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Test d’IpotesiTest d’Ipotesi
Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica
a.a. 2007/2008 Secondo Periodo
Prof. Filippo DOMMA
Corso di Laurea in MQEGA(Metodi Quantitativi per l’Economia e la Gestione delle Aziende)
Facoltà di Economia – UniCal
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Test d'Ipotesi F. Domma 2
Il test statistico è una decisione operativa presa sulla base di risultatisperimentali, tenendo conto di considerazioni probabilistiche.
La problematica del test può essere suddivisa in tre fasi:
a. formulare una ipotesi sulla v.c. X;b. osservare il campione casuale; c. in base ai risultati campionari decidere se accettare o rifiutare l’ipotesi fatta.
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Test d'Ipotesi F. Domma 3
Definizione. Un’ipotesi statistica è una affermazione sulla distribuzione di una o più variabili casuali.
Se l’ipotesi statistica specifica completamente la distribuzione dellav.c. allora l’ipotesi è detta semplice; in caso contrario, viene chiamataipotesi statistica composta.Le ipotesi verranno indicate con la lettera H.
Esempi. Data una v.c. X~N(,9) a. l’ipotesi H: =15 è semplice perché specifica completamente la distribuzione della v.c. X; b. l’ipotesi H: >15 è composta.
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Test d'Ipotesi F. Domma 4
Dato un modello parametrico M={ X , P }, sia 0 un sottoinsieme dello spazio parametrico . Si vuole verificare
dove 10e 10
00 : H
11 : H
Ipotesi NULLA
Ipotesi ALTERNATIVA
L’ipotesi statistica riguardante la v.c. X e, quindi, il parametro ,implica una bipartizione dello spazio parametrico in due regioni,0 e 1, di cui una rappresenta l’ipotesi nulla H0 e la complementarerappresenta l’alternativa H1.
Prima Fase.
contro
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Test d'Ipotesi F. Domma 5
Seconda Fase: consiste nell’estrazione dallo spazio campionario del campione x=(x1,…,xn).
Terza Fase (prendere una decisione su H): viene condotta sullo spazio campionario.
Più precisamente, si suddivide lo spazio campionario in due regioni,C0 e C1 tali che
χ 10 CC 10 CCe
Se 1n1 C)x,...,x( x Allora si accetta H0
Se 0n1 C)x,...,x( x Allora si rifiuta H0
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Test d'Ipotesi F. Domma 6
Definizione. Sia C0 quel sottoinsieme dello spazio campionario che in accordo con un prefissato test, conduce al rifiuto dell’ipotesi H0, se il campione osservato x appartiene a C0. Allora C0 è detta regione critica ( o di rifiuto) del test.
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Test d'Ipotesi F. Domma 7
In sintesi, le fasi di un test possono essere così rappresentate:
Da ciò deriva che la regola di decisione se accettare o rifiutare H0 è una bipartizione dello spazio campionario.
1Θ
0Θ
Θ χSpazio parametrico Spazio campionario
00 : ΘH
11 : ΘH
C0
C1RegioneCritica
Regionedi Accettazione
Se x appartiene a C1 allora accetto H0
Se x appartiene a C0
allora rifiutoH0
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Test d'Ipotesi F. Domma 8
Possiamo concludere affermando che:il test è una corrispondenza tra lo spazio campionarioe lo spazio parametrico, dove il primo è suddiviso in due regioni(C0 e C1) secondo la regola di decisione ( è il fulcro del test ), mentre lo spazio parametrico è diviso in due regioni (0 e 1) a seconda delle ipotesi da verificare.
Naturalmente, la corrispondenza tra X e ha senso solo se valutata in termini probabilistici. Quindi, dobbiamo chiederci qual è la probabilità che il campione appartenga, ad esempio, alla regione critica, cioè:
i0 H/CP X
i=0,1, la quale può essere calcolata assumendo vera una delle ipotesi.
