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D O C U M E N T O

D E T R A B A J O

Instituto de EconomíaT

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I N S T I T U T O D E E C O N O M Í A

w w w . e c o n o m i a . p u c . c l

Pago por Servicio vs Capitacion: Un Marco Teorico para Seguro Medico yColusion

Simon Navarro

2018

1

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE I N S T I T U T O D E E C O N O M I A MAGISTER EN ECONOMIA

TESIS DE GRADO

MAGISTER EN ECONOMIA

Navarro, Guerrero, Simón Ignacio

Julio, 2018

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE I N S T I T U T O D E E C O N O M I A MAGISTER EN ECONOMIA

Pago por Servicio vs Capitación:

Un Marco Teórico para Seguro Médico y Colusión

Simón Ignacio Navarro Guerrero

Comisión Microeconomía

Felipe González, Francisco Silva, Martín Besfamille, Fernando Coloma

Santiago, Julio de 2018

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y

ADMINISTRATIVAS

Instituto de Economıa

Tesis de Magıster en Economıa: Comision Microeconomıa

Pago por Servicio vs Capitacion:

Un Marco Teorico para Seguro Medico y Colusion

Autor:

Simon Navarro Guerrero

Supervisores:

Dr. Nicolas Figueroa

Dr. Francisco Silva

29 de junio, 2018

Indice

1. Introduccion 2

2. El Modelo 7

2.1. Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Responsabilidad Limitada Agregada 14

3.1. Informacion Asimetrica: Contrato del Segundo Mejor . . . . . . . . . . . . . 15

4. Responsabilidad Limitada Individual 17

4.1. Evaluando Contrato del Primer Mejor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


4.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Pago por Paciente 23

5.1. Evaluando Contrato del Primer Mejor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


6. Discusion 28

7. Conclusion 29

Pago por Servicio vs Capitacion:

Un Marco Teorico para Seguro Medico y Colusion

Simon Ignacio Navarro Guerrero*

29 de junio, 2018

Resumen

En un modelo de seguro medico con aseguradora, proveedor y paciente, en que el proveedor y el

paciente pueden formar una coalicion y dar un reporte falso a la aseguradora, se disena el contrato

optimo para los casos en que el proveedor tiene responsabilidad limitada agregada y cuando tiene

responsabilidad limitada individual. Bajo responsabilidad limitada agregada, el contrato optimo di-

senado por la aseguradora, cuando hay asimetrıas de informacion, consiste en un esquema mixto

entre pago por servicio y pago por paciente, lo que permite alcanzar el tratamiento y la transferencia

del Primer Mejor. En el caso de responsabilidad limitada individual, el contrato del Segundo Mejor

es un esquema de pago por servicio, en el que la asimetrıa de informacion provoca transferencias

crecientes y cobertura parcial. Como las transferencias no logran compensar las perdidas, el paciente

recibe un tratamiento excesivo en comparacion al caso con informacion completa.

*Quiero agradecer a Nicolas Figueroa por el tema de tesis y por toda la ayuda que me ha dado, no

solo durante la tesis, sino que desde que fui su alumno en pregrado. Tambien agradecer a la Comision de

Microeconomıa, en particular a Francisco Silva. Francisco, obrigado pelos comentarios. Y por supuesto, a mi

familia y amigos que han estado conmigo, dandome animo y carino cuando mas se necesita. Cualquier error

cometido en este trabajo es mıo. Pontificia Universidad Catolica de Chile; [email protected].

1

Tesis Magister en Economıa UC Simon Navarro Guerrero

1. Introduccion

En el trabajo de Arrow (1963) se explica la relevancia de entender como funciona el

sistema de seguro medico, cuales son los incentivos que genera en los agentes participantes,

y como puede disminuir la incertidumbre y aumentar el bienestar de los pacientes. Es difıcil

sobreestimar la relevancia del mercado de la salud. Este representa un porcentaje importante

del gasto mundial; en el ano 2014 el gasto en salud fue de aproximadamente un 10 % del PIB

mundial (World Bank 2014). En los trabajos de Becker (1968) y Stigler (1970) se menciona

la importancia de entender los fraudes desde un enfoque economico. Un problema prevalente

en los mercados de seguros (y ya senalizado en Arrow (1963)) es la existencia de informacion

asimetrica a muchos niveles. Uno de los problemas, en particular en los sistemas de seguro

medico, es que la aseguradora no sabe con exactitud cual es el nivel de enfermedad que tiene

el paciente, y esta asimetrıa de informacion puede generar que el paciente o el proveedor

tengan incentivos a formar una coalicion y entregar un reporte falso.

Un ejemplo en que el paciente y el proveedor se ponen de acuerdo en entregar un reporte

falso es para las licencias medicas falsas. Esto consiste en una actividad ilegal en que el medico

le entrega una licencia medica injustificada al paciente para que pueda faltar al trabajo por

“enfermedad”, a cambio de un pago monetario del paciente al medico. Este pago es cubierto

total o parcialmente por la aseguradora. De acuerdo a Inmune (2014), en Chile, para el

ano 2010 se estima que el 30 % de las licencias medicas son fraudulentas, lo que provoco

un gasto aproximado de US $300 millones. Es por eso que el 11 de mayo de 2012 entro en

vigencia la ley 20.585 que establece medidas de control, fiscalizacion y sanciones respecto a

quienes hagan mal uso de las licencias medicas. Es importante destacar que esta ley establece

sanciones tanto para el emisor como el receptor, ya que se entiende que el fraude es cometido

por ambas personas.

Otro ejemplo es el caso de las cesareas. El medico y la paciente se pueden poner de acuerdo

en realizar una cesarea aunque la paciente no la necesite, pero la aseguradora o la entidad

encargada de compensar los costos del tratamiento nunca va a saber si el procedimiento era

necesario o no, solamente puede verificar si el tratamiento se ejecuto. En la declaracion de

la WHO (2015) se menciona que un aumento de la tasa de cesareas realizadas disminuye

2


la probabilidad de muerte, pero solo hasta el 10 %. Tasas de cesareas mayores a 10 % no

muestran un efecto significativo sobre tasas de mortalidad de la madre o del bebe. Caughey

et al.(2014) mencionan que solamente se realice este procedimiento si el parto natural pone en

riesgo la vida del bebe o de la madre, pero existe un incremento en la cantidad de cesareas en

Estados Unidos sin evidencia clara de la necesidad del procedimiento, llegando en el ano 2011

a una tasa del 33 % , por lo que el tratamiento esta siendo usado en exceso. En Kozhimannil

et al.(2012) mencionan que el uso de cesareas tiene implicancias de polıticas ya que el parto

por cesarea es mas costoso que el parto natural (US$ 12.739 versus US$ 9.048 para el sector

privado en 2010). En Kliff (2012) se explica que US$750 miles de millones (alrededor de 1/3

del gasto total en salud de Estados Unidos) corresponden a procedimientos innecesarios que

no mejoran la salud de los pacientes. Este problema no solo ocurre en paıses desarrollados,

sino que tambien ocurre en paıses en vıas de desarrollo. En Chile, para el ano 2015, la tasa

de cesareas fue de 47,1 % (OECD, 2015). En Finger (2003) se explica que en Brasil, en el ano

2003, las tasas de cesareas alcanzaron un 30 % en el sector publico, y un 70 % en hospitales

privados.

En este contexto, es importante analizar los efectos de los distintos sistemas de asegura-

miento. Estos generan distintos incentivos a los agentes y por lo tanto, en equilibrio, distintos

niveles de tratamiento, costos, y transferencias. Existe evidencia mixta entre si es mejor que

el proveedor de tratamiento medico reciba ingresos bajo el sistema de pago por servicio o un

pago por paciente. En el caso de pago por servicio, en que se paga al proveedor de acuerdo

al costo del tratamiento incurrido en cada uno de los pacientes, el proveedor tiene incentivos

para entregar una mayor cantidad de tratamiento, o de sobreestimar los costos del trata-

miento. En el caso del pago por paciente o capitacion, en que se paga un monto fijo por cada

paciente tratado, independientemente del costo del tratamiento, el proveedor tiene incentivos

a no tratar a los pacientes que requieren de tratamientos costosos.1

En Chile, el gasto en salud del ano 2014 fue de aproximadamente un 7,8 % del PIB (World

Bank 2014). Santelices (2015) explica que en el paıs opera un sistema mixto de pago hacia

los proveedores; en la atencion primaria existe un pago capitado, mientras que en el resto

1En el trabajo de Cutler & Zeckhauser (2000) se explica en mas detalle los distintos esquemas de pagos

y los incentivos que generan.

3


de los niveles de atencion existe un pago por servicio. Tambien menciona que el sistema de

pago actual no incentiva el buen desempeno a nivel de hospital, ni a nivel de los medicos.

En Estados Unidos, entre un 86 % a un 95 % de los proveedores de salud son parte

de un sistema de pago por servicio (Pearl 2017). En Schneider et al.(2017), a pesar de

que Estados Unidos es el paıs con mayor gasto en salud como porcentaje del PIB de una

muestra de 11 paıses de la OCDE, aparece ultimo en el ranking de desempeno. Es importante

destacar que en los 5 indicadores que se ocupan para construir el ranking (care process, access,

administrative efficiency, equity, health), no hay ningun paıs que su sistema de salud obtenga

la mejor puntuacion en todos los indicadores.

Existen pocos modelos teoricos que reflejen la interaccion entre aseguradora, proveedor

y paciente; tomando en cuenta la potencial coalicion entre el proveedor y paciente.2 En este

trabajo construyo un modelo de seguros con colusion, en el que caracterizo los contratos

optimos en los casos en que la aseguradora le entrega un pago al proveedor bajo el esquema

de pago por servicio, y en el caso de pago por paciente. Considerando restricciones de res-

ponsabilidad limitada, donde la aseguradora debe cubrir para el conjunto de pacientes, los

costos del proveedor, se muestra que flexibilizando el esquema de pagos al proveedor desde

un sistema de pago por servicio, el bienestar del paciente aumentarıa.

