como otros, y su método presenta las propiedades del Mapeo Conformal y el Método Eca`s en cuestión de la ortogonalidad. La aplicación de su método a ciertos dominios difíciles mostró que usando fronteras deslizables se incrementa la adaptabilidad del método considerablemente a las condiciones de frontera.

Durbin e Iaccarino (2002) presentaron un método para el refinamiento local

de mallas estructuradas. Ellos mencionaron, que los refinamientos locales pueden hacerse por la adición de segmentos de línea. Estos refinamientos no son hechos en las líneas completas, entonces, pueden quedar segmentos de línea en blanco. Los autores propusieron un método para refinamiento local basado en la técnica de refinamiento no-conformal llamada “refinamiento-h”. El algoritmo fue resuelto por diferencias finitas de primer y segundo orden de exactitud. Los autores resolvieron varios ejemplos, entre ellos una cavidad cuadrada en la cual lograron refinamientos locales en cualquier parte de la cavidad. Los refinamientos hechos en la cavidad les fueron útiles para visualizar el comportamiento hidrodinámico detallado a distintos números de Reynolds del problema de la “cavidad con pared deslizante”. Ellos concluyeron que su método de refinamiento local puede utilizarse en cualquier parte de una malla estructurada.

Souza et al. (2007) desarrollaron una formulación simple de un método para

la generación de mallas bidimensionales. El trabajo desarrollado por los autores está

Revisión Bibliográfica Capítulo1

12

enfocado a la generación de mallas ortogonales, en el cual un algoritmo especial cubico “spline” fue desarrollado para generar la representación analítica de fronteras arbitrarias para dominios bidimensionales. Matemáticamente una spline es un grupo de funciones dependientes, donde cada función es definida por dos puntos nodales consecutivos. La dependencia de las funciones spline, se logra por la imposición de la igualdad de las derivadas en los puntos nodales sobre las funciones que comparten estos puntos. Los coeficientes de las funciones spline se obtienen por eliminación gaussiana. La malla es obtenida por la analogía de líneas de corriente y líneas de potencial, siendo las ecuaciones diferenciales resultantes resueltas por diferencias finitas. Los autores mostraron seis ejemplos de aplicación de su método en los cuales las mallas fueron generadas con éxito. Por último, ellos concluyeron que su método es extremadamente sencillo de implementar computacionalmente, ya que no es necesario realizar la transformación de un plano físico a uno computacional, el método puede extenderse a tres dimensiones. Sin embargo, su método tiene la dificultad de generar mallas con buen espaciado para geometrías con curvaturas pronunciadas. 1.2.3 Conclusión de la Revisión Bibliográfica

Después de haber revisado el estado del arte sobre la generación de mallas estructuradas, es conveniente señalar que, existen una gran variedad de métodos para la generación de mallas, entre los cuales destacan la técnica de coordenadas de cuerpo ajustado (Thompson et al., 1977), el método Eca (Luis Eca, 1996) y la Interpolación Transfinita Multivariante (Smith y Eriksson 1987), ya que estos son de los métodos más utilizados en la actualidad, puesto que son relativamente rápidos computacionalmente y las mallas resultantes de ellos tienen buenas propiedades de malla. También, que cada método tiene sus ventajas y desventajas, por ejemplo, en los métodos de Souza et al., (2007) y Smith y Johnston (1996) se obtienen mallas de manera rápida, sin embargo, están limitados a dos dimensiones y sin curvas pronunciadas en las fronteras. El trabajo más reciente revisado fue el de Kaul (2010), donde el autor se basa en la técnica de coordenadas de cuerpo ajustado desarrollada por Thompson et al. (1977), automatizando la selección de los parámetros de decaimiento, ello sin alterar la técnica original, significando la vigencia de la técnica de Thompson et al (1977) en la actualidad. Entonces, es fundamental la selección de una técnica de mallado adecuada, la cual permita el mallado de geometrías en dos y tres dimensiones y cuente con buenas propiedades de malla (razón de aspecto y distribución de líneas de malla).

Justificación del Estudio Capítulo1

13

1.3 Justificación del Estudio

Básicamente, hay dos maneras de discretización del espacio físico: la discretización estructurada y la no estructurada. En la discretización estructurada, esto es, los volúmenes elementales, son formados por líneas o superficies coordenadas que tienen forma cuadrangular y se encuentran rodeados por la misma cantidad de elementos de volumen, a excepción de los volúmenes frontera (Maliska, 1995). La discretización estructurada permite implementar la técnica de diferencias finitas y volumen finito de manera sencilla, puesto que la matriz de coeficientes resultante queda ordenada de tal manera que pueden implementarse algoritmos de barrido de línea para su solución. En la discretización no estructurada el dominio sometido a análisis se cubre con elementos triangulares o polígonos irregulares. La discretización no estructurada no se recomienda para implementar las técnicas de diferencias finitas y volumen finito, ya que las matrices resultantes carecen de una estructura agrupada, es decir, las matrices resultantes son dispersas, lo cual sería costoso desde el punto de vista computacional. Es por esta razón que en este trabajo se enfoca al desarrollo de un código para mallas estructuradas.

Desde el trabajo pionero de Thompson et al., (1977) en la generación de

mallas estructuradas mediante sistemas de ecuaciones diferenciales elípticos, se ha mejorado el tiempo de cómputo y las propiedades generales de la malla tales como: distribución, razón de aspecto de celda y ortogonalidad (Spekreijse, 1995, Tang y Baeder 2003, Villamizar et al., 2007 y Kaul 2010). Existe una característica notable en todos los trabajos revisados que comprenden la generación de mallas por medio de sistemas de ecuaciones diferenciales elípticos, la cual es que, estos trabajos tienen como base el trabajo de Thompson et al. (1977) y, algunos de estos trabajos están limitados solamente a dos dimensiones. La técnica de Thompson et al. (1977), es la más recurrida por los autores en libros referentes al tema (Maliska, 1995, Thompson et al., 1999, Farrashkhalvat y Miles, 2003) para obtener mallas estructuradas bidimensionales y tridimensionales, ello por las propiedades de las mallas obtenidas con esta técnica: suavidad, razón de aspecto y distribución de puntos de malla. Para el caso tridimensional es imposible mantener las características de malla de otros métodos (distribución y ortogonalidad), siendo la técnica de Thompson la mejor alternativa para mallar cuerpos tridimensionales (Spekreijse, 1995).

Objetivo General Capítulo1

14

Por otra parte, existen otras alternativas para generar mallas estructuradas, entre ellos los métodos algebraicos (Smith y Eriksson, 1987, Souza et al., 2007), el mapeo conformal (Oh y Kang, 1994) y la generación de mallas a partir de otros sistemas diferenciales, tales como el hiperbólico (Liou y Jeng, 1995), incluso se han desarrollado métodos puramente computacionales (Smith y Johnston, 1996).

La principal desventaja de estos métodos alternativos es que casi todos estos

métodos están limitados a geometrías bidimensionales, o en su defecto a geometrías sin curvaturas pronunciadas en sus fronteras.

Por las razones expuestas se seleccionó la técnica avanzada de transformación

de coordenadas (Thompson et al., 1977) para el desarrollo de este trabajo de tesis. 1.4 Objetivo General

Desarrollar un código numérico para generar mallas estructuradas en

geometrías irregulares y/o complejas y acoplar el código desarrollado para resolver problemas de difusión de calor. Objetivos Particulares:

• Desarrollar un código numérico para la generación de mallas

computacionales en geometrías irregulares y/o complejas utilizando la técnica avanzada de transformación de coordenadas desarrollada por Thompson et al (1977).

• Verificar la técnica de generación de mallas con trabajos reportados en la literatura.

• Aplicar el código de mallado para la generación de las mallas de los dos

problemas de difusión planteados: Análisis de la Distribución de Temperaturas en un Aparato de Placa Caliente con Guarda para Medir la Conductividad Térmica (Placa Caliente) y Análisis de la Distribución de Temperaturas en un Instrumento de Barras Cortadas para Medir Conductividad Térmica en Sólidos Conductores y resolver estos problemas.

Estructura de la Tesis Capítulo1

15

1.5 Alcance En este trabajo de maestría se utilizó la técnica de coordenadas de cuerpo

ajustado, la cual utiliza en su planteamiento sistemas de ecuaciones diferenciales elípticas para la generación sistemas coordenados curvilíneos. Esto permite generar la malla computacional de un sistema físico irregular o complejo, ya sea en dos o tres dimensiones. Para ello, las coordenadas de la geometría física se usan como condiciones de frontera para la solución de las ecuaciones diferenciales parciales resultantes de la implementación de la técnica. Las mallas numéricas resultantes son estructuradas. Como resultado, se obtuvo un código computacional general para generación de mallas utilizando la técnica de coordenadas de cuerpo ajustado, el cuál se aplicó para resolver dos problemas de difusión de calor.

1.6 Estructura de la Tesis En el Capítulo 2 se presentan los conceptos básicos sobre las mallas

estructuradas, el mapeo de una región arbitraria a una región regular y se mencionan los métodos de generación de mallas estructuradas. El Capítulo 3 describe en forma detallada la técnica de Coordenadas de Cuerpo Ajustado la cual está basada en sistemas de EDP´s elípticos, también se presenta la Interpolación Transfinita la cual se usa como una primera aproximación de la técnica en cuestión. Por último, en este Capítulo se presenta el modelo matemático de difusión de calor en coordenadas generalizadas. El Capítulo 4 contiene las metodologías de solución para la técnica generación de mallas y la ecuación de difusión de calor, estas metodologías están basadas en las técnicas de diferencias finitas y volumen finito. En el Capítulo 5 se presentan la verificación con problemas de la literatura de los códigos numéricos de generación de mallas y de difusión de calor. En el Capítulo 6 se muestran las mallas resueltas con el código computacional desarrollado y los dos problemas de difusión de calor seleccionados, en ellos se resuelve la difusión de calor en el plano computacional regular mediante el uso de coordenadas generalizadas, mostrando los resultados obtenidos en el dominio físico. Por último, el Capítulo 7 presenta las conclusiones de este trabajo y recomendaciones para trabajos futuros.

16

Capítulo 2  

Conceptos Básicos en la Generación de Mallas 

Este Capítulo explica de manera breve los conceptos básicos en la

generación de mallas. También, se presenta la diferencia entre una malla estructurada y una no-estructurada, así como, los métodos para la generación de mallas estructuradas. Además, contiene los conceptos fundamentales del mapeo de una región física irregular a una regular.

2.1 Introducción

La Mecánica de Fluidos y la Transferencia de Calor son descritas por

ecuaciones diferenciales parciales no lineales, las cuales generalmente no pueden resolverse analíticamente, pero con el tiempo han sido resueltas usando varios métodos aproximados, incluyendo métodos de expansión y perturbación, métodos de vórtice, métodos integrales y, los métodos de diferencias finitas, volumen finito y elemento finito. Los métodos de diferencias finitas, volumen finito y elemento finito han sido los más exitosos. Para el uso de estos, es necesario discretizar el campo usando una malla. Una malla es una colección de puntos distribuida sobre un campo de cálculo, que se utiliza para la solución numérica de un grupo de ecuaciones diferenciales parciales. La malla puede ser estructurada o no estructurada pero debe generarse bajo algunas condiciones que serán descritas más adelante. De hecho, hoy en día puede tomar más horas/hombre construir la malla que construir y analizar la solución física en la malla. Esto es especialmente cierto cuando los códigos de solución para aplicaciones generales están disponibles. La Dinámica de Fluidos Computacional es un claro ejemplo de ello, y la generación de mallas ha sido citada repetidamente en muchos de los trabajos reportados en la literatura (Thompson, 1999). Lo mismo aplica en otras áreas donde se requiere cálculos de campo computacionales.

Clasificación General de Mallas Capítulo 2

17

2.2 Consideraciones para la Generación de Mallas Generalmente, el espaciado de malla debería ser suave y refinado para

resolver cambios fuertes en los gradientes de la solución del fenómeno a analizar. La malla debe también construirse pensando en la eficiencia computacional del código. La exactitud de la aproximación numérica del fenómeno en estudio puede ser deteriorada, si las celdas de malla cambian de manera brusca. Varios cálculos requieren de bastantes datos, los datos se deben organizar de manera adecuada para que los requerimientos de memoria no crezcan hasta límites imprácticos. 2.3 Clasificación General de Mallas

Las mallas se clasifican de acuerdo a su estructura en dos tipos: mallas

estructuradas y mallas no estructuradas. La diferencia básica entre una malla estructurada y una malla no estructurada radica en la forma de agrupar los datos que describen la malla. Estas a su vez se subdividen por los métodos empleados en su generación. 2.3.1 Mallas Estructuradas

Una malla estructurada consiste generalmente de cuadriláteros, los cuales son formados por un grupo de coordenadas y conexiones que naturalmente son mapeados en elementos de una matriz. Los puntos vecinos dentro de la malla en el espacio físico son los elementos vecinos en la matriz de la malla. De esta manera, un arreglo bidimensional x(i,j) puede usarse para almacenar las coordenadas de los puntos para una malla en 2D (Fig. 2.1). El índice i puede seleccionarse para describir los puntos en una dirección, mientras que j describe la posición de los puntos en otra dirección. Por lo tanto, los índices i y j forman las dos familias de líneas curvilíneas. Esta idea naturalmente se extiende a tres dimensiones. La principal ventaja de una malla estructurada es la estructura global de la matriz, lo cual permite aplicar los algoritmos de solución de barrido de línea de manera directa, permitiendo el acople de códigos generales para la solución de fenómenos físicos.

Clasificación General de Mallas Capítulo 2

18

Figura 2.1 – Estructura de la matriz para una malla estructurada.

2.3.2 Mallas no Estructuradas

En una malla no estructurada los puntos no pueden ser representados de la

misma manera que en las mallas estructuradas, entonces se requiere proveer información adicional para describir la malla. Para representar cualquier punto particular, la conexión con otros puntos puede definirse en la matriz de conectividad que se muestra en la Fig. 2.2.

Figura 2.2 – Representación de la matriz de conectividad de una malla no

estructurada.

Una forma típica del formato de datos para una malla no estructurada se

muestra en la Tabla 2.1.

Conceptos Básicos de Mapeo Capítulo 2

19

Tabla 2.1 – Formato de datos para una malla no estructurada. Número de puntos Número de elementos

x1,y1 n1,n2,n3x2,y2 n4,n5,n6 x3,y3 n7,n8,n9

Aquí (x1,y1) son las coordenadas del punto i, y ni = 1, N son el número de

elementos, por ejemplo, la triada (n1,n2,n3) forma un triangulo. Otras formas de matrices de conectividad son también validas, por ejemplo, las conexiones pueden estar basadas en aristas. La ventaja de una malla no estructurada es que los puntos y conexiones no poseen ninguna estructura global. Es posible, entonces, agregar nodos o elementos como la geometría lo requiera.

Por lo tanto, el uso de una malla no estructurada es factible en la

discretización de geometrías complicadas. Sin embargo, la carencia de una estructura global en una malla no estructurada hace que la aplicación de los algoritmos de solución de barrido de línea sean más difíciles de aplicar que en las mallas estructuradas, impactando directamente en el desarrollo del código computacional haciéndolo más complejo e incrementando el tiempo de computo en la solución de problemas en la que se aplique este tipo de discretización. 2.4 Conceptos Básicos del Mapeo de una Región Arbitraria a una Región Regular

Generalmente, para fenómenos físicos que tienen lugar en geometrías

sencillas, por ejemplo, una cavidad rectangular y la sección transversal de un tubo, se elige un sistema coordenado ortogonal adecuado. Estos sistemas coordenados no necesitan transformación alguna, es decir, el plano físico es igual al plano computacional. Sin embargo, cuando la geometría ya no puede ser representada por los sistemas coordenados ortogonales, es necesario realizar una transformación que permita mapear la región física arbitraria a una región computacional regular.

La principal ventaja del mapeo de una región arbitraria a una región regular

es la sencillez con que son aplicadas las condiciones de frontera en la región regular,

Conceptos Básicos de Mapeo Capítulo 2

20

lo cual evita el uso de interpolaciones u otras aproximaciones para la aplicación de las mismas. El uso de la transformación de coordenadas y el mapeo de la región irregular en una regular sobre el dominio computacional no es nuevo. Muchas transformaciones están disponibles en las cuales el dominio físico y coordenadas computacionales son relacionadas con expresiones algebraicas. Pero, tales transformaciones son muy difíciles de construir excepto para algunas situaciones relativamente simples; para la mayoría de los casos multidimensionales es imposible encontrar una transformación.

Para ilustrar los conceptos básicos del mapeo se considera un dominio físico

bidimensional en coordenadas cartesianas x,y y un dominio computacional en coordenadas cartesianas ξ,η. La transformación entre las coordenadas x,y y ξ,η debería ser tal que las fronteras del dominio físico deben coincidir con las coordenadas curvilíneas, de esta manera no se necesita una interpolación para el nodo frontera.

Aquí se consideran situaciones en las cuales las coordenadas cartesianas se

usan ambas en los planos físico y computacional. Sin embargo, el mapeo no necesariamente está restringido a las coordenadas cartesianas, ello puede también ser en coordenadas polares o esféricas.

Las regiones físicas que son transformadas en el dominio computacional

pueden ser identificadas en las dos categorías siguientes: región simplemente conectada y región múltiplemente conectada.

Región simplemente conectada. Considere una región irregular ABCDA en el plano físico x,y en coordenadas cartesianas como se ilustra en la Fig. 2.3a. La región es llamada simplemente conectada porque no contiene obstáculos dentro de la región.

Conceptos Básicos de Mapeo Capítulo 2

21

a) Plano físico b) Plano computacional

Figura 2.3 – Mapeo de una región irregular simplemente conectada en la región computacional como un rectángulo.

Esta región se mapea en el dominio computacional en coordenadas

Cartesianas ξ,η de tal manera que la región mapeada tendrá una forma rectangular y permitirá la construcción de una malla cuadrada sobre ella. Además, las fronteras del dominio físico coincidirán con las líneas coordenadas de las fronteras ξ,η de la región transformada en el dominio computacional. Una forma de realizar el mapeo es seleccionar los valores de ξ,η en dirección de las fronteras de la región física de la siguiente manera:

agrupar, η = constante, ξ = variante en dirección de los segmentos frontera

AB y CD en la región física y agrupar, ξ = constante, η = variante en dirección de los segmentos frontera

BC y DA en la región física. Claramente, con tales requerimientos sobre los valores de ξ y η en dirección

de las fronteras de la región física, los segmentos AB y CD en la región física son mapeados en el dominio computacional como líneas horizontales, mientras que los segmentos BC y DA son mapeados como líneas verticales como se ilustra en la Fig. 2.3b. Se nota que, cada segmento frontera de la región irregular en el dominio físico es mapeado en los lados de una región rectangular en el domino computacional. Adicionalmente, deberá satisfacer los siguientes requerimientos:

1. El mapeo del dominio físico al computacional debe ser uno a uno. 2. Las líneas coordenadas de la misma familia no deben de cruzarse (i.e., ξ o η).

Conceptos Básicos de Mapeo Capítulo 2

22

3. Las líneas coordenadas de diferentes familias no deben de cruzarse más de una vez. Para llevar a cabo estos requerimientos, se necesita una apropiada

organización de los puntos de malla en dirección de las fronteras del dominio físico. Eso es, si I puntos son colocados en dirección de la frontera inferior, segmento AB del dominio físico; I puntos de malla también deben ser colocados en dirección de la frontera opuesta, segmento CD del dominio físico. Similarmente, si J puntos de malla son colocados en dirección de la frontera derecha, segmento BC del dominio físico; J puntos de malla deben también de ser colocados en dirección del segmento DA. Además la identificación de los I puntos de malla colocados en dirección de la frontera inferior AB y los I puntos de malla colocados en dirección del segmento CD deben de satisfacer la siguiente organización importante:

Los valores del vector de posición ri,j en dirección de segmento frontera AB

se seleccionan como, ri,1 (i = 1, 2, 3, …, I) y aquellos en dirección del segmento CD como, ri,J (i = 1, 2, 3, …, I) La identificación de los J puntos de malla en dirección de los segmentos

frontera BC y DA se hacen de manera similar. Estos puntos pueden ser localizados en dirección de los segmentos frontera en cualquier distribución arbitraria, pero se requiere que progresen sobre la frontera sin inversiones como un índice de incremento. Si las regiones de grandes gradientes son conocidas a priori en el dominio físico, las mallas pueden ser concentradas en tales áreas.

Los valores actuales de ξ y η en el dominio computacional son inmateriales,

porque no aparecen en las expresiones finales. Por lo tanto, sin perder generalidad, se puede seleccionar las coordenadas del nodo A en el dominio computacional como ξ = η = 1 y el tamaño de malla como ∆ξ = ∆η = 1. De esta manera, en el dominio computacional se puede construir una malla cuadrada sobre la región rectangular transformada.

Conceptos Básicos de Mapeo Capítulo 2

23

La Fig. 2.4 muestra dos diferentes arreglos para el mapeo de una región irregular del plano físico x,y al plano computacional ξ,η, el mapeo se hace a una región cuadrada con malla cuadrada (i.e., ∆ξ = ∆η = 1). En el primer arreglo mostrado en la Fig. 2.4 imágenes (1a) y (1b), la transformación de varios segmentos frontera del plano físico al computacional se organiza como sigue, Lado AB (8 unidades)……. η = frontera constante Lado BC (9 unidades)……. ξ = frontera constante Lado CD (8 unidades)……. η = frontera constante Lados DE, EF, FG, y GA (3, 2, 2, 2 unidades, respectivamente)…… ξ = frontera constante

Figura 2.4 – Diferentes arreglos para mapeo (Ozisik, 1994).

Conceptos Básicos de Mapeo Capítulo 2

24

En el segundo arreglo mostrado en la Fig. 2.4 imágenes (2a) y (2b), la transformación de varios segmentos frontera del plano físico al computacional se organiza como sigue,

Lados AB, BC (4 unidades y 6 unidades, respectivamente)……. ξ = frontera constante Lados CD, DE (5 unidades y 6 unidades, respectivamente)……. η = frontera constante Lados EF, FG (5 unidades)……. ξ = frontera constante Lado GA (8 unidades)……. η = frontera constante

Una observación del resultado de las líneas de coordenadas curvilíneas ξ,η

construidas sobre la región física revela que la distribución de las líneas de malla curvilíneas ξ,η construidas sobre la región física es significativamente diferente. Por lo tanto, en el mapeo de una región regular del dominio físico al dominio computacional, es deseable examinar diferentes arreglos con objeto de encontrar uno que proporcione la distribución apropiada de malla.

Región Múltiplemente Conectada. Ahora se considera una región irregular

en el dominio físico con un obstáculo en la parte interior como se ilustra en la Fig. 2.5a. La región mostrada en la Fig. 2.5a es una región doblemente conectada, porque hay un solo obstáculo dentro de la región. Cuando hay más de un obstáculo dentro de la región, la región es llamada región múltiplemente conectada. Se consideran las siguientes dos posibilidades para el mapeo de una región doblemente conectada.

a) Plano físico b) Plano computacional

Figura 2.5 – Mapeo de una región irregular doblemente conectada en una región rectangular.

Conceptos Básicos de Mapeo Capítulo 2

25

En la primera aproximación, la región física irregular doblemente conectada se mapea en el dominio computacional como una región rectangular doblemente conectada con una ventana rectangular como se ilustra en la Figura 2.5b. Esto se lleva a cabo seleccionando los valores de ξ,η en dirección de las fronteras del dominio físico en la siguiente manera,

agrupar, η = constante, ξ = variante en dirección de las fronteras AB y DC,

EF y HG en la región física y agrupar, ξ = constante, η = variante en dirección de las fronteras AD, BC, EH

y FG en la región física. En la segunda aproximación, la región irregular doblemente conectada se

mapea en el dominio computacional como una región simplemente conectada rectangular por un corte divisorio como se ilustra en la Fig. 2.6.