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Test d'Ipotesi F. Domma 9
In tale contesto, si possono avere quattro situazioni possibili, ottenutedalla combinazione dei due “stati di natura” (H0 vera, H0 falsa) con le due “azioni possibili” (accetto H0, rifiuto H0), cioè
STATI di NATURA
Vera H0 Falsa H0AZIONI Accetto H0 G1 E2POSSIBILI Rifiuto H0 E1 G2
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Test d'Ipotesi F. Domma 10
Descrizione degli eventi: G1: in base al campione decido di accettare H0 e H0 è vera; G2: in base al campione decido di rifiutare H0 e H0 è falsa; E1: in base al campione decido di rifiutare H0 e H0 è vera; E2: in base al campione decido di accettare H0 e H0 è falsa;
Probabilità degli eventi:
1H/CPvera è H/H AccettoPGP 00r00r1r X
1H/CPalsaf è H/H ifiutoRPGP 10r00r2r X
00r00r1r H/CPvera è H/H ifiutoRPEP X
10r00r2r H/CPalsaf è H/H AccettoPEP X
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Test d'Ipotesi F. Domma 11
Spesso E1 viene definito come errore di primo tipo ed E2 errore disecondo tipo.
Concludendo si ha:
STATI di NATURA
Vera H0 Falsa H0AZIONIPOSSIBILI
0Cx
0Cx
1
1
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Test d'Ipotesi F. Domma 12
Definizione. Funzione di Potenza.La funzione di potenza di un test di un’ipotesi statistica H0 contro un’ipotesi alternativa H1, è quella funzione, definita per tutte le distribuzioni sotto considerazione (le ipotesi), che fornisce la probabilità che il campionecada nella regione critica C0 del test, cioè una funzione che fornisce la probabilità di rifiutare l’ipotesi sottoconsiderazione.Il valore della funzione di potenza in corrispondenza di un punto dello spazio parametrico è detta potenza del test. Formalizzando abbiamo:
i0 H/CP)(K X
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Test d'Ipotesi F. Domma 13
Definizione. Livello di significatività.Il livello di significatività del test (o ampiezza dellaregione critica C0) è il valore massimo della funzione di potenza del test quando H0 è vera. Cioè:
000 H/CP)(K X
Se H0 è definita come : H0: = 0
00 H/CPsup)(K0
X
Se H0 è definita come : H0: 0
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Test d'Ipotesi F. Domma 14
Si può osservare che l’ipotesi H0 riflette, in generale, la situazione precedente all’esperimento campionario, nel senso che accettandoH0 la situazione non cambia. E’ dal rifiuto di H0 che bisogna cautelarsi in quanto tale rifiutoimplica una modifica delle condizioni e delle acquisizioni ritenute valide in precedenza, il che implica per lo più costi, rischi, modifiche tecniche, nuove procedure operative, …ecc..In tal modo si ritiene preferibile commettere un errore non modificando la realtà (errore di secondo tipo) piuttosto che correre il rischio di errare modificando la realtà (errore di primo tipo).
Esempio. In un giudizio penale, l’imputato è innocente fino a prova contraria. E’ fondamentale che per il giudice sia H0 l’ipotesi che egli sia innocente.
Secondo questa logica si ritiene ben più grave condannare un innocente (errore di I tipo) che assolvere un colpevole (errore di II tipo).
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Test d'Ipotesi F. Domma 15
Nel tentativo di definire un “buon” test, la ricerca va orientata versoil contenimento probabilistico degli errori, dando maggiore rilevanzaall’errore di I tipo, senza ovviamente trascurare quello di II tipo.
Un metodo per definire un test ottimale consiste nel fissarel’ampiezza d’errore di I tipo e minimizzare l’ampiezza d’erroredi II tipo.
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Test d'Ipotesi F. Domma 16
Regione critica migliore di ampiezza
Definizione. Sia C0 un sottoinsieme dello spazio campionario . Allora C0 è detta regione critica migliore di ampiezza , per verificare l’ipotesi semplice H0:= 0 contro l’ipotesi semplice H1:= 1 se, per ogni sottoinsieme A dello spazio campionario per il quale
0H/AP XSi ha:
00 H/CP )i X
110 H/APH/CP )ii XX
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Test d'Ipotesi F. Domma 17
In altri termini C0 è la regione critica migliore di ampiezza se tratutte le altre regioni critiche della stessa ampiezza , possiedepotenza maggiore o uguale rispetto a tutte le altre regioni critiche.
