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texto
Maria Cristina Elyote Marque Santos
Fundamentos da Matemática II
Cruz das Almas - BA2015
FICHA CATALOGRÁFICA
S237f Santos, Maria Cristina Elyote Marques. Fundamentos da matemática II / Maria Cristina Elyote Marques Santos._ Cruz das Almas, BA: UFRB, 2015. 152p.; il.
ISBN: 978-85-5971-040-3 1.Matemática – Polinômios. 2.Matrizes (Matemática)
– Trigonometria. I.Universidade Federal do Recôncavo da Bahia, Superintendência de Educação Aberta e a
Distância. II.Título.
CDD: 510.7 Ficha elaborada pela Biblioteca Universitária de Cruz das Almas - UFRB.
APRESENTAÇÃO
Querid@s estudantes! É grande a satisfação de começarmos o estudo aqui proposto.
Ao abordar os assuntos que compõem a disciplina Fundamentos da Matemática II, ora
apresentados neste módulo, nos parece importante questioná-los a partir das seguintes
indagações: quais foram os matemáticos que desenvolveram esses assuntos? Que teorias
sustentam esses temas? Quais suas principais aplicações? Assim, o propósito deste módulo é
responder a estas perguntas e proporcionar o surgimento de outras no que diz respeito ao estudo
de Polinômios; Trigonometria e funções trigonométricas; Matrizes, determinantes e sistemas
lineares, os quais compõem a ementa da disciplina Fundamentos da Matemática II.
Como, para fazer Matemática, é preciso ter imaginação, iniciem meditando sobre o
pensamento: "Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta".
(Karl Weierstrass)1. O que vocês acham a este respeito?
Antes de iniciarmos nossa caminhada pela Álgebra, consideremos algumas dicas para
estudar e aproveitar melhor o que o nosso módulo e todas as referências trazem. Estas dicas
foram adaptadas de Pilone & Pilone (2010, p.XXV): 1) Vá devagar. Quanto mais você entende,
menos você tem que memorizar; 2) Faça os exercícios. Escreva suas próprias anotações; 3) Leia
as observações e os pontos em destaque; 4) Que isso seja a última coisa que você leia antes de
dormir. Ou pelo menos, a última coisa desafiante; 5) Converse sobre o que você está lendo. Em
voz alta; 6) Beba água. Em grande quantidade; 7) Ouça seu cérebro (ele determinará o ritmo de
estudo); 8) Envolva-se na história, duvide, questione, argumente; 9) Pratique a resolução de
problemas; 10) Consulte as referências indicadas para estudo.
Calma, não se assuste, se em alguns momentos tratarmos de tópicos não definidos neste
módulo, como Anel, Grupo, Corpo, entre outros. Estes conceitos, algumas vezes, serão citados
apenas para que você saiba que a teoria ora estudada se encontra num contexto bem maior, onde
estruturas algébricas são relacionadas e definidas. Por exemplo, a teoria dos Corpos é um ramo
da álgebra abstrata que estuda as propriedades dos corpos. Um Corpo é uma estrutura algébrica
em que a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão são bem-definidas. Geralmente, valem
as propriedades da associatividade, distributividade e comutatividade.
Assim, para ter uma boa compreensão do que será exposto, é muito importante que você
leia cada linha aqui apresentada com dedicação, cautela e atenção, muita atenção. Ok?
Lembre-se que este material é resultado de um trabalho coletivo, feito com o
objetivo de trazer a cada um de vocês conhecimento valoroso da Matemática.
Boa aprendizagem para tod@s vocês!
Profª Maria Cristina Elyote Marques Santos
1 Disponível em <http://www.somatematica.com.br/frases2.php>.
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Ementa
Polinômios; Trigonometria e funções trigonométricas; Matrizes, determinantes e sistemas
lineares.
Conteúdo Programático: TEMA 1: POLINÔMIOS
1. Definição de monômios;
2. Grau de monômio;
3. Definição de polinômios;
4. Polinômios idênticos;
5. Polinômio nulo;
6. Raiz de um polinômio;
7. Polinômios iguais;
8. Polinômios idênticos;
9. Adição de polinômios e propriedades;
10. Subtração de polinômios;
11. Multiplicação de polinômios e propriedades;
12. Divisão de polinômios: método da chave e algoritmo de Briot-Ruffini;
13. Equações polinomiais;
14. Raiz de equação polinomial;
15. Conjunto solução;
16. Resolução de uma equação;
17. Equações equivalentes;
18. Teorema fundamental da álgebra;
19. Atividades propostas I.
TEMA 2: TRIGONOMETRIA
1. Tipos de triângulos;
2. Relações trigonométricas no triângulo retângulo;
3. Seno, cosseno, tangente e cotangente de ângulos complementares;
4. Arco de circunferência;
5. Medidas de arcos – unidades;
6. Medidas de ângulos;
7. Ciclo trigonométrico;
8. Razões trigonométricas na circunferência;
9. Relações fundamentais;
10. Arcos notáveis;
11. Redução ao primeiro quadrante;
12. Atividades propostas II.
TEMA 3: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1. Funções circulares;
2. Funções periódicas;
3. Ciclo trigonométrico;
4. Função Seno.
5. Função Cosseno;
6. Função Tangente;
7. Função Cotangente;
8. Função Secante;
9. Função Cossecante;
10. Funções pares e ímpares;
11. Atividades propostas III.
3
TEMA 4: MATRIZES E DETERMINANTES
1. Noção de matriz;
2. Matrizes especiais;
3. Matrizes iguais;
4. Adição/subtração de matrizes;
5. Multiplicação de um escalar por matriz;
6. Multiplicação de matrizes;
7. Matriz transposta;
8. Matrizes invertíveis;
9. Determinantes: definição de determinante;
10. Menor complementar e complemento algébrico;
11. Teorema fundamental (de Laplace);
12. Propriedades dos determinantes;
13. Atividades propostas IV.
TEMA 5: SISTEMAS LINEARES
1. Definição de sistemas lineares;
2. Equação linear;
3. Solução de uma equação linear;
4. Sistema linear;
5. Solução de um sistema linear;
6. Sistema possível. Sistema impossível;
7. Sistema linear homogêneo;
8. Teorema de Cramer;
9. Sistema possível e determinado;
10. Atividades propostas V.
Bibliografia Básica:
1. IEZZI, Gelson: Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 3, Atual Editora.
2. IEZZI, Gelson: Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 4, Atual Editora.
3. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 6, Atual Editora.
4. BOLDRINI, J. L., COSTA, R. L., FIGUEIREDO, V. L.: Álgebra Linear, 3ªed.,
Harbra,1980.
Bibliografia Complementar:
5. DO CARMO, Manfredo Perdigão. Trigonometria e Números Complexos, SBM.
6. CALLIOLI, Carlos Alberto – Álgebra linear e aplicações – Ed. Atual.
7. LAY, David. ÁLGEBRA LINEAR E SUAS APLICAÇÕES. Tradução Ricardo
Camelier, Valéria de Magalhães Iório. 2ª edição – Rio de Janeiro: LTC, 2007.
8. LIPSCHUTZ, Seymour & LIPSON, Marc. Álgebra Linear. 4ª ed. Coleção
Schaum. Porto Alegre: Bookman, 2011.
9. NEVES, Maria Augusta F.; GUERREIRO, Luís, Matemática, (10º ano -
Geometria I e Funções I, 11º ano - Geometria II, Funções II e Sucessões, 12º ano -
Trigonometria e Funções III), Porto Editora, 1999 (ou posterior).
10. SMOLE, Kátia Stocco & DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio.
Volume 2, 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013.
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UM POUCO DE HISTÓRIA...
Muitos são os matemáticos que nos deram contribuições para compor o corpo teórico
que hoje denomina-se Álgebra. Para iniciar esta conversa, podemos pensar em Mohammed ibn-
Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm), matemático e astrônomo árabe
que
[...] escreveu dois livros sobre aritmética e álgebra que tiveram papéis muito
importantes na história da matemática. Um deles sobrevive apenas numa
única cópia de uma tradução latina com o título De numero hindorum (Sobre
a arte hindu de calcular), a versão árabe original tendo sido perdida. Nessa
obra, baseada provavelmente numa tradução árabe de Brahmagupta, al-
Khowarizmi deu uma exposição tão completa dos numerais hindus que
provavelmente foi o responsável pela impressão muito difundida, mas falsa,
de que nosso sistema de numeração é de origem árabe. [...] A nova notação
veio a ser conhecida como a de al-Khowarizmi, ou mais descuidadamente,
algorismi; finalmente o esquema de numeração usando numerais hindus veio
a ser chamado simplesmente algorismo ou algoritmo, palavra que,
originalmente derivada do nome de al-Khowarizmi, agora significa, mais
geralmente, qualquer regra especial de processo ou operação – como o
método de Euclides para encontrar o máximo divisor comum, por exemplo
(BOYER, 1974, p.166).
Você percebe que o fragmento acima serve como ilustração de que as contribuições à
matemática que se pratica atualmente são decorrentes, em alguns casos, de releituras e
reconfigurações de algum conhecimento prévio, existente? É como se um grande prédio fosse
paulatinamente construído no qual cada um pusesse mais um "tijolo" para contribuir. Assim, a
área da matemática que vamos estudar neste módulo se inicia desta maneira e vai aos poucos se
consolidando, pois a cultura árabe foi aos poucos se esparramando pela Europa.
Figura 1 - Matemático e astrônomo árabe, Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi. Imagem
disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica>. Acesso em 06 abr.
2015.
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Acontece que :
Na Alemanha, por exemplo, os livros sobre álgebra foram tão numerosos que
durante algum tempo a palavra germânica coss para a incógnita triunfou em
outras partes da Europa, e o assunto ficou conhecido como a ‘arte cóssica’.
