tesis efectos de compresibilidad y fricciÓn...
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
TESIS
E F E C T O S DE C O M P R E S I B I L I D A D Y F R I C C I Ó N EN LAS
O S C I L A C I O N E S FLU I DOD I NAM I CAS EN C O N D U C T O S
por:
ESCUELA '' E C ,\ ! C A -: l¡ P R1 R DE I:;ÜE;.!;HGS t:}u;.;'. ¡ í
^ . 1W \ I B I B L I O T E C A
PABLO DE ASSAS MARTÍNEZ DE MORENTIN
COMSULTA EN BIBLIOTECA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Madrid, Junio 1984
PlWfiSiD&D POLITÉCNICA DE MADRID I
B 1 B 1 I O T E C A
ÍFECHA EWTRAOA . N» DÓCUUF.NTO . .ÍJíQ^fB^ N« EJEMPLAR . . . .#P.¥é.3.
Amabili, egregio sapientique magistro,
cuius sine conatu atque auxilio huic
labori finis forsitan non fuisset iÜL-
giter parentibus meis fratribusque opus
hoc d.d.d.
Esta Tesis ha sido dirigida por el
Profesor D. Amable Liñán, Catedrático de Me_
canica de Fluidos de la E.T.S.I. Aeronáuti
cos, con quien estoy en deuda por el inte
rés y dedicación que ne ha dispensado, así
como por el estímulo que ha supuesto para
mi vocación investigadora.
Así mismo hago extensivo mi agrade
cimiento a las personas e instituciones que
han hecho posible la realización de este tra
bajo. Especial mención merece D. Emilio Isi
doro Carmona por el esmero puesto en la in
grata labor de mecanografía.
Este trabajo se ha realizado siendo
el autor becario del I.N.A.P.E.
RESUMEN
Se utilizan técnicas de perturbaciones singulares y
de escalas múltiples para analizar los movimientos transito
rios, de líquidos en conductos, consecuencia de la apertura o
cierre de válvulas.
Esto es siempre posible por ser pequeña la relación
entre los tiempos de ida o vuelta de las ondas en el conducto
y el tiempo de residencia del líquido en el mismo.
Se muestra que los efectos de la fricción no inter
vienen de modo apreciable durante el período de cierre o aper
tura cuando este es pequeño frente al tiempo de reaidencia. Los
efectos de la fricción intervienen en el postcierre o postaper
tura amortiguando lentamente las oscilaciones generadas ante
riormente .
Como consecuencia del cierre de válvulas pueden gene
rarse depresiones que originen la aparición de una cavidad, por
rotura de la columna líquida, en alguna sección del conducto y
burbujas a lo largo del mismo. Se analiza la dinámica de la ca
vidad y las sobrepres iones generadas en el colapso para los ca
sos en que el tiempo de existencia de la cavidad es del orden
del de ida y vuelta de las ondas y en los casos en que sea mu
cho mayor.
LISTA DE SÍMBOLOS
v
D
F, G
Pendiente de la ley potencial de cierre o apertura.
Área inicial del conducto.
Área efectiva de salida de la sección de la válvula.
Área efectiva del conducto con Burbujas en el líquido
Distorsionabilidad del conducto.
Pseudo-amplitudes de las oscilaciones de velocidad
y presión;sx)n los valores de f y g al principio de
cada periodo.
Carga en el deposito; P + pgH es la presión motriz a
en el depósito^
coeficiente de compresibilidad del líquido.
Longitud del conducto.
Presión ambiente.
Presión característica.
Preión de referencia.
Relación de áreas entre la sección de la válvula y
el conducto.
Valor inicial de a.
Velocidad de propagación de las ondas.
Parámetro de fricción, definido como f = AL/D.
Pendiente de la distribución de velocidad en la
aproximación incompresible durante ios instantes ini
ciales de la apertura.
Exponente de la ley potencial de cierre.
Presión adimensional del líquido, función de la
sección x y del tiempo;sólo en el capítulo I p
representa presión dimensional.
Presión adimensional en la sección de la válvula
un periodo después del cierre.
Presión de vapor del líquido.
Tiempo adimensional, referido al tiempo de ida y
vuelta de las ondas. En el capítulo I se usa como
tiempo dimensional.
Tiempo de propagación de las ondas. Se define como
t = L/c. o
Tiempo de residencia del líquido en el conducto.
Velocidad adimensional referida a la velocidad inicial
v : Velocidad adimensional referida a /2gH . En el capí
tulo I se utiliza como velocidad dimensional.
v : Velocidad estacinaria adimensional. e
x : Distancia adimensional a una sección genérica desde
la entrada del conducto,
z : Altura adimensional de una sección genérica sobre
la válvula,
a' : Fracción volumétrica de burbujas en el líquido.
6 : Tiempo adimensional de cierre referido al tiempo de
ida o vuelta de las ondas.
6 : Tiempo adimensional de apertura referido al tiempo a r
de res idencia.
ó : Tiempo adimensional de cieere referido al tiempo de c r
res idencia.
£ : Relación entre la velocidad /2gH y la velocidad
de propagación de las ondas c.
£, r) : Variables características.
0 : Tiempo adimensional con origen en el instante de
ei erre.
X : Coeficiente de Darcy-Weisbach.
£ : Longitud adimensional. (cap. V ) .
7T' : Parámetro de presión, definido como ir1 = (P -P +pgH)/pv
p : Densidad del líquido.
O : Tiempo referido al tiempo de cierre o apertura.
T : Tiempo adimensional referido al tiempo de residencia.
]¡) : Función genérica.
Í N D I C E
Página
LISTA DE SÍMBOLOS
INTRODUCCIÓN
I. ECUACIONES
INTRODUCCIÓN
1.1. ECUACIONES 1.1
1.2. CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO 1.4
1.3. ADIMENSIONALIZACION DE LAS ECUACIONES 1.5
II. PROCESOS TRANSITORIOS DURANTE EL CIERRE DE VÁLVULAS
11.1. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS LENTOS II.1
11.2. EFECTOS DE COMPRESIBILIDAD EN TRANSITORIOS 11.10
11.2.1. Cierre con relación de áreas del
orden de la unidad _. . . 11.10
11.2.2. Cierre con boquilla a la salida ... 11.19
III. AMORTIGUACIÓN POR EFECTO DE LA FRICCIÓN DE LAS
OSCILACIONES DE PRESIÓN GENERADAS EN EL 'CIERRE
DE UNA VÁLVULA
111.1. ANÁLISIS DE LA AMORTIGUACIÓN CUANDO LA
RELACIÓN DE ÁREAS ES DE ORDEN UNIDAD III.1
111.2. AMORTIGUACIÓN DE LAS OSCILACIONES DE
PRESIÓN CON BOQUILLA A LA SALIDA III.10
IV. ANÁLISIS DE LA APERTURA DE VÁLVULAS
IV.1. INTRODUCCIÓN IV.1
IV.2. RESPUESTA CASI INCOMPRESIBLE EN LA
APERTURA IV.2
IV.3. OSCILACIONES POR COMPRESIBILIDAD EN LA
APERTURA r IV.7
IV.4. PRIMERA ETAPA DE LA APERTURA IV.13
Página
V. ROTURA DE COLUMNA POR EFECTO DEL GOLPE DE
ARIETE .
V.l. INTRODUCCIÓN V.l
•V.2. ANÁLISIS DE LA ROTURA DE COLUMNA CUANDO
LA RELACIÓN INICIAL DE CIERRE aQ ES DE
ORDEN £ V.2
V.3. ANÁLISIS DE LA ROTURA DE COLUMNA PARA
VELOCIDADES INICIALES ALTAS V.6
VI. CONCLUSIONES
VI. 1. CONCLUSIONES Y RESULTADOS V.l
APÉNDICE A
APÉNDICE B
BIBLIOGRAFÍA
-1-
INTRODUCCION
Al estudiar el movimiento de líquidos en tubos, es ñor
mal considerar a aquéllos coino fluidos incompresibles. Este supues
to de fluido incompresible está justificado en la mayoría de los
casos, ya que los incrementos de presión motriz necesarios para
que los efectos de compresibilidad sean apreciables, son muy gran
des frente a los que normalmente aparecen en el movimiento del
líquido que son del orden de la presión dinámica.
Sin embargo hay fenómenos en los que los efectos de la
compresibilidad del líquido adquieren un papel fundamental, como
por ejemplo cuando se cierra, o cuando se abre de forma rápida
la válvula de un conducto que da lugar al llamado golpe de arie
te .
El golpe de ariete está asociado a las grandes sobre-
presiones que aparecen en un conducto muy rígido por el que cir
cula un líquido poco compresible al variar bruscamente su velo
cidad como consecuencia, por ejemplo, del cierre instantáneo de
una válvula.
A N. Zhukovski (21) se debe el cálculo de la sobrepresión
generada en el cierre instantáneo de un conducto, para la que ob_
tuvo el valor pv c, siendo v la velocidad del líquido en el ré-M o o ^
gimen estacionario, p su densidad y c la velocidad de propaga
ción de las ondas generadas al cerrar el conducto. También dedu
jo que esta velocidad de propagación dependía'del modulo de elas
ticidad del material, E, y del modulo de compresibilidad del lí-
quido K, obteniendo para el valor de la velocidad de propagación o ID -1/2 íP ^ 2pR>, . , .
la expresión c = 77 + — — para un conducto circular de radio K pE J
R y cuyas paredes tengan un espesor "e".
-2-
Lorenzo Allievi (1) fue el primero que analizo el in
cremento de presión debido al cierre y a la apertura, gradual
de un conducto, eliminando de las ecuaciones el término de fric
ción. Supuso que el área efectiva de salida varía linealmente
con el tiempo; como conclusión de su estudio obtuvo unos aba
eos en los que con dos parámetros p = cv /2gH y 8 = ct/L se
puede obtener la relación entre la presión del golpe de ariete
y la correspondiente al régimen estacionario, tanto para el cierre
como para la apertura. Con Allievi comienza todo un período de
solución gráfica del golpe de ariete, para leyes más generales
de cierre o apertura.
En la mayor parte de los estudios posteriores a los
realizados por Allievi no se tenían en cuenta los efectos de la
fricción, bien por considerar que estos efectos son pequeños,
bien por no tener un método de cálculo enteramente satisfactorio,
para incluirlos en el análisis del golpe de ariete.
Los primeros intentos de considerar la fricción se hi
cieron poniendo obstáculos hipotéticos bien a la entrada del con
ducto (PARMAKIAN, J., (1953)}, bien al final del mismo ( R I C H , R.
(1951)). Con estos obstáculos existe la misma pérdida total de
fricción que la del conducto. En estos métodos las ecuaciones a
partir de las cuales se desarrolló el método gráfico, permanecen
igual que el sistema que define el movimiento sin los términos
de fricción, con condiciones de contorno que absorben los efec
tos de la fricción. Este método proporciona una estimación de
los efectos de la fricción cuya bondad debe constrastarse con
análisis más precisos.
Utilizando operadores matemáticos, WOOD, F.M. (1937)
-3-
y RICH, G. (1945) analizaron las pérdidas por fricción, en el
caso en que estas pérdidas son lineales con la velocidad y no
cuadráticas. Como en la mayoría de los casos prácticos el movi
miento es turbulento, la linealización del término de fricción
no representa una situación muy real, a parte de la complicación
matemática que el método utilizado conlleva.
Con la llegada de los ordenadores digitales se abordo
la resolución directa de las ecuaciones sin necesidad de linea-
lizar el término de fricción, .extendiendo el método de las carac
terísticas (STREETER, V., (1962); WILLIE, B.E. et al. (1978);
WIGGERT, D.C. et al. (1979); etc.). A partir de entonces todos
los autores que tratan los transitorios hidráulicos"utilizan el
método de las características (CHAUNDRY, M.H., C1979), etc.).
Si prestamos atención al fenómeno del golpe de ariete,
vemos que en él intervienen dos escalas de tiempo muy diferen
tes. Una asociada al tiempo de propagación de las ondas en el
conducto de longitud L, L/c y otro asociado al tiempo de resi
dencia L/v del líquido en el conducto. La relación entre estos c H
dos tiempos es £ = v /c muy pequeña frente a la unidad; es por
esta razón por la que en el presente trabajo utilizaremos el me
todo de escalas múltiples desarrollado por COLÉ, J.D. (1968) y
KEVORKIAN, J.; COLÉ, J.D.; (1981), para analizar los fenómenos
de tipo golpe de ariete que se presentan en los transitorios li_
gados al cierre y a la apertura de válvulas en conductos. La
utilización del método de escalas múltiples nos va a permitir
calcular por una parte la sobrepresión generada por el golpe de
ariete y por otra la amortiguación de las oscilaciones de esta
sobrepresión.
En el Capítulo I se plantean las ecuaciones, con la
-4-
llamada aproximación hidráulica, correspondientes al movimiento
turbulento de un fluido en un conducto, en las que las fuerzas
de fricción aparecen representadas por el coeficiente de Darcy-
Weisbach, reteniendo los efectos de distensionabilidad del con
ducto y de compresibilidad del líquido debido a la presión. Se
incluyen las condiciones iniciales y de contorno correspondien
tes a un caso típico: como condición inicial los valores corres
pondientes al estado estacionario previo; las condiciones de con
torno son las correspondientes a un tubo alimentado en un extre
mo por un deposito y que en el otro extremo tiene una válvula
de área efectiva A . s
Se escriben las ecuaciones en forma adimensional , con
lo que se ponen de manifiesto los parámetros que determinan el
movimiento. Entre ellos destacamos la relación inicial (o final) A (0)/A de áreas de salida y del conducto: el coeficiente de s o
fricción AL/D (supuesto A constante), el parámetro e= vr /
c J re
lación entre la velocidad característica del fluido y la veloci.
dad de propagación de las ondas, o también relación entre los
tiempos característicos de propagación de las ondas y de resi
dencia en el conducto.
Dado que e << 1 en los casos prácticos, se toma como ob
jeto de esta tesis la descripción asintótica, simplificada, de
los transitorios en el límite £ -> 0 . En este límite se encuentran
dos tipos distintos de comportamiento del flujo: a) Flujos con
dos etapas, una corta con efectos de compresibilidad importantes
y otra larga en que éstos no son importantes, y b) flujos de ti
po oscilatorio en los que los efectos de la compresibilidad cuen
tan en todo instante y que en ausencia de los efectos de fric
ción y pérdidas en la entrada y salida serían estrictamente pe-
-5-
riódicos en el postcierre o postapertura; los efectos de la fric
ción dan lugar a una amortiguación lenta de las oscilaciones. Pa
ra la descripción de estos flujos se utiliza la técnica de esca
las múltiples. Aunque el análisis que sigue se limita al estudio
de un número reducido de flujos típicos, las técnicas tienen
aplicación a una gran variedad de flujos transitorios en insta
laciones hidráulicas.
Los Capítulos II y III están dedicados al análisis de
los transitorios asociados al cierre de válvulas. El Capítulo II
está esencialmente dedicado a los fenómenos que aparecen duran
te el cierre y el III a lo que ocurre después del cierre.
El Capítulo II se inicia con el estudio dé los casos
en que el cierre es lento, por ejemplo, para tiempos de cierre
del orden del tiempo de residencia. En este caso, es de esperar
que los efectos de compresibilidad sean despreciables, aunque no
los de fricción, y ha sido bien estudiado en la literatura (ROUSE,
H., (1950); JAEGER, CH., (1977); etc.). Su estudio se incluye en
esta tesis como preábmulo al estudio de los casos en que los
efectos de compresibilidad son importantes. En este caso, además
del parámetro de fricción, f = AL/D, interviene un parámetro 6
que caracteriza el tiempo de cierre. Se hace un análisis detalla
do para leyes de cierre en que el área de salida varía en una
forma potencial con el tiempo. Para valores de 6 del orden de
la unidad, las sobrepres iones generadas son de-1 orden de la pre
sión dinámica y los efectos de compresibilidad no intervienen;
para valores pequeños de 6 el análisis incompresible del cierre
muestra que las sobrepresiones alcanzan valores tan altos que se
hace necesario tener en cuenta los efectos de compresibilidad en el
cierre.
-6-
Si la relación de áreas inicial A (O)/A =a es de or s o o —
den unidad, aparecen dos etapas: en la primera, larga, la velo
cidad apenas se reduce desde su valor inicial; los efectos de
compresibilidad solo intervienen en los últimos instantes del
cierre, cuando la relación de áreas se ha reducido a valores del 1/2
orden de £ . El caso limite distinguido corresponde a tiempos
de cierre cortos frente al de residencia, tales que es del orden
del tiempo de ida y vuelta de las ondas el período de tiempo en
1/2 que el área relativa de salida es de orden e . En este caso
2
las sobrepresiones generadas, del orden de pv en la primera eta
pa, suben a valores del orden de pv c en la útlima. Dado que las
sobrepresiones altas solo aparecen en los últimos instantes del
cierre, solo es importante conocer la forma de la ley de cierre
en estos últimos instantes; se hace un análisis detallado para
leyes de cierre que tienen forma potencial en los últimos instaii
tes .
Si la relación de áreas es inicialmente de orden e,
los efectos de compresibilidad aparecen desde el primer instante
del cierre, si el tiempo en que se efectúa éste es del orden del
de ida y vuelta de las ondas. En este caso, las velocidades ini-
cales son pequeñas y las sobrepresiones originadas son del orden
de pgH. El análisis se hace en forma general, aunque se da más
detalladamente para el caso de leyes de cierre potencial; en es
tos casos intervienen dos parámetros, n. =a /e,- siendo a =A (0)/A , v o o o s o
y el tiempo de cierre referido al tiempo de ida o vuelta de las
ondas. El caso de cierre lineal fue el tratado por Allievi.
Para instantes posteriores al cierre, el análisis del
del Capítulo II muestra oscilaciones de velocidad y presión pe
riódicas que permanecerían indefinidamente si no interviene la
-7-
fricción. Esta se encarga de amortiguar las oscilaciones en un
tiempo del orden del de residencia. El análisis de este movimien
to oscilatorio lentamente amortiguado utilizando la técnica de
escalas múltiples (COLÉ, J.D. (1960); KEVORKIAN, J . , COLÉ, J.D.
(1981)) se presenta en el Capítulo III.
Como ya se ha dicho, las oscilaciones de presión tie
nen lugar en tiempos del orden de t = L/c, mientras que el efec
to amortiguador de la fricción tiene lugar en tiempos del orden
-1 del de residencia, t = L/v = £ t . Esto nos permite, utilizando
r e o ^
dos escalas temporales, separar ambos fenómenos. Se escribe la
solución como un desarrollo en potencias de £ con coe-ficientes
que dependen de la variable espacial x y las dos variables tempo
rales t y £t. Esto nos' conduce a un sistema de ecuaciones.
En las ecuaciones que determinan la solución en prime
ra aproximación solo intervienen las variables x,t y esta solu
ción es periódica en la escala t. La solución viene determinada
por los valores de la velocidad y presión al principio o al fi
nal de cada período, que son funciones a determinar de las va
riables x, £t. Para determinar la dependencia que los valores de
la velocidad y presión de cada período tienen con la escala lar
ga £t, es necesario ir a la siguiente aproximación. La solución
de esta debe ser tal que, cuando esperemos un tiempo del orden de
la escala larga, la perturbación no haya crecido a valores com
parables a la solución de la primera aproximación. Esto exige
que la solución de la segunda aproximación sea periódica del mis_
mo período que la solución primera. Esta exigencia de periodici
dad es lo que nos va a permitir calcular la dependencia con la
escala larga de la velocidad y presión, y nos conduce a un siste
-8-
ma de ecuaciones integrodiferenciales, en las variables x,et,
que nos de la evolución con la escala larga de la presión y velo
cidad al principio de cada período. Las condiciones iniciales
pueden determinarse a partir de la oscilación de la presión en la
sección de salida durante un período posterior al cierre ya cal
culado en el Capítulo II, donde se calculó las oscilaciones en
la sección de salida de presión posteriores al cierre.
En el Capítulo IV analizaremos la apertura de un con
ducto hasta una relación de áreas final del orden de la unidad.
La mayor parte de la apertura puede ser analizada con la aproxi
mación incompresible para el flujo, ya que la evolución tiene
lugar en la escala larga; si bien, superpuesta a éste' existe un
movimiento oscilatorio que también se amortigua en la escala lar
ga y cuyo análisis también se realiza utilizando el método de es
calas múltiples. En los-primeros instantes de la apertura las va
riaciones especiales de la velocidad y presión son tan importan
tes como las temporales, por lo que en ella intervienen los efe_c
tos de compresibilidad generándose oscilaciones que pueden per
sistir durante la segunda etapa. Conviene observar que durante
la apertura, al contrario de lo que ocurre en el cierre, existe
un mecanismo amortiguador, adicional a la fricción del conducto,
asociado a las pérdidas en la sección de salida cuando ésta es
pequeña; de manera que, amenos que la apertura sea muy rápida,
las oscilaciones que se generan al principio de la apertura se
amortiguan en los primeros momentos.
El estudio del cierre realizado en el Capítulo II se
ha hecho en el supuesto de que el líquido soporta presiones nega
tivas. Sin embargo los líquidos llevan en su seno impurezas que
-9-
en la práctica conduce a que no soporten presiones inferiores a
su presión de vapor. Si debido a las ondas que se generan en el
cierre, la presión alcanzase en algún punto del líquido la pre
sión de vapor, se rompe la columna en esa sección. La rotura de
columna aparece descrita teórica y experimentalmente en la lite
ratura científica. Por ejemplo, BALTZER (1967), WEYLER et al.
(1971), WYLIE (1978) entre otros. Los análisis teóricos han sido
llevados a cabo utilizando el método de las características, re
teniendo los efectos de la fricción y buscando modelar apropia
damente los efectos posibles de las burbujas y de la cavidad en
la oscilaciones. LI, W.H (17), llevó a cabo un análisis de la
dinámica de la cavidad usando la aproximación incompresible pa
ra la columna de líquido. Nosotros utilizaremos en el Capítulo
V técnicas de pequeñas perturbaciones y de escalas múltiples pa
ra el analizar el fenómeno y buscar una descripción general del
mismo. Empezaremos el análisis por el caso en que la velocidad
inicial es pequeña para determinar en qué condiciones aparece
una cavidad y estudiar su dinámica en tiempos del orden del de
ida y vuelta de las ondas cuando no intervienen los efectos de
la fricción. Al aumentar la velocidad inicial aumenta también
el tiempo de existencia de la cavidad y, por.lo tanto, actuarán
en la dinámica de la cavidad las fuerzas debidas a la fricción.
Analizaremos el caso en que la velocidad inicial es alta, lo
cual se produce cuando la relación inicial de áreas a =A (0)/A , - c o s o
es de orden unidad. En este caso, la dinámica de la columna lí
quida puede analizarse con la aproximación de flujo incompresi
ble hasta el instante del colapso, cuando han de retenerse de
nuevo los efectos de compresibilidad. Se generan entonces sobre-
-10-
presiones del orden de las del golpe de ariete, aunque inferio
res a las iniciales, pues la velocidad de la columna líquida en
el instante del colapso de la cavidad es inferior al inicial.
Al regreso de la onda de expansión, generada por reflexión en
el deposito de la onda de compresión, se inicia de nuevo la ca
vidad y el proceso se repite con una velocidad menor. El análi
sis teórico muestra un acuerdo con los resultados experimentales.