Para modelar el problema, se extiende el modelo de Albert y Ma (2003), usando las

herramientas de Diseno de Mecanismos de Myerson (1979)(1981) y Guesnerie & Laffont

(1984), y de Control Optimo de Crocker & Morgan (1998). Las contribuciones de mi modelo

son las siguientes: 1) Existen pacientes con distintos niveles de enfermedad; 2) un modelo

donde el nivel eficiente de tratamiento de los clientes es heterogeneo; 3) La posibilidad

de incorporar la restriccion de responsabilidad limitada tanto de forma individual como

agregada. Esto permite comparar entre los sistemas de pago por servicio y pago por paciente,

como tambien entender la forma en que varıa el nivel de tratamiento y transferencia optima

a medida que cambia el nivel de enfermedad.

Que el proveedor tenga una restriccion de responsabilidad limitada individual significa

que por cada paciente, el proveedor debe recibir un pago que no sea menor al costo del

tratamiento. Pero en la realidad un proveedor atiende muchos pacientes, por lo que puede

2En el trabajo de Picard (2012) se hace un resumen de los modelos de seguros que existen en la literatura.

4


considerar el riesgo conjunto de todos ellos. Por lo tanto, la restriccion del proveedor no es

simplemente una de responsabilidad limitada individual, sino que una de responsabilidad

limitada agregada.

A partir de lo anterior, el primer resultado que se obtiene es que en el caso que el

proveedor tenga una restriccion de responsabilidad limitada agregada, la aseguradora logra

disenar un contrato en que se alcanza el Primer Mejor. Luego, esto significa que, incluso si

la aseguradora no puede observar el nivel de enfermedad del paciente, se alcanza la eficiencia

asignativa y el paciente obtiene cobertura completa. De este modo, el esquema optimo de

pago al proveedor que permite alcanzar el Primer Mejor consiste en un esquema mixto entre

pago por servicio y pago por paciente. La razon de este resultado es que tanto la aseguradora

como el proveedor tienen la misma capacidad para absorber el riesgo del paciente, y por

consiguiente, la aseguradora no cumple ninguna funcion.

El segundo resultado es que en el caso en que el proveedor tenga una restriccion de

responsabilidad limitada individual, el esquema optimo de pago al proveedor es un pago por

servicio, independiente de si la enfermedad del paciente es informacion publica o privada.

Cuando la enfermedad es informacion privada de la coalicion entre el proveedor y el paciente,

el contrato del Primer Mejor no genera los incentivos necesarios para que la coalicion reporte

verdaderamente. Debido a lo anterior, en el contrato del Segundo Mejor la transferencia ya

no absorbe todo el riesgo del paciente, y tiene que ser creciente en el nivel de enfermedad

para inducir un reporte verdadero. Como ahora ya no se esta absorbiendo todo el riesgo del

paciente, el tratamiento compensa en parte este efecto, por lo que sera mayor con respecto

al tratamiento del Primer Mejor. La distorsion del tratamiento tambien ocurre porque, a

una misma cantidad de tratamiento, los pacientes mas enfermos lo valoran mas, por lo que

se cumple con mayor facilidad la restriccion de compatibilidad de incentivos de la coalicion,

para que se entregue un reporte verdadero. Es importante destacar que este contrato del

Segundo Mejor sı es factible en el caso con responsabilidad limitada agregada, pero no es

optimo.

Con respecto a la literatura relacionada, el trabajo mas proximo es Albert & Ma (2003).

En su modelo, existe un paciente averso al riesgo que tiene una probabilidad de sufrir enfer-

medad, una aseguradora neutral al riesgo, y un proveedor neutral al riesgo que es el encargado

5


de otorgar un tratamiento al paciente. El modelo de ellos solo considera un nivel de enfer-

medad, y se enfoca en analizar como cambia el contrato optimo cuando hay proveedores

colusivos y honestos.

En el trabajo de Ma & McGuire (1997) desarrollan un modelo para entender el pago a

los proveedores, pero tiene un enfoque distinto porque hacen un modelo en que el proveedor

elige un esfuerzo y que el paciente elige cantidades. A diferencia de su modelo, en este modelo

se consideran distintos niveles de enfermedad, como tambien se pueden escribir contratos la-

terales (side-contracts) entre el proveedor y el paciente que maximizan el excedente conjunto

de la coalicion. El subjuego entre el proveedor y el paciente se modela usando el trabajo de

Tirole (1986), que tambien es usado en el modelo de Alger & Ma (2003).

En el trabajo de Bourgeon et al.(2008) ocupan un modelo con aseguradoras, proveedores,

y pacientes, en el que existe colusion entre el proveedor y el paciente. La diferencia con el

trabajo presente, es que ellos analizan los beneficios de la integracion vertical para disminuir

las perdidas generadas por los reportes falsos, y no estudian las consecuencias de los distintos

esquemas de pagos al proveedor.

Este trabajo procede de la siguiente forma. En la Seccion 2 se presenta el modelo, se

explica el subjuego de la coalicion y los distintos esquemas de pagos al proveedor, y resul-

tados preliminares usados en las siguientes secciones. En la Seccion 3 se estudia el caso en

que el proveedor tiene una restriccion de responsabilidad limitada agregada. En la Seccion

4 se presenta el caso en que el proveedor tiene una restriccion de responsabilidad limitada

individual. En la Seccion 5 se analiza el caso en que el proveedor tiene una restriccion de

responsabilidad limitada agregada, pero exogenamente se impone un pago capitado. En la

Seccion 6 se presenta una discusion sobre los resultados obtenidos y posibles extensiones. En

la Seccion 7 se entregan las conclusiones finales.

6


2. El Modelo

En este modelo de seguros hay tres agentes: aseguradoras que venden seguros medicos,

pacientes que contratan los seguros medicos, y los proveedores que son los encargados de dar

el tratamiento a los pacientes. El paciente esta caracterizado por un nivel de enfermedad

x. La aseguradora ofrece un esquema de pago al paciente y al proveedor. Se definen una

transferencia t del paciente a la aseguradora, un pago α de la aseguradora al proveedor, y un

tratamiento m del proveedor al paciente. Estas transferencias y tratamiento dependen de la

enfermedad. En la Figura 1 se muestra un resumen de como son las transferencias entre los

tres agentes. El contrato que disena la aseguradora es de la forma {t, α,m}.

Figura 1: Transferencias entre Aseguradora, Proveedor, y Paciente

A continuacion se explica en mas detalle las caracterısticas de los jugadores. Existe un

paciente averso al riesgo que puede sufrir un nivel de enfermedad x ∈ [x, x ] ⊆ R+. El nivel

x esta distribuido de acuerdo a H(x), y denotamos h(x) ≡ H′(x). El nivel de desutilidad

del paciente viene dado por una funcion de perdida, g(x,m), que depende tanto del nivel

de enfermedad, como del tratamiento recibido. Esta funcion cumple que g(x,m) = 0 pa-

ra cualquier valor de m, y ∂g∂x

> 0, ∂g∂m

< 0, ∂2g∂m2 > 0, ∂2g

∂m∂x< 0. Se asume tambien que

mınm

g(x,m) > 0 para cualquier valor de x mayor a x. Este supuesto significa que el trata-

miento no es capaz de curar completamente al paciente. El paciente posee un nivel de riqueza

inicial W y tiene una funcion de utilidad von Neumann-Morgenstern U(·), con U ′(·) > 0 y

U ′′(·) < 0. El paciente paga una transferencia t(x) que depende de la enfermedad x y un

monto fijo t0 a la aseguradora, y recibe un tratamiento m(x) por parte del proveedor. La

utilidad del paciente es:

U(m, t) = U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)

7


El proveedor es neutral al riesgo y entrega un tratamiento m(x) al paciente, mientras

que recibe un pago α(x) por parte de la aseguradora. El tratamiento tiene un costo marginal

constante e igual a c, y ademas tiene una utilidad de reserva normalizada a cero. La utilidad

del proveedor es:

Πp(α,m) = α(x)−m(x)c

La aseguradora es neutral al riesgo y recibe las transferencias t(x) y t0 por parte del

paciente, y paga un monto α(x) al proveedor. Por simplicidad, la utilidad de reserva de la

aseguradora tambien esta normalizada a cero. La utilidad de la aseguradora es:

Πa(t, α) = t(x) + t0 − α(x)

La aseguradora siempre puede observar el nivel de tratamiento m(x) entregado por el

proveedor al paciente, es decir, el tratamiento es observable y verificable.3 En la practica,

las aseguradoras tienen herramientas para verificar si el tratamiento se entrega o no, pero

no tienen herramientas para verificar si el tratamiento entregado es el apropiado para la

enfermedad del paciente.4

Sin embargo, asumimos que la aseguradora no es capaz de observar directamente el nivel

de enfermedad x. Ademas, el proveedor y el paciente pueden formar una coalicion y entregar

un reporte falso. Para modelar el subjuego de la coalicion se ocupan los trabajos de Tirole

(1986) y Alger & Ma (2003). Primero, el proveedor y el paciente interactuan y aprenden

el verdadero nivel de enfermedad x. Luego, el proveedor hace una oferta tomalo-o-dejalo

al paciente, que consiste en un contrato lateral de la forma {x(x), k(x)}, donde x(x) es el

reporte que la coalicion entrega a la aseguradora, y k(x) es una transferencia del paciente al

proveedor. En la Figura 2 se muestra la forma del contrato lateral.

Finalmente, el paciente puede aceptar o rechazar el contrato lateral. Si acepta, se reporta

x(x) y paga k(x) al proveedor; si rechaza, se reporta el verdadero nivel de enfermedad x, y

no hay transferencias entre ellos.

3Este es un supuesto que se usa en Alger & Ma (2003).4Existe una literatura en modelos de seguros llamada ”verificacion costosa del estado”(costly state ve-

rification), en que la aseguradora puede incurrir en un costo para verificar cierta informacion. Trabajos

relevantes que usan este enfoque son Townsend (1979) y Bond & Crocker (1997).

8


Figura 2: Contrato Lateral entre Proveedor y Paciente

En presencia de informacion asimetrica, no es necesario analizar el caso en que el pro-

veedor independientemente le reporte a la aseguradora. La razon es que el proveedor y el

paciente tienen conocimiento sobre la misma informacion x, y el tratamiento m es verificable

por parte de la aseguradora, por lo que el proveedor no puede reportar un nivel diferente de

enfermedad y dar un tratamiento que no corresponda al reporte efectuado.

