testul z pentru un eŞantion - wordpress.com · web viewtestul z pentru un eŞantion când folosim?...

Psihologie experimentală, semestrul 2

TESTUL Z PENTRU UN EŞANTION

Când folosim? facem comparaţie între media unui eşantion şi media unei populaţii

Condiţii : - cunoaştem media populaţiei (μ) şi abaterea standard a populaţiei (σ) sau

- eşantionul e mai mare de 30 de subiecţi (100 de subiecţi, după Cohen)

Exemplu: Există diferenţe între media elevilor de la liceul de muzică şi media populaţiei de elevi la

examenul de bacalaureat?

Ipoteza nulă şi ipoteza specifică :

H0: μ-μ0= 0; media populaţiei din care este extras eşantionul este egală cu media populaţiei de

comparaţie; eşantionul face parte din populaţie

Hs: μ-μ0≠ 0; populaţia din care face parte eşantionul este diferită de populaţia de comparaţie; eşantionul

nu face parte din populaţie

Valoarea critică:

Pentru pragul α = 0, 05, valoarea lui z critic este de 1, 96; pentru pragul α = 0, 01, valoarea lui z critic

este 2,58

Modalitate de calcul:

Pentru calculul lui z ţinem cont de: media eşantionului (m), media populaţiei (μ) şi abaterea standard a

populaţiei (dacă o cunoaştem) sau abaterea standard a eşantionului

Decizia statistică: Dacă valoarea lui z calculat este mai mare decât valoarea lui z critic, atunci

respingem ipoteza nulă; dacă valoarea lui z calculat este mai mică decât z critic, atunci nu respingem ipoteza

nulă

Alte calcule:

Estimarea mediei populaţiei din care face parte eşantionul: estimăm limitele între care se găseşte (cu

probabilitate de 99% sau 95%); media populaţiei din care face parte eşantionul; Pentru a face estimarea ne

folosim de : media eşantionului, valoarea lui z critic pentru α = 0, 05 sau α = 0, 01 şi eroarea standard a mediei

(abaterea standard a distribuţiei eşantioanelor de volum n)

of 15

z =


TESTUL t PENTRU UN EŞANTION

Când folosim? facem comparaţie între media unui eşantion şi media unei populaţii

Condiţii: - cunoaştem media populaţiei (μ) şi

- eşantionul e mai mic de 30 de subiecţi

Exemplu: Există diferenţe între media studenţilor din Bistriţa şi media studenţilor din anul 1, în general,

la psihologie experimentală?

Ipoteza nulă şi ipoteza specifică:

H0: μ-μ0= 0; media populaţiei din care este extras eşantionul este egală cu media populaţiei de

comparaţie; eşantionul face parte din populaţie

Hs: μ-μ0≠ 0; populaţia din care face parte eşantionul este diferită de populaţia de comparaţie; eşantionul

nu face parte din populaţie

Valoarea critică:

Căutăm valoarea critică a lui t în tabelul distribuţiei lui t, în funcţie de gradele de libertate.

df = n-1

Modalitate de calcul:

Pentru calculul lui t ţinem cont de: media eşantionului (m), media populaţiei (μ) şi abaterea standard a

eşantionului (s).

Decizia statistică: Dacă valoarea lui t calculat este mai mare decât valoarea lui t critic, atunci respingem

ipoteza nulă; dacă valoarea lui t calculat este mai mică decât t critic, atunci nu respingem ipoteza nulă.

Alte calcule:

Estimarea mediei populaţiei din care face parte eşantionul: estimăm limitele între care se găseşte (cu

probabilitate de 99% sau 95%); media populaţiei din care face parte eşantionul; Pentru a face estimarea ne

folosim de : media eşantionului, valoarea lui t critic şi eroarea standard a mediei (abaterea standard a

distribuţiei eşantioanelor de volum n)

of 15

t =


TESTUL Z PENTRU DOUĂ EŞANTIOANE INDEPENDENTE

Când folosim? facem comparaţii între mediile a două eşantioane independente de subiecţi (design

experimental intersubiecţi)

Condiţii: variabila independentă este măsurată pe o scală nominală; variabila dependentă este

măsurată pe o scală de interval sau de proporţii; variabila dependentă are o distribuţie normală; eşantionul de

subiecţi a fost extras randomizat din populaţie, apoi a fost repartizat randomizat în două grupuri experimentale;

grupurile sunt mai mari de 30 (100) de subiecţi

Exemplu: Facem un experiment pentru a verifica efectul unui medicament asupra depresiei; un grup

primeşte medicamentul (grupul experimetal), alt grup nu primeşte medicamentul (grupul de control); la final

comparăm nivelul depresiei la grupul experimental cu nivelul depresiei la grupul de control. În fiecare grup

avem mai mult de 30 de subiecţi.