Es de notar que la onda que rompe la columna no sólo
forma la cavidad sino que en su avance va dejando al líquido a
su presión de vapor lo que, junto con «la fricción, hace que se
generen burbujas en la columna líquida según va siendc alcanza
da por la onda de expansión. Este fenómeno lo analizaremos en
el Apéndice A.
CAPITULO I
ECUACIONES
-0-
INTRODUCCION '
El supuesto de fluido incompresible, cuando se estu
dia el movimiento de líquidos en conductos, está justificado
en la mayoría de los casos, ya que los incrementos de presión
motriz necesarios para tener en consideración los efectos de
compresibilidad son muy grandes frente a los que aparecen nor
malmente en el movimiento del líquido.
Sin embargo, los efectos de compresibilidad del líqui_
do adquieren un papel fundamental cuando se quieren analizar
los fenómenos que ocurren cuando se cierra o se abre de forma rá
pida la válvula de un conducto, fenómeno conocido como golpe de
ariete. El golpe de ariete ha sido analizado desde hace ya tiem
po en la literatura hidráulica, siendo Zhukovski (28) y Allievi
(1) los precursores en el análisis de este fenómeno hidráulico.
El golpe de ariete está asociado a las grandes sóbre_
presiones que se originan en un conducto rígido por el que cir
cula un líquido poco compresible al variar bruscamente su ve
locidad .
Vamos, pues, a plantear las ecuaciones y condiciones
de contorno e iniciales para el sistema representado en la figii
ra adjunta, correspondiente a un líquido que desde un deposito
de presión constante alimenta un conducto rígido, cuya sección
recta es originalmente A y que termiina en una boquilla o una
válvula cuya sección de salida, A , varía con _el tiempo.
-1.1-
I.I.- ECUACIONES
Las ecuaciones que describen el movimiento de un lí
quido a lo largo de un tubo, reteniendo los efectos de compre
sibilidad del líquido y elasticidad del material son:
3 (pA) 3 ( p A v ) 3t 3x
iíl + v — + - l£- + 9^ £ z^ = 3t 3x p 3 x 3 x 2D
( 1 . 1 )
v vi , ( 1 . 2 )
que son las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento
respectivamente, correspondientes a un movimiento turbulento
en el conducto. Se ha considerado que puede haber velocidades
negativas en el conducto, con lo que las pérdidas en: él serán
proporcionales a v|v|. Se supondrá además, aunque no es esen
cial para el análisis, que el coeficiente de Darcy-Weisbach,
\, es constante.
Se supone pequeña la dimensión transversal del con
ducto frente a la longitudinal que, por ser el movimiento tur
bulento, la velocidad puede considerarse con buena aproxima
ción, como uniforme a través de la sección, y que el esfuerzo
de fricción en la pared puede calcularse, en cada instante, en
función de la velocidad local instantánea del fluido, con la
misma expresión del movimiento estacionario. Por último, se
despreciarán, por ser la dimensión transversal del conducto pe
queña, las variaciones transversales de presión debidas a las
fuerzas gravitatorias, de manera que z(x) es la cota local de,
por ejemplo, el centro de gravedad de la sección x.
Estas ecuaciones han de complementarse con las de la
energía y la de estado. La primera determina las variaciones
de temperatura asociadas a los efectos de disipación viscosa
-I .2-
y de compresión del fluido, que resultan ser muy pequeños si
nos limitamos al caso de líquidos; la ecuación de estado reía
ciona, entonces, la densidad con la presión, p = p(p).
También, en el supuesto de que el material del tubo
es elástico y sigue la ley de Hooke, es posible encontrar una
relación A =A(p) que liga la sección del tubo, A, con la pre
sión local.
Si se tiene en cuenta que (pA) es solo función de
la presión, la ecuación de la continuidad puede escribirse en
la forma:
(K + D) 8 p 3p] , 3v . "57- + v a I + T" = ° » dt dX) dX ; (1.1' )
donde
K + D = pA dp
es una función de p que mide la compresibilidad del conjunto
líq uido-conducto ; K = — -r~- mide la compresibilidad del líquido H p dp ^ 1 dA
y D =— -— mide la distensionabilidad del conducto. J A dp
Así pues, las ecuaciones (1.1) e(1.2) junto con las re
laciones A = A(p) y p = p(p), y las condiciones iniciales y de
contorno, permiten determinar, en el contexto de la llamada
aproximación hidráulica, el campo de presiones p(x,t) y de ve
locidades v(x,t), como funciones de la posición x y del tiem
po t.
En los procesos transitorios que vamos a describir,
las variaciones relativas de la sección y de la'densidad son
pequeñas, por lo que describiremos A(p) y p(p) mediante sus
desarrollos en torno a un valor de referencia P . r
-I. 3-
A = A P-P. rD-P ^
1 + + 3. + . . .
donde A es el valor de A a la presión de referencia P y o ^ r J
E.e , siendo E el modulo de elasticidad del material, c1 D
"e" el espesor de la pared del tubo y D su diámetro.
También para la densidad utilizaremos el desarrollo
P = P. P-P.
1 + + 3 P-P.
+ . . .
con P = p c . c 2 o o
Teniendo en cuenta la dependencia de la sección del
tubo y de la densidad del líquido con la presión, descritas an
teriormente, se obtiene la relación:
K+D = r 2 2 ^ " P r ^
l + (a (232-l) + (l-a) (231-D)-^-i-+ . . .
donde
?n PC C c-
1 1 — + —
l-a P P c 2
c
Nótese que en primera aproximación, para p-P << P , K+D, que
mide la variación relativa de la masa líquida por unidad de
longitud del conducto con la presión, es 1/P , donde /P /p = c ° ^ ' c c o
es una velocidad que determina, como veremos, la velocidad de
propagación de las ondas en el conducto. *
Con todo lo anteriormente expuesto, las ecuaciones
de continuidad y cantidad de movimiento quedan en la forma:
- 1 . 4 -
±- f i + ( a2 ( 2 6 9 - l ) + ( l - a ) 2 ( 2 e i - l ) ) ^ + . . . | [ Í E + V | E | + | X = 0 ( I . 3 )
9v _9v _1_ 3 t + V dx + p
P-P. fP-P. 1 - a ^ + a ^ ( l - 3 2 ) +. | £ + i í | £ l = * V | v | . ( I . 4 )
3x dx 2D ' '
1.2.- CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO
Como condiciones iniciales han de darse los valores
en t = 0 de la velocidad y presión en el conducto. En general
éstos serán los valores correspondientes al estado estaciona
rio previo; por ejemplo, el reposo si la válvula está antes
cerrada, si se trata de describir la respuesta a la apertura
de la válvula. Estas condiciones se obtienen en el estudio del
régimen estacionario que se hace más adelante.
Para las condiciones de contorno podríamos dar la ve
locidad y presión a la entrada, pero en la práctica no se cono
cen ambas, sino que se conoce la presión a la entrada del con
ducto (x = 0) y a la salida (x = L) como funciones del tiempo, o
más generalmente una relación a la entrada y otra a la salida
entre la velocidad y la presión.
Estas condiciones se obtienen analizando para la en
trada el proceso a través de la toma del conducto y a la sali
da del análisis del flujo en la boquilla, válvula o tobera de
salida. Para el estudio de estas zonas se supondrá el proceso
casi estacionario en ellas y se tendrá:
rP FT7T + g z = g H - 2 v s i v > 0
( 1 . 5 )
d p / v + g z = gH s i v < 0
p ( p )
-I. 5-
en x = O ; y
dp 1 1 ,
ra
(1.6)
en x = L con a(t) = As(t)
, siendo A (t) el área efectiva de sa
lida de la válvula y A el área del conducto. El factor (—r--l)=K ° a 2
es el coeficiente de descarga de la válvula. K = 0 cuando el con As ducto descarga directamente al exterior (a = -*—= 1 ) . K -* °° cuando ño
la válvula está cerrada (As = 0) en cuyo caso la condición de con
torno (1.6) en x = L se sustituye por:
v = 0 . ( I .6a)
1.3.- ADIMENSIONALIZACION DE LAS ECUACIONES
Para adimensionalizar las ecuaciones (1.3) y (1.4) y
las condiciones (1.5), (1.6) y (I.6a), se utilizarán las siguien
tes variables:
L ' z ' = H L/C ' v v
p + p gz - P. o < p~v C
c
donde las longitudes horizontales se han referido a la longitud
del conducto L; la longitud vertical a la altura H de la su
perficie libre; el tiempo al tiempo de ida o vuelta de las on
das L/C; la velocidad a la velocidad característica v =/2gK ,
y el incremento de presión motriz respecto de la presión atmos
férica a la presión generada por el golpe de ariete p v C .
Si se escriben las ecuaciones con est-as variables, se
obtiene el sistema de ecuaciones:
3 t , + 3 x ' + £ [ V 3 x ' + A p 9 t ' J - ° C £ } (1.7a)
-TTT + "Si + e V •?—r - ap* W + — f v ' v' =o(e ) (I. 7b) dt' 3x' ( . dx' dxT J 2 ' '
-I .6-
donde A =a 2(23 2-l) + (l-a)2(23 1-D, f = p
£ = (1.8)
es un parámetro que toma valores muy pequeños frente a la uni
dad en los casos prácticos, por lo que buscaremos la solución
asintótica para £ << 1, en forma de desarrollo de las magnitu
des físicas en serie de potencias de este parámetro.
Los segundos miembros de (1.7) representan términos
2 de orden £ , respecto a los términos del primer miembro, que
no escribimos pues no intervienen en el orden de aproximación
con que describiremos la solución.
Las condiciones de contorno (1.5), (1.6) y'(I.6a) to
man la forma:
en x = 0
PT - TTOtp
P' - o-ap
, 2=-|(l-v' 2) si vT > 0
( I.9a)
t2 - £ si v ' < 0
y en x = 1
P? - fap1 = f Kv si v? > 0 y K ¿ 0
(I.9b)
v' = 0 s i K + ° ° ,
2 si se excluyen de nuevo términos de orden £ .
Este sistema de eauaciones (1.7), (I . 9a ) y (I . 9b )
describe la solución para t' > 0 si se complementan dando las
condiciones iniciales : en: *
tf = 0 , v 1 = vj(x» ) , pf = pj(x' ) , (I.10)
que corresponden, por ejemplo, al estado estacionario previo,
que sería solución estacionaria del sistema (1.7), (1.9a) y (1.9b)
-I . 7-
En el problema anterior intervienen la cota z'(x')
de la línea media del conducto que suponemos no varía con el
tiempo y el coeficiente de descarga de la válvula K(t') =
(A /A (t)J - 1, que depende de la relación de áreas efectivas
a =A /A de la válvula, A , y del conducto A . so s J o
Supondremos conocidas z'(x') y la ley de cierre o
apertura de la válvula caracterizada por K(t').
El carácter de la solución depende del valor daracte
rístico de K o de la relación de áreas a = A /A . Considerare-s o
mos dos casos límites distinguidos. En el primero, a es del or
den de la unidad, en cuyo caso las sobrepresiones generadas en
el cierre instantáneo de la válvula son muy grandes Frente a
p gH. En el segundo caso, la sección de salida inicialmente es
muy pequeña comparada con la del conducto ( a ^ e << 1) y las so-
brepresiones generadas son del orden de p gH.
Se estudiará en primer lugar el caso en que a 1 ,
esto es, cuando el área efectiva de la válvula es, inicialmen
te, del mismo orden que la del conducto. Posteriormente se ha
rá el estudio del segundo caso, donde se supondrá que el valor inicial a es del orden de e. o
En la ley de cierre a(t'), interviene otro parámetro,
t /t , relación entre los tiempos característicos del cierre o c o ^
apertura y el de ida o vuelta de las ondas. Nos ocuparemos esen
cialmente del caso en que t /t es del orden de- la unidad, en ^ c o
cuyo caso los efectos de compresibilidad son muy importantes.
Sin embargo empezaremos, a título comparativo, describiendo
el movimiento en el caso en que t /t es del orden de 1/e, que
c o c o r r e s p o n d e a t i e m p o s de c i e r r e d e l o rden d e l de r e s i d e n c i a ,
-1.8-
con lo que, en primera aproximación, puede cosiderarse el flu
jo como incompresible.
En todo lo que sigue, quitaremos la tilde de las va
riables, entendiendo que nos referimos a variables adimensio-
nales.
CAPITULO II
PROCESOS TRANSITORIOS DURANTE EL CIERRE DE VÁLVULAS
-II. 1-
II. 1.- ANÁLISIS DE TRANSITORIOS LENTOS
Si los tiempos de cierre t son grandes comparados
con el tiempo de ida o vuelta de las ondas, t , por ejemplo,
del orden del tiempo de residencia t =L/v , conviene elegir
r e to
como tiempo adimensional el referido a este tiempo de residen
cia, de manera que describiremos el flujo utilizando como va
riables independientes x y T. La variable T se define: T = t/tr ,
y al referirla al tiempo de ida o vuelta de las ondas t = L/c, J C Q 3
toma el valor:
T = Et .
Se busca la solución en forma del desarrollo:
v = v ( X , T ) +ev ( X , T ) + ...
p =ep ( X , T ) +e p (X,T) + ... (II.1)
con lo que al llevar este desarrollo al sistema (1.7), (1.9),
se obtiene
3v TT = 0 • V = v ( T ) dx O O
(II .2a)
-TT + -s— =~ — f V V
8T dx 2 o ' o
con las condiciones de contorno:
en x = 0
(II . 2b)
Pl = 2 ( 1 - V o } S i V o > 0
(II . 3a)
Pl = 2 S Í Vo < ° ;
-II.2-
y en x = 1
P.1 = | K ( T ) Vo s i v > O y K ^ O o J
(II.3b)
v =0 si a = 0 (K->°°) o
Este sistema no admite la condición inicial general (1.10), si
no la más restrictiva;
v = v_ en T = 0 , o í (II.4)
con V, constante y p (x,0) a determinar como parte de la solu
ción. Si estas condiciones iniciales no coincidiesen con las
dadas por (I.10), el desarrollo (II.1) no sería uniformemente
válido, existiendo una etapa inicial a ^ £ , durante la cual los
efectos de compresibilidad serían importantes. (Véase el análi
sis de la apertura, Apartado IV.2).
La ecuación (II.2b) puede integrarse respecto de x
para dar, s i v > 0 ^ ' o
dv o 1
dx 2 o ' o = 2 ( 1- Vo }-Pl ' (II.5)
si v < o, el segundo miembro se sustituye por o ' - - * 2 F l '
Utilizando la condición (II.3b), obtenemos la ecua
ción
d v^ 1 o v 2 *
— + 2 f V o + — (K(T>+1) "2 = (II .6a)
para v > 0 , y
dv v o 1 ^ 2 o w . 1 A
d T - " 2 f V o + — K ( T ) - 2 = ° (II.6b)
si v < 0. Esta ecuación ha de integrarse, en general, numérica
mente, dada la ley de cierre K ( T ) , usando la condición inicial
v (0) = V_. o I
-II.3-
Si K ( T ) es constante, K = K , existe una solución estacionaria v =v > 0 de (II.6) que corresponde al régimen esta-
o e -i i- &
cionario dada por:
v = ÍK +l+fl - 1 / 2 = ( f + a o -2 ) - 1 / 2 (II.7a)
con la distribución de presiones
Pl = ± - (1 + fx) (II.7b)
donde a es la relación inicial de áreas A (0)/A . .o s o
En el caso de ser a = 0, o '
v e = 0 y p 1 (.II .7c)
Los valores de la velocidad y presión dados por (II.7) aparece
rán como condiciones iniciales en el estudio de los transito
rios.
En el transitorio interviene la ley de cierre a(x) a
_ 2 través de K ( T ) =a - 1. Escribiremos
a = a a(a) o
con a = t _ T
c c (II.8)
siendo a el valor inicial de la relación de áreas A (0)/A y o " S O
G el tiempo referido al tiempo de cierre t = T , de modo que: f f C C V
c
a(0) =1 q ( 1 ) = 0 . •
Así pues, la ley de cierre está caracterizada* por los parámetros
a y T . Si escribimos (II.6a) utilizando o como variable inde-o J c
pendiente, se obtiene la ecuación:
dv» _ . q - ((f) q +1 ) v ' 2
da ~ c 2 2q
(II.9)
-II.4-
a integrar para O < O < 1 con la condición inicial
v'(0) = v f = (l + <f>) -1/2
(11.10)
Aquí, ó = T /a caracteriza el tiempo de cierre, é - fa la ^ ; c c o ^ ' Y o
fricción en el conducto y vf =v /a . J o o
La presión en la sección de salida vendrá dada por:
Pl _ 1
s 2 — 1 a a (a) J
o
(II.11)
donde v = a v ' . o o
Las ecuaciones (II.9) y (II.10) describen el cierre
del conducto cuando la ley de cierre es tal que el tiempo de
cierre es del orden del de residencia, esto es, el' tiempo de
cierre es muy lento comparado con el de ida o vuelta de las o_n
das, de modo que el flujo puede ser considerado como incompre
sible. Cuan lento o rápido sea el cierre, nos lo indica el pa
rámetro 6 .
c
Un caso interesante es aquél en el que ó << 1 con $
del orden de la unidad. En otras condiciones, la solución de
(II.9), en primera aproximación es:
v' = vT ( 0 ) = v' e
correspondiente a ó =0. La presión en la sección de salida vie
ne dada por (11.11) con v =a v'(0). c o o
Para obtener la segunda aproximación del valor de la
velocidad, suponemos que ésta puede desarrollarse en potencias
de 6 : c
v' = vT + 6 V ' ( G ) ( II .12)
e e l
y llevando este desarrollo a (II.9), obtenemos para el segundo
término del desarrollo:
-II. 5-
de donde:
2 2 dv' a -((t>a +l)v
1 e da
(II.13) 2a
vi = a a 2 U ) - ((|)a2(C) + l)v;2
) 2a2(C) d£ (II.14)
Esta corrección de la velocidad está determinada por la ley de
cierre a(a). En los instantes finales del cierre a << 1, por lo
que la integral (11.14) puede diverger. En efecto, si en los
últimos momentos del cierre, la ley a(a) es potencial de la
forma:
a(a) = A(l-a) , (11.15)
con A del orden de la unidad (A=l si la ley de cierre, a(a) es
potencial desde el instante inicial), la integral (II.14) con-v,
tiene el término divergente
o ..2
, que tiende a o 2a
, 2, . ,l-2n v1 (l-a) e 2A2(l-2n)
(11.16)
si n ^T^' Por ello, en este caso, existe una segunda etapa corta,
inmediatamente antes del cierre, en la que v caerá desde el va
lor v' a cero, la cual se analizará más adelante.
e
En el caso en que n < —, la integral (11.14) no diver
ge, por lo que la velocidad en el instante del cierre tiene,
para ó << 1, el valor v'+ó v' , donde F c • ' e c lf
lf
l a 2 - (4>a2 + l)v'2
da . (II.17) 2a
Si ó no es pequeño, el cálculo dev'(a) ha de hacer
se por integración numérica del sistema (11.9)-(11 .10 ) . Pero po
-II.6-
demos anticipar que si la ley de cierre es potencial en los ins_
1 tantes finales, con n %,— la velocidad tiende a cero cuando
- 1 (1-a) -* 0 , mientras que si n < —, v'->v' / 0, cuando (-l-o) -*• 0 .
En este caso incluso, para valores de ó del orden de la uni-^ c
dad, la sobrepresión en la válvula no basta para frenar comple
tamente el fluido del conducto; se genera en o = 1 una onda de
compresión que avanza aguas arriba para asegurar que v = 0 en
la sección de salida para o > 1. La onda de compresión generada
es idéntica a la que corresponde al cierre instantáneo cuando
la velocidad previa en el conducto es v'.
Como ilustración se ha calculado v'(ó , <f>, n) mediante
r e
solución numérica de (II.9)-(II.10) que se representa en la Fig.
1 1 II.1) para cierre potencial con n = — y n = —. Las soluciones asintóticas son:
v f=n-6cVÍT^+*) P"a &<<1-
Cuando n >, -r existe una segunda etapa en los instantes finales
del cierre, de modo que podemos poner:
m Oj
1 - O = ó 9 ,
.m donde ó es mucho menor que la unidad, 6 es del orden de la uni c n J _
dad y m > 0 es un número real a determinar.
En estos instantes finales la velocidad, que cae des
de un valor próximo av' hasta cero, viene determinada, pues
a << 1, por la ecuación, en la que la deceleración se debe a la
sobrepresión debida a la válvula:
2 dv«_ . v da c „. 2 2A (1-a) 2n *
(11.18)
-II.7-
% Reescribiendo (11.18) en la variable 0:
x,l+m-2mn dv' c v1
de 2A *>2n
Para que los dos miembros sean del mismo orden:
1
As í pues:
1 + m(l-2n) = 0 , ,
dv' 1 v'
m = 2n-l '
d* 2A2 S 2 n '
cuya solución es:
% l-2n
v' v' e 2A 2 2n-l
o.
si n /
1 1 c ~ —t=. o l n © S 1 n = T •>
2A ^
donde las constantes de integración 1/v» y c, de orden unidad,
se obtienen del acoplamiento con la solución para la etapa an
terior. En ambos casos v1 = 0 en el instante del cierre (0=0).
De (11.11) vemos que en esta segunda etapa previa al
cierre, en la cual a << 1, la presión en la sección de salida
viene dada en primera aproximación por: 2n
2r~ 2n-l (
Pl = vi 6c
9 9 9 9 2a a (0) 2a A 2A a
o o ^ o
1 + v ^l-2nl e 0
2n-l
-2 ^ -2n (11.19)
De esta expresión (11.19) se deduce que cuando n = 1, la presión
en la sección de salida es creciente para todo tiempo previo al
instante del cierre, en el que alcanzará el valor máximo:
2 2 9 2A a
, n>> _ 2A _ o p i ( 0 ) - T 2 —
0 T C C
(II .20)
-II.8-
Si n > 1 , la presión en la sección de salida crece ini
cialmente con el tiempo, alcanzado su valor máximo en un instan
te (0 > 0) anterior al instante de cierre, m
rr1 raax
(n-1)v
2nA (2n-l)a (11.21)
2n 2n-l
•max
2 n -1 A yn
2az l o
n-1 v max e
-2 (11.22)
.ecreciendo posteriormente al valor p.,(0) =0.
Nótese que en el instante del cierre v =.0 en el con-o.
ducto, pero que hay sobrepresiones respecto al de-pósito no nu
las, si n = 1, cuya distribución es lineal en el conducto entre
el valor cero correspondiente al depósito y el valor p ^ O ) , da_
do por (11.20), en la salida. La evolución posterior de v y p
no puede ser analizada con la aproximación incompresible.
Por otra parte, los efectos de la compresibilidad tam
poco pueden despreciarse antes del cierre si el tiempo que dura -1
este es tal que da lugar a valores de p1 ^ del orden de e , -"•max
ya que en este caso las sobrepresiones generadas serían, según
(II.1), del orden de las del golpe de ariete, pv c. Esto es,
los efectos de la compresibilidad han de retenerse en la última etapa si 6 es tal que
n-1
ó ^ (n-l)v c e
Vi] a o
2n-l
n con n t 1
que implica
2n-l n+1 2n n
T ^ £ a c o
-II.9-
y si a ^ 1, J o
t 2n-l c n 2n T = —— e c t r
Si n = l , de (11.19) se deduce que para que p ( 0 ) ^ l / e
(II.23a)
T ^/e c
1
(II.23b)
Nótese que el tiempo característico de la segunda eta
pa, t 6 s si los efectos de compresibilidad son importantes
en la misma, es del orden del tiempo de ida o vuelta de las on-
1 das. En el caso n < -^ los efectos de compresibilidad se hacen im
portantes inmediatamente después del cierre, aún en el supuesto
de ser 6 ^ 1 . c
Otro caso singular del análisis es aquél en el que
a << 1; si f es del orden de la unidad, se podrá poner en prime_
ra aproximación (j) = 0 , ya que
<f> = f a < < 1 . o
Obsérvese que a pesar de ser corto el tiempo de cierre, ó pue
de ser del orden de la unidad por ser a << 1. De (II.9) se ob-c o
tiene para este caso:
2 .2 dv' _ ~ a -v da " c 2
2a (II.24)
con la condición inicialv'(0)=l, obtenida de (11.10) sin más
que hacer en esta <j) = 0 .
