BAB IPENDAHULUANA. Latar Belakang

Pemodelan adalah suatu proses menemukan model pemecahan masalah berupa persamaan, rumus, fungsi dan algoritma untuk memcahkan suatu permasalahan. Pemodelan matematika adalah bahasa matematika yang digunakan untuk menyederhanakan suatu fenomena atau kejadian nyata hampir di segala bidang pada suatu kondisi tertentu untuk memudahkan penyelesaian. Dalam penggunaannya perumusan model ini merujuk pada tujuan yang diinginkan dari konstruksi model tersebut. Misalnya model iklim ditujukan untuk prediksi cuaca di masa yang akan datang, model simulasi pesawat terbang ditujukan untuk melatih pilot yang akan menerbangkan pesawat sesungguhnya. Model pertumbuhan populasi, mangsa dan pemangsa bertujuan untuk mengelola suatu tempat atau lingkungan. Fase dalam melakukan pemodelan matematika dimulai dari konsep atau logika yang ada pada fenomena dilanjutkan formulasi, kemudian simulasi atau uji coba dan yang terakhir aplikasi. Jika ada suatu permasalahan (data) yang ingin dipecahkan dari suatu masalah, maka timbul berbagai asumsi atau anggapan dari berbagai para ahli untuk menyelesaikan masalah tersebut. Dari sebagian asumsi mungkin bisa diterapkan untuk menyelesaikan sebagian masalah yang hanya cocok pada suatu kondisi saja, sementara untuk kondisi yang lain belum tentu cocok, sehingga dalam hal ini terjadi kesalahan-kesalahan dalam memodelkannya secara matematis. Sehingga dalam hal ini perlu adanya hubungan antara model terhadap data. Kebanyakan dalam model matematika mengandung kesalahan-kesalahan. Sebagaimana yang telah dijelaskan pemakalah sebelumnya, Seorang Pemodel matematika seharusnya tidak boleh santai atau tidak khawatir tentang kesalahan. model yang baik harus mencakup beberapa estimasi error/kesalahan formal maupun informal. Paling tidak, seseorang harus memiliki gagasan tentang di mana kesalahan dalam sebuah model yang bakal mungkin terjadi. Von Neumann dan Goldstine dalam (Meyer,1985:69) memaparkan bahwa ada empat kategori sumber kesalahan yang mungkin terjadi dalam pemodelan. Hal ini berguna untuk subjek estimasi kesalahan. Adapun Empat kategori tersebut yaitu: (1) Asumsi Modeling; (2) Pengamatan; (3) Aproksimasi proses uncomputable atau fungsi, dengan dihitung proses atau fungsi; (4) Pembulatan dari hasil perhitungan aritmatika. Setelah mengetahui permasalahan tersebut, maka dilakukanlah pengujian model dan penempatan fakta sesuai urutan. Pengujian model dan penempatan fakta sesuai urutan inilah yang akan dibahas pada makalah ini. B. Rumusan masalahRumusan masalah pada makalah ini adalah:1. Bagaimanakah pengujian model pada proses voting?2. Bagaimanakah cara penempatan fakta sesuai urutan pada tabel periodik mandelev?

C. Tujuan Untuk mengetahui:1. Pengujian model pada proses voting.2. Cara penempatan fakta sesuai urutan pada tabel periodik mandelev.

BAB IIPEMBAHASAN

A. Pengujian Model-Permainan Voting BerimbangPada pembahasan ini, sistem voting berimbang sering tidak adil. Sistem voting berimbang Sulit untuk memverifikasi kesimpulan dengan memeriksa hasil dari voting. Bahkan jika kita bisa menentukan kapan seorang voter memiliki sedikit hak suara daripada tidak sama sekali, hal itu bisa menjadi alasan lain disamping sistem voting yang menjelaskan hal ini. Oleh karena itu, kita harus memutuskan apakah model itu meyakinkan tanpa mengacu pada pengamatan empiris.Kemungkinan perilaku bagian sebelumnya adalah bahwa sejak adanya begitu banyak ruang kesalahan dalam pemodelan. Ini adalah ide yang baik untuk menguji prediksi dari model terhadap realitas. Itu nasihat yang baik, tapi kadang-kadang sulit untuk diikuti. Sebagai contoh, pada tahun 1963 N. Keyfitz merumuskan sebuah model matematika yang memungkinkan dia untuk menyimpulkan bahwa sekitar 69 miliar orang telah hidup di bumi sepanjang sejarah sampai 1960. Alaminya, pengujian ini tidak mungkin karena sebagian besar orang-orang ini tidak lama untuk diperhitungkan.Kadang-kadang pengujian ini mungkin tapi tidak diinginkan. Banyak perencanaan strategi terletak di belakang sistem penangkal nuklir Amerika Serikat yang berdasarkan pada model matematika. Kami melakukan tes parsial dari model ini dengan permainan perang, tapi tes yang benar akan memerlukan perang. kenyataannya, kita lebih suka melakukan tanpa percobaan.Akhirnya, ada kasus di mana pengujian akan mungkin dilakukan dan tidak bencana, tapi tidak dipraktekkan. Sebagai contoh, sekitar 750.000 spesies serangga telah ditemukan dan dibukukan. Model matematika telah digunakan untuk memperkirakan bahwa ada jutaan lebih sedang menunggu untuk ditemukan. Kita bisa mencoba untuk memverifikasi ini dengan mencari dan membukukan sisanya disepanjang serangga dunia. Tetapi melaksanakan tugas ini mungkin akan berarti bahwa setiap ahli biologi, naturalis, dan pengamat kupu-kupu di dunia harus mencurahkan waktu penuh untuk itu selama bertahun-tahun.Sekarang, mari kita lihat contoh secara lebih rinci.Dalam pemilihan umum di mana setiap orang memiliki satu suara, jelas bahwa semua pemilih memiliki hak suara yang sama. Namun, terdapat sistem voting berimbang di mana voter mungkin tidak semua memiliki jumlah suara yang sama. Tujuan kami di sini adalah untuk memperkirakan kewajaran pada ketidakadilan sistem tersebut.Contoh IPada tahun 1958 Nassau County (New York) Dewan Supervisor terdiri dari enam Supervisor dari lima kota yang membentuk Nasssau County (satu kota mempunyai dua wakil). Karena kota ini memiliki ukuran yang sangat berbeda (lihat tabel 1), akan jelas terlihat ketidakadilan dalam memberikan satu suara oleh setiap pengawas. Sebaliknya, jumlah orang yang ditugaskan kepada supervisor adalah sekitar sebanding dengan penduduk kota yang diwakili supervisor.Table 1 Voting Berimbang Nassau County, New YorkPopulationJumlah suaraPopulationJumlah suara