Il test basato su una regione critica migliore è chiamatotest più potente.
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Test d'Ipotesi F. Domma 18
Teorema. (di Neyman e Pearson).Sia X=(X1,…,Xn) un c.c. iid estratto da f(x;). Sia L(;x) la funzione di verosimiglianza di x. Siano 1 e 2 due valori fissati e distinti di tali che ={: = 1 oppure = 2}; sia, infine, K un numero positivo.Se C0 è un sottoinsieme dello spazio campionario tale che:
02
1 C k);L(
);L( )i
xx
x
02
1 C k);L(
);L( )ii
xx
x
00 H/CP )iii X
Allora C0 è una regione critica migliore di ampiezza per verificare l’ipotesi H0:= 1 contro l’ipotesi H1: = 2.
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Test d'Ipotesi F. Domma 19
Dimostrazione.
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Test d'Ipotesi F. Domma 20
Non sempre bisogna individuare C0 e k che soddisfano le condizioniposte dal teorema. Spesso si riesce a trasformare la disuguaglianza (i)in una disuguaglianza che riguarda una particolare statistica.Esempio.
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Test d'Ipotesi F. Domma 21
Test del Rapporto di Verosimiglianza Generalizzato
Sia (X1,…,Xn) un c.c. iid estratto da f(x;).Supponiamo di voler effettuare il seguente test:
00 :H contro11 :H
dove 10 10e
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Test d'Ipotesi F. Domma 22
Definizione. Rapporto di verosimiglianza Generalizzato. Sia L(;x) la funzione di verosimiglianza di un campione x. Si definisce rapporto di verosimiglianza generalizzato la quantità:
);(Lsup
);(Lsup)( 0
x
xx
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Test d'Ipotesi F. Domma 23
Osservazioni:1. (x) è una funzione del campione osservato x. Sostituendo a x il c.c. X otteniamo (X) è una statistica in quanto non dipende dai valori del parametro .
2. I valori di (x) appartengono all’intervallo [0,1].
3. I valori della statistica (X) sono usati per il seguente test:
00 :H 11 :H contro
Tramite il rapporto di verosimiglianza si stabilisce che:
00 )( H rifiuta si x
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Test d'Ipotesi F. Domma 24
Dove 0 è una costante determinata dal livello di significatività del test.Il test del rapporto di verosimiglianza generalizzato ha senso anche intuitivamente in quanto (x) tende ad essere piccolo quando H0 non è vera, dato che il denominatore tende ad essere maggiore del numeratore.Per un livello di significatività fissato il corrispondente valore di 0 tale che
00r H/)(P X
può essere determinato in modo esatto solo se è nota la distribuzionecampionaria della statistica (X), in altri casi è necessario farriferimento ad approssimazioni per grandi campioni.
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Test d'Ipotesi F. Domma 25
Esempio.
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Test d'Ipotesi F. Domma 26
Teorema. Sia X1, X2,… una successione di v.c. iid estratta da f(x;). Consideriamo il test H0:= 0 contro H1: 0 Assumiamo che la sequenza delle radici dell’equazione di verosimiglianza siano consistenti e che siano vere le condizioni di regolarità per la normalità asintotica degli stimatori di massima verosimiglianza. Allora, sotto H0
)1()(ln2 2d
nn X
E’ evidente che si rifiuta H0 se -2ln{(x)} è elevato. In particolare, fissato , se
02 H rifiuto )1()}(ln{2 x
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Test d'Ipotesi F. Domma 27
Teorema. Sia X1, X2,… una successione di v.c. iid estratta da f(x;). =(1,…, k)k
Consideriamo il test
)r()(ln2 2d
nn X
Se sono soddisfatte alcune condizioni di regolarità,allora, sotto H0
k1r0rr
022
0110 ,..., ,,..., ,:H
0rr
022
0111 ,..., ,:H
dove 0r
02
01 ,..., , Sono valori noti
k1r ..., , Non sono specificati
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Test d'Ipotesi F. Domma 28
Test di Significatività
a) Individuare una statistica (test) che si comporta in modo diverso sotto le due ipotesi H0 e H1;b) utilizzare il diverso comportamento della statistica per definire il test.