Para la integración de esta ecuación es preciso cono
cer la ley de cierre a(cf). En este caso no aparecen dos etapas
en el transitorio del cierre.
La presión en en la sección de salida vendrá dada por
la forma simplificada de (11.11):
-11.10-
s 2aV(a) o
(11.25)
Por ejemplo, en el caso de cierre lineal, a = (1-a) la solución
de (11.24) es: (3.-3^)0/2
(1 + 3, )-(l-g0)(l-Q) 1 2 c
v ' =
(l-3o)-(l-3i)(l-a) (31-39)ó /2
1 2 c
(1-a)
siendo 3
ción de salida
+ /l + ó2 1 = A + ó2. •*• y 3 2 = y la presión en la sec-
( ( 3 - 3 ) 5 / 2 ( i + e 1 ) - ( i + . e 2 ; ( i - a )
2
1 2 (l-32) - (i-31) (i-a)
(31-30)6. 12 1 2 c
(11.27)
En todo caso, las sobrepres iones son, de acuerdo con (II.24), del
2
orden de 1/a . Los efectos de compresibilidad no pueden despre
ciarse en este caso si a ^ e . o
II.2.- EFECTOS DE COMPRESIBILIDAD EN TRANSITORIOS
II.2.1.- Cierre con relación de áreas del orden de la unidad
Ya se dijo anteriormente que al analizar el cierre de
un conducto, cuando la relación de áreas inicialmente es del or_
den de la unidad, aparecen dos etapas. Durante la primera etapa
los efectos de compresibilidad no intervienen en la solución y
en ella, la velocidad en el conducto apenas-varía de su valor
en el régimen estacionario y la presión aumenta muy poco su va
lor respecto a la presión correspondiente a la del flujo esta
cionario. Se producen incrementos importantes de la velocidad
del fluido en la válvula que llevan asociados sobrepresiones en
el extremo del conducto.
-II.li
cuando, en la segunda etapa, la relación de áreas
1/2 A (a)/A se reduce de su valor inicial a a un valor a e , s o o o
las sobrepresiones se hacen del orden de pv c y es cuando los
efectos de compresibilidad empiezan a contar en el conducto jun
to con los efectos de la inercia si el tiempo de cierre es tal
que el tiempo característico de esta segunda etapa es del orden
del de ida o vuelta de las ondas t . o
Como los efectos de inercia y de compresibilidad solo
intervienen en esta segunda etapa, la forma como se efectúe el
cierre de la válvula durante la primera etapa no es importante.
Solo nos preocupa la forma de la ley de cierre durante esta se-
- " 1/2
gunda etapa en la que la relación de áreas es del - orden de e
Supondremos que durante esta etapa, la ley de cierre es poten
cial de la forma: a(a)=A(l-a) con n > — , (11.28)
donde A es de orden unidad y será igual a uno si la ley de
cierre es potencial desde el instante inicial del cierre. El
análisis puede generarlizarse sin dificultades para formas de
cierre no potenciales en la segunda etapa.
Nos ocupamos ahora del análisis del transitorio duran
te esta segunda etapa, con efectos de compresibilidad importan
tes en el supuesto de que la relación inicial de áreas, a , sea
del orden de la unidad y el coeficiente f sea también del orden
de la unidad. El caso en que a << 1 se tratará posteriormente.
^ o ^ Consideraremos pues, el caso distinguido en el que de acuerdo
con (II.J23a), el tiempo de cierre referido a t es tal que: c o
t = 6 e c o -l/2n
(11.29)
-II.12-
con 6 de orden unidad. Por otra parte, durante esta segunda
etapa, los valores de (1-a) son tales que:
(l-o)tc 1 -> (i-a) e 1 / 2 n ,
para que la duración de la segunda etapa dea del orden de t .
Al aparecer en esta segunda etapa los efectos de com
presibilidad y en la primera aproximación, la velocidad en el
conducto tiene variaciones temporales y especiales del orden de
ella misma, con lo que utilizamos para la velocidad y presión
los desarrollos en potencias de £ siguientes:
— = v (x,e) +ev (x,e) + ... V o .1 e
(II .30)
P _ v = P (xse) + ep1(x,e) +
donde v es la velocidad inicial que coincide con la dada por e - l i
la primera aproximación en la etapa anterior del cierre (que es
incompresible) y que viene dada por la Ec. (11.10) y 9 = t-t es
la nueva variable temporal que es de orden unidad en esta etapa
Introduciendo el desarrollo (11.30) en las ecuaciones
(I»7) y en las condiciones de contorno (1.9), y quedándonos
con la primera aproximación, se obtiene el sistema:
3 P ° d V ° n T0- + "33r = o
3v 3p °+-4-^ = 0
(11.31)
39 3x
con p =0 en x = 0 *o
« 2n 2, ov-2n . p = ó v ( - 9 ) en x = l *o o
(II . 32a)
(II. 32b)
-II.13-
donde 6
j , 2 n
2n _ e o 2 2
2A a o
^ 2 n
V t £ e c o, 2 2 2A a
o Las ecuaciones (11.31) y (11.32) se integran con la
condición inicial:
-»» -oo v = 1 , P = 0 ' o ' *o
(11.33)
correspondiente al acoplamiento de la solución para esta según
da etapa con la solución incompresible de la primera etapa del
cierre.
Obsérvese que las sobrepres iones y velocidades en el
conducto vienen dadas durante esta segunda etapa, en primera
aproximación, por el sistema (11.31) -(11 . 33 ) , correspondiente
1
a la teoría de Allievi. Intervienen los efectos de compresi
bilidad, representados por el término 3p /90, los efectos de
la inercia representados por 3v /9 0 y la caida de presión en
la válvula dada por la Ec. (II.32b) en la que se supone una ley
de cierre potencial (con n >—) durante esta etapa.
Para leyes de cierre más generales, tendríamos que
sustituir (-6) por la función a(9) apropiada. En estas ecuacio
nes interviene como único parámetro ó junto con el exponente n
para caracterizar la ley de cierre potencial. Podemos anticipar
que los cierres lentos, correspondientes a ó >> 1, pueden descri_
birse con la aproximación incompresible y que los valores de
ó << 1 corresponden al cierre casi instantáneo.
Un valor importante que obtendremos como parte de la
solución es p(l,9) =p (9) el valor de la presión antes de la
válvula que depende también de ó y n.
El sistema (II.31)-(II.33) puede utilizarse también
-II .le
para describir la solución en tiempos G > 0 del orden de la uni
dad, posteriores al cierre, sin más que sustituir la condición
( 11 . 32b) por v = 0 . Sin embargo, el desarrollo (11.30) deja de
ser uniformemente válido para tiempos 8 %1/e, pues los efectos
de la fricción se hacen importantes, como veremos más adelante.
El sistema (11.31) es la ecuación de las ondas, cuya
solución general es:
P = f c e - x + i ) - g ( e + x - i )
v = f ( e - x + i ) + g( .e+x-i) , o
(11.34)
donde x se mide a partir de la sección de entrada del conducto
y el valor 6 = 0 corresponde al instante del cierre.
Al imponer las condiciones (11.32), se obtiene:
en x = 0
f(6 + l) =g(8-l) ,, f(0) =g(0-2) para todo 9 (-II.35a)
en x = 1
r2n f(0)-g(0)= — — — ( f ( 0 ) + g ( 0 ) ) para 0 < O (II.35b)
C-0) 2n
y de la condición inicial (11.33):
g ->• — cuando 0 •+ -°° .
De (11.35) se obtiene
(11.36)
2n (g(0) + g(0-2)) = (--] (g(0-2) - g(0)) para 6 < 0 (II.37a)
y (0) + g(0-2) = 0 para 0 > 0 . ( II. 37b)
La ecuación (II.37a) es una ecuación en diferencias,
que junto con (11.36) determina de modo único la solución.
De (II.37a) se obtiene, para cualquier 0 <0:
-II .15-
g(6) ~--^ 2n^i 1 r-e^2n
-2+(x) j + () \^-2^W <"-38)
donde hemos escrito g =g(9-2).
Cuando 9 = 0, v = 0 , luego en x = l y 0 = 0 ,
g(0) =g(-2) = -f(0) ,
con lo que la presión en la sección de salida en el instante
del cierre vendrá dada por:
p (0) = -2g(0) . * v
(11.39)
Para otro instante cualquiera, la presión en la sección, de sa
lida (x =1) vendrá dada por:
P v O ) = g(0-2) - g(0)
que para 0 > 0 toma la forma
< 0 , (II.40a)
p (9) = 2g(0-2) . (,II.4 0b)
Nótese que para 9 > 0 (tiempos posteriores al cierre), p (0), y
del mismo modo el movimiento en el conducto, es periódico con
período 4 en 9. La condición de antisimetría (II.37b) permite
calcular la respuesta al sistema para 9 > 0 una vez calculado
g(9) en el intervalo (-2,0). Veremos más adelante cómo los efec
tos de la fricción producen una variación lenta en esta respues
ta periódica, variación que describiremos con el método de las
escalas múltiples (6 ,1'4) para determinar la evolución de g(0)
con la escala x = 0•e, asociada al amortiguamiento de las osci
laciones .
La integración de la ecuación (II.37a) se hace numéri_
camente. En las Figs . ( II.2 ) está representada la presión en
la sección de salida en función del parámetro 6 que caracteri-
-II .16-
za el tiempo de cierre. La solución numérica se ha obtenido
para los valores del exponente n = 1, 3/2, 2 que corresponde a
cierres lineal, cuadrático y uno intermedio entre éstos. De
estas figuras vemos que cuando el cierre es lineal, la presión
máxima en la sección de salida se obtiene en el instante mismo
del cierre, cualquiera que sea la forma en que éste se ha efec
tuado (lento o rápido), mientras que para los otros tipos de
cierre, el máximo de presión se presenta en tiempos anteriores
al instante del cierre y este máximo de presión es más pequeño
y se produce en tiempos tanto antes cuanto más lento se efec
túe el cierre .
También se ha representado en la Fig. (II.3) el valor
de la presión máxima, y el tiempo en el que se presenta ese mí
nimo, en función de ó, para los valores de n anteriormente ci
tados .
Para describir la solución en el caso límite ó << 1,
que corresponde al cierre casi instantáneo, reescribimos la
ecuación (II.37a) en la nueva variable x' =8/6 y, si llamamos
g^T') =g(6T') 9 queda en la forma:
(gl(T') + g 1 (
T ' - | ) ) 2 = (-Tf>2n(g1('C,--f> " S ^ ' ) ) - (H.*l)
2 En primera aproximación g1(T
,--r) = 1/2, por lo que de (11.41)
obtenemos:
i(T.) =-i (l-(T')2n) +(-T')n\/ 1 +Í(-T') 2 n ,
con lo que
p ( T . ) = i + Í H ^ - ( - x . )n \ / i + i ( - f )
2 n
Así pues, en primera aproximación p(0) = 1. Es fácil mostrar
-II . 17-
que en segunda aproximación se tiene, para n > — que
2n p(ó) = 1 -
2n-1(2n-l) (II .42)
como expresión asintótica, para el cierre, de la presión cuando
ó << 1 (cierre casi instantáneo). En el gráfico que representa
la presión máxima en función de ó, esta expresión (11.42) está
dibujada con línea discontinua.
El otro caso límite es el cierre lento correspondiera
te a ó >> 1. En este caso, de la ecuación (11.36) se deduce ha-
a iendo T' =6/5 con a=2n/(2n-l)
f ^ 2 n o* 2
(-T ' ) g1 = "2g1 ,
(11.43)
de donde se obtiene, por integración con la condición de que
g„ = 1/2 cuando T -> -°°
(_Tr)2n-l V ( 5,T) = 2g > 9n-ll ° 1 (_T»)^2n-l) _ 1 / ( 2 n _ 1 )
( II .44)
6-2n/(2n-l) (_ T, }2(n-l) po((59T) = _: _
k-T'/211-1) + l/(2n-l)|
(11.45)
De (11.45) se obtiene que la presión en el instante del cierre
(T = 0 ) , vale:
p ( 0 ) = ó 2 si n = 1 *o
p (0 ) = 0 si n ^ l . *o
(11.46)
Para n > 1, el máximo de presión se presenta para valores de 6
2n (-6)
2n-l (n-l)6
max n(2n-l) ' (11.47)
-2n 2 V
y como ó = —— , al sustituir en (11.47) y referir este tiem 2a A' o •
-11.18-
po al de residencia, se observa que coincide, al igual que el
valor máximo de la presión:
p . í(n-l) ó *max =
n(2n-l)
2(n-l)/(2n-l)
( $ (11.48)
con el valor hallado en el régimen incompresible, como era de
esperar, por ser ó >> 1.
Así pues, durante el cierre con a ^ 1 , existe una
primera etapa en la que no intervienen los efectos de compresi
bilidad , en la que la velocidad apenas varía de su valor en ré
gimen estacionario y en la que la presión aumenta muy poco res
pecto a su valor en el régimen estacionario. En es*a etapa:
v = v + T v„ e e l
P = e ^ s 1 2
( II .49)
2 2 ^2a^ a(a)
o
- 1 V
donde v viene dada por (II.7a) y v „ por (11.14). e J 1 *
Cuando la relación de áreas A (a)/A toma valores del s o
1/2 orden de £ los efectos de compresibilidad son ya importantes
y para esta segunda etapa la solución es la dada por (11.36) y
(11.38). La presión en la sección de salida está dada por (11.39)
Si el cierre es muy lento, no cuentan en ningún momen_
to los efectos de compresibilidad, aunque sí los de inercia y
el flujo puede ser descrito por la solución incompresible. Si
el cierre es instantáneo (o muy rápido), la_velocidad en la sec
ción de salida es nula desde el primer momento y la presión vie_
ne dada por la ecuación (11.42).
-II .19-
II.2.2.- Cierre con boquilla a la salida
Vamos a analizar ahora el caso en que el conducto
tenga una boquilla en la salida, de forma que a << 1. La pér
dida de presión en el conducto, en este caso, en el régimen
estacionario es pequeña frente a pgH que es la pérdida de pre
sión en la válvula, de donde obtenemos que la velocidad de sa
1/2 lida es del orden de (2gH) . Aplicando la ecuación de conti
nuidad entre una sección del conducto (cuya sección recta es
A ) y la sección de salida (donde está la válvula y cuya sec
ción efectiva es A ) vemos que la velocidad en el conducto es
s ^ del orden de a(2gH) 1 / 2.
En el supuesto de que se produzcan cambios en a del
orden de a en tiempos del orden del de ida o vuelta de las on o -• —
das, t , las oscilaciones de presión que aparecen cuando se
cierre la válvula, tienen unas amplitudes
a p /2gH c . o o
Estas oscilaciones son del mismo orden que las sobrepres iones
en la salida, PgH, para valores de a del orden de
o • / 2 § H
a ^ — ~ — = e . o C
Así pues, cuando la relación de áreas A0/A , sea desde el comien r S Q —
zo del orden de £, los efectos de compresibilidad serán impor
tantes si el cierre ocurre en tiempos t de-1 orden de la unidad, r c
referidos a t (tiempo de ida o vuelta de las ondas). La distri o c —
bución de velocidades y de presión pueden desarrollarse en po
tencias de £ en la forma:
-II . 20-
V(X,9) =£V 1(x,0) +£ V ( X , 0 ) + ...
p ( x , e ) = e p 1 ( x , e ) +e p ( x , e ) + (II. 50)
donde 0 = t - t . Escribiremos el área de salida en la forma: c
a = en(-0/t ) que se reduce a:
a = en. (-0/t ) o c (11.51)
si el cierre sigue una ley potencial a = en. (1-a) .
Las condiciones iniciales corresponden al instante
0 =-t y vienen dadas, si f es del orden de la unidad, por la
solución estacionaria (11.17) resultante de a =en , con lo o Jo'
que :
Vl = n o = a o / £ ' Pl = 1 / 2 (II.52)
en 0 = -t . c
Llevando el desarrollo (11.50) a las ecuaciones (1.7)
y (1.9), se obtiene para la primera aproximación:
9 P 1 3 v 1
TTT + Tx~ = °
3 V , 9 p 1 + -7T^=- = 0
30 Bx
( 1 1 . 5 3 )
c o n p 1 = 1 / 2 e n x =
v. 1 v 1 P l = " 2 = ~ 2 e n X = 1 S Í 6 < 0
n
( I I . 5 4 a )
( I I . 54b )
o v = O s i 0 ^ O .
Estas ecuaciones hay que integrarlas con las condiciones ini
ciales (11.52). La solución general de (11.52) es:
p 1 = -|- + f(9-x + l) - g(0 + x-l)
v = n0 + f ( e - x + i ) + g ( 0 + x - i ) (11.55)
-II. 21-
Al imponer las condiciones de contorno (11.54) se ob
tiene que f(8) =g(9-2) para todo 9 y la ecuación en diferencias
(n0 + g(e-2) + g(e))2 = 2n2(| + g(e-2) - g(e)), (n.sea)
ecuación que hay que integrar, para n(-0/t ) dada, con la condi
ción inicial g(0) =0 para todo 6 <-t . En el caso particular de
ley de cierre potencial, la ecuación anterior toma la forma:
(6) = -2 ,-9,2^
(n+g(e-2)) +n 0^)
/Tno^)ny| + no + 2 g ( 0 - 2 ) + | n
2í ^ )
2 n . (II . 56b)
en la que intervienen como parámetros el tiempo de cierre t y
la relación de áreas inicial n. • Esta ecuación (II.56b), junto
con la condición g(9) =0 para todo 9 <-t , determina de modo
único g(9). La presión en la sección de salida, antes de la bo
quilla, p (9) =p 1(l,9) viene dada por:
(II . 57a) 1 P v ( e ) = j + g ( e - 2 ) - g ( e ) ,
que para el instante del cierre e instantes posteriores ( 0 ^ 0 )
toma la forma
p (0 ) = \ + n + 2g(0-2) . *v 2 o (II.57b)
Es fácil ver que, para 0 > 2, p(0 + 2) = 1 - p(0), que muestra la perio
dicidad de p(0) con período 4 para valores de 0 > 0, como era de
esperar al ser v = 0 para 6 0 .
La presión en la sección de salida para distintos va
lores de n (n=l,2) y para valores de la relación inicial de
áreas 0.5, 1, 2 están representadas en la Figura ( 11 . M-) . El
valor t =2 corresponde al cierre instantáneo y según se observa en
estos gráficos, el máximo de presión tiene lugar en la sección de salida
El caso de cierre lineal (n = l) es el analizado po Allievi.
-11.22-
FÍ2. II .1 .- Velocidad antes de la válvula, inmediatamente antes del cierre con ley de cierre potencial y n < 1/2 en función del tiempo adimensional 5 de cierre y diversos valores del parámetro de fricción <{> .
-II . 23-
Fig. II.2.- Presion en la sección de salida en función del tiempo antes y un período después del cierre,para leyes de cierre:(a) lineal,(b) cuadra tica ,(c) n = 3/2 y diversos valores del tiempo adimensional de cierre.
- I I . 2 4 -
F i g . I I . 2 ( c )
-11.25-
n=2
-i Fig.II.3.- Presión máxima durante el cierre,para leyes de cierre
potencial con n = 1 , 3 / 2 y 2 , en función del tiempo a -dimensional de cierre ó . (b) Tiempo,medido desde e] instante del cierre,en el que se presenta la presión máx ima.
I . 26-
Fift.II.^.- Tres ion en la sección de salida antes y un período do: pues del cierre cuando a % e para leyes de cierro (a) lineal y (b) cuadrática para diversos valores d«• i parámetro n .
CAPITULO III
AMORTIGUACIÓN POR EFECTO DE LA FRICCIÓN DE LAS OSCILACIONES
DE PRESIÓN GENERADAS EN EL CIERRE DE UNA VÁLVULA
-III .1-
III.1.- ANÁLISIS DE LA AMORTIGUACIÓN CUANDO LA RELACIÓN DE
ÁREAS ES DE ORDEN UNIDAD
El análisis del apartado anterior ha mostrado que si
el tiempo de cierre es del orden de los dados por (11.33), apa
recen sobrepresiones del orden de pv c en una etapa corta en c
torno al instante del cierre, y los efectos de la fricción no
cuentan en primera aproximación si e f << 1 . En ausencia de es
tos efectos de fricción, las sobrepres iones permanecerían inde_
finidamente en forma de oscilación periódica.
Nos ocuparemos, a continuación, del análisis de la -1
amortiguación, en tiempos del orden de t e , de las oscilacio
nes de presión generadas durante el cierre. Puesto que en el
análisis de este movimiento oscilatorio amortiguado, intervie
nen simultáneamente dos escalas temporales, la t de oscila-
^ o -1 cion de la presión y velocidad y la t e de amortiguamiento,
utilizaremos para el análisis el método de dos escalas
Así pues describiremos el movimiento utilizando, j un_
to con la variable x, dos variables temporales
t' = t y T = et ( III.1)
basadas en t y t lz respectivamente, o J o
Para la presión y la velocidad se suponen unos des
arrollos en potencias del parámetro s en la forma:
p( X,t ' ,X) - PQ(x,t ' ,T) + £p ( X,t ' ,T) +
( III .2) v(x,t' ,T) • = v (x,t' ,T) +ep (x,t',T) + ...
donde p v , p„ ,v„ son funciones acotadas, de orden unidad, pa-*o o *i 1
ra valores de t'; y T es del orden de la unidad.
Introduciendo estos desarrollos en las ecuaciones
-III . 2-
(1.7) y en las condiciones de contorno (1.9), después de agru.
par términos del mismo orden, se obtienen los sitemas siguien
tes, correspondientes a los dos primeros términos del desarro
lio:
9 P ^ 9V~
9 t ' 9x
9v 9p ( I I I . 3 )
9 t ' 9 x
p = 0 e n x = 0 ^ o
v = 0 e n x = 1 o
9 ^ ^ _ ^ P ,
9 t ' + 3 x 3 T
9v 3 v 1 3 P l
- v
- V
o 9x
9v
- Ap ^ o
o 9 t '
9p. ( I I I . 4 )
9 t ? 9x 9 x O 9 X
O 1 r; | + Cip — — f V V
F o 9x 2 o i o
1 2 1 p = — ( 1 - v ) s i v > 0 6 p„ = TT s i v < 0 e n x = 0 F l 2 o o ^ 1 2 o
v , = 0 e n x = 1 . 1
El sistema (III.3) conduce a la ecuación de las ondas;
por ser este sistema homogéneo y con condiciones de contorno nu_
las, la solución es periódica en t? y de período t' = 4. La solu
cion general de este sistema viene dada por:
V = f( t ' -X,T) + g( t ' +X,T )
p = f( t T-X,T ) - g( t ' +X,T) . o
(III . 5)
Las funciones f y g pueden determinarse a partir de sus valo
res F y G en t' = 4n, donde n es entero. Estas funciones F y G
dependerán de x,T, mientras que f y g, para T fijo, son funcio
nes (periódicas en t') de x y t'. En el Apéndice mostramos có
mo dependen las distribuciones de velocidad y presión, esto es
(* ) Obsérvese que las funciones F y G quedan definidas en la forma F(X,T)=f(-x,T) ; G(X,T)=g(X,T) para 0<x<1
-III.3-
f y g, de las funciones F y G, dando esta descripción por zo
nas en el plano x,t'.