Municipality19541958196019M

S, Hempstead 1*618.0659728.62531

S2 Hempstead 2931

S} North Hempstead184,0607 '213.22521

S Oyster Bay164,7163285.54528

S, Glen Cove19.2961 22,7522

S Long Beach17,999125.6542

Total1,004,136301,275,801115

* Hempstead got two representatives.

Pertanyaannya adalah: jika suara disusun dengan cara ini, akankah hak suara yang sebenarnya keluar menjadi sebanding dengan jumlah suara yang ditugaskan pada seorang supervisor? Cukup aneh, jawabannya mungkin tidak!Pertanyaan yang diajukan pada contoh sebelumnya lebih mudah untuk dipelajari dengan contoh sederhana. Misalkan kita memiliki tiga voter A, B dan C, di mana A dan B masing-masing memiliki satu suara dan C memiliki tiga. Seperti dalam semua contoh dalam bagian ini, kita menganggap bahwa mayoritas sederhana menentukan sisi kemenangan. Jelas A dan B tidak memiliki kekuatan sama sekali meskipun masing-masing memiliki seperlima dari total suara. Contoh ini menunjukkan bahwa fraksi dari total suara dipegang oleh voter tidak mungkin menjadi ukuran yang baik dari kekuatan voter. Lalu bagaimana seharusnya kita mengukur hak suara? Metode yang akan kita bahas di sini dirancang oleh Jhon F. Banzhaf III, seorang pengacara yang cenderung matematis. Tidak hanya sistem matematik persuasif, tetapi telah diterima oleh berbagai pengadilan di Amerika Serikat, yang telah dipanggil untuk membuat peraturan dalam kasus yang berasal dari Mahkamah Agung "satu orang satu suara" keputusan pada 1962.Namun sebelum kami menerangkan Sistem Banzhaf, mari kita mempertimbangkan kesulitan jika kita mencoba untuk mengukur hak suara dengan pengamatan langsung dari munsyawarah Dewan Pengawas Nassau County. Ada banyak faktor disamping jumlah suara yang mempengaruhi berapa banyak hak suara anggota yang dimiliki seorang anggota dewan. Seorang anggota dengan hanya memiliki sedikit suara mungkin memiliki pengaruh besar karena dapat memaksa orang lain untuk mengikuti akun kepribadian, pengetahuan, hubungan politik, pengalaman yang lebih besar dalam politik, dan lain-lain. Bagaimana kita bisa menilai dampak dari banyak faktor yang menentukan hak suara? Kita tidak bisa. Tentu saja tidak ada cara untuk melakukan percobaan terkontrol di mana kita menyamakan kepribadian, kecerdasan, hubungan politik, dan lain-lain di antara pengawas. Untungnya, ditemukan hak suara yang sebenarnya dari seorang supervisor sebenarnya tidak menjadi masalah pada isu. Apa yang kita ingin tahu adalah berapa banyak hak suara pada sistem pemungutan suara yang diberikan supervisor (relatif terhadap supervisor lainnya)?Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita pertimbangkan suara tertentu di mana enam supervisor line up yang ditunjukkan dalam pemilihan pertama dari tabel 2. Pada tabel ini Y berarti "ya", N berarti "tidak", dan jumlah suara untuk berbagai supervisor di dalam kurung. Himpunan voter yang memilih ya disebut koalisi ya, dan sisanya membentuk koalisi tidak . Sepasang koalisi disebut line-up. Dalam suara pertama dari tabel 2 posisi ya mendapatkan 16 suara dan menang. Namun, jika perubahan S3 dari ya ke tidak, maka tidak menang. Dalam pengertian ini, S3 memiliki hak suara, dan suara S3 sangat penting. Sebaliknya, S2, S4, S5, dan S6 tidak memiliki hak suara dalam line-up karena, jika ada suara mereka berubah, tidak akan berpengaruh pada posisi yang menang. Tapi ini hanya berlaku untuk line-up pertama dari ya dibandingkan tidak pada tabel 2. Dengan line-up berbeda, seperti pada baris kedua tabel 2, sebagai contoh daftar supervisor yang memiliki hak suara yang berbeda.