Esempio. Dato un c.c. di dimensione 20 estratto da un v.c. N(,1), si vuole verificare se H0: =10 contro H1: =15 Consideriamo la STATISTICA TEST media campionaria; sappiamo che:
201
0 10,N~X H sotto
201
1 15,N~X H sotto
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Test d'Ipotesi F. Domma 29
Graficamente si ha:
x
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Test d'Ipotesi F. Domma 30
1. Osservato il valore della media campionaria
0H rif. 15 a vicino"" è x se
0H acc. 10 a vicino"" è x se
2. Possibili eventi tra 10 e 15 sono: G1: accetto H0 e H0 è vera; G2: rifiuto H0 e H0 è falsa; E1: rifiuto H0 e H0 è vera; E2: accetto H0 e H0 è falsa.
10 15
H0H1
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Test d'Ipotesi F. Domma 31
3. Problema: costruire una regione (critica) C0 tale che:
00 H rifiuto C x se
significa individuare, con qualche criterio, un punto (detto punto critico) tra 10 e 15 in modo tale che:
Cx x x se 00
Cx x x se 00 H0 H1
0xC0
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Test d'Ipotesi F. Domma 32
Fissato , sappiamo che 00r H/CP X
Nel caso dell’esempio, fissato , si ha:
00r00r H/xXP1H/xXP
000
r z120/1
10x1
20/1
10x
20/1
10XP1
dove
20/1
10xz 0
0
Si individua dalle tavole della N(0,1)
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Test d'Ipotesi F. Domma 33
20
z10x 0
0
Punto critico è dato da:
E’ il confine tra la Regione Critica e la Regione di Accettazione.
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Test d'Ipotesi F. Domma 34
Fasi per la costruzione di un Test di Significatività:
1. Si formulano le ipotesi;2. Si individua la statistica test;3. Si fissa il livello di significatività;4. Si determinano i punti critici;5. Si costruisce la regione critica;6. Si estrae il campione e si verifica se il valore della statistica test appartiene oppure non appartiene alla regione critica;7. Si decide se accettare o rifiutare l’ipotesi nulla.
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Test d'Ipotesi F. Domma 35
TEST sui parametri di una v.c. NORMALE
Dato un c.c. iid di dimensione n, estratto da un v.c. N(,20),
si vuole verificare se
H0: = contro H1: = con
La STATISTICA TEST media campionaria è tale che
n00
20,N~X H sotto
n11
20,N~X H sotto
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Test d'Ipotesi F. Domma 36
GRAFICO
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Test d'Ipotesi F. Domma 37
Fissato , determiniamo il punto critico
00r00r H/xXP1H/xXP
zn
x
n
x
n
XPr
1/
1//1
10
00
0
000
dove
n/
xz
0
00
Si individua dalle tavole della N(0,1)
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Test d'Ipotesi F. Domma 38
nzx 0
00
Da quest’ultima il punto critico risulta essere:
E, quindi, la regione critica è:
n
zx:xxx:xC 0000
Osservato il campione, si calcola la media campionaria
H rifiuto xx se 00
H accetto xx se 00
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Test d'Ipotesi F. Domma 39
Calcolo della probabilità d’errore di II tipo:
1010 // HxXPHCXP rr
zzZP
n/
x
n/
XP r
0
10
0
1r
Dato che
0x
10e sono per ipotesi noti
È stato calcolato in precedenza
zallora È noto, quindi, dalle tavole possiamo calcolare
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Test d'Ipotesi F. Domma 40
Calcolo della potenza del test:
falsa è H/H rifiutareP1K 00r
n/
x
n/
XPH/xXP
0
10
0
1r10r
z1zZPr
Dove
n/
xz
0
10
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Test d'Ipotesi F. Domma 41
Si evidenzia che i due errore, e , sono legati da una relazione inversa: - Al diminuire di , il punto critico si sposta a destra e, quindi, aumenta;- al diminuire di , il punto critico si sposta a sinistra e, quindi, aumenta
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Test d'Ipotesi F. Domma 42
Per diminuire contemporaneamente i due errori, bisogna aumentare la dimensione campionaria; infatti: abbiamo:
z1n/
x1
0
00 00r H/xXP
nx
z0
00
dove
Dato che il punto critico è maggiore di 0, all’aumentare di n, z aumenta e, quindi, (z) aumenta. Di conseguenza, diminuisce.