Las funciones F y G se calculan, exigiendo que la so
lucion P..5V del sistema (III.4) sea periódica en t', con lo
que se asegura que £p y £v son pequeños frente a p ,v para o o
-1 tiempos t! del orden de e y, por tanto, el desarrollo (III.2)
es uniformemente válido.
Esta exigencia de periodicidad a p. y v , implica que
la contribución de los segundos miembros de las ecuaciones y
de las condiciones de contorno del sistema (111 . 4 ) , al cabo de
un período, a los valores de p y v es nula. Esto nos propor
ciona, según veremos, dos ecuaciones integrodiferenciales para
la evolución con T de F y G, cuya solución queda determinada
con los valores de F y G en el instante T = 0, que corresponde
a las distribuciones de velocidad y presión en el instante del
cierre. El mismo resultado se obtiene dando la evolución en
función de los valores en un instante t' posterior, de orden
unidad, ya que una traslación en el tiempo tf de orden unidad
en las condiciones iniciales, no altera la solución, pues se
origina una traslación idéntica a la solución de p ,v y p ,v . ° o o 1 1
El sistema (III. M-) reescrito en las variables carác
ter! st icas:
n = t - x , £ = t + x
queda en la forma:
3(v1+p1)
~ 2
A-a
9(v +p ) v o o 9T
9P
9(v +p ) 3(v +p ) O ' o * o o 9C 9n
o A+a 9P, - - - f I
2 ^o 3 C 2 ^o 3n 4 Vo ' Vo
- I I I . 4 -
3 ( v - p . ) 3 ( v - p ) v ( 9 ( v - p ) 3 ( v - p ) 1 * i _ 1_ 0 * 0 0 1 o o o o
" " 2 3n 9 T
9p
2 1 H
3P.
9n
, A + a "^o , A - a ~ ^ o 1 _ , , + T po TT ~ po TfT " « f v o I v o I
c o n l a s c o n d i c i o n e s
1 2 1 p 1 = - ( 1 - v ) s i v Q > 0 6 p 1 = - s i v o < 0 e n C _= n
v 1 = 0 e n C - n = 2 .
Exigiendo que la contribución a la solución de los
segundos miembros de estas ecuaciones y de las condiciones de
contorno, al cabo de un período, es nula, se obtienen, como se
muestra en el Apéndice, las ecuaciones:
1 F
9
( I I I . 6 )
F 1 . f (1, ^r =- -i- F I F | - j ~ ((F + FT ) | F + F ' | + ( F + G ' ) | F + G f | + ( F - F I ) | F - F I | +
'o + ( F - G » ) | F - G T | ) d £
4 ^ =- ~ G | G | - r ^ r Í (G + G' ) | G + G T | + ( G + F» ) IG + F ' | + ( G - G , ) | G - G ' | + óT z 1 o J
+ ( G - F ' ) | G - F ? I ) d £
donde F y G son funciones de ( X , T ) , mientras que F' y G' son
las mismas funciones evaluadas en ( £ , T ) . El primer término de
los segundos miembros representa el efecto amortiguador de la
entrada y los últimos el efecto de la fricción del conducto.
Estas ecuaciones han de integrarse partiendo de los valores ini_
ciales F (x) y G (x) de F ( X , T ) y G ( X , T ) en T = 0 . o o
Las ecuaciones (III.6) se han obtenido en el supuesto
de movimiento turbulento y con el coeficiente de Darcy-Weisbach,
A = f D/L , constante. Sin embargo, en un cas*o general, el coefi
ciente de fricción X es una función de la rugosidad relativa y
del número de Reynolds, R = Ivlv D/v, que escribiremos en la for
J ' e ' ' o u — ma | v | A = ( | v | ) > 0 y el término de fricción en las eauaciones
-III . 5-
-i
tomará la forma - — CL/D) vip(|v|)9 con lo que las ecuaciones an
teriores quedan modificadas en la forma:
(1
o 3T
+ 2 ' |J: • 16D f(F + F f)^( | F + F ' | ) + ( F + G f )I|J ( |F + G» I ) +
+ (F-F f)lp(|F-F l|) + ( F - G T ) ^ ( | F - G f | ) ) d C
l£ + i G | G i - _ii_ 8T
+ 2 G | G I - 16D ((G + G')^(|G + G' | ) + (G + F')ip(|G + F' |) +
Jn
(III.7)
+ (G-Gf)i|K | G-G ' | ) + (G-F')^( | G-F' | ))d£ .
Tanto (III.6) como (III.7) tienen la propiedad de que
si en un punto x el valor de F (respectivamente G) es nulo ini-
cialmente se mantiene nulo para todo T posterior. Por ello ni
F ni G pueden cambiar su signo inicial en un x dado. Si en dos
puntos x hay inicialmente el mismo valor de F (respectivamente
G) posteriormente los valores de F (respectivamente G) se man
tendrán iguales.
Si F (x) = G (x), correspondiente a una presión nula o o L r
en el conducto al principio del período inicial, posteriormente
se mantiene F =G y el problema (III.7) se reduce a:
3T + 2 F | i I" 8D f(F + FT )\¡)( | F + F' p + CF-FMií^lF-F'pjdS
Análogamente, si G (x) =-F (x), posteriormente G =-F, donde ° ' o o
F ( X , T ) está dada por:
3T 2 ' ' 8D f(F + F' )i|K | F + F T | ) + (F-F f )ip( | F-F 1 | ))d£ .
En el caso de movimiento turbulento, a altos números
de Reynolds, con efectos de rugosidad dominantes ^(|v|) = X | v |
con A constante, mientras que para el movimiento turbulento en
tubos lisos y en un rango amplio de números de Reynolds (entre
-III . 6-
4000 y 10 ), puede utilizarse la formula de Blasius X=0.316R e
- 1 /4 i 3/4 que dé para \¡) un valor \¡) = (v D/v) |v
En el caso laminar (R < 20 00 ) , i/j ( | v | ) =64 V/( V D ) ,
por lo que en lugar de la ecuación (III.6), se obtiene el sis
tema más simple:
H=-iF|F| -£F dT 2 I I 4
3G _ 1 r i r , f P (III.8)
donde f = (L/D) =- , y en el que la variable x juega el papel de c
un parámetro. Este sistema ha de resolverse con las condiciones
iniciales F(x90) = F (x), G(x90) = G (x). La solución de (III.8)
es de la forma:
F = l F e o
-(f/4)T
2 ftF (l-e-f^/4) z o
F = l 2 | + F ( 1. e f T M ,
2 o
si F > 0
si F < 0
(-III. 9)
y análogamente para la G.
Las expresiones (III.9) y sus análogas para la G per
miten describir de un modo simple la amortiguación de las osci
laciones en el caso laminar. Compárese esta solución obtenida
por el método de las escalas múltiples apoyándose en la hipót_e
sis realista de que la caida de presión por fricción sea peque_
ña frente a la del golpe de ariete p v c, esto es, cuando
(L/D) << 1, con la obtenida por otros métodos (Rich (21^) cD
Una vez calculadas F ( X , T ) y G(x,x) pueden utilizar
se las expresiones dadas en el Apéndide A para calcular v (x,t',T)
y p (x,t',T) en función de F y G para cualquier punto (x,t') den
tro de cada período, con T fijo.
-III.7-
En particular, la presión en la sección de la válvu
la (x=l), p (tf) puede calcularse en función de F(x,T) y G(x,T)
mediante las expresiones:
p ( t f ,if) = 2F(l-t ' , T ) para 0 <t f <1
p (t',T) =2G(t'-l,T) para 1 < t' < 2
p ( t T , T ) = - p ( t ' - 2 , T ) para 2 < t < 4 .
(III .10)
Los valores iniciales en T = 0 , F (x) y G (x) de F y o o J
G pueden calcularse partiendo de los valores en el instante del
cierre de la velocidad v y de la presión p en el conducto, o o
utilizando las expresiones (III.5) con tT = 4n y x = 0 , o bien
si se ha calculado p ( t' ) en los instantes posteriores al cierre
pueden utilizarse las expresiones (III.10) con T = 0 para el cál_ culo de F (x) y G (x) .
o o
Se ha obtenido la solución de (III.6) en dos .casos
límites:
:':cierre lento con ley de cierre lineal,
:';cierre instantáneo
y en un caso intermedio en el que la ley de cierre es potencial
con n = 2 y en el que el tiempo de cierre es tal que
t = 2(2a /v ) 1 / 4t £ "1 / 4 .
c o e o
Para el cierre lento, con ley de cierre lineal, ya se
dijo anteriormente que la distribución de presión en el conduc
to, en el instante del cierre, es lineal siendo su valor cero
2 en la sección de entrada (x=0) y p (0)=2e/ó en la sección J r v c
de la válvula (x = 1) y la velocidad nula en todo el conducto
1/2 con tal que 6 = et /a t sea grande frente a e ^ c c o o pues en ca
so contrario la velocidad en el conducto no será nula ni la
-III.8-
la presión lineal con x en el instante del cierre. Así pues,
en el conducto y en el instante del cierre:
F(x) = -G(x) = \ z - \ x . ó c
La ecuación (III.6) se reduce en este caso a:
2 dT1
f l U / f ) i p - ((ty+ty' ) |tp + i|>f |+( . i | ; -^ f ) \ip-i)1 | ) d £ , ( I I I . 1 1 )
2 ef siendo I¡J = ( S /e ) F y T T = ~" T • Nótese que ip representa tam-
C 86 bien p /p ( 0 ) . *v rv
En la Fig. III.1 se ha representado para tres valores
de f la evolución con T , debida a la amortiguación de i/j en el
conducto. Las líneas a trazos corresponden al límite f -*• °°, en
el que el efecto amortiguador de la entrada es despreciable.
Como ilustración de la forma en que se produce el
amortiguamiento de las oscilaciones en un caso más general, en
la Fig. III.2 se ha representado cómo evoluciona con x la osci
lación de presión en la sección x =1 de salida, en un caso de
cierre cuadrático con 6 = 2 . También se ha representado la evo
lución con T del valor máximo, en cada período, de la presión
en la sección de salida, para el mismo valor de 6. En la Fig.
III.3 se representa la evolución con T de las distribuciones
de presión y velocidad en el conducto al .principio de cada pe
ríodo .
En el caso de cierre instantáneo la velocidad en el
conducto y en el instante del cierre es la correspondiente al
régimen estacionario, y la caida de presión en el mismo debida
a la fricción es despreciable frente a pv c si ef << 1. Así pues,
en este caso
F (x) = G (x) = v II . o o e
-III .9-
Posteriormente F y G siguen siendo funciones de T, independien
tes de x, con lo que
f=4(1 + f)F2' F = G = l + v u!f)TM • (III.12)
Aunque los efectos de fricción, atenuando las oscilaciones,
-1 tienen lugar en tiempos del orden de e t , sin embargo la fric
ción también actúa en cada período variando ligeramente las os
cilaciones de la presión. Este efecto de la fricción lo vamos
a ver analizando el caso de cierre instantáneo. De (11.42) con
6 = 0 , tenemos que p(0) = v , luego
p(t) = v 0 < t < 2
p( t) = -v 2 < t < 4 .
c e
La corrección de este valor de la presión durante un período,
se obtendrá sin más que aplicar a la sección de salida "las ecua
ciones escritas en el Apéndice en función de las variables ca
racterísticas e imponer la condición de F = cte ó G = cte, según
que nos movamos en las características n = cte o L, - cte. Con es
to obtenemos que:
Pl = 4 fVet 0 < t < 2 ,
2 1 2 p = 1 + fv - - fv t 2 < t < 4 . Fl e 4 e
con lo que la presión en la sección de salida para el cierre
instantáeno y en tiempos posteriores al cierre, viene dada por:
£ 2 p = v + —— f v t F e 4 e 0 < t < 2 ,
2 1 2 p = _ v + e ( 1 + f v - — f v. t ) 2 < t < 4 , ^ e e 4 e
que de una forma cualitativa puede ser representada para el pe
ríodo :
III.2.- AMORTIGUACIÓN DE LAS OSCILACIONES DE PRESIÓN CON BOQUI
LLA A LA SALIDA
Ya hemos dicho en II.2.2. que cuando en*el extremo de
salida del conducto hay una boquilla tal que la relación ini
cial de áreas a =A (0)/A es del orden de e, la velocidad en o s o
el conducto es también de ese mismo orden, por lo que ej. tiempo
de residencia, que es el tiempo característico de amortiguación
de las oscilaciones de presión que se originan al cerrar la val 2
vula, es de orden e referido al tiempo de ida o vuelta de las
ondas t . También vimos que las sobrepresiones generadas en el
cierre son del orden de pgH, esto es, son del orden de e refer^i das a p v C .
o c Así pues, utilizaremos como variables temporales, pa-
2
ra describir el movimiento: t' = t de orden unidad y T = e t ade
más de x como variable espacial. Supondremos para la velocidad
y presión unos desarrollos en potencias de £ en la forma: 3 *
v(x,t',x) =ev (x,t',T) + e v(x,t',x.) + ... . (III.13)
3 p ( x , t f , T ) = ep ( x , t ' , T ) + £ p ( x , t f , T ) + ...
Las ecuaciones que gobiernan el flujo son las dadas por (1.7) y
- I I I . 1 1 -
( 1 . 9 ) ; i n t r o d u c i e n d o ( I I I . 1 3 ) en e s t a s e c u a c i o n e s y q u e d á n d o
nos con l o s d o s p r i m e r o s t é r m i n o s d e l d e s a r o l l o s e o b t i e n e n l o s
s i s t e m a s :
3 p \ 3 v + -T~- = 0 3 t » 3 x
3v 3p + ~~^ = 0
a t 9x ( n i . 1 4 )
o» Pi = 0 e n x = 0
v 1 = 0 e n x = 1
3 p Q 3 v.
3 t ? 3x
3 P 1
1T - v 8 p l , , * l , 9 p l
1 1 7 - A ( p i + 2 ) á T ^
3 v_ 3p
3 t ' 3x
3v
TT ' v i 3 v
P 3 = 2 í p l + j J " 2 V l
+ a ( p 1 + - ) 2 ) T T - 2 f v l ' v l
s i v„ > 0 1
( I I I . 1 5 )
P 3 = 2 _ ( P 1 + 2 " J s i v 1 < 0 en x = 0
v = 0 en x = 1 ,
habiendo tomado como referencia de las presiones, el valor que
ésta tiene en el régimen estacionario para el cierre, de modo
% 1 que P l = P l --.
Si reescribimos la ecuación (III.15), como hicimos
en el caso anterior, en las variables características r| , ¿; , ob_
tenemos el sistema:
- I I I . 1 2 -
°u 3 ( V 3 + P 3 } _ 1 8 ( v l + P i ) v !
" 2
' 3 ( v 1 + p 1 ) 9 ( v 1 + p 1 ) >
3C 9 T 3C 3n o»
A - a , ^ l , p l A + a - ^ ^ 1 . 3 p l l c , ^ _ ( p i + 2 ) - 3 l 2 - ( p l + 7 ) T f T " I T f v l l v l
<\j
3 ( v 3 - p 3 ) 1 SCv^p^) V i
9C 9 x
a C v ^ ) 3 ( v f p ^
9C 3n
^ A + a , ^ ^ 1 , p l A-a ,^ 1 , 9 p l 1 _ i + — ( P 1 + 2 } TT+ ~ ( P 1 + 2 } — ~ 4 f V l I V l
a r ^ _,_ l^ 2 1 2 3 2 ^ 1 2 2 1 s i v > 0
1
( I I I . 1 6 )
a r^ 3 2
v 3 = 0
i p i + V S I
e n n = 5 - 2 .
v , < 0 1
e n n = c
E l s i s t e m a ( 1 1 1 . 1 4 ) n o s c o n d u c e , t a m b i é n en e s t e c a s o ,
a l a e c u a c i ó n de l a s o n d a s y s u s o l u c i ó n g e n e r a l v i e n e d a d a p o r :
V 1 =f(t'-X,T) +g(t'+X,T)
o» (III .17)
P l = f(t f-X,T) + g(t T+X,T)
El problema así enunciado es formalmente análogo al planteado
en el caso anterior y como en él las funciones f y g se determi
nan a partir de sus valores F y G en t' = 4n siendo n un número
entero, de forma que F y G quedan definidas en la forma F ( X , T ) =
=f(-x,i), G ( X , T ) -g(x,x) para 0 < x < l .
La relación de v y p con F y G es análoga a la dada
en el Apéndice A para v y p en elcaso en que a % 1, de modo ^ c o o - o
que las distribuciones por zonas en el plano x,t' son válidas
para este caso. Así mismo la solución v y p debe ser periódica
y la exigencia de periodicidad nos lleva a una solución de
(III.16) análoga a la obtenida en (III.6). Es de notar que en
este caso la escala larga, y por tanto, el tiempo en el que cuen
tan los efectos de la fricción es T = £ t.
-III .13
Fig.III.l.-En la figura se muestra el efecto amortiguadoren la
distribución de presiones al principio de cada p e r í o
do para cierres lentos con Ley de cierre lineal,para
distintos valores del parámetro de fricción.
-III .14-
P max 1
L
(b)
ct/L
n = 2
6 = 2
Fig . 111.2.-(a) Evolución con el tiempo de residencia , pro efecto de la fricción,de la presión máxima en cada período en la s e c c i o n d e salida para valores típicos de n y 6 (b) Forma típica de la oscilación de la presión duran te un período desde el instante del cierre hasta el instante v t/L=.5.
e
-II1.15-
-v/v
.5..
.25..
p/pv c e
.5--
2 5"
v t/L=0
.5 x/L
Fig.III.3.- Evolución con el tiempo por efecto del amortiguamien
to por fricción de las distribuciones de velocidad y
presión en el conducto al principio de cada período.
CAPITULO IV
ANÁLISIS DE LA APERTURA DE VÁLVULAS
1
-IV. 1-
IV.1.- INTRODUCCIÓN
El movimiento del fluido durante la apertura de val
vulas puede describirse en forma simplificada, cuando el tiem
po de apertura es grande, por ejemplo, del orden del tiempo
de residencia, frente al tiempo de ida o vuelta de las ondas.
En este caso aparecen dos etapas bien diferenciadas.
En la primera etapa, cuya duración es del orden de
t , la velocidad apenas crece desde su valor inicial cero; sin o
embargo se generan ondas de presión de amplitud comparable, en
el caso de que la apertura sea lineal, a las variaciones de pre
sión que aparecen en régimen estacionario.
Durante la segunda etapa, que dura un tiempo del or
den del de residencia, t , la velocidad crece en la forma que
determinaría la teoría incompresible, hasta su valor estaciona
rio, mientras que la presión tiene oscilaciones, con período
2t , superpuestas a la presión dada por la solución incompresi
ble, que se han generado en la primera etapa.
Conviene señalar que las sobrepres iones o depresio
nes generadas durante la apertura serán pequeñas, del orden de
2 p v , frente a los valores, del orden de p v c, que aparecen Ko c ' o c n r
durante el cierre.
En lo que sigue, nos ocuparemos en primer lugar de
la segunda etapa, que se analizará utilizando la técnica de es
calas múltiples (6, 1.4). En la Sección IV_.l se exponen los re
sultados de la primera aproximación para la velocidad, que coin
cide con lo que daría la teoría incompresible. Las oscilaciones
en la presión y velocidad, consecuencia de los efectos de compre
sibilidad en esta segunda etapa, se tratan en IV.2. Finalmente,
el análisis de la primera etapa, necesario para generar las con
diciones iniciales de la segunda etapa, se expone en IV.3
-IV.2-
IV.2.- RESPUESTA CASI INCOMPRESIBLE EN LA APERTURA
Como ya hemos apuntado anteriormente, la velocidad
del líquido en el conducto durante la apertura varía desde
cero a v y se supondrá que el tiempo en el que tiene lugar la
apertura es del orden del tiempo característico de residen
cia en el conducto.
Así pues podemos suponer para la velocidad y presión
unos desarrollos en potencias de e en la forma:
V = V ( x , t , T ) + £ v ( x , t , T ) + . . .
p = ep 1(x 5t,T)+e p (x,t,T) + ... , (IV.1)
donde t es el tiempo referido a t y representa la escala corta
y x el tiempo referido al tiempo de residencia t y representa
la escala larga. La relación entre estos tiempos viene dada
por x = et. El tiempo de apertura tiene lugar en esta escala lar
ga y también en ésta intervienen, durante la apertura, los efec_
tos de la fricción.
Las ecuaciones que gobiernan el movimiento son las
dadas por (I.7)-(I.9). Estas ecuaciones deben ser integradas
con la condición inicial dada por (II.7c).
Al llevar el desarrollo (IV.1) a las ecuaciones (1.7)-
(1.9) se obtiene en primera aproximación:-
3v = 0 9x
3v o = 0
lo que nos indica que v es sólo función de la variable T; y en
segunda aproximación obtenemos el sistema:
-IV.3-
3P- 3v1
+ -rr-=- = O at 9x
3v1 3p1
+
(IV.2)
o 1 ^ 2 dT 2 o at ax
con las condiciones de contorno
1 2 p„ =— (1-v ) anticipando que v > 0 , en x = 0 ^1 2 o 1 ^ o ( IV.3a)
y en x = 1 px = -~ en el supuesto de que
1 I v "a" pasa de cero a uno en (IV.3b) a ( T ) ' tiempos T del orden
unidad.
6 p = 0 si la apertura se realiza de forma (IV.3c) ins tantánea.
La velocidad v ( T ) se determina a partir del sistema o ^
anterior, pues al ser v función únicamente de T ,*' una solución
de (IV.2) para la presión es:
Pi = d Vo 1 ^ 2 ] 1 , , 2, ^ , ^ , _ _ + _ f V o X + _ ( 1 _ V Q ) + P i ( X s t s T ) , (IV.4)
% siendo p (x,t,i) la parte periódica de p..