Para la competencia a nivel de las aseguradoras, se ocupan los supuestos de Rothschild

& Stiglitz (1976). Se asume que existe competencia perfecta a nivel de las aseguradoras y

libre entrada al mercado. Tambien se ocupa el juego descrito en Hellwig (1987). En equilibro,

esto se traduce en que las aseguradoras van a maximizar la utilidad esperada del paciente.

Este es un supuesto que se ocupa en Zeckhauser (1970), Ma & McGuire (1997), y en Alger

& Ma (2003), en que la aseguradora solamente se enfoca en maximizar la utilidad esperada

del paciente, y que se cumpla la restriccion de participacion voluntaria del proveedor. Por

otra parte, en Bourgeon et al. (2008) las aseguradoras maximizan la utilidad del paciente

solamente en el caso que las aseguradoras estan afiliadas con todos los proveedores. En

el trabajo de Gaynor & Town (2011) se hace un resumen de la literatura que estudia la

competencia entre proveedores y la interaccion con aseguradoras en el mercado de servicio

de salud y de seguro medico.

La forma extensiva del juego entre la aseguradora, el proveedor, y el paciente es la si-

guiente. Primero, la aseguradora ofrece un contrato en que define transferencias t(x), t0 y

tratamiento m(x) del paciente, y un esquema de pagos α(x) al proveedor. Segundo, la “na-

turaleza” elige el nivel de enfermedad x del paciente. Tercero, el proveedor y el paciente

reportan x(x) de acuerdo al subjuego de la coalicion. Cuarto, se realizan las transferencias

y el tratamiento de acuerdo al contrato entregado por la aseguradora y el reporte entregado

9


por la coalicion, como tambien el pago lateral del paciente al proveedor. En la Figura 3 se

resume el timing del juego.

Figura 3: Timing del Juego

Los esquemas de pagos al proveedor mas usados son dos: pago por servicio y pago por

paciente. Bajo un esquema de pago por servicio, se paga al proveedor de acuerdo al gasto

realizado en cada uno de los tratamientos, sin agregar el costo conjunto de todos los servicios

entregados. En el problema, esto serıa: α(x) = m(x)c. En cambio, bajo un esquema de

pago por paciente, la aseguradora le paga al proveedor un monto fijo por cada paciente que

atiende, independiente del nivel de enfermedad o del tratamiento entregado. En el problema

que enfrenta la aseguradora, este tipo de pagos serıa: α(x) = α.

2.1. Resultados Preliminares

A continuacion se presentan resultados preliminares que luego son usados para caracteri-

zar los contratos optimos descritos en las siguientes secciones. Los resultados mencionados en

esta seccion son tres: contrato lateral optimo producto del subjuego de la coalicion; variante

del Principio de la Revelacion (Myerson 1979), utilizado para encontrar el contrato optimo

disenado por la aseguradora; y el contrato del Primer Mejor.

En el subjuego de la coalicion, para que se entregue un reporte falso, el proveedor y el

paciente deben no estar peor en comparacion a si entregan un reporte verdadero. La causa de

esto es que si el paciente no esta mejor con el contrato lateral ofrecido por el proveedor, puede

rechazarlo y se reporta el verdadero nivel de enfermedad. Mientras que para el proveedor, si

su mejor opcion es dar un reporte verdadero, le ofrece un contrato lateral al paciente en que

x(x) = x, y se reporta la verdad.

Lemma 1 La coalicion reporta el nivel de enfermedad, x(x), que maximiza el excedente

conjunto.

10


Para entender la forma explıcita del contrato lateral, primero hay que entender el ex-

cedente del paciente cuando se hacen distintos reportes: el excedente del paciente cuando

la coalicion reporta x es −g(x,m(x)) − t(x) − t0 + g(x, 0); cuando la coalicion reporta x es

−g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0).

Como el proveedor es el que ofrece el contrato lateral al paciente, logra capturar todo el

excedente adicional generado por el reporte falso. Por ende, el proveedor ofrece al paciente

un contrato lateral de la forma {x(x), k(x)}, donde elige x(x) tal que maximice el excedente

conjunto representado por:

x(x) ∈ argmaxx

α(x)−m(x)c− g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0)

Y un pago del paciente al proveedor de la forma:

k(x) = [−g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0)]− [−g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0)]

Con este contrato lateral el paciente acepta el contrato y obtiene la misma utilidad que si

hubiesen entregado un reporte verdadero, mientras que el proveedor captura la diferencia

entre el excedente generado por el reporte falso y el excedente que generarıa un reporte

verdadero. Por lo tanto, la utilidad del paciente con el contrato lateral {x(x), k(x)} es:

U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0 − k(x)) = U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)

La utilidad del proveedor con el contrato lateral {x(x), k(x)} es:

α(x)−m(x)c+ k(x)

Para encontrar el contrato optimo que disena la aseguradora, considerando el subjuego de

la coalicion, lo ideal serıa ocupar el Principio de la Revelacion (Myerson 1979) para limitarse

a analizar mecanismos directos en que la coalicion entregue un reporte verdadero. Como los

resultados de cualquier mecanismo pueden ser replicados por un mecanismo directo, entonces

no habrıa perdida de generalidad al restringir la atencion a mecanismos directos (Krishna

2009). Entonces hay que verificar si en la presencia de una coalicion entre dos agentes, se

puede usar este principio.

11


Lemma 2 Para un mecanismo cualquiera {m1(x), t1(x), α1(x)} y un equilibrio para ese me-

canismo, y un mecanismo directo {m2(x), t2(x), α2(x)} construido como una composicion del

mecanismo anterior y su equilibrio, no necesariamente se obtienen los mismos pagos.

Demostracion: En el Apendice.

Teorema 1 Para cualquier mecanismo {m1(x), t1(x), α1(x)} y un equilibrio para ese me-

canismo, existe un mecanismo directo {m2(x), t2(x), α2(x)} tal que el verdadero valor es

revelado y el Paciente resulta mejor.


Si existen dos mecanismos en donde el primero no es compatible en incentivos, y el

segundo es una composicion del primer mecanismo con su reporte de equilibrio, entonces las

utilidades del proveedor y del paciente van a ser diferentes. Debido a que las utilidades de los

agentes no son las mismas, entonces no aplica el Principio de la Revelacion. La explicacion

de estas diferencias ocurre porque la alternativa externa (outside option) del paciente es

que se entregue un reporte verdadero, entonces la utilidad de reserva del paciente cambia

cuando la aseguradora ofrece distintos contratos. Cuando la aseguradora implementa un

mecanismo compatible en incentivos, implıcitamente el proveedor pierde todo su poder de

negociacion, porque cualquier contrato lateral con un pago positivo desde el paciente al

proveedor, el paciente lo va a rechazar y se reporta el verdadero nivel de enfermedad. En

este problema la aseguradora maximiza la utilidad del paciente, por lo que solamente debe

considerar mecanismos directos compatibles en incentivos, ya que estos son los que dejan

mejor al paciente. En conclusion, como los mecanismos directos que inducen un reporte

verdadero dominan debilmente a otros mecanismos, entonces el analisis se limita solamente

a los primeros.

Con informacion completa, la aseguradora es capaz de observar directamente la enfer-

medad x que tiene el paciente, es decir, no hay asimetrıas de informacion. Por lo tanto, no

existe el problema de que el proveedor y el paciente se puedan coludir. El problema de la

aseguradora, en un mercado competitivo con informacion completa, es el siguiente:

12


maxt0,t(·),α(·),m(·)

∫ x

x

U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)h(x)dx (1)

s.a.

∫ x

x

α(x)h(x)dx ≥∫ x

x

m(x)ch(x)dx (2)

∫ x

x

(t(x) + t0 − α(x))h(x)dx ≥ 0 (3)

Proposicion 1 (Primer Mejor) En el caso de informacion completa, el contrato optimo

disenado por la aseguradora cumple con las siguientes caracterısticas: a) (Eficiencia Asigna-

tiva) −∂g(x,mfb(x))∂m

= c para todo x; b) (Cobertura Total) tfb(x) = −g(x,mfb(x)) para todo x;

c) (Compensacion al Proveedor) αfb(x) = mfb(x)c; d) tfb0 =∫ xx

(mfb(x)c− tfb(x))h(x)dx.


En el contrato del Primer Mejor, la aseguradora no tiene utilidades ex-ante y reembolsa

todo el costo del tratamiento incurrido por el proveedor, sin entregar un pago extra, por lo que

el proveedor obtiene utilidad cero. Con informacion completa se logra alcanzar la eficiencia

asignativa del tratamiento, en que el beneficio marginal es igual al costo marginal. Debido

a que el nivel de enfermedad es observable, la aseguradora disena la transferencia t(x) para

absorber todo el riesgo del paciente, por lo que el paciente obtiene una utilidad constante,

independiente del nivel de enfermedad. Entendiendo en mas detalle la transferencia, la forma

de esta es tfb(x) = −g(x,mfb(x)). Al analizar el cambio de la transferencia con respecto

a la enfermedad x se obtiene: t′fb(x) = −gx(x,mfb(x)) − gm(x,mfb(x))m′fb(x). Se puede

observar que compensa dos efectos, el cambio en la perdida del paciente por un cambio en

la enfermedad, y un cambio en la perdida por un cambio en el tratamiento. La transferencia

aumenta por el segundo efecto debido a que se esta recibiendo un mayor tratamiento, pero el

primer efecto hace que la transferencia disminuya para poder compensar una mayor perdida

por el aumento de la enfermedad. Esta forma de la transferencia permite absorber todo el

riesgo del paciente.

13


3. Responsabilidad Limitada Agregada

En esta seccion el proveedor tiene una restriccion de responsabilidad limitada agregada.

Esto se traduce en que la aseguradora debe disenar un esquema de pagos hacia el provee-

dor tal que cubra los costos esperados de los tratamientos entregados. La restriccion de

responsabilidad limitada agregada es la siguiente:

∫ x

x


x

m(x)ch(x)dx

En el trabajo de Alger & Ma (2003) no ocupan esta restriccion, sino que utilizan una de

responsabilidad limitada individual. La forma de esta restriccion es:

α(x)−m(x)c ≥ 0 (∀x)

En consecuencia, la compensacion de la aseguradora al proveedor debe ser capaz de cubrir la

totalidad del costo del tratamiento, para cualquier nivel de tratamiento.5 La interpretacion

de esta restriccion es que el proveedor no puede enfrentar riesgo, en el sentido que nunca

puede obtener una utilidad negativa ex-post con algun paciente. El problema es que esa forma

de la restriccion de participacion no es la que debiera considerar la aseguradora porque los

proveedores no atienden solamente a un paciente con un nivel de enfermedad x, sino que

atienden una gran cantidad, por lo que son capaces de agregar el riesgo conjunto de todos

ellos. No atender a uno de ellos, implicarıa perder muchos pacientes, y no lo harıan aun

cuando pierdan dinero en ese caso particular.