Além disso, os símbolos germânicos para adição e subtração acabaram
substituindo os p e m italianos [usados para simbolizar as operações citadas].
Em 1489, antes da publicação da Summa de Pacioli, um professor alemão de
Leipzig, Johann Widman (nasceu aproximadamente em 1460) tinha
publicado uma aritmética comercial, Rechenung auff allen Kauffmanschafft,
o mais antigo livro em que nossos sinais + e – aparecem impressos. Usados
inicialmente para indicar excesso e deficiência em medidas, em armazéns,
mais tarde tornaram-se símbolos para as operações aritméticas familiares.
Widman, incidentalmente, possuía uma cópia manuscrita da Álgebra de al-
Khowarizmi, obra bem conhecida também por outros matemáticos alemães
(BOYER, 1974, p. 205).
Voltando-nos para o estudo de polinômios, devemos nos remeter ao fato que o ano de
1545 é considerado como "marco do início do período moderno na matemática" pelo fato que
nesse ano
[...] a resolução não só da [equação] cúbica como também da [equação]
quártica tornaram-se conhecimento comun pela publicação da Ars magna de
Gerônimo Cardano (1501-1576). [...] Deve-se assinalar imediatamente,
porém, que Cardano (ou Cardan) não foi o descobridor original da solução
quer da [equação] cúbica quer da [equação] quártica. Ele próprio admitiu isso
francamente em seu livro. A sugestão para resolver a [equação] cúbica, ele
afirma, lhe tinha sido dada por Niccolo Tartaglia (cerca de 1500-1557); a
solução da [equação] quártica tinha sido descoberta primeiramente pelo
antigo amanuense de Cardano, Ludovico Ferrari (1522-1565) (BOYER,
1974, p. 206).
Quase ao mesmo tempo,
Aproximadamente na virada do século XV para o XVI, Scipione del Ferro
(1465-1526), professor da Universidade de Bolonha, conseguiu resolver esse
tipo de equação [cúbica]. Ora, como a substituição x = y - (a/3) transforma x3
+ ax2 + bx + c = 0 em y3 + py + q = 0, então o segredo da resolução das
equações cúbicas estava praticamente desvendado (IEZZI, 2005, p. 99).
O que você acha destas contribuições à solução de equações de grau superior a dois, que
por muitos anos foram consideradas impossíveis de serem resolvidas? Por que alguns destes
nomes não são tão conhecidos na atualidade? Por que não ler mais um pouco sobre estes e
outros assuntos consultando as referências sugeridas no fim deste módulo?
Estes são apenas pequenos petiscos para deixar você com "água na boca" e ficar com
"gosto de quero mais" para seguir mais adiante. Então, avante! Se envolva neste estudo, pois "A
Assista ao vídeo "Origens da Álgebra", no qual se narra de forma resumida as
origens desta área, criado e sugerido pela Khan Academy. Para isso, acesse o link
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-
algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra>.
Além desse vídeo, sugiro a leitura do texto “Breve história da Álgebra abstrata”
acessando o link <http://www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf>.
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álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu" (Jean Le Rond
d'Alembert)2.
POLINÔMIOS
Faremos o estudo de polinômios a partir da definição de sequências de números reais.
Assim, será construída a ideia de polinômios determinados com coeficientes no conjunto dos
números reais. Porém, antes de iniciarmos de maneira formal, iremos tratar o tema a partir de
questionamentos e de uma situação-problema. Vamos lá?
O que são polinômios? Como eles são definidos? Por que estudar polinômios? Quais
suas aplicações?
Na tentativa de responder para que servem os polinômios ou ajudar na reflexão sobre
este tópico, trazemos o fragmento a seguir:
Se não houvesse polinômios, muito provavelmente não poderíamos utilizar
CDs, nem de música nem de computador. Os polinômios (e aritmética
módulo n, corpos finitos, enfim, tópicos de álgebra abstrata) são a base do
código que faz com que os dados sejam escritos em CDs, os chamados
códigos corretores de erro. Todo meio de comunicação tem o que chamamos
de ruído, que faz com que os dados não sejam transmitidos corretamente (não
é incompetência do transcritor de dados, é a própria natureza - um bom
exemplo é a recepção de celular com ruído atmosférico). Assim, são
necessários códigos que eliminem ou corrijam esses erros, que são esses
códigos corretores de erros. É claro que, para compreender isso, é necessário
algum estudo de álgebra abstrata e, dependendo do código, até de geometria
projetiva finita!3
Com as leituras acima, nós já podemos imaginar que os polinômios têm vasto uso na
nossa vida cotidiana, sem contar na aplicação em diversas áreas da própria Ciência. Vejamos
um exemplo no qual sugerimos construir uma caixa sem tampa a partir de uma folha retangular
de papelão, retirando-se os quatro cantos, conforme mostra a figura 2, a seguir.
2 Disponível em <http://www.somatematica.com.br/frases2.php>. 3 Disponível em <http://supmat.blogspot.com.br/2012/02/texto-para-refletir-para-que-servem.html>.
Leia o texto "Uso de polinômios para surpreender" no link a seguir
<http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_III/pdf/p
olinomios.pdf> e identifique qual/quais objetivo/objetivos da autora ao mostrar
aplicações do uso de polinômios de uma forma surpreendente.
Os polinômios são expressões algébricas, que envolvem números e letras interligados pelas
operações de adição/subtração, multiplicação/divisão. Ou seja, num polinômio encontraremos
números (que representam as constantes e expoentes) e letras (que representam as variáveis).
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A proposta é fazer uma caixa, sem tampa superior, para organizar alguns objetos,
cortando os quatro cantos do papelão da maneira como se apresenta na figura anterior e, com os
retângulos que resultam do recorte, formar as laterais da caixa. Mas, como saber qual a medida
que deve ser retirada de cada canto do papelão de modo a se ter uma caixa com o maior volume
possível?
Na medida em que x varia, o volume final da caixa varia, pois o volume da caixa
depende da variável x. Lembrar que x representa o tamanho do corte que determinará a altura da
caixa a ser montada. Dizemos, então, que o volume é uma função de x.
Figura 3 - Modelo de caixas sem tampa. Disponível em <http://www.madamecriativa.com.br/posts-
recentes/caixinhas-de-origami-para-organizar-pequenos-objetos>. Acesso 08 abr. 2015.
Considere que a medida da lateral da folha de papelão original é m, conforme aparece
na figura 4, a seguir:
Imagine que os cortes sejam feitos com diferentes
comprimentos para x. Ainda, imagine a caixa que se pode
construir quando o valor do corte vai sendo variado.
Figura 2 - Esquema para construção de uma caixa sem
tampa.
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Figura 4 - Medida m da lateral da folha de papelão.
E então? Está acompanhando o desenvolvimento do raciocínio a que queremos chegar?
Continuemos, então...
Para calcular o volume da caixa utilizaremos o seguinte raciocínio:
Sabemos da geometria que o volume de um sólido de base quadrada é a área da base
vezes altura. No caso em questão, a base é quadrada de medida:
(m – 2x)
Desta forma, para calcular a área da base fazemos:
(m – 2x)(m – 2x) = (m – 2x)2
Como a altura da caixa que iremos formar é x, o volume é calculado da seguinte
maneira:
V(x) = (m – 2x)2.x = (m2 – 4mx +4x2)x = m2x – 4mx2 + 4x3
Toda expressão como a que foi determinada acima, como o volume da caixa, é
considerada como polinômio ou função polinomial em x.
Gostou? É um exemplo simples que nos permitirá, a depender do valor da medida
lateral da folha de papelão, determinar o valor que devemos recortar em cada canto para fazer
uma caixinha sem tampa para colocar objetos em casa. Bem prático, não acha? Que tal você
procurar outros exemplos cujas soluções recaiam num polinômio ou numa função polinomial?
Para definir um polinômio vamos pensar em cada uma das partes que forma o
polinômio do exemplo acima.
V(x) = m2x – 4mx2 + 4x3
O V(x) pode ser desmembrado em três partes , e
Cada uma destas partes é chamada de monômio.
Bem, agora que você já tem uma ideia do que seja um polinômio e de como são
formadas as suas partes, vamos defini-lo formalmente?
m
m2x – 4mx2 + 4x3
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SUCESSÃO OU SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS
Chama-se sucessão/sequência de números reais toda aplicação f de (conjunto dos
números naturais) em ℝ (conjunto dos números reais). Estamos usando as duas nomenclaturas,
mas alguns autores chamam sequências no lugar de sucessões. Usaremos as duas formas
indistintamente.
Assim, em toda sucessão, a cada número natural i está associado um número real :
Figura 5 – Aplicação f: ℕ
Apesar de se definir a sucessão como toda aplicação f: ℕ , é comum que se
indique a sucessão f, apenas por sua imagem: onde cada número real
( ) é chamado de termo da sucessão.
IGUALDADE DE SUCESSÕES
Duas sucessões são iguais se, e somente se, apresentarem termos correspondentes (ou
seja, termos com mesmo índice) iguais. Desta forma, se f = e g temos:
i
SUCESSÕES QUASE-NULAS
Uma sucessão é quase-nula se, e somente se, todos os termos que sucedem um certo
termo são nulos. Desta forma, a sucessão é quase-nula se existe um número natural n tal
que para todo índice i > n.
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EXEMPLOS
São sucessões quase-nulas:
1. (2,8,0,0,...,0,0,...) onde para todo i > 1;
2. (2, 5, 6, 7, 0, 0, 4, 5, 0, 0, ..., 0, 0, ..., 0, ...) onde , para todo i > 7;
3. (1, 0, 0, ..., 0, ...) onde , para todo i > 0 (esta é chamada a sucessão unidade ou
sequência unidade);
4. (0, 0, 0, 0, ..., 0, ...) onde , para todo i (é chamada de sucessão nula ou
sequência nula).