Para que el desarrollo (IV.1) sea uniformemente váli
do, sus términos deben ser periódicos en la escala corta t,
pues de no ser así, al cabo de un tiempo del orden de de la es_
cala larga el desarrollo divergería, ya que los términos corree
tores de la velocidad se harían tan importantes como v . El pe-^ o c
ríodo resultante para las oscilaciones en_ la escala corta es
durante la apertura t = 2. Llevando el valor de p. dado por
(IV.4) al sistema (IV.2) y (IV.3) y exigiendo la periodicidad
de p„ y v, se obtiene para;determinar v la ecuación dv
o dx 2 4Í-Í-V-) V ( IV. 5)
Para resolver esta ecuación se necesita conocer la ley de aper
tura a(x). Una vez obtenida v ( T ) puede calcularse, por ejem-
-IV.4-
plo, la presión en la sección de salida
1-a (g) 2 ( IV.6)
Reescribiremos la ecuación (IV.5) utilizando o = t/t
como variable independiente y dando la ley de apertura en la
forma a =a a(a), siendo a el valor final de la relación de o o
áreas. Así se obtiene la ecuación:
j » ^ 2 , . , 2. , 2 dv ' _ a a -(l+4> a ) v ' da
(IV.7)
donde ó =T /a , 6 = fa y v' =v /a . a a o o J o o
Cuando a > 1 , esto es, cuando la apertura ya se ha
efectuado, a = 1 y la ecuación (IV.7) se reduce a
dv da =-f-li-U + *)v
c u v a s o l u c i ó n g e n e r a l e s
/ l + (j> L _ t h U1H {-^o+ C) + d> l
( I V . 8 )
estando C determinado por el valor de v' en o = 1. Para o > 1, la so
brepresión en la sección de salida sería nula si a = 1. o
Para que v1 represente la primera aproximación de la
velocidad durante toda la apertura, debe satisfacer la condi
ción vf(0) =0. Aunque, acpesar del carácter singular de la ecua
ción (IV.7), es posible encontrar una solución de ella con la
condición v'(0) = 0, esta solución no representa bien la veloci_
dad para O << 1 o t 1, pues como se verá más adelante, en tan
to que a(a) sea del orden de e y el tiempo que tarda en alcan
zar ese valor sea del orden de t , la velocidad en primera
o/ y
aproximación, será función no sólo de t sino también de x.
-IV:. 5-
Cuando la apertura se efectúa de forma rápida, esto
es, cuando 6 << 1, la velocidad del fluido apenas varía mien-el
tras dura la apertura. La variación de la velocidad tiene lugar
en la postapertura en la que la variable temporal es ahora T;
la velocidad viene regida en este caso por:
v' =_J_th/l + * T
/ 1 + Cf) 2a (IV.8')
que es la forma límite de CIV.8).
Para poder obtener la solución (numérica) de (IV. 7)
se debe conocer su comportamiento analítico para valores o << 1.
Para estos valores de a las ecuaciones (IV.6) y ClV.7) toman,
en el supuesto de que (J) sea de orden unidad, la forma simplifi
cada ,
,2 A t ó 2 , 2 dv T _ __a_ a -v ' da " 2 2 a
v 1 o 2 * 2a
Si, como ocurrirá frecuentemente, la ley de apertura es poten
cial, a =Aa con A del orden de la unidad, para o << 1, la ecua
ción para v' puede escribirse
dv d° 2A2
<5 .2 2n .2 a A a -vT
2n (IV. 7a)
cuya solución, con la condición v'(0) = 0 , tiene un comportamien
to para a <<1 que depende del valor de n." Para n = 1 y o << 1, vf
puede escribirse
v ' = v /a = m o , o o ' (IV.7b)
con m + 1 - 1 .
-IV. 6-
Para n = 2 y a << 1 ,
v v ' = — = Aa - 2A
(IV.7bf)
Las expresiones (. IV.7b-7bT) representan la solución de (IV.7)
para a < < 1 y n = 1 y 2 y pueden utilizarse a la hora de obtener
la solución numérica de (IV. 7) .
Los valores asociados de p para o << 1, son:
y
1 " 2 2A¿
n = 1 (IV.7c)
Pl ~~2 l 1 - — 0 4_A
a si n = 2 . (IV.7d)
Obsérvese que cuando n = l la presión cae bruscamente del va_
2 2 ^ lor 1/2 al valor m ./2.A , generándose unas ondas de expansión
que dan origen a fluctuaciones que se superponen a la solución
de (IV.7). En cambio, cuando n = 2, la presión varía gradual
mente desde el valor inicial 1/2 por lo que, en primera apro
ximación, no se generarán ondas de presión en tanto que la aper
tura se efectúe en un tiempo apreciablemente mayor que el de
ida o vuelta de las ondas; así pues, en este caso, n = 2, el flu
jo durante la apertura estará bien representado por la solución
de las ecuaciones (IV.7) como si el flujo fuese incompresi
ble .
En las Figs. (IV.l) - (IV.2) están representadas, en
función de o la velocidad en el conducto y'la presión en la
sección de salida para diversos valores de los parámetros 6 y a
0 con leyes de apertura potenciales durante todo el proceso de
-IV.7-
apertura. En las figuras que presentan la presión puede verse
lo que se dijo anteriormente respecto a la caida brusca de la
presión para ¡n =1.
IV.3.- O S C I L A C I O N E S POR C O M P R E S I B I L I D A D EN LA APERTU R A
Vamos a analizar a continuación los efectos de compre
sibilidad en la apertura. Estos efectos de compresibilidad se
muestran como una corrección del flujo incompresible analizado
anteriormente y son fundamentales en la primera etapa de la
apertura cuando en un tiempo t, del orden de t , la relación
de áreas alcanza un valor del orden de e.
Comenzaremos por el primer caso. Si en las ecuacio
nes (IV.2) y (IV.3) sustituímos el valor de la presión p dado
por (IV.4-), obtenemos para la segunda aproximación en la velo
cidad y presión el sistema:
%
= o
con
9v1 3p
p „ =0 en x = Q
(IV.9)
P, = o en x = 1
que nos proporciona las oscilaciones de presión y velocidad.
La solución general de este sistema viene dada por dos funcio
nes de (. x , t, T ) en la forma:
V 1 = f( t-X,T ) + g( t + X,T)
p. = f(t-X,T) -g(t+X,T)
(IV.10)
-IV.8-
p y v deben de ser periódicas en la escala corta, pues de
-1 lo contrario, cuando t se hace del orden de e , estas corree
ciones pueden hacerse tan importantes como los términos de la
primera aproximación, como ya se dijo anteriormente. Así pues,
imponiendo la condición de que la solución (IV.10) es períodi
ca, con período 2 en t, la distribución de velocidades y pre
sión al final de cada período pueden expresarse como funciones
de F y G que son los valores de f y g en t = 2n, de forma que
F y G dependen solo de ( X , T ) :
F ( X , T ) = f(2n-x,r)
(IV.11) G ( X , T ) = g(2n+x,x) .
Dentro de cada período existen unas distribuciones de veloci
dad y presión, por zonas, que pueden describirse en función de
los valores de F y G. Estas distribuciones están dadas en el
Apéndice A.
Para determinar F y G, y por tanto la amortiguación
de las oscilaciones ( IV . 9) con el tiempo, es necesario acudir
a la siguiente aproximación del desarrollo (IV.1), lo que pro
porciona, teniendo en cuenta (IV. 4 ) , el sistema:
5p2 9v 8p 3p
+ —-—y + v 3t dx o 3x 3T O
dv o 1 _ 2 d -T— + —fv +x-r-dx 2 o di
3p2 9V2
+ 9 vl 9 V1
dx ' 3t ="Vo31¡ 3T"" f Vo Vl'
dv o 1 _ 2 . -3 + — f V + V , di 2 o o dx
dv
( IV. 12)
con las condiciones de contorno:
x = 0 P 2
= " V o V l
y va
Po = °
- 1
si
en
o 1 si O < 1
O > 1 en x = 1
(IV.13a)
(IV.13b)
(IV.13c)
exigiendo que la solución p ,v , sea periódica en t de período 2
-IV.9-
Teniendo en cuenta que
dv o 1 ,. 2 1 + — f v =
dT 2 o 2 1 -
2 v -\
o
72J
podemos e l i m i n a r en (IV.12) los términos que dependen solo de T, escribiendo
2
V2 = V o
r v
l
d v A o i . ° I •_ x di
o
v2 J %
+ V 2 ( x 9 t , T ) ,
con lo que las ecuaciones (IV.12) se pueden escribir en la forma:
+ — — =-v 9t 9x o 9x 9T
3v^ 9p^ 9v„ 9v 2 ^2 1 1 , . + —-— = -v — K— - f v. v 9t 9x o 9x 9x o 1
( IV . 14 )
con = - V V 2 o 1
P2 = ( V ^
en x = 0
v v* o 1 SÍ O < 1
( IV . 15a)
( IV.15b)
p = 0 si a > 1 en x = 1 . ( IV.15c)
Escribiremos estas ecuaciones utilizando las variables caracte
rísticas n = t - x, £ = t + x, con lo que se obtiene:
9(v2 + p 2) v(
H
3 ^ + ) 3(v 1 + p 1)l 1 3(v 1 + p 1 )
3C 9n 9T 1 .
" 2 f V o V l
(IV.16 )
3(v2-p2) v o f3(v 1-^ 1) 3(v 1-p 1) 1 1 9 ( v 1 ^ 1 ) 1
9n 2 3C 9n 9T - — "Fv v 2 o 1
P2 = -V0V! en S =
P2 = - 1 o 1 si a < 1
p = 0 si a > 1 en C - n = 2 .
(IV. 17a)
(IV.17b)
(IV.17c)
El exigir que v y p_ sean periódicas en t, de período 2, hace
que la contribución a la solución de los segundos miembros de
-IV.10-
estas ecuaciones así como la de las condiciones de contorno al
cabo de un período, sea nula. Operando para la apertura, de
forma análoga a como se muestra en el Apéndice para el cierre,
se obtiene el sistema:
3F(x,x) 3x
3G(x,x) 3x
= -v ^
va
1 T
+ 2 F(x,T)--f VQ V l
(IV.18)
= -Vo|-T + l] G ( x » T ) 4 f VoVl a ;
s iendo v (T ) = ( F ( £ , T ) +G(^,T))d^ la velocidad media espacial
al principio de cada período.
Dado que las funciones v y a aparecen como funciones
de a, referiremos el tiempo x al tiempo de apertura x , con lo 3.
que las ecuaciones (IV.18) quedan en la forma:
3F(x,a) a 2 + éa (a) . _, . 1 * x t ~ 3a = - — 2f , v^F(x,a)--6acf)v' v±
a ( a) (IV.19)
3G(x,a) a 2 + <ftq (o) , , . 1 , , — —T5 = " — 2, , V G ( x , a ) - ¥ i » V v
a (a)
Sumando y restando estas ecuaciones se obtiene las ecuaciones
que nos proporcionan la evolución con o de las perturbaciones
de la presión y velocidad, p (x,a), v (x,a), y el valor medio
espacial de la perturbación de la velocidad v (x,a), evaluadas
al principio de cada período:
1 ~ l + (f>q (a) 3a a 2, ,
a (a) v' v (IV.20a)
9 p l = _ ^ a 2 + <$>g2(o) , % 3a
3a
a (a) v p.
a 2 + cbot (a) . a , . — ___ 2_ v
T v — é v ' v. 2 2, . 1 2 y 1
a (a)
(IV.20b)
(IV.20c)
-IV.11-
Así pues, para describir la evolución de las distribuciones de
velocidad y presión, pueden utilizarse las ecuaciones (IV. 19)
junto con (IV.7) y (IV.20a), 6 bien las ecuaciones (IV.20) jun
to con (IV.7), tanto durante la apertura, O < 1, como después
de la apertura, o > 1, cuando a = 1 . Estas ecuaciones, en las que
x juega el papel de un parámetro, han de complementarse con unas
condiciones iniciales adecuadas a su carácter singular en 0=0.
Como ejemplo, daremos con detalle el caso en que para
O <<1 la ley de apertura pueda aproximarse por una ley lineal
a(o) = Aa con A de orden unidad. Cuando o << 1, el término de
fricción, supuesto (J) de orden unidad, no interviene en las ecua
clones (IV.19) y, de acuerdo con (IV.7b), éstas quedan:
do V F . 2 O
9_G 9a
¿ a m G
A2 °
cuya solución general puede escribirse en la forma
2
F = K1(x) O
G = K2(x) o
-6 m/A a
-ó m/A a
(IV.21)
y que representan también la forma de la solución de (IV.19)
para o << 1 .
Las condiciones iniciales de (IV.20) se obtienen di
rectamente de (IV.21), resultando:
2
\ = f (K1(x) + K2(x)) d X O
-ó m/A a (IV.22a)
-IV.12
P l = (K1(x) - K2(x)] O
v = (K1(x) + K2(x)] o
-ó m/A a
-6 m/A a
(IV.22b)
( IV. 22c)
Las funciones K.(x) y K_(x) que aparecen en estas ecuaciones
como "constantes" de integración han de obtenerse con la condi
ción de acoplamiento con la solución para la primera etapa que
se analiza a continuación.
La evaluación de la forma inicial de la solución pa
ra los casos en que para a << 1 la ley de apertura es potencial,
pero no linead, se hace análogamente.
En el caso particular de que 6 <<1, las- variaciones de
— a,
v1, v, v y p durante la apertura son pequeñas; las variaci*
nes importantes tienen lugar en la postapertura cuando a = 1 y
dependen de la variable x. En este caso límite 5 << 1, v' vie-a ' -
ne dada por (IV.8') y las ecuaciones (IV.20) toman la forma:
3 ln v„
.o -
3T ( 1 + <J>)
o
- _ 1 - v »
9 T 2a o dv
1 3T = - 2 ¡ r ( ( 2 + ( f > ) v i + <J> v i ) v
q u e j u n t o c o n ( I V . 8 T ) pueden i n t eg ra r se dando:
Vl ~ v i c / X^ ^ c h T ' ^
P l = p i o ( x ) < c h T ' )
V l = v i o ( x ) + v i o ( x ) t , ? r ( 2 + <|>?) . ( c h T ' ) - 1
^
( IV . 2 2 ' a )
( I V . 2 2 ' b )
( c h T ' ) ( í > ' ( I V . 2 2 ' c )
J h a b i e n d o l l a m a d o T f = T / l + (f)/2a y .<f> '= - ( 2 + cJ) ) / ( l + (j)) .
Hay que h a c e r n o t a r que l a s e x p r e s i o n e s ( I V . 2 0 ' ) e s t á n o b t e n i
das p a r a e l c a s o en que ó =0, y que p o r t a n t o , aunque s e a a d e l a n t a n d o re su l_
a tados que se obtendrán más adelante, v y p (x) son nulas para 6 =0 yaque
las oscilaciones de la velocidad para la apertura instantánea resulta ser en
- IV . 1 3 -
forma de "diente de sierra" cuya media es nula y la presión cae a cero ins
tantáneamente. No obstante, en cuanto ó no sea nula, aunque sea muy peque
a —
— <\>
ña, v (x) y p (x) ya no serán nulas, pues las oscilaciones de la veloci
dad ya no serán exactamente en forma de "diente de sierra" y la velocidad crece "más lenta" que con 6 = 0 .
IV,.4.-PRIMERA ETAPA, DE LA APERTURA
Nos ocuparemos finalmente de la primera etapa de la
apertura, en la cual para t 1 , podemos tener variaciones espa
ciales de velocidad y presión comparables a las temporales. Pa
ra describir el movimiento en esta etapa, no utilizaremos esca
las múltiples. Si durante esta etapa el área de salida es a % £ .
las velocidades resultantes serán del orden de e y también se
rán de este mismo orden las presiones que se conservarán duran
te la apertura; nos ocuparemos a continuación de este caso lí
mite distinguido. Así pues, escribiremos para t ^ l el desarro
llo en potencias de £, para la velocidad y presión en la forma:
2 v = £v (x,t) + £ v ( x , t ) + ...
(IV.21) 2
p =£p(x,t) + £ p ( x , t) + ...
Llevando estos desarrollos a las ecuaciones (I.7)-(I.9) y que
dándonos con el primer término del desarrollo obtenemos las
ecuaciones siguientes:
+ - -i- = 0 3t 3x
9v1 3p + —-L = o
(IV. 22)
9t 3x
1 pl = 2" e n X =
= 2 2 1
p = 7T v en x = 1 ,
2a
donde a = a ot(a) suponemos que es de orden £ para todo t 1 . La
condición inicial en t = 0 es p1 = 1/2, v. = 0. La solución gene-
-IV.14-
ral de este sistema viene dada por:
p 1 = f(t-x+1) - g(t+x-l)
v1 = f(t-x + 1) + gCt + x-1) .
De la condición de contorno en x = 0 obtenemos:
1 1 f ( t + 1) -g(t-l) =2- 9 9
f ("t) = j + g( t-2) para todot. (IV.23a)
De las condiciones iniciales:
~ = f(1-x) - g(x-l)
0 = f(1-x) + g(x-l) ,
de donde se obtiene aue
( t) =- - para -2 < t < 0 , ( IV . 23b)
y de la condición en x = 1 , junto con (IV.23a) obtenemos la ecua
ción en diferencias:
2 |+g(t-2)-g(t) = ~
2a | + g(t-2)+g(t) | 2. (IV.24a)
Esta ecuación, una vez conocida la ley de apertura a(cr), junto
con (IV.23b) nos determina g(t).
Si suponemos para la ley de apertura en los instantes
iniciales una forma potencial a (Cf) = A. a , la ecuación (IV. 24a)
toma la forma:
! + g(.t-2)-g(.t) = | ( | } 2 n [|+ g(t-2)+g(t)|2, (IV.24b)
, , r2n 2 n . 2 . 2 2 n - 2 , • j j donde o =T /a A £ ha de ser de orden unidad, para que
a o ^ n
a^£ cuando t ^ 1 . Aquí i es el tiempo de apertura referido al ^ a r
tiempo de residencia. Así pues, si la ley de apertura de la
válvula es lineal, n=l, cuando el tiempo de apertura es del or_
den del tiempo de residencia, se generan en los primeros instan
tes de la apertura (durante la ida y vuelta de las ondas) osci
-IV.15-
laciones de presión de intensidad comparable a las variaciones
de presión posteriores, que persisten durante toda la apertura;
estas oscilaciones tienen intensidad pequeña cuando ó << 1. Para
una ley de apertura cuadrática, n = 2, por ser ó 1 se obtiene
como consecuencia que las oscilaciones de presión serán impor- -
1/2 tantes si el tiempo de apertura es del orden de e veces el
tiempo de residencia.
La ecuación (IV.24-b) ha de resolverse numéricamente pa
ra valores dados del parámetro 6 y del exponente n. Nos ocupa
remos especialmente del comportamiento de la solución para t>>l,
pues nos es necesario conocer este comportamiento-como condi
ción inicial a la hora de describir el movimiento con la solu
ción de las ecuaciones (IV.20). Como ejemplo trataremos el ca
so lineal n = 1.
Como parte de la solución de (IV.23b) y (IV.24a) nos
interesa su comportamiento asintotico para t >> 1. Es de esperar,
si tenemos en cuenta los resultados del análisis de la segunda
etapa que, para t >> 1, esta solución sea casi periódica: inclu
yendo una parte no periódica asociada al comportamiento incom
presible y otra casi periódica de período 2 y amplitud lentamen
te variable con t.
La solución asintótica de (IV.23b) y (IV.24a) para
t >> 1 describirá bien la solución del problema para los tiem
pos intermedios de acoplamiento t << t << t , para los cuales
r r o r
los efectos de fricción no intervienen. Para la descripción
asintótica de g(t) para t >> 1, se utilizará el método de las es
calas múltiples, escribiendo g(t) como función de dos variables
temporales: t basada en la escala corta t , y t = t/t , donde
-IV.16-
t1 >> 1 es la escala temporal larga.
Daremos en detalle el análisis para el caso en que
en esta etapa la ley de apertura es lineal. Es fácil mostrar
que g(t) puede expresarse para t >>1 en la forma:
1 o,. -a -a g = 31Ct1t + l) - - + (t1t) y(t) + o(.t1u) ,
cuyo primer término corresponde a la teoría incompresible y
y(t) es una función periódica de período 2 en la escala corta.
En (IV.24b) interviene no sólo g(t) sino también g(t-2) que vie
ne dada por:
8.2 = 61(t1%-D- i +( t lb-«(l +^) Y_(t). t l t
2 2 2 2 2 2 Para n = 1, 6 = x /a A = ó /A y de la ecuación en diferencias
a o a
( IV.24b) obtenemos:
+ 1 - 1
2Ma a -
q u e d a n d o p a r a g ( t ) l a e x p r e s i ó n
= B j í t ^ + D - i t ( t ^ ) - 2 0 ^ / A 2
y ( t ) . ( I V . 2 6 )
Una vez obtenida g(t) numéricamente, de la ecuación en diferen
cias (IV.24b), y(t) se obtiene evaluando para t >> 1 la expre
sión:
1 i 2 3l 6a/A 2
g ( t ) + £ - B1(t + D I t 1 a / A
que debe tender a la función periódica y(t).
De acuerdo con el desarrollo supuesto para la veloci-
-IV.17-
dad en la primera etapa (IV.21), aquélla en la sección de sali
da vendrá dada por:
v = e - + g(t-2) + g(t) ,
y haciendo uso de las expresiones asintóticas obtenidas, se pue
de reescribir en las variables de la segunda etapa en la forma:
v = e
2 2 . -23,6 /A
2 3 ^ 1 + 2 ( t 1 t ) X a y ( t )
= a o ó
-<5 m/A 2
+ 1 - 1 o + e 2 l ^ j
- ó m/A y ( t ) O a , ( I I I . 2 7 )
donde m está dada por (IV.7b).
Lia expresión (IV.27) tiene dos términos: el primero
coincide con el valor para o << 1 de la primera aproximación (in
compresible) de la velocidad (IV.7b); el segundo término debe
acoplar con la segunda aproximación del desarrollo (IV.1) y,
por lo tanto, debe proporcionar las condiciones iniciales de
las ecuaciones (IV.19) que determinan la evolución con o de las
pseudo amplitudes F y G o valores que caracterizan p y v al
principio de cada período, que para el caso de apertura lineal
que estamos analizando son las "constantes" K (x) y K (x) de
las ecuaciones (IV.21).
Sólo resta pasar de la evolución casi periódica de v
en la sección de salida a los valores de F(x,a) y G(x,o) antes
mencionados. La relación entre la velocidad en la sección de sa
lida, v.(l,t) y los valores de F y G al principio de cada perío_
do, viene dada por:
F(x,a) = i v (l9t) para 0 < t < 1
G(x,a) = - v ( l , t ) para. 1 < t < 2 .
-IV.18-
En la sección de salida se verifica la relación entre x y t
1 - x = t; luego, de acuerdo con (IV.21):
2
1 [ E j
-ó m/A Tal
a
K2(x) = ^^
-ó m/A a
Y(l-x)
y(x+l)
o x i.
Una vez conocidas K.(x) y K 9(x), se conocen las condiciones ini_
ciales de (IV.19) y de (IV.20) y, por lo tanto, pueden ser i n -
tegradas y conocerse asi la evolución de v y p con a.
Obsérvese que K y K vienen afectadas por el factor ó m/A2
e , por lo que durante la segunda etapa las oscilaciones
de presión y velocidad no son tan importantes como se había pre
visto, a menos que el tiempo característico de apertura sea cor
2 to en cuyo caso ó m/A <<1.
J a . *
En el caso de apertura casi instantánea, correspon
diente a ó <<1, la expresión (IV.26) tiende a:
a ^
(t) = _2|4 +
4A
r 1 - l n t
2A2 y(t) , (IV.28a)
que en el caso límite de apertura instantánea (ó =0) se redu-a
ce a :
g(t) =±- + Y(.t) . (IV. 28b )
De (IV.2M-b), para apertura de la válvula lineal y ó =0, se ob-a
1 tiene que g(t) =—+g(t-2) y de la condición (IV.23) se deduce
fácilmente que para t >> 1, g(.t) puede ponerse como superposi
ción de una recta y de una función en diente de sierra:
-IV.19-
Otro caso límite es el de la apertura lenta (6 >>1). 3.
En este caso la expresión queda en la forma:
g(t) = -^ (l-i)( t + l) - i + t( 1 - 6 )
Y(t) (IV. 29)
que nos dice que las oscilaciones se han amortiguado en la pri
mera etapa lo suficiente como para que no haya oscilaciones en
la segunda etapa.