Table 2S1 (9)S2 (9)S3 (7)S4 (3)S5 (1)S6 (1)

First voteSecond voteYYNNYNNNNNNN

Dapatkah Anda menemukan sebuah line-up ya dan tidak dimana S5 memiliki hak suara? Hasil mengejutkan adalah bahwa Anda tidak bisa, dan oleh karena itu benar-benar seolah-olah S5 tidak memiliki suara sama sekali. S5 adalah contoh dari "tiruan".DefinisiSeorang Voter mengatakan sangat penting untuk memberikan line-up dari suara ya dan tidak yang medukungnya ketika suara voter berubah, maka hasilnya pun berubah.DefinisiSeorang Voter dalam situasi voting berimbang disebut tiruan jika tidak ada line-up dari suara ya dan tidak di mana hasilnya akan berbeda jika Voter merubah suara yang dipilih.

Pada tahun 1958 Oyster Bay, Glen Cove, dan Long Beach semua adalah peniru, sedangkan pada tahun 1964 Hempstead Utara, Glen Cove, dan Long Beach adalah semua penitu. Dapatkah Anda membuktikan pernyataan ini?Ide-ide ini perlu sedikit dimodifikasi bahkan ketika jumlah total suara dan ada kemungkinan suara yang terikat. Dalam politik kehidupan nyata ada berbagai cara untuk memutuskan ikatan; pemilihan baru bisa diadakan, pihak ketiga dapat diberikan pada sebuah pembataan suara dan sebagainya. Kita tidak akan menentukan metode tertentu apapun, tetapi kita akan membuat asumsi ini: dalam pemilihan terikat, metode pemecahan-terikat hanya sebagai kemungkinan untuk membuat posisi pemenang karena kemungkinan akan membuat posisi tidak menjadi pemenang.Kita akan mengilustrasikan bagaimana hal ini mempengaruhi konsep kita tentang voter yang sangat penting dengan contoh empat pemilih A1, A2, A3, dan A4, memiliki urutan 1, 1, 2, dan 2 orang. Pada line-up pertama ya-tidak ditunjukkan dalam tabel 3, posisi ya menang (4-2). Jika A1 berubah menjadi tidak, suara akan diikat. Apakah itu membuat A1 sangat penting? Belum tentu. Hal ini tergantung pada hasil pemecahan terikat. jika ya menjadi pemenang lagi, maka perubahan suara A1 tidak mempunyai pengaruh yang nyata. Di sisi lain, jika tidak menjadi pemenang setelah pemecahan terikat, maka suara A1 berubah menjadi pemenang. Dalam kasus seperti itu kita mengatakan bahwa A1 adalah semi penting. Jelas, jika seorang voter semipenting dalam koalisi, voter memiliki setengah hak suara untuk mengubah hal-hal seperti koalisi di mana voter penting.Line-up 2 tabel 3 menunjukkan kasus lain di mana A1 adalah semi penting, yaitu di mana A1 dapat mengkonversi ikatan untuk menang dengan perubahan suara.Tabel 3A1 (1)A2 (1)A3 (3)A4 (2)

First line-upSecond line-upYYYNYNNY

DefinisiSeorang voter semi-penting dalam line-up ya-tidak jika suara voter berubah juga dikonversikan sebagai kemenangan terikat atau terikat kemenangan. Konsep tiruan dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti sebelumnya: Voter yang tidak pernah memiliki kemampuan mengubah hasilnya. Berikut ini adalah definisi kita tentang kekuatan suara yang diberikan oleh himpunan orang berimbang.DefinisiMisalkan ada n pemilih A1, ..., An, yang suara terbanyak adalah w (A1), ..., w (An). Ada 2n kemungkinan line-up dari para pemilih menjadi kelompok ya dan tidak. Dalam setiap line-up, kita membuat catatan dari para pemilih yang suaranya sangat penting. Biarkan c (A1) menjadi jumlah line-up ya-tidak di mana A1 sangat penting, dan s (A1) merupakan bilangan dimana A1 adalah semi-penting.

Disebut Indeks Daya Banzhaf pemilih A1.

Kita mungkin menafsirkan i sebagai probabilitas bahwa Ai dapat mengubah pemenang dalam pemungutan suara yang dipilih secara acak. Sebagai contoh berikut menunjukkan, ada kemungkinan . Kadang-kadang mudah untuk mendefinisikan kembali indeks daya sehingga mereka menambah 1. Dengan cara ini indeks masing-masing pemilih dapat diartikan sebagai sebagian kecil dari total daya. Hal ini dilakukan dengan mengatur dan menyebut i normalisasi Index Daya Banzhaf.