Figura 2.6 – Mapeo de una región doblemente conectada en una región simplemente conectada usando un corte divisorio (Ozisik, 1994).

Conceptos Básicos de Mapeo Capítulo 2

26

El bosquejo superior de la Fig. 2.6 muestra como las pseudofronteras BC y

AD se generan por el corte divisorio. El segundo bosquejo ilustra el procedimiento de alargamiento y el inferior muestra el mapeo final en la forma de una región rectangular simplemente conectada.

La Fig. 2.6 ilustra como I puntos de malla se seleccionan sobre el interior y

fuera de las fronteras, mientras que J puntos de malla se seleccionan sobre las pseudo-fronteras BC y AD. Los vectores de posición dentro y fuera de las fronteras son identificados como ri,1 y ri,J, respectivamente, para i = 1, 2, …, I. Similarmente, los vectores de posición sobre las pseudo-fronteras AD y BC son identificados como r1,j y rI,j respectivamente, para j = 1, 2, ..., J. Se nota que hay J – 2 líneas circunferenciales entre las fronteras interior y exterior.

Las pseudo-fronteras en la izquierda y derecha de la región rectangular

corresponden a la misma curva en el dominio físico, por lo tanto se puede escribir r1,j = rI,j, para j = 1, 2, …, J. A través del pseudo-corte, las direcciones de ξ son continuas y en dirección del pseudo-corte las direcciones de η son continuas.

Figura 2.7 Mapeo de una región múltiplemente conectada (Ozisik, 1994).

Finalmente, la Fig. 2.7 ilustra el mapeo de una región múltiplemente

conectada con obstáculos circulares en su interior. Solo una de tres es considerada en el dominio físico por las consideraciones de simetría. Se nota que, el paralelepípedo fuera del contorno del dominio físico es mapeado en un cuadrado en el plano computacional en coordenadas cartesianas ξ,η.

Métodos de Generación de Mallas Estructuradas Capítulo 2

27

El obstáculo circular es mapeado en una ventana cuadrada y los obstáculos semicirculares en ventanas rectangulares. También se muestra en el dominio físico las líneas constantes ξ y η correspondientes a aquellas en el dominio computacional.

El mapeo de la Fig. 2.7 puede hacerse también hacia un dominio computacional simplemente conectado. Este se logra al hacer los cortes divisorios pertinentes como se ilustró en el ejemplo de la región doblemente conectada. 2.5 Métodos de Generación de Mallas Estructuradas

Existen muchos métodos para la generación de mallas estructuradas

disponibles en la literatura. Fundamentalmente, estos pueden clasificarse en algebraicos y diferenciales. Los algebraicos emplean diferentes tipos de interpolación, así como, expresiones analíticas exactas y son bastante versátiles y rápidos. Los diferenciales, llamados así por que emplean sistemas de ecuaciones diferenciales, son más generales, en contrapartida, requieren un tiempo de cómputo sensiblemente mayor y una elaboración matemática más compleja que los métodos algebraicos. 2.5.1 Métodos Algebraicos

En estos métodos, se usan ecuaciones algebraicas para relacionar los puntos

de malla del dominio físico con el dominio computacional. Una vez definida la geometría del dominio físico y el dominio computacional construido, la malla en el dominio físico será obtenida por ecuaciones algebraicas. La base de estos métodos es el uso de técnicas de interpolación y relaciones algebraicas exactas, lo cual permite la obtención rápida de la malla. Esta es la mayor ventaja de los métodos algebraicos.

Para ilustrar la generación de la malla a través de la técnica algebraica,

considere el dominio físico representado en la Fig. 2.8 (a).

Métodos de Generación de Mallas Estructuradas Capítulo 2

28

Figura 2.8 – (a) Dominio físico (b) Dominio computacional

La transformación del dominio físico al computacional mostrado en la Fig. 2.8b, es hecha a través de las relaciones algebraicas siguientes (Ozisik, 1994),

                                                                                                                                                2.1

1ln 2 1 / 2 / 2 1 / 2

ln          2.1

Las relaciones inversas son,                                                                                                                                                  2.2

2 21

                                                                                                           2.2

donde,

Aquí β es el parámetro de estrechamiento el cual asume valores 1 < β < ∞.

Cuando β se aproxima a la unidad, mas puntos de malla son aglomerados cerca de la pared en el domino físico. De esta forma se obtienen las coordenadas x y y en función de las coordenadas del domino computacional ξ y η.

A pesar de que los métodos algebraicos son relativamente simples, esta

técnica representa algunas desventajas tales como:

Métodos de Generación de Mallas Estructuradas Capítulo 2

29

• El método no tiene control del posicionamiento de los puntos, por lo tanto no

garantiza una distribución suave de la malla.

• Si existieran curvas pronunciadas en la frontera, estas pueden propagarse al interior de la región que originan el traslape de líneas, causando problemas debidos a las variaciones abruptas de las métricas.

• No siempre es posible encontrar ecuaciones algebraicas para el mapeo.

Los métodos algebraicos son indicados para dominios simples, siendo

difíciles de aplicar a regiones complejas. Los métodos algebraicos basados en interpolación se usan generalmente como complemento de los métodos diferenciales. Estos sirven para calcular una primera aproximación de la malla en los métodos diferenciales.

El método de generación de mallas estructuradas basado en la Interpolación

Transfinita (Transfinite Interpolation, TFI), es el procedimiento algebraico más rápido basado en interpolación para generar mallas estructuradas. Se usa comúnmente para generar la malla inicial en sistemas basados en Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP’s), este método es descrito más adelante.

2.5.2 Métodos Diferenciales En estos métodos se resuelve un sistema de EDP´s para localizar los puntos

en el interior del dominio físico, esto es, para generar la malla, pueden clasificarse en sistemas elípticos, parabólicos e hiperbólicos, de acuerdo al tipo de ecuación diferencial que se utiliza para generar la malla. 2.5.2.1 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Parciales

Las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden pueden clasificarse

en: elípticas (i), parabólicas (ii) e hiperbólicas (iii). Esta clasificación puede obtenerse considerando el siguiente operador lineal diferencial (Arfken G. y Weber J., 1995):

Métodos de Generación de Mallas Estructuradas Capítulo 2

30

                                                             2.3  

donde los coeficientes a, b, c, d, e y f son funciones de x y y o constantes. Se puede reducir a las formas canonícas (i), (ii) y (iii) de acuerdo al valor del discriminante D = 4ac – b2 > 0, = 0, o < 0. Tomando en cuenta el valor del discriminante se pueden clasificar las siguientes ecuaciones:

0 ,    4 4,       ó         í

,    0,    4 0,       ó     ó      ó

a ,     4 4a ,      ó         ó

Para solucionar cualquier ecuación diferencial parcial se requiere la

especificación de condiciones de frontera y condiciones iniciales cuando estas dependen del tiempo. 2.5.2.2 Condiciones de Frontera

Cuando se conoce un sistema físico en un instante de tiempo específico, la

ley gobernante en el proceso físico y las condiciones de frontera, es posible predecir el desarrollo subsecuente del proceso físico. El problema radica en encontrar las soluciones de la ecuación diferencial parcial en puntos dados, curvas o superficies correspondientes a los problemas de valores en la frontera.

Las condiciones de frontera pueden tomar tres formas:

1. Condiciones de frontera de Cauchy. Se especifican en la frontera el valor de una función y una derivada normal.

2. Condiciones de frontera de Dirichlet. Se especifica en la frontera el valor de una función.

3. Condiciones de frontera de Neumann. Se especifica en la frontera la derivada normal de una función.

Métodos de Generación de Mallas Estructuradas Capítulo 2

31

Analizando la Tabla 2.2 y poniendo especial atención en los casos con superficies cerradas, se encuentra que las EDP´s con mejor comportamiento son las ecuaciones Elípticas. Por lo tanto, la mejor opción para crear un sistema coordenado curvilíneo para superficies cerradas es mediante EDP´s elípticas.

Tabla 2.2 – Condiciones de frontera y solución para los diferentes tipos EDP´s (Arfken G. y Weber J., 1995)

Condición de frontera

Tipo de Ecuación Diferencial Parcial

` Elíptica Hiperbólica Parabólica

Ecuación de

Laplace, Poisson en (x,y)

Ecuación de onda en (x,t)

Ecuación de difusión (x,t)

Cauchy

superficie abierta

superficie cerrada

resultados irreales

(inestabilidad)

muy restringida

solución única

(estable)

muy restringida

muy restringida

muy restringida

Dirichlet

superficie abierta

superficie cerrada

insuficiencia

solución única y

estable

insuficiencia

solución no única

Solución única y estable en una

dirección

muy restringida

Neumann superficie abierta

superficie cerrada

Insuficiencia

solución única y estable

Insuficiencia

solución no única

Solución única y estable en una

dirección

muy restringida

Métodos de Generación de Mallas Estructuradas Capítulo 2

32

2.5.2.3 Generación de Mallas Mediante Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Parciales Hiperbólicos y Parabólicos

Una alternativa para la generación de mallas vía EDP´s es usar un sistema hiperbólico. Los sistemas hiperbólicos pueden tomar condiciones de frontera solo en una porción de la frontera. Por lo tanto, mientras los sistemas elípticos pueden producir una malla en el dominio entero a partir de la distribución de puntos en todas las fronteras, los sistemas hiperbólicos generan la malla por ir hacia afuera de una porción de la frontera. Entonces, los sistemas hiperbólicos no pueden usarse para generar una malla en el dominio entero definido por sus fronteras.

El sistema parabólico se utiliza cuando la física del problema a ser resuelto

también es un modelo parabólico, pues no es necesario almacenar en la memoria de la computadora toda la malla, sólo se almacenan los planos (o líneas) de cálculo.

La generación de mallas mediante sistemas de EDP´s hiperbólicos y

parabólicos es menos recurrida en la literatura, ya que estos sistemas se utilizan para mallar superficies abiertas y otros casos particulares. 2.5.2.4 Generación de Mallas Mediante Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Parciales Elípticos

Desde el trabajo pionero de Thompson et al. (1977) sobre generación de mallas a través de sistemas de EDP´s elípticos, es conocido que los sistemas elípticos de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden producen la mejor malla posible, en el sentido de suavidad y distribución de puntos de malla (Spekreijse, 1995). Los sistemas de generación de malla elípticos cuasi-lineales de segundo orden son llamados sistemas de Poisson con funciones de control a ser especificadas. Estas funciones de control sirven para el aglomeramiento de líneas de malla, tanto en las fronteras como en otras partes dentro del dominio donde se requiera.

En este trabajo se generaron las mallas mediante un sistema de ecuaciones diferenciales parciales elípticas, ya que estos sistemas tienen aspectos a favor que se desean al generar mallas, tales como:

Métodos de Generación de Mallas Estructuradas Capítulo 2

33

• Proporciona una distribución suave de los puntos de malla, esto es, si existen fuertes curvaturas en las fronteras, estas no se propagaran en el interior del dominio.

• Permite la opción de aglomerar puntos de malla y ortogonalidad (para el caso

bidimensional).

• Abarca problemas tridimensionales.

• El principio del máximo es satisfecho por la ecuación de Laplace involucrado en el método de coordenadas de cuerpo ajustado (Strauss, 1992), esto es, el máximo y el mínimo valor de la solución ocurren sobre las fronteras. Esto garantiza que el Jacobiano de la transformación no se anula en el dominio, lo que impide una indeterminación en el uso de las métricas. El principio del máximo también garantiza un mapeo uno a uno en el dominio computacional, en otras palabras, que las líneas coordenadas de la misma familia nunca se interceptaran entre sí (Maliska, 1995).

34

Capítulo 3   Metodología de Transformación de 

Coordenadas   En este Capítulo se presentan la metodología y desarrollo matemático de la

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas (Coordenadas de Cuerpo Ajustado), los fundamentos matemáticos de transformación para la Interpolación Transfinita y la ecuación de Difusión de Calor en un sistema coordenado curvilíneo (coordenadas generalizadas).

3.1 Introducción

En la Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas una malla curvilínea se genera sobre el dominio físico, tal que un miembro de cada familia de las líneas de coordenadas curvilíneas coincide con el contorno de la frontera en el dominio físico. Por lo tanto, el esquema es también llamado “método de coordenadas de frontera ajustada” (boundary fitted coordinate method), o,también se encuentra en la literatura con el nombre de “método de coordenadas de cuerpo ajustado”. Para comprender mejor el planteamiento y desarrollo de esta técnica, es necesario analizar una serie de conceptos matemáticos y tener en mente las ecuaciones diferenciales de Laplace y Poisson.

Debido a que la generación de mallas es esencialmente un problema de valor

en la frontera, las mallas pueden ser generadas de la distribución de puntos (contorno) sobre las fronteras con la solución de ecuaciones diferenciales. La solución de un sistema de EDP´s generalmente se obtiene por iteración, entonces, es necesario contar con una aproximación inicial, la cual en este caso se obtiene utilizando la Interpolación Transfinita.

Transformación de Coordenadas Capítulo 3

35

3.2 Transformación de Coordenadas En esta sección se tratan los aspectos matemáticos relacionados con los

sistemas de coordenadas curvilíneas y su relación con el plano cartesiano, para su aplicación posterior. Este apartado tiene como base el texto de Maliska de 1995. 3.2.1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas

En la Fig. 3.1 se muestra un sistema de coordenadas curvilíneas (ξ,η,ζ)

referidas al sistema cartesiano (x,y,z). Las coordenadas curvilíneas de un punto son referidas al sistema cartesiano con tres ecuaciones de transformación,

, ,                                                                                                                                      3.1 , ,                                                                                                                                     3.2 , ,                                                                                                                                      3.3

Existe la posibilidad de representar un nuevo sistema coordenado en

movimiento con el tiempo, lo que altera en forma funcional las Ecs. (3.1) a (3.3) para involucrar la variable tiempo.

Figura 3.1 – Sistema de coordenadas curvilíneas.

Transformación de Coordenadas Capítulo 3

36

Las métricas de esta transformación pueden obtenerse a través de la función inversa. Las diferenciales de cada eje coordenado están dadas por,

                                                                                                            3.4                                                                                                            3.5                                                                                                              3.6

donde , , , son las derivadas parciales respecto al eje coordenado indicado en el subíndice, escribiendo las Ecs. (3.4) a (3.6) en forma matricial,

                                                                                                           3.7

en forma compacta,

                                                                                                                                  3.8

donde y son las diferenciales en el dominio transformado y en el dominio físico, respectivamente.

A través de las diferenciales en el plano físico, se encuentra,

                                                                                                           3.9

ó,

                                                                                                                               3.10

Usando las Ecs. (3.8) y (3.10), se llega a,

                          3.11

Transformación de Coordenadas Capítulo 3

37

luego, comparando con , elemento por elemento, las métricas están dadas por,

                                                                                                                    3.12

donde,

det1

det                                                                                                                     3.13

ó,

                                    3.14

J es el Jacobiano de la transformación.

Las Ecs. (3.1) a (3.3) representan una transformación de un sistema (x,y,z) a

un sistema (ξ,η,ζ). El teorema de la función inversa, el cual permite la obtención de las relaciones dadas por la Ec. (3.12), admite la existencia de la inversa de la transformación dada por,

, , , ,                                                                                                                                   3.15 , ,

donde las métricas de cada función inversa son,

Transformación de Coordenadas Capítulo 3

38

1

1

1

1

1                                                                                                                     3.16

1

1

1

1

Para ejemplificar, considere la transformación de un sistema de coordenadas

cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas. Considere la transformación, dada por,

                                                                                                                       3.17

entonces, las funciones inversas se encuentran despejando las variables independientes (x,y,z) de la Ec. (3.17), las cuales son:

cos cos sen sen                                                                                                                   3.18

Transformación de Coordenadas Capítulo 3

39

3.2.2 Longitud Diferencial en Dirección de un Eje Coordenado

Considere la Fig. 3.1, donde se evidencia la longitud diferencial dLη, en

dirección del eje coordenado η, y las coordenadas a, b y c del punto A en el sistema cartesiano. Es fácil verificar que,

Δ                                                                                                                                         3.19

Δ                                                                                                                                         3.20

Δ                                                                                                                                         3.21

una vez que, la longitud de , ∆ξ y ∆ζ son iguales a cero. Usando el teorema de Pitágoras, se encuentra,

Δ                                                                                        3.22

Análogamente, las longitudes diferenciales en las direcciones de ξ y ζ son,

Δ                                                                                        3.23

Δ                                                                                         3.24

De acuerdo con la definición del tensor métrico, dada por,

                                                                                        3.25

se nota que las longitudes diferenciales dLξ, dLη y dLζ son, respectivamente,

Δ                                                                                                                                3.26

Transformación de Coordenadas Capítulo 3

40

Δ                                                                                                                                3.27 Δ                                                                                                                                3.28

esto significa que, una longitud diferencial en dirección de un eje coordenado está relacionado con apenas una de las componentes del tensor métrico. Un elemento diferencial general ds, utilizando el teorema de Pitágoras es,

                                                                                                             3.29

Utilizando las expresiones de las diferenciales dx, dy y dz dadas por la Ec.

(3.9) y la definición de tensor métrico gik, se encuentra,

                                                                    3.30

donde gik está definido por la Ec. (3.25) y, lógicamente, posee nueve componentes. Un elemento diferencial general, por lo tanto, involucra todas las componentes del tensor métrico. En la Ec. (3.30), xi y xk representan las coordenadas generalizadas, para i = 1 se tiene x1 = ξ, para i = 2, x2 = η y para i = 3, x3 = ζ. El tensor métrico, en forma matricial, esta dado por,

                                                                                                               3.31

Para los sistemas de coordenadas ortogonales, todas las componentes

cruzadas son iguales a cero. Para un sistema de coordenadas cilíndricas, por ejemplo, usando la definición de gik se tiene,

1                                                                                                                                            3.32

1

con todas las otras componentes iguales a cero.

Transformación de Coordenadas Capítulo 3

41

3.2.3 Áreas en Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Considerando, ahora, dos ejes coordenados pueden obtenerse expresiones que

permiten calcular las áreas en un sistema de coordenadas curvilíneas. En la Fig. 3.2 se muestra esta situación, para un caso bidimensional se puede escribir,

Δ Δ                                                                                                   3.33

Δ Δ                                                                                                  3.34

Figura 3.2 – Área en el plano físico.

De acuerdo con la Fig. 3.2, se puede representar esas longitudes diferenciales

por vectores, como, Δ Δ                                                                                                                    3.35 Δ Δ                                                                                                                   3.36

El área del paralelogramo formado por los dos vectores está dada por el

modulo de vector resultante del producto vectorial de los mismos

Transformación de Coordenadas Capítulo 3

42

Δ Δ 0Δ Δ 0

Δ Δ                                                                3.37

entonces,

Δ Δ                                                                                              3.38 Una interpretación geométrica importante puede ser extraída de la Ec. (3.38),

comparándola con la Ec. (3.14), se constata que la expresión entre paréntesis de la Ecuación (3.38) es, exactamente, 1/J, luego,

Δ Δ  1                                                                                                                                       3.39

es decir, la relación entre las áreas del plano físico y del plano transformado es igual a 1/J. Como es común usar ∆ξ y ∆η unitarios por simplicidad, por lo tanto, los mismos pueden ser arbitrarios, entonces el inverso del Jacobiano es exactamente el valor del elemento de área en el plano físico. En la Fig. 3.3 se muestra un área en el plano físico y su mapeo en el plano transformado. De acuerdo a la Fig. 3.3 se entiende el porqué ∆ξ y ∆η pueden ser arbitrarios. Usando la Ec. (3.14) para una situación bidimensional, el Jacobiano es,

                                                                                                                    3.40

Figura 3.3 – Áreas en los planos físico y transformado.

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

43

Si se aproxima numéricamente la Ec. (3.40) y se sustituye en la Ec. (3.39), se puede comprobar que el producto ∆ξ∆η desaparece, siendo, por tanto, arbitrario el valor de área (o volumen) en el plano transformado.

Para una transformación tridimensional se tiene,

Δ Δ Δ  1                                                                                                                                  3.41

Es posible mostrar que,

1                                                                                                                                             3.42

donde,

det                                                                                                                                    3.43

3.3 Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas

En el presente trabajo, se emplea una discretización estructurada, esto es, los

volúmenes elementales, son formados por líneas o superficies coordenadas y se encuentran rodeados por la misma cantidad de elementos de volumen, a excepción de los volúmenes frontera. Es necesario, entonces, dependiendo de la geometría del dominio de cálculo, generar un sistema de coordenadas curvilíneas que se adapte a esta discretización.

Obtener un sistema de coordenadas significa determinar las funciones , , , , , y , , que satisfagan todas las propiedades

matemáticas de una transformación de coordenadas.

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

44

3.3.1 Uso de Ecuaciones Diferenciales Parciales Elípticas para la Obtención de Sistemas Coordenados Curvilíneos

La motivación de usar ecuaciones diferenciales elípticas para la generación de mallas se encuentra teniendo en cuenta que todos los problemas de campo, flujo potencial, campos eléctricos, conducción de calor, etc., son gobernados por ecuaciones diferenciales parciales elípticas y, por lo tanto, poseen, como soluciones, isosuperficies que puede ser empleadas como superficies coordenadas.

Figura 3.4 – Isotermas obtenidas para un problema de conducción.

Para explorar este punto, considere la Fig. 3.4, donde se muestran las

isotermas para dos problemas de conducción de calor bidimensional, cuyas condiciones de contorno están mostradas en la Figura y las ecuaciones diferenciales gobernantes son:

0                                                                                                                            3.44

y

0                                                                                                                            3.45

Las dos soluciones pueden ser superpuestas para obtener la malla mostrada en

la Fig. 3.5, que puede emplearse para la solución numérica de cualquier otro problema físico. Es claro que, resolviendo las Ecs. (3.44) y (3.45), con las condiciones de contorno dadas, la malla resultante de la superposición de las

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

45

isotermas será ortogonal. En este caso, es posible mostrar que las isotermas de un problema son las líneas de flujo de calor del otro y viceversa.

Figura 3.5 – Sistema coordenado obtenido con la superposición de las isotermas.

Llamando, entonces, T1 de ξ y T2 de η, el sistema generador resultante es,

0                                                                                                                                            3.46 0                                                                                                                                            3.47

Las soluciones de las Ecs. (3.44) y (3.45) o las Ecs. (3.46) y (3.47) forman la

malla, como se muestra en la Fig. 3.5. Las condiciones de frontera empleadas hacen que la malla resultante sea ortogonal. Entretanto, las condiciones de frontera de la derivada nula no se adoptan por provocar que la solución del sistema de ecuaciones sea más complicada y computacionalmente más lenta. Se adoptan, entonces, condiciones de frontera de Dirichlet en todas las fronteras. Para la variable ξ, se tiene,

   Γ    Γ

ó      Γ                                                                                 3.48 ó      Γ

y, para la variable η, se tiene,

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

46

   Γ    Γ

ó      Γ                                                                                 3.49 ó      Γ

Con las condiciones de contorno dadas por las Ecs. (3.48) y (3.49), el sistema

coordenado resultante no será ortogonal. Especificar una distribución dada de ξ, o (T1) en Γ2 y Γ4 es equivalente a establecer un punto de salida de Γ4 y un punto de llegada en Γ2, de una determinada isoterma. Esta condición de contorno no es equivalente a la derivada nula en Γ2 y Γ4, la cual origina una malla ortogonal. Por otro lado, teniendo un buen sentido en la especificación de los puntos donde ξ encuentra Γ2 y Γ4 y donde η encuentra Γ1 y Γ3, es posible generar sistemas cuasi-ortogonales.

Figura 3.6 – Condiciones de contorno cuasi-ortogonales.