A continuacion, se caracteriza el contrato optimo cuando la aseguradora enfrenta el pro-

blema de asimetrıas de informacion, conocido como el Segundo Mejor (Second Best). Se

demuestra que en este escenario, bajo asimetrıas de informacion, el contrato del Primer

Mejor es implementable y optimo.

5En Ma & McGuire (1997) ocupan una restriccion de responsabilidad limitada agregada, pero al considerar

solamente un nivel de enfermedad para el paciente, el proveedor recibe en todos los estados un pago no

menor al costo del tratamiento, por lo que es analogo a si usaran una restriccion de responsabilidad limitada

individual.

14


3.1. Informacion Asimetrica: Contrato del Segundo Mejor

En este caso la aseguradora considera el problema de la informacion asimetrica y del

posible reporte falso, producto de la coalicion entre el proveedor y el paciente, para disenar

el contrato optimo. Por el Teorema 1, la aseguradora debe disenar un contrato en el que la

coalicion tenga incentivos a revelar el verdadero nivel de enfermedad del paciente. Esto se

traduce en que se incluye una restriccion de compatibilidad de incentivos (collusion proof

constraint) para cualquier nivel de enfermedad x de la siguiente forma:

x ∈ argmaxx

α(x)−m(x)c− g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0)

La interpretacion de esta restriccion es que el reporte que maximiza el excedente de la coa-

licion es el verdadero nivel de la enfermedad, x(x) = x. El problema de la aseguradora en un

mercado competitivo con informacion asimetrica, en que el proveedor tiene responsabilidad

limitada agregada es el siguiente:

maxt0,t(·),α(·),m(·)

∫ x

x

U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)h(x)dx (4)

s.a

∫ x

x


x

m(x)ch(x)dx (5)

x ∈ argmaxx

α(x)−m(x)c− g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0) (∀x) (6)

∫ x

x

(t0 + t(x)− α(x))h(x)dx ≥ 0 (7)

Proposicion 2 En el caso de responsabilidad limitada agregada e informacion asimetrica,

el contrato del Primer Mejor es implementable y optimo.


Corolario 1 El esquema de pago optimo para el proveedor consiste en un esquema mixto

entre pago por servicio y pago por paciente. α∗(x) 6= α, α∗(x) 6= mfb(x)c.

En el caso en que el proveedor enfrenta una restriccion de responsabilidad limitada agre-

gada, se puede disenar un esquema de pagos al proveedor de tal forma que tenga incentivos

15


a revelar el verdadero nivel de enfermedad del paciente, y que se pueda implementar el con-

trato del Primer Mejor. Esto ocurre porque el proveedor tambien es neutral al riesgo, por lo

que con el cambio en la restriccion, el proveedor puede absorber todo el riesgo del paciente.

El esquema de pagos optimo tiene la siguiente forma:

α∗(x) = mfb(x)c+ F ∗ −∫ x

x

gs(s,mfb(s))ds (8)

En la ecuacion (8) se puede ver que el esquema de pagos optimos desde la aseguradora

hacia el proveedor tiene tres terminos. El primer termino, mfb(x)c, corresponde a que la

aseguradora compensa el costo del tratamiento para cada nivel de enfermedad. Si solamente

estuviera presente el primer termino, estarıamos en un esquema de pago por servicio. El

segundo termino, F ∗, corresponde a un pago fijo independiente del nivel de enfermedad del

paciente. Este termino se ocupa para que la utilidad esperada del proveedor sea igual a

su costo de oportunidad. Como este termino no depende del nivel de enfermedad, no dis-

torsiona la decision del reporte realizada por la coalicion. Si solamente estuviera presente

el segundo termino, estarıamos en un esquema de pago por paciente. El tercer termino,∫ xxgs(s,m

fb(s))ds, sirve para inducir un reporte verdadero por parte de la coalicion. La

transferencia del Primer Mejor esta disenada para anular el riesgo del paciente y no para in-

ducir un reporte verdadero. Por consiguiente, esta tiene dos efectos cuando aumenta el nivel

de enfermedad: aumenta por un aumento en el tratamiento, y disminuye por un aumento

en el nivel de enfermedad. Por esa razon, para que la coalicion tenga incentivos a reportar

la verdad, el esquema de pagos optimos al proveedor debe netear el efecto de las transferen-

cias. Aunque la compensacion por el costo del tratamiento, mfb(x)c, logra anular el primer

efecto de la transferencia, el segundo todavıa sobrevive, lo que genera que el proveedor ten-

ga incentivos a sobre-reportar el nivel de enfermedad del paciente. La forma de inducir un

reporte verdadero es que para enfermedades mayores, el pago de la aseguradora al proveedor

es menor que el costo del tratamiento. Como contraparte de esta menor compensacion del

tratamiento, para enfermedades menores, el pago que realiza la aseguradora al proveedor es

mayor que el costo del tratamiento.

Proposicion 3 El contrato del Primer Mejor puede ser implementado sin la aseguradora.

α∗(x) = tfb(x) + tfb0 ∀x ∈ [x;x].

16



El monto de las transferencias que paga el paciente a la aseguradora, es exactamente el

mismo que el pago que realiza la aseguradora al proveedor, para cualquier nivel de enferme-

dad. En este sentido, si el modelo permitiera un pago directo entre el paciente al proveedor,

que pueda ser especificado en el contrato que disena la aseguradora, entonces la asegura-

dora no recibirıa ni entregarıa dinero a las otras partes. Esto ocurre debido a que con la

restriccion de responsabilidad limitada agregada, el proveedor tiene la misma capacidad que

la aseguradora para absorber el riesgo.

Debido a lo anterior, no es claro cual es el rol que juega la aseguradora cuando el proveedor

puede enfrentar el riesgo de la misma forma que ella. El primer posible rol que podrıa tener

la aseguradora, es con respecto a lo que ocurre si el paciente rechaza el contrato lateral

ofrecido por el proveedor. Uno de los supuestos del subjuego de la coalicion es que si el

paciente rechaza la propuesta, se revela el verdadero nivel de enfermedad. Este supuesto es

exogeno al modelo, pero una justificacion es que la aseguradora tenga algun metodo para

verificar esta informacion, por ejemplo, un medico encargado de revisar los diagnosticos de

los afiliados. Un segundo posible rol que podrıa tener la aseguradora es de ser el encargado

de hacer cumplir las reglas (enforcer). Sin la aseguradora, el proveedor no tendrıa razon de

cumplir con el contrato, por lo que tomarıa las decisiones que mas le convengan a el, sin

considerar que la situacion del paciente empeorarıa.

4. Responsabilidad Limitada Individual

En este caso se considera una restriccion de responsabilidad limitada individual para el

proveedor. Esto significa que la aseguradora, al disenar el contrato optimo, debe procurar

que el pago realizado al proveedor sea suficientemente alto para compensar sus costos, para

cualquier nivel de enfermedad x. La restriccion de responsabilidad limitada individual es:

α(x)−m(x)c ≥ 0 ∀x ∈ [x, x].

Este tipo de restriccion es la que se ha estudiado en la literatura. Una justificacion a esta serıa

que exista una polıtica regulatoria impuesta por la autoridad, en que bajo cualquier escenario

17


se debe compensar en su totalidad los costos del tratamiento incurridos por el proveedor.

Mas adelante se demuestra que bajo informacion asimetrica no se alcanza el Primer Mejor,

por lo tanto, la polıtica descrita anteriormente serıa una mala polıtica regulatoria porque

estarıa generando ineficiencias, y en particular, una menor utilidad esperada para el paciente.

En esta seccion se analiza que ocurre si bajo informacion asimetrica la aseguradora im-

plementa el contrato de Primer Mejor; y luego caracterizo el contrato optimo cuando la

aseguradora enfrenta el problema de asimetrıas de informacion, conocido como el Segundo

Mejor (Second Best).

4.1. Evaluando Contrato del Primer Mejor

Bajo informacion asimetrica, el nivel de enfermedad x que tiene el paciente es informacion

privada de la coalicion, por lo que el tratamiento y las transferencias que disene la aseguradora

van a depender del reporte x que entregue el proveedor sobre la enfermedad del paciente.

Segun el subjuego de la coalicion descrito anteriormente, el proveedor y el paciente se ponen

de acuerdo en que reportar. En esta subseccion analizo que pasarıa si la aseguradora, sabiendo

que puede recibir un reporte falso, implementa el contrato del Primer Mejor.

Por el Lemma 1, el proveedor disena un contrato lateral que maximiza el excedente

conjunto de la coalicion. La forma de este excedente si la aseguradora ofrece el contrato del

Primer Mejor es:

S(x, x) = −g(x,mfb(x)) + g(x,mfb(x))− tfb0 + g(x, 0) (9)

Como el proveedor disena el contrato tal que el reporte x maximice la ecuacion (9), la

condicion de primer orden es:

∂S(x, x)

∂x= −gm(x,mfb(x))m′fb(x) + gx(x,m

fb(x)) + gm(x,mfb(x))m′fb(x) (10)

Evaluando la ecuacion (10) en el reporte verdadero, x = x:

∂S(x, x)

∂x

∣∣∣x=x

= gx(x,mfb(x)) > 0 (11)

La condicion de primer orden de la maximizacion del excedente conjunto, evaluada en el

reporte verdadero, es mayor a cero. Esto significa que el contrato optimo con informacion

18


completa no genera los incentivos necesarios para que la coalicion entregue un reporte ver-

dadero. Como este analisis es valido para cualquier nivel de enfermedad x, entonces resulta

que bajo el contrato del Primer Mejor la coalicion tiene incentivos a sobre-reportar el nivel

de enfermedad, es decir: x(x) > x. Es importante destacar que en este caso sı se puede

implementar el tratamiento del Primer Mejor, −∂g(x,mfb(x))∂m

= c, con un contrato de la for-

ma {t(x); t0;α(x);m(x)} = {mfb(x)c; 0;mfb(x)c;mfb(x)}, pero no es optimo debido a que

no se esta haciendo cargo de disminuir el riesgo del paciente ante los distintos niveles de

enfermedad. El analisis anterior conlleva al siguiente teorema.