OBSERVAÇÃO
Uma sucessão quase-nula tem um número finito (n + 1, no máximo) de termos
não nulos.
ADIÇÃO DE SUCESSÕES
A soma de duas sucessões e é uma sucessão tal que cada termo é dado por
= , i .
Exemplo
1. Calcular a soma das sucessões e (bi), onde = 3i e = 2i + 2.
Solução: = = 3i + 2i + 2 = 5i + 2.
Assim, = (2, 7, 12, 17, ..., 5i + 2, ...)
MULTIPLICAÇÃO DE SUCESSÕES
Considera-se o produto de duas sucessões e à sucessão , tal que é a soma
de todos os produtos da forma com i + j = k.
Desta forma,
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......................................................................
...............................................................................................................
Resumidamente,
= . (I)
EXEMPLO
Determinar os três termos iniciais do produto das sucessões e (bi), onde = i -
3 e = 2j.
Solução: Temos que e .
Considerando que , então:
Primeiro termo: = -3.0 = 0
Segundo termo: = (-3).2 + (-2).0 = - 6
Terceiro termo:
Conclusão: .
OPERAÇÕES COM SUCESSÕES QUASE-NULAS
Teorema T 1 - A soma de duas sucessões quase-nulas e é uma sucessão
quase-nula.
Demonstração
Por definição numa sucessão quase-nula existem números naturais m e n tais que
Há três possibilidades para m e n: 1) m < n; 2) m = n; e, 3) m > n.
Aplicando o dispositivo prático da adição temos:
1) m < n:
...
... 0 0 0 0 ...
12
...
...
0 0 0 ...
...
...
0 0 0 ...
2) m = n:
...
0 0 0 0 ...
...
0 0 0 0 ...
...
0 0 0 0 ...
3) m > n:
...
...
0 0 0 ...
...
... 0 0 0 0 ...
...
...
0 0 0 ...
Em todos os casos, existe um índice p (o maior dos números m e n) tal que ,
para todo i > p.
Teorema T 2 - O produto de duas sucessões quase-nulas e é uma sucessão
quase-nula.
Demonstração:
Na definição de uma sucessão quase-nula temos que existem números naturais m e n tais
que
Aplicando o dispositivo prático para a multiplicação, temos:
...
0 0 0 ...
...
0 0 0 ...
...
0 0 0 ...
...
0 0 0 ...
.
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...
0 0 0
13
0 0 0 0 ... 0 0 0 0
0 0 0 0 ... 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
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O que se pode verificar na tabela acima é que a sucessão apresenta o termo
(pois os outros termos da diagonal são nulos) e para todo k > m + n (pois todos os
termos das diagonais são nulos).
Indicaremos por E o conjunto de todas as sucessões quase-nulas de elementos de A. O
conjunto E é fechado em relação à adição e à multiplicação conforme se pode verificar pelos
teoremas T1 e T2, anteriores.
OBSERVAÇÕES
1. A seguir trataremos do teorema que garante as propriedades de
associatividade da multiplicação, comutatividade da multiplicação,
existência do elemento unidade da multiplicação e distributividade da
multiplicação em relação à soma para a adição e multiplicação das
sucessões-quase nulas.
2. O mesmo será aceito sem demonstração por envolver assuntos que
ultrapassam os conhecimentos até então desenvolvidos.
Teorema T 3 – O conjunto E de todas as sucessões quase-nulas, de elementos do anel
A, é um anel comutativo com elemento unidade, em relação às operações de adição e de
multiplicação definidas acima.
Admitiremos que este teorema é válido, sem demonstração, pois envolve
conhecimentos ainda não trabalhados no curso.
O conjunto E com as propriedades consideradas no Teorema 3, anterior, é chamado anel
de polinômios com coeficientes em A e seus elementos são denominados polinômios com
coeficientes em A.
Em outras palavras, cada sucessão quase-nula passa doravante a ser chamada polinômio
de coeficientes reais.
EXEMPLO
f = (7, -9, 3, 0, 0, 0, ..., 0, ...)
g = (1, , -1/2, 3, 0, 8, 6, -3, 0, 0, 0, ...,0, ...)
São alguns polinômios de coeficientes reais.
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MONÔMIO
O monômio (ou termo algébrico) é toda expressão algébrica representada por um
número, por uma incógnita, ou pelo produto de números e incógnitas.
Assim
;
x;
;
-xy2.
São exemplos de termos algébricos ou monômios.
OBSERVAÇÃO
Cada uma das parcelas de um polinômio é um monômio.
EXEMPLO
No caso do monômio , identificamos que é o coeficiente e x é a parte literal ou
variável ou incógnita.
OBSERVAÇÕES
1. Quando o coeficiente é 1, escrevemos x ao invés de escrevermos 1x,
por exemplo. O mesmo acontece no caso –x que escrevemos no lugar
de –1x;
2. Quando o coeficiente numérico é igual a 0, o monômio é dito nulo;
3. Todo número real é um monômio, só que sem a parte literal.
GRAU DE UM MONÔMIO
DEFINIÇÃO DE POLINÔMIOS
DEFINIÇÃO: Um polinômio (ou função polinomial) de grau n é uma função da forma
Onde os coeficientes são números reais dados, com e n é
um número natural.
A soma dos expoentes de todas as variáveis que formam um monômio determina o grau de um
monômio.
Se p(x) é um monômio de grau n, então indicamos .
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EXEMPLOS
1. O monômio x5 é do 5º grau;
2. O monômio m9n é do 9º grau em relação a variável m e do 1º grau em relação a n.
OBSERVAÇÕES
Condições de existência de um polinômio:
1. Os coeficientes são números reais ou números complexos;
2. Os expoentes são números naturais.
GRAU DE UM POLINÔMIO
Seja f = ( ) um polinômio não nulo. Chama-se grau de f, e representa-se por ou gr(f),
o número natural n tal que e para todo i > n.
Assim, grau de um polinômio f é o índice i máximo para o qual .
EXEMPLOS
1. . Desta forma, observamos que, em p(x),
. Além disso, você pode
verificar que p(x) é um polinômio de grau 6;
2. . Para o polinômio q(x), = 0, e
. Assim concluímos que q(x) é de grau 5.
3. Um polinômio de grau zero é uma função constante: f(x) = 5, por exemplo.
4. Considere m, n, a, b e c números reais. A função afim f(x) =mx + n, com m 0 e a
função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a 0, são exemplos de polinômios de
primeiro grau e de segundo grau, respectivamente.
A partir das observações acima, você é capaz de escrever dois exemplos de
polinômios em x? Então, o que está esperando???
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5. As expressões algébricas , , e
são exemplos de polinômios.
6. f = (7, -9, 3, 0, 0, 0, ..., 0, ...) => a0 = 7, a1 = -9, a2 = 3 => = 2
7. g = (1, , -1/2, 3, 0, 8, 6, -3, 0, 0, 0, ...,0, ...) => = 7
8. h = (1, 4, 5, -4 + a, 0, 0, 0, ..., 0, 0, ...)
9. 8m3n + m9n → esse polinômio é do 9º grau em relação a variável m e do 1º grau em
relação a n.
10. x8y7+ 4xy2 → esse é um polinômio do 8º grau em relação a variável x e do 7º grau em
relação à y. Ao mesmo tempo, é possível dizer que o grau desse polinômio é 15 se
considerarmos em relação às variáveis xy.
OBSERVAÇÕES
1. Se o grau do polinômio f é n, então an é chamado coeficiente
dominante de f. No caso do coeficiente dominante an ser igual a 1, f , é
chamado polinômio unitário.
2. Chama-se grau de um polinômio f = ( , f 0’ (f um polinômio
não-nulo), ao número natural n = max{i ℕ/ 0}.
Teorema T 4: Se f e g são dois polinômios não-nulos, pertencentes a E, temos: se f +
g 0’, então, .
Suponhamos que , então:
São possíveis três casos:
1º) m < n, portanto máx {m, n} = n
F a0 a1 a2 ... am ... 0 0 0 0 ...
G b0 b1 b2 ... bm ... bn 0 0 0 ...
f + g a0 + b0 a1 + b1 a2 + b2 ... am + bm .... bn = cn 0 0 0 ...
Temos e para i > n, portanto,
2º) m = n, portanto máx {m, n} = m = n
f a0 a1 a2 ... an ... 0 0 0 ...
g b0 b1 b2 ... bn ... 0 0 0 ...
17
f + g a0 + b0 a1 + b1 a2 + b2 ... an + bn = cn .... 0 0 0 ...
Temos ci = 0 para todo i > n, portanto . (cn pode ser zero, por exemplo se an e bn
forem simétricos, por isso não é necessariamente igual a n, mas com certeza não é
maior do que n).
3º) m > n, portanto máx {m, n} = m
F a0 a1 a2 ... an ... am 0 0 0 ...
G b0 b1 b2 ... bn ... 0 0 0 0 ...
f + g a0 + b0 a1 + b1 a2 + b2 ... an + bn .... am = cm 0 0 0 ...
Temos cm ci = 0 para todo i > m, portanto (c.q.d.).
Teorema T 5: Sejam f = ( e g = ( dois polinômios não-nulos de coeficientes
reais, então temos:
=
Demonstração: ∂f+∂g
Suponhamos que = m e . Então, decorre que:
e .
Provemos que o produto fg = ( apresenta grau m + n, isto é,
18
Aplicando o mesmo dispositivo prático antes utilizado, temos:
...
0 0 0 ...
...
0 0 0 ...
...
0 0 0 ...
...
0 0 0 ...
.
.
.
.
.
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...