Ho: μ1-μ2= 0; cele două eşantioane fac parte din aceeaşi populaţie;

Hs: μ1-μ2≠ 0 (testul bilateral) sau μ1-μ0 > 0, μ1-μ2 < 0 (testul unilateral)

Valoarea critică Pentru pragul α = 0, 05, valoarea lui z critic este de 1, 96; pentru pragul α = 0, 01,

valoarea lui z critic este 2,58

Modalitate de calcul

Pentru calculul lui z, folosim: diferenţa dintre mediile celor două grupuri (m1-m2), varianţele celor două

grupuri, numărul de subiecţi din cele două grupuri

Decizia statistică Dacă z calculat este mai mare decât z critic, atunci respingem ipoteza nulă.

Alte calcule:

Interval de încredere: putem calcula intervalul în care se găseşte, diferenţa mediilor la nivelul

populaţiei. Calculăm limita superioară şi limita inferioară în funcţie de: diferenţa mediilor (m1-m2), valoarea lui

z critic pentru α = 0, 05 sau α = 0, 01 şi eroarea standard a diferenţei mediilor

Mărimea efectului: cât de mare este diferenţa dintre cele două medii; mărimea efectului ne spune cât de

semnificativă este diferenţa din punct de vedere clinic

Puterea testului: capacitatea de a evita eroarea de tip 2 (eroarea β); capacitatea testului de a descoperi şi

diferenţele mici între cele două eşantioane

of 15

ρ =

d =

z =


TESTUL t PENTRU DOUĂ EŞANTIOANE INDEPENDENTE

Când folosim? facem comparaţii între mediile a două eşantioane independente de subiecţi (design

experimental intersubiecţi)


măsurată pe o scală de interval sau de proporţii; variabila dependentă are o distribuţie normală; eşantionul de

subiecţi a fost extras randomizat din populaţie, apoi a fost împărţit randomizat în două grupuri; grupurile sunt

mai mici de 30 (100) de subiecţi

Exemplu: Facem un experimentul la fel ca şi în cazul testului z pentru eşantioane dependente, dar

acum grupurile au mai puţin de 30 de subiecţi.


Ho: μ1-μ2= 0; cele două eşantioane fac parte din aceeaşi populaţie;

Hs: μ1-μ2≠ 0 (testul bilateral) sau μ1-μ0 > 0, μ1-μ2 < 0 (testul unilateral)

Valoarea critică Căutăm valoarea critică a lui t în tabelul distribuţiei t, în funcţie de gradele de libertate.

df= n1+ n2-2


Pentru calculul lui t, folosim: diferenţa dintre mediile celor două grupuri (m1-m2),varianţa ponderată

pentru cele două grupuri (se calculează în funcţie de varianţa grupurilor), numărul de subiecţi din cele două

grupuri

Decizia statistică Dacă t calculat este mai mare decât t critic, atunci respingem ipoteza nulă. Dacă t

calculat este mai mic decât t critic, atunci nu respingem ipoteza nulă.

Alte calcule:

Interval de încredere: putem calcula intervalul în care se găseşte diferenţa mediilor la nivelul

populaţiei. Calculăm limita superioară şi limita inferioară în funcţie de: diferenţa mediilor (m1-m2), valoarea lui

t critic pentru α = 0, 05 sau α = 0, 01 şi eroarea standard a diferenţei mediilor

Mărimea efectului: cât de mare este diferenţa dintre cele două medii; mărimea efectului ne spune cât de

semnificativă este diferenţa din punct de vedere clinic

Puterea testului: capacitatea de a evita eroarea de tip 2 (eroarea β); capacitatea testului de a descoperi şi

diferenţele mici între cele două eşantioane

of 15

ρ =

d =

t =


TESTUL Z PENTRU DOUĂ EŞANTIOANE DEPENDENTE (PERECHI)