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Test d'Ipotesi F. Domma 43
10r H/xXP
z
n/
x
n/
XP
0
10
0
1r
Al contrario, per l’errore di secondo tipo, si ha:
nx
z0
10
dove
Dato che il punto critico è minore di 1, all’aumentare di n, z diminuisce e, quindi, (z)= diminuisce.
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Test d'Ipotesi F. Domma 44
TEST sulla media di una v.c. NORMALE
n00
20,N~X H sotto
Dato un c.c. iid di dimensione n, estratto da un v.c. N(,20),
si vuole verificare se
H0: = contro H1: Alternativa BILATERALE
La STATISTICA TEST media campionaria è tale che
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Test d'Ipotesi F. Domma 45
Intuitivamente rifiutiamo H0 per valori della media campionaria moltopiù grandi di 0 oppure molto più piccoli di 0.
In questo caso si individuano due punti critici sx dxe
tali che rifiutiamo H0
xx se oppure xx se ds
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Test d'Ipotesi F. Domma 46
Determinazione dei punti critici.Fissato l’errore di I tipo, ripartiamo sulle code in modo tale che:
s
0
0s
0
0r0sr
2z
n/
x
n/
XPH/xXP
2
ddrdr z
n
x
n
XPHxXP
21
///
2 0
0
0
00
Dalle tavole della N(0,1), calcoliamo22
zzs e
nzx 0
0s2
nzx 0
0d2
22zzd
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Test d'Ipotesi F. Domma 47
Regione di rifiuto è data da
ds xxxxxC , :)(0
n
zx , n
zx :x 00
00
22
La regione critica può essere espressa anche nel seguente modo:
22
zz , zz :z)(C ccc0
dove
nx
z0
0c
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Test d'Ipotesi F. Domma 48
La funzione di potenza del test dipende da
10r H/)(CXP)(k 1dsr H/xXxXP
1dr1sr H/xXPH/xXP
n/
x
n/
XP
n/
x
n/
XP
0
d
0
r
0
s
0
r
n/
xZP
n/
xZP
0
dr
0
sr
n/
x1
n/
x
0
d
0
s
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Test d'Ipotesi F. Domma 49
La degenza ospedaliera per il trattamento di una certamalattia per i pazienti della classe di età 20-40 sidistribuisce normalmente con media incognita edeviazione standard pari a 2.1.Posto =0.01 e n=30, determinare:a. la zona di rifiuto del test H0:=7 contro H1:>7b. la potenza del test di cui al punto precedente per=7.6; 8.5; 9.
Esempio
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Test d'Ipotesi F. Domma 50
TEST sulla media di una v.c. NORMALE
Dato un c.c. iid di dimensione n, estratto da un v.c. N(,2), con varianza sconosciuta, si vuole verificare se
H0: = contro H1: Alternativa BILATERALE
La STATISTICA TEST media campionaria è tale che n00
2
,N~X H sotto
Dato che la varianza è sconosciuta, la media campionaria non può essere utilizzata come statistica-test.