Teorema 2 Con responsabilidad limitada individual, el tratamiento del Primer Mejor mfb(x)

es implementable. Sin embargo, el contrato del Primer Mejor {mfb(x), tfb(x)} no lo es.


En el caso con informacion asimetrica, el proveedor y el paciente pueden formar una

coalicion y dar un reporte falso. Por el Teorema 1, el analisis se limita a mecanismos directos

compatibles en incentivos. Esto significa que para implementar un contrato que evite reportes

falsos en equilibrio, la aseguradora debe entregar los incentivos para que la coalicion volun-

tariamente reporte el verdadero nivel de enfermedad. El problema de la aseguradora en un

mercado competitivo con informacion asimetrica, en que el proveedor tiene responsabilidad

limitada individual es el siguiente:

maxt0,t(·),α(·),m(·)

∫ x

x

U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)h(x)dx (12)

s.a.

α(x)−m(x)c ≥ 0 (∀x) (13)

x ∈ argmaxx

α(x)−m(x)c− g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0) (∀x) (14)

∫ x

x

(t(x) + t0 − α(x))h(x)dx ≥ 0 (15)

19


Proposicion 4 En el caso de responsabilidad limitada individual e informacion asimetri-

ca, el contrato optimo disenado por la aseguradora posee las siguientes caracterısticas: a)

αsb(x) = msb(x)c; b) msb(x), msb(x) son eficientes, y −∂g(x,msb(x))∂m

< c para x ∈ (x, x); c)

t′sb(x) > 0 para x ∈ (x, x); d) tsb0 =∫ xx

(msb(x)c− tsb(x))h(x)dx.


Corolario 2 El tratamiento del Segundo Mejor es excesivo con respecto al tratamiento del

Primer Mejor. msb(x) > mfb(x),∀x ∈ (x;x).

Notemos que la aseguradora obtiene utilidad cero y reembolsa todo el costo del trata-

miento al proveedor, sin darle un pago extra. El proveedor obtiene utilidad cero debido a la

forma del contrato lateral. En el subjuego de la coalicion, el paciente tiene poder de negocia-

cion debido a que si rechaza el contrato lateral, se reporta el verdadero nivel de enfermedad.

El excedente generado en la sociedad es −g(x,m(x)) − t(x) − t0 + g(x, 0), entonces si el

proveedor ofrece un contrato lateral tal que capture parte del excedente de la sociedad, el

paciente lo rechaza, se reporta el verdadero nivel de la enfermedad, x(x) = x, y el paciente

se queda con todo el excedente generado en este juego. Debido a lo anterior, la restriccion de

responsabilidad limitada individual se cumple con igualdad, en que la aseguradora compensa

individualmente cada uno de los costos del tratamiento, resultando en que el esquema de

pagos optimos es un pago por servicio.

Por el Teorema 2 se sabe que {mfb(x), tfb(x)} no es implementable. El contrato optimo

distorsiona el nivel de tratamiento m(x) a cambio de conseguir un mejor nivel de asegura-

miento. La intuicion es que para satisfacer la restriccion de compatibilidad de incentivos,

es mas facil que se cumpla distorsionando el tratamiento m(x) que distorsionando en gran

cantidad la transferencia, debido a que la transferencia en dinero es valorada de la misma

forma por cualquier tipo de paciente, mientras que el tratamiento aumenta en valor para los

pacientes mas enfermos. Es por eso que, con informacion asimetrica, el tratamiento optimo

es mayor en comparacion al de informacion completa para enfrentar mejor el trade-off entre

tratamiento eficiente, disminucion de riesgo, e inducir un reporte verdadero.

La diferencia con respecto al caso de informacion completa, es que no es factible para la

aseguradora absorber todo el riesgo del paciente. La razon es que la forma de la transferencia

20


que permite cobertura completa es: t′(x) = −gx(x,m(x))− gm(x,m(x))m′(x). Sin embargo,

no cumple la restriccion de compatibilidad de incentivos de la coalicion. En el caso con

informacion asimetrica, el cambio en la transferencia con respecto a la enfermedad esta dado

por t′sb(x) = −gm(x,msb(x))m′sb(x). En este caso solamente esta presente el segundo efecto,

en que a mayor tratamiento aumenta el pago del paciente. Esto ocurre para que la coalicion

no tenga incentivos a dar un reporte falso y sobre-reportar la condicion del paciente, pero el

paciente solo obtiene una cobertura parcial.

4.3. Ejemplo

A continuacion se presenta un ejemplo para explicar graficamente el contrato optimo

obtenido en esta seccion. Se considera el caso en que el nivel de enfermedad del paciente x

esta uniformemente distribuido en el intervalo [0; 1]. La funcion de perdida del paciente esta

dada por g(x,m) = x(1−√m). La funcion de utilidad del paciente tiene un nivel constante

de aversion al riesgo absoluta de la forma U(·) = −exp{−r(W −x(1−√m)− t(x)− t0)}. Los

parametros usados en la simulacion son: riqueza inicial W = 1, aversion al riesgo absoluta

r = 1, y costo marginal del tratamiento c = 1. La forma de los contratos obtenidos en la

simulacion se muestran en el apendice.6

En la Figura 4 se muestra la forma de la transferencia variable del contrato del Primer

Mejor y del Segundo Mejor. La transferencia del Primer Mejor, debido a que esta construida

para absorber todo el riesgo del paciente, compensa dos efectos por un cambio en el nivel de

enfermedad: aumenta por un aumento en el tratamiento, y disminuye por un aumento en la

enfermedad. En la simulacion domina el segundo efecto, por lo tanto, la transferencia tiene

una pendiente negativa. En cambio, la transferencia del Segundo Mejor esta disenada para

inducir un reporte verdadero, entonces solamente tiene un efecto, que es aumentar debido

a un aumento en el tratamiento. Por lo tanto, el tratamiento del Segundo Mejor tiene una

pendiente positiva.

En la Figura 5 se muestra el tratamiento optimo en los casos de informacion completa e

6Es relevante mencionar que para el contrato del Primer Mejor se puede obtener una solucion de forma

cerrada, mientras que para el contrato del Segundo Mejor no. Del problema de informacion asimetrica, resulta

un sistema de ecuaciones diferenciales que se resuelve utilizando una aproximacion numerica.

21


Figura 4: Transferencia Variable

Figura 5: Tratamiento

22


Figura 6: Utilidad del Paciente

informacion asimetrica. Debido a que la transferencia del Segundo Mejor no logra absorber el

riesgo del paciente, el tratamiento del Segundo Mejor es excesivo con respecto al del Primer

mejor, salvo en los extremos del nivel de enfermedad. De esta forma se puede compensar en

parte que las transferencias del Segundo Mejor solamente ofrecen una cobertura parcial.

En la Figura 6 se muestra la utilidad del paciente evaluada en el contrato del Primer

Mejor, como tambien evaluada en el Segundo Mejor. Bajo el Primer Mejor, el paciente tiene

el tratamiento eficiente y las transferencias anulan todo el riesgo del paciente, por lo que

obtiene un nivel de utilidad constante, independiente del nivel de enfermedad. En cambio,

bajo el Segundo Mejor, el paciente solamente obtiene una cobertura parcial, por lo que sı

enfrenta riesgo.

5. Pago por Paciente

Otro esquema de pagos que se ha considerado en la practica es el pago por paciente o

pago capitado, que consiste en que la aseguradora le entrega un pago fijo al proveedor, que

23


es independiente del tratamiento y del nivel de enfermedad. Este pago debe ser capaz de

cubrir el costo promedio de los tratamientos. La restriccion que considera la aseguradora es

la siguiente:

α ≥∫ x

x

m(x)ch(x)dx

Con este tipo de contrato, cuando hay asimetrıas de informacion, tampoco se puede

alcanzar el Primer Mejor. En esta seccion se analiza que ocurre si bajo informacion asimetrica

la aseguradora implementa el contrato de Primer Mejor; y luego se caracteriza el contrato

del Segundo Mejor con esta restriccion.

5.1. Evaluando Contrato del Primer Mejor

Cuando la aseguradora no puede observar directamente el nivel de enfermedad x que tiene

el paciente, el tratamiento y las transferencias van a depender del reporte x que entregue

el proveedor. En esta subseccion analizo que pasarıa si la aseguradora, sabiendo que puede

recibir un reporte falso, implementa el contrato del Primer Mejor.

Por el Lemma 1, el proveedor disena un contrato lateral que maximiza el excedente

conjunto de la coalicion, que evaluado en el Primer Mejor es:

S(x, x) =

∫ x

x

mfb(x)ch(x)dx−mfb(x)c− g(x,mfb(x)) + g(x,mfb(x))− tfb0 + g(x, 0) (16)

Entonces, la condicion de primer orden para determinar el reporte optimo para la coalicion es:

∂S(x, x)

∂x= −m′fb(x)c− gm(x,mfb(x))m′fb(x) + gx(x,m

fb(x)) + gm(x,mfb(x))m′fb(x) (17)

Evaluando la ecuacion (17) en el reporte verdadero, x = x:

∂S(x, x)

∂x

∣∣∣x=x

= −m′fb(x)c+ gx(x,mfb(x)) (18)

Bajo el esquema de pago por paciente del Primer Mejor, no es claro como va a ser el

reporte que realice la coalicion. De la ecuacion (18), el segundo termino gx(x,mfb(x)) es

el mismo termino que aparece en la ecuacion (11) cuando se implementa el Primer Mejor

24


bajo responsabilidad limitada individual. Este termino es positivo y proviene de la transfe-

rencia que esta construida para dar una cobertura completa al paciente. El primer termino

−m′fb(x)c es negativo y aparece porque independiente del nivel de enfermedad del pacien-

te, la aseguradora le entrega el mismo pago α al proveedor. Dado que hay dos efectos con

sentidos opuestos, no he podido determinar la forma del reporte en este escenario: x(x) R x.