Când folosim? a) facem comparaţii între două măsurători repetate pentru acelaşi grup b) facem

comparaţii între două grupuri dependente (exemplu, un grup alcătuit din părinţi, alt grup din copiii lor)


măsurată pe o scală de interval sau de proporţii; variabila dependentă are o distribuţie normală; eşantionul a

fost extras randomizat din populaţie; eşantionul este mai mare de 30 (100) de subiecţi

Exemplu: Facem un experiment pentru a verifica efectul unui medicament asupra depresiei; grupul de

subiecţi este măsurat înainte de începerea experimentului (prima măsurătoare), iar apoi este măsurat după ce

primeşte medicamentul (a doua măsurătoare); se compară nivelul depresiei la prima măsurătoare cu nivelul

depresiei la a doua măsurătoare. Grupul este mai mare de 30 de subiecţi.


Ho: μd= 0; la nivel de populaţie, media diferenţelor dintre prima măsurătoare şi cea de-a doua

măsurătoare este 0

Hs: μd ≠ 0 (testul bilateral) sau μd >0, μd <0 (testul unilateral)

Valoarea critică Pentru pragul α = 0, 05, valoarea lui z critic este de 1, 96; pentru pragul α = 0, 01,

valoarea lui z critic este 2,58


Pentru calculul lui z, folosim: media diferenţelor dintre cele două grupuri (md), abaterea standard a

diferenţelor dintre cele două măsurători, numărul de subiecţi din eşantion

Decizia statistică Dacă z calculat este mai mare decât z critic, atunci respingem ipoteza nulă.

Alte calcule:


populaţiei. Calculăm limita superioară şi limita inferioară în funcţie de: media diferenţelor (md), valoarea lui z

critic pentru α = 0, 05 sau α = 0, 01 şi eroarea standard a mediei diferenţelor

of 15

z =


TESTUL t PENTRU DOUĂ EŞANTIOANE DEPENDENTE (PERECHI)

Când folosim? 1. facem comparaţii între două măsurători repetate pentru acelaşi grup 2. facem

comparaţii între două grupuri dependente (exemplu, părinţi- copii)


măsurată pe o scală de interval sau de proporţii; variabila dependentă are o distribuţie normală; eşantionul a

fost extras randomizat din populaţie; eşantionul este mai mic de 30 (100) de subiecţi

Exemplu: Facem un experiment pentru a verifica efectul unui medicament asupra depresiei; grupul de

subiecţi este măsurat înainte de începerea experimentului (prima măsurătoare), iar apoi este măsurat după ce

primeşte medicamentul (a doua măsurătoare); se compară nivelul depresiei la prima măsurătoare cu nivelul

depresiei la a doua măsurătoare. Grupul este mai mic de 30 de subiecţi.


Ho: μd= 0; la nivel de populaţie, media diferenţelor dintre prima măsurătoare şi cea de-a doua

măsurătoare este 0

Hs: μd ≠ 0 (testul bilateral) sau μd >0, μd <0 (testul unilateral)

Valoarea critică Căutăm valoarea lui t critic în tabelul distribuţiei t., în funcţie de gradele de libertate.

df = n-1


Pentru calculul lui t, folosim: media diferenţelor dintre cele două grupuri (md), abaterea standard a

diferenţelor dintre cele două măsurători, numărul de subiecţi din eşantion.

Decizia statistică Dacă t calculat este mai mare decât t critic, atunci respingem ipoteza nulă.

Alte calcule:


populaţiei. Calculăm limita superioară şi limita inferioară în funcţie de: media diferenţelor (md), valoarea lui t

critic pentru α = 0, 05 sau α = 0, 01 şi eroarea standard a mediei diferenţelor

of 15

t =


ANOVA UNIFACTORIAL PENTRU EŞANTIOANE INDEPENDENTE

Când folosim? facem comparaţii între mediile unor grupuri independente de subiecţi şi avem mai mult

decât trei grupuri; avem o singură variabilă independentă, cu cel puţin trei modalităţi

Condiţii : grupurile de subiecţi sunt selectate randomizat din populaţie; variabila independentă este

măsurată pe o scală nominală şi are cel puţin trei modalităţi; variabila dependentă este măsurată pe o scală de

proporţii sau de interval şi are o distribuţie normală

Exemplu: Vrem să comparăm efectul mai multor doze de medicament asupra depresiei. Primul grup

primeşte o doză mică de medicament, al doilea grup primeşte o doză medie, iar alt grup primeşte o doză mare.