Para la ecuación diferencial de ξ, se tiene, en Γ1, ξ = 1, en Γ3, ξ = 5; en Γ2, ξ

= 1, 2, 3, 4 y 5 en puntos seleccionados en el contorno. En Γ4, nuevamente los puntos seleccionados del contorno, ξ = 1, 2, 3, 4 y 5. Observe que, en este caso, las distribuciones de ξ sobre las fronteras Γ2 y Γ4 fueron discretas, más, lógicamente pueden ser funciones en forma cerrada, si la ecuación diferencial para ξ tiene solución analítica.

La solución de la ecuación diferencial para ξ proporciona la distribución deseada. Haciendo las isolíneas de valores ξ igual a 2, 3, y 4 (las líneas de ξ igual a 1

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

47

y 5 son conocidas), se tienen las líneas coordenadas ξ determinadas. Adoptando exactamente el mismo procedimiento para la ecuación diferencial de η, se tienen las líneas coordenadas η determinadas.

Figura 3.7 – Comportamiento de la ecuación de Laplace en superficies convexas y cóncavas.

La característica más importante de las Ecs. (3.46) y (3.47) es que la ecuación de Laplace da origen a coordenadas que presentan una mayor posibilidad de uniformidad de malla, es decir, mejor distribución de puntos de malla. Entonces, mediante las estas Ecs. (3.46) y (3.47) se obtienen celdas curvilíneas que varían de manera gradual formadas por las líneas ξ y η. En las superficies convexas, la tendencia es concentrar las líneas coordenadas, al contrario de las cóncavas, conforme se muestra en la Fig. 3.7. También, es necesaria la concentración de líneas junto a la pared, por ejemplo, en la superficie cóncava mostrada en la Fig. 3.7(a),

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

48

entonces términos fuente deben introducirse en la Ec. (3.47). El sistema generador, que incluye términos fuente para permitir la concentración de líneas donde se requiera, tiene la siguiente forma,

,                                                                                                                                  3.50 ,                                                                                                                                  3.51

3.3.2 Transformación de las Ecuaciones de Generación

Las Ecs. (3.50) y (3.51) poseen como variables dependientes a ξ y η y,

lógicamente, x y y como independientes. Es necesario invertir las Ecs. (3.50) y (3.51) para que tengan como variables dependientes a x y y. Las Ecs. (3.50) y (3.51) son ecuaciones diferenciales parciales y el dominio de la solución es arbitrario, la solución analítica de las mismas no siempre es posible. Por otro parte, la solución numérica recae en el problema que se quiere evitar, esto es, resolver ecuaciones diferenciales en dominios arbitrarios.

La solución propuesta por los investigadores en DFC (Patankar, 1980, Peric,

1985, Maliska, 1995, Date 2005), es resolver las ecuaciones generadoras del sistema coordenado, Ecs. (3.50) y (3.51), en el sistema de coordenadas curvilíneas (plano computacional transformado). De esta forma, tanto las ecuaciones generadoras de malla y las ecuaciones del problema físico, son resueltas en el plano transformado. Se necesita, entonces, transformar las ecuaciones generadoras para el sistema (ξ,η,ζ), el caso de tres dimensiones o (ξ,η) en el caso bidimensional.

Para mostrar el caso general las ecuaciones del caso tridimensional se

transforman a continuación. Las ecuaciones de generación equivalentes a (3.50) y (3.51) para el caso tridimensional son:

, ,                                                                                                                              3.52 , ,                                                                                                                              3.53 , ,                                                                                                                              3.54

dada la trasformación,

, ,                                                                                                                                   3.55 , ,                                                                                                                                   3.56 , ,                                                                                                                                   3.57

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

49

es posible obtener las expresiones para las derivadas de primero y segundo orden de una función f a través de la regla de la cadena. Estas expresiones son,

                                                                                                               3.58                                                                                                               3.59                                                                                                                 3.60

2 2 2

3.61

2 2 2 3.62

2 2 2

3.63

haciendo f = x, y, y z, en la Ec. (3.61), se encuentra,

0                                                                                               3.64 0                                                                                                3.65 0                                                                                                3.66

donde E1, F1 y G1 están dados por,

ζ 2 2 2 ζ                                   3.67 ζ 2 2 2 ζ                                    3.68 ζ 2 2 ζ 2 ζ                                      3.69

El sistema dado por las Ecs. (3.64) a (3.66) puede escribirse en forma

matricial como,

                                                                                                    3.70

De forma semejante, haciendo f = x, y, y z, en la Ec. (3.62), se encuentra,

0                                                                                               3.71

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

50

0                                                                                               3.72 0                                                                                               3.73

donde E2, F2 y G2 están dados por,

ζ 2 2 ζ 2 ζ                                    3.74 ζ 2 2 ζ 2 ζ                                    3.75 ζ 2 2 ζ 2 ζ                                     3.76

ó, en forma matricial,

                                                                                                   3.77

De forma análoga, haciendo f = x, y, y z, en la Ec. (3.63), se encuentra,

0                                                                                                 3.78 0                                                                                                 3.79 0                                                                                                  3.80

donde E3, F3 y G3 están dados por,

ζ 2 2 ζ 2 ζ                                      3.81 ζ 2 2 ζ 2 ζ                                      3.82 ζ 2 2 ζ 2 ζ                                        3.83

ó, en forma matricial,

                                                                                                    3.84

La solución de los sistemas dados por las Ecs. (3.70), (3.77) y (3.84), es,

                                                                                                   3.85                                                                                                   3.86

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

51

ζ ζ ζ ζ                                                                                                     3.87

                                                                                                   3.88                                                                                                  3.89

ζ ζ ζ ζ                                                                                                     3.90

                                                                                                   3.91                                                                                                   3.92

ζ ζ ζ ζ                                                                                                     3.93 Introduciendo las ecuaciones anteriores en la Ecs. (3.52) a (3.54), se llega a,

, , ζ                      3.94 , , ζ                     3.95

ζ ζ ζ , , ζ                       3.96 Haciendo E1 + E2 + E3 = E, F1 + F2 + F3 = F y G1 + G2 + G3 = G, se tiene,

en forma matricial,

ζ ζ ζ                                                                                                        3.97

Resolviendo este sistema, se encuentra que,

ζ ζ ζ ζ                                       3.98

ζ ζ

                                         3.99

ζ ζ ζ ζ

                                    3.100

Sustituyendo las ecuaciones de arriba en las expresiones para E, F y G,

obtenidas de las expresiones para E1, F1, G1, E2, F2, etc., se encuentran las ecuaciones transformadas, dadas por,

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

52

2 2 2                                                           3.101 2 2 2                                                           3.102 2 2 2                                                             3.103

donde,

                                                                                                                        3.104                                                                                                                         3.105

ζ ζ ζ                                                                                                                           3.106                                                                                                            3.107

ζ ζ ζ                                                                                                             3.108 ζ   ζ ζ                                                                                                             3.109)

Usando las relaciones de transformación inversa dadas por la Ec. (3.12), para

sustituir las métricas de los términos E, F, y G, se llega a,

2 2 0                                 3.110 2 2 0                                 3.111 2 2 0                                   3.112

Se observa que los coeficientes a, b, c, d, e, y f, cuyas expresiones ya fueron

escritas anteriormente, pueden, también, ser escritos en función de las derivadas de x, y, z en relación a ξ, η y ζ, usando la Ec. (3.12).

Las Ecs. (3.101) a (3.103) poseen como variables dependientes las

coordenadas (x, y, z) e independientes (ξ, η, ζ). Por lo tanto, la solución de las mismas proporcionara los puntos (x, y, z) del nuevo sistema coordenado. Lo conveniente, ahora, es que las variables independientes pertenecen a un plano computacional fijo y regular, un paralelepípedo en el caso tridimensional. Luego, con la transformación de las ecuaciones de generación al plano transformado, desaparece el problema de resolver las Ecs. (3.52) a (3.54) en un dominio irregular. Naturalmente, las ecuaciones transformadas son más complejas y, también, acopladas entre sí a través de los coeficientes.

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

53

Como las ecuaciones de generación transformadas, dadas por las Ecs. (3.110) a (3.112), no poseen solución analítica fácil, las mismas son resueltas numéricamente, a través de un proceso simple de diferencias finitas.

Las ecuaciones de generación simplificadas para dos dimensiones, tienen la

forma,

21

0                                                                 3.113

21

0                                                                 3.114

donde,

                                                                                                                     3.115

son las componentes del tensor métrico gij asociado a la transformación y el J es el Jacobiano de la transformación, dado por,

                                                                                                                  3.116 3.3.3 Condiciones de Frontera para las Ecuaciones Transformadas

Como x y y son variables dependientes en las ecuaciones transformadas, para

ellas se deben especificar las condiciones de frontera que aparecen naturalmente de la definición de la geometría del problema. En la Fig. 3.8, por ejemplo, se muestran los puntos que definen la geometría los cuales poseen coordenadas x y y conocidas. En el plano transformado de la Fig. 3.9 , estos puntos aparecen en círculos abiertos sobre los segmentos , , , y . En el plano transformado, por lo tanto, todos los valores de x y y son conocidos sobre la frontera y se utilizan como condiciones de frontera de las ecuaciones de generación.

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

54

Figura 3.8 – Condiciones de contorno para x y y.

Como ξ y η son las variables independientes en este procedimiento, se puede

asignar valores arbitrarios a ellas. Por ejemplo, en la Fig. 3.9 se puede atribuir a ξ valores de 1 a N, siendo N el número de líneas en el dominio físico. De esta forma, ∆ξ es igual a 1, lo que es conveniente en la implementación del código computacional. De manera semejante, ∆η puede ser hecho unitario.

Figura 3.9 – Condiciones de frontera para x y y en el plano físico transformado.

En la solución de las Ecs. (3.113) y (3.114), en muchas situaciones, usando

los factores P y Q para atraer las líneas coordenadas, no es posible dar la distribución deseada a las mismas en el interior del dominio. En este caso, la técnica que puede usarse es especificar también los valores de x y y para algunos puntos internos, forzando a las líneas coordenadas a pasar por ellos. Es un procedimiento que funciona bien, pues algunos puntos internos seleccionados adecuadamente pueden dar la característica deseada a la malla. De esta forma, al resolver las ecuaciones de generación, debe tomarse en cuenta que ya existen puntos internos conocidos y que los mismos no necesitan calcularse. El proceso es equivalente a la

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

55

especificación de las condiciones de frontera. La Fig. 3.10 muestra la situación donde sería difícil atraer las líneas coordenadas para la esquina, y las mismas son, entonces, forzadas a pasar por los puntos A, B, y C. Esto puede hacerse en cualquier región del dominio.

Figura 3.10 – Especificación de puntos internos

3.3.4 Funciones de Control de Malla P y Q

Las funciones de control de malla , y , se usan para concentrar las líneas de malla en las regiones donde puede haber fuertes gradientes de la variable a analizar o en regiones de interés. Por ejemplo, en problemas de convección natural ocurren grandes gradientes cerca de las paredes, por lo tanto, los puntos de malla necesitan ser concentrados en tales lugares, Thompson et al. especificaron las funciones , y , de la siguiente forma,

,       | |            3.117

,   | |            3.118

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

56

Se nota que las funciones , y , tienen forma similar excepto que ξ y η se intercambian. El significado físico de los términos en estas ecuaciones es como sigue.

Los índices en la sumatoria N y M denotan el número de línea y

concentración de puntos, respectivamente. El cociente de cada término de P1, P2, Q1

y Q2, por ejemplo, garantiza que la atracción de las líneas ocurra sobre ambos

lados de la línea ξ = ξj o punto (ξi,ηi), ya que este cociente permite el cambio de signo según la línea o punto que se considere para atraer líneas de malla.

Los primeros términos de P y Q, dados por P1 y Q1, poseen un exponencial

cuyo argumento (negativo) es la diferencia entre el valor de la línea coordenada a ser atraída y de la línea coordenada que atrae. Este número crece a medida que aumenta la distancia entre las respectivas líneas, lo que significa que el término decrece con el aumento de la distancia. Por lo tanto, las líneas próximas de la línea que atrae experimentarán más atracción que las distantes, suavizando así la distribución.

Se tiene un comportamiento semejante para los segundos términos de P y Q,

dados por P2 y Q2. En este caso, el parámetro que regula la fuerza de atracción es la distancia entre los puntos que se encuentra en la línea a ser atraída y en los puntos que atraen.

El primer término de la Ec. (3.117) (P1), atrae las líneas constantes ξ para las

líneas ξj. Análogamente, el primer término de la Ec. (3.118) (Q1), atrae las líneas constantes η para las líneas ηj. El segundo término de las Ecs. (3.117) y (3.118), representados por P2 y Q2 respectivamente, atrae las líneas constantes ξ y η para los puntos (ξi,ηi).

Por lo tanto, el primer término de las ecuaciones P y Q es responsable por la

atracción entre las líneas coordenadas y el segundo, por la atracción de las líneas a puntos seleccionados. La Fig. 3.11 muestra el control de las líneas ξ = constante en dirección de la línea coordenadas ξ = ξi y el punto (ξi,ηi).

Técnica Avanzada de Transformación de Coordenadas Capítulo 3

57

(a) (b) Figura 3.11 – Atracción de las líneas ξ = constante en dirección de: (a) línea coordenada ξ = ξj, términos P1 y Q1 de las Ecs. (3.117) y (3.118) y (b) el punto (ξi,ηi) , términos P2 y Q2 de las Ecs. (3.117) y (3.118).

Los cj, cj* y di, di* son los coeficientes de decaimiento que controlan la atracción de las líneas con la distancia, mientras que aj, aj* y bi, bi* son los coeficientes de amplitud. La selección de estos coeficientes depende del problema en estudio, ya que los términos influyen de manera directa en la aglomeración o dispersión de los puntos. Normalmente, los valores de estos coeficientes se escogen por el usuario a través de tentativa y error, hasta la obtención de una malla adecuada.

En la Ec. (3.117) en la primera sumatoria, la amplitud ai es para atraer líneas

ξ = constante en dirección de la línea ξ = ξj; y en la segunda sumatoria la amplitud bi es para atraer líneas ξ = constante en dirección del punto (ξi,ηi).

De esta forma, incluyendo los términos fuentes P y Q en el sistema

generador, se pueden controlar las coordenadas x y y de los puntos en el interior del dominio físico.

Un ejemplo que ayuda bastante a entender el comportamiento de los términos P y Q es el siguiente. Imagine que se está interesado en atraer todas las líneas ξ para la línea ξ = 5 y para el punto (5,4), como se muestra en la Fig. 3.12. El término P de la ecuación diferencial debe calcularse para todos los puntos discretos (ξ,η) en el dominio. Por ejemplo, se calcula el valor de P para los puntos (1,6) y (3,5). Es claro que la atracción que el punto (3,5) experimenta debe ser mayor que la atracción de (1,6). Siempre que estos dos puntos estén siendo atraídos por la línea ξ = 5 y para el punto (5,4).

Interpolación Transfinita Capítulo 3

58

Calculando P(1,6) y P(3,5), se encuentra que,

1,6√

                                                                                                             3.119

3,5√

                                                                                                               3.120

de donde se puede verificar que, realmente, P(3,5) es mayor que P(1,6). Una expresión semejante se usa para Q(ξ,η), siendo, entonces, este término el responsable por la atracción de las líneas η a otras líneas η en puntos definidos.

Figura 3.12 – Comportamiento de los términos P y Q de atracción de coordenadas.

3.4 Interpolación Transfinita (TFI)

La Interpolación Transfinita (Transfinite Interpolation, TFI) es la

aproximación más común para la generación algebraica de mallas. Puede producir excelentes resultados en la generación rápida de mallas donde otros métodos son difíciles de aplicar, y también permite el control directo de los nodos de malla. Muchas regiones bidimensionales se pueden mallar fácilmente usando TFI. Sin embargo, hay geometrías, tales como, un ala y regiones tipo C, donde la TFI no provee una malla adecuada. Las principales desventajas son (1) la carencia de suavidad en la generación de mallas, con cualquier geometría que tenga grandes cambios en las curvas frontera, ya que estas tienden a propagarse al interior de las fronteras, y (2) una tendencia a doblarse cuando las geometrías son complejas.

Interpolación Transfinita Capítulo 3

59

En el presente trabajo la TFI se utiliza como una primera aproximación de la malla a generar. A continuación se presenta esta técnica en dos y tres dimensiones como una suma booleana (Farrashkhalvat M., Miles J.P., 2003)

3.4.1 TFI Bidimensional

Suponga que existe una transformación r = r(ξ,η) (o x = x (ξ,η), y = y (ξ,η))

la cual mapea un cuadrado unitario 0 < ξ < 1, 0 < η < 1 del plano computacional ξ,η a una superficie curva en el plano físico x,y, como se muestra en la Fig. 3.13,

Figura 3.13 – Mapeo de un cuadro unitario en una figura con cuatro lados curvos.

Los bordes ξ = 0, 1 mapean a las fronteras AB y CD, respectivamente, lo cual

se puede formular como r(0,η) y r(1, η), análogamente para las fronteras AC, BD el mapeo es dado por r(ξ,0) y r(ξ,1). Se puede escribir otra transformación llamada proyector, la cual mapea puntos en el espacio computacional al espacio físico, definida por,

, 1 0, 1,                                                                                      3.121

Análogamente, se puede definir el proyector,

, 1 , 0 , 1                                                                                      3.122

el cual mapea el cuadro unitario sobre la región que preserva las fronteras AC, BD, pero reemplaza las fronteras AB, CD con líneas rectas, como se muestra en las Fig. 3.14,

Interpolación Transfinita Capítulo 3

60

Figura 3.14 – Proyector

Se pueden formar el mapeo compuesto , tal que,

, 1 , 0 , 11 1 0,0 0,1 1 1,0 1,11 1 0,0 1 0,1 1 1,0

1,1                                                                                                                        3.123 Esta transformación bilineal tiene la propiedad que los cuatro vértices A, B,

C, D, son preservados, pero las cuatro fronteras se reemplazan por líneas rectas, esto es, el cuadrado unitario es mapeado en un cuadrilátero ABDC tal y como aparece en la Fig. (3.15).

Figura 3.15 – Transformación bilineal

Las líneas constantes ξ = constante y η = constante en el espacio

computacional son mapeadas en líneas rectas en el espacio físico. Es fácil mostrar que esta composición de proyectores, frecuentemente referida como el producto tensor de y , es conmutativo, eso es,

Interpolación Transfinita Capítulo 3

61

                                                                                                                                3.124 Es de hacer notar que al formar el mapeo compuesto ; se obtiene, , 1 0, 1, 1 0, 1, ,

Por lo tanto, se puede escribir:

                                                                                                                                     3.125

la cual es una propiedad de los operadores proyección. Ahora se consideran los varios mapeos del lado η = 0 del cuadrado unitario.

Bajo es mapeado en la línea recta AC; bajo es mapeado en la curva frontera AC, finalmente bajo es mapeado en la línea recta AC. Consideraciones similares aplican a cada lado del cuadrado unitario muestran que el mapeo compuesto ( es una transformación en la cual se mapea la frontera completa del cuadrado unitario en la frontera entera curveada ABCD. Este mapeo es llamado la suma Booleana de la transformación y , y es denotada por . De esta manera,

                                                                                                      3.126

Es claro que . La formulación completa es,

, , , ,1 0, 1, 1 , 0 , 11 1 0,0 1 0,1 1 1,0 1,1

3.127 Esta transformación es la fórmula de la Interpolación Transfinita en dos

dimensiones. Una malla es generada por la Ec. (3.127) tomando valores discretos ξi, ηj de ξ y η con,

01

11          0

1 1

1,         1, 2, … , ,     ,         1, 2, … ,

Interpolación Transfinita Capítulo 3

62

para y seleccionados. 3.4.2 TFI Tridimensional

Una aproximación simple de la TFI en tres dimensiones es extender la definición de los proyectores a 3D. Usando polinomios de Lagrange lineales como funciones de combinación, se pueden definir los siguientes proyectores:

, , 1 0, , 1, ,                                                                          3.128 , , 1 , 0, , 1,                                                                          3.129 , , 1 , , 0 , , 1                                                                          3.130

Ahora el proyector aun mapea las caras opuestas ξ = 0, 1 del cubo sobre

las caras opuestas 0, , , 1, , de R. También, mapea todos los vértices del cubo, (0, 0, 0), (1, 0, 0) etc., sobre los vértices 0,0,0 , 1,0,0 , etc., de R. Sin embargo, los cuatro bordes del cubo los cuales conectan vértices opuestos de las caras ξ = 0 y ξ = 1 son mapeados en líneas rectas conectando los vértices correspondientes de R.

Por ejemplo, , 0,0 1 0,0,0 1,0,0 , 0 1.

Claramente los otros proyectores y tienen propiedades similares. Además todos ellos satisfacen la propiedad básica de proyección dada por la Ec. (3.125).

Si se empieza con solo las dos caras opuestas de R especificadas que son capaces de construir el sistema de coordenadas curvilíneas sobre estas superficies con η y ζ como coordenadas, como se muestra en la Fig. 3.16, se podría tener una malla sobre estas, correspondientes a los valores discretos,

01

1 1 ,        011

1,         1, 2, … , ,     ,         1, 2, … ,

para     . Después, se podría usar , para interpolar una malla entre estas caras,

tomando valores discretos de ξ también, con 0

1,  1, 2, … ,  .

El producto tensor puede expresarse como,

Interpolación Transfinita Capítulo 3

63

, , 1 1 0,0, 1 0,1, 1 1,0,1,1,                                                                                                      

Figura 3.16 – Malla en una superficie

El efecto de esta transformación sobre el cubo unitario es mapear los cuatro bordes rectos paralelos a la dirección ζ sobre las cuatro curvas correspondientes 0,0, , etc., de R. Entre estos bordes curveados se tiene una interpolación entre

las direcciones ξ y η. Este mapeo puede usarse para interpolación lineal si se empieza con solo esos cuatro bordes de R. Los otros productos bilineales tienen propiedades similares, y están dados por,

, , 1 1 , 0,0 1 , 0,1 1 , 1,0, 1,1                                                                                                      3.131

, , 1 1 0, , 0 1 0, , 1 1 1, , 0

1, , 1                                                                                                     3.132

Todos estos productos tienen la propiedad de conmutatividad. También, se puede formular una transformación ‘trilineal’ , la cual puede expresarse como,

, ,1 1 1 0,0,0 1 1 1,0,01 1 0,1,0 1 1 0,0,11 1,1,0 1 1,0,1 1 0,1,11,1,1                                                                                                    3.133

Transformación de la Ecuación General de Convección-Difusión Capítulo 3

64

Esta interpolación trilineal mapea el cubo unitario sobre una región del espacio físico con los mismos vértices como R pero con líneas rectas conectando los vértices.

La suma Booleana puede formularse en términos de los mapeos

anteriores aplicando sucesivamente la definición dada por la Ec (3.126), se tiene,

                                 3.134

La Ec. (3.134) generara una malla dentro de R por interpolación trilineal, tomando valores discretos de ξ, η, y ζ. 3.5 Transformación de la Ecuación General de Convección-Difusión para la Variable Escalar

Las ecuaciones gobernantes en forma conservativa serán transformadas con el objetivo de obtenerlas en el plano computacional.

La ecuación de conservación general escrita en forma vectorial es,

·                                                                                                                             3.135

o en la forma,

                                                                                                          3.136

donde,

                                                                                                                       3.137                                                                                                                                           3.138

Γ                                                                                                                       3.139

Transformación de la Ecuación General de Convección-Difusión Capítulo 3

65

Γ                                                                                                                       3.140

Γ                                                                                                                      3.141

donde es un escalar genérico que representa las propiedades conservativas como masa, cantidad de movimiento, energía, etc., y Γ representa el coeficiente de transporte.