En este contexto es simple de demostrar que se puede implementar la transferencia del

Primer Mejor con el contrato {t(x); t0;α(x);m(x)} = {0; tfb0 ;αfb;mfb(x)}, pero no se obtiene

cobertura completa. Debido a lo mencionado anteriormente, se obtiene el siguiente teorema.

Teorema 3 Bajo un esquema de pago por paciente e informacion asimetrica, el tratamien-

to del Primer Mejor mfb(x) es implementable. Sin embargo, el contrato del Primer Mejor

{mfb(x), tfb(x)} no lo es.


En este caso la aseguradora considera el problema de la informacion asimetrica y del

posible reporte falso, producto de la coalicion entre el proveedor y el paciente, para disenar

el contrato optimo. Ocupando el Teorema 1, el analisis se limita a mecanismos directos. La

aseguradora debe disenar un contrato en el que la coalicion tenga incentivos a revelar el

verdadero nivel de enfermedad del paciente, tal como en la seccion anterior. La restriccion

de compatibilidad de incentivos para cualquier nivel de enfermedad x es:

x ∈ argmaxx

α−m(x)c− g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0)

Por lo tanto, el problema de la aseguradora en un mercado competitivo con informacion

asimetrica, en que el proveedor recibe un pago por paciente es el siguiente:

maxt0,t(·),α,m(·)

∫ x

x

U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)h(x)dx (19)

s.a.

α ≥∫ x

x

m(x)ch(x)dx (20)

x ∈ argmaxx

α−m(x)c− g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0) (∀x) (21)

∫ x

x

(t(x) + t0 − α)h(x)dx ≥ 0 (22)

25


Conjetura 1 En el caso de pago por paciente e informacion asimetrica, la utilidad del

paciente evaluada en el contrato del Segundo Mejor es decreciente en el nivel de enfermedad.

Esta conjetura tiene sentido en que a mayor enfermedad, el paciente esta peor debido

a que tiene una perdida mayor. La intuicion de esta conjetura es que para enfermedades

mayores, es muy costoso para el paciente tener un nivel de utilidad creciente en la enfer-

medad, debido a que tendrıa que recibir un gran tratamiento y pagar unas transferencias

demasiado pequenas. Para que la aseguradora pueda mantener un contrato de esta forma,

tendrıa que cobrar un monto fijo t0 muy elevado al paciente. El problema es que no he podido

demostrar matematicamente este resultado, y es necesario para poder entender el compor-

tamiento de la variable de coestado φ(x). En un caso discreto, en que existen dos niveles de

enfermedad x1 y x2 con x1 < x2, se supone por contradiccion que la utilidad del paciente,

al evaluarla en el contrato optimo, es creciente en el nivel de enfermedad. Para disenar el

contrato optimo, la restriccion de compatibilidad de incentivos relevante es que la coalicion

con una enfermedad pequena, x1, no quiera reportar que el paciente tiene una enfermedad

mayor, x2. Analizando las transferencias de este contrato, se podrıa aumentar la trasferencia

t(x2) en un monto ε, mientras que se disminuye la transferencia t(x1) en un monto δ, de

tal forma que la restriccion de participacion voluntaria de la aseguradora no se vea afectada

por estos cambios. Al no estar cambiando el tratamiento m(x) ni el pago α(x), la restriccion

de responsabilidad limitada agregada se sigue cumpliendo para el proveedor. Lo relevante

de hacer esta perturbacion en las transferencias es que la utilidad del paciente cuando tiene

una enfermedad mayor disminuye, y cuando tiene una enfermedad menor aumenta. De esta

forma, la utilidad esperada del paciente aumenta debido a que se esta suavizando el consu-

mo en los distintos estados. Es importante destacar que este cambio en las transferencias

sı se puede hacer porque la restriccion de compatibilidad de incentivos que se cumplıa con

igualdad, ahora se estarıa cumpliendo con holgura, mientras que la otra restriccion que se

cumplıa anteriormente con holgura, ahora la holgura disminuirıa pero no lo suficiente para

que no se cumpla. Por lo tanto, no es optimo un contrato en el que la utilidad del paciente

es creciente en el nivel de enfermedad.

26


Proposicion 5 En el caso de pago por paciente e informacion asimetrica, el contrato optimo

disenado por la aseguradora posee las siguientes caracterısticas: a) αsb(x) =∫ xxmsb(x)ch(x)dx;

b) −∂g(x,msb(x)∂m

> c cuando x → x, −∂g(x,msb(x)∂m

< c cuando x → x; c) t′sb(x) > 0 cuando

x→ x; t′sb(x) < 0 cuando x→ x, d) tsb0 =∫ xx

(msb(x)c− tsb(x))h(x)dx.


Corolario 3 El tratamiento del Segundo Mejor es escaso para enfermedades bajas, y excesivo

para enfermedades altas. msb(x) < mfb(x) cuando x→ x; msb(x) > mfb(x) cuando x→ x.

De este problema resulta que la aseguradora no tiene utilidades, y le da un pago al pro-

veedor que solamente compense el costo esperado del tratamiento, por lo que el proveedor

tiene utilidad cero. Debido a que los mecanismos directos compatibles en incentivos implıci-

tamente le quitan el poder de negociacion al proveedor, este no se puede aprovechar de su

posicion y obtener alguna renta k(x) positiva de parte del paciente.

Para niveles bajos de enfermedad, el beneficio marginal del tratamiento es mayor que el

costo marginal, por lo que se estan sub-tratando las enfermedades pequenas. Para niveles

altos de enfermedad, el beneficio marginal del tratamiento es menor que el costo marginal,

por lo que se estan sobre-tratando las enfermedades grandes.

Como se explica en la Proposicion 1, el cambio de la transferencia del Primer Mejor

con respecto a la enfermedad x es: t′fb(x) = −gx(x,mfb(x)) − gm(x,mfb(x))m′fb(x). Es-

ta transferencia compensa dos efectos, aumenta debido a que se esta recibiendo un mayor

tratamiento, pero el primer efecto hace que la transferencia disminuya para poder compen-

sar una mayor perdida por el aumento de la enfermedad. Esta forma de la transferencia

permite absorber todo el riesgo del paciente. En el caso de pago por paciente e informa-

cion asimetrica, el cambio en la transferencia con respecto a la enfermedad esta dado por

t′sb(x) = −gm(x,msb(x))m′sb(x)−m′sb(x)c. En la forma de la transferencia del Segundo Mejor

tambien esta presente el efecto en que a mayor tratamiento, aumenta el pago del paciente;

pero la transferencia tambien incluye otro efecto, y es que disminuye debido a un aumento

en los costos totales del tratamiento. Esto ocurre porque se estan internalizando estos costos

totales para que la coalicion no tenga incentivos a dar un reporte falso. Por la Conjetura 1,

27


se tiene que cumplir que m′sb(x)c < gx(x,msb(x)), por lo que el paciente solo obtiene una

cobertura parcial.

Si pasara que m′(x)c = gx(x,m(x)) para cualquier nivel de enfermedad, la utilidad del pa-

ciente serıa constante. De la condicion de primer orden se obtiene que el tratamiento optimo

serıa el tratamiento del Primer Mejor −∂g(x,mfb(x))∂m

= c, y como se menciono en la subseccion

anterior, el contrato optimo serıa de la forma {t(x); t0;α(x);m(x)} = {0; tfb0 ;αfb;mfb(x)},debido a que la transferencia t(x) ya no es necesaria para absorber el riesgo.

En el contrato del Segundo Mejor descrito en la Proposicion 5, para niveles altos de

enfermedad el tratamiento es excesivo y la transferencia disminuye, por lo que este contrato

esta haciendo que en el agregado, los pacientes menos enfermos compensen los costos de

tratamiento de los pacientes mas enfermos.

6. Discusion

Los contratos optimos encontrados en este trabajo dependen de la restriccion de par-

ticipacion que se considere para el proveedor. El esquema de pago por servicio es optimo

en el contexto de que el proveedor tiene una responsabilidad limitada individual. Este ti-

po de restriccion es usada en el trabajo de Alger & Ma (2003). En cambio, al considerar

una restriccion de responsabilidad limitada agregada, un esquema mixto logra implementar

optimamente el contrato del Primer Mejor.

Posibles extensiones a este trabajo serıan hacer un analisis de robustez para ver que tan

sensibles son los contratos optimos encontrados ante cambios en los supuestos, y buscar una

forma de como se podrıa implementar este tipo de contrato en la realidad.

Para la primera extension, un camino por explorar es cambiar los supuestos de la coalicion

entre el proveedor y el paciente. En los supuestos de la coalicion de Alger & Ma (2003), si el

paciente rechaza el contrato lateral, entonces tiene un mecanismo por el cual puede revelar

su nivel de enfermedad y obligar al proveedor a que le entregue el tratamiento estipulado

en el contrato de la aseguradora. En la practica esto es costoso de realizar, por lo que serıa

interesante analizar la robustez de los resultados obtenidos al cambiar los supuestos de la

coalicion.

28


Para la segunda extension, una opcion es realizar un analisis de bienestar para los casos

en que el esquema optimo de pagos mixto no se puede implementar, por ejemplo, por ser

demasiado complejo. Para eso, serıa relevante entender como afecta la utilidad del paciente y

cuanta eficiencia se puede alcanzar como porcentaje de la eficiencia bajo el contrato optimo,

si se consideran esquemas mixtos de pago por servicio y pago por paciente, que no incluyan

el tercer termino, −∫ xxgs(s,m

fb(s))ds, que en la practica puede ser difıcil de implementar.

La literatura que sirve para este analisis es Mecanismos Simples (Rogerson (2003); Chu &

Sappington (2007)).

7. Conclusion

En conclusion, cuando la aseguradora disena un contrato optimo en el mercado de seguro

medico, en este contexto tiene que considerar dos factores: un posible reporte falso de la

enfermedad del paciente, y la restriccion de participacion voluntaria del proveedor. El esque-

ma optimo que se obtiene en el caso con responsabilidad limitada individual e informacion

asimetrica es un esquema de pago por servicio, en el que el tratamiento es excesivo. Este

resultado va en lınea con la evidencia empırica de este sistema. Al incorporar responsabilidad

limitada agregada, se puede lograr una mayor eficiencia con respecto al esquema de pago por

servicio, mediante una menor compensacion que el costo de tratamiento para mayores niveles

de enfermedad. Claramente tiene que existir una contraparte para financiar al proveedor, y

es que para enfermedades menores el pago es mayor que el costo del tratamiento.