La final, comparăm nivelul depresiei pentru cele trei grupuri.

Ipoteza nulă şi ipoteza specifică

H0: μ1= μ2 = μ3=.........= μn

Hs: ipoteza nulă este falsă; apare o diferenţă semnificativă; nu spune exact dacă diferenţa

semnificativă este între prima şi a doua măsurătoare, prima şi a treia, etc.

Valoarea critică: Aflăm valoarea lui F critic din tabelele speciale a lui F, în funcţie de două tipuri de

gradede libertate: gradele de libertate between şi gradele de libertate within.

dfbet= k- 1 dfwit = N-k

Modalitate de calcul. Pentru calculul lui F, ţinem cont de două tipuri de varianţă: varianţa between

(varianţa care apare între grupurile de subiecţi) şi varianţa within (varianţa care apare în interiorul fiecărui grup

de subiecţi). Varianţa este egală cu suma pătratelor împărţit la gradele de libertate. F calculat este egal cu

varianţa between împărţit la varianţa within.

Pentru a calcula SS bet, raportăm media fiecărui grup la media totală. Pentru a calcula SS wit adunăm SS

din fiecare grup.

Decizia statistică: dacă F calculat este mai mare decât F critic, atunci respingem ipoteza nulă; dacă F

calculat este mai mic decât F critic, atunci nu respingem ipoteza nulă

Alte calcule:

Mărimea efectului: ne arată cât la sută din varianţa totală (diferenţele dintre subiecţi) apare din cauza

intervenţei noastre.

Puterea testului: ne arată ce capacitate are testul să descopere si diferenţele mici între medii (să evite

eroarea de tip 2)

of 15

F =

η(eta) =

f =


TESTE POST HOC

TESTUL T PROTEJAT FISHER

Când folosim? este un test post- hoc; folosim după ce am calculat valoarea lui F (ANOVA) pentru a

vedea unde se găsesc exact diferenţe semnificative între medii

Condiţii : am aplicat ANOVA şi am găsit un F semnificativ (ştim că, undeva, între medii, apare cel puţin

o diferenţa semnificativă); folosim atunci când avem 3 grupe de comparaţie (de la 4 grupe în sus, nu mai

controlează bine α)

Ipoteza nulă şi ipoteza specifică : H0: μi- μj= 0 Hs: μi- μj ≠ 0

Valoarea critică: aflăm valoarea lui t din tabelul special al lui t Fisher, în funcţie de gradele de libertate

df = dfw

Modalitate de calcul: calculăm valoarea lui t protejat într-un mod asemănător cu valoarea lui t pentru

eşantioane independente; dar, în loc să folosim varianţa ponderată de la cele două eşantioane, folosim în

formulă varianţa within calculată pentru toate eşantioanele de subiecţi

Alte calcule:

Dacă numărul de subiecţi din eşantioane este egal, atunci putem folosi o formulă mai scurtă. Least

significant difference (LSD) ne arată ce diferenţă trebuie să găsim între medii, pentru ca diferenţa să fie

semnificativă:

TESTUL TUCKEY

Când folosim? este un test post- hoc; folosim după ce am calculat valoarea lui F (ANOVA) pentru a

vedea unde se găsesc exact diferenţe semnificative între medii

Condiţii : nu e nevoie să avem un F semnificativ; folosim şi pentru mai mult de trei grupuri de

comparaţie; numărul de subiecţi trebuie să fie egal pentru toate grupurile

Ipoteza nulă şi ipoteza specifică : H0: μi- μj= 0 Hs: μi- μj ≠ 0

Valoarea critică: aflăm valoarea lui q din tabelul special, în funcţie de două grade de libertate:

a) dfw şi b) numărul de medii care pot fi comparate

Modalitate de calcul: calculăm valoarea lui q într-un mod asemănător cu t

Alte calcule:

Putem folosi o modalitate de calcul mai scurtă Honestly significant difference (HSD) ne arată ce

diferenţă trebuie să găsim între medii, pentru ca diferenţa să fie semnificativă.