La transformación necesaria para la solución de los problemas transitorios tridimensionales es dada por,   , , ,                                                                                                                            3.142

, , ,                                                                                                                             3.143 , , ,                                                                                                                             3.144

                                                                                                                                               3.145 donde el Jacobiano de las métricas de la transformación son los mismos dados en la sección 3.2 Transformación de Coordenadas, adicionando las siguientes relaciones que involucran el tiempo,

                                                                                                        3.146                                                                                                        3.147                                                                                                          3.148

Usando la regla de la cadena, las derivadas de las componentes del flujo son,

                                                                                   3.149

                                                                                   3.150

                                                                                    3.151

                                                                                    3.152

donde el último término de las Ecs. (3.149) a (3.151) es igual a cero, si τ no es función de x, y y z. Introduciendo estas ecuaciones en la Eq. (3.136) y dividiendo por J, aparecerán términos del tipo:

Transformación de la Ecuación General de Convección-Difusión Capítulo 3

66

,     ,     1,   

Para que las métricas y el Jacobiano queden dentro de la derivada, se sustraen

términos del tipo,

,     ,     ,     1,   

La ecuación resulta, entonces, de la forma conservativa, como

1

                                                                                                                      3.153

Con ayuda de las Ecs. (3.12), (3.146) a (3.148) se puede mostrar que, los

últimos cuatro términos entre corchetes en el lado izquierdo de la Ec. (3.153) son iguales a cero, la ecuación transformada queda,

                                                          3.154

Transformación de la Ecuación General de Convección-Difusión Capítulo 3

67

Definiendo:

                                                                                                                                            3.155

                                                                                                   3.156

                                                                                                 3.157

                                                                                                   3.158

                                                                                                                                             3.159

Escribiendo la ecuación en forma conservativa como,

                                                                                                          3.160

Sustituyendo en la Ec. (3.153) las expresiones de los vectores E, F y G, se

encuentra,

Γ Γ

Γ                                                   3.161

Definiendo la siguientes cantidades,

1

                                                                                               3.162

1                                                                                              3.163

1                                                                                              3.164

Ecuación de Difusión de Calor en el Plano Transformado Capítulo 3

68

y, usando la regla de la cadena para expandir las derivadas de en función de x, y, y z, se encuentra,

Γ Γ

Γ                                                       3.165

donde los coeficientes a, b, c, d, e, y f, fueron dados en secciones previas y , y

son las componentes contravariantes del vector velocidad. La Ec. (3.165) general para un escalar escrita en el sistema (ξ,η,ζ,τ). 3.6 Ecuación de Difusión de Calor en el Plano Transformado

En la sección anterior se transformó la ecuación general de convección-difusión. Debido a que en este trabajo de tesis solo se presentan problemas de difusión de calor, es necesario definir los términos de la Ec. (3.165) que forman parte de la ecuación de difusión de calor en el plano transformado.

Como primer paso se escribe la ecuación de difusión de calor en el sistema

coordenado cartesiano,

                                                    3.166

Es claro, que, los términos de velocidad en esta ecuación son nulos. Por lo

tanto, comparando los términos de la Ec. (3.166) con los términos transformados de la Ec. (3.165), eliminando los términos sobrantes y sustituyendo por la variable T, se llega a

Γ Γ

Γ                                                   3.167

Ecuación de Difusión de Calor en el Plano Transformado Capítulo 3

69

la cual es la ecuación de difusión de calor en coordenadas curvilíneas en tres dimensiones para el plano transformado. En el caso bidimensional se tiene,  

Γ Γ                           3.168

donde,

Γ

70

Capítulo 4  

Solución Numérica de las Ecuaciones Transformadas  

Cuando una ecuación diferencial se resuelve analíticamente sobre una región sujeta a condiciones de frontera especificas, la solución resultante satisface la ecuación diferencial en cada punto de la región. Si el problema no puede ser resuelto analíticamente, generalmente se recurre a una técnica numérica para resolver la ecuación diferencial. En el Capítulo 3 se dedujo el sistema de EDP´s para la generación de mallas y la ecuación de difusión de calor en coordenadas generalizadas, ambos conjuntos de EDP´s no es posible resolverlos analíticamente. En este Capítulo se presentan las técnicas de Diferencias Finitas y Volumen Finito para la solución de las EDP´s mencionadas anteriormente.

4.1 Diferencias Finitas

La Técnica de Diferencias Finitas se utiliza en este trabajo para la

discretización y solución de las ecuaciones de generación de mallas (3.113) y (3.114), debido a que la generación de mallas no se basa en las leyes de conservación, sino en principios puramente matemáticos y las EDP´s se resuelven para encontrar puntos discretos (Thompson et al., 1999).

Cuando se usa una aproximación por diferencias finitas, el dominio del

problema es discretizado tal que los valores de la variable dependiente desconocida se consideran solo en un número finito de puntos en lugar de cada punto sobre la región. Si N nodos son seleccionados, N ecuaciones algebraicas son desarrolladas discretizando las ecuaciones gobernantes y sus condiciones de frontera, esto es, el problema de resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales sobre su dominio, se convierte en la tarea de desarrollar un grupo de ecuaciones algebraicas y resolverlas en los puntos discretos por un algoritmo recomendable.

Diferencias Finitas Capítulo 4

71

Las dos aproximaciones comúnmente usadas para discretizar las derivadas en las ecuaciones diferenciales parciales son (i) el uso de la expansión por series de Taylor, y (ii) la aproximación del volumen de control.

Este trabajo de tesis hace mención únicamente a las aproximaciones por

expansión en series de Taylor, puesto que se utilizan las ecuaciones que aquí se plantean en apartados posteriores. Cabe señalar que; a partir de la aproximación de volumen de control se desarrolló la técnica de Volumen Finito, la cual también se presenta en este trabajo.

4.1.1 Formulación en Series de Taylor

La idea de la representación en diferencias finitas de una derivada puede ser

introducida recordando la definición de la derivada de la función F(x,y) en x = x0, y y = y0,

lim∆

∆ , ,∆                                                                                       4.1

Claramente, si la función F(x,y) es continua, el lado derecho de la Ec. (4.1)

puede ser una aproximación razonable para / con ∆x suficientemente pequeño pero finito.

Una forma básica para desarrollar la aproximación de diferencias finitas para

las derivadas es a través del uso de la expansión por series de Taylor. Considere la expansión en series de Taylor de una función f(x) para x0 hacia adelante (i.e., en dirección positiva de x) y hacia atrás (i.e., en dirección negativa de x) las cuales están dadas, respectivamente, por:

∆ ∆∆2!

∆3!                                  4.2

∆ ∆∆2!

∆3!                                  4.3

Estas dos expresiones forman la base para el desarrollo en diferencias finitas

para la primera derivada df/dx, alrededor de x0. Reacomodando las Ecs. (4.2) y (4.3),

Diferencias Finitas Capítulo 4

72

las aproximaciones en diferencias finitas adelantada y atrasada para la primera derivada, respectivamente, son:

∆∆ 0 ∆                                                               4.4

∆

∆ 0 ∆                                                                    4.5

donde el “orden de notación 0(∆x)” caracteriza el error de truncamiento asociado con la aproximación de diferencias finitas y representa la diferencia entre la derivada y su representación en diferencias finitas. Para el caso dado por la Ec. (4.4) es,

0 ∆∆2

∆6

  …                                                                              4.6

Restando la Ec. (4.3) de la Ec. (4.2) se obtiene la aproximación para la

diferencia finita “centrada”,

∆ ∆2∆

0 ∆ 0 ∆                                       4.7

donde,

0 ∆∆6

∆120

 …                                                                   4.8

Si se pone atención al error de truncamiento asociado con varias representaciones de diferencias finitas, se revela que la diferencia centrada es de segundo orden de error en ∆x, por lo tanto, es una aproximación más exacta que las diferencias adelantada y atrasada.

En los desarrollos anteriores, solo se usaron dos puntos de malla para la

aproximación de la primera derivada. Sin embargo, hay situaciones en las cuales se necesitan más puntos de malla para obtener una aproximación en diferencias finitas de las derivadas con objeto de mejorar la exactitud de la representación.

Diferencias Finitas Capítulo 4

73

4.1.1.1 Aproximación en Diferencias Finitas para la Primera Derivada

Considere que se selecciona el punto de malla x0. La notación i+1 e i-1, se refiere, respectivamente, a los puntos de malla en x0+∆x y x0–∆x. Similarmente, la notación i+2 e i-2, se refiere, respectivamente, a los puntos de malla en x0+2∆x y x0–2∆x, etcétera. Usando esta notación, se presentan abajo formulaciones de dos puntos para la primera derivada.

Formulación de dos puntos:

0                                                                                          4.9

0                                                                                              4.9

2 0                                                                                           4.9

donde h = ∆x. Las tres formulas pueden ser escritas en forma compacta como una sola ecuación en la forma siguiente,

1 2 1

2Δ                                                                                    4.10

donde,

1         0              1             

Cabe señalar que es posible plantear formulaciones de tres, cuatro o más

puntos para representar la primera derivada y mejorar la exactitud de la aproximación. Sin embargo, esto se verá reflejado en el algoritmo de solución del sistema de ecuaciones algebraicas resultantes y en el tiempo de cómputo.

4.1.1.2 Aproximación en Diferencias Finitas para la Segunda Derivada

Las expansiones por series de Taylor dadas por las Ecs. (4.2) y (4.3) pueden

ser usadas para desarrollar aproximación de diferencias finitas para la segunda derivada.

Diferencias Finitas Capítulo 4

74

Para obtener la aproximación de la diferencia centrada para la segunda

derivada, se suman las Ecs. (4.2) y (4.3), la expresión resultante es resuelta para d2f/dx2, con ello se llega a,

2

0                                                                                4.11

donde,

0 12  … 

Para desarrollar las aproximaciones para las diferencias adelantada y atrasada

para la segunda derivada, las funciones f(x0+2∆x) y f(x0–2∆x) se expanden en series de Taylor. La función f’(x0) se elimina entre la expansión de f(x0+2∆x) y la expansión dada por la Ec. (4.2), y la expresión resultante se resuelve para d2f/dx2. La aproximación en diferencias finitas adelantada para la segunda deriva es,

2

0                                                                             4.12

Análogamente, la función f’(x0) es eliminada entre la expansión de f(x0–2∆x)

y la expansión dada por la Ec. (4.3), y la expresión resultante es resuelta para d2f/dx2. La aproximación en diferencias finitas atrasada para la segunda deriva es,

2

0                                                                                  4.13

donde

0  … 

La aproximación en diferencias finitas para la segunda derivada dada arriba utiliza tres puntos de malla. Pueden desarrollarse aproximaciones que utilicen más de tres puntos de malla.

Diferencias Finitas Capítulo 4

75

4.1.1.3 Aproximación en Diferencias Finitas para Derivadas Parciales Mixtas

Frecuentemente, podría ser necesario representar derivadas parciales mixtas, tales como / , en diferencias finitas. Las aproximaciones en diferencias finitas pueden ser desarrolladas por la aplicación sucesiva de la diferencia finita de la primera derivada en las variables x y y.

Para propósitos ilustrativos, se considera la aproximación de la derivada

parcial mixta / y se usa la formula de diferencia centrada Ec. (4.9c) para discretizar la primera derivada para ambas variables x y y. Se tiene,

12∆ , ,

0 ∆                                                                 4.14

donde los subíndices i y j denotan los puntos de malla asociados con la discretización en las variables x y y, respectivamente. Aplicando la formula de la diferencia centrada una vez más para discretizar las derivadas parciales con respecto a la variable y en el lado derecho de la Ec. (4.14a), se obtiene,

12∆

, ,

2∆, ,

2∆ 0 ∆  , ∆             4.14

la cual es la aproximación en diferencias finitas de la derivada parcial mixta

/ usando diferencias finitas centradas para ambas variables x y y. El orden de la diferenciación es inmaterial si las derivadas son continuas, esto es / y

/ son iguales.

En el ejemplo anterior se aplicaron diferencias finitas centradas para ambas variables x y y. Si se consideran todas las combinaciones de las diferencias adelantada, atrasada y centrada, entonces, se tienen nueve casos para la aproximación en diferencias finitas para / . La Tabla 4.1 contiene una lista de las aproximaciones en diferencias finitas para cada uno de los nueve casos

Diferencias Finitas Capítulo 4

76

Tabla 4.1 – Aproximación en diferencias finitas de la derivada parcial mixta /

Caso

Esquema Diferencial x y

Aproximación en Diferencias Finitas

Orden de Error

1

AD AD

1∆

, ,

∆y, ,

∆

0 ∆ , ∆

2

AD AT

1∆

, ,

∆y, ,

∆

0 ∆ , ∆

3

AD CE

1∆

, ,

2∆y, ,

2∆

0 ∆ , ∆

4

AT AD

1∆

, ,

∆y, ,

∆

0 ∆ , ∆

5

AT AT

1∆

, ,

∆y, ,

∆

0 ∆ , ∆

6

AT CE

1∆

, ,

2∆y, ,

2∆

0 ∆ , ∆

7

CE AD

12∆

, ,

∆y, ,

∆

0 ∆ , ∆

8

CE AT

12∆

, ,

∆y, ,

∆

0 ∆ , ∆

9

CE CE

12∆

, ,

2∆y, ,

2∆

0 ∆ , ∆

AD = Diferencia Adelantada, AT = Diferencia Atrasada, CE = Diferencia Centrada (Ozisik, 1994).

El orden de error de truncamiento asociado con los nueve casos de la Tabla 4.1 puede verificarse por la expansión en series de Taylor en las dos variables. Por ejemplo, para verificar el resultado 0 ∆ , ∆ mostrado para el caso número nueve, se expande cada término siguiente en series de Taylor,

, ∆ , ∆ , ∆ , ∆ , ∆ , ∆

Volumen Finito Capítulo 4

77

, ∆ , ∆

y se sustituyen los resultados en la formula de diferencias finitas dada por la Ec. (4.14b), la cual usa diferencias centradas en ambas variables. Después de algunas simplificaciones, se puede mostrar que el error de truncamiento esta dado por,

∆6

∆6  …                                                                           4.15

De esta manera la diferencia dada por la Ec. (4.14b) tiene orden de exactitud

de 0 ∆  , ∆   . 4.2 Volumen Finito

El método de Volumen Finito surgió a partir de la aproximación de volumen de control del método de diferencias finitas (Patankar,1980). El método consiste en definir una malla numérica cuyo dominio es dividido en un número finito de volúmenes de control, ordenados consecutivamente sin traslaparse. En este método se utiliza la forma integral de las ecuaciones de conservación, las cuales se aplican a cada punto de malla (nodo). Estos son colocados de manera intencional en el centro de cada volumen de control (VC), para el cálculo de la variable dependiente.

La metodología numérica de volumen finto se resume en los siguientes pasos:

• Definir y generar una malla numérica, la cual representa el dominio de cálculo en que se desea conocer el valor de las variables dependientes.

• Integración y discretización de las ecuaciones gobernantes del fenómeno que se estudia, sobre todos los volúmenes de control del dominio de solución.

• Solución de las ecuaciones algebraicas mediante un algoritmo iterativo. La característica principal del método de volumen finito es la integración

sobre cada volumen de control, esto a su vez, le proporciona clara ventaja sobre otros métodos, puesto que tal integración, representa conservación de masa, de cantidad de movimiento y de energía para cada volumen de control finito, y por supuesto sobre el dominio global de cálculo

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

78

. El método de volumen finito puede ser utilizado con mallas uniformes y no uniformes, y por ende, ser aplicado a geometrías complejas, ya que la malla computacional únicamente define las fronteras de los volúmenes de control. Por esta razón, se elige este método para la solución de la ecuación de difusión de calor. Cabe mencionar que los principales códigos comerciales utilizados para la simulación de la dinámica de fluidos, tales como: CHAM (PHOENICS), FLUENT, FLOW3D Y STAR-CD están fundamentados en el método de volumen finito (Versteeg y Malalasekera, 1995). 4.3 Solución Numérica de las Ecuaciones para la Generación de Mallas Estructuradas 4.3.1 Discretización de las Ecuaciones de Generación de Malla

Con la metodología establecida el próximo paso es resolver las Ecs (3.113) y

(3.114), para determinar los puntos internos del dominio físico. Escribiendo las Ecs (3.113) y (3.114), para una variable genérica , donde representa x y y, se tiene,

21

0                                                                    4.16

Se debe aproximar numéricamente los términos de la Ec. (4.16), lo que es

hecho empleando la técnica de diferencias finitas.

Figura 4.1 – Plano físico transformado.

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

79

=

Utilizando las diferencias centradas de las Ecs. (4.9c), (4.11) y (4.14) e intercambiando la función f por la variable genérica , tomando en cuenta la Fig.(4.1), se obtienen las siguientes expresiones para las derivadas parciales de la Ec. (4.16),

2

Δ                                                                                                               4.17

2Δ                                                                                                                 4.18

4Δ Δ                                                                                             4.19

2Δ                                                                                                                               4.20

2Δ                                                                                                                                4.21

Sustituyendo las ecuaciones anteriores, en la Ec. (4.16), se tiene,

2

Δ2

Δ 2 4Δ Δ

2Δ 2Δ0 

expandiendo los términos entre paréntesis,

Δ Δ2Δ Δ Δ

2Δ 2Δ Δ 2Δ Δ 2Δ Δ

2Δ Δ 2Δ 2Δ 2Δ 2Δ 0

reagrupando términos se llega a,

2Δ

2Δ       Δ 2 Δ Δ 2 Δ Δ 2 Δ  

Δ 2 Δ 2Δ Δ 2Δ Δ 2Δ Δ

2Δ Δ

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

80

Escribiendo de forma compacta la expresión anterior se obtiene la ecuación de coeficientes agrupados,

                                                                                                              4.22

considerando por simplicidad ∆ξ = ∆η = 1, es decir, el dominio físico irregular es mapeado al dominio computacional regular con espaciamiento entre líneas de malla igual a uno, se obtienen los siguientes coeficientes para la Ec. (4.22):

2

2

2

2

2                                                                                                                            4.23

2

2

2

2

La forma tridimensional de las ecuaciones de generación es, también,

fácilmente colocada en la forma de la Ec. (4.22). Las cantidades α, β, ζ y J se calculan de sus representaciones de diferencias

finitas. La Fig. 4.2 muestra la discretización del espacio para la obtención de las métricas.

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

81

Figura 4.2 – Discretización del espacio para la obtención de las métricas.

Tomando en cuenta la Fig. 4.2, y el coeficiente α de la Ecs. (4.23), se tiene,

                                                                                                                   4.24

donde (xη)P y (yη)P se calculan utilizando diferencias centradas,

, ,  2∆                                                                                                               4.25

, ,

2∆                                                                                                               4.25

Se escriben expresiones similares para β, ζ y J.

4.3.2 Implementación Numérica de la TFI

La TFI se usa como primera aproximación para asignar valores supuestos a la Ec. (4.16), haciendo referencia a la Fig. 4.3 la Ec. (3.127) se puede escribir como,

, 1 1 1 1 0

1 0 1 1 1                                                   4.26 donde las abreviaciones l, r, b y t toman significado de las palabras en inglés correspondientes: left (izquierda), right (derecha), bottom (inferior) y top (superior).

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

82

Figura 4.3 – Mapeo de las curvas frontera.

En los cuatro vértices del dominio físico se requiere tener consistencia, esto

es:

0 0 ,       1 0 ,        1 1 ,        0                                4.27 La Ec. (4.26) es equivalente a las 2 ecuaciones de sus componentes,

, 1 1 1 1 01 0 1 1 1                                                 4.28

, 1 1 1 1 0

1 0 1 1 1                                                 4.29 Las Ecs. (4.28) y (4.29) pueden ser fácilmente programadas en cualquier

lenguaje de programación matemático. La implementación en 3D se puede llevar a cabo de manera semejante siguiendo los mismos pasos considerando un cubo unitario.

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

83

4.3.3 Algoritmo de Solución de las Ecuaciones de Generación de Malla

El sistema lineal resultante de la discretización de la Ec. (4.16) puede ser resuelto empleando cualquier método de solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. En general, se emplean los métodos iterativos punto a punto, como el S.O.R. (Successive Over-Relaxation), o línea por línea, como el TDMA (Tri-Diagonal Matrix Algorithm).

El algoritmo de solución recomendado es el siguiente (Maliska, 1995):

1. Estimar un campo x y y para todos los puntos internos. Esto puede hacerse simplemente tomando los puntos de las fronteras, uniendo por rectas y subdividiendo este segmento en un número de segmentos igual al número de elementos especificados para aquella dirección. Deben tomarse precauciones para no generar un campo inicial exageradamente irreal, ya que la solución consumirá un mayor tiempo de cómputo, o puede divergir. Es recomendable el uso de algún método algebraico de generación de mallas, en este caso se utiliza la Interpolación Transfinita la cual produce muy buenos resultados en la mayoría de los casos como primera aproximación.

2. Calcular las componentes del tensor métrico, α, β y ζ. En el caso tridimensional, las otras componentes también deben calcularse.

3. Resolver la Ec. (4.16) para cada componente y obtener un nuevo campo de x

y y.

4. Volver al punto 2 e iterar hasta encontrar una distribución de x y y adecuada. En este punto, es muy importante resaltar que las ecuaciones generadoras no necesitan resolverse con precisión rigurosa. La precisión de la solución de estas ecuaciones no tiene influencia sobre la exactitud de la solución del problema físico.

4.3.3.1 Diagrama de Flujo para Generación de Malla

Considerando el algoritmo previamente planteado, a continuación se muestra

el diagrama de flujo del programa principal, el cual se utilizó para implementar el

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

84

código numérico SGRID2D (Structured Grid Two Dimensions) en el lenguaje de programación FORTRAN. La subrutina TFI2D se describe en el apéndice A.

Impresión del archivo de resultados (malla plano físico).

Definición del contorno a mallar (plano físico)

Cálculo de la primera aproximación por medio de la subrutina TFI2D

Límite de iteraciones alcanzado

Declaración de variables y constantes

SGRID2D

1 10

Criterio de convergencia

FIN

Puntos 3 y 4 del algoritmo

Puntos 1 del algoritmo

Cálculo de coeficientes de la ecuación de generación discreta Ec. (4.23) (plano computacional)

Solución de la ecuación de generación discreta Ec. (4.22), por

medio del TDMA LGS-ADI

Puntos 2 del algoritmo

Solución Numérica de las Ecuaciones para la Generación de Mallas Estructuradas Capítulo 4

85

4.3.4 Definición de las Propiedades de Malla

El primer paso para la resolución de los fenómenos físicos sobre mallas de cuerpo ajustado es la generación de la malla. Los puntos de malla se calculan con la metodología previamente planteada. Los puntos de malla calculados son las esquinas de los volúmenes de control, y después los nodos son localizados en el centro de las celdas. Los centros de las celdas son evaluados de acuerdo a las Ecs. (4.30) tomando en cuenta la Fig. 4.4 (Lifante, 2006).

14

                                                                                              4.30 14                                                                                              4.30

Figura 4.4 –Volumen de control genérico, nodo central P y las esquinas.

donde (vx, vy) son las componentes de los vértices de la malla en las direcciones x y y, respectivamente, en el sistema coordenado cartesiano.

La exactitud de la solución numérica así como la estabilidad o convergencia depende, en parte, de las propiedades de la malla computacional, las características deseadas están relacionadas a la ortogonalidad, espaciado de malla, suavidad y alineamiento de las líneas de malla y las líneas de corriente (Peric, 1985).

Ortogonalidad: minimizar la desviación de la ortogonalidad es aconsejable

porque hay menos influencia de los términos de las derivadas cruzadas que aparecen en las ecuaciones discretas, y las soluciones numéricas son más estables y convergen más rápido. Sin embargo, no en todos los casos se pueden conseguir mallas ortogonales o cuasi-ortogonales, por lo que si se usan mallas no ortogonales es recomendable tomar en cuenta el uso de un buen esquema de interpolación en los

Solución Numérica de las Ecuaciones para la Generación de Mallas Estructuradas Capítulo 4

86

volúmenes de control y no omitir ningún término en las ecuaciones transformadas donde aparecen las derivadas cruzadas.