Hemos representado en la Fig. (IV.3a) la solución nu
mérica de la ecuación (IV.24b) para n = 1 y ó /A de orden unidad. 3.
En ella podemos ver verificado lo que adelantábamos: que g(t)
se compone de una parte lineal y otra periódica amortiguada de
período 2. Si a g(t) le quitamos la parte lineal nos quedará
la parte periódica amortiguada representada en la figura (IV.3b)
y la función periódica Y(t) obtenida de (IV.27) se representa
en la Fig. (IV.3c). A partir de esta función se obtienen K (x)
y K 2(x).
La velocidad real en la sección "de salida, que se ob
tiene directamente de la ecuación (IV.24b) se muestra en las
Figs. (IV.M-b) y (IV. 5b), para dos valores del parámetro ó /A cL
que caracteriza la forma en cómo se realiza la apertura. Los va
lores elegidos para este parámetro son ó /A=%1, que caracteriza a * -i
una apertura muy rápida y 6 /A =1. Se observa en estas figuras
que la velocidad consta de una parte lineal, que corresponde a
la velocidad del régimen incompresible, y otra oscilatoria amor
-IV.20-
tiguada, representada en la parte (a) de estas figuras. Cuando
ó /A = 0.1 la amortiguación es muy lenta con t, según se despren ó 2
de de (IV.28a) ya que la variación de la amplitud es — ln t y es
2A
necesario esperar a valores de t muy grandes para tener una va
riación apreciable en la amplitud de la oscilación de la veloci
dad. La forma; de esta oscilación se asemeja a la de "diente de
sierra" que es la forma de la oscilación de la velocidad cuando
la apertura se realiza de forma instantánea (6 = 0 ) . Para <5, /A=l ^ a a
hemos representado también en la Fig. (IV.6a), con línea a tra
zos, la envolvente de la oscilación calculada a partir de la ex
presión asintótica (IV.26), ya que
v = | + g(.t-2) + g(t) = 2 3at + 2t"a y(t) ,
de donde se obtiene
v - 23xt = 2t a y(t) .
Para poder comparar la amortiguación de la velocidad según sea
la forma en que se realice la apertura, en la fig. (IV.6) se
representa su parte oscilatoria en el caso de apertura rápida,
ó /A = 0.1, en dos casos en que 5 /A es del orden de la unidad y a a
finalmente, en un caso correspondiente a una apertura lenta
(5 /A = 3) . Vemos que en este último caso la oscilación de la ve a ^ —
locidad se amortigua rápidamente ya en la primera etapa de modo
que en la segunda etapa, prácticamente no existen oscilaciones.
En la primera etapa, ya hemos visto que la presión
viene dada por:
p =f(t-x+l) -g(t+x-l) .
En una sección cualquiera del conducto x = b , con 0 < b < 1 , ven
drá dada por
-IV.21-
p (b9t)=f(t+l-b)-g(t-l+b)
y de la condición (IV.23a),podremos expresar la presión en la sec
ción x=b en la forma
p (b9t)=l/2 + g t-(l+b) -g t-(l-b)
En las figs.(IV.7) y (IV.8) presentamos la presión en la sec
ción de salida (b=l) y en la sección b=0.5 respectivamente,para los
valores del parámetro ó /A correspondinetes a una apertura rápida a
(ó /A =.l),una apertura lenta (ó /A =3) y a dos intermedias, a a
Para valores de t>>l,la expresión asítótica de g(t) viene
dada por (IV.25) y,por tanto,la presión en la sección fijada puede
expresarse como
P1=l/2 - 2b31 + t"a +
t 1+a
+. . . .
ba/t 1+a
Y [t-(l + b)J -Y Ft-(l-b)]
Y Ft-(l+b)J +Y[t-(l-b)J
En la sección de salida ,b = 1 , al ser Y("t) una función periódica de
período 2,1a parte oscilatoria amortiguada es:
2a Y(t) .
1+a
La amortiguación, puede verse,es muy fuerte de forma que práctica
mente no existen oscilaciones en la segunda etapa, alcanzándose en
2 2 2 seguida el valor 1/2 -2$ =2(3„<5 /A correspondiente a la solución de
l i a
la aproximación incompresible para t >>1 dada por (IV.7c).
En otras secciones del conducto,las oscilaciones decaen co-
-a .» mo t .Por ejemplo en b=.5,la presión para t >>1 vendrá dada por
P 1 = I / 2 - e 1 + t ' •a Y(t-1.5)-Y(t- .5) + . . . .
que señala cómo la presión tiene una parte oscilatoria caracteriza
da por la función periódica de período 2 , Y(t-1.5)-Y(t-.5),
-IV.22-
que puede obtenerse a partir de la y(t) representada en la Fig.
— a (IV.4c), con amplitud que decae como t . La envolvente de esta
oscilación, para el caso 6 /A = 1 , está representada con línea cL
de trazos en la Fig. (IV.8). Para el valor ó /A = 0.1 se obtie-EL
ne una onda casi cuadrada como era de esperar, ya que este va
lor del parámetro corresponde a una apertura muy rápida. En el
caso de apertura lenta, a puede expresarse como a - 6-1 + 7-?- + . . .
de modo que la amortiguación es muy fuerte y la presión cae rá
pidamente al valor correspondiente a la solución incompresible
para O << 1; la evolución posterior hacia el valor correspondí en
te al régimen estacionario, una vez abierta totalmente la válvu
la, viene gobernada por la solución incompresible.
-IV. 23-
Fig.IV.l.- (a,b,c) Evolución según la teoría incompresible de la velocidad
en el conducto para ley de apertura lineal y diversos valores del tiempo adimensional de apertura <5 y del parámetro de fricción $
¡ a \
'i
-IV.25-
p/2fgH
.5 "
25
p/2fgH
.75 1 t/t
Fig. IV.2.- Evolución según la teoría incompresible de la presión en la sección de salida para ley de apertura lineal para diversos valores del tiempo adimensio-nal de apertura 5 y del parámetro de fricción <j> .
a
-IV.26-
Fig.IV.3.- Parte oscilatoria (a) y parte periódica (c) de la función g(t El período de la parte oscilatoria es t/t = 2.
-IV.27-
Fig. IV.4.- (a) Parte oscilatoria de la velocidad y (b) velocidad real en la sección de salida en los primeros instantes de la apertura de una válvula para ley de apertura li-
-IV.28-
Fig.lV.5 •- (a) Parte oscilatoria de la velocidad y (b) velocidad real en la sección de salida en los primeros instantes de la apertura de una válvula para ley de apertura li-
-IV.'29-
- . 2 5 . .
. 5
. 2 5 - .
- . 2 5 . .
-5-P
. 2 5 . .
- . 2 5 - .
• \ c t / i YYVWWvx
! / • > • "\7 "cTE/L
F i g . I V . 6 . - Parte oscilatoria de la velocidad en la sección de SJI lida en los primeros instantes de la apertura de una válvula para ley de cierre lineal, para los valores del tiempo de apertura: (a) 6 = .1; (b) <5 = .5;
(c) 5 = 1 ; (d) 6 = 3 . a a
- I V . 3 o -
2pÍT.
. 25 -"
. 5
.25 4-
. 25
H 1 1 1 h
( a )
H 1 1 H t/\
( b )
S f 1 1 ( ^ _ j .__, | t / t
C )
j y 1~ f , l_ j _+ H t ^ o
(d-)
^ H H j h 1_ 1 i , , t /1Q
Fig. IV.7.-* Presión en la sección de salida en los primeros instantes de la apertura para diversos valores del tiem po adimensional de apertura (a) 6 =.1; (b)
(c) 6 = 1 ; a
(d) 6 = 3 . a
6 =.1 ; a 6 = . 5; a
-IV.31-
Fig.IV.8.-Presión en la sección x=.5 en los primeros instantes de
la apertura para diversos valores del tiempo adimensio-
nal de apertura (a) $ =.l;(b) £ =.5; (c) & = 1; _
(d) S = 3 . a
Elperíodo de la oscilación es t/t = 2. o
CAPITULO V
ROTURA DE COLUMNA POR EFECTO DEL GOLPE DE ARIETE
-V. 1-
V.I.- INTRODUCCIÓN
Cuando se cierra la válvula de un conducto por el que
descarga un líquido para frenarlo bruscamente se originan prime
ro sobrepresiones y luego depresiones que podrán dar lugares a
valores de la presión inferiores al valor de la presión de va
por del líquido en algún punto del conducto; se genera así una
columna de vapor, fenómeno que se denomina "rotura de columna".
El proceso del cierre ya se ha analizado en la Sección II en la
hipótesis de que no hay rotura de columna; ahora, a la vista de
los resultados allí expuestos vamos a analizar la rotura de co
lumna. El mismo fenómeno de rotura de columna se produce cuando
se cierra una válvula colocada a la entrada del conducto. El
análisis de este proceso que vamos a presentar es para el caso
en que la válvula está a la salida.
Para velocidades iniciales altas las ondas de expan
sión originadas después de la reflexión en el depósito de las
ondas de compresión iniciales, no pueden ser tan intensas como
para impedir un flujo negativo en la válvula sin la aparición
de presiones negativas o inferiores a la presión de vapor. La
intensidad de la onda de expansión que arranca de la válvula es
sólo la necesaria, como veremos en el Apéndice B, para dejar
al fluido tras ella a la presión de vapor y por lo tanto con
una velocidad no nula hacia el depósito con lo cual se genera
la cavidad en la válvula.
La columna líquida que queda detrás de la onda va sien
do frenada por las fuerzas de fricción tanto más en cada sec
ción cuanto más tiempo haya transcurrido desde el paso de la
onda. Por ello las capas fluidas más próximas a la válvula se
-V.2-.
retrasan respecto a las cercanas a la onda y el principio de
conservación de la masa para el líquido exige la aparición de
burbujas en el seno de éste, a lo largo del conducto, en propor
ción creciente con el tiempo hasta que este proceso queda in
terrumpido con la llegada de la onda de compresión que viene
del depósito. Como se muestra en el Apéndice, el volumen de bur
bujas generado es tan pequeño que no afecta apreciablemente a
la velocidad de propagación de las ondas ni a la intensidad de
la onda de compresión reflejada.
Empezaremos nuestro análisis por el caso en que las
velocidades iniciales, v , en el conducto son tales que las de
presiones respecto a la presión del depósito, que se generan
posteriormente al cierre de la válvula, del orden de p cv , o 1
sean también del orden de p gH con lo que puede aparecer rotu
ra de columna. Para ello el área inicial en la válvulo, A (0)= s
A a , debe ser tal que a sea del orden de e. El caso en que o o o ^
a es de orden unidad se analiza posteriormente, o ^
VI.2.- ANÁLISIS DE LA ROTURA DE COLUMNA CUANDO LA RELACIÓN INI
CIAL DE CIERRE a 0 ES DE ORDEN e.
El análisis del cierre para valores de a o» e fue he
cho en la Sección II.2.2, en el supuesto de que no hay rotura
de columna. La presión dimensional, p, en una sección cualquie
ra aparece determinada en función de g(6) "por la expresión:
p = p -p gZ(x)+2p gH a. \w> O
- + g(e-i-x) --g(e+x-i) (V.l)
La presión en la sección de salida, x = 1 , antes de la válvula es
(V.2) PS = P a
+ 2 P 0g H l + g ( e ~ 2 ) " g ( 9 )
-V.3-
en tanto que la velocidad en la misma sección es
% v//2gH = n + g(.e-2) + g(0) (V.3)
'XJ
donde r\ es v //2gH, la velocidad adimensional antes del cierre
de la válvula; n =a /e =a c//2gH es del orden unidad y caracte ' o o o to J —
riza también el área inicial de salida de la válvula.
La función g(6) queda determinada por la relación
2 I + g ( e - 2 ) - g ( e ) = 2 n ( T ) n 0 + g ( e - 2 ) + g ( e ) (V.1+)
obtenida al hacer cumplir la ecuación de Bernoulli a través de
la válvula, n ( T) es el área adimensional de salida de la válvii
la II(T) =a(i)/E.
Si elegimos el instante de cierre como origen de tiem
pos, n = 0 para 9 > 0 , con lo que
g(0)=-ri -g(B-2) para 9 > 0 . (V.5)
El cierre se inicia en 0 = -t , con lo que g(9) 5 0 pa_
ra 9 <-t es la condición inicial Dará (V.4) que determina g(9). c
Sólo aparecerá cavitación si el valor mínimo de p da
do por (V.l) resulta ser menor que la presión de vapor del líqui
do p' en alguna sección del conducto. Dada la ley de cierre ca
racterizada Dor n, , t y su forma de realizarlo, la cavitación o c
sólo se producirá si r\ , esto es, la velo.cidad inicial supera f o
un valor crítico n. . A la vista de (V.l) el lugar donde aüare-o c
cera la rotura de columna dependerá de la geometría de la línea
media del conducto a través de z(x). (Si el conducto es horizon
tal o con z creciente con x la cavidad se Dresenta en la sec
ción de salida). En la Fig. (V.l) se representa la presión mí
nima que como consecuencia de las oscilaciones de presión debi
das al cierre se presenta en la sección de salida, igualmente se
-V. li
naria en cualquier otra sección a partir de (V.l), (V.4) y
(V.5), en función de la velocidad inicial en el conducto para
distintos valores del tiempo de cierre y para leyes de cierre
lineal y cuadrático. Vemos que para un valor dado de la presión
de vapor existe una velocidad inicial crítica por debajo de la
cual no se produce cavitación.
Con frecuencia, como supondremos a continuación, el
valor (p'-p )/2p gH es muy pequeño frente a la unidad, por lo
que la velocidad crítica n se calcula escribiendo (D -p )/ 'min
2p gH = 0. Para el cierre instantáneo que analizamos a continua
ción con detalle, el valor crítico de la velocidad inicial es
n. = 0.5. Los resultados se recogen en las Figs . (V.2) y (V.3)
donde se dan los valores adimensionales de la presión y veloci
dad, p y v , en las distintas regiones del diagrama x,t.
Para valores de n. superiores al crítico tales que
1
r¡ -0.5 = y con 0 < y < —, observamos que se forma, en el instan
te 6 = 2 , una cavidad cuya superficie libre tiene una velocidad
dirigida hacia el depósito, con valor adimensional igual a y.
El tamaño de la cavidad es ey(0-2), pequeño, y va aumentando con
el tiempo hasta que la onda de compresión reflejada modifica la
velocidad de la entrefase, pues esta onda que deja tras sí el
fluido moviéndose hacia la salida, al llegar a la entrefase con
la cavidad se refleja como una onda de expansión, la cual deja a
la entrefase moviéndose hacia la válvula, -por lo que la cavi
dad colapsa tanto más rápidamente cuanto menor sea y. Con el
colapso de la cavidad se generan ondas de compresión con sobre
presiones que alcanzan valores p = 2-y, superiores a las del 1máx
golpe de ariete p. = 1+y. En particular para y << 1 las sobrepre 1 c
-V. 5-
siones llegan a alcanzar, aunque durante un tiempo muy corto,
un valor doble que las originadas por el golpe de ariete.
Podemos observar en las Figs. (V.2a) y ( V . 2b ) que des
1 pues del colapso de la primera cavidad se forman, para y < —, a
lo largo del tiempo pequeñas cavidades que colapsan sin origi
nar sobrepres iones superiores; a las originadas por la primera
cavidad formada en la sección de salida.
En la Fig. (V.3) se representan los resultados para
valores de f) = 1+y con 0 < y < 0 . 5 . En este caso la primera onda
de compresión reflejada no es suficientemente fuerte para cam
biar el sentido del movimiento de la entrefase; el tiempo de vi
da de la cavidad es ahora superior a M- .
Los resultados son análogos para valores de r) mayo-o
res, pudiéndose generalizar esto para dar como presiones máxi
mas la expresión, recogida en el gráfico adjunto, n+3
con y = n. -77» siendo n entero positivo y 0 < y < — o ¿ Z
(V.6)
i <-
En los valores de y = 0.5, la cavidad que se origina
es simétrica y el tiempo de su existencia crece con el valor
de la velocidad inicial en la forma t = 4n. t , así pues cuando o o ^
-V.6-
cuando el valor de n, es de orden £ , t se hace del orden de o
t y entran en juego las fuerzas de fricción, sin embargo el
movimiento de la columna líquida puede analizarse como casi in
compresible, esto es, los efectos de la compresibilidad sólo
van a intervenir en los instantes en que colapse la cavidad,
mientras que la dinámica de la entrefase va a venir gobernada
por el flujo incompresible de la columna líquida. Este análisis
es el que realizamos a continuación.
V.3.- ANÁLISIS DE LA ROTURA DE COLUMNA PARA VELOCIDADES INICIA
LES ALTAS
Cuando la velocidad inicial del líquido que circula
por un conducto es alta, como sucede cuando la relación inicial
de áreas, a =A (0)/A es de orden unidad, las ondas de expan-' o s o
sión que llegan a la sección de la válvula (ondas originadas por
reflexión de las ondas de compresión que se producen al cerrar
bruscamente la válvula en que termina el conducto) y que dejan
detrás de sí al fluido moviéndose hacia el depósito de alimenta
ción, se reflejan en la válvula para impedir el flujo negativo
del fluido en esta sección; ésto sólo se conseguiría si la pre
sión pudiese tomar valores negativos. Como esto no sucede, la
intensidad de esta onda de expansión reflejada en la sección de
la válvula será la necesaria para dejar al líquido a su presión
de vapor rompiéndose la columna y formándose una cavidad.
En la Sección II.2.1 se analizó el cierre partiendo
de áreas de salida A (0) del orden de los del conducto, de for-s
ma que a =A (0)/A es de orden unidad, y en el supuesto de que o s o J r
el líquido aguantaba presiones negativas. Como ejemplo de los
-V. 7-
resultados obtenidos, en las Figs. (V.3) y (V.4) se muestra có
mo evoluciona con el tiempo la presión (que es de orden p v c) o c
en la sección de salida (con trazo continuo) y en la sección
x =0.5 (con línea a trazos). El análisis hecho en II.2.1 es vá
lido hasta que en algún punto la presión obtenida se hace nega tiva. (Nótese que la presión de vapor p << p v c). Es de obser ^ c ^ *v o c —
var que para valores de 6 ligeramente superiores a 1, se alcan
za casi simultáneamente el valor p = 0 en todas las secciones
por lo que, a partir de ese innstante t , no es válido el aná
lisis anterior. Para analizar la evolución posterior del flujo
hemos de tener en cuenta la existencia en el instante t ae una v
velocidad negativa v(x) en el conducto con valores máximos en
la sección de entrada. Esto conduce para t > t a la aparición ^ v
r
<\, de burbujas a lo largo del conducto junto con la condición p -
p . El estudio de la dinámica del flujo con dos fases generado
para estes valores de ó se deja para un trabajo posterior a es
ta tesis .
Nos ocuparemos aquí del análisis de la rotura de co
lumna en el caso de cierre instantáneo, o bien para valores de
5 << 1. En este caso la presión negativa, y con ello la rotura
de columna, aparecería en la sección de la válvula cuando la on
da de expansión procedente del depósito, que ha dejado todo el
fluido a la presión de éste, (presión que aparece como nula en
este análisis pues es pequeña frente a p v~ c) alcanza la sec-^ ^ u o c
ción de la válvula.
Esta onda que ha dejado al fluido moviéndose hacia el
depósito con la velocidad inicial v no va seguida de una nueva 1 o °
onda de expansión puesto que suponemos que el líquido no aguan-
-V. 8-
ta presiones negativas y por lo'tanto se rompe la columna en la
sección de salida. Aquí aparece una cavidad cuya entrefase se
mueve hacia el deposito con la velocidad v . (Nótese que en el
o ^
cierre instantáneo esta velocidad es la velocidad del fluido co
rrespondiente al régimen estacionario v ). e
En la dinámica posterior del flujo, los tiempos carac
terísticos son del orden del de residencia, por lo que en tanto
haya cavidad podemos considerar el flujo como incompresible.
Supondremos, para simplificar el análisis de la evolu
ción de la cavidad, que el conducto es horizontal y admitiremos
que la entrefase líquido-cavidad está localizada en una sección
x (t), de orden unidad, despreciando los efectos gravitatorios
que extenderían la entrefase en una zona que suponemos pequeña
frente a la longitud del conducto.
Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de la colum
na líquida son:
dx dt = v
fdv X 2 . P a - P V
+ P S H = P d T " 2 D V X s S 1 V < °
( V . 7 )
( V . 8 a )
P a " P„ + PgH = P ci V
^ + — v 2 x + I p v2 s i v > 0 ( V . 8 b ) d t 2D j s z
donde (V.8) se ha obtenido integrando la ecuación de cantidad
de movimiento entre las secciones de entrada y la cavidad. Aquí
v(t) es la velocidad del líquido igual a la de la entrefase con
la cavidad. El origen de coordenadas x se toma, como antes, én
la entrada del conducto.
Estas ecuaciones se complementan con las condiciones
iniciales:
x = L, v = -v en t = 0 . (V.9)
s o
-V.9-
que nos indican que la cavidad se forma en la sección de salida
y que la velocidad inicial de la columna es aquella con la que
deja moviéndose al líquido la onda de expansión que origino la
cavidad. Nótese que estas ecuaciones no admiten condiciones ini
ciales para la presión de manera que superpuestas a las presio
nes que da esta solución incompresible pueden existir oscilacio
nes de presión que no describiremos aquí.
Para dar los resultados en forma general, reescribire
mos las ecuaciones (V.7) a (V.9) en las variables adimensionales
£ = x/L , t1 = v t o ' L
U = V / I V ir' = Pa-Pv+pgH
Pv,
Con estas variables, las ecuaciones anteriores pueden expresar
se en la forma
_1L-dt
= u
si u < 0 IdF" " 2 fu H - *
( du 1 _ 2^ r 1 2
(V.10)
(V.lia)
(V.11b )
tf = 0 , £ =1 , u =-1 9
donde además del parámetro de cavitación ir interviene el parame
tro f = AL/D que presenta la fricción del conducto.
El movimiento viene gobernado por las ecuaciones (V.10)
(V.lla) y (V.llb) hasta el instante t' =t' en el que la superfi-
cié libre del líquido tiene velocidad nula y la cavidad ha alean
zado su tamaño máximo (u = 0 , f = £ ). Apartir de ese instante son
^ m r
las ecuaciones (V.10) y (V.llb) las que describen el movimiento.
Las condiciones iniciales para esta segunda etapa del movimien
to son u = 0, £ = E , en tf = t' . Esta segunda etapa dura hasta el
m R instante en que colapsa la cavidad, tf = t' por ser £ = 1. En es-
-V.10-
te instante la velocidad es u que es la velocidad del líquido
en el instante en que colapse la cavidad. En el colapso de la
cavidad aparece una onda de compresión con una sobrepresión
p = pu |v |c para frenar el líquido en el conducto y se inicia un
proceso análogo al del cierre.
Nuestro objetivo es calcular el tamaño de la cavidad,
£ , y la velocidad con que ésta colapsa, u . Tanto el tamaño co ^m' J ^ ^ ' c —
mo la velocidad de colapso dependen de los parámetros ir y f. El
valor resultante de u <1 determina las sobrepresiones del gol
pe de ariete en el colapso de la cavidad.