Como en la realidad tiene mas sentido considerar una restriccion de responsabilidad

limitada agregada, no es eficiente ocupar un esquema de pago por servicio. Finalmente, con

este modelo entrego una justificacion teorica de que, considerando de que los proveedores sı

son capaces de agrupar el riesgo de cada uno de los pacientes y tomar decisiones en base a ese

riesgo conjunto, existe un esquema de pago mixto al proveedor que es superior al esquema

optimo de pago por servicio, descrito en el contrato del Segundo Mejor.

29


Apendice

Demostracion del Lemma 2 y del Teorema 1:

Suponga que {t1(x), α1(x),m1(x)} es un mecanismo no necesariamente compatible en

incentivos. Como la coalicion maximiza el excedente conjunto, reporta x1(x) tal que:

x1 ∈ argmaxx

α1(x)−m1(x)c− g(x,m1(x))− t1(x)− t0 + g(x, 0) (23)

Bajo este mecanismo y su reporte de equilibrio, las utilidades del paciente y del proveedor

para un nivel x de enfermedad son:

Utilidad del Paciente: UP1 ≡ U(W − g(x,m1(x))− t1(x)− t0)Utilidad del Proveedor: Π1 ≡ α1(x1)−m1(x1)c+ k1(x1)

Donde k1(x1(x)) = [−g(x,m1(x1))− t1(x1)]− [−g(x,m1(x))− t1(x)] ≥ 0

Bajo este mecanismo, el paciente obtiene una utilidad como si hubiesen reportado el verda-

dero nivel de enfermedad, mientras que el proveedor logra capturar todo el excedente por

sobre la alternativa externa (outside option) del paciente, mediante la transferencia k1(x1).

Sea {t2(x), α2(x),m2(x)} un mecanismo construido de la siguiente forma:

m2(x) = m1(x1(x)); t2(x) = t1(x1(x)); α2(x) = α1(x1(x)).

Este mecanismo esta compuesto del mecanismo anterior y de su reporte en equilibrio, por

lo tanto es un mecanismo directo compatible en incentivos. Como la coalicion maximiza el

excedente conjunto, reporta x2(x) tal que:

x2 ∈ argmaxx

α2(x)−m2(x)c− g(x,m2(x))− t2(x)− t0 + g(x, 0) (24)

Pero el reporte de equilibrio sera x2(x) = x. Bajo este mecanismo y su reporte de equilibrio,

las utilidades del paciente y del proveedor para un nivel x de enfermedad son:

Utilidad del Paciente: UP2 ≡ U(W − g(x,m2(x))− t2(x)− t0)Utilidad del Proveedor: Π2 ≡ α2(x)−m2(x)c+ k2(x)

Donde k2(x) = [−g(x,m2(x))− t2(x)]− [−g(x,m2(x))− t2(x)] = 0

30


En equilibrio, el mecanismo {t2(x), α2(x),m2(x)} induce el mismo tratamiento y esque-

ma de pagos que el mecanismo {t1(x), α1(x),m1(x)}. Pero como k1(x1(x)) ≥ 0 y en ambos

casos la coalicion maximiza el mismo excedente conjunto dado por las ecuaciones (23) y

(24), entonces Π2 ≤ Π1 y UP2 ≥ UP1. Por lo tanto para el Lemma 2, un mecanismo directo

compatible en incentivos no replica los resultados (outcomes) de un mecanismo cualquiera;

y para el Teorema 1, dicho mecanismo directo deja mejor o igual al paciente en comparacion

al mecanismo cualquiera. �

Demostracion de la Proposicion 1:

La ecuacion (2) se cumple con igualdad, ya que si no ocurriera se podrıan disminuir α(x)

junto con t(x) de tal forma que se siga cumpliendo la restriccion (3) y aumentarıa la utilidad

del paciente; por lo tanto se cumple que∫ xxαfb(x)h(x)dx =

∫ xxm(x)ch(x)dx. La restriccion

(3) se cumple con igualdad porque si fuese mayor a cero, se podrıan disminuir t(x) y t0 de

tal forma que se siga cumpliendo la restriccion (3) y aumentarıa la utilidad del paciente.

Reemplazando, el problema se transforma en el siguiente:

maxt0,t(·),m(·)

∫ x

x

U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)h(x)dx (25)

s.a.∫ x

x

(t(x) + t0 −m(x)c)h(x)dx = 0 (26)

Sea λ el multipicador de Lagrange asociado a la restriccion (26). De la condicion de primer

orden del Lagrangiano de t(x) y m(x) se obtiene:

U′(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)(−1)h(x) + λh(x) = 0 (∀x) (27)

U′(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)(−

∂g(x,m(x))

∂m)h(x)− λch(x) = 0 (∀x) (28)

De la ecuacion (27) se obtiene que U′(W − g(x,m(x)) − t(x) − t0) = λ para todo x, por

lo tanto se cumple que tfb(x) = −g(x,m(x)). Reemplazando el valor del parametro λ en la

ecuacion (28) se obtiene −∂g(x,mfb(x))∂m

= c. El valor optimo de t0 es tal que se cumpla con

igualdad la ecuacion (26), por lo tanto tfb0 =∫ xx

(mfb(x)c− tfb(x))h(x)dx. �

31



Las ecuaciones (5) y (7), de responsabilidad limitada agregada del proveedor y de partici-

pacion voluntaria de la aseguradora respectivamente, se cumplen con igualdad. Sea S(x, x) ≡argmax

xα(x)−m(x)c− g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0). De la condicion para que el contrato

optimo induzca un reporte verdadero:

∂S(x, x)

∂x

∣∣∣x=x

= α′(x)−m′(x)c− gm(x,m(x))m′(x)− t′(x) = 0 (29)

Sabemos que en el contrato del Primer Mejor las transferencias son tfb(x) = −g(x,mfb(x)),

entonces el cambio de la transferencia con respecto a la enfermedad es t′fb(x) = −gx(x,m(x))−gm(x,mfb(x))m′fb(x). Evaluando el contrato del Primer Mejor en la ecuacion (29) de la res-

triccion de compatibilidad de incentivos:

α′(x)−m′fb(x)c+ gx(x,mfb(x)) = 0 (30)

Despejando α(x) de la ecuacion (30) se obtiene:

α(x) = mfb(x)c−∫ x

x

gs(s,mfb(s))ds+ F (31)

. Donde F es una constante. Luego, se elige la constante F ∗ para que la ecuacion (5) de

restriccion de responsabilidad limitada agregada se cumpla con igualdad. Por lo tanto,

F ∗ =

∫ x

x

∫ x

x

gs(s,mfb(s))ds h(x)dx (32)

Finalmente, se elige t0 tal que la restriccion (7) de participacion voluntaria de la ase-

guradora se cumpla con igualdad, que corresponde exactamente al pago fijo del paciente

encontrado en el contrato del Primer Mejor tfb0 . �


Como la ecuacion (7) se cumple con igualdad, reemplazando con el pago optimo al pro-

veedor de la ecuacion (8):

∫ x

x

(tfb0 + tfb(x))h(x)dx =

∫ x

x

(mfb(x)c+ F ∗ −∫ x

x

gs(s,mfb(s))ds)h(x)dx (33)

32


Analizando el cambio de la trasferencia con respecto al nivel de enfermedad x resulta:

t′fb(x) = −gx(x,mfb(x))− gm(x,mfb(x))m′fb(x). En el Primer Mejor, el tratamiento cumple

con −gm(x,mfb(x)) = c. Reemplazando en el cambio de la transferencia e integrando se

obtiene:

tfb(x) = mfb(x)c−∫ x

x

gs(s,mfb(s))ds (34)

Ocupando el resultado de la ecuacion (34) en la ecuacion (33) se obtiene que tfb0 = F ∗.

Por lo tanto, resulta que α∗(x) = tfb(x) + tfb0 para todo x. �


La ecuacion (13) de responsabilidad limitada se cumple con igualdad, y luego se reemplaza en

la ecuacion (14) del excedente de la coalicion y en la ecuacion (15) de participacion voluntaria

de la aseguradora. Para inducir un reporte verdadero es necesario que:

x ∈ argmaxx

S(x, x) = −g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0) (35)

De la condicion de primer orden del excedente de la coalicion se obtiene:

∂S(x, x)

∂x= −gm(x,m(x))m′(x)− t′(x) = 0 (36)

cuando x = x. Esto implica que:

dS

dx= Sx = −gx(x,m(x)) (37)

Para la condicion c), de la ecuacion (36) para que la coalicion reporte la verdad se obtiene

que t′sb(x) = −gm(x,m(x))m′(x). Como m′(x) > 0 por implementabilidad (Guesnerie &

Laffont 1984), entonces t′sb(x) > 0.

En este modelo no se puede aplicar directamente la metodologıa de Myerson (1981)

porque la utilidad del paciente es no transferible. Por lo tanto, para encontrar el contrato

optimo ocupo herramientas de Control Optimo. Definiendo de la forma en que lo hacen

Crocker & Morgan (1998), el Hamiltoniano es el siguiente:

H(x, S(x),m(x), φ(x), β) = Uh(x) + φ(x)Sx + βΠah(x) (38)

33


Donde S(x) es la variable estado, m(x) es la variable de control, β es el multiplicador de

Lagrange, φ(x) es la variable de coestado, y ademas:

U(t(x), t0,m(x)/x) = U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)

S(t(x), t0,m(x)/x) = −g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0)

Πa(t(x), t0,m(x)) = t(x) + t0 −m(x)c

De la restriccion de compatibilidad de incentivos se obtiene que ∂t∂m

= −gm(x,m(x)),

y que ∂t∂S

= 1St

. Las condiciones de Pontryagin son ∂H∂m

= 0 y ∂H∂S

= −φ(x). Entonces, las

condiciones que se obtienen son las siguientes:

βh(x)(−gm(x,m(x))− c) + φ(x)(−gxm(x,m(x))) = 0 (39)

φ(x) = βh(x)− h(x)U ′ (40)

Como t0 no depende de x, se obtiene una tercera condicion a partir de la maximizacion

del problema estatico:

maxt0

∫ x

x

[ U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0) + β(t(x) + t0 − α(x)) ]h(x)dx

Diferenciando con respecto a t0 se obtiene:

∫ x

x

(−U ′ + β)h(x)dx = 0 (41)

Antes de seguir con la demostracion, es necesario establecer el siguiente Lemma.