Espaciado de línea: la exactitud de los diferentes esquemas es afectado por

el espaciado de línea. Si se lleva un análisis por Series de Taylor, se observa que todos los esquemas pierden exactitud si la malla es no uniforme (Lifante, 2006). Una malla uniforme, por lo tanto, parecería ser preferible. Sin embargo, esto no siempre es posible. En flujos con configuraciones complejas hay zonas con grandes gradientes de la variable, y consecuentemente se desea un refinamiento de malla. Si existen también zonas con bajos gradientes, una malla burda podría ser suficiente. De esta manera, una malla no-uniforme se requiere con objeto de optimizar la localización de los nodos de malla.

Otros parámetros de espaciado de malla son las relaciones de aspecto. De acuerdo con la Fig 4.5 las relaciones de aspecto se definen como,

,                                                                                                                              4.31

Figura 4.5 – Volumen de control característico en una malla de cuerpo ajustado.

donde,

                                                                                                                      4.32

                                                                                                                      4.32

el valor no debe exceder de 10 (Peric, 1985). Esto influencia en la estabilidad de la solución del método y la determinación de la solución, porque puede generar coeficientes negativos en las derivadas cruzadas.

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

87

El índice de convergencia de algunos métodos iterativos es adversamente afectado por grandes relaciones de aspecto.

Suavidad: esta propiedad se refiere al cambio relativo en la dirección de un volumen de control al adyacente. Esto afecta la exactitud del método de interpolación empleado para calcular los valores de la variable en sus locaciones aparte de los nodos, donde la información es almacenada. Esto influencia especialmente sobre interpolaciones lineales. Interpolaciones de alto orden pueden desarrollarse para evitar esta desventaja, pero son computacionalmente costosas y pueden afectar la estabilidad y determinación de la solución.

Líneas de malla y alineamiento de líneas de corriente: la exactitud de la

solución numérica es afectada por la oblicuidad de las líneas de corriente, y su alineamiento es una propiedad deseable. Sin embargo, para lograr el alineamiento, es necesario conocer la línea de corriente patrón por adelantado, el cual no es un caso usual. Así, la generación de la mejor malla necesitaría procesos adaptativos, los cuales son complejos y difíciles. Si el proceso de generación de malla permite al usuario cambiar los parámetros, y se tiene conocimiento del fenómeno involucrado (sus líneas de corriente) esto puede ayudar a diseñar una malla más apropiada para el caso de flujo de fluidos. 4.4 Solución Numérica de la Ecuación de Difusión de Calor en Coordenadas Curvilíneas en Dos Dimensiones 4.4.1 Discretización de la Ecuación de Difusión de Calor en Coordenadas Curvilíneas en Dos Dimensiones

Reescribiendo la Ec. (3.168) para la variable genérica en el sistema de

coordenadas curvilíneas en dos dimensiones es,

Γ Γ Γ Γ                       4.33

donde los coeficientes αij están dados por:

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

88

                                                                                                                                        4.34

                                                                                                                                        4.34

                                                                                                                            4.34

Los parámetros a, b, d, J y S están definidos como,

                                                                                                                                  4.35                                                                                                                                   4.35

                                                                                                                         4.35                                                                                                                  4.35

                                                                                                                                       4.35

donde,

                                                                                                                                         4.36                                                                                                                                      4.36                                                                                                                                      4.36

                                                                                                                                        4.36 Observe que los términos que contienen αij, con i diferente de j, son términos difusivos originados por la no-ortogonalidad de la malla.

Adoptando una formulación totalmente implícita, esto es, todos los términos de la ecuación son evaluados en t + ∆t, la integración de la Ec. (4.33) en el tiempo y en el volumen elemental, mostrado en la Fig. 4.6, es,

Δ

                                   4.37

donde:

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

89

Δ Δ                                                                                                                             4.38

Δ Δ                                                                                                                             4.38

ΓJ Δ                                                                                                                              4.38 Γ Δ                                                                                                                             4.38 Γ Δ                                                                                                                             4.38 Γ Δ                                                                                                                             4.38

Figura 4.6 – Volumen de control elemental en el plano transformado.

Se utiliza un Esquema Centrado para la discretización de todas las derivadas.

Para las derivadas regulares se obtiene,

Δ ,    Δ ,     Δ ,    Δ  

y para las derivadas cruzadas,

4Δ,    

4Δ

4Δ ,     4Δ

Sustituyendo las relaciones anteriores en la Ec. (4.37),

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

90

Δ Δ 4Δ

Δ 4Δ

4Δ Δ

4Δ Δ

separando los términos entre paréntesis,

Δ

Δ Δ 4Δ 4Δ 4Δ 4Δ

Δ Δ 4Δ 4Δ 4Δ 4Δ

4Δ 4Δ 4Δ 4Δ Δ Δ

4Δ 4Δ 4Δ 4Δ Δ Δ

reagrupando términos,

Δ Δ Δ Δ

Δ 4Δ 4Δ Δ 4Δ 4Δ

Δ 4Δ 4Δ Δ 4Δ 4Δ

4Δ 4Δ 4Δ 4Δ

4Δ 4Δ 4Δ 4Δ

Escribiendo de forma compacta la expresión inmediatamente anterior, se tiene,

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

91

                                                                                                                            4.39 considerando ∆ξ = ∆η = 1, se obtienen los siguientes coeficientes para la Ec. (4.38):

| | | |

|4 4

|4 4

|4 4

|4 4                                                                                                       4.40

4 4

4 4

4 4

4 4

4.4.1.1 Transformación y Discretización de las Condiciones de Frontera para la Ecuación de Difusión de Calor en Coordenadas Curvilíneas

Generalmente, las condiciones de frontera son: de primera clase, segunda o

tercera clase. A continuación se explica de manera breve las tres condiciones y su transformación.

Condición de frontera de primera clase. Si la condición de

frontera es de primera clase, eso es, el valor de la temperatura o la variable es prescrito en la frontera del dominio físico no es necesaria una transformación, porque los valores de especificados en dirección de las fronteras en el dominio físico se mantienen igual en los lugares correspondientes de malla en dirección de las fronteras del dominio computacional.

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

92

Condición de frontera de segunda clase. Si la condición de

frontera es de segunda clase, eso es, el valor del flujo de calor está prescrito en la frontera, entonces la condición de frontera involucra la derivada de una variable de campo normal a la frontera. Para tal caso, la derivada normal ∂ /∂n debe expresarse en términos de las variables independientes ξ,η del dominio computacional. Se nota que, ∂ /∂n en la frontera del plano físico necesita ser relacionada a ∂ /∂η y/o ∂ /∂ξ en el dominio computacional, porque las líneas coordenadas ξ y η no son necesariamente normales a las fronteras físicas. La razón es que, la frontera en el plano físico corresponde a las líneas coordenadas ξ = constante o η = constante, por lo tanto ∂T/∂η no puede ser la misma diferencial como ∂ /∂ξ o ∂ /∂η.

Existen varias representaciones en Volumen Finito y Diferencias

Finitas de la condición de frontera de segunda clase. Sin embargo, estas representaciones involucran valores de desconocidos los cuales están localizados en la frontera (Maliska, 1995; Ozisik, 1994).

Tomando en cuenta el flujo de calor que aparece representado en

la Fig. (4.7) y de acuerdo con Date, 2005, es recomendable representar el flujo normal directamente como:

  Γ ,

Γ Δ , ,                                                    4.41

Figura 4.7 – Flujo de calor establecido en la frontera oeste.

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

93

donde la distancia normal está dada por,

Δ                                                                                                 4.42

Ahora es posible extraer una expresión para , e implementar la

condición de frontera.

El área elemental dAi normal al plano (ξj, ξk) es dada por,

                                                                                    4.43

donde el vector de posición . Para el caso 2D, si seleccionamos i = 1, j = 2, k = 3, luego / / 1 porque las direcciones x3 y ξ3 coinciden y son normales al plano (ξ1, ξ2). De esta manera, tomando dimensión unitaria en x3 se tiene,

                            4.44

Análogamente se puede mostrar que,

                                                                                             4.44

Condición de frontera de tercera clase. La condición de frontera

de tercera clase en problemas de transferencia de calor representa una condición de frontera convectiva, la cual está dada en la forma general por,

                                                                                                             4.45

donde λ es la conductividad térmica, h el coeficiente de transferencia de calor convectivo, f es una cantidad prescrita la cual está relacionada con la temperatura ambiente y ∂T/∂n es la derivada normal en la frontera en dirección saliente, la derivada normal se trata de la misma manera que para la condición de segunda clase.

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

94

4.4.2 Metodología de Solución de la Ecuación de Difusión de Calor Utilizando Coordenadas de Cuerpo Ajustado

Para ilustrar los conceptos básicos en la implementación de esta técnica, se

considera una situación de dos dimensiones con x,y siendo las coordenadas en el plano físico y ξ,η en el plano computacional. Los pasos básicos en la aproximación de Thompson pueden ser resumidos como sigue (Ozisik, 1994):

1. Las relaciones de transformación para el mapeo del plano x,y al plano ξ,η (o

viceversa) se determinan automáticamente de la solución numérica de dos ecuaciones diferenciales parciales elípticas del tipo Laplace o Poisson.

2. La región física irregular se mapea del plano físico x,y al plano

computacional ξ,η como una región regular. Por lo tanto, el método tradicional de volumen finito (o diferencias finitas) se usa para resolver las ecuaciones diferenciales parciales gobernantes en el plano computacional,

3. Las ecuaciones diferenciales parciales gobernantes del fenómeno físico se transforman de las variables independientes x,y del dominio físico a las variables independientes ξ,η del dominio computacional, debido a que las ecuaciones de campo se resuelven en el dominio computacional. Para este caso particular la ecuación de difusión de calor en el plano transformado (Ec. 4.33).

4. Una vez transformadas las ecuaciones de campo, se resuelven en el dominio

computacional, la solución se transforma del plano computacional ξ,η al plano físico x,y por las relaciones obtenidas del problema de generación de malla. En otras palabras, la solución de cada punto en el plano computacional se intercambia a su punto correspondiente en el plano físico.

4.4.2.1 Diagrama de Flujo para Difusión de Calor A continuación se muestra el diagrama de flujo del código numérico

desarrollado DIF2DCG (Diffusion Two Dimensions in Generalized Coordinates) para la solución de problemas de difusión de calor en dos dimensiones.

Solución Numérica de la Ecuación de Difusión en Coordenadas Curvilíneas Capítulo 4

95

Impresión del archivo de resultados (plano físico).

Generación de Malla por SGRID2D (plano físico)

Asignación de condiciones iniciales o condiciones supuestas

Límite de iteraciones alcanzado

Declaración de variables y constantes

DIF2DCG

1 10

Criterio de convergencia

FIN

Punto 4 de la metodología

Puntos 1 y 2 de la metodología

Punto 3 de la metodología

Cálculo de coeficientes de la ecuación de difusión discreta

Ec. (4.40) (plano computacional)

Solución de la ecuación de difusión discreta Ec. (4.39) por

medio del TDMA LGS-ADI

Métodos de Solución de Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Capítulo 4

96

4.5 Métodos de Solución de Sistemas de Ecuaciones Algebraicas

Es necesario plantear un método eficiente para resolver el sistema de ecuaciones algebraicas resultantes de la discretización de las Ecs. (4.16) y (4.33). Básicamente existen dos técnicas para la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas: 1) métodos directos y 2) métodos indirectos o iterativos. 4.5.1 Métodos Directos

Los métodos directos como la Regla de Cramer y la eliminación Gaussiana

no se emplean con frecuencia en CFD, ya que el uso de las técnicas de inversión directa requiere bastante almacenamiento en memoria y muchas operaciones renglón-columna para invertir la matriz en cuestión. Por ejemplo, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, cuando n es grande puede demostrarse que la eliminación de Gauss necesita aproximadamente 2n3/3 operaciones aritméticas y para la eliminación Gaussiana alrededor de n3 (Nakos y Joyner, 2007). Así, cuando se utiliza la eliminación de Gauss-Jordan para un sistema mediano, por ejemplo, 500 ecuaciones con 500 incógnitas se requieren casi 125 millones de operaciones, y 83 millones para la eliminación de Gauss. 4.5.2 Métodos Iterativos

Los métodos iterativos se basan en la repetida aplicación de algoritmos

sencillos que normalmente después de un cierto número de iteraciones alcanzan la convergencia. El número de operaciones para cada ciclo de iteración se establece arbitrariamente y a diferencia de los métodos directos no se puede saber de antemano el número de iteraciones que serán necesarias para obtener la convergencia. Tampoco es posible garantizar la convergencia a menos que el sistema satisfaga cierto criterio. La principal ventaja de los métodos iterativos es que sólo se necesita almacenar en memoria los coeficientes diferentes de cero (Tun, 2007).

La matriz del sistema de ecuaciones resultante de discretizar las Ecs. (4.16) y

(4.33) es nonadiagonal. En este tipo de matrices el número de espacios en cero es elevado, por lo que se utilizará un método iterativo para invertir la matriz en cuestión.

Métodos de Solución de Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Capítulo 4

97

A continuación se hace una breve descripción de los métodos Guss-Seidel (GS), Línea por Línea (LBL) y la combinación de ellos. Esto para comprender el beneficio de usar el método Gauss-Seidel de Direcciones Alternantes (LGS-ADI) Implícitas.

Método de Gauss-Seidel (GS): este método es el más simple de todos los

métodos iterativos, en el cual los valores de las variables son calculados por visitar cada nodo de la malla en cierto orden. El valor de la variable en el nodo P es calculado de la Ecs (4.16) y (4.33) como:

∑                                                                                                    4.46

donde es el nodo visitado y son los nodos vecinos con valores iniciales adivinados/propuestos o valores de la previa iteración. Los valores de los nodos vecinos que ya han sido evaluados se utilizan para el cálculo de durante la iteración actual. Cuando todos los nodos de la malla han sido evaluados, una iteración del método de Gauss-Seidel está completa. La principal desventaja de este método es que su convergencia es baja, especialmente cuando el número de nodos de la malla es grande. La razón de tener baja convergencia es porque la información de la condición de frontera se transmite lentamente en cada iteración (Ferziger y Peric, 1997).

Método de línea por línea (LBL): este método elige una línea de la malla

(por ejemplo en dirección x) y considera que la variable a lo largo de las líneas vecinas (puntos vecinos colocados en dirección y y/o z) son conocidas con el valor de la previa iteración y finalmente resuelve la variable a lo largo de la línea elegida por tener agrupado matrices tridiagonales. Una iteración del método finaliza cuando todas las líneas elegidas en una dirección han sido resueltas. Las ecuaciones discretizadas para la línea elegida son similares a las que se tienen cuando se resuelve un problema unidimensional, es decir, el sistema formado por las ecuaciones algebraicas es un sistema de tres bandas formando una matriz conocida como tridiagonal. Entonces, la matriz tridiagonal puede ser resuelta eficientemente usando el algoritmo de Thomas (TriDiagonal-Matriz Algorithm, TDMA) descrito por Ozisik (1994).

Criterio de Convergencia Capítulo 4

98

Método de línea Gauss-Seidel (LGS): este método es una combinación de los métodos GS y LBL. Aquí se usa la filosofía del GS, el cual utiliza los valores más recientes conocidos para realizar el próximo cálculo. La metodología es similar al método de LBL, con la modificación de incluir los valores de la variable determinados recientemente en una línea previa para el cálculo de la próxima línea sobre la misma iteración. Ferziger y Peric (1997) mostraron que usando el método LGS para la solución del transporte escalar, el tiempo de cómputo es aproximadamente el 50% del tiempo requerido por el método GS.

Método de línea Gauss-Seidel de direcciones alternantes implícitas (LGS-

ADI): este método es un LGS aplicado alternadamente, es decir, por ejemplo para un problema de 2D, una iteración del método LGS-ADI consiste primero aplicar el LGS en dirección x y posteriormente se utilizan los resultados obtenidos para aplicar el LGS en dirección y. Está demostrado que este método es dos veces más rápido que el método de LGS para la ecuación de Laplace con condiciones de frontera de primera clase (Ferziger y Peric, 1997). La convergencia del método es más rápida debido a que la información de las condiciones de las fronteras son transportadas más rápidamente hacia los nodos interiores del dominio. 4.5.3 Criterio de Convergencia

En ambos códigos desarrollados se debe satisfacer un residuo que se obtiene

con la desviación cuadrática siguiente:

                                         4.47

Para todos los residuos, se establece el valor de que deben satisfacer las

ecuaciones hasta llegar a la convergencia del código computacional desarrollado. Cada problema de generación de malla tiene un criterio de convergencia

diferente, ya que estos presentan diferentes geometrías, por lo que es difícil establecer un solo criterio de convergencia para todo el mallado de diferentes geometrías.

Criterio de Convergencia Capítulo 4

99

Por otra parte, el criterio de convergencia de estado permanente para problemas de difusión de calor se decidió seleccionarlo a un valor fijo de 1 10 , con la finalidad de ahorrar tiempo de cómputo.

100

Capítulo 5  

Verificación de los Códigos      Numéricos Implementados 

En este Capítulo se presenta la verificación de los códigos numéricos

implementados. En el caso del código de mallado SGRID2D, se comparan las mallas obtenidas con el trabajo fuente de Thompson et al., 1977. Para código de difusión DIFCG2D, se lleva a cabo una verificación cualitativa y cuantitativa. 5.1 Verificación del Código Numérico SGRID2D

La verificación del código numérico desarrollado SGRID2D se hizo de manera cualitativa, puesto que, para el caso de los trabajos en mallas estructuradas no-ortogonales que se encuentran en la literatura solamente se reporta la forma de malla. El software que se utilizó para la visualización de las mallas es el TecPlot, el cual goza de una alta aceptación entre los investigadores de CFD. Cabe aclarar que, para todos los casos mostrados en esta sección los parámetros de amplitud y decaimiento de las funciones de control de malla son iguales a cero. 5.1.1 Geometría Simplemente Conectada: Dominio Triangular

El mapeo de una geometría simplemente conectada del dominio físico al dominio computacional se lleva a cabo de una manera sencilla. Primero, se definen las cuatro fronteras de la geometría a mallar en el dominio físico. Posteriormente, estas fronteras son divididas en una cantidad finita de nodos, poniendo especial cuidado en que el número de nodos en las fronteras opuestas sean iguales (e.g., frontera sur y norte). Por último, para mallar la geometría los datos de las fronteras son capturados en el código numérico desarrollado SGRID2D, el cual se ejecuta con la información de las fronteras.

Verificación del Código Numérico SGRID2D Capítulo 5

101

En 1977 Thompson et al., presentaron varias geometrías malladas con la técnica que desarrollaron, una de ellas es una región triangular bidimensional. Considerando la Fig. 5.1, se aprecia el mapeo de la región triangular a la región regular cuadrangular y la definición de sus fronteras.

Figura 5.1 – Mapeo de una región triangular del dominio físico a una región cuadrada en el

dominio computacional. En la Fig. 5.2 se muestra la comparación cualitativa entre el mallado obtenido

en la región triangular aplicando el código SGRID2D y la malla reportada por Thompson et al., para la misma región.

(a) (b) Figura 5.2 – Mallado de una región simplemente conectada. (a) Malla obtenida con el código

SGRID2D y (b) Malla reportada por Thompson et al., 1977.

Como se aprecia en la Fig. 5.2 el mallado obtenido para esta geometría es prácticamente idéntico al reportado por Thompson et al..

Verificación del Código Numérico SGRID2D Capítulo 5

102

5.1.2 Geometrías Múltiplemente Conectadas

Para mallar geometrías múltiplemente conectadas se requiere hacer un corte divisorio, con el cual aparecerán pseudofronteras (Capítulo No. 2). En este tipo de geometrías se tiene la posibilidad de hacer los cortes divisorios de diferentes maneras, lo cual originará que la configuración de la malla sea diferente. Para ilustrar y verificar este hecho se utiliza el ejemplo propuesto por Thompson et al., 1977. 5.1.2.1 Primera Configuración del Mallado de una Región Circular Múltiplemente Conectada

Considere un círculo unitario con dos círculos en su interior como se muestra en la Fig. 5.3 (a).

(a)

(b)

Figura 5.3 – Corte divisorio para la configuración 1 de una región circular múltiplemente conectada. (a) Plano físico y (b) Plano computacional.

Verificación del Código Numérico SGRID2D Capítulo 5

103

Para esta primera configuración el corte divisorio se hace a la mitad del círculo unitario desde la parte inferior, esta primera línea punteada representa las fronteras izquierda y derecha en el plano computacional, Fig. 5.3.

Para definir la frontera inferior (sur), se sigue la trayectoria marcada por las

flechas mostradas en la Fig. 5.3(a), es decir, la trayectoria recorre desde el círculo 2, pasa por el centro del circulo de mayor diámetro, después se define el circulo 1 y por último se retorna la trayectoria trazada para definir la otra mitad del círculo 2. En la Fig. 5.3(b) se representa el mapeo hecho del plano físico al computacional, con un tamaño de malla de 81 X21.

En la Fig. 5.4 se muestra la comparación cualitativa para esta configuración

de la malla obtenida con el código SGRID2D y la malla reportada por Thompson et al., 1977. Se aprecia que la malla en ambos casos queda bien definida y no tiene muchas variaciones en la forma y tamaño de sus celdas, excepto en las que rodean a los círculos interiores.

(a) (b) Figura 5.4 – Mallado de una región circular múltiplemente conectada configuración 1. (a) Malla obtenida con el código SGRID2D y (b) Malla reportada por Thompson et al., 1977.

En la malla reportada por Thompson et al., (Fig. 5.4b) se aprecia un ligero

refinamiento de las celdas en dirección de los dos círculos interiores, lo cual no se aprecia en la malla obtenida en el presente trabajo (Fig. 5.4a). Este efecto podría deberse a que el autor probablemente utilizó una línea geométricamente progresiva para realizar el corte divisorio para mallar la geometría, es decir una línea con espaciado no uniforme. Sin embargo, la forma general del mallado obtenido con el código SGRID2D, es similar al reportado por Thompson et al..

Verificación del Código Numérico SGRID2D Capítulo 5

104

5.1.2.2 Segunda Configuración del Mallado de una Región Circular Múltiplemente Conectada

Para la segunda configuración considere el círculo unitario mostrado en la

Fig. 5.5(a), cabe señalar que los diámetros de los círculos interiores cambian con respecto a la configuración anterior.

(a)

(b)

Figura 5.5 – Corte divisorio para la configuración 2 de una región circular múltiplemente conectada. (a) Plano físico y (b) Plano computacional.

Para este ejemplo las fronteras laterales en el plano computacional son las

fronteras laterales del círculo unitario que están divididas por los cortes, Fig. 5.5. Para definir la frontera inferior (sur), se parte desde la mitad de la circunferencia unitaria en la parte inferior, se recorre el circulo 1 y por último se vuelve al lugar de

Verificación del Código Numérico SGRID2D Capítulo 5

105

partida, como lo indican las flechas de la Fig. 5.5(a). El procedimiento para definir la frontera superior es análogo al seguido en la frontera inferior.

En la Fig. 5.5(b) se muestra el mapeo hecho al plano computacional, para un

tamaño de malla seleccionada de 51X 31. En la Fig. 5.6 se muestra la comparación cualitativa para esta configuración.

Para ambos casos, se aprecia que las celdas de malla son más pequeñas al centro del círculo unitario, esta discretización permitiría realizar un análisis detallado de algún fenómeno físico que se desarrolle entre los círculos interiores.

(a) (b)

Figura 5.6 – Mallado de una región circular múltiplemente conectada configuración 2. (a) Malla obtenida con el código SGRID2D y (b) Malla reportada por Thompson et al., 1977.