Comparaţie: Testul t protejat are o putere mai mare; testul q reuşeşte să controleze mai bine eroarea α.

of 15

q =

LSD= qcritic·

LSD= t critic ·

t =


BONFERRONI – DUNN

Când folosim? Folosim şi post hoc şi apriori, atunci când avem comparaţii între mai multe medii; ne

ajută să păstrăm eroarea de tip 1(eroarea α) la un nivel scăzut

Ideea centrală: folosim testul t, dar adaptăm (schimbăm) valoarea pragului α, în funcţie de numărul de

comparaţii posibile pentru întregul experiment

αew= eroarea α acceptată pentru întregul set de comparaţii

j = numărul de comparaţii posibile

Valoarea critică: Căutăm valorile lui t critic în tabelele speciale Dunn.

TESTUL SCHEFFE

Când folosim? Folosim şi post hoc şi apriori, atunci când avem comparaţii între mai multe medii

(folosim ANOVA); ne ajută să păstrăm eroarea de tip 1(eroarea α) la un nivel scăzut

Ideea centrală: ne raportăm la o valoare diferită a lui F critic, în funcţie de numărul total de

comparaţii posibile

FS= valoarea adaptată a lui F critic

F critic= F critic pentru (k-1) şi (N-k) grade de libertate

METODA CONTRASTELOR LINIARECând folosim? Este o metodă apriori; o folosim atunci când facem comparaţii între mai multe medii, sau

facem comparaţii complexe, între grupuri de medii; comparaţiile sunt planificate înainte să culegem datele

Ipoteza nulă şi ipoteza specifică:

exemple: H0: μi- μj= 0 Hs: μi- μj ≠ 0

H0: (μi+ μj)- (μn+μm)= 0; Hs= (μi+ μj)- (μn+μm)≠ 0

Modalitate de calcul Se calculează coeficienţii mediilor pentru fiecare ipoteză nulă. Coeficienţii

mediilor sunt numerele cu care este înmulţită fiecare medie în ipoteza nulă. În funcţie de coeficienţii mediilor se

calculează valoarea lui F pentru contraste

Valoare critică: Aflăm F critic în tabel, în funcţie de gradele de libertate.

Decizia statististică: Dacă F calculat e mai mare decât F critic, respingem ipoteza nulă.

of 15

α =

FS = (k-1)·Fcritic

L= ΣcimiSScontrast= F=


ANOVA BIFACTORIAL

Când folosim? facem comparaţii între mediile unor grupuri independente de subiecţi; avem două variabile independente

Condiţii : grupurile de subiecţi sunt selectate randomizat din populaţie; variabilele independente sunt măsurate pe scale nominale; variabila dependentă este măsurată pe o scală de proporţii sau de interval şi are o distribuţie normală.

Exemplu: Comparăm efectul mai multor doze de medicament asupra depresiei), în cazul bărbaţilor şi al femeilor. Prima variabilă are trei modalităţi (doză mare, mică, medie), a doua variabilă are două modalităţi (bărbaţi şi femei). Avem un design experimental cu şase grupuri independente de subiecţi şi comparăm nivelul depresiei în cele şase situaţii.


Formulăm mai multe ipoteze nule şi mai multe ipoteze specifice, pentru că verificăm mai

multe tipuri de efect: a) efectul variabilei A b) efectul variabilei B c) efectul interacţiunii dintre A şi B

exemplu: ipoteza nulă pentru A: H0A: μa1= μa2= μa3=....... μa HsA: ipoteza nulă este falsă

Valoarea critică: Pentru fiecare efect calculat, aflăm valoarea lui F critic din tabel, în funcţie de gradele

de libertate between şi within (avem 3 F critic)

Gradele de libertate within sunt la fel, pentru toate tipurile de efect calculate: dfw = N-k

Gradele de libertate between sunt diferite pentru pentru fiecare tip de efect calculat:

df bet A= nr coloane -1; df bet B= nr rânduri-1; df bet AxB= dfbetAX df betB

Modalitate de calcul. Avem 3 F calculat, pentru fiecare tip de efect. Pentru calculul lui F, ţinem cont de

două tipuri de varianţă: varianţa between (varianţa care apare între grupurile de subiecţi) şi varianţa within

(varianţa care apare în interiorul fiecărui grup de subiecţi). F calculat este egal cu varianţa between împărţit

la varianţa within. Varianţa within este la fel pentru fiecare efect calculat, dar varianţa between se

calculează diferit pentru fiecare efect.