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Test d'Ipotesi F. Domma 51
Sotto H0
)1(~/
0
ntnS
XT
Fissato , ripartendo l’errore di primo tipo sulle code, si ha:
)(000
2///
2s
rs
rsr tTPns
x
nS
XPHxXP
)(000
2///
2d
rd
rdr tTPns
x
nS
XPHxXP
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Test d'Ipotesi F. Domma 52
dove
ns
xt ss
/0)(
2
ns
xt dd
/0)(
2
Dalle tavole della t-student si evince che
)1(22
)( ntt s )1(22
)( ntt d
I punti critici risultano:
n
sntxs )1(
20
n
sntxd )1(
20
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Test d'Ipotesi F. Domma 53
ds xxxxxC , :)(0
)1( , )1( :
2200
n
sntx
n
sntxx
La regione critica può essere espressa anche nel seguente modo:
1)-(n , 1)-(n :)(22
0 tttttC ccc
dove
In definitiva la regione critica risulta essere:
ns
xtc
/0
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Test d'Ipotesi F. Domma 54
Estratto il campione x=(x1,…,xn), si calcola la media campionaria e la varianza campionaria e si verifica se :
00 H rifiuta )( Ctc
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Test d'Ipotesi F. Domma 55
Esempio.Una grande catena nazionale di punti vendita di articoli per la casa effettua una svendita di fine stagione di tosaerba. Il numero di tosaerbavendute durante questa liquidazione, in un campione di dieci negozi, è il seguente:8, 11, 0, 4, 7, 8, 10, 5, 8, 3. Vi sono elementi per sostenere, ad un livello di significatività di 0.05, che durante questa svendita in media siano state svendute più di 5 tosaerba per negozio ? Assumete che il numero di tosaerba sia normalmente distribuito.
![Page 56: Test dIpotesi Corso di Teoria dellInferenza Statistica a.a. 2007/2008 Secondo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in MQEGA (Metodi Quantitativi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4f497959361e8bec6c/html5/thumbnails/56.jpg)
Test d'Ipotesi F. Domma 56
Dualità tra Intervalli di Confidenza al 100(1-)% e Test di Significatività al livello .
Dato un c.c. iid di dimensione n, estratto da un v.c. N(,20), con
varianza nota, si vuole verificare se H0: = contro H1: Alternativa BILATERALERegione critica
, :)( 0
00
0022 nzx
nzxxC
Regione di Accettazione
: 0
00
022 nzx
nzxA
![Page 57: Test dIpotesi Corso di Teoria dellInferenza Statistica a.a. 2007/2008 Secondo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in MQEGA (Metodi Quantitativi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4f497959361e8bec6c/html5/thumbnails/57.jpg)
Test d'Ipotesi F. Domma 57
L’Intervallo di confidenza per è:
, .. 00
22 nzx
nzxCI
Se H0:=0 e 0 appartiene all’I.C. allora accettiamo H0; infatti, si ha:
.. 0
00
022 nzx
nzxCI
- 0
00
022 nzx
nz
00 H accetto )(C x
Vale il viceversa.
![Page 58: Test dIpotesi Corso di Teoria dellInferenza Statistica a.a. 2007/2008 Secondo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in MQEGA (Metodi Quantitativi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4f497959361e8bec6c/html5/thumbnails/58.jpg)
Test d'Ipotesi F. Domma 58
TEST sulla varianza di una v.c. NORMALE
Dato un c.c. iid di dimensione n, estratto da un v.c. N(,2), con media e varianza sconosciute, si vuole verificare se
H0: = contro H1: Alternativa UNILATERALE
In tale contesto, sotto H0 sappiamo che
)1( ~ )1( 2
20
2
nSn
V
![Page 59: Test dIpotesi Corso di Teoria dellInferenza Statistica a.a. 2007/2008 Secondo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in MQEGA (Metodi Quantitativi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4f497959361e8bec6c/html5/thumbnails/59.jpg)
Test d'Ipotesi F. Domma 59
Fissato , la regione critica è:
)1(
20
2
sn
Vc
)1(:)( 20 nVVC cc
dove
e
)1( 2 nVPr
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Test d'Ipotesi F. Domma 60
Esempio.Si consideri una popolazione statistica adattata da una v.v. Normale con media e varianza incognite. Si estrae un c.c. di numerosità n=16 E si determina il valore della varianza campionaria, s2=25.Si sottoponga a test unilaterale l’ipotesi nulla che la varianza della popolazione sia pari a 23 ad un livello di significatività dell’1%.