El tamaño de la cavidad lo obtenemos a partir de las
ecuaciones (V.IO), (V.lla) y la condición inicial (V.12), pues
si dividimos (V.lla) por (V.IO), obtenemos:
du g 2
áE, u
ecuación que con la condición u = -1 en E, = 1 nos proporciona la
velocidad como función de E,
2 0 íe"f , ) - e
u = 2 \—z— + 77'
1 í d£ e f£
cuando £ = £ , u = 0, luego
'f t, -z m e , e dz =
f
-f
7T'
donde hemos puesto f£ = z. Esta expresión se puede poner en la
forma
-f E, (f) - E. (f£ ) =- -1 1 m TT'
(V.13)
expresión que nos permite calcular E, . La velocidad con que co
lapsa la cavidad la obtenemos a partir de las ecuaciones (V.IO)
y (V.llb). Las condiciones iniciales para estas ecuaciones son
-V.ll-
E = £ , u = 0: obtenemos así para la velocidad de regreso hacia m °
la válvula de la entrefase
2 2TT' u =n 1- e ^ ^m '
J -En el instante del colapso de la cavidad E, = 1 y u = u , obtenién
dose
u 2TT' (
1- e -fa-^h U/2 'm (V.14)
Para valores extremos del parámetro de fricción, f << 1 6 f >> 1 ,
podemos obtener expresiones asintoticas de (V.13) y (V.14). En
efecto, cuando el argumento z de E (z) es mucho menor que la
unidad, podemos desarrollar E (z) en la forma:
2 E 1 ( z ) = - y - l n z + z - -2 , + . .
y obtenemos, cuando f << 1 :
E. (f) - E. (f£ ) = ln E, . 1 1 m ^m
Por otra parte e~ =l-f si f << 1, y de (V.13):
-1/27T' K = e m
y de (V.14)
u = /2TÍ'(1-C ) . c ^m
(V.15)
( V . 1 6 )
1 2 Si TI" >> 1 , esto es, si p + p g H > > p + r pv , la cavidad ra p ^ v 2 K o
se desplaza poco, pues E, puede ponerse, a partir de la expre
sión (V.15) para valores de TT;>> 1, como
^m 271" '
y la cavidad colapsara con una velocidad prácticamente igual en
modulo a la que la onda de expansión dejo a la columna líquida
al romper la columna.
-V.12-
Si 7Í'<<1, E, -> O , esto es, la cavidad llega a ocupar m
todo el conducto y la velocidad con que colapsa viene dada por
u = /*2TT . c
En el otro caso límite, f >> 1, la expresión (V.13)
puede escribirse
-f -f
M f £ ) =^w + e '1 ^m 2TT' f
- z pues E„ ( z ) = fl ^ 1 z v z
1 z + — + . . . ) si z > > l . Al ser f » 1 , E1(fCm) z '1 sm
toma valores muy pequeños, lo que exige que ( f E, ) >> 1 pudiendo,
por tanto, poner:
-fE, , ,
m -f -f e _ e e ~¥l ~27T + ~f~~
m o b t e n i e n d o p a r a E l a e x p r e s i ó n r ^m ^
f ( 1 - C ) = l n l + ~ m I 2TTJ
y para la velociad con que colapsa la cavidad
1 / 2
( V . 1 7 )
u = c
27T;/f 2TT
( V . 1 8 )
S i TT < < 1 , l a s e x p r e s i o n e s a n t e r i o r e s ( V . 1 7 ) y ( V . 1 8 ) s e r e d u
c e n a :
r 1 i f
^m f 2TT
^^"^l 1 / 2
En el caso en que el parámetro de fricción, f, sea de orden uni_
dad, la solución hay que obtenerla numéricamente.
En las Figs. (V.6), (V.7) y (V.8) se presentan para
tres valores típicos del parámetro de fricción, el tiempo de
existencia de la cavidad, el tamaño máximo de ésta y la veloci
-V.13-
dad con que colapsa como funciones del parámetro TT ' .
En la Fig. (V.3) se comparan los resultados obteni
dos analíticamente con los obtenidos experimentalmente por Wey-
ler et al. (26). Las condiciones para la experimentación reali
zada por estos autores son:
velocidad inicial del líquido: v.=1.28881 m/s i
velocidad de propagación de las ondas c=1343 m/s
longitud del conducto L=28 m
diámetro del conducto D=8 mm
El material del conducto es cobre; obtenemos para es
tos datos los valores de los parámetros f = 110, JT ' = 117 para
la primera cavidad y f = 120, TT ' = 144 para la segunda. Como pue
de observarse los valores de las sobrepresiones generadas al
colapsar las cavidades coinciden prácticamente. La pequeña di
ferencia entre el tiempo de vida de la primera cavidad genera
da es 0.33 según los cálculos frente al valor 0.307 medido y,
al igual que las diferencias más grandes posteriores, pueden
adscribirse a varias causas ligadas al hecho de que el experi
mento ha sido realizado en condiciones tales que el tiempo de
vida de la cavidad es sólo 8 veces superior al tiempo de ida
y vuelta de las ondas, la primera, y más.reducido para las si
guientes. En primer lugar es de esperar que las correcciones
necesarias a la aproximación incompresible sean proporcionales
a la relación entre el tiempo de vida de la cavidad o el tiem
po de propagación de las ondas. En segundo^lugar, siendo tan
corto el tiempo de vida de la cavidad puede haber diferencias
entre el valor del coeficiente de fricción utilizado y el verdadero
que puede estar afectado por efectos no estacionarios.
-V .14-
Fig.V. J . - r'resion n y; ra me tro
nina en ia sección de salida en función del a velocidad inicial es H e n c 1 c a s o o n n u o 1
o , . , . , -quena, par a di verrón valoror (¡el tiempo de cierre -. v de cierre lino a .1 .
- V . 1 5 -
*-r
&+t
> i + h
H
>*b
1-1
I-I
y*
i-t-
9t~t
Yi
I I I
\
o 2-f.
\
Fig. V.2.- Evolución de la cavidad cuando la veloci
dad inicial es pequeña para n = 0 . 5 + u •
-V.16-
m
Y i p, . V. 3 . - evolución de la cavidad cuando la veloci
dad inicial es pequeña para n = i + p .
-V.17-
p/pvec 1 n
5 -
Fie. V.4.- Sobrepresiones, referidas a la presión de golpe de ariete, en función del tiemDo, medido desde el instante del cierre, en la sección de salida y en la sección x= .5,, para lev de cierre lineal.'
. 1 f í -
Fig. V.5.- Sobrepresiones referidas a la del golpe de ariete en función del tiempo medido desde el instante del cierre, en la sección de salida y en la sección x= .5 para ley de cierre cuadrática.
-V.19-
l f t
2«-
f = 10
1 T
~h ' /( / ( 1 -í f )
Fig. V.6.- Tiempo de vida de la cavidad en función del parámetro TT ', para diversos valores del parámetro de fricción.
-V.20-
(i+f)d-? ) iooi
10 "-
10 - í
X \ \
v
~1
,~0 lu
i n2 Tr'/(l+f)
Fig. V.7.- Tamaño máximo de la cavidad para diversos valores del parámetro de fricción, f, en función del parámetro ir'.
-V.21-
r
• 6 1—.. ,,.. O
H 10 10 10 10
1--
m -1 TT'/(l + f)
10 10- 10£
Fig.V;S.- Velocidad de colapso de la cavi-dad, para diversos valores del parámetro ¿e fricción f, en función del parámetro TT ' .
Feet GÍ Y/oler (absolule} Scol9:60 f ^e t /üno
r *
>
CAPITULO VI
CONCLUSIONES
-VI .1-
VI.1.- CONCLUSIONES Y RESULTADOS
En esta Tesis se han utilizado métodos de perturba
ciones y de escalas múltiples para analizar las oscilaciones
de presión y velocidad en conductos asociadas al cierre o aper
tura de válvulas. Estos métodos son, sin embargo, aplicables
al estudio de oscilaciones en sistemas hidráulicos más genera
les .
En el Capítulo I se han escrito las ecuaciones y con
diciones de contorno e iniciales que describen el flujo de un
líquido desde un deposito a través de un conducto de sección
originalmente constante, A , que termina en una ..boquilla o una
válvula, de sección de salida A , variable con el tiempo. Al
escribir estas ecuaciones en variables adimensionales, Ees.
(I.7)-(I.9) aparecen los parámetros:
a =A (0)/A : relación entre el área de la sección inicial o s o
de salida de la válvula y la del conducto,
e: que relaciona la velocidad v^gH y la velocidad
de propagación de las ondas, c; también es la
relación entre el tiempo de propagación de las
ondas, L/c, y el tiempo característico de re
sidencia, L//2gH.
f = AL/D: parámetro que relaciona el coeficiente de fric_
ción del conducto y las características geomé
tricas del mismo,
a los que deben añadirse la relación entre el tiempo de cierre
o apertura de la válvula y el tiempo de ida o vuelta de las on
das .
Los transitorios asociados al cierre de una válvula,
se han analizado en el Capítulo II. La forma de los transito-
-VI.2-
rios esta muy directamente determinada por los valores de a ,
£, t /t 6 t /t y f. Por ser el parámetro £ en la mayoría de c o a o J * J
los casos prácticos £ << 1, se ha utilizado este hecho como ba
se para los análisis llevados a cabo en la Tesis. El parámetro
f se ha supuesto, en general, de orden unidad. En cuanto a los valores de a se han considerado dos casos distinguidos: a del
o & o
orden de la unidad, 6 a << 1, del orden de £ 6 / E según los ca ' o & —
sos. La forma de la respuesta es también muy sensible a la du
ración t 6 t del cierre o apertura de la válvula; para valo-
c a
res suficientemente grande de estos tiempos, se puede utilizar
la aproximación de flujo incompresible en el análisis de los
transitorios, al igual que en el análisis de las oscilaciones
en masa, que fue abordado también con técnicas de escalas múl
tiples en la Tesis de I. Parra C29).
Como consecuencia, para valores pequeños del pará
metro 6 se retienen los efectos de compresibilidad en la últi
c ^ —
ma etapa del cierre que se puede caracterizar, cuando la ley
de cierre se puede aproximar en esta etapa por una ley poten
cia, por dos parámetros, el exponente n de la ley de cierre y
un parámetro 6.
Los resultados se resumen en las Figs. (II. 2) y (II.3)
que muestran la presión en la sección de salida y su valor má
ximo en función de 5. En el análisis aparecen como desprecia
bles en primera aproximación los efectos de fricción y por ello
el movimiento es periódico después del cierre.
El otro caso analizado es el correspondiente a áreas
iniciales de salida pequeñas, tales que a ^ £ . En este caso,
los efectos de compresibilidad intervienen desde el primer mo-
-VI.3-
mento si el tiempo de cierre es del orden de t . Aparece el pa
rámetro n =a /e que es el utilizado por Allievi, que conside-o o
ró cierres con área de salida que se reduce linealmente con el
tiempo. También en este caso los resultados que se presentan
en la Fig. (11.4) son para leyes de cierre potenciales, aun
que la formulación es general.
En el Capítulo III se ha hecho uso de la técnica de
escalas múltiples para analizar el amortiguamiento por fric
ción de las oscilaciones generadas en el cierre. Las oscilacio
nes observadas durante tiempos del orden del de ida y vuelta
de las ondas aparecen como periódicas de período. M-t (t : tiem ^ ^ ^ o o —
po de ida o vuelta de las ondas). Sin embargo, las distribucio_
ns de presión y velocidad que se observan al principio de cada
período van modificándose lentamente con el tiempo como conse
cuencia de la fricción que atenúa las oscilaciones en tiempos
del orden de t >> t . r o
Para describir la evolución lenta de la distribución
de presión y velocida al principio de cada período, proporcio
nales a (F-G) y (F + G) respectivamente, se han obtenido dos
ecuaciones íntegrodiferenciales (III.7) que describen F (. x, T ) y
G ( X , T ) donde T = £t es la variable lenta.. Se han analizado en
particular el amortiguamiento de:
a) Flujo laminar, del que se obtiene la solución ana
lítica (III.9).
b) Flujo turbulento con el coeficiente de Darcy - Weis_
bach, A, constante.
Algunos resultados para casos típicos se presentan
en las Figs. (.111.1) a ("III. 3). En la Fig. (III.1) presentamos,
-VI . le
para dos valores del parámetro de fricción, la evolución con
T =v t/L de los máximos de presión existentes en la sección de e
salida en el caso de cierre cudrático y 5 = 2. También se pre
senta la amortiguación de la oscilación de presión para el va
lor de f = 50 durante un período.
En la Fig. (III.2) se presenta la amortiguación de
la velocidad y presión que hay en el conducto al final de cada
período para el valor del parámetro f = 50 con ley de cierre
cuadrático ó 6 = 2.
En la Fig. (III.3} se presentan los resultados corres
pondientes al caso de cierre lento con ley de cierre lineal.
En el Capítulo IV hemos analizado la apertura hasta
área final en la sección de la válvula del orden de la del con
ducto que corresponde al valor del parámetro a o» 1. En ella
aparecen dos etapas, una corta en la que sé generan oscilacio
nes en la velocidad y presión, y otra larga en la que puede des
cribirse la solución con la aproximación incompresible en pri
mera aproximación, si bien persisten las oscilaciones generadas
en la primera etapa. La evolución de la velocidad y presión du
rante la segunda etapa calculadas con la solución incompresible
se presentan en las Figs. (IV.1) y (IV.2).
Utilizando también técnicas de escalas múltiples se
obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, con
x como parametro, que describen la evolución de las oscilaciones
de presión y velocidad en la segunda etapa Ees. (IV.9) . Las
condiciones iniciales han de obtenerse del análisis de la eta
pa inicial, en la que en primera aproximación no aparecen los
efectos de la fricción en el conducto aunque existe el efecto
-VI.5-
amortiguador de las pérdidas de energía cinética en la salida
por ser el área de la sección de salida muy pequeña.
Los resultados del análisis de esta etapa se presen
tan para casos significativos en las Figs. (IV.3) a (IV.8).
Obsérvese el efecto amortiguador de las pérdidas en la sección
de salida cuando la apertura es moderadamente lenta; si la
apertura es rápida desaparecen las pérdidas importantes en la
salida y las oscilaciones persisten hasta la segunda etapa.
En el Capítulo V se ha efectuado el análisis de la
rotura de columna. El análisis efectuado en el Capítulo II mués
tra que cuando la velocidad inicial es pequeña, existe un va
lor crítico del parámetro n , valor que depende de la ley de
cierre y del tiempo en que éste se efectúa, por debajo del cual
no se generan presiones negativas o inferiores a la presión de
vapor y, por tanto, no se rompe la columna. Una vez alcanzado
este valor crítico, la columna se rompe y la cavidad que se g_e
ñera tiene un tiempo de existencia comparable al de ida y vuel
ta de las ondas. Este tiempo de existencia va aumentando al au
mentar la velocidad inicial hasta que en la dinámica de la ca
vidad empiezan a contar los efectos de la fricción. Esto suce
de cuando el tiempo que dura la cavidad se hace del orden del
tiempo de residencia del líquido en el conducto en cuyo caso
la dinámica de la cavidad se analiza con la aproximación incom
pres ible.
Los resultados del análisis incompresible se muestran
en las Figs. (V.4) a (V.7) donde para valores típicos del para
metro de fricción se dan el tiempo de residencia, el tamaño de
la cavidad y la velocidad con que colapsa en función del para-
-VI.6-
metro ir1 =(p -p +pgH)/pv.. *a v i
También se muestra en la Fig. (V .*? ) la comparación
entre los resultados obtenidos en nuestro análisis con los da
dos experimentalmente por Weyler, M.E.; Streeter, V.L. y Lar-
sen, P.'S. (26). El acuerdo es excelente en lo que respecto a
las sobrepresiones generadas en los colapsos sucesivos de las
cavidades generadas ; las divergencias en cuanto a los tiempos
de existencia pueden deberse fundamentalmente a los errores
asociados a la aproximación incompresible y a efectos no esta
cionarios en la fricción. Los efectos de las burbujas genera
das a lo largo del conducto por la onda de expansión que ini
cia la cavidad son despreciables ya que la fracción volumétri
ca de burbujas es muy pequeña, según se muestra en e] Apéndice B.
Una de las limitaciones del análisis llevado a cabo en
esta Tesis, que comparte con la mayoría de los estudios numé
ricos de oscilaciones en conducto está asociada al uso del coe
ficiente de Darcy para calcular las fuerzas de fricción en fun
ción de la velocidad instantánea local. Sin embargo, no existe
información experimental o teórica que nos permita operar de
otro modo de una forma fiable.
APÉNDICE A
-A.l-
APENDICE A
Vamos a obtener aquí las ecuaciones que dan la amorti
guacion con el tiempo, por efecto de la fricción, de las oscila
ciones de presión en el cierre de un conducto. El método segui
do es aplicable también al proceso de la apertura.
Describiremos la distribución de velocidades y pre
siones en el cierre de un conducto cuando la relación de áreas
inicial es de orden unidad, mediante desarrollos en potencias
de C en la forma:
V = V ( X , t' ,X ) + £ v ( x , t ' , x ) + ...
(A.l) p = p (x,tT,T) +£p i(x,t
í,T)+...
en los que intervienen dos variables temporales, tf es una va
riable rápida referida al tiempo de ida o vuelta de las ondas y
T es una variable temporal lenta referida al tiempo de.residen
cia, que está relacionada con t' en la forma: x = et' . Dentro
del orden de aproximación calculado no es necesario distorsio
nar, al modo de Poincaré, la variable rápida.
Llevando estos desarrollos a las ecuaciones (1.7)-
(1.9) para las dos primeras aproximaciones se obtienen los sis
temas de ecuaciones y condiciones de contorno ya dados en la
Sección III . 1 :
con
y
3p 9 v o o
3TT + — = 0
3v 3p o o
3tT- + TT=0
p =0 en x = 0 * o
v =0 en x = 1 o
(A.2)
- A . 2 -
9 p
9 t ' 9 x 9 T o 9 x
9p 0 A ' °
~ - A p o T F 9p
( A . 3 ) 3 v , 9p„ 9v 9v
1 *1 o o d t ' 9 x 9 T O 3 X ^
O 1 . i - — f V V o 9 x 2
1 2 1 con p . = — ( 1 - v ) s i v > 0 6 p „ = — s i v < 0 en x = 0
1 2 o ^ 1 2 o
y v . = 0 en x = 1 . 1
El sistema (A.2) conduce a la ecuación de las ondas.
La solución de este sistema es periódica en tf de período t,=1+.
La forma general de la solución es:
v =f(tf-x,T) +g(t'+x,x)
(A.4) P^ = f(t '-X,T) - g(t*+X,T )
Las funciones f y g las determinaremos a partir de sus valores
F y G en t' =M-n, de forma que F ( X , T ) =f(-x,x) y G ( X , T ) =g(x,l)
en t' = O.
Podemos, pues, expresar en función de F y G la distri_
bucion de velocidad y presión dentro de cada período en el pla
no (x,t f). Esta distribución la damos por zonas según se muestra
en la siguiente figura, en las variables características
£ = x + t , f| = -x+t
zona 7 zona 1: v = F ( - D » T ) + G ( z; , T )
p^ = F(-n,T ) - G(ZJ,T )
zona 2: v = G ( r¡, T ) + G ( £ , T )
PQ = G(n,C) - G(C,T)
zona
v =-F(2-n,T) - G(C-2 , T ) o
p Q = -F( 2-TI,T) + G(C-2 , T )
v =-G(TI-2,T) - G(C-2,T)
p_o = -G(n-2,T) + G U - 2 , T-)
Zona 3: v = F ( -n, ,T ) - F ( 2-£,T ) zona 9: v =-F ( 2-n , T ) + F( 4- Z, ,T )
PQ = F(-n,T) + F(2-£,T) Po = -F(2-n,T) - F ( 4 - C , T )
zona 4: v = G ( n. , T ) - F( 2-C, T ) zona 10: v =-G ( T\ - 2 ,T ) + F ( 4-£,T )
P Q = G(n,T) + F( 2-C,T) p o = -G(n-2,T) - F(4-C,T)
- A . 3 -
z o n a 5 :
z o n a 6
= - F ( 2 - n , T ) - F C 2 - C T ) z o n a 1 1 : V^T(^-T),T) + F U - £ 9 T )
v
= - F ( 2 - n , T ) + F ( 2 - C , T )
= G ( n , T ) - G ( ^ - 2 , T ) I
= G ( n , T ) + G ( . C - 2 , T )
P = F ( 4 - T I , T ) - F ( H - ^ 5 T ) r o
; o n a ! 2 : v = - G ( n - 2 , T ) + G ( £ - 4 , T ) o
p = G ( n - 2 , T ) - G ( C - 4 , T )
; o n a 1 3 : v
= F ( . 4 - n , T ) - G U - ^ , T )
-A.4-
Para determinar F y G, y por lo tanto f y g, es nece
sario resolver el sistema (A.3).
Para que el desarrollo (A . 1) sea uniformemente válido
es necesario que £v. y £p. sean pequeños frente a v y p en
1 J rl o o -1
tiempos t' del orden de e , lo cual nos lleva a exigir que v.
y p sean periódicos en esa escala. Esta exigencia de periodici_
dad es la que nos va a proporcionar las ecuaciones para determi_
nar la evolución de F y G con T.
El sistema (A.3) reescrito en las variables caracte
rísticas toma la forma:
s i endo
3(v +p ) v
9(v 1+p 1)
3(v 1-p 1)
3(v +p )
= \¡) 1 (c, n , T )
= 2 Ce, n 9 T )
(A.5)
A-a
3 T
3p o A + a
3n
3p
o 3 £ o 1 _ i - — f V I V
o 3 f| 2 o ' o
y
, 3Cv +p ) v r3(v -p ) ^ 1 o o o, o o
^ A + a
3 T 2 { 3 c j
3 p A 3 p -. *o L A-a o 1 _ i h D — f V V
o U 2 po 3n 4 o ' o Las condiciones de contorno quedan en la forma:
p =TT (1-v |v 1 ) si v > 0 6 *i 2 o ' o ' o 1
P^ = J en ^ =
v = 0 en £-n = 2.
La exigencia de periodicidad a la solución de (A.3)
al cabo de un período t' = 4, es tanto como exigir que se verifi_
quen las relaciones:
-A. 5-
(V1+VA = (vl + P l )
A ,
y ( vi-Pi }A = ( v i - P i \ ,
(A.6)
Vamos a desarrollar con extensión la primera de estas
relaciones, el desarrollo para la segunda se realiza de una for
ma análoga, por lo que solo daremos el resultado final para ésta.
A lo largo de las líneas características se tiene que:
(v.+p ) = ( v + p , ) + 1 d? , de donde 1 a Al 1 1 A J I X
1
(v +p ) = p - \p dt, pues v* =0 de la condición de contor 1 1 A 1
A i ) 1 2 Al _
no en £-r\ = 2.
r (v -p ) = -p + I T|Í dn
B2 Al jh
Aó 1 1 B 2 J, 1
(v.-p ) = -p + ^ dn B4 XA3 jh
(v +p ) = (v +p ) + \ TÍ) dC Af B4 Jl_
de donde obtenemos que
( v ^ P ^ =(- v0l
v0!) +P X "
AT 11 1 A 1 j r r
ip dr)- ifJ d^+ i|; dn+l il .d? h -'I h Jl u 2 3 *+ 5
y como (v 1+P 1) = (v +p ) ha de verificarse que 1 A A'
i^dC-l ^ 0dn-
i,1 s 2 r
1 jh 3 4
i d ? - ( v v |) =0 (A.7)
De las distribuciones de velocidad y presión dadas anteriormen
te vemos que
- A . 6 -
a lo l a r g o de 1 V o + P o = 2 F ( - H Í T ) y
3 ( v +p ) 0 0 = _ 2 F ( X , T )
an dx
c o n l o q u e
j i /^dC - A l C ^ _ | F ( X 5 T ) A ^ + G ( C , T ) d C + F ( 2 - C , T ) d C
1 < % , ¡ 1
A-a
A+a
4'
^ i ) ( F ( x , T ) - G ( ? , T ) ) d ? + f ? A 1 ± F i ¿ z £ ^ ) Í F { x 5 T ) + F ( 2 _ C 5 T ) ) d í
3 ? 1 3 5 CA 3 ?