0 0 0
0 0 0 0 ... 0 0 0 0
0 0 0 0 ... 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
É possível verificar que a sequência fg = ( apresenta:
, pois 0 e e para todo k > m + n pois quando k >
m + n todos os termos da diagonal são nulos.
EXEMPLOS
1. f = (4, 3, 0, 0, 0, ..., 0, ...) => = 1
g = (1, 2 ,5, 0, 0, 0, ..., 0, ...) => = 2
fg = (4, 11, 26, 15, 0, 0, ..., 0, ...) => = 3∂f+∂g
∂f+∂g
2. f = (1, 2, 1, 5, 0,0,0, ..., 0, ...) => = 3
g = (3, -6, 7, 8, 0, 0, 0, ..., 0, ...) => = 3
19
fg = (3, 0, -2, 31, -7, 43, 40, 0,0, ..., 0, ...) => = 6∂f+∂g
POLINÔMIOS CONSTANTES
Consideremos agora a aplicação que a todo elemento a, de A, faz corresponder o
polinômio ( , onde Os elementos de A passam a ser
denominados polinômios constantes.
Exemplos de polinômios constantes:
0’ = (0, 0, 0, ..., 0, ...)
1’ = (1, 0, 0, 0, ..., 0, ...)
(a + b)’ = (a + b, 0, 0, 0, ..., 0, ...)
INDETERMINADA
Considere o polinômio e = 0, qualquer que seja i e a um
elemento qualquer de A. Este elemento a está identificado com o polinômio ( E, onde
e , qualquer que seja i 0.
Afirmamos que: a , onde n 0, , qualquer que seja k (I)
Demonstração:
1º) Utilizando a demonstração por indução completa sobre n, temos que a afirmação (I) é
verdadeira para n = 0.
2º) Suponhamos que onde n e = 0 se k n.
3º) Seja O primeiro termo dessa igualdade pode ser escrito da seguinte
maneira:
= (
Resultando que = .
Assim temos que .
Se p , temos que , pois, p – 1 n e, que
(c.q.d.).
20
Assim, polinômio x = (0, 1, 0, 0, ..., 0, ...) é denominado indeterminada.
Ao mesmo tempo, se f = ( então f é a soma dos seguintes
polinômios:
= (
= (
(
(0
.................................................
(
Decorrendo que, = (notação
usual de polinômios).
OBSERVAÇÕES
1. Cada uma das parcelas é denominada
termo ou monômio do polinômio f.
2. Os polinômios constantes são denominados os
coeficientes do polinômio f.
3. f tem grau menor ou igual a m.
POLINÔMIOS IDÊNTICOS OU IGUAIS
Para entender o que caracteriza a igualdade entre dois polinômios tratemos antes de
definir o que é um polinômio nulo. Acompanhe-nos!
Dizemos que um polinômio p(x) é dito nulo (ou identicamente nulo) se o valor
numérico de p(x) para todo x real é zero. Em outras palavras,
p(x) = 0 p(x) = 0, x ℝ
OBSERVAÇÃO
Se é um
polinômio nulo .4
4 Este resultado por enquanto será aceito sem demonstração, tendo em vista a demonstração depender de
assuntos ainda não abordados neste módulo.
Para fazer a demonstração contida na observação acima é preciso utilizar o cálculo do determinante
de uma matriz formada pelos coeficientes que se deseja verificar como nulos. Assim, não faremos a
demonstração por conter assuntos ainda não vistos no curso! Para os que queiram aprofundar o
estudo, sugiro acessar o livro IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar: complexos,
polinômios e equações, Volume 6, 8ª ed., p.55, São Paulo: Atual, 2013.
21
Sejam os polinômios M(x) e N(x):
Podemos afirmar que M e N são idênticos e indicaremos por M(x) N(x) se, e somente se,
.
Em outras palavras, para qualquer i N.
OBSERVAÇÕES
1. M(x) N(x) ;
2. M(x) N(x) M(x) = N(x) .
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
As operações entre polinômios são feitas envolvendo cálculos algébricos. Você perceberá
que, apesar de estarmos tratando de operações entre polinômios, é de extrema importância a
aplicação de regras nas operações entre os monômios. Assim veremos que os procedimentos
utilizados na adição e subtração de polinômios envolvem técnicas de redução de termos
semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Ao mesmo
tempo, de uma forma sintética, para a multiplicação realizaremos a multiplicação entre os
coeficientes numéricos e multiplicação entre as partes literais (que resultará em conservar a base
e somar os expoentes) e no caso da divisão entre polinômios utilizaremos duas regras: realizar a
divisão entre coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e
subtrair os expoentes).
ADIÇÃO
Dados dois polinômios
p(x) = =
q(x) = =
chama-se adição ou soma de p(x) e q(x) ao polinômio
s(x) = (p + q)(x) = =
22
EXEMPLOS
1. Determine a soma dos polinômios p(x) = - e q(x) =
.
Solução: completando os polinômios para aplicarmos a definição de soma de
polinômios, segue:
p(x) = e q(x) = .
Então:
p(x) + q(x) = (p+q)(x) = (0+1)x5 + (0+0)x4 + (0-1)x3 + (-1+1)x2 + (3+2)x + (-2-4) = x5 –
x3 +5x – 6.
2. A soma dos polinômios p(x) = 4x5 – x2 + x - 2 e q(x) = 3x3 +5x + 3 é o polinômio
identicamente nulo.
Solução: Devemos verificar se a afirmação está correta! Então, para isso, vamos somar
os polinômios p(x) e q(x).
p(x) + q(x) = 4x5 – x2 + x – 2 + 3x3 +5x + 3 = 4x5 + 3x3 – x2 + x + 5x – 2 + 3 = 4x5 + 3x3 –
x2 + 6x + 1, o qual não é um polinômio identicamente nulo!
Conclusão: A afirmação é falsa.
SUBTRAÇÃO
Dados os polinômios
p(x) = =
q(x) = =
(p-q)(x) = p(x) – q(x) = p(x) + [-q(x)] = + [-
( )] =
=
( =
EXEMPLOS
1. Dados os polinômios p(x) = e q(x) = , calcule p(x) –
q(x).
Solução:
23
p(x) – q(x) = – ( ) = (5-5)x3 + (0 – (-1))x2 + (2-1)x + (0-(-4)) =
0x3 + x2 + x + 4 = x2 + x + 4.
2. Dados os polinômios p(x) = 6x2 – 4x + 12 e g(x) = -4x3 + x2 – 6, o polinômio p(x) –
g(x) tem como monômio de maior grau 4x3.
Solução: p(x) – g(x) = 6x2 – 4x + 12 – (-4x3 + x2 – 6) = 6x2 – 4x + 12 + 4x3 - x2 + 6.
Neste ponto devemos agrupar os monômios de mesmo grau, em ordem, o que nos dá que p(x) –
g(x) = 4x3 + 5x2 – 4x + 18.
Facilmente observamos que o resultado é um polinômio cujo monômio de maior grau é 4x3. O
que torna a sentença verdadeira!
MULTIPLICAÇÃO
Para a multiplicação de polinômios podemos considerar duas possibilidades, a
multiplicação de um polinômio por um monômio e a multiplicação em que os dois termos são
polinômios.
Antes de ver as duas possibilidades em exemplos, vejamos a regra geral.
Considere os polinômios
p(x) = =
q(x) = =
Chama-se produto p(x).q(x) o polinômio p(x).q(x) =
O polinômio p(x).q(x) = .
Cada coeficiente =
Nos próximos teoremas T6 a T8 trataremos das propriedades que a adição e multiplicação
de polinômios têm. Os resultados apresentados por estes teoremas fazem com que o conjunto de
todos os polinômios seja definido como um grupo, assunto que será visto, apenas, em semestres
posteriores.
Porém, as demonstrações não estão de todo completas... Convidamos você a completá-
las! Vejamos, então!
Teorema T 6 – Na operação de adição de polinômios, verificam-se as propriedades: associativa,
comutativa, existência de elemento neutro e do elemento inverso aditivo.
Demonstração:
Você está entendendo bem os assuntos? Para aprofundar o estudo sobre este
tópico acesse o link <https://www.youtube.com/watch?v=Rl13YyaOktM> e
tire suas dúvidas de maneira bem simples e descomplicada.
24
Propriedade Associativa: f + (g + h) = (f + g) + h, quaisquer que sejam os
polinômios .
Considere , , , f + (g + h) e (f + g) + h = ( . Assim,
temos que:
= .
Propriedade Comutativa: f + g = g + f, quaisquer que sejam os polinômios .
Existência do elemento neutro: existe ea (um polinômio) tal que f + ea = f, para todo
polinômio f.
Existência do inverso aditivo: Para todo polinômio f, existe um polinômio f’ tal que f +
f’ = ea (elemento neutro acima).
Deixamos a demonstração das três propriedades acima para você fazer. Mãos à obra!!!
Teorema T 7 - Na operação de multiplicação de polinômios, verificam-se as propriedades:
associativa, comutativa, existência de elemento neutro multiplicativo.
Para a demonstração das propriedades deste teorema T7, devemos partir das seguintes
assertivas:
Propriedade associativa: sendo f, g e h polinômios quaisquer, é válido que f.(g.h) =
(f.g).h;
Propriedade comutativa: sendo f e g polinômios quaisquer, é válido que f.g = g.f;
Existência do elemento neutro (multiplicativo): existe em (um polinômio) tal que f.em =
f para todo polinômio f.
Coragem! Demonstre o teorema T 7 provando as propriedades tratadas por ele.
Teorema T 8 - A operação de multiplicação entre polinômios é distributiva em relação à adição (de
polinômios).
Demonstração:
Sejam f = ( , g = e h = polinômios quaisquer e consideremos g + h = ( ),
f(g+h) = , fg = , fh = e fg + fh = . Assim, teremos e
,
, portanto, f(g + h) = fg + fh. (c.q.d.).