Por otra parte, la Fig. 5.6 permite ver que el mallado obtenido con el código

SGRID2D y el reportado por el autor es prácticamente idéntico, para esta configuración.

Verificación del Código Numérico SGRID2D Capítulo 5

106

5.1.2.3 Tercera Configuración del Mallado de una Región Circular Múltiplemente Conectada

En la Fig. 5.7(a) se muestra la forma de la tercera configuración para la región circular múltiplemente conectada.

(a)

(b)

Figura 5.7 – Corte divisorio para la configuración 3 de una región circular múltiplemente conectada. (a) Plano físico y (b) Plano computacional.

En esta configuración los círculos interiores 1 y 2 definen las fronteras

laterales del dominio computacional como se muestra en la Fig. 5.7(b). Los cortes divisorios se utilizan para definir las fronteras superior e inferior, tomando como referencia la parte superior e inferior de los círculos interiores.

Verificación del Código Numérico SGRID2D Capítulo 5

107

En la Fig. 5.7(b) se muestra el mapeo hecho al plano computacional, para un tamaño de malla seleccionada de 61X 31.

En la Fig. 5.8 se muestra la malla obtenida con el código SGRID2D y la

malla reportada por Thompson et al., 1977. Para esta configuración en ambas mallas se aprecia que las celdas de malla varían drásticamente en cuanto a forma y tamaño. Las celdas de menor tamaño se localizan entre los dos círculos interiores, mientras que las celdas más grandes se encuentran en la frontera del círculo de mayor tamaño.

(a) (b)

Figura 5.8 – Mallado de una región circular múltiplemente conectada configuración 3. (a) Malla obtenida con el código SGRID2D y (b) Malla reportada por Thompson et al., 1977.

En la Fig. 5.8 se nota que el mallado obtenido con el código SGRID2D y el

reportado por Thompson et al., es similar. De acuerdo a los resultados obtenidos para los diferentes tipos de

configuraciones presentados en secciones previas y en la presente sección, se tiene la certeza de que el código SGRID2D fue correctamente implementado y este puede utilizarse para el mallado de distintas regiones en 2D.

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

108

5.2 Verificación del Código Numérico DIF2DCG 5.2.1 Difusión de Calor en un Medio Compuesto

En 1991 Chang y Payne, reportaron la solución analítica de la transferencia

de calor por difusión en un medio sólido compuesto. La descripción del modelo físico es como sigue; considere un medio sólido con forma de rectángulo construido de dos materiales diferentes, el cual se mantiene a las temperaturas constantes T0 = 600ºC y TL = 100ºC, en sus extremos izquierdo y derecho, respectivamente, como se muestra en la Fig. 5.9.

Figura 5.9 – Modelo físico de un medio sólido compuesto.

La solución analítica considerando un medio isotrópico y propiedades independientes de la temperatura está dada por (Chang y Payne, 1991),

,      1/2

λ λλ λ  

     1/2  1/2

1                                            5.1

para 0 , 0

0

w

L=1 m

x

0

, ,

y

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

109

,     1/2

  1/21 

     1  1/2

λ λλ λ                      5.1

para 1/2 1, 0 , y

  2                                                                                  5.2

w = L/2 λ1 = 0.06 W/m*K λ2 = 0.001 W/m*K

Como se cuenta con la solución analítica se realizó una comparación cuantitativa punto a punto. La Tabla 5.1 muestra los valores de temperatura obtenidos en la interface entre los dos materiales para la solución analítica y la solución numérica. Tabla 5.1 –Temperaturas obtenidas para la línea central en la interface de los dos materiales.

x (m)

y (m)

Solución Analítica (ºC)

Solución Numérica

(ºC)

Error %

0.50  0.00  0.00 0.00 --------- 0.50  0.10  101.23 104.57 3.30 0.50  0.15  139.64 142.75 2.22 0.50  0.20  180.25 183.02 1.53 0.50  0.25  215.45 217.82 1.10 0.50  0.30  244.59  246.55  0.80 0.50  0.35  267.34 268.87 0.57 0.50  0.40  283.50 284.60 0.38 0.50  0.45  293.02 293.69 0.22 

Se observa en la Tabla 5.1, que se propone un error porcentual, el cual se

calcula con la siguiente expresión,

%ó   á ó   é

ó   á 100                                                5.3

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

110

El error promedio es 1.15% y el error máximo es de 3.71%.

En la Fig. 5.10 se muestra la comparación cualitativa de las isotermas obtenidas de la solución analítica reportada por Chang y Payne (1991) y, las obtenidas con el código desarrollado DIF2DCG.

(a)

(b)

Figura 5.10 – Isotermas en un medio sólido compuesto: (a) Isotermas reportadas por Chang y Payne (1991) y, (b) Isotermas obtenidas con el código numérico desarrollado DIF2DCG.

Se observa en la Fig. 5.10 que las isotermas son muy similares, es decir, la solución reportada por los autores y la obtenida, cualitativamente son semejantes.

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

111

5.2.2 Difusión de Calor en una Geometría Doblemente Conectada

En 1997 Minkowycz y Sparrow, presentaron la solución de un problema inverso de difusión de calor para verificarlo con el respectivo problema directo, este último se utilizó en este trabajo para llevar a cabo la verificación cualitativa. El modelo físico mostrado en la Fig. 5.11 muestra una placa cuadrada con una cruz en el centro, la cual es mantenida a una temperatura caliente (Thot) en su exterior y una temperatura fría en su interior (Tcold).

Figura 5.11 – Modelo físico de una geometría doblemente conectada.

Para llevar a cabo el mapeo y mallado de esta figura se hace un corte

divisorio al centro de la cruz en el primer eje, así, “desdoblando” la geometría a partir del corte se mapea a una región regular rectangular en el plano computacional como se muestra en la Fig. 5.12.

Figura 5.12 – Corte divisorio y mapeo para una región cuadrada doblemente conectada.

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

112

Es debido mostrar la malla que se utilizó para resolver el problema planteado por Minkowycz y Sparrow, ya que el tamaño y forma de la malla influyen de manera significativa en la solución del problema. La Fig. 5.13 muestra la malla obtenida con el código SGRID2D con un tamaño de 49X31 nodos. La malla mostrada se obtuvo con P y Q = 0.

Figura 5.13 – Malla obtenida al aplicar el código SGRID2D para una región cuadrada

doblemente conectada.

En la Fig. 5.14, se muestra la comparación de las isotermas obtenidas por Minkowycz y Sparrow, y las obtenidas al aplicar el código DIF2DCG. Las isotermas en ambos casos de calcularon para T* (temperatura adimensional). Fijando la atención sobre en la Fig. 5.14 que la isotermas reportadas por lo autores y las obtenidas con el código DIF2DCG tienen prácticamente las mismas características cualitativas.

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

113

(a)

(b)

Figura 5.14 – Isotermas en una geometría doblemente conectada: (a) Isotermas reportadas por Minkowycz y Sparrow y, (b) Isotermas obtenidas con el código numérico desarrollado DIF2DCG.

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

114

5.2.3 Difusión de Calor en la Placa Caliente del GHPA

En 2009 Xamán et al., reportaron la solución analítica de la transferencia de calor por difusión en el aparato de placa caliente con guarda (Guarded-Hot-Plate Apparatus, GHPA). El modelo físico de la placa caliente es como sigue; considere un medio sólido cilíndrico de radio b, el cual tiene una fuente de calor circular (calentador) en su interior de radio a y en sus fronteras disipa calor por convección debido al ambiente que lo rodea, como se muestra en la Fig. 5.15.

Figura 5.15 – Modelo físico de la placa caliente.

La solución analítica al modelo físico es (Xamán et al., 2009),

, ,

, ,  cos ν  

1, ,

cos ν , ,                                                              5.3 donde , es la función de Bessel del problema y su norma.

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

115

Se tomaron en cuenta los siguientes datos de las variables para evaluación de la solución analítica: ancho de la placa, w = 0.0191 m; radio exterior, b = 0.0762 m; radio del calentador, a = 0.0538 m; la potencia disipada por el calentador es de 5W; temperatura inicial de la placa caliente, T0 =Ta= 29.4 ºC; difusividad térmica del plato central (aluminio), α = 8.4 x 10-5; coeficiente de transferencia de calor por convección natural promedio, h = 14 W/m2 y conductividad térmica de la placa caliente, λ = 204 W/mºC.

Para evaluar el término de la última integral que contiene a , , , se consideró en cuenta que el calentador de nicromel provoca que en el sistema exista un calor W/m3 constante y por ende exista un W/m2. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre y

                                                                                               5.4

   

2                                                                                                                       5.4

Debido a problemas de convergencia para solucionar este problema con el código DIF2DCG, se opto por convertir la frontera de tercera clase a una de primera clase, esto a partir de la solución del mismo problema en dirección radial y en estado permanente. La Ec. (5.5) muestra la solución analítica en estado permanente,

14                                                                                            5.5

12                                                                                                                 5.6

En la Ec. (5.6) se observa que (Temperatura de la superficie

frontera) está relacionada con el calor volumétrico generado , el coeficiente convectivo h y la temperatura ambiente Ta. Entonces, la Ec. (5.6) se usó para cambiar la frontera de tercera clase a una de primera clase en el código numérico desarrollado.

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

116

La Fig. 5.16 muestra la malla numérica utilizada para la solución del problema. Cabe señalar que el problema es simétrico, por lo tanto, se optó por calcular la solución en la mitad del dominio físico.

Figura 5.16 – Malla obtenida al aplicar el código SGRID2D para un semicírculo.

Se realizó una comparación cuantitativa punto a punto en dirección r para el

estado permanente. La Tabla 5.2 muestra los valores de temperatura obtenidos desde el centro hasta r = b, de la solución analítica y la solución numérica.

Tabla 5.2 –Temperaturas obtenidas en dirección r en estado permanente. R

(m) Solución

Analítica (ºC)Solución Numérica

(ºC)

Error %

0.000  68.49  68.73  0.35 0.008  68.49 68.73 0.35 0.015  68.49 68.73 0.35 0.023  68.49 68.72 0.34 0.030  68.49  68.72  0.34 0.042  68.48 68.72 0.34 0.050  68.47 68.72 0.35 0.057  68.46 68.69 0.33 0.076  68.42 68.45 0.03 

El error promedio es 0.34% y el error máximo es de 0.36%. Cabe mencionar

que la solución obtenida por Xamán et al. 2009, fue validada, obteniendo una desviación del ±3% promedio con respecto al experimento, es decir, la solución numérica obtenida en este trabajo puede o no estar dentro del rango reportado por

Verificación del Código Numérico DIF2DCG Capítulo 5

117

Xamán et al. 2009, respecto a los datos experimentales. Para el caso en que la solución aquí expuesta se encuentre en los límites del rango reportado por Xamán et al., el error máximo sería de ±3.36%, lo cual aún es una aproximación muy buena respecto a los datos experimentales, considerando que, en los problemas de difusión de calor reportados en la literatura se tiene una variación del 1 al 5%. Por ejemplo, en la solución de problemas inversos de Minkowycz y Sparrow (1997) se tiene un error del 5% respecto a los datos experimentales que se reportan en su libro de texto.

Con los resultados obtenidos en los problemas previamente planteados y el

mostrado en esta sección, se tiene la certeza de que el código numérico DIF2DCG es fiable para su aplicación en otros problemas.

118

Capítulo 6  

Resultados 

En este Capítulo se presentan los resultados y aplicaciones propuestas para los códigos numéricos desarrollados SGRID2D y DIF2DCG. Para el código de generación de mallas se presentan varias geometrías, entre las que destaca un rostro humano de perfil. En las aplicaciones de difusión de calor, se analiza la difusión de calor de dos aparatos para medir la conductividad térmica de materiales sólidos.

6.1 Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D

Es importante resaltar que en la literatura de generación de mallas, las geometrías a mallar son nombradas por los autores geometrías irregulares y geometrías complejas (Maliska, 1995, Thompson et al., 1999, Lifante, 2006). Sin embargo, los autores no expresan una definición del tipo de geometría, sino que usan los términos complejo e irregular indistintamente. Por lo tanto, una geometría compleja en este trabajo, se considera como una geometría que no puede ser definida con expresiones matemáticas sencillas en los tres principales sistemas coordenados ortogonales; cartesiano, cilíndrico, y esférico. Entonces, una geometría irregular será aquella que sea fácil de definir con expresiones matemáticas sencillas en los tres sistemas ortogonales básicos, un ejemplo de ello es una cavidad inclinada. La Fig. 6.1 muestra los ejemplos planteados.

Figura 6.1 – Tipos de geometría.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

119

6.1.1 Aplicación del Código SGRID2D para el Mallado de Geometrías Bidimensionales

Para evaluar el desempeño del código SGRID2D se proponen varias

geometrías regulares y complejas para su mallado. También, se analiza el comportamiento de las funciones de control P y Q sobre las mallas generadas. 6.1.1.1 Mallado de una Superficie Trapezoidal

En la Fig. 6.2 se muestra una superficie trapezoidal con dimensiones Hx,

Hy1, y Hy2, esta figura se puede definir fácilmente en el plano cartesiano.

Figura 6.2 – Contorno a mallar en forma trapezoidal (geometría irregular).

Para definir la línea inclinada (línea superior) se utiliza la ecuación de la línea

recta definida por,

                                                                                                                                 6.1

Sustituyendo las magnitudes Hx, Hy1, y Hy2 en la Ec. (6.1) se llega a,

                                                                                                      6.2

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

120

Con la Ec. (6.2) y tomando en cuenta que las líneas restantes del trapezoide se definen de acuerdo al plano cartesiano, se procede a mallar el contorno. Para este caso se seleccionó un tamaño de malla de 41X26 y los valores Hx = 2.0, Hy1 = 1.0, y Hy2 = 2.0. En la Fig. 6.3 se muestra la malla resultante con las funciones de control P y Q = 0.

Figura 6.3 – Malla obtenida para una superficie trapezoidal con P y Q = 0.

En la Fig.6.3 se nota una distribución uniforme de las líneas de malla. Sin

embargo, cuando se analiza un fenómeno físico generalmente se requiere de aglomeración de líneas en las fronteras, ello se logra con la asignación de valores adecuados a las funciones de control P y Q.

En la Fig. 6.4 (a) y (b) se muestra la aglomeración de líneas de malla en las fronteras y en el centro, respectivamente. La aglomeración o refinación en las fronteras se obtuvo con la asignación de parámetros a las funciones de control.

(a) (b) Figura 6.4 – Malla trapezoidal con refinamiento en: (a) las cuatro fronteras y (b) las fronteras y la coordenada central solo con las líneas ξ.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

121

Los coeficientes de decaimiento para las funciones de control de malla P y Q se seleccionaron cj, = cj* = 0.1, y di = di* = 0.1, mientras que los coeficientes de amplitud aj = aj* = 200 y bi = bi* = 200, en ambas mallas de la Fig. 6.4 Se observa en las Figs. 6.4 que la atracción de la línea frontera hacia las líneas interiores es más fuerte en las primeras cinco líneas, esto se debe a que las funciones de control se calcularon para atraer las primeras cinco líneas interiores, seleccionando las líneas frontera y la coordenada central de cada frontera, e.g., ξj = 1 y ξi = 21, ηi = 1.

La Fig. 6.4 (b) además de mostrar refinamiento de líneas en las fronteras, muestra un refinamiento en la coordenada central, ello se logra al seleccionar la coordenada central en las funciones de control, esto es, ξi = 21 y ηi = 13, y calcular las funciones de control para las 5 líneas anteriores y posteriores a este punto, las cuales serán atraídas.

Además de los refinamientos en las fronteras, las funciones de control P y Q permiten la aglomeración de líneas en partes de interés dentro del dominio de la malla (en geometrías irregulares). La Fig. 6.5 (a) y (b) muestra un ejemplo claro de ello.

(a) (b) Figura 6.5 – Malla trapezoidal con refinamiento en: (a) las cuatro fronteras y la coordenada central ambas líneas ξ y η, (b) las fronteras superior, lateral derecha y una coordenada en la parte lateral izquierda.

Los coeficientes seleccionados de las funciones de control P y Q son los mismos que en el caso anterior. En la Fig. 6.5 se nota que las mallas son diferentes, esto se debe a que las funciones de control se calcularon en los lugares del dominio de la malla donde se muestra el refinamiento (conservando los mismos coeficientes).

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

122

6.1.1.2 Mallado de una Cavidad con un Techo a Dos Aguas

En la Fig. 6.6 se muestra el contorno de una cavidad con un techo a dos aguas, este tipo de forma se requiere para el cálculo de flujo interno. Al igual que la forma trapezoidal este contorno es sencillo de definir en el plano cartesiano.

Figura 6.6 – Contorno a mallar de una cavidad con un techo a dos aguas (geometría

irregular).

Si la cavidad es simétrica con el eje y, la frontera superior se define como,

2                                           0 2                         6.3

2             2

 

Con la Ec. (6.3) y tomando en cuenta que las otras líneas se definen de

acuerdo al plano cartesiano, se procede a mallar la cavidad. Se seleccionó un tamaño de malla de 31X31 y los valores Hx = 2.0, Hy1 = 2.0, y Hy2 = 2.7 y Hy3 = 2.0.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

123

En la Fig. 6.7 (a) se muestra la malla resultante con las funciones de control P y Q = 0. Se aprecia claramente que las líneas de malla que se aproximan a la frontera superior están bastante separadas entre sí, lo cual no es conveniente para el cálculo de algún fenómeno físico.

Para mejorar la malla de la Fig. 6.7 (a) se deben atraer líneas de malla hacia la coordenada central superior, esto se logra con las funciones de control P y Q. La Fig. 6.7 (b) muestra una malla con la atracción de 7 líneas de malla hacia la coordenada central superior, tomando en cuenta los siguientes coeficientes de decaimiento cj, = cj* = 0.1, y di = di* = 0.1, mientras que los coeficientes de amplitud aj = aj* = 50 y bi = bi* = 50. (a) (b) Figura 6.7 – Cavidad a dos aguas: (a) sin refinamiento y (b) con refinamiento en la coordenada central superior.

En la Fig. 6.8 (a) se muestra un refinamiento en las fronteras laterales el cual se obtuvo seleccionando los coeficientes de decaimiento cj, = cj* = 0.1, y di = di* = 0.1, mientras que los coeficientes de amplitud aj = aj* = 300 y bi = bi* = 300, tomando en cuenta cinco líneas para la atracción. En la fronteras superior e inferior los coeficientes seleccionados fueron cj, = cj* = 0.1, di = di* = 0.1, aj = aj* = 300 y bi = bi* = 50 y tres líneas para la atracción.

En la Fig. 6.8 (b) se presenta otra configuración del mallado en la cavidad a

dos aguas, en ella se aprecia refinamiento en frontera derecha y en la parte superior con 7 líneas para la atracción.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

124

(a) (b) Figura 6.8 – Cavidad a dos aguas: (a) Con refinamiento en las fronteras laterales y en la frontera superior y (b) con refinamiento en la coordenada central superior y en la frontera izquierda. 6.1.1.3 Mallado de la Vista Lateral de un Automóvil

El mallado de geometrías complejas es una parte sumamente útil para el diseño en ingeniería. Un ejemplo de geometría compleja bidimensional, es el perfil de un automóvil. El perfil de un automóvil se puede definir relativamente fácil utilizando la técnica de Diseño Asistido por Computadora (Computer Aided Design, CAD). En la Fig. 6.9 se muestra la vista lateral de un automóvil, la cual se obtuvo de un bloque predefinido en CAD.

De esta manera utilizando CAD se pueden definir geometrías complejas de

interés particular. Retomando el ejemplo del automóvil, suponga que se requiere analizar el flujo externo de aire cuando este va en movimiento, entonces se requiere una malla alrededor del perfil del automóvil para analizar este fenómeno.

Figura 6.9 – Vista lateral de un automóvil.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

125

Como primer paso se necesita definir el contorno a mallar, se prefiere una geometría elíptica o circular alrededor del perfil del auto, Maliska (1995). En la Fig. 6.10 se muestra el contorno a mallar. El segundo paso es, exportar de alguna manera las coordenadas del software CAD al código numérico desarrollado, en este caso se llevó a cabo manualmente.

Figura 6.10 – Contorno a mallar para el perfil de un automóvil.

El tercer y último paso es, generar la malla adecuada con el código numérico

desarrollado.

En resumen los pasos para mallar una geometría compleja con la ayuda de la técnica CAD, son:

1. Definir la geometría y el contorno o lugar a mallar. 2. Exportar las coordenadas al código numérico. 3. Generar la malla.

Es importante analizar el comportamiento de las funciones de control P y Q

sobre geometrías complejas, ya que en estas geometrías también se requiere la aglomeración de líneas en lugares de interés.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

126

En la Fig. 6.11 se muestra la malla generada para el perfil del automóvil con un tamaño de 79 X19 nodos. Los 79 nodos se obtuvieron de las splines que definen el perfil del automóvil, es decir, de polinomios representados por una cantidad finita de puntos de acuerdo a su grado del dibujo hecho en CAD y, los 19 se seleccionaron por conveniencia. En la Fig. 6.11 se aprecia un refinamiento de líneas hacia la superficie del automóvil, además de una ligera atracción de las líneas que se encuentran cercanas a la superficie izquierda y derecha.

Figura 6.11 – Malla para el perfil de un automóvil (flujo externo).

En los tres ejemplos de aplicación de las secciones 6.1.1.1, 6.1.1.2 y 6.1.1.3,

es claro el refinamiento en las geometrías malladas. Existen dos puntos cualitativos importantes que resaltan. El primer punto cualitativo es que, en los tres ejemplos las mallas no tienen traslapes de dos o más líneas, es decir las líneas de malla definen secciones rectangulares en toda la geometría y no hay dos líneas que se intercepten en el mismo punto. El segundo punto cualitativo a resaltar es la no propagación de singularidades de las fronteras hacia dentro del dominio discreto, como se observa en la malla de la cavidad a dos aguas (la singularidad se encuentra en el centro de la cavidad en la frontera superior), donde las líneas de malla resultantes tienen una distribución suave y curva dentro del dominio.

En base a los resultados obtenidos, se concluye que el desempeño del código

es el deseado para las tres geometrías malladas. En la siguiente sección, se muestran más ejemplos de aplicación para el mallado de diferentes geometrías.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

127

6.1.1.4 Mallado de Otras Geometrías

En este apartado se presentan las mallas obtenidas con el código SGRID2D para diversas geometrías, por ejemplo, una cabeza humana vista de perfil, Fig. 6.12.

(a) (b) Figura 6.12 – Mallado del contorno de la cabeza humana vista de perfil y vista frontal: (a) Sin atracción de líneas de malla en las fronteras y, (b) Con atracción de líneas de malla en las fronteras superior e inferior.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

128

Como se aprecia en la Fig. 6.12 es clara la aplicación de las funciones de control de malla P y Q. Cabe señalar que el mallado de las orejas en la vista frontal, se hizo de manera independiente.

Por otra parte, el código numérico SGRID2D tiene un buen comportamiento

permitiendo el mallado de este tipo de geometrías sin dificultad. Otras aplicaciones del código numérico SGRID2D en el mallado de geometrías bidimensionales se muestran en la Fig. 6.13.

Figura 6.13 – Mallado de diferentes geometrías bidimensionales.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

129

6.1.2 Aplicación del Código SGRID2D para Generar Mallas Tridimensionales

Básicamente existen dos formas para generar geometrías tridimensionales a partir de geometrías bidimensionales: (1) generación de geometrías tridimensionales por extrusión y, (2) generación de geometrías tridimensionales por revolución. 6.1.2.1 Generación de Mallas Tridimensionales por Extrusión

Para generar geometrías tridimensionales por extrusión, se requiere definir la

geometría a extruir en un plano bidimensional, generalmente en el plano x,y. Después, la geometría se extruye, es decir, se proyecta en el eje perpendicular al plano, en este caso el eje z, generando la geometría tridimensional. La Fig. 6.14 muestra como generar una geometría tridimensional por extrusión.