Lemma 3 En el problema de seguros con coalicion, cuando el proveedor tiene responsabi-

lidad limitada, una solucion al Hamiltoniano satisface φ(x) = φ(x) = 0, φ(x) > 0 para

x ∈ (x, x).

Demostracion del Lemma 3: Como la variable estado S(x) no tiene condiciones iniciales ni

terminales, el valor de la variable de co-estado tiene que ser cero, entonces φ(x) = φ(x) = 0

(Seierstad & Sydsaeter 1986).

Para demostrar que φ(x) > 0 para x ∈ (x, x), supongo por contradiccion que existe un

x′ tal que φ(x′) < 0. El argumento de la funcion U(·) es W − g(x,m(x)) − t(x) − t0, al ver

34


como cambia con respecto a x se obtiene −gx(x,m(x)) − gm(x,m(x))m′(x) − t′(x). Por el

resultado de la ecuacion (36) se obtiene −gx(x,m(x)), que es menor a cero. Por lo tanto,

U(·) es decreciente en x y U ′(·) es creciente en x. Analizo tres posibles casos:

a) U ′ > β (∀x): En este caso, de la ecuacion (40) se obtiene que φ(x) < 0 (∀x), lo que se

contradice con la condicion de transversalidad φ(x) = 0.

b) U ′ < β, pero despues U ′ > β para un x suficientemente grande: Si existe un x′ tal que

φ(x′) < 0 y φ(x) > 0, entonces tiene que existir un x′′ ∈ (x, x′) tal que φ(x′′) = 0, en ese

punto φ(x′′) < 0 lo que implica que U ′ > β. Como φ(x) < 0, tiene que existir un x′′′ ∈ (x′, x)

tal que φ(x′′′) = 0. Eso significa que φ(x′′′) > 0 lo que implica que U ′ < β, y eso es una

contradiccion con respecto a la monotonıa de U ′.

c) U ′ < β (∀x): Argumento similar que en a).

Entonces, φ(x) ≥ 0 para x ∈ (x, x). Eso significa que φ(x) > 0. Sea x∗ el valor tal que

U ′(x∗) = β. Para x ≥ x∗, φ(x) < 0 eso implica que φ(x) decrece monotonicamente hasta

φ(x) = 0. Para x < x∗ supongo por contradiccion que existe un x′ tal que φ(x′) = 0, eso

implica que φ(x) > 0 y eso es una contradiccion porque se sabe que φ(x) = 0. Por lo tanto,

φ(x) > 0 para x ∈ (x, x). �

Ahora continuo con la demostracion de la Proposicion 4. Para la condicion b), de la

ecuacion (39) de la condicion de primer orden del Hamiltoniano y usando el lemma anterior,

se obtiene que −∂g(x,msb(x))∂m

= −∂g(x,msb(x))∂m

= c, y que −∂g(x,msb(x)∂m

< c para x ∈ (x, x). �

Demostracion del Ejemplo:

Para la simulacion del contrato del Primer Mejor se obtiene una forma cerrada de la

solucion. Con las funciones y parametros descritos en la seccion 4.3, el contrato del Primer

Mejor es el siguiente:

{tfb(x); tfb0 ;αfb(x);mfb(x)} = {−x+x2

2c;1

2− 1

12c;x2

4c2;x2

4c2}

Para obtener el contrato optimo del Segundo Mejor, se ocupan las ecuaciones (39) y (40),

que corresponden a las condiciones de Pontryagin del Hamiltoniano. De la ecuacion (39) se

35


despeja la variable de coestado φ(x). Diferenciando la ecuacion (39) y reemplazando φ(x) se

obtiene:

φ(x) = −β +βcm′√m

(42)

Reemplazando en la ecuacion (40) y despejando m′ se obtiene la dinamica del tratamiento:

m′ =2√m

c− r√m

βcexp{−r(W − x(1−√m)− t(x)− t0)} (43)

Mientras que de la ecuacion (36) de compatibilidad de incentivos se obtiene la dinamica de

la transferencia:

t′ =xm′

2√m

(44)

Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales que se obtiene de las ecuaciones (43) y

(44), se ocupa un metodo Runge-Kutta de primer orden, mientras que para estimar β y t0

se ocupa la ecuacion (41) y el metodo de punto fijo. �


La ecuacion (20) de responsabilidad limitada se cumple con igualdad, y luego se reemplaza

en la ecuacion (21) del excedente de la coalicion y en la ecuacion (22) de participacion

voluntaria de la aseguradora. Para inducir un reporte verdadero es necesario que:

x ∈ argmaxx

S(x, x) =

∫ x

x

m(x)ch(x)dx−m(x)c− g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0) (45)

De la condicion de primer orden del excedente de la coalicion se obtiene:

∂S(x, x)

∂x= −m′(x)c− gm(x,m(x))m′(x)− t′(x) = 0 (46)

cuando x = x. Esto implica que:

dS

dx= Sx = −gx(x,m(x)) (47)

De la ecuacion (46) para que la coalicion reporte la verdad se obtiene que t′sb(x) =

−m′(x)c− gm(x,m(x))m′(x). Como m′(x) > 0 por implementabilidad (Guesnerie & Laffont

1984), entonces el signo de la pendiente de la transferencia t′sb(x) depende del signo del

termino −c− gm(x,m(x)).

36


Para encontrar el contrato optimo ocupo herramientas de Control Optimo. Definiendo

de la forma en que lo hacen Crocker & Morgan (1998), el Hamiltoniano es el siguiente:

H(x, S(x),m(x), φ(x), β) = Uh(x) + φ(x)Sx + βΠah(x) (48)

Donde S(x) es la variable estado, m(x) es la variable de control, β es el multiplicador de

Lagrange, φ(x) es la variable de coestado, y ademas:

U(t(x), t0,m(x)/x) = U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0)

S(t(x), t0,m(x)/x) = −m(x)c− g(x,m(x))− t(x)− t0 + g(x, 0)

Πa(t(x), t0,m(x)) = t(x) + t0 −∫ x

x

m(x)ch(x)

De la restriccion de compatibilidad de incentivos se obtiene que ∂t∂m

= −c− gm(x,m(x)),

y que ∂t∂S

= 1St

. Las condiciones de Pontryagin son ∂H∂m

= 0 y ∂H∂S

= −φ(x). Entonces, las

condiciones que se obtienen son las siguientes:

U ′ch(x) + φ(x)(−gxm(x,m(x))) + βh(x)(−gm(x,m(x))− 2c) = 0 (49)

φ(x) = βh(x)− h(x)U ′ (50)

Como t0 no depende de x, se obtiene una tercera condicion a partir de la maximizacion

del problema estatico:

maxt0

∫ x

x

[ U(W − g(x,m(x))− t(x)− t0) + β(t(x) + t0 − α) ]h(x)dx

Diferenciando con respecto a t0 se obtiene:

∫ x

x

(−U ′ + β)h(x)dx = 0 (51)

Antes de seguir con la demostracion, es necesario establecer el siguiente Lemma.

Lemma 4 En el problema de seguros con coalicion, cuando el proveedor recibe un ”pago por

paciente”, una solucion al Hamiltoniano satisface φ(x) = φ(x) = 0, φ(x) > 0 para x ∈ (x, x).

Demostracion del Lemma 4: Como la variable estado S(x) no tiene condiciones iniciales ni

terminales, el valor de la variable de co-estado tiene que ser cero, entonces φ(x) = φ(x) = 0

(Seierstad & Sydsaeter 1986).

37


Para demostrar que φ(x) > 0 para x ∈ (x, x), supongo por contradiccion que existe un

x′ tal que φ(x′) < 0. El argumento de la funcion U(·) es W − g(x,m(x)) − t(x) − t0, al ver

como cambia con respecto a x se obtiene −gx(x,m(x)) − gm(x,m(x))m′(x) − t′(x). Por el

resultado de la ecuacion (46) se obtiene m′(x)c − gx(x,m(x)), que por la conjetura 1 tiene

que ser menor a cero. Por lo tanto, U(·) es decreciente en x y U ′(·) es creciente en x. Analizo

tres posibles casos:

a) U ′ > β (∀x): En este caso, de la ecuacion (50) se obtiene que φ(x) < 0 (∀x), lo que se

contradice con la condicion de transversalidad φ(x) = 0.

b) U ′ < β, pero despues U ′ > β para un x suficientemente grande: Si existe un x′ tal que

φ(x′) < 0 y φ(x) > 0, entonces tiene que existir un x′′ ∈ (x, x′) tal que φ(x′′) = 0, en ese

punto φ(x′′) < 0 lo que implica que U ′ > β. Como φ(x) < 0, tiene que existir un x′′′ ∈ (x′, x)

tal que φ(x′′′) = 0. Eso significa que φ(x′′′) > 0 lo que implica que U ′ < β, y eso es una

contradiccion con respecto a la monotonıa de U ′.

c) U ′ < β (∀x): Argumento similar que en a).

Entonces, φ(x) ≥ 0 para x ∈ (x, x). Eso significa que φ(x) > 0. Sea x∗ el valor tal que

U ′(x∗) = β. Para x ≥ x∗, φ(x) < 0 eso implica que φ(x) decrece monotonicamente hasta

φ(x) = 0. Para x < x∗ supongo por contradiccion que existe un x′ tal que φ(x′) = 0, eso

implica que φ(x) > 0 y eso es una contradiccion porque se sabe que φ(x) = 0. Por lo tanto,

φ(x) > 0 para x ∈ (x, x). �

Ahora continuo con la demostracion de la Proposicion 5. Para la condicion b), cuando

x→ x se cumple que U ′ < β, por lo que al reemplazar en la ecuacion (49) de la condicion de

primer orden del Hamiltoniano y usando el lemma anterior, se obtiene que −∂g(x,msb(x)∂m

> c.

Por un argumento similar, cuando x→ x se cumple que −∂g(x,msb(x)∂m

< c. Como la forma de

la transferencia es t′sb(x) = m′(x)(−gm(x,m(x))− c), ocupando el resultado de la condicion

b) se obtiene: t′sb(x) > 0 cuando x→ x; t′sb(x) < 0 cuando x→ x. �

38


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