Contoh 2Tabel 4 memberikan ilustrasi rinci untuk sistem empat voter, bobot suara masing-masing 2, 3, 1, dan 2. Ada 16 perbedaan line-up Ya-Tidak, dan untuk masing-masing, kita daftar posisi menang dan para pemilih yang sangat penting dan semi-penting. Tabel 5 merangkum informasi dan memberikan 1, 2, 3, dan 4. Perhatikan bahwa indeks daya ini tidak sebanding dengan jumlah pemilih. Sebagai contoh, A2 memiliki 3 kali lebih banyak suara sama seperti A3 tetapi memiliki 5 kali lebih besar indeks daya.Seperti yang dapat Anda lihat dari contoh ini, menghitung indeks daya dengan metode tabel semua kemungkinan memakan waktu Ya-Tidak line-up. Dalam kasus umum n pemilih, dimana 2n ada koalisi yang berbeda, dan, jadi, kecuali untuk nilai-nilai yang sangat kecil n, tabel itu dibuat berdasarkan pertanyaan. Sebagian besar waktu tidak ada jalan pintas teoritis untuk membantu; jadi salah satu yang tersisa dengan tabel komputer.Tabel 4A,A,A,A,WinningCrucialSemicrucial

(2)(3)(1)(2)PositionvotersVoters

YYYYYNoneNone

YYYNYA2A1

YYNYYNoneA2

YY' NNYA1, A2None

YNYYYA1. A2A3

YNYNNA1. A2None

YNNYTieNoneA1, A2 A3, A4

YNNNNA1A4

NYY YYA2A4

NYYN.TieNoneA1, A2 A3, A4

NYNYYAX.A,None

NYNNNA,.A4A,

NNYYNA,.A,None

NNYNNNoneA2

NNNYNA2A1

NNNNNNoneNone

Tapi ada satu kasus di mana ada sejumlah besar pemilih dan di mana teori dapat membantu. Ini adalah kasus pemilu di mana semua pemilih memiliki jumlah yang sama dari orang, misalnya, pemilihan di seluruh negara bagian untuk Senator AS. Hal ini tidak sulit untuk melihat, bahkan tanpa perhitungan, bahwa dalam pemilu tersebut tidak ada pemilih memiliki kekuatan lebih dari yang lain. Tapi kami memiliki pertanyaan yang berbeda dalam pemikiran. Misalkan kita ingin membandingkan kekuatan pemilih dalam keadaan kecil dengan kekuatan pemilih dalam keadaan besar dalam pemilihan senator masing-masing. Hal ini cukup beralasan bahwa i, kemungkinan menjadi penting dalam keadaan kecil, seperti Connecticut dengan sekitar 3 juta orang, harus lebih tinggi dari i dalam keadaan besar, seperti Pennsylvania dengan sekitar 12 juta. Tapi apakah indeks daya (tidak normal) dalam rasio yang sama dengan populasi, yaitu 4-1 dalam kasus Connecticut dan Pennsylvania? Teorema berikut akan menunjukkan kepada kita bahwa jawabannya adalah tidak!Tabel 5VoterNumber of crucial line-upsNumber of semicrucial line-upsBanzhaf power index Normalized banzhap power index

A144

A284

A304

A444

Teorema 1Dalam pemilihan dengan n pemilih, semua dengan satu suara, Indeks Daya Banzhaf (tidak normal) untuk setiap pemilih, dinotasikan (n), adalah sedemikian rupa sehingga, untuk besar n, 1 n .Bukti. Buktinya dalam dua bagian, tergantung pada apakah n adalah genap atau ganjil. Kami hanya menyajikan kasus dan meninggalkan kasus aneh untuk latihan. Untuk membiarkan n = 2, di mana adalah bilangan bulat.Hal pertama yang harus diperhatikan adalah bahwa dalam kasus ini dimana pemilih penting tidak bisa menjadi line-up. (Apakah Anda melihat mengapa?) Akibatnya, untuk menghitung (n), yang harus kita lakukan adalah menghitung, untuk pemilih tertentu bernama A, jumlah line-up di mana pemilih yang semi-penting. Line-up ini dapat dibagi menjadi empat kategori berikut:1. A merupakan bagian dari koalisi pemenang dari + 1 ada pemilih; tidak ada koalisi akan memiliki - 1 anggota (Tabel 6a).2. A merupakan bagian dari koalisi pemenang dari + 1 tidak ada pemilih; koalisi ya akan memiliki - 1 anggota (Tabel 6b).3. A adalah anggota dari koalisi terikat dari ya pemilih (Tabel 6c).4. A adalah anggota dari koalisi terikat dari ada pemilih (Tabel 6d).Berapa banyak perbedaan line-up dari tipe 1 yang ada? Kita dapat menganggap ini sebagai masalah cara menghitung jumlah untuk mengisi bagian yang kosong dengan pemilih pada Tabel 6. Tabel 6Yes votersNo voters

(a)

(b)

(c)

(d)

Tidak ada dua cara tersebut akan dihitung berbeda jika mereka hanya berbeda dalam urutan di mana pemilih menempati kosong (misalnya, koalisi ya ABC adalah sama.sebagai koalisi CBA). Perhatikan bahwa setelah kita mengisi kekosongan di salah satu koalisi dalam line-up, ini menentukan komposisi koalisi lainnya. Dengan demikian jumlah yang kita inginkan untuk tipe 1 adalah beberapa cara untuk memilih item dari antara n - 1. (ini adalah sejumlah cara mengisi kekosongan dalam koalisi ya). Yaitu