3 F ( X , T ) f1
3 ^ 1 fF(x .T) -G(C,T) )d C + Í I Í i * l i f ( r ( X , T ) + F ( 2 - C , t ) ) d C
í 1
J Í F ( X , T ) + G ( C , T ) ) | F ( X , T ) + G ( C , T ) | d^ +
r5 Al ( F ( X , T ) - F ( 2 - C , T ) ) | F ( X S T ) - F ( 2 - C , T ) | d £
A l o l a r g o d e h V0 ~ P 0 =-2F(2-C,T) con lo que
3 ( v - p )
H ' 2 aT
1 ,^-^n^.m^ - F ( X , T ) A n + F ( - H , T ) d q +
B2 + G ( n , i ) d n - j •F(2-n,T)dn 'o >\
A+a 3 F ( X , T )
2 3 x
'Al
F - ( x , T ) A 1 n +
'° í 1 ínB2 F ( - n , i ) d n + G ( n , r ) d n -
1 M ^O h
F ( 2 - n , T ) ' d n
'Al
A - a
fnB2
r a 3 F fo»T ) ( F ( - n , T ) + F(x ,T) )dn + [ j ^ ( n i l i _ (G(n,T)+F(x,T))dn+
1 n 9n 'AI o 3n
+ J 8 F ( 2 - n ' T ) f -F (2 -n ,T ) + F ( x , T ) ) d n | -1 9n
(O
- 7 f ( F ( - T I , T ) - F ( X , T ) ) | F ( - n , T ) - F ( x , T ) | d n + Al
- A .
( G ( n , T ) - F ( x , T ) ) l G ( n , T ) - F ( x , T ) | d n -
r n B2
1 ( F ( x , T ) + F ( 2 - n , T ) ) ! F ( x , T ) + F ( 2 - n , T ) | d n
A l o l a r g o d e 1 0 v +p = - 2 F ( 2 - q 5 T ) y • ° 3 o o J
3 ( v +p ) ~ , . o *o _ 2 3 F ( x , x )
3 H ~ 3 x
í ,l A r 9 F ( X , T ) A _ 3 F ( X , T ) Jx ^ l d í = — 3 ^ V " 3x F ( x , T ) A 2 C + , F ( 2 - C , T ) d C +
Al
A3 G ( C - 2 , T ) d C - | F ( 4 - C , T ) d C
2 J3
A - a
^Al
+ F ( 2 - C , T ) ) d C - _ ^ i S z l j L l L . ( - F ( x , T ) + G ( c - 2 , T ) ) d C +
2 ^
'A3 9 F ( K , T )
3 3 ?
+ F U - C , T ) ) d ¿ ;
r^A3 F ( 4 - C , T ) d C
A+« 3 F ( x , T ) 2 3x F ( X , T ) A 2 C - F ( 2 - C , T ) d C -
Al
* \ * ( F ( X , T ) + F ( 2 - C , T ) ) | F ( X , T ) + F ( 2 - £ , T )
'Al
( F ( X , T ) + G ( C - 2 , T ) ) | F ( x , T ) + G ( C - 2 , T ) | d £ +
r^A3 ( F ( X , T ) - F ( 4 - £ , T ) ) | F ( x , x ) - F ( U - C , T ) | d C
A l o l a r g o d e h„ v - p = 2 F ( 4 - £ , T ) y
3 ( v - p ) ^ , *
3C
/ ¿„ 3 F ( X , T ) A , , , 3 F ( X , T ) ^ 2 d n = 3^ A 2 n + 3
3 x
a
G ( n - 2 , T ) d n + fnB4
F ( 4 - n , T ) d n
( X , T ) A 2 n - | F ( 2 - n , x ) d n -
^ A 3
a 9 F ( X , T ) [_ , v . T"3 F ( x , T ) A 0 n +
2 3 x
r ,n + F ( 2 - n , T ) d n + G ( n - 2 , x ) d n -
B4 F ( 4 - n , x ) d n
'n A3 j
- A . 8 -
A - g 2
'Bu.
í2 í3
I 3 F ( 2 - n , T ) ( F ( x , T ) + F ( 2 - n , T ) d n - 9 G ^ - 2 > T > ( F ( x , T ) + G ( n - 2 , T ) ) d n - * -
nA3 3 n
3 F ( u _ n , T ) ( - F ( x , T ) + F ( 4 - n , T ) d n
3n 4'
3 _3
2 r 3 n
2
( F ( x , T ) -
'A3
- F ( 2 - n , T ) ) | F ( x , T ) - F ( 2 - n , T ) | d n + ( F ( x , T ) - G ( n - 2 , T ) ) | F ( x , T ) - G ( n - 2 , T ) | d i i ^
, n B4
{ F ( x , T ) + F ( 4 - n , x ) ) | F ( x , T ) + F ( » * - n . , T ) I d n
A l o l a r g o d e 1 v +p = 2 F ( 4 _ n , T ) y o o
3 ( v +p ) , ._ , . o o _ 9 3 F ( x , T ) 3n " ¿ 3 x
f j , d = . 3 F ( X , T ) A 3 F ( x , T )
r ^ A ' + G ( C - i + , T ) d C -
¿,,
3 T 3 ^ 3 x
-u
F ( x , T ) A 3 C+ F ( U - c , T ) d C +.
•A3
A - a ! l £ i t l iU l2_ (F(x 9 T) -F(4 -C ,T) ) d£ -
C 3£ ^A3
3 G ( g - ^ , T ) ( F ( x . T ) - G ( r - u . T ) ) d C
4 3 C
A+a 3 F ( x , T ) 3x
F ( X , T ) A ^ -
A3 4< ru
( F ( x , T ) +
'A3
F ( u - ^ , T ) ) | F ( x , T ) + F ( 4 - £ 3 T ) | d C
^ A , ( F ( x , T ) + G ( í - U , T ) ) | F ( x , T ) + G ( r , - U , T ) | d n
A h o r a b i e n , A £ + A 3 C = A 2 C = 2 , A 1 n = A 2 n = 2 , y d e l a r e l a
c i ó n ( A . 7 ) t e n i e n d o e n c u e n t a q u e p a r a L - r\ ( v | v ) = ~Í t. ^ • O O ' j_ ^
=4F(x,T)|F(x,T)|, sustituyendo valores obtenemos una ecuación
cuya solución nos da la variación de F(X,T) con T:
-A.9-
fí1
I ((F + G' ) |F + G' ! + 3 F ( X , T ) 1 ( T ) | F ( x T)|_J-f 3 3x 2 U ' T J ! t<,x,x; I 16 r ,
+ (F + F ? ) |F + F'!+(F-G f)|F-G f|+(F-F T)|F-F T|)d£ (A. 8a)
en la que F y G son funciones de (x,x) y FT y Gf son las mismas
funciones evaluadas en (£,x).
Para la otra relaci< .ón (v -p ) = (v -p ) obten 1 1 ^ 1 1 A » emos
A
\b dn +
1
i ^ d ? - ip 9dn-! i|>1d£ + j h ^ Jl,
ip-dn - (v v I ) = 0 . Jh 2 ° °' 2 5 2 3 4
y operando de forma análoga a lo expuesto anteriormente, se ob
tiene la ecuación que nos da la evolución con T de la función
G ( X , T ) :
3G __ 1 3 T 2 G G
1 íí 1 - — fj ((G + Ff ) |G + F' I+(G + G' ) |G + GT I +
1 + (G-F1) |G-F' |+(G-Gf) |G-G' |)d£; (A.8b)
J en la que de nuevo F y G son funciones de ( X , T ) y F',GT son las
mismas funciones evaluadas en ( £ , x ) .
Las ecuaciones (A.8) hay que complementarlas con los
valores de F y G en el instante del cierre:
T = 0 , F = F (x ) v G = G ( x ) . o o
Estas ecuaciones tienen la propiedad de que si en un
punto x el valor de F (respectivamente G) es nulo inicialmente
se mantiene nulo para todo x posterior. Por ello ni F ni G pue
den cambiar su signo inicial en un x dado. Si en dos puntos ini_
cialmente hay el mismo valor para la F (respectivamente G ) , pos
teriormente los valores de F (respectivamente G) se mantendrán
iguales .
La distribución de velocidades y presión por zonas
en el plano (í,r|) para la apertura, es:
r
* V / *
/ 6
U
2 /
1 zona 1: v 1 =F(-TI,T). + G ( £ , T 1
P l=F(-n 9T)-G(C,T)
zona 4: v = G(n , T ) + F(2-£,T)
P l = G(n,T) - F ( 2 - C , T )
zona 2: v = G(n , T ) + G(£,T) zona 5: v 1 = F(2-n ,T ) + F(2-C,T)
P 1 = G ( T I , T ) - G ( C 9 T ) . P l = F(2-n,T) - F(2-C,T)
zona 3: v = F(-n , T ) + F(2-£ , T) zona 6: v = G(n,T ) + G(£ - 2 , T)
P l = G(n,T) - G(C-2,T) P l = F(-n , T ) - F(2-C,T)
zona 7: v = F ( 2-n , T ) + G ( £,- 2 , T )
p = F(2-n,T) - G(C-2,T)
APÉNDICE B
-B .1-
APENDICE B
Como consecuencia del cierre rápido de una válvula en
el extremo de un conducto se genera, como ya se ha dicho, una
onda de compresión para frenar el líquido que se refleja en el
deposito como onda de expanión que invierte el movimiento primi
tivo del fluido. Al llegar esta onda a la sección de la válvula
se refleja en forma de otra onda de expansión para anular de
nuevo la velocidad y que daría lugar, si la velocidad inicial
del fluido es alta, a valores negativos de la presión en la sec
ción de salida. Como los líquidos con impurezas no soportan, sin
que se rompa la columna líquida, presiones por d.ebajo de su pre
sión de vapor, esta onda reflejada rompe la columna en la sec
ción en que se alcance por primera vez la presión de vapor. En
conductos horizontales ésto ocurre, si el cierre es brusco, en
la sección de salida.
Esta onda va dejando al líquido a su presión de vapor
y moviéndose hacia el depósito. Nos ocuparemos aquí de la diná
mica del líquido después del paso de la onda para poner de mani_
fiesto que en este proceso aparecen burbujas distribuidas a lo
largo del conducto, además de la cavidad que se genera en el ex
tremo.
En efecto, la columna líquida que queda detrás de la
onda va siendo frenada por las fuerzas de fricción tanto más
cuanto más tiempo haya transcurrido desde" el paso de la onda.
Por esta razón las capas fluidas más próximas a la sección de
la válvula se retrasan respecto a las cercanas a la onda y el
principio de conservación de la masa exige la aparición de bur
bujas a lo largo de la columna líquida por la que ya ha pasado
-B. 2-
la onda y en proporción creciente con el tiempo.
Vamos a calcular, pues, el área neta ocupada por las
burbujas cuando una de expansión ro-mpe la columna líquida dejan_
do a ésta en su presión de vapor. Calcularemos también la distri_
bución de velocidades existentes antes y después de la onda que
rompe la columna analizando el proceso del flujo desde que se
cierra bruscamente la válvula. Por simplicidad supondremos que
la columna se rompe en la sección de la válvula.
El proceso se representa de la forma esquemática en
la figura adjunta. La onda de expansión pasa por la sección x
en el instante t. = L-x/c contado a partir de su formación. Pre
viamente la velocidad del fluido era vf hacia el deposito, redu
o —
ciéndose a v' al paso de la onda que deja al fluido a la pre
sión de vapor p hasta la llegada de la nueva onda reflejada
de compresión. En cambio la velocidad en x se deduce de v' a v
por efecto de la fricción. 7}
/- - i *v
Las ecuaciones que describen el. movimiento posterior
son distintas de las utilizadas en el texto debido a la presen-
cia inevitable de burbujas, que reducen el área efectiva de la
columna líquida desde el valor inicial A correspondiente al con-
^ o r
ducto a un valor A más pequeño: (A -A )/A es la fricción volumé -v 1 o v o —
-B. 3-
trica de burbujas que ya anticipamos que va a ser pequeña.
El principio de conservación de la masa para el lí
quido toma la forma:
——- + —- ( A v) = 0 , ^ <\j ^ ^ v 9 t 3x
q ue s e reduce a
9A V „ d V
3 t 9x
por ser (A -A )/A y v/c pequeños. F o V o
(B.l)
La ecuación de conservación de la cantidad de movimien
to en la zona de la columna líquida por la que ha ha pasado la
onda, por ser p =p , se reduce a:
3 v
3t
X 'VA 2D '
(B.2)
Integrando esta ecuación, obtenemos para v," teniendo en cuenta
que es negativa, la expresión:
1 ^ ^ 2D K 1 J ' V Vb
(B. 3a)
t =(L-ac)/c es el instante en el que la onda pasó por la sección
% x dejando al fluido a la velocidad v'.
Si adimensionalizamos las velocidades con /2gH, el tiem
po con L/c, la ecuación (B.3) queda en la forma:
— = -V - 4 fCt-t.) (b.3b) v v' 2 1
siendo f = XL/D el parámetro de fricción del conducto; la frac
ción volumétrica de burbujas a=(A -A )/A viene dada en forma J o v o ' ,
adimensional por:
-B. vi
vamos a calcular ahora, la condición inicial de la ecuación
(B.3b), v' . Para ello utilizaremos el mismo método seguido en
el Apénidce A para el cálculo de los efectos de la fricción en
las velocidades y presiones que se originan al cerrar bruscamen
te el conducto en tiempos t % 1. Las ecuaciones que nos dan las
correcciones de la velocidad y presión por fricción y dilatabili
dad no lineal del fluido y conducto son:
3P. 3(v 1+p 1) A-a 3 £ 2 *o 3 c
8 ( v l - p l } A-a 8 po 1
O 1 r: I — - — f V v
4 o I o (B.4)
9n 2 Fo 3n , f V V 4 o ' o
con las condiciones de contorno
1 2 p = TT ( 1-v ) si v > 0 *i 2 o o
1 Pl = 2* S 1 Vo < e n ^ = n
v =0 en c - n = 2-,
£ , T] son las variables características: £ = t + x, n = t-x .
Las condiciones iniciales corresponden al movimiento
<\j
estacionario con velocidad adimensional v =v //2gH . Estas son e e
en t = 0
v = v , p =0 o e *o
1 < * 2, f 2 v± =0 , P l = - ( l - v o ) - - x v e .
En la figura adjunta se dan en- el plano ( £ , n.) , las
ondas de compresión y expansión dando los valores de la primera
aproximación de la velocidad y presión. Estos valores están en
variables adimensionales. Calcularemos los valores de las corree
ciones en los instantes anterior y posterior a las reflexiones
de las ondas en las secciones extremas del conducto. De estos
valores de velocidad y presión obtendremos la distribución de
velocidad y presión antes y después del paso de la onda de expan
sión que origina la cavidad.
-B. 5-
."* V 1 1 ^ . "
s
/
/
. %^€.
\V»°
\Ty
0,-o
Pos + v7*
°s
V-
fl-l
/y
le i i i i i l 1 i i i i i i ! y
.1
¿0-"».')
/ /
° /
/ V ' *
/
~ V d
*•
'
/t
Las correcciones de la velocidad y presión, v ,p. ven
drán escritas con los subíndices correspondientes a cada punto.
Así pues en la sección de salida y en t = 0 :
V 1 M = °
P l H = I ( 1 - v ; ) - T f V e -
Siguiendo el camino MNR y MTR, -obtenemos para el ins
tante en que se refleja en el deposito la onda de compresión
(punto R correspondiente a t = 1 ):
v =-fy2 IR M- y
e
1 / „ 2, 1 4= 2 A-a 2 P 1 R = 2 (1"Ve)- 4 fVe"-irVe
-B.6-
en el instante posterior a su reflexión como onda de expansión
(t = 1 ) , punto A:
v 1 A4v e2U + f)
P1A 2 *
La onda de expansión vuelve hacia la sección de la válvula en
contrándose al fluido en el instante previo a la reflexión (pun
to S)
v i s = 0
1 ,, 2. A-a 2 P1S = 2 ( 1 - v e 1 - — ve •
El fluido detrás de esta onda, un instante antes de la reflexión
se encuentra con la velocidad y presión:
v 1 B = i v e2 ( 1 + f)
1 1 , 2 P 1 B = 2 + 2 f V e •
Cuando esta onda se refleja en la sección de la valvu_
la como otra onda de expansión, rompe la columna y avanza hacia
el depósito dejando al líquido a su presión de vapor. Esta onda
se encuentra al fluido con una distribución de velocidad y pre
sión:
v. =|v 2(l + f) i z o
1 1 r- 2 Pl = 2 + 2 f V o X *
1 1 2 La onda baia la presión desde el valor p. = -r + - fv x al valor
1 2 2 o
p / p / 2 g H c , lo que origina un aumento de la velocidad del líqui_
do según va siendo alcanzado por la onda. Así pues, tenemos en
el conducto la siguiente distribución de velocidades y presión
antes y después del paso de la onda:
-B .7-
:antes : vf = -v +% v2(l + f ) o e 2 e
p =•! (1 + fv2 x) ^ 2 e
(B.5a)
"después: P = P /p/2gH c
v'=-v + — b e 2
v (1+f)+ e
, *v 2^ 1 + v f x pgHJ e
CB.5b)
. (B.5b)
Este valor de v' dado por (B.5b) es la condición inicial de la
ecuación (B.2). Como v - v' la expresión (B . 3b ) puede ponerse:
v ' - v = -¿ 2 ¥ ( t -v • donde t . = 1-x; v' - v = 0 (£.) de manera que
I b
v = v¿ + v — ( t-l+x) , b e 2
y al sustituir el valor de v' dado por (B.5b)
v = _ v e + -2 1 _ Pv 2
v (l+f)+ -f + v^f(2x+t-l) e pgH 2
o b t e n i e n d o , p a r a l a f r a c c i ó n v o l u m é t r i c a de b u r b u j a s , l a e c u a
c i ó n
3 a 3 v 2 2 ^ TT— = e ^— = e v f . 3 1 3x e
( B . 6 )
En las proximidades de la entrefase transcurre un tiem
po t = 2 hasta que regresa la onda de compresión, luego:
A - A 0 o v . 2 — = 2e v f A o o
es el área relativa ocupada por las burbujas cerca de la entre-
fase, cuando la sección es alcanzada por la onda de compresión.
En otra sección x, esta área se reduce en«el factor x.
BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA
|l| Allievi, L., "Teoría genérale del moto perturbato dell'aqua
nei tubi in pressione". Ann. Soc. Ing. Arch. Milán, 1903.
|2| Aronovich, G.V. et al., "Waterhammer and Surge Tanks".
Pub. Israel Program for Scientific Translations , 1970.
| 3 | Baasiri, M.; Tullis, J.P., "Air Reléase During Column Sep-
aration". Trans of ASME, Vol. 105, Marzo 1983.
| 4 | Baltzer, R.A., "Column Separation Accompanying Liquid
Transients in Pipes". Trans. of ASME, Vol. 89, Diciembre
1967, pp. 837-846.
|5| CARSTENS, M.R.; HAGLER, T.W., "Waterhammar Resulting from
Cavitating Pumps". Proc. of ASCE, MYG, Noviembre 1964.
¡6 | Colé, J.D., "Perturbation Methods in Applied Mathematics".
Baisdell Publishing Company, 1968.
|7| Contractor, D.N., "Application of Fluid Transients to Hy-
draulic Rining". Trans. of ASME, Junio 1972.
|8| Chaundry, M.H., "Applied Hydraulic Transients". Pub. Van
Nostrand Reinhold, New York, 1979.
|9| Driels, M.R., "An Investigation of Pressure Transients in
a System Containing a Liquid Capable of Air Absorption".
Trans. of ASME, Paper N^ 73-FE-28, Septiembre 1983.
10 I Gray, C.A.M., "The Analysis of the Dissipation of Energy
in Waterhammar". Proc. of ASCE, Paper 274, Vol. 119, 1953.
ll| Holmboe, E.L.; Rooleau, W.T., .The Effect of Viscous Shear
on Transients in Liquid Lines", Trans. of ASME, Pper n2
66, Marzo 1967.
12| Jaeger, Ch., "Fluid Transients", Pub. Blackie, 1977.
13¡ Karam, J.T., "Two-Port Models of Column Separation in Line
Systems Containing an Aereted Liquid". Trans. of ASME,
Septiembre 1974.
14| Kevorkian, J.; Colé, J.D., "Perturbation Methods in Ap
plied Mathematics". Pub. Springer-Verlag , 1981.
15| Kranenburg, C., "Gas Reléase During Transient Cavitation
in Pipes". Proc. of ASCE, HY10, Octubre 1974, pp . 1383-139
16 I Li, W.H., Walsh, J.P., "Pressure Generated by Cavitation
in a Pipe". Proc. of ASCE EMG, Diciembre 1964, pp. 113-133.
17| Li, W.H., "Mechanics of Pipe Flow Following Column Separa-
tion. Proc of ASCE, EM4, Agosto 1962, pp . 97-118.
18| NayfeH, A.H., "Perturbation Methods". Pub. Jphn Wiley and
Sons, 1973.
19 | Nekasov, B., "Hidráulica". Ed. MIR, Mos cu ,,. 19 6 8 .
20 | Parmakian, J., "Waterhammer Analysis". Pub. Dover, 1963.
21 | Rich, G.R., "Waterhammer Analysis by The Laplace-Mellin
Transformation". Trans. of ASME, Paper N^ 44-A-38, 1945.
2 2 I Rich, G.R., "Hidraulic Transients", Pub. Dover, 1963
2 3 [ Rous, M., "Engineering Hydraulics", Pub. Iowa Institute
of Hydraulic Research, 1950.
24 | Streeter, V.L.; Lai, Ch. , "Waterhammer Analysis Including
Fluid Fiction". Trans. of ASCE, Paper 8502, Vol. 128,
pp. 1491-1552, 1963.
25¡ Streeter, V.L., "Unsteady Calculations by Numerical Methods"
Trans. of ASME, Ppaer N2 71, Junio 1972, pp . 457-466.
26 | Weyler, M.E., et al., "An Investigation of the Effect of
Cavitation Bubles on the Momentum Loss in Transient Pipe
Flow". Trans. of ASME, Vol. 93, Marzo 1971, pp. 1-10.
27 | Wylie, E.B.; Streeter, V.L., "Fluid Transients", Pub.
McGraw-Hill, 1978.
Wood, F.M., "The Application of Heavisides Operational
Calculus to the Solutions of Problems in Waterhammer".
Trans. of ASME, Paper Hyd. 59-15, 1937.
Zhukovski, N., "Waterhammer". Proc . of American Water
Works, Vol. 24, 1904.
Parra, I.E., "Oscilaciones en Sistemas Hidráulicos", Te
sis Doctoral, E.T.S.I.Aeronáuticos , Universidad Politéc
nica de Madrid, 1981