Pentru SSbetA, raportăm mediile coloanelor la media totală; pentru SSbetB raportăm mediile rândurilor la

media totală; pentru SSbet interacţiune, scădem SSbet A+ SSbet B din varianţa totală.

Decizia statistică: dacă F calculat este mai mare decât F critic, atunci respingem ipoteza nulă; dacă F calculat este mai mic decât F critic, atunci nu respingem ipoteza nulă Alte calcule Putem reprezenta grafic interacţiunea dintre cele două variabile (pe axa ox avem variabila A, pe axa oy avem variabila dependentă, iar în interiorul graficului reprezentăm B). Dacă liniile se intersectează, atunci interacţiunea este mare.

of 15

FA= FB= FAxB=


ANOVA UNIFACTORIAL CU MĂSURĂTORI REPETATE

Când folosim? a) facem comparaţii între cel puţin trei măsurători repetate pentru acelaşi grup b) facem

comparaţii între mediile a cel puţin trei grupuri de subiecţi

Condiţii : grupurile de subiecţi sunt selectate randomizat din populaţie; variabila independentă este măsurată pe o scală nominală, cu cel puţin trei modalităţi; variabila dependentă este măsurată pe o scală de proporţii sau de interval şi are o distribuţie normală

Exemplu: Vrem să comparăm efectul unui medicament asupra depresiei. Măsurăm nivelul depresiei înainte să dăm medicamentul (prima măsurătoare), apoi la două săptămâni după ce am început să dăm medicamentul (a doua măsurătoare), la o lună (a treia măsurătoare), etc. Facem comparaţie între cele trei măsurători.


Ho: μ1= μ2 = μ3=.........= μn; media diferenţelor dintre măsurători este egală cu 0; Hs: ipoteza nulă este

falsă; există o diferenţă semnificativă între măsurători, dar nu spune exact unde

Valoarea critică: Căutăm F critic în tabel, în funcţie de gradele de libertate pentru măsurători

(coloane) şi gradele de libertate pentru interacţiunea dintre subiecţi şi măsurători.

dfC= numărul de măsurători (coloane) -1 df inter = dfR x dfC

Modalitate de calcul. Calculăm F în funcţie de două tipuri de varianţă: varianţa pentru măsurători

repetate (varianţa pentru coloane) şi varianţa pentru interacţiunea dintre subiecţi şi măsurători. Nu avem

varianţă within!!

Pentru a calcula SSmăsurători (coloane) raportăm media pentru fiecare măsurătoare repetată la media totală.

Pentru a calcula SSinter scădem SSmăsurători (coloane)+SSsubiecţi (rânduri) din SStotal. F calculat este egal cu varianţa pentru

măsurători repetate, împărţit la varianţa interacţiunii dintre subiect şi măsurătoare.

Decizia statistică: dacă F calculat este mai mare decât F critic, atunci respingem ipoteza nulă; dacă F calculat

este mai mic decât F critic, atunci nu respingem ipoteza nulă.

Alte calcule Putem reprezenta grafic interacţiunea dintre subiecţi şi măsurători. Pe axa ox reprezentăm fiecare dinre măsurăori (modalităţile variabilei independente). Pe axa oy reprezentăm varibila dependentă. În interiorul graficului reprezentăm rezultatele pentru fiecare subiect. Dacă liniile prin care reprezentăm rezultatele subiecţilor sunt paralele, atunci nu există interacţiune între subiecţi şi măsurătoare (toţi subiecţii reacţionează în acelaşi fel la măsurători- există corelaţie între măsurători). Comparaţie cu ANOVA unifactorial independent. ANOVA MR are o putere a testului mai mare decât

ANOVA unifactorial independent.

of 15

F=


TESTUL U (Mann Withney)

pentru diferenţa rangurilor a două eşantioane independente

Când folosim? vrem să facem comparaţie între două grupuri independente de subiecţi; variabila independentă

este măsurată pe o scală nominală;

Condiţii variabila dependentă este măsurată pe o 1) scală ordinală sau 2) pe o scală de interval de interval sau

de rapoarte, dar distribuţia nu este una normală

Exemplu: dorim să comparăm rezultatele obţinute la test de două clase paralele de elevi.