Dengan alasan yang sama kita dapat menentukan bahwa ini juga merupakan jumlah tipe 2, 3, dan 4 line-up. Akibatnya,

(1)

Ini adalah formula canggung, dan jadi kami berlari keluar pekerja keras tua, rumus Stirling, yang mengatakan bahwa sebagai x , x! adalah "asimtotik sama dengan", formula kita menyingkat oleh s (x). Artinya ini adalah

(2)

Sekarang kita menerapkan pendekatan ini untuk (n) sebagai berikut. Dari Persamaan (1) kita, dengan aljabar sederhana:

(3)

Dari Persamaan (2) sisi kanan persamaan (3) 1 n . Oleh karena itu sisi kiri tidak juga. Fakta ini mungkin akan sedikit ditulis ulang sebagai

Dimana,n

Tapi

Demikian dimana, n (4)

Pendekatan cepat dan kotor untuk perhitungan di atas hanya untuk menggantikan s (n) dan s (n / 2) untuk n! dan (n / 2)! dalam (1) dan kemudian melakukan aljabar, yang menyebabkan

Menggunakan teorema ini, kita dapat membandingkan kekuatan indeks Banzhaf dari pemilih di Pennsylvania dengan satu di Connecticut untuk pemilihan sentorial sebagai berikut. Untuk Connecticut, n = 3.000.000, nilai cukup besar bahwa kita dapat mengganti "" dalam Persamaan (4) dengan "=". Demikian

Juga

Sehubungan Dengan Itu

Meskipun Pennsylvania memiliki 4 kali penduduk, Pennsylvania tidak memiliki seperempat kekuatan sebagai pemilih di Connecticut. Apakah ini tampak aneh bagi Anda? Argumen ini dapat digeneralisasi.Teorema 2Jika negara S1 mempunyai suara n1 penduduk dan negara S2 mempunyai suara n2 penduduk, rasio Banzhaf indeks (S1) dan (S2) adalah

Bukti. Dihilangkan. Cobalah sebagai latihan. Ini mengikuti pola atau perhitungan Pennsylvania.Mari kita meringkas dua kesimpulan yang spesifik dibuat model hak suara kami.1. Di Nassau Negara, antara 1958 dan 1964, tiga supervisor kota (Glen Cove, Oyster Bay, dan Long Beach) yang beroperasi di bawah cacat yang dikenakan oleh sistem voting berimbang.2. Individu warga negara dari Connecticut memiliki dua kali kekuatan dari warga Pennsylvania dalam mempengaruhi pemilihan Senat.

Apakah proposisi I empiris dapat diuji? Misalkan kita memeriksa semua orang yang diambil dari tahun 1958 hingga tahun 1964. Apakah ada cara di mana data bisa memberitahu kita wheter Long Beach beroperasi di bawah cacat? Satu hal yang terlintas dalam pikiran adalah untuk melihat apakah Long Beach adalah di pihak yang kalah suara terlalu sering. Tapi berapa banyak yang terlalu sering? Bahkan jika kita bisa sepakat tentang apa yang terlalu banyak, tidak mungkin untuk menemukan alasan lain, tidak ada hubungannya dengan sistem voting, yang mungkin menjelaskan Long Beach berada di pihak yang kalah suara "terlalu sering"?Mungkin bahwa kepentingan alami semua kota-kota lain selalu bertepatan dan bertentangan dengan kepentingan Long Beach. Dalam kasus seperti itu, bahkan jika semua kota memiliki suara yang sama, Long Beach akan pernah berada di pihak yang menang. Tapi ini tidak harus disalahkan pada sistem voting untuk itu akan terjadi jika semua kota memiliki jumlah suara yang sama.Atau mempertimbangkan kasus sebaliknya dimana Long Beach mengejutkan sering di pihak yang menang. Apakah kita menyimpulkan bahwa Long Beach tidak cacat oleh sistem pemungutan suara, atau kita harus terlebih dahulu mempertimbangkan kemungkinan bahwa ia memiliki cacat tetapi mengatasi itu dalam beberapa cara (misalnya, mungkin Long Beach Supervisor adalah pendebat yang sangat persuasif).Faktor-faktor yang disebutkan di atas (kepentingan politik Long Beach dan kepribadian Long Beach Supervisor) tidak bisa "dikendalikan" dalam percobaan ilmiah. Ini berarti bahwa sulit atau tidak mungkin untuk menentukan apakah sistem pemungutan suara membebankan cacat di Long Beach dengan memeriksa orang yang diambil oleh dewan. Apa satu yang tersisa dengan pertanyaan ini yaitu: adalah logika model meyakinkan? Karena logika ini dinyatakan dalam bahasa matematika, itu membuat hal-hal sulit bagi hakim, yang adalah orang-orang yang harus memerintah pada konstitusionalitas skema tertimbang-voting. Beberapa pengadilan telah yakin dengan model Banzhaf dijelaskan di sini dan telah menggunakannya sebagai panduan dalam keputusan mereka. Sebagai contoh, New York State Pengadilan Banding Keputusan. Saya annucci v. Dewan Pengawas (1967), mandat indeks Banzhaf sebagai uji kewajaran pembagian di legislatif daerah yang menggunakan suara tertimbang. Di sisi lain, di Whitcomb v. Chavis, kasus berpendapat sebelum Mahkamah Agung AS pada tahun 1970, indeks Banzhaf itu tegas ditolak.