Figura 6.14 – Extrusión de una geometría 2D en el eje z.

Al extruir una geometría mallada en 2D, se genera una malla en 3D. En la

Fig. 6.15 se muestra una geometría doblemente conectada, la cual se toma como ejemplo para la extrusión.

Figura 6.15 – Geometría doblemente conectada a extruir.

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

130

Extruyendo la geometría mostrada en la Fig. 6.15, se obtiene la malla tridimensional de la Fig. 6.16. En la Fig. 6.16 se aprecia que para llevar a cabo la extrusión se divide el eje en el cual se extruirá la malla bidimensional, esto para generar la malla tridimensional. La Fig. 6.17 muestra otro ejemplo de extrusión.

Figura 6.16 – Malla tridimensional generada por extrusión (tubería incrustada).

Figura 6.17 – Malla tridimensional generada por extrusión (cavidad a dos aguas).

Aplicaciones del Código Numérico de Generación de Mallas SGRID2D Capítulo 6

131

6.1.2.2 Generación de Mallas Tridimensionales por Revolución

Al igual que en las geometrías generadas por extrusión, se necesita definir una geometría bidimensional para generar mallas por revolución. El segundo paso es rotar la geometría en un eje del plano, como se muestra en la Fig. 6.18. El eje para la rotación se selecciona de acuerdo a la geometría tridimensional deseada.

Figura 6.18 – Revolución de una geometría bidimensional.

En la Fig. 6.19 se muestra la malla del perfil del vehículo lanzador de cohetes

(Maliska, 1995), la cual se revoluciona en el eje x para generar una malla para flujo externo que rodea la estructura del vehículo.

Figura 6.19 – Malla para flujo externo del vehículo lanzador de cohetes (Maliska, 1995).

En la Fig. 6.20 se muestra la malla generada al revolucionar la malla de la

Fig. 6.19 en el eje x, se observa en ella que la geometría resultante tiene forma de cilindro cónico. Al generar este tipo de mallas se tiene que tener claro la geometría resultante, y con ello hacer el mapeo al dominio computacional correctamente.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

132

Figura 6.20 – Malla tridimensional del vehículo lanzador de cohetes generada por revolución.

6.2 Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado

En esta sección se presentan dos problemas de aplicación. Los dos problemas abordan el análisis térmico de componentes en aparatos para la determinar la conductividad térmica de materiales aislantes y conductores.

La mayoría de los métodos para determinar la conductividad de un material

aislante o de construcción se basan en mediciones de estado permanente. Hay dos métodos básicos de medición de estado permanente: absoluto y por comparación. En el método absoluto se hace pasar un flujo de calor conocido a través del espécimen y se determina la conductividad mediante la ley de Fourier. El método comparativo utiliza un material de referencia de conductividad térmica conocida y un flujo de calor el cual es colocado en serie con el espécimen de prueba, la conductividad térmica del espécimen es determinada con una ecuación de trabajo.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

133

Entre los métodos absolutos “el aparato de placa caliente con guarda”(GHPA) es ampliamente usado, puesto que tiene buena precisión para determinar la conductividad térmica de materiales aislantes de interés, éste ha sido adoptado por American Society for Testing and Materials (ASTM) como un método estándar.

Por otra parte, el método comparativo de barras cortadas puede ser usado para

evaluar las propiedades de sólidos homogéneos, heterogéneos y materiales compuestos, con conductividad térmica efectiva, λ, los cuales tengan una conductividad térmica mayor de 14.2 W m-1 K-1, con intervalo de temperaturas que 25 a 200ºC (Esquivel, 2010).

6.2.1 Análisis de la Distribución de Temperaturas en un Aparato de Placa Caliente con Guarda para Medir la Conductividad Térmica (Placa Caliente)

Se seleccionó el problema publicado por Xamán et al. 2009, el cual se presentó y se resolvió previamente en el Capítulo 5. Este problema aborda el análisis de la distribución de temperaturas en dirección radial del aparato de placa caliente con guarda, para medir la conductividad térmica en materiales aislantes. El problema fue resuelto por Xamán et al., mediante la función de Green para determinar el perfil de temperaturas en la placa caliente y la guarda. La Fig. 6.21 muestra una fotografía del aparato de placa caliente con guarda propiedad de Cenidet.

Figura 6.21 – Placa caliente con guarda.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

134

En el estudio realizado por Xamán et al. 2009, se consideró la placa con una fuente de calor circular superficial, y se consideraron condiciones de simetría en dirección angular. Sin embargo, como se aprecia en la Fig. 6.21, el problema no es simétrico en la dirección angular en toda la placa, ya que las fuentes de calor ingresan por ranuras y perforaciones hechas en el placa caliente y la guarda, rompiendo la simetría al abordar el problema.

Es fundamental analizar la distribución de temperaturas en el aparato, en

forma particular el de la placa caliente, ya que de ella se determina una temperatura TH para determinar la conductividad térmica aparente kz de la muestra, ello mediante la Ec. (6.4). En el caso ideal, TH sería isoterma en toda la placa caliente.

                                                                                                                 6.4

6.2.1.1 Modelo Físico

En la Fig. 6.22 se muestra el modelo físico de la placa caliente considerando simetría en el eje que corta la ranura u orificio de entrada para fuente de calor.

Figura 6.22 – Modelo físico de la placa caliente.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

135

Consideraciones

• El material es homogéneo e isotrópico y sus propiedades termofísicas no varían con la temperatura.

• La dilatación volumétrica por cambio de temperatura es despreciable. • La cinta de nicromel o fuente de calor es colocada al final del orificio/ranura

(circundando la placa caliente) como se muestra en la Fig. 6.22. • La fuente de calor circular provoca que en la placa caliente exista un

W/m3 que depende de la posición de esta. • El orificio de entrada para la fuente disipa cierto porcentaje del , ello

debido a las componentes que existen en ese orificio, aire, aislante, y nicromel.

• El orificio o ranura tiene una dimensión de 3 mm de espesor (1/8’’). • Las condiciones del medio circundante son constantes. • El sistema se encuentra en estado permanente.

En la placa caliente se considera disipación de calor en la ranura, ya que en

ella se encuentran contenidos tres diferentes tipos de materiales: material aislante, nicromel y aire. 6.2.1.2 Modelo Matemático

Para un sistema coordenado curvilíneo mapeado a un plano computacional regular, la ecuación de difusión de calor bidimensional en estado permanente y con generación de calor tomando en cuenta el modelo físico planteado previamente es,

Γ Γ0                                           6.6

0 ,                        0 ,                       donde, Γ

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

136

y los coeficientes a, b, d, y J dependen de las métricas de la transformación y estos se definieron en el Capítulo 3. Condiciones de frontera

                      

               ó          

0                    ó     í

Para el cálculo de la fuente de calor posicionada se utiliza la siguiente relación:

50.8 10 · 11 10 ·

                                                                                 6.7

donde 0.8mm y 11mm son las dimensiones de la sección transversal de nicromel y,

              Los valores de las otras constantes involucradas se dieron en el Capítulo 5, sección 5.2.3. Para el cálculo del porcentaje de disipación de calor en la ranura, este se resta del total suministrado por la fuente de calor dado por la Ec (6.7). 6.2.1.3 Independencia de Malla

Como primer paso se hizo un estudio de independencia de malla para la placa incluyendo la ranura, tomando condiciones de simetría en la frontera oeste. Las mallas seleccionadas fueron 41X81, 61X121, 81X161, 101X201 y 121X241. En la Fig. 6.23 se muestra la variación de temperatura en la condición de simetría para las diferentes mallas.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

137

Figura 6.23 – Variación de la temperatura en la condición de simetría.

La solución presentó una variación de 0.37, 0.19, 0.15 y 0.08% respecto al

tamaño de malla anterior (e. g., se tuvo una variación de 0.37% entre el tamaño de malla de 41X81 y 61X121). El tamaño de malla seleccionado fue de 101X201, ya que presenta una variación de 0.15% respecto al tamaño anterior, además puesto que es una malla “fina” es posible definir con mejor precisión la posición de la fuente de calor circular. Otro aspecto importante es el tamaño y forma de la malla. La Fig. 6.24 muestra la forma de la malla utilizada, en la cual se obtuvo una razón de aspecto máxima de 2.2, cumpliendo así por lo establecido por Peric en 1985.

Figura 6.24 – Malla utilizada para resolver la difusión de calor en la placa caliente.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

138

6.2.1.4 Resultados: Efecto de la Longitud de la Ranura y la Temperatura Ambiente sin Disipación de Energía en la Ranura

Los investigadores que han trabajado sobre el GHPA (Hah et al., 1973 y Xamán et al., 2009), han reportado que la posición de la fuente de calor circular afecta al gradiente de temperatura en la placa debido a la naturaleza del fenómeno.

Para analizar el efecto de la posición de la fuente de calor se propuso variar

la longitud de la ranura y con ello la posición de la fuente de calor, como se describió anteriormente en el modelo físico planteado. Otro parámetro importante es la temperatura ambiente a la que se llevará a cabo el experimento, ya que a esta temperatura se reporta la conductividad obtenida mediante el experimento, siempre y cuando, la temperatura ambiente se mantenga en un valor promedio entre la placa caliente y la placa fría (Xamán, 1999).

Tomando en cuenta lo mencionado anteriormente se propusieron los

parámetros para la modelación mostrados en la Tabla 6.1.

Tabla 6.1 Parámetros de modelación. Longitud de la

ranura (cm)

Temperatura amb. (ºC)

Fuente de calor (W/m3)

1 10, 30 y 65 13.6X106 2 10, 30 y 65 16.0X106 3 10, 30 y 65 19.5X106 4 10, 30 y 65 24.9X106 5 10, 30 y 65 34.5X106 6 10, 30 y 65 55.8X106

Cabe señalar que para los resultados mostrados en esta sección, no se tomó en

cuenta la disipación de calor en la ranura debido a los diferentes materiales que hay en esa parte del GHPA, es decir, se consideró una condición de aislamiento para la

ranura 0  .

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

139

En la Fig. 6.25 se muestran las isotermas de la placa caliente con longitudes de ranura de 1 hasta 6 cm, considerando la temperatura ambiente (Ta) de 10ºC y su valor correspondiente de la fuente de calor posicionada según la longitud de la ranura (ver Tabla 6.1).

Figura 6.25 – Isotermas para la placa caliente con una longitud de ranura de: (a) 1cm, (b) 2

cm, (c) 3 cm, (d) 4 cm, (e) 5 cm y (f) 6 cm y una temperatura ambiente de 10ºC.

Como se aprecia en la Fig. 6.25 las isotermas mantienen una forma circular, debido a la condición de aislamiento en la ranura. Otra característica importante que se observa en la Fig. 6.25, es que la diferencia de temperatura entre el centro y la

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

140

superficie frontera aumenta cuando la profundidad de la ranura se incrementa, excepto para la ranura de 6 cm.

En la Fig. 6.26 se muestra el perfil de temperaturas en el eje coordenado η

partiendo desde el centro de la placa hasta la frontera inferior (lado opuesto a la ranura), si se hace una analogía con el sistema coordenado cilíndrico el perfil mostrado tiene el intervalo 0 0.0762.

Figura 6.26 – Perfil de temperatura en el eje η, para una Ta = 10ºC.

En la Fig. 6.26 se notan picos que señalan la temperatura máxima de la

placa, los cuales se encuentran al final de la ranura, en otras palabras, donde está colocada la fuente de calor. También, se observa que para la mayoría de los casos se tiene un comportamiento lineal, tanto al interior como al exterior de la posición de la fuente de calor. En el caso donde la ranura tiene 6cm, el comportamiento es diferente, debido a que el problema se asemeja al problema de un tubo circular con una fuente de calor lineal en su interior (e.g. cable conductor eléctrico con aislante), donde la solución reportada contiene un término exponencial (Ozisik, 1994). Por último, conforme aumenta la profundidad de la ranura la diferencia de temperatura entre el centro y la superficie aumenta en casi todos los casos, entonces, la menor diferencia de temperatura se obtuvo para el caso donde la ranura tiene 1 cm con un valor de 0.12ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

141

En la Fig. 6.27 se muestran las isotermas de la placa caliente con longitudes de ranura de 1 hasta 6 cm, considerando la temperatura ambiente de 30ºC y su valor correspondiente de la fuente de calor.

Figura 6.27 – Isotermas para la placa caliente con una longitud de ranura de: (a) 1cm, (b) 2

cm, (c) 3 cm, (d) 4 cm, (e) 5 cm y (f) 6 cm y una temperatura ambiente de 30ºC.

En la Fig.6.27 se nota que las isotermas tienen un patrón circular. Haciendo una comparación entre la Fig. 6.27 y 6.25 se nota que las isotermas conservan el mismo patrón, y la diferencia de temperatura entre el centro y la superficie se

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

142

mantiene constante para las figuras correspondientes mencionadas (e.g. 0.1ºC para las Fig. 6.25 (a) y la Fig. 6.27 (a)).

En la Fig. 6.28 se muestra el perfil de temperaturas en el eje coordenado η

partiendo desde el centro de la placa hasta la frontera inferior, para una temperatura ambiente de 30ºC.

Figura 6.28 – Perfil de temperatura en el eje η, para una Ta = 30ºC.

En la Fig. 6.28 se tiene el mismo patrón que en el caso de la temperatura

ambiente igual a 10ºC. Incluso, los gradientes de temperatura entre el centro de la placa y la superficie se mantienen constantes (e.g. 0.12ºC para los casos de la ranura de 1cm). La única diferencia entre la Fig. 6.28 y 6.26 está en que la placa tiene una temperatura promedio más alta, esto debido a que la temperatura se incrementó respecto al caso anterior.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

143

En la Fig. 6.29 se muestran las isotermas de la placa caliente con longitudes de ranura de 1 hasta 6 cm, considerando la temperatura ambiente de 65ºC.

Figura 6.29 – Isotermas para la placa caliente con una longitud de ranura de: (a) 1cm, (b) 2

cm, (c) 3 cm, (d) 4 cm, (e) 5 cm y (f) 6 cm y una temperatura ambiente de 65ºC.

Para los casos de la Fig. 6.29 se conservan las características mencionadas para los casos anteriores. Esto significa que la profundidad de la ranura no tiene ningún efecto cualitativo en las isotermas, siempre y cuando en la ranura exista condición de aislamiento. Por otra parte, la diferencia de temperatura entre el centro

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

144

y la frontera aumenta, cuando se incrementa la longitud de la ranura (excepto en el caso de 6 cm).

En la Fig. 6.30 se muestra el perfil de temperaturas en el eje coordenado η

partiendo desde el centro de la placa hasta la frontera inferior, para una temperatura ambiente de 30ºC.

Figura 6.30 – Perfil de temperatura en el eje η, para una Ta = 65ºC.

Se nota en la Fig. 6.30 que conserva el patrón obtenido para los casos de

10ºC y 30ºC. Las diferencias de temperatura entre el centro de la placa y la superficie se mantienen constantes (e.g., 0.12ºC para los casos de la ranura de 1cm). La diferencia con los casos anteriores es la temperatura promedio de la placa, ello debido al incremento de la temperatura ambiente.

Tomando en cuenta los resultados de los casos anteriores, se concluye que la

temperatura ambiente no impacta al perfil de temperaturas que se encuentra en dirección opuesta a la ranura y la diferencia de temperatura se mantiene constante para cada caso correspondiente a las temperaturas consideradas (10ºC, 30ºC y 65ºC), para una condición de frontera aislada en la ranura.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

145

6.2.1.5 Resultados: Efecto de la Disipación de Calor en la Ranura

En la Fig. 6.31 se muestran las isotermas obtenidas con un porcentaje de disipación de calor en la ranura del total suministrado por la fuente de calor, para una longitud de ranura de 1cm, Ta = 10ºC y una fuente de calor de 13.6X106 W/m3 (ver Tabla 6.1).

Figura 6.31 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 1cm de ranura y Ta = 10ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

146

En la Fig. 6.31 se nota que conforme aumenta la disipación de calor en la ranura, las isotermas conservan su forma circular. También, la temperatura al interior de la placa caliente disminuye conforme aumenta el porcentaje de disipación de calor.

En la Fig. 6.32 se muestran las isotermas para una longitud de ranura de 1cm,

Ta = 30ºC y una fuente de calor de 13.6X106 W/m3.

Figura 6.32 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 1cm de ranura y Ta = 30ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

147

En la Fig. 6.33 se muestran las isotermas para una longitud de ranura de 1cm, Ta = 30ºC y una fuente de calor de 13.6X106 W/m3.

Figura 6.33 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 1cm de ranura y Ta = 65ºC.

En las figuras 6.31- 6.33 se nota que conforme aumenta la disipación de calor en la ranura, las isotermas conservan su forma circular, por lo tanto, la disipación de calor en la ranura para este caso no afecta la forma de las isotermas. También, resalta que la temperatura en el placa caliente es isoterma para fines prácticos.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

148

Con el objetivo de observar que les sucede a las isotermas al incrementar la longitud de la ranura y considerar la disipación de calor en ella, se plantearon casos similares a los anteriores considerando longitudes de ranura de 3 y 6 cm. En la Fig. 6.34 se muestran las isotermas para una longitud de ranura de 3cm, Ta = 10ºC y una fuente de calor de 19.5X106 W/m3.

Figura 6.34 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 3cm de ranura y Ta = 10ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

149

Se observa en la Fig. 6.34 que las isotermas tienden a curvarse cerca de la ranura conforme aumenta el porcentaje de disipación de calor. También, se nota que la temperatura promedio de la placa disminuye al incrementarse este porcentaje.

En la Fig. 6.35 se muestran las isotermas para una longitud de ranura de 3cm,

Ta = 30ºC y una fuente de calor de 19.5X106 W/m3.

Figura 6.35 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 3cm de ranura y Ta = 30ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

150

En la Fig. 6.35 se observa que se mantienen los mismos aspectos cualitativos que para el caso anterior (Ta = 10ºC, Fig. 6.34). Además, la diferencia de temperatura entre el centro de la placa y la superficie para los casos correspondientes de las figuras 6.34 y 6.35 se mantiene constante (e.g., 0.3ºC para ambas figuras 6.34(a) y 6.35(a)). En la Fig. 6.36 se muestran las isotermas para una longitud de ranura de 3cm, Ta = 65ºC y una fuente de calor de 19.5X106 W/m3.

Figura 6.36 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 3cm de ranura y Ta = 65ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

151

En la Fig. 6.36 se observa que se mantienen los mismos aspectos cualitativos que para los casos anteriores, entonces, el cambio de temperatura ambiente en el rango considerado no tiene efecto en la forma de las isotermas. La diferencia de temperatura entre el centro y la superficie de la placa tiene un intervalo de 0.24-0.3ºC. Lo que significa que la disipación de calor si tiene un pequeño efecto en la diferencia considerada. En la Fig. 6.37 se muestran las isotermas para una longitud de ranura de 6cm, Ta = 10ºC y una fuente de calor de 55.8X106 W/m3.

Figura 6.37 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 6cm de ranura y Ta = 10ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

152

Para este caso (Fig. 6.37) se aprecia que las isotermas tienden a deformarse cerca de la ranura conforme se incrementa el porcentaje de disipación. Este efecto es mucho más fuerte que para el caso de la ranura de 3cm (Fig. 6.34-6.36). También, al igual que en los casos anteriores la temperatura promedio disminuye cuando aumenta el porcentaje de disipación. En la Fig. 6.38 se muestran las isotermas para una longitud de ranura de 6cm, Ta = 30ºC y una fuente de calor de 55.8X106 W/m3.

Figura 6.38 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 6cm de ranura y Ta = 30ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

153

En la Fig. 6.38 se conservan los aspectos cualitativos que se obtuvieron para el caso de 10ºC (Fig. 6.37). Las diferencias de temperatura tienen un intervalo de 0.26-0.3ºC, el cual es mayor que para el caso de las ranura de 1 y 3 cm.

La Fig. 6.39 muestra las isotermas para una longitud de ranura de 6cm, Ta = 65ºC y una fuente de calor de 55.8X106 W/m3.

Figura 6.39 – Isotermas para la placa caliente con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente, 6cm de ranura y Ta = 65ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

154

De la misma manera que para los casos anteriores (figuras 6.37 y 6.38), las isotermas de la Fig. 6.39 tienen los mismos aspectos cualitativos. Con los casos presentados de las ranuras de 1, 3 y 6 cm, se concluye que conforme se incrementan la longitud de la ranura y disipación de calor en ella, las isotermas tienden a deformarse debido a este incremento, es decir, las isotermas pierden su forma circular dando lugar a una forma semi-elíptica.

Para observar que es lo que sucede con el perfil de temperaturas en los casos

con disipación de calor en la ranura, se graficaron los perfiles de temperaturas correspondientes al eje η partiendo desde el centro de la placa hacia el exterior de la placa en el lado opuesto a la ranura. En las Figs. 6.40, 6.41 y 6.42 se muestran los perfiles obtenidos para el caso de las tres longitudes de ranura, considerando la disipación de calor correspondiente y temperaturas Ta = 10ºC, Ta = 30ºC y Ta = 65ºC, respectivamente.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

155

Figura 6.40 – Perfiles de temperatura en el eje η con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente y Ta = 10ºC.

En los perfiles de temperaturas mostrados en la Fig. 6.40 se nota que la

diferencia de temperatura en el centro de la placa para los casos de 3 y 6 cm de ranura aumenta conforme se incrementa la disipación de calor. Para el caso de la ranura 6 cm la temperatura no es lineal, este punto se aclaro en la sección previa.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

156

La Fig. 6.41 muestra los perfiles obtenidos para el caso de las tres longitudes de ranura, considerando la disipación de calor correspondiente y una Ta = 30ºC.

Figura 6.41 – Perfiles de temperatura en el eje η con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente y Ta = 30ºC.

La Fig. 6.42 muestra los perfiles obtenidos para el caso de las tres dimensiones de ranura considerando la disipación de calor correspondiente y una Ta = 30ºC.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

157

Figura 6.42 – Perfiles de temperatura en el eje η con disipación de calor en la ranura de (a) 1%, (b) 5%, (c) 10%, (d) 15%, (e) 20% y (f) 30%, del calor suministrado por la fuente y Ta = 65ºC.

Los perfiles se mantienen igual en las tres figuras mostradas (Fig. 6.40-642),

esto refuerza el punto concluido en secciones previas, lo cual es que la temperatura ambiente no afecta de manera significativa en los aspectos cualitativos de la placa caliente.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

158

Otro aspecto importante, es que la menor diferencia de temperatura entre el centro y la superficie, se obtuvo con la ranura menor longitud de ranura, es decir, la longitud de 1cm.

Con este breve análisis se obtuvieron los siguientes aspectos relevantes para

llevar a cabo la experimentación a futuro con este tipo de aparatos (GHPA):

1. Aislar térmicamente de la mejor manera posible el orificio o ranura por donde entra la fuente de calor, para disminuir la disipación de calor en la ranura. Esto con el objetivo de tener un perfil de temperaturas uniforme en toda la placa caliente.

2. Mantener el calor suministrado por la fuente constante, es decir, la potencia eléctrica disipada por la cinta de nicromel o calentador en uso debe mantenerse en un valor estable. Ello se logra con una fuente de energía eléctrica en la cual el voltaje (diferencia de potencial) sea regulado y tenga mínimas variaciones en largos periodos de tiempo. También, debe considerarse que la variación de la resistencia eléctrica del calentador con la temperatura sea mínimo, si esta varía, es recomendable diseñar un circuito electrónico que permita la regulación automática del voltaje para mantener la potencia disipada constante.

3. Colocar los sensores de temperatura en el lado opuesto a la ranura, ya

que en este lugar las isotermas conservan mejor su forma circular.