OBSERVAÇÕES
1. O conjunto P de polinômios com as operações de adição e
multiplicação é considerado:
(I) Um grupo comutativo se vale o teorema T6;
(II) Um monoide comutativo se vale o teorema T7;
(III) Um anel comutativo se valem os três teoremas T6, T7 e T8.
25
2. Para determinar o polinômio resultante do produto, devemos utilizar a
propriedade da distributividade do produto em relação à
soma/subtração de monômios e lembrar que o produto de potências de
mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência
resultante, conservando a base e adicionando os expoentes:
.
EXEMPLOS
1. Dados o monômio 3x3 e o polinômio 8x2 - 8x3 – 4x. Para calcular o produto entre os
dois, devemos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
= 24x5 - 24x6 – 12x4 =
= - 24x6 + 24x5 – 12x4
2. Dados os polinômios p(x) = (3x2 – 8) e q(x) = (x3 + x2 - 4). Para calcular o produto entre os
dois polinômios, aplique a propriedade distributiva da multiplicação:
3x2(x3 + x2 - 4) – 8(x3 + x2 - 4) = 3x5 + 3x4 – 12x2 – 8x3 – 8x2 + 32 = 3x5 + 3x4– 8x3 –
8x2 – 12x2 + 32 = 3x5 + 3x4– 8x3 – 20x2 + 32
3. Multiplicar os polinômios e .
Solução:
= ( =
Dispositivo prático:
g
f
_______________________________________________________________________________________________
26
5x.
4
4
_______________________________________________________________________________________________
Iezzi (2005, p. 63) apresenta dois dispositivos práticos para a multiplicação de
polinômios, os quais seguem transcritos.
Nos acompanhe na multiplicação entre os polinômios f(x) = x + 2x2 + 3x3 e g(x) = 4 +
5x + 6x2, utilizando os dois dispositivos. Após aprender como usar cada um, você pode escolher
um ou outro dispositivo para realizar os exercícios que serão propostos.
DISPOSITIVO PRÁTICO 1
Figura 6 – Dispositivo prático (1) para cálculo do produto de polinômios. Fonte: IEZZI, 2005, p. 63.
DISPOSITIVO PRÁTICO 2
Colocamos numa tabela os coeficientes ai de f(x) e os coeficientes bj de g(x); calculamos
todos os produtos aibj; somamos os produtos em cada diagonal, conforme indica a figura,
obtendo os ck.
Assim, no nosso exemplo, temos:
c0 = 0
c1 = 4 + 0 = 4
c2 = 8 + 5 + 0 = 13
c3 = 12 + 10 + 6 = 28
c4 = 15 + 12 = 27
c5 = 18
Figura 7 - Dispositivo prático (2) para cálculo do produto de polinômios.
Fonte: IEZZI, 2005, p. 63.
27
Portanto, h(x) = (fg)(x) = 4x + 13x2 + 28 x3 + 27x4 + 18x5
.
RECORDANDO
1. Grau de um polinômio – é dado pelo monômio de maior grau do
polinômio;
2. Grau da soma de polinômios – é sempre menor ou igual ao grau do
polinômio de maior grau;
3. Grau do produto – é a soma dos graus dos polinômios envolvidos
no produto.
EXEMPLOS
1. Determine o grau dos seguintes polinômios em xy:
a. p(x) =, ;
b. q(x) = ;
c. h(x) =
2. Determine o polinômio f(x) do segundo grau tal que f(0) = 1, f(1) = 4 e f(-1) = 0.
Solução:
Seja f(x)= ax2 + bx + c. Temos:
f(0) = a.02 +b.0 + c = 1 c = 1 (I)
f(1) = a.12 + b.1 + c = 4 a + b + c = 4 (II)
f(-1) = a.(-1)2 + b(-1) + c = 0 a – b + c = 0 (III)
subtraindo (III) de (II), vem 2b = 4 b = 2
Em (II): a + 2 + 1 = 4 a = 1.
Resposta: f(x) = x2 + 2x + 1.
DIVISÃO
A divisão polinomial vai seguir uma lógica de operação semelhante ao que se sabe da
divisão entre números, também chamada de divisão euclidiana. Você se lembra? Nesta divisão,
nós temos dividendo, divisor, quociente e resto. Como estamos falando de divisão de
polinômio por polinômio, considere os polinômios:
D(x), como o dividendo;
d(x), como o divisor (polinômio não nulo);
O que achou do produto entre dois polinômios? Achou complicado? Assista ao
vídeo sobre multiplicação de polinômios acessando o link
<https://www.youtube.com/watch?v=S7u2mZMxjOA> e fixe melhor esta
operação.
28
Q(x), como o quociente; e,
R(x), como o resto (podendo ser zero).
Como na divisão euclidiana, a divisão polinomial tem os quatro elementos acima, como
na figura a seguir, se apresenta esquematicamente:
D(x) d(x)
R(x) Q(x)
Da disposição dos termos, decorre da divisão euclidiana que :
D(x) = d(x).Q(x) + R(x) (I)
Ou seja, dividendo = divisor . quociente + resto.
Assim, fica claro que dividir um polinômio D(x) (dividendo) por um d(x) (divisor
diferente de 0) consiste em dividir D(x) por d(x) e determinar novos polinômios Q(x)
(quociente) e R(x) (resto).
OBSERVAÇÕES
1. O resto da divisão polinomial pode ser zero;
2. O grau do resto é menor que o grau do divisor;
3. Caso a divisão seja exata, o resto é zero, ou seja, R(x) é o polinômio nulo.
MÉTODOS PARA CÁLCULO DA DIVISÃO POLINOMIAL
Nesta parte do nosso estudo, abordaremos métodos para calcular a divisão polinomial.
Primeiro faremos utilizando o método da chave e em seguida abordaremos pelo algoritmo de
Briot – Rufini levando em consideração as limitações e possibilidades de cada um.
Vamos prosseguir?
OBSERVAÇÃO
Em álgebra a divisão polinomial é um algoritmo para dividir um polinômio por
outro polinômio de menor ou igual grau, ou seja, uma versão generalizada da
técnica aritmética de divisão. É facilmente realizável à mão, porque separa um
processo complicado de divisão em divisões mais simples.
Mas como resolver a equação (I)? Ou seja, quais os polinômios Q(x) e R(x) que
completam a equação (I)? Antes de seguir, acesse o link
<http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/matematica/trigonometria_e_pre_c
alculo/polinomios_e_funcoes_racionais/divisao_polinomial> sobre divisão polinomial.
Então, vamos lá?
29
Fonte: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Divis%C3%A3o_polinomial>.
MÉTODO DA CHAVE
(SE PARECE COM O MÉTODO DA DIVISÃO EUCLIDIANA)
Para entender como este método se processa, partiremos de um exemplo.
Dados os polinômios D(x) = 4x3 + 2x + 10 e d(x) = x + 2 para realizar a operação D(x):
d(x) utilizaremos o seguinte mecanismo:
4x3 + 2x + 10 x + 2
-4x3 – 8x2 4x2 - 8x + 18
-8x2 + 2x +10
8x2 + 16 x
18x + 10
-18x -36
-26
O algoritmo acima seguiu o roteiro como descrevemos: inicialmente dividimos o
primeiro monômio do dividendo pelo primeiro monômio do divisor, obtendo assim o primeiro
monômio do quociente, e logo depois o primeiro resto parcial.
Identificamos as partes citadas na divisão a seguir:
Em outras palavras, no exemplo, dividimos 4x3 por x. O resultado é 4x2. Este monômio foi,
então, multiplicado por x + 2. Seu resultado, 4x2(x + 2) = 4x3 + 8x2. Este polinômio deve ser posicionado
abaixo do polinômio dividendo com o sinal oposto para que possamos fazer a soma algébrica que resultar.
Para o problema, esta etapa se resume a 4x3 + 2x + 10 - 4x3 - 8x2.
Esse procedimento deve ser repetido tantas vezes quantas necessárias. Até que se obtenha o
resto, que é um polinômio de grau menor que o do divisor. No exemplo, é igual a -26.
30
VALOR NUMÉRICO
Consideremos o polinômio pertencente ao anel
A[x]. Chama-se valor numérico de f em a e representa-se por f(a), o número que se obtém ao
substituir x por a e realizar todas as operações indicadas em f, ou seja,
Exemplo: Calcular o valor numérico de em 2, -1 e i + 1.
OBSERVAÇÕES
1. Valor numérico em a da soma de dois polinômios é igual à soma dos
valores numéricos em a dos polinômios parcelas, ou seja,
.
2. Valor numérico em a do produto de dois polinômios é igual ao produto
dos valores numéricos em a dos polinômios fatores, em outras palavras:
.
EXEMPLO
Calcule o valor numérico de se
para a = 2 e a = -1.
Solução:
Primeira parte: (
Para a = 2:
Para a = -1:
Segunda parte:
Para a = 2:
= 63
Para a = -1:
31
= 6
RAIZ DE UM POLINÔMIO
Sejam um número real e é um polinômio. Dizemos que a é uma raiz ou um zero de f
se, e somente se, f(a) = 0.
OBSERVAÇÕES
1. A raiz de um polinômio p(x) um número real a para o qual o valor
numérico, p(a,) é igual a zero;
2. Qualquer que seja p(x),
a. p(0) = termo independente do polinômio;
b. p(1) = soma dos coeficientes de p(x).
EXEMPLOS
1. Por exemplo, para o polinômio -1, temos que
-1 = 0. Assim, dizemos que 1 é raiz ou um zero do polinômio
-1.
2. Dado tem-se que:
= 4 1 + 5 1 +1 + 3 = 13;
= 4 64 + 5 4 – 2 + 3 = 277.