B. Menempatkan Fakta Sesuai Urutan - Mendeleev dan Tabel Periodik

Dunia ini penuh dengan data, banyak dari data tersebut membingungkan. Umumnya, data tidak berguna kecuali kita memiliki pola atau teori bahwa mereka masuk ke dalam. Dalam waktu Mendeleev, fakta-fakta tentang unsur-unsur kimia dianggap membingungkan. Orang-orang yang mencoba untuk menyesuaikan sistem dengan fakta-fakta yang diperoleh, dengan bodohnya optimis. Namun, Mendeleev memilih untuk percaya fakta dan percaya bahwa mereka mengatakan cerita yang penting, dan imannya secara dramatis dihargai.Fungsi Prasyarat Grafik. Bagian ini adalah anekdot matematika tanpa teknis.

Gambar 1. Tabel element volume atom bagian pertama. (Setelah lothar meyer tetapi menggunakan colues modern)Sekitar 1.868 ahli kimia kebangsaan Rusia Mendeleev sedang mempersiapkan buku teks kimia dan mencari cara menggambarkan hubungan antara 63 elemen secara sistematis yang dikenal pada saat itu. Seringkali unsur-unsur tercantum dalam urutan berat atom. Menurut kimiawan hal tersebut aneh dibuat, unsur yang serupa dalam perilaku kimia tidak dikelompok bersama-sama dalam daftar. Sebagai contoh, menurut gambar 1, klorin (Cl), brom (Br), dan Yodium (I) memiliki volume atom yang hampir sama, tapi berat atomnya berjauhan. Ada cara lain di mana tiga elemen ini serupa, dan ahli kimia telah lama menganggap mereka sebagai anggota yang disebut keluarga holagen. Hal ini sangat membingungkan bagi para ahli kimia yang daftar unsur berat atom akan memecah kumpulan halogen. Halogen bukan satu-satunya unsur yang rusak dalam daftar tersebut. Pertanyaannya adalah apakah hubungan unsur ini dapat disimpulkan dari beberapa skema matematis berdasarkan berat atom.Salah satu ide yang muncul beberapa kali adalah daftar gagasan untuk mendukung beberapa jenis skema dua dimensi. Sebagai contoh, ahli kimia Perancis chancourtois mengatur elemen sepanjang jalan spiral yang terbuka di sekitar dan sampai permukaan silinder dua dimensi. Unsur-unsur spiral ditempatkan pada berat atom, namun jarak antara unsur-unsur yang diatur di mencoba untuk anggota unsur yang muncul dalam tumpukan vertikal pada silinder. Lihat gambar 2.Chancourtios nama spiral dari helix, tapi bahkan dengan ini ahli kimia yang berkualitas tidak memperhatikan waktu. Mungkin itu baik, ketika ahli kimia melakukan memperhatikan upaya semacam ini, mereka mengumpulkan nama lain mereka sebagai gantinya. Sebagai contoh, pada tahun 1886 john newlands menciptakan tabel dua dimensi yang merupakan bentuk mentah dari Mendeleev akhirnya menjadi terkenal. Tapi catatannya tentang subjek ditolak publik. Dan benar-benar ditertawakan pada newlands.

Gambar 2. bagian dari chancourtois helix. Dots menunjukkan posisi elemen. (Untuk kejelasan, beberapa titik dan beberapa elemen tidak ditampilkan) angka dalam kurung menunjukkan berat atom. Perhatikan bagaimana halogen turun kolom vertical.Mungkin sebagian dari alasannya adalah bahwa newlands memiliki penilaian buruk untuk nama hukum oktaf tabelnya karena meskipun ia melihat beberapa analogi dengan prinsip-prinsip musik (masing-masing kolom itu memiliki delapan elemen dan musik satu oktaf memiliki delapan catatan). Satu kritikus "dengan rela" menyarankan bahwa meskipun hukum oktaf tidak akan berguna dalam kimia, mungkin itu bisa berguna di bidang musik.Mandeleev adalah salah satu dari orang-orang yang berpikir bahwa beberapa hal dapat dibuat seperti grafik Gambar 1. Perhatikan bahwa grafik ini memiliki hubungan beberapa kesamaan dengan sedikit data bagian 3. Ada sedikit pergantian rutin lembah pasir puncak. Jika mandeleev bereaksi seperti peneliti genre modern dan percaya data tidak benar karena itu tidak menentu, maka ia tidak akan membuat terobosan yang dia lakukan. Untungnya, ia mengambil data pada nilai nominal dan dengan proses penalaran kita yang tidak perlu dijelaskan, yang menyebabkan ide lain sama telah datang untuk membuat daftar dua dimensi atau tabel sebagai sarana untuk menampilkan keduanya yaitu kesamaan kimia dan atom berat.Tabel 1 menunjukkan salah satu tabel pertama kali diterbitkan. Sebagai salah satu bacaan semua satu baris mendapat unsur-unsur dalam urutan berat atom. Dengan pilihan strategis kapan harus memulai kolom baru dan kapan harus meninggalkan sesekali, Mendeleev berhasil mengatur hal-hal sehingga unsur dengan sifat yang mirip berada di kolom yang sama. Sebagai contoh, halogen bersama-sama dalam kolom VII. Hasilnya adalah menipu tabel dengan kolom yang berbeda ukuran dan banyak sel yang kosong. Ini mungkin telah membuat pria lebih rendah hati kehilangan. Hal ini tidak mengherankan bahwa ahli kimia lain mengabaikannya. Namun, kelemahan kekuatan Mendeleev ternyata mengklaim bahwa beberapa sel yang kosong di tabel yang tidak kekurangan tetapi dihuni oleh unsur-unsur yang belum ditemukan.Table 1 Clasifikasi elemen periodik (Mandeleev,1872)GroupIIIIIIIVVVIVIIVIII