Ho: cele două clase au fost extrase din aceeaşi populaţie; nu formulăm în termeni de medie,

pentru că nu calculăm media Hs: cele două clase nu fac pare din aceeaşi populaţie

Valoarea critică Căutăm valoarea lui U critic în tabelul valorilor critice pentru testul Mann Whithney, în

funcţie de numărul subieţilor din grupul A şi numărul subiecţilor din grupul B

Modalitate de calcul. Se aşează rezultatele în ordine, de la cel mai mic la cel mai mare, sau de la cel mai mare

la cel mai mic; se caculează rangul pentru fiecare valoare a variabilei dependente, apoi suma rangurilor pentru

fiecare grup.

Valoarea lui U se calculează pentru fiecare grup în parte, în funcţie de numărul de subiecţi din fiecare

grup şi de suma rangurilor.

Dacă numărul de subiecţi este mai mare de 20, se poate calcula o valoare a lui z care ţine cont de suma

rangurilor şi de numărul de subiecţi. Această valoare se raportează la valorile critice le lui z!

Decizia statistică. Pentru a lua decizia statistică, se ţine cont de valoarea U cea mai mică (dintre valoareaU

pentru A şi valoarea U pentru B). Dacă valoarea lui U calculat este mai mică sau egală decât valoarea lui U

critic, atunci respingem ipoteza nulă; dacă valoarea lui U calculat este mai mare decât valoarea lui U.

Valoarea lui z calculat se raportează la valorile critice ale lui z (dacă z calculat e mai mare de 1, 96 sau 2,58

atunci respingem ipoteza nulă)

of 15


TESTUL WILCOXON

pentru diferenţa rangurilor a două eşantioane dependente

Când folosim? a) facem comparaţie între două măsurători repetate pentru acelaşi grup b) facem

comparaţii între două grupuri dependente;

Condiţii variabila dependentă este măsurată pe o 1) scală ordinală sau 2) pe o scală de interval de

interval sau de rapoarte, dar distribuţia nu este una normală

Exemplu: dorim să comparăm rezultatele obţinute la testul de matematică cu rezultatele obţinute la

testul de limba română, pentru aceeaşi clasă de elevi


Ho: diferenţa dintre cele două măsurători este 0 (suma rangurilor pentru diferenţe pozitive este egală cu

suma rangurilor pentru diferenţele negative); nu formulăm în termeni de medie, pentru că nu calculăm media

Hs: diferenţa dintre cele două măsurători este diferită de 0

Valoarea critică Căutăm valoarea lui T în tabelul valorilor critice Wilcoxon, în funcţie de numărul de

subiecţi.

Modalitate de calcul. Se calculează diferenţele dintre cele două măsurători, pentru fiecare subiect în

parte. Diferenţele egale cu 0 se elimină din calcule. Se aşează diferenţele, în mărime absolută, în ordine, de la ca

mai mică la cea mai mare sau de la cea mai mare la cea mai mică. Se atribuie ranguri pentru fiecare diferenţă

(diferenţa cea mai mică primeşte rangul 1, apoi diferenţa următoare rangul 2, etc.). Se calculează suma

rangurilor pentru diferenţele pozitive (T+) şi suma rangurilor pentru diferenţele negative (T-). Valoarea cea mai

mică dintre T+ şi T-se raportează la valoarea critică din tabel.

Dacă numărul de subiecţi este mai mare de 20, atunci putem calcula valoarea lui z după următoarea

formulă:

Decizia statistică. Pentru decizia statistică, se ţine cont de valoarea T cea mai mică (dintre T+ şi T-).

Dacă valoarea lui T este mai mică sau egală cu valoarea lui T critic din tabel, atunci respingem ipteza nulă.

Valoarea lui z calculat se raportează la valorile critice ale lui z (dacă z calculat e mai mare de 1, 96 sau

2,58 atunci respingem ipoteza nulă)

of 15


TESTUL CHI PĂTRAT ( 2)

Când folosim? Folosim chi pătrat pentru a calcula corelaţia dintre două variabile măsurate pe scale nominale.

Exemplu: Dorim să calculăm corelaţia dintre profilul liceului absovit şi facultatea aleasă. Avem două

variabile:profilul liceului (cu modalităţile uman, real şi artistic) şi profilul facultăţii alese (cu modalităţile uman,

real şi artistic).