OBSERVAÇÃO
O polinômio
também pode ser escrito na seguinte notação:
Que tal assistir à resolução de um probleminha bem interessante com a utilização de
polinômios? Veja no link <https://www.youtube.com/watch?v=z23O0UdHKwk>
um belo exemplo oferecido pela Khan Academy. Bom estudo! Mantenha a
disciplina e, com certeza, terá sucesso!
32
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dada a função polinomial , calcule: f(-1), f(0), f(2), f(a), f(-
3b) e f(f(-2)).
Solução:
f(-1) = ;
f(0) =
f(2) =
f(a) =
f(-3b) =
Antes de calcular f(f(-2)), vamos calcular f(-2).
f(-2) = .
f(f(-2)) = 2
2. Considere o polinômio (disponível em <http://sabermatematica.com.br/exercicios-
resolvidos-polinomios.html>) p(x) = 4x4 + 3x3 – 2x2 + x + k.
Sabendo que p(1) = 2, então o valor de p(3) é:
a) 386.
b) 405.
c) 324.
d) 81.
e) 368.
Solução:
p(1) = 4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2
4 + 3 – 2 + 1+ k = 2
6 + k = 2
k = 2 – 6
k = – 4
O polinômio será p(x) = 4x4 + 3x³ - 2x² + x – 4
p(x) = 4x4 + 3x³ - 2x² + x – 4
p(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4
= 324 + 81 – 18 + 3 – 4
= 386
Conclusão: a resposta certa é a letra a.
33
EXEMPLO
2 é raiz do polinômio 2x 3 .
OBSERVAÇÃO
Seja f um polinômio e a um número real. Se f(a) é zero então a é
raiz de f.
TEOREMA DO RESTO
Teorema T 9 - O resto da divisão de um polinômio por x – a é igual ao valor
numérico de f em a.
Demonstração:
De acordo com a definição de divisão, temos que existem polinômios q e r, tais que
(I) onde q e r são, respectivamente, o quociente e o resto. Como x – a tem
grau 1, o resto r ou é nulo ou tem grau zero, portanto, r é um polinômio constante.
Calculando os valores dos polinômios na igualdade (I), acima, em a:
0 +
Então, . (c.q.d.).
Teorema T 10 - Um polinômio f é divisível por x –a se, e somente se, a é raiz de f.
Demonstração:
De acordo com o teorema do resto, temos r = f(a), então
r = 0 ⇔ f(a) = 0
(divisão exata) (a é raiz de f)
EXEMPLO
Determinar a de modo que seja divisível por x – 5.
Para resolver, devemos impor a condição de que :
= 125 – 50a + 5a – 5 + 15 = 135 – 45a = 0
Daí decorre que .
34
x
MÉTODO/ALGORITMO/DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI
Iezzi (2005, p. 83) nos explica em detalhes em que consiste o dispositivo proposto por
Briot-Ruffini, conforme veremos a seguir:
Dados os polinômios f = , com e g
= , queremos determinar o quociente q e o resto r da divisão de f por g.
Façamos:
q = e apliquemos o método dos
coeficientes a determinar:
Na condição , resultam as seguintes igualdades:
No entanto, há um método que, para alguns, pode ser bem mais prático que este passo-a-
passo acima. É o dispositivo Briot-Ruffini.
35
EXEMPLO
1. Consideremos os polinômios e . Vamos
determinar o quociente e o resto.
Solução:
Há duas maneiras de determinar o quociente e o resto:
1º) Vamos desenvolver a divisão entre os polinômios como se fosse a divisão euclidiana.
Disporemos os cálculos da seguinte forma, como na divisão polinomial já descrita:
Resposta: e
2º) Para esta solução, faremos um esquema, no qual, à esquerda, colocaremos os coeficientes do
dividendo e, à direita, posicionaremos os coeficientes do divisor.
x4 x3 x2 X x0 x2 x x0
1 1 0 1 1 2 1 1
Em seguida, tomamos o primeiro coeficiente do dividendo e dividimos pelo primeiro
coeficiente do divisor. Seu resultado foi colocado abaixo do divisor, ou seja, ocupou a primeira
posição do quociente (numa divisão).
x4 x3 x2 x x0 x2 x x0
1 1 0 1 1 2 1 1
-1 -1/2 -1/2 1/2 1/4 -3/8
36
Como seguimento, foi feito o produto do primeiro coeficiente do quociente por todos os
coeficientes do divisor. Os resultados foram posicionados abaixo dos coeficientes do dividendo
com sinal oposto, daí foi feita a soma algébrica.
O procedimento foi repetido até que se obtiveram os coeficientes do resto (ou seja, de um
polinômio de grau menor que o do divisor).
x4 x3 x2 x x0 x2 x x0
1 1 0 1 1 2 1 1
-1 -1/2 -1/2 1/2 1/4 -3/8
1/2 -1/2 1 1
-1/2 -1/4 -1/4
-3/4 ¾ 1
3/4 3/8 3/8
9/8 11/8
Resposta: e
O Algoritmo de Briot-Ruffini, por vezes denominado apenas como
regra de Ruffini, é um método de resolução de frações polinomiais, criado por
Paolo Ruffini. Esse algoritmo consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos
apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio por um
binômio. (Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Briot-
Ruffini>).
Vamos aos detalhes do algoritmo de Briot-Ruffini, em sequência ao exposto
acima? Para isso vamos desenvolver um exemplo proposto em
<http://www.mundoeducacao.com/matematica/dispositivo-pratico-
briotruffini.htm>.
37
Quadro 1: Exemplo de aplicação do dispositivo de Briot-Ruffini.
OBSERVAÇÕES
1. O resto da divisão de um polinômio f(x) por x – a é igual ao valor
numérico de f(x) em a (Teorema do resto);
2. Um polinômio f(x) é divisível por x – a se, e somente se, a é raiz de f(x)
(Teorema de D’Alembert);
3. Se um polinômio f(x) é divisível separadamente por x – a e x – b, com a
b, então f(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b).
Lembre que a aprendizagem se estabelecerá melhor se você se empenhar nesse
processo. Então, boa aventura de descobertas!
Vejamos como fazer a divisão de polinômios P(x) por Q(x) quando P(x) = 5x3 – 2x2 + 3x – 1 e Q(x) = x –
2. Primeiramente, vamos verificar a raiz de Q(x):
Q(x) = 0
x – 2 = 0
x = 2
Vamos montar o dispositivo de Briot-Ruffini através da raiz de Q(x) e dos coeficientes de P(x):
O primeiro coeficiente de P(x) é o 5. Nós podemos reescrevê-lo na linha inferior:
Agora nós multiplicamos o 5 por 2 e somamos o resultado com o segundo coeficiente de P(x), o número –
2, isto é, fazemos 5.2 + (– 2) = 8. O resultado 8 deve ser escrito embaixo do coeficiente – 2.
Repetimos o processo, multiplicamos 8 por 2 e somamos com o terceiro coeficiente de P(x), o número 3.
O cálculo é dado por 8.2 + 3 = 19. Escrevemos o resultado embaixo do coeficiente 3.
Repetimos o procedimento pela última vez. Agora multiplicamos o 19 por 2 e somamos o resultado com –
1, ou seja, nós fazemos 19.2 + (– 1) = 37. O resultado 37 é colocado embaixo de –1 e é o resto de nossa
divisão.
O polinômio resultante dessa divisão é determinado pelos números 5, 8 e 19. Estes são coeficientes desse
polinômio. Como fora dito anteriormente, o último número (19) é acompanhado de x0, o 8 é acompanhado
de x1, e o 5 é acompanhado de x2. Portanto, o polinômio resultante da divisão de 5x3 – 2x2 + 3x – 1 por x
– 2 é 5x2 + 8x + 19, e o resto da divisão é r = 37.
E então, qual método você achou mais interessante? O método da chave ou o
algoritmo de Briot-Ruffini? Resolva o mesmo exemplo, experimentando o
método da chave.
38
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Disponível em <http://professorwaltertadeu.mat.br/CP2VEST68polin.pdf>.
UM POUCO DE HISTÓRIA...5
Ao final do século XV, a álgebra pouco evoluíra em relação ao conhecimento que
egípcios e babilônios tinham sobre o assunto 1800 anos antes de Cristo. O mais antigo livro
impresso sobre aritmética e álgebra, a Summa (1494), do frade italiano Luca Pacioli (1445 –
1515) dá bem uma ideia desse fato, pois no que se refere à álgebra essa obra se limita à
resolução de equações do primeiro e segundo graus e assim mesmo (como era usual na época)
por meio de regras verbais aplicadas a casos numéricos. E Pacioli terminava seu livro afirmando
ser a solução da cúbica (usando a notação moderna, e ) tão
impossível quanto a quadratura do círculo.
Mas esta previsão logo iria ser desmentida. Aproximadamente na virada do século XV
para XVI, Scipione del Ferro (1465 – 1526), professor da Universidade de Bolonha, conseguiu
5 Fragmento de texto disponível em IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar: Complexos,
polinômios e equações. Vol.: 6, 8ª ed. São Paulo, 2013, p. 98 - 99.
39
resolver esse tipo de equação. Ora, como a substituição transforma
numa equação do tipo , então o segredo da resolução
das equações cúbicas estava praticamente desvendado.
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Figura 8 – Charge disponível em <http://www.somatematica.com.br/piadas.php>. Acesso 20 abril
2015.
Bem, piadas à parte, vamos em frente. Ok?
Considere as funções polinomiais do tipo , onde
os coeficientes são números complexos e a variável x também é complexa.
Assim, x pode ser substituído por um número complexo qualquer. Na medida em que certas
propriedades só são admitidas se considerarmos os coeficientes reais, assim será feito.