Higher OxidesR1OROR2O3RO2R2O5RO3R1O1RO5

And Hydrides---H4RH3RH2RHR-

1H(1)

2Li (7)Be(9.4)B (11)C (12)N (14)O (16)F (19)

3Na (23)Mg (24)Al (27.3)Si (28)P (31)S (32)Cl(35.5

4K (39)Ca (40)-(44)Ti (48)V (51)Cr (52)Mn(55)Fe (56), Co (59)

Ni (59), Cu (63)

5[Cu (63)]Zn (65)-(68)-(72)As(75)Se (78)Br(80)

6Rb(85)Sr (87)?Yt(88)Zr (90)Nb (94)Mo (96)-(100)Ru(104),Rh(104)

Pd (106),Ag(108)

7[Ag(108)]Cd (122)In (113)Sn (118)Sb (122)Te (125)I(127)

8Cs(133)Ba (137)?Di (138)?Ce(140)---

9-------

10--?Er(178)?La(100)Ta(182)W (184)-Os(185),Ir(197)

Pt(198), Au(199)

11[Au (199)]Hg (200)TI (204)Pb(207)Bi(203)--

12---Th(231)-U(240)-

Sebagai contoh, di baris 5 dan kolom IV ada sel kosong yang diklaim Mendeleev harus ditempati beberapa sifat-sifatnya, berdasarkan urutan sifat-sifat sel ini dalam tabel: bahwa berat atomatic menjadi 72, dengan densitas 5.5 , dan seterusnya. Sebagai soal fakta, pada tahun 1887 winkler menemukan elemen baru, sekarang disebut germanium, yang masuk ke dalam lubang. berat atom itu 72,5, kepadatan 5,5, dan menurut mandeleev banyak properti lainnya. Bersama dengan penemuan sebelumnya galium (Ga, berat atom 69,9) dan skandium (Sc, berat atom 44,96), yang diisi dengan kesenjangan lainnya sesuai dengan prediksi Mendeleev, ini ciptakan tabel periodik sebagai alat utama kimia yang berguna bagi banyak hal, termasuk penemuan unsur-unsur baru.Hal ini mungkin tampak aneh bahwa orang bisa membuat prediksi hanya berdasarkan posisi ruang kosong dalam tabel. Sebenarnya ada sedikit lebih dari itu. telah diketahui Mendeleev bahwa berbagai sifat kimia suatu unsur ditentukan dari posisi tabel oleh rumus dan aturan praktis tertentu. Jadi model matematika terdiri dari tiga hal:1. Tabel2. Asumsi bahwa sel kosong dalam tabel berhubungan dengan unsur-unsur yang belum ditemukan.3. Rumus dan aturan tentang bagaimana posisi tabel menentukan sifat kimia.Untuk mempermudah, kita meninggalkan keluar rincian bagian ketiga dari pendahulunya dan setingkatnya menunjukkan dengan jelas peran penting akidahnya bahwa ada peraturan matematika di bawah kekacauan yang kimia pada waktu itu. Lainnya, seperti John newlands, telah mengatur unsur-unsur dalam tabel dua dimensi, tetapi sudah cukup berani untuk meninggalkan kesenjangan untuk elemen yang belum ditemukan dalam rangka melestarikan pola matematika. Lothar Meyer telah meninggalkan perbedaan (dan karena itu kadang-kadang dianggap sebagai penemu tabel), tapi dia menghentikan prediksi sifat dari unsur-unsur yang belum ditemukan berdasarkan posisi unsur di tabel. Hanya Mendeleev memiliki kaidah untuk mengambil risiko. Tabel 2 menunjukkan seberapa baik kaidahnyanya dihargai.Ini contoh bingung yang berubah menjadi kejelasan dengan cara yang benar dalam memandang fakta (dalam hal ini, hanya mengatur unsur-unsur dalam tabel dua dimensi) bukan merupakan isolted satu dalam ilmu fisika. Banyak contoh lain dapat diberikan. Hal ini juga memungkinkan untuk menyebutkan contoh daerah dalam ilmu saat ini. Kesulitan oleh rincian membingungkan dan di mana klarifikasi belum ada. Partikel fisika adalah contoh yang sangat baik.Ide dasar partikel fisika adalah bahwa materi dalam hal umum semua dibangun jika blok bangunan fundamental. Bagi Mendeleev blok bangunan ini disebut atom dan ada lebih dari 60 pariasi berbeda yang dikenal (misalnya atom oksigen, atom karbon, atom klorin, dll). Sebagaimana telah kita lihat, setiap jenis tambahan sekarang dan kemudian ditemukan (misalnya, germanium pada tahun 1887). Meskipun Mendeleev mengklarifikasi hubungan ini memiliki atom berbeda, itu masih sedikit membingungkan untuk memiliki begitu banyak jenis yang berbeda.Table 2Mandeleevs PredictionActual PropertiesOf Germanium