4. Al construir la placa caliente, considerar que la ranura tiene un efecto en el perfil de temperaturas debido a la disipación de calor en ella, juntamente con la posición de la fuente calor. Lo que se busca en ello es que la placa sea lo más isoterma posible. De acuerdo a los resultados obtenidos en este trabajo, ello se logra con una ranura de 1cm y colocando en ese sitio la fuente de calor, ya que este caso presentó una diferencia de temperatura de 0.1-0.12ºC entre el centro de la placa y la superficie. Sin embargo, en el modelo físico y matemático no se consideró la guarda de la placa caliente, por tal motivo, se recomienda extender este trabajo considerando la guarda acoplada a la placa caliente para realizar un análisis y obtener la mejor posición de la fuente de calor para la placa caliente.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

159

6.2.2 Análisis de la Distribución de Temperaturas en un Instrumento de Barras Cortadas para Medir Conductividad Térmica en Sólidos Conductores

Esquivel en el 2010 obtuvo los parámetros de diseño para la construcción de

un aparato de barras cortadas para medir la conductividad térmica. El diseño de este aparato consta de dos materiales de referencia, un material de muestra en forma cilíndrica y un aislante térmico alrededor de las barras. La muestra y los materiales de referencia se apilan de tal manera que la muestra quede en medio. En la Fig. 6.43 se muestra el esquema de la barra compuesta.

Figura 6.43 – Esquema de la barra compuesta referencia-muestra-referencia (Esquivel, 2010)

El autor resolvió el problema considerando condiciones de simetría y contacto perfecto mediante la técnica de volumen finito. Como se puede apreciar en la Fig. 6.43, el diseño de construcción de la barra contempla seis orificios Z1, Z2 … Z6, en los que se colocaran termopares para medir las temperaturas T1, T2, … T6. Entonces, estos orificios romperán la simetría haciendo que la aproximación hecha por el autor tenga una ligera desviación del problema real.

Z1

Z2

Z5

Z4

Z3

Z6

o Material de referencia 1

o Muestra

o Material de referencia 2

o

o

o

r

H

ZR1

ZM

ZR2

φ r

z

, T6

, T4

, T3

, T2

, T1

, T5

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

160

En la Fig. 6.44 se muestra las isotermas y el vector flujo de calor reportado por Esquivel en el 2010.

Figura 6.44 – Perfil de temperaturas y flujo de calor en una barra compuesta cobre-baquelita-

cobre con material aislante en su radio exterior (Esquivel, 2010). Como se aprecia en la Fig. 6.44, el autor resolvió el problema sin considerar

los orificios para los sensores de temperatura. Por lo tanto, en este trabajo se realiza un estudio en el cual se involucran los orificios, ya que estos están relacionados de manera directa con las temperaturas para determinar la conductividad térmica del material de muestra.

La ecuación de trabajo para determinar la conductividad de la muestra es:

2 2                                                                 6.8

Observando la Ec. (6.8), se espera que al realizar el experimento el patrón de

temperaturas sea estratificado, puesto que las diferencias de temperaturas son fundamentales para que se determine con la menor incertidumbre posible la

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

161

conductividad de la muestra. Si el patrón de temperaturas no es estratificado se obtendrá un parámetro de conductividad con mayor incertidumbre, incluso, puede llegar a ser irreal. Un ejemplo de ello es que si la diferencia de temperaturas del material de la muestra es pequeña (T4 y T3), la conductividad calculada será muy grande, o viceversa si las temperaturas de los materiales de referencia son pequeñas el término entre paréntesis será casi nulo, provocando que el valor de la conductividad calculada sea baja.

Por otra parte, Esquivel en su trabajo reportó que el error de diseño es menor y tiende a ser constante si el material de muestra tiene una conductividad arriba de 14.2 W m-1 K-1. Por lo tanto, en este trabajo se simulan muestras, las cuales tienen una conductividad térmica mayor de 14.2 W m-1 K-1, ello con la finalidad de evitar un error grande en el cálculo de la conductividad. 6.2.2.1 Parámetros de la Modelación

El objetivo de este breve estudio es analizar el efecto en el perfil de temperaturas de las ranuras para los sensores de temperatura en el aparato de barras cortadas. Cabe destacar que Esquivel (2010) para determinar los parámetros de diseño realizó un estudio extenso sobre gran variedad de materiales. En este trabajo se seleccionó cobre como material de referencia y tres materiales como material muestra, hierro, plomo y aluminio. La Tabla 6.2 muestra la conductividad térmica de los materiales seleccionados.

Tabla 6.2 Valores de conductividad de los materiales seleccionados.

Material

Conductividad Térmica

(W*m-1*K.-1) Aluminio 237.0 Cobre 401.0 Hierro 147.0 Plomo 35.3

Las constantes ambientales se seleccionaron igual que en el trabajo de

Esquivel, con un coeficiente convectivo h = 5.65 W m-2 K-1 y una temperatura ambiente Ta = 22 ºC. La temperatura de evaluación de la muestra se fijó a 100ºC (Tf = 20 ºC y Tc = 180 ºC). El material aislante es poliestireno extruido de 25 mm de espesor (λ = 0.034 W m-1K-1). La profundidad de la ranura en los materiales de referencia y muestra se fijó a 3 mm (1/8’’).

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

162

6.2.2.2 Modelo Físico

En la Fig. 6.45 se muestra el modelo físico propuesto del aparato de barras cortadas considerando los orificios para los termopares.

Figura 6.45 – Modelo físico del aparato de barras cortadas.

Para el estudio de este problema se aplican las siguientes consideraciones,

• Los materiales de referencia y de muestra tienen una longitud 100 mm. • Contacto perfecto entre los materiales. • Los materiales son homogéneos e isotrópicos y sus propiedades termofísicas

no varían con la temperatura. • La conductividad térmica de los materiales es conocida. • No hay dilatación volumétrica por cambio temperatura en los materiales. • Las temperaturas Tc en la parte superior y Tf en la parte inferior del sistema

son constantes y uniformes.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

163

• El área de la sección transversal del material de referencia y de la muestra son iguales.

• No existe generación de calor en ninguno de los materiales. • Las condiciones del medio circundante son constantes, es decir, la

temperatura ambiente y el coeficiente de calor convectivo son constantes. • La condición de frontera de las ranuras se considera debido a la baja

conductividad del aire en comparación con el material aislante y el mínimo movimiento de este en las ranuras.

• El sistema se encuentra en estado permanente. 6.2.2.3 Modelo Matemático

El modelo matemático que describe la difusión de calor en estado permanente y sin generación de calor en el plano computacional es,

Γ Γ

0                                                6.9

0 , 0.075                     0 , 0.30                       donde, Γ y los coeficientes a, b, d, y J dependen de las métricas de la transformación y estos se definieron en el Capítulo 3.

Condiciones de frontera

                     

                                              

                                               

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

164

6.2.2.4 Independencia de Malla

En la Fig. 6.46 se muestra la malla para este problema, para una malla representativa de 17X41, esto para cada material. Se nota el sistema coordenado curvilíneo en las ranuras es bastante curvo, lo que lo hace muy sensible a variaciones en las dimensiones de las fronteras, especialmente las dimensiones de las ranuras. La razón de aspecto máxima obtenida fue de 4.31, al interior de las fronteras. Se seleccionaron los siguientes valores para llevar a cabo el estudio se independencia de malla, 31X81, 41X81, 51X81, 31X121, 41X121, y 51X121, para cada material, es decir, la malla para los tres materiales involucrados tendrá un tamaño más grande para las líneas η (e.g. 31X81 para un material, 31X241 para los 3 materiales).

Figura 6.46 – Malla para resolver la difusión de calor en el aparato de barras cortadas. En la Fig. 6.47 se muestran las temperaturas obtenidas en la interface del

material de referencia y la muestra para las diferentes mallas.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

165

Figura 6.47 – Variación de la temperatura en la primer interface referencia muestra.

Para resultados obtenidos entre las mallas de 31X121, 41X121, 51X121

existe una diferencia relativa de 1.32% y 0.43% promedio, respectivamente, por lo que se consideró usar la malla de 41X121.

6.2.2.5 Resultados: Efecto de la Posición de las Ranuras

Para observar el efecto que provocan las ranuras en las isotermas en el aparato de barras cortadas, se decidió mover las ranuras de posición cada 5 mm de la interface de los materiales referencia-muestra-referencia, esto hasta llegar a una distancia de 20 mm.

Los materiales seleccionados para la simulación fueron: cobre como material de referencia y hierro como muestra, ambos con diámetro de 25 mm y 50 mm. En la Fig. 6.48 se muestran las isotermas obtenidas para cada caso.

Se nota en la Fig. 6.48 que, conforme aumenta la separación de la interface con las ranuras, las isotermas se desplazan hacia abajo, esto puede apreciarse con claridad en los casos (a) y (b). También, es de llamar la atención que las isotermas no son completamente horizontales en las tres barras de la simulación numérica. Entonces, esto afectará en el experimento real, provocando que aumente la incertidumbre de medición, ya que la temperatura registrada en la ranura por el sensor no será la misma que su contraparte, puesto que el experimento no es completamente simétrico. Para aclarar este punto, considere la Fig. 6.48(c) fijando

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

166

la atención en la isoterma de 130 ºC, en esta situación el sensor de temperaturas marcará aproximadamente 130ºC en la experimentación a una altura de 185 mm, lo cual provocará cierto porcentaje de incertidumbre, ya que la misma isoterma corresponde también a 190 mm aproximadamente del lado donde no existe ranura o perforación.

Con el breve análisis anterior, se recalca la importancia de que el experimento sea simétrico y ello se logrará perforando ambos lados de los materiales que participan en el experimento.

En la Fig. 6.49 se muestran los mismos casos con diámetro de 50 mm para los

materiales referencia-muestra, en ella se aprecia que las isotermas son ligeramente más horizontales respecto a las mostradas en la Fig. 6.48. Para ambos casos de la Fig. 6.48(a) y 6.49(a) se nota una isoterma indeseable en la parte superior, esto puede deberse por las aproximaciones numéricas hechas y la pérdida de información cuando se resuelve en el plano computacional. Sin embargo, en base a los resultados mostrados en las figuras 6.48 y 6.49 para evitar altos gradientes de temperaturas en un espacio reducido, se recomienda realizar las perforaciones a partir de los 10 mm de separación de la interface entre material y material.

Por otra parte, Esquivel (2010) en su trabajo propuso usar un diámetro en los

materiales referencia-muestra de 25 mm, pero con el análisis hecho en este trabajo a partir de los resultados obtenidos, se sabe que un diámetro mayor ayudará a mantener las isotermas más próximas a la horizontal.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

167

Figura 6.48 – Isotermas del aparato de barras cortadas con diámetro de 25 mm materiales referencia-muestra y, posición de la ranura a (a) 5 mm, (b) 10 mm, (c) 15 mm y (d) 20 mm de la interface.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

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Figura 6.49 – Isotermas del aparato de barras cortadas con diámetro de 50 mm materiales referencia-muestra y, posición de la ranura a (a) 5 mm, (b) 10 mm, (c) 15 mm y (d) 20 mm de la interface.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

169

6.2.2.6 Resultados: Análisis de Diferentes Materiales de Muestra con las Perforaciones Hechas Simétricamente

En la Fig. 6.50 se muestran las isotermas y una aproximación del vector flujo de calor, obtenidos para la simulación numérica tomando cobre como material de referencia y aluminio como muestra, para un diámetro de 25 mm.

Figura 6.50 – Simulación numérica del aparato de barras cortadas cobre-aluminio-cobre

para 25 mm de diámetro; (a) Isotermas y, (b) Vector flujo de calor.

Fijando la atención en la Fig. 6.50 (a) del “eje” η en las distancia de 0.1 y 0.2 se observa que las isotermas tienen una desviación de la horizontal. Por otra parte, el vector flujo de calor tiene una forma casi vertical en los materiales referencia-muestra. Se nota en la Fig. 6.50 (b) que el vector flujo de calor tiende a desviarse de la vertical cerca de las ranuras. Para este análisis se obtuvieron las temperaturas en las ranuras, las cuales son: 24.5, 60.3, 72.6, 131.9, 143.6 y 177.4ºC tomando en cuenta las ranuras de abajo hacia arriba. Sustituyendo las temperaturas en la Ec. (6.7), la conductividad obtenida es 235.17 W m-1K-1, la cual tiene un error de 0.77% respecto al valor real (237.0 W m-1K-1).

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

170

En la Fig. 6.51 se muestran las isotermas y el vector flujo de calor aproximado para los mismos materiales que en el ejemplo previo, con un diámetro de 50 mm.

Figura 6.51 – Simulación numérica del aparato de barras cortadas cobre-aluminio-cobre

para 50 mm de diámetro; (a) Isotermas y, (b) Vector flujo de calor.

En la Fig. 6.51 (a) se nota que las isotermas son un poco más horizontales que las de la Fig. 6.50(a). Ello impacta de forma directa en las temperaturas “medidas” en las ranuras, las cuales son: 24.3, 59.9, 71.8, 131.1, 142.6 y 177.4ºC, respectivamente, considerando las ranuras de abajo hacia arriba. La conductividad térmica calculada con la Ec. (6.7) es 237.6 W m-1K-1 la cual tiene un error de 0.25% respecto al valor real. Considerando los errores obtenidos, para este caso, es notorio que, en la simulación con los materiales de diámetro de 50 mm, se obtuvo un menor error que con los de 25 mm.

En las figuras 6.52 y 6.53 se muestran los casos para cobre-hierro-cobre y

cobre-plomo-cobre, respectivamente.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

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Figura 6.52 – Isotermas y flujo de calor de la simulación numérica del aparato de barras cortadas cobre-hierro-cobre para (a) 25 mm y (b) 50 mm de diámetro.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

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Figura 6.53 – Isotermas y flujo de calor de la simulación numérica del aparato de barras cortadas cobre-plomo-cobre para (a) 25 mm y (b) 50 mm de diámetro.

Difusión de Calor en Coordenadas de Cuerpo Ajustado Capítulo 6

173

Para los casos expuestos en las figuras 6.52 y 6.53 se nota el mismo patrón que en el ejercicio hecho con aluminio como material de muestra. Incluso, en la Fig. 6.53 (a) y (b) se muestra una clara desviación con la horizontal de las isotermas.

La conductividad calculada para el caso de hierro como material de muestra

correspondiente a la Fig. 6.52 es de 146.2 W m-1K-1 para 25 mm y 147.7 W m-1K-1 para 50 mm, y sus errores con respecto al valor real (147.0 W m-1K-1) de 0.53% y 0.48%, respectivamente.

Por otra parte, para el caso del plomo como material de referencia mostrado

en la Fig. 6.53, se obtuvieron los siguientes conductividades: 37.74 W m-1K-1 para 25 mm y 37.1 W m-1K-1 para 50 mm, y sus errores con respecto al valor real (35.3 W m-1K-1) de 6.92% y 5.11%, respectivamente.

Con los datos obtenidos, es claro que; conforme aumenta el diámetro de los

materiales muestra-referencia disminuye el porcentaje de error entre la conductividad calculada y su valor real. También, se nota que el porcentaje de error aumenta significativamente si el material de referencia tiene una conductividad mucho más baja que el material de referencia, como es el caso del cobre y el plomo que tienen conductividades de 401 y 35.3 W m-1K-1, respectivamente, teniendo un error del 5.5% en promedio en la simulación hecha en este trabajo. A continuación se presentan los aspectos más relevantes de este breve análisis:

• Es deseable que cuando se realice el experimento sea simétrico, para asegurar

que la temperatura medida en una parte de la barra sea la misma que en su lado opuesto. Por lo tanto, se recomienda perforar cuidadosamente ambos lados de la barra y someterlos a las mismas condiciones de operación.

• Se recomienda el uso de barras de materiales referencia-muestra de 50 mm de diámetro, en vez de las de las propuestas por Esquivel en el 2010 (25 mm), ya que se disminuye el error y con ello el porcentaje de incertidumbre al determinar la conductividad.

• Es viable que al realizar la experimentación se utilicen materiales diferentes como referencia, puesto que si el material de muestra tiene un valor de conductividad bastante bajo en comparación con el material de referencia, se tendrá mayor error al evaluar la conductividad de la muestra.

174

Capítulo 7 

Conclusiones   7.1 Conclusiones Generales

En este trabajo de investigación se presentó un modelo matemático y un

código numérico que sirve para la generación de mallas por medio de la técnica de coordenadas de cuerpo ajustado, el cual se aplica a geometrías irregulares y/o complejas. También, se muestra un modelo matemático de difusión de calor para dos problemas diferentes, al cual se le acopla el código numérico desarrollado para adaptar las geometrías a coordenadas de cuerpo ajustado (sistemas coordenados curvilíneos).

Se presentó la verificación de los códigos numéricos desarrollados con

problemas reportados en la literatura. El código numérico desarrollado para la generación de mallas SGRID2D, se verificó cualitativamente con el trabajo fuente de Thompson et al., 1977, en el cual se obtuvieron mallas prácticamente idénticas. Cabe señalar que, el código SGRID2D no se verificó cuantitativamente, debido a que en la literatura de mallas no estructuradas solamente se reportan la geometría y forma de las mallas.

Por otra parte, el código numérico SGRID2D se acopló al código numérico

desarrollado DIF2DCG para el estudio de la difusión de calor en sistemas coordenados curvilíneos, el cual se verificó con tres problemas de referencia reportados en la literatura. El primer problema aborda la difusión de calor en un medio compuesto donde se obtuvo una error máximo de 3.71% con respecto a la solución analítica reportada. El segundo problema trata la difusión de calor en un medio homogéneo con un obstáculo en el centro del dominio físico, donde se verificó cualitativamente la forma de las isotermas. En el tercer problema se consideró la difusión de calor en la placa caliente del GHPA, donde se obtuvo un error del 0.36% respecto a la solución reportada. En general, se concluye que ambos códigos para los problemas de verificación producen resultados satisfactorios.

Conclusiones Generales Capítulo7

175

Además, se evaluó el desempeño del código SGRID2D con base en la complejidad de la geometría a mallar, el no traslape de las líneas de malla y la distribución de celdas de malla, encontrándose que su desempeño fue satisfactorio para el mallado de las geometrías irregulares y complejas propuestas. Analizar el desempeño del código SGRID2D tuvo como objetivo asegurarse de que éste permite mallar diversas geometrías con buenas propiedades de malla.

El código DIF2DCG permitió considerar las geometrías discretas que

integran el modelo físico de los dos problemas de difusión de calor abordados con más detalle; que los modelos de los sistemas coordenados ortogonales reportados por Xamán et al., 2009 y Esquivel 2010, para la placa caliente del GHPA y el aparato de barras cortadas, respectivamente.

Para el caso de la placa caliente del GHPA se consideró la ranura y su disipación de calor, la cual no fue considerada en el modelo reportado por Xamán et al., 2009 (tercer problema de la verificación). Con base en los resultados obtenidos se encontró que la placa caliente tiene una diferencia de temperatura entre el centro de la placa y su superficie frontera 0.1-0.12ºC para el caso en que la fuente de calor está situada a 1cm de la superficie. Además, se determinó que las isotermas tienden a perder su forma circular conforme se incrementa la longitud de ranura en combinación con la disipación que existe en ella, formándose isotermas semi-elípticas en el límite de la frontera con la ranura. Concluyendo así, que la mejor posición del sensor de temperatura es en el lado opuesto a la ranura.

En el caso del aparato de barras cortadas, se consideraron las ranuras en

donde se colocan los sensores de temperatura, las cuales no fueron reportadas por Esquivel (2010) en su análisis para determinar los parámetros del aparato. Para este caso, se determinó que el error en la conductividad térmica de la muestra disminuye sí el ancho de la barra se aumenta de 25 mm a 50 mm, por ejemplo, el error calculado para la conductividad térmica del aluminio fue de 0.77% y 0.25% para los diámetros de 25 mm y 50 mm, respectivamente.

Otro punto importante, es que el error no se mantuvo constante en cuanto a

la determinación de la conductividad térmica, como reporta Esquivel (2010) en su trabajo para conductividades mayores de 14.2 W m-1K-1, esto se debe a que el modelo físico y matemático son diferentes.

Recomendaciones y Trabajos Futuros Capítulo7

176

Finalmente, el desarrollo del código para la generación de mallas es un paso importante para los códigos de cómputo que se están desarrollando en transferencia de calor ya que permite mallar geometrías irregulares y/o complejas de diversos problemas de transferencia de calor. 7.2 Recomendaciones y Trabajos Futuros 7.2.1 Recomendaciones en la Generación de Mallas Bidimensionales con el Código Numérico SGRID2D

• Visualizar la primera aproximación de la malla dada por la Interpolación Transfinita y cerciorarse de que esta primera aproximación se encuentre dentro del dominio de la geometría. Ello, para evitar que el código numérico diverja o los resultados obtenidos sean incongruentes, es decir, una malla con líneas traslapadas.

• Si la malla obtenida con la Interpolación Transfinita es la deseada, entonces,

es conveniente no usar el ciclo iterativo de generación de malla, para ahorrar tiempo de cómputo.

• Si la geometría a mallar es bastante compleja, es recomendable dividir la

geometría en varios bloques para llevar a cabo el mallado.

• Para seleccionar los parámetros de amplitud y decaimiento en las funciones de control de malla P y Q, se recomienda incrementar los parámetros de amplitud y disminuir los de decaimiento de manera gradual. Esto evitará la divergencia del código y el traslape de líneas de malla.

7.2.2 Recomendaciones para la Solución de Problemas de Difusión de Calor

• Si el problema puede definirse en un sistema coordenado ortogonal sin necesidad de seccionarse, es recomendable resolverlo en ese sistema para ahorrar tiempo de cómputo.

Recomendaciones y Trabajos Futuros Capítulo7

177

• Si el problema a resolver consta de diferentes materiales y estos están delimitados por geometrías irregulares o complejas, se recomienda mallar las geometrías por separado y definir cada propiedad en su malla correspondiente.

7.2.3 Trabajos Futuros

• Desarrollar una interfaz gráfica para facilitar el mallado de geometrías bidimensionales.

• Analizar el planteamiento de condiciones de frontera de tercera clase desarrolladas por distintos autores que utilizan coordenadas de cuerpo ajustado. Esto con el objetivo de encontrar e implementar la mejor manera de tratar este tipo de condiciones para el desarrollo de futuros códigos numéricos.

• Extender el problema del GHPA considerando la guarda acoplada a la placa caliente para realizar un análisis y obtener la mejor posición de la fuente de calor para la placa caliente.

• Realizar un estudio a fondo del aparato de barras cortadas tomando como base el código numérico desarrollado en este trabajo.

• Implementar un código numérico para la generación de mallas de superficies tridimensionales. Esto con el objetivo de introducir las condiciones de frontera necesarias para el código numérico desarrollado SGRID3D1 (Structured Grid Three Dimemensions).

• Extender el código DIFCG2D para resolver flujo de fluidos (Laminar y

Turbulento). SGRID3D1: código numérico desarrollado como complemento de este trabajo de tesis, el cual se utilizó para el mallado de un cubo tridimensional. Sin embargo, para poder visualizar el comportamiento de este en geometrías irregulares y complejas es necesario introducir como condiciones de frontera seis superficies tridimensionales.

178

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APÉNDICE A

El siguiente diagrama de flujo corresponde a la subrutina desarrollada TFI2D (Transfinite Interpolation Two Dimensions), la cual forma parte fundamental dentro del código numérico desarrollado SGRI2D. La subrutina TFI2D calcula la primera aproximación de la malla en el código SGRID2D, para posteriormente pasar al ciclo iterativo dentro del programa principal.     

                   

La Interpolación Transfinita es un método algebraico, por lo tanto, no

requiere un proceso iterativo para el cálculo de los puntos internos de la malla.

Entrada de datos del contorno a mallar

Definición de las fronteras del contorno

TFI2D

Cálculo de los puntos internos del contorno

por interpolación bilineal

FIN

Viene de programa principal SGRID2D

Salida a programa principal SGRID2D