Definição:
Considerando duas funções polinomiais y = f(x) e y = g(x), chamamos equação
polinomial (equação algébrica) a toda sentença aberta do tipo f(x) = g(x).
Em outras palavras, podemos dizer que uma equação polinomial ou algébrica é toda
equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio:
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1.
EXEMPLOS
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0;
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0;
x8– x6– 6x + 2 = 0;
x10– 6x2+ 9 = 0.
40
As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para
as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em
que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.
OBSERVAÇÃO
Uma sentença aberta pode ser verdadeira ou falsa dependendo do valor
atribuído à variável x.
EXEMPLOS
1. Consideremos f(x) = e g(x) = 3 . A sentença aberta
= 3 é uma equação polinomial. Observemos que para
x = 0 a sentença = 3 é falsa, pois teremos f(0) =
= 1 e g(0) = 3 = -1.
2. Se considerarmos as funções polinomiais f(x) = e g(x) =
temos que f(0) = g(0) é falsa, mas a sentença f(1) = g(1) é verdadeira.
RAIZ DE EQUAÇÃO POLINOMIAL
Dada uma equação polinomial f(x) = g(x), chama-se raiz da equação todo número que,
substituído em lugar de x, torna a sentença verdadeira. Assim, o número r é raiz de f(x) = g(x)
se, e somente se, f(r) = g(r) é sentença verdadeira.
EXEMPLOS
1. Para a equação polinomial p(x) = x4 + 7x3 = - 6x2 + 7x - 8 tem-se que a é raiz dessa equação
se, e somente se, p(a) = 0.
2. A equação polinomial formada pelos polinômios p(x) = 2x3 - x2 e o q(x) = 2x - 1, de tal
forma que p(x) = q(x), tem como raízes os números -1, 1. Vejamos:
p(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 = -2 – 1 = -3
q(-1) = 2(-1) - 1 = -3
p(-1) = q(-1) = -3.
p(1) = 2.(1)3 – (1)2 = 2 – 1 = 1
q(1) = 2(1) - 1 = 1
p(1) = q(1) = 1
Conclusão: -1 e 1 são soluções da equação apresentada no exemplo.
3. No exemplo, = as raízes são -1, 2 e 1, pois:
Para x = -1, temos que = 0 = 0 (verdadeiro)
41
Para x = 1, temos que = 0 = 0 (verdadeiro)
Para x = 2, temos que = 9 = 9 (verdadeiro)
Ao mesmo tempo, verifica-se que 0 não é raiz, pois f(0) = -1 e g(0) = -3.
CONJUNTO SOLUÇÃO
Ao conjunto solução ou conjunto verdade em de uma equação do tipo f(x) = g(x) dá-se
o nome de conjunto S cujos elementos são as raízes complexas da equação.
EXEMPLOS
1. Dada a equação polinomial = , o conjunto solução dessa equação
é S = {-1, 2, 1}.
2. Considere, por exemplo, a equação . Ao calcular os valores de x que
satisfazem a essa igualdade, encontramos que ⟹ x não é um número real.
No entanto, podemos calcular as raízes dessa equação, fazendo , ou seja,
e Assim, teremos que o conjunto solução dessa equação é S =
{ }. Onde –i e i são números complexos.
OBSERVAÇÕES
1. é uma
equação polinomial !
2. pode ser
decomposto em n fatores de grau 1:
Onde são raízes da equação polinomial.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL
Para resolver uma equação polinomial f(x) = g(x), deve-se obter o seu conjunto-solução.
Ou seja, deve-se obter as raízes da equação.
Devemos, então, responder a algumas questões: 1) Como obter as raízes? 2) Quantas são?
3) De que elas dependem?
Resolver uma equação polinomial nada mais é que obter o seu conjunto solução. Mas,
como devemos determinar o conjunto solução? Em outras palavras, como determinar a raiz ou
as raízes de uma dada equação polinomial? A solução encontrada é a única? Para responder a
estas perguntas trataremos das equações equivalentes.
42
EQUAÇÕES EQUIVALENTES
Duas equações polinomiais são ditas equivalentes quando apresentam o mesmo conjunto
solução. Assim, toda raiz de uma equação é também raiz da outra equação.
EXEMPLO
1. As equações são equivalentes: (I) = e (II)
= 0, pois S(I) = {-1, 2, 1} e S(II) = {-1, 2, 1}.
OBSERVAÇÕES
Somar aos dois membros de uma equação polinomial a mesma
função polinomial e multiplicar os dois membros pelo mesmo
número k 0 são transformações que não alteram o conjunto solução
de uma equação polinomial;
Na resolução de uma equação polinomial procuramos sempre
transformá-la em uma equação equivalente, mais simples, de maneira
que o conjunto solução seja obtido com maior facilidade, utilizando
as operações descritas no item anterior;
Quando a transformação de uma equação polinomial resulta na forma
f(x) = 0, devemos considerar que a equação polinomial f(x)=0 tem
grau maior que zero.
Pelo que ressaltamos nas observações imediatamente acima, há duas operações que
mantêm inalterado o conjunto-solução de uma equação polinomial. Ou seja, é possível
transformar uma equação polinomial em outra, equivalente à primeira.
1º Somar a mesma função polinomial aos dois membros de uma equação polinomial:
.
2º Multiplicar pelo mesmo número complexo k (k os dois membros de uma equação
polinomial:
Na prática, a primeira "operação" é enunciada da seguinte forma: numa equação
polinomial, "levar" um termo de um membro para outro, implica em trocar o sinal do seu
coeficiente, e não alterar o conjunto-solução; ou seja, f(x) – g(x) = 0.
EXEMPLOS
1) Consideremos a equação 3 , entre as funções
. Adicionemos –g(x) a ambos os membros
da equação e ficaremos com:
43
Fazendo as devidas simplificações, ficaremos com:
2) As equações = 0 e 10 = 0 são equivalentes, pois a segunda foi obtida da
primeira pela multiplicação por 4.
CASOS NOTÁVEIS
Na transformação de uma equação polinomial para a forma p(x) = 0, podem ocorrer
dois casos notáveis:
Caso 1. p(x) é identicamente nula: que é uma
sentença verdadeira qualquer que seja o número complexo que venha a substituir x. Assim, o
conjunto solução da equação p(x) = 0 é o próprio conjunto dos números complexos ℂ.
Caso 2. p(x) é constante e não nula: que é uma
sentença falsa para todo número complexo que venha a substituir x. Portanto, o conjunto
solução da equação p(x) = 0 é vazio.
OBSERVAÇÃO
Para evitar os casos notáveis, trabalharemos com as equações de grau maior
que 0.
Mas, afinal, quantas raízes tem uma equação polinomial de grau n? Calma! Não se
preocupe, pois este foi um dos muitos problemas que ocuparam os matemáticos durante muitos
séculos, mas que foi resolvido no início do século XIX.
Vamos ver?
Considere a equação polinomial p(x) = = 0
Lembre que mesmo não sendo apresentada desta forma, pelo que vimos nas
observações anteriores, é possível determinar uma equação equivalente que se apresente como
p(x) acima.
NÚMERO DE RAÍZES
Como toda equação polinomial pode ser colocada na forma p(x) = 0, é evidente que as
seguintes proposições são equivalentes:
(I) r é raiz da equação p(x) = 0.
(II) r é raiz da função polinomial p(x).
(III) r é raiz do polinômio p.
As três proposições são sintetizadas por p(r) = 0.
Diremos que a equação p(x) = 0 é de grau n se, e somente se, p(x) e p são de grau n.
44
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Toda equação polinomial p(x) = 0 de grau n, onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz
complexa.
Admitiremos a validade deste teorema sem demonstração, pois nela estão envolvidos
conhecimentos ainda não trabalhados no curso. Para os que quiserem aprofundar um pouco
mais seus conhecimentos, seguem sugestões de leituras que apresentam a demonstração desse
teorema.
O Teorema Fundamental da Álgebra nos garante que toda equação polinomial tem pelo
menos uma raiz complexa. Resta a pergunta: quais são e como encontrá-las? Quanto maior for o
grau do polinômio, mais árdua é a tarefa de encontrar os zeros da função polinomial... Mas não
desanime, pois há métodos para encontrá-los!
OBSERVAÇÕES6
No caso de o número complexo x + yi, sendo y ≠ 0, ser a raiz da equação a0. xn+ a1.
xn-1+ … + an-1. x + an = 0, de coeficientes reais, sendo assim o seu conjugado x – yi
também será raiz.
E ainda, x + yi e x – yi também serão raízes de mesma multiplicidade.
Consequências:
1) Equação do 2º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas
raízes complexas conjugadas (não reais);
2) Equação do 3º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou uma
real e duas complexas conjugadas (não reais);
3) Equação do 4º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas
raízes complexas conjugadas (não reais) e as outras reais ou apenas raízes complexas
(não reais), duas a duas conjugadas;
4) Equação do 5º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas
raízes complexas conjugadas e as outras reais ou pelo menos uma raiz real e as
outras raízes complexas (não reais), duas a duas conjugadas. E assim
sucessivamente;
6 Fonte: <http://www.colegioweb.com.br/equacoes-algebricas/raizes-complexas.html#ixzz3jg7oSx7m>.
Para ver a explicação desse teorema muito importante para a Álgebra, com exemplos, siga
o link <https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/polynomial_and_rational/fundamental-
theorem-of-algebra/v/fundamental-theorem-of-algebra-intro>.
Além da referência acima, sugiro a leitura dos seguintes textos:
BROLESI, Fogliarino. Teorema Fundamental da Álgebra. Disponível em
<http://www.profezequias.net/fabio-fogliarini-brolesi.pdf>.
DELBONI, Roberta Regina & TORRES, Fernando. Teorema Fundamental da Álgebra.