Atomic weight7272.5

Density5.55.469

Density Of oxide4.74.703

Density Of cloride1.91.887

Boiling point of clorideLess than 1000860

Density of ethide0.96Slightly less than 1

Boiling point of ethide16001600

Pada tahun 1911 Ernest Rutherford mengusulkan agar masing-masing jenis atom itu sendiri dibangun dari partikel yang lebih kecil dan hanya ada tiga jenis partikel yang lebih kecil ini: elektron, proton, dan neutron. Setiap thype atom memiliki rumus ikatan sendiri dari beberapa masing-masing tiga partikel dasar yang terkandung dalam atom. Itu adalah penyederhanaan yang baik. Tapi kemewahan alam semesta dibangun hanya dari tiga macam hal tersebut yang terlalu bagus untuk bertahan. Pada tahun-tahun intervensi jumlah yang semakin meningkat dari partikel dasar telah ditemukan. Hari ini kita memiliki positron, antiproton, meson, lepton, neutrino dan benda-benda lain selain elektron, proton, dan neutron, dan banyak kebingungan tentang bagaimana hal-hal ini berhubungan dan bagaimana mereka cocok bersama untuk membentuk dunia.Pada berbagai tahapan dalam sejarah subjek ini " trik Mendeleeve " telah melakukan: seseorang telah menemukan teori baru atau cara baru untuk melihat fakta-fakta dan membuat semuanya tampak rapi dan bersih. Semakin banyak teori-teori baru yang memperkuat matematika. Sayangnya, sebagai partikel baru ditemukan dan percobaan baru dilakukan teori ini harus direvisi. Tapi model matematika baru selalu ditemukan. Untuk alasan ini, ilmuwan fisik memiliki banyak kepercaan dalam pemodelan matematika sebagai cara untuk mencoba memahami dunia.Tapi bagaimana dengan biologi dan ilmu sosial? Meskipun telah terdapat model matematika yang sukses di bidang ini (dan beberapa tema akan ditemukan dalam buku ini), ada banyak daerah yang dihadapkan oleh fakta pegunungan yang tampaknya membingungkan.Ambil, misalnya, masalah kejahatan. Kami memiliki fakta tentang banyak hal tersebut, tapi sedikit teori yang baik. Secara khusus, hubungan kejahatan dengan status ekonomi tidak jelas. Hal ini diketahui bahwa kelompok-kelompok tertentu dari kemiskinan dan memiliki tingkat kejahatan yang tingga. Tapi ada juga kelompok masyarakat yang sangat miskin dan memiliki tingkat kejahatan yang sangat rendah. Bahkan di antara kelompok-kelompok dengan tingkat kejahatan yang tinggi, ada sejumlah individu yang mengesankan yang benar-benar taat hukum. Akhirnya, ada banyak orang di kelas menengah dan atas yang melakukan kejahatan. Jika kita meneliti hubungan kejahatan dengan variabel penjelas lainnya, seperti faktor penegakan hukum. Situasi ini juga membingungkan. Adakah kemungkinan bahwa tidak ada data lebih tetapi teori yang lebih baik untuk informasi yang kita miliki?

BAB IIIPENUTUPA. KesimpulanSistem permainan voting berimbang sering tidak adil. Sulit untuk memverifikasi kesimpulan ini dengan memeriksa hasil pemungutan suara. Bahkan jika kita bisa menentukan kapan pemilih memiliki daya kurang kerika dia "harus memiliki", mungkin ada alasan lain selain sistem pemungutan suara yang menjelaskan hal ini. Jadi kita harus memutuskan apakah model yang meyakinkan tanpa mengacu pada pengamatan empiris.Ide dasar partikel fisika adalah bahwa materi dalam hal umum semua dibangun jika blok bangunan fundamental. Bagi Mendeleev blok bangunan ini disebut atom dan ada lebih dari 60 pariasi berbeda yang dikenal (misalnya atom oksigen, atom karbon, atom klorin, dll). Sebagaimana telah kita lihat, setiap jenis tambahan sekarang dan kemudian ditemukan (misalnya, germanium pada tahun 1887). Meskipun Mendeleev mengklarifikasi hubungan ini memiliki atom berbeda, itu masih sedikit membingungkan untuk memiliki begitu banyak jenis yang berbeda

DAFTAR PUSTAKA

Meyer, J. Walter.1985. Concepts Of Mathematical Modeling. Singapore: Mc Graw-Hill Book Co

14