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Test d'Ipotesi F. Domma 61
TEST sulla differenza tra le medie di due v.c. NORMALI
Siano X ed Y due v.c. indipendenti e normalmente distribuite, cioè
2xx,N~ X 2
yy,N~Y
)1( mX)1( nY
mx
2
,N~X x ny
2
,N~Y y
![Page 62: Test dIpotesi Corso di Teoria dellInferenza Statistica a.a. 2007/2008 Secondo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in MQEGA (Metodi Quantitativi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4f497959361e8bec6c/html5/thumbnails/62.jpg)
Test d'Ipotesi F. Domma 62
Posto =x-y si vuole costruire il seguente test
0:0 H contro 0:0 H
Primo caso: 2x e
2y note
Stimatore naturale della differenza tra le medie YXD
Abbiamo visto che: yxDE
nm
DV yx
22
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Test d'Ipotesi F. Domma 63
nm
ND yx
22
, 0~
Sotto H0
Rifiutiamo H0 se i valori di D sono molto diversi dallo zero.
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Test d'Ipotesi F. Domma 64
Fissato , calcoliamo i punti critici:
)(0 )()(
/2
sr
srsr zZP
DV
d
DV
DPHdDP
)(0 )()(
/2
dr
drdr zZP
DV
d
DV
DPHdDP
dove
nm
d
DV
dz
yx
sss
22
)(
)(
nm
d
DV
dz
yx
ddd
22
)(
)(
![Page 65: Test dIpotesi Corso di Teoria dellInferenza Statistica a.a. 2007/2008 Secondo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in MQEGA (Metodi Quantitativi](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4f497959361e8bec6c/html5/thumbnails/65.jpg)
Test d'Ipotesi F. Domma 65
Dalle tavole della N(0,1), si ha:
2
)( zz s
2
)(zz d
nmzd yx
s
22
2
nm
zd yxd
22
2
Sostituendo otteniamo i punti critici:
La regione critica è data da:
, :)(0 ds dddddC
con yxd
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Test d'Ipotesi F. Domma 66
Secondo caso: varianze sconosciute ma uguali222 yx
YXD
yxDE
nmnmDV yx 112
22
1 , 0 ~1122
N
nm
D
nm
DZ
yx
Stimatore naturale della differenza tra le medie
Si ha, inoltre, che
Sotto H0 la quantità
non è una statistica – test perché è un parametro sconosciuto.
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Test d'Ipotesi F. Domma 67
)2(~
11
nmt
nmS
DT
p
xx
Per quanto detto nelle lezioni sugli Intervalli di confidenza, la quantità
dove
)2nm(
S)1n(S)1m(S
2y
2x2
p
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Test d'Ipotesi F. Domma 68
)2(~11
nmt
nmS
DT
p
Sotto H0 la quantità
È una statistica –test per verificare le ipotesi
con =x-y.
0:0 H contro 0:0 H
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Test d'Ipotesi F. Domma 69
Fissato , calcoliamo i punti critici:
)(
11110/2
sr
nmp
s
nmp
rsr tTPs
d
S
DPHdDP
)(
11110/2
dr
nmp
d
nmp
rdr tTPs
d
S
DPHdDP
nms
dt
p
ss
11)(
dove
nms
dt
p
dd
11)(
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Test d'Ipotesi F. Domma 70
Dalle tavole della t-Student, si ha:
)2(2
)( nmtt s
nmps snmtd 11)2(2
Sostituendo otteniamo i punti critici:
La regione critica è data da:
, :)(0 ds dddddC
con yxd
)2(2
)( nmtt d
nmpd snmtd 11)2(2
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Test d'Ipotesi F. Domma 71
Esempio.Per provare l’utilità terapeutica di due nuovi farmaci, A e B, un gruppo di ricercatori sperimenta entrambi su un gruppo casuale di 10 soggetti. I risultati sperimentali, misurati utilizzando un determinato indice, sonoI seguenti:farmaco A: 25, 46, 39, 60, 24, 23, 38, 42, 50, 46farmaco B: 43, 29, 38, 51, 44, 28, 23, 20, 56, 55Supponendo che l’utilità terapeutica possa essere adattata statisticamente da distribuzioni normali e che le varianze delle duepopolazioni siano uguali, determinare un intervallo di confidenza per ladifferenza delle utilità terapeutiche medie dei due farmaci al livello diconfidenza del 99%. Inoltre, stabilire se la differenza tra le utilitàmedie è significativamente diversa da zero.