Ho: frecvenţele observate pentru diferite modalităţi ale variabilelor sunt egale cu frecvenţele aşteptate

pentru modalităţile respective, ceea ce înseamnă că nu există legătură între variabile (datele se potrivesc cu

modelul stabilit înainte) Hs: frecvenţele observate sunt diferite de frecvenţele aşteptate, ceea ce înseamnă că

există legătură între variabile

Valoarea critică Valoarea critică a lui 2 se găseşte în tabelul special, în funcţie de gradele de libertate:

df = (r-1)(c-1)

Modalitate de calcul Testul chi- pătrat ofeă o măsură pentru goodness of fit (potrivirea) întâlnit într-un set de

date, pentru că măsoară gradul în care se potrivesc datele observate cu un anumit model aşteptat de cercetător

pe baza probabilităţilor statistice.

Construim un tabel al contingenţelor, în care se regăsesc, pe linii şi pe coloane toate modalităţile celor două

variabile. În căsuţele tabelului scriem frecvenţele observate pentru fiecare combinaţie a celor două variabile.

Pentru fiecare căsuţă a tabelului, calculăm şi frecvenţele aşteptate (ce valori ne alteptăm să obţiem dacă între

cele două variabile nu există legătură).

În funcţie de frecvenţele observate şi frecvenţele aşteptate, calculăm valoarea lui chi pătrat :

Decizia statistică Comparăm valoarea lui 2 cu valoarea critică din tabel. Dacă 2 calculat este mai mare decât 2 critic atunci respingem ipoteza nulă.

Caz special al testului chi pătrat: testul medianei ; este folosit pentru comparaţii între două eşantioane

independente de subiecţi (Ho: medianele celor două eşantioane sunt egale); fiecare eşantion este împărţit

în două grupuri: un grup cu valori mai mici decât mediana celor două eşantioane combinate şi un grup cu

valori mai mari decât mediana. Este folosit apoi chi pătrat pentru a verifica dacă frecvenţele observate

sunt diferite de cele aşteptate.

of 15

χ2 =


COEFICIENTUL DE CORELAŢIE PEARSON

Când folosim? Verificăm asocierea (legătura) dintre două variabile.

Condiţii: cele două variabile sunt măsurate pe scală de interval sau de proporţii; fiecare variabilă are distribuţie

normală; avem câte două măsurători pentru fiecare subiect (una pentru variabila x, alta pentru variabila y)

Modalitate de calcul Coeficientul de corelaţie r se calculează în funcţie de suma abaterilor de la medie, pentru

fiecare variabilă şi în funcţie de varianţele celor două variabile. Valoarea coeficientului de corelaţie poate fi

între -1 şi +1. Dacă r se apropie de -1 atunci corelaţia este negativă, dacă r se apropie de +1, atunci corelaţia este

pozitivă, iar dacă r se apropie de 0, atunci nu există corelaţie.

Testarea semnificaţiei corelaţiei. Semnificaţia corficientului de corelaţie se testează cu ajutorul testului t.

Ipoteza nulă şi ipoteza specfică

H0: ρ= 0 (la nivel de populaţie coeficientul de corelaţie este egal cu 0)

Hs: ρ≠0 (la nivel de populaţie, coeficientul de corelaţie este diferit de 0).

Valoarea critică Se găseşte în tabelul valorilor critice ale lui t, în funcţie de gradele de libertate:

df = 2

Modalitate de calcul Valoarea lui t se calculează în funcţie de valoarea coeficientului de corelaţie şi în

funcţie de numărul de subiecţi

Decizia statistică: Dacă t calculat este mai mare decât t critic, respingem ipoteza nulă.

Alte calcule

Analiza graficului de corelaţie. Se desenează graficul de corelaţie dintre cele două variabile (variabila x

pe axa ox, variabila y pe axa oy). În interiorul graficlui se reprezintă valorile subiecţilor. Prin analiza norului de

puncte format de rezultatele subiecţilor, putem să ne dăm seama de sensul şi mărimea corelaţiei.

Calculul limitei superioare şi inferioare între care se găseşte ρ. Transformăm prima dată valoarea lui r

într-o valoare z, potrivit tabelului (găsim zr). Calculăm o limită superioară şi inferioară, în valori z, în funcţie de

zr, z critic şi eroarea standard a distribuţiei lui r. Transformăm apoi limitele calculate în cote z în valori ale lui z,

în funcţie de tabel.

of 15

r =

testul z pentru un eŞantion - wordpress.com · web viewtestul z pentru un eŞantion când folosim?...

Documents