Disponível em
<http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/TFA_RBTA.pdf>.
45
5) Uma equação algébrica de coeficientes reais possui sempre um número par de
raízes complexas não reais;
6) Qualquer equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar sempre terá pelo
menos uma raiz real;
7) Considere x + yi, sendo y ≠ 0, como a raiz da equação P(x) = 0, e x – yi não é a
raiz dessa equação, nesse caso pelo menos um dos coeficientes de P não será real.
EXEMPLOS
1. Determine as raízes de x2 + 1=0.
Solução:
x2 + 1 – 1 = 0 – 1
x2 = – 1
=
x =
Assim, as raízes são e , os quais são números complexos.
2. Determine o valor do coeficiente k, sabendo que 2 é a raiz da equação:
3x4+ kx3– 4x2+ x – 10 = 0.
Solução: se 2 é raiz da equação, então temos:
3(2)4+ k(2)3– 4(2)2+ 2 – 10 = 0
3 16 + k 8 – 4 4 + 2 – 10 = 0
48 + 8k – 16 + 2 – 10 = 0
8k +24 = 0
8k = -24
k = -24/8 = -3
Temos que o valor do coeficiente k é -3.
3. Determine o valor do coeficiente k, sabendo que 2 é a raiz da equação:
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0
Se 2 é raiz da equação, então temos:
2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0
2(16) + k(8) – 5(4) + 2 – 15 = 0
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0
8k + 34 – 35 = 0
8k – 1 = 0
8k = 1
k = 1/8
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.
4. Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8
= 0.
Temos que:
m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9
– 19m = –19
m = 1
46
TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO
Todo polinômio P de grau n (n 1) P =
( ) pode ser decomposto em
n fatores do primeiro grau, isto é:
P = onde são raízes de P.
Em relação à ordem dos fatores, tal decomposição é única.
Demonstração:
Da existência.
(I) Sendo P um polinômio de grau n 1, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, P
tem ao menos uma raiz . Assim, P( ) = 0 e, de acordo com o teorema de
D’Alembert, P é divisível por x- : P = (x ) . (1) onde é
polinômio de grau n – 1 e coeficiente dominante . Se n = 1, então n – 1 = 0 e
é polinômio constante, portanto, e P = .
(II) Se n 2, então n – 1 1 e o T.F.A. é aplicável ao polinômio , ou seja, tem
ao menos uma raiz . Assim, e é divisível por Em outras
palavras, . (2)
Substituindo (2) em (1) resulta que: (3) onde é
polinômio de grau n – 2 e coeficiente dominante . Se n = 2, isto é, n –2 = 0,
então = e P = .
(III) Após n aplicações sucessivas do T.F.A, chegamos na igualdade
(n) onde
tem grau n – n = 0 e coeficiente dominante , portanto, = e
Da unicidade.
Suponhamos que P admita duas decomposições como segue:
Tendo que os dois segundos membros como reduzidos e ordenados, temos que
e, pela definição de igualdade de
polinômios, temos necessariamente: n = m e .
Ficamos com a igualdade:
(I) fazendo
x igual ao valor de , temos que a igualdade (I) se resume a
)( )( )... ) e se o produto é nulo, um dos fatores é
nulo. Assim, podemos colocar .
A igualdade (I) se transforma em:
47
e, em seguida em,
Substituindo x por , temos:
0 =
E, analogamente, um dos fatores é nulo; com uma conveniente mudança na ordem
dos fatores, podemos colocar .
Assim por diante, concluiríamos que para todo .
As igualdades
são a prova da unicidade da decomposição. (c.q.d.)
Corolário. Toda equação polinomial de grau n (n 1) admite n, e somente n, raízes
complexas.
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Dizemos que uma raiz r é de multiplicidade m, m 1, da equação P(x) = 0 se, e somente
se,
Ou seja, r é raiz de multiplicidade m de P(x) = 0 quando o polinômio P é divisível por
e não é divisível por , ou melhor, a decomposição de P apresenta
exatamente m fatores iguais a .
EXEMPLO
Fatorar o polinômio P = , sabendo que suas raízes são 1, -2, 2, -2i
e 2i.
Solução:
Percebeu como pode ser bem interessante aplicar este teorema na busca do
conjunto solução de uma equação polinomial? Veja o exemplo e as explicações
dadas no link <https://www.youtube.com/watch?v=AssBjVCwXt8>. Ouça,
com atenção, as explicações do professor. Bom estudo!
48
P = 5(x – 1)(x + 2)(x - 2)(x + 2i)(x – 2i)
OBSERVAÇÃO
Se m = 1, dizemos que r é raiz simples; se m = 2, dizemos que r é raiz dupla; e,
se m = 3, dizemos que r é raiz tripla.
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES REAIS
1) Para uma equação do 2º grau
Consideremos a equação do segundo grau cujas raízes são
.
Essa equação pode ser escrita na forma .
Temos, assim, a identidade:
Em outras palavras,
Daí decorrem as relações entre raízes e coeficientes da equação como segue:
e
2) Para uma equação do 3º grau:
Consideremos a equação do terceiro grau cujas raízes
são
Vimos que essa equação pode ser escrita na forma:
Pela identidade
decorre que,
O que nos dá as seguintes relações entre raízes e coeficientes da equação:
e
49
3) Para uma equação polinomial de grau n (n 1).
Dada a equação cujas raízes
são temos a identidade:
Onde, =
=
............................................................................................
............................................................................................
Essas relações entre raízes e coeficientes da equação P(x) = 0 são chamadas relações de Girard.
EXEMPLOS
1) Calcular a soma e o produto das raízes da equação .
Assim,
2) Resolver a equação , sabendo que a soma de duas raízes é 1.
Juntando o fato que o problema nos dá uma equação do terceiro grau, com
, e que a soma de duas raízes é igual a 1, temos que:
(I) 6
Para assistir a resolução de alguns exercícios acesse o link
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics>.
Lá você vai encontrar explicações e exercícios que vão ajudar a sua
compreensão do assunto. Bons estudos!
50
(II)
(III)
(IV)
Usando (IV) em (I), temos 1 + = 6 => = 5.
Substituindo em (III), temos que .
De (IV) temos que (1 - = -2 . As raízes desta
última equação são -1 e 2.
Assim, se então e vice-versa.
Resposta: a equação proposta tem como conjunto solução { -1, 2, 5}.
Bem, com os exemplos acima, encerramos o capítulo do estudo de polinômios, neste
módulo. Com certeza, o que você aprendeu aqui é muito importante para o aprendizado de
outras áreas, bem como, para a resolução de problemas em outras temáticas.
Parabéns pelo que conseguiu avançar até aqui! Continue, pois a persistência é um dos
segredos do sucesso! Coragem e vamos adiante!
No próximo tópico estudaremos a Trigonometria, suas funções, arcos notáveis,
transformações, redução de ângulos ao primeiro quadrante, entre outros assuntos. Espero que
tudo te pareça interessante e relevante.
Sucesso nos estudos! Não perca de vista seu objetivo nesta disciplina, aprender mais
alguns fundamentos da Matemática!
51
Vamos exercitar um pouco o que já desenvolvemos até aqui?
ATIVIDADES PROPOSTAS I7
1. Quais das expressões representam um polinômio na variável x? Justifique.
a. ;
b. 20;
c. ;
d. ;
e.
2. Dada a função polinomial determine:
a. f(1);
b. f(-1);
c. f(0);
d. f(f(3));
e. f(x - 1).
3. Determine a, b, c de modo que se tenha para todo x real .
4. Dado o polinômio , calcule o valor p(1 + a).
5. Determine os reais a, b e c de modo que seja
o polinômio nulo.
6. (PUC) A produção diária de um certo produto por um determinado operário é avaliada
por: Produção = 8x + 9x2 – x3 unidades, x horas após as 8 horas da manhã, quando
começa o seu turno. Qual a produção durante a quarta hora de trabalho?
7. Relacione as duas colunas de maneira a cada polinômio esteja associado o seu grau
Polinômio Grau do polinômio
7.1 p(x) = 5x4 – x3 + 12x5 - 8 a. 5º
7.2 p(x) = x7 + x9 + x3 + 3 b. 10º
7.3 p(x) = x4 – 2x3 + 3x8 c. 6º
7.4 p(x) = 15x5 + x3 + 2x6 - 9 d. 9º
7.5 p(x) = 5x4 – x7 + 2x5 e. 8º
7.6 p(x) = 5x10 – x3 + 10x5 + 5 f. 7º
7 GABARITO: as respostas das questões propostas neste módulo serão postadas na página da
disciplina, no AVA do curso.
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8. (Mackenzie – SP) Determine , para que o polinômio
seja de grau 2.
9. Determine (f+g)(x), (f-g)(x) tendo f(x) = x5 + x2 – x + 2 e g(x) = x3 – x2 + x + 1.
10. Dados f(x) = (4x2 – 7x + 2), g(x)= (3x2 + 2x + 3) e h(x) = (2x2 – x + 6), calcule f(x) +
g(x) – h(x).
11. (UP 2013) Sejam os polinômios reais, na variável x, A(x) = ax3 + 4x2 +bx - 5 e B(x) =
4x2 + x + c. Se os polinômio A(x) e B(x) são idênticos, ou seja, B(x) ≡ A(x), determine
o valor de (b – a – c).
12. (FEI-SP) Determine A, B e C na decomposição .
13. Mostre que os polinômios f = ( +1)( +1) e g(x) = x4 + 1 são iguais
(IEZZI, 2005, p.65).
14. Sendo os polinômios ,
determine:
a. A + B; b. B-A; c. A + B + C;
d. A + C; e. –B-C; f. C – B - A;
g. B + C; h. C-A; i. B – A - C;
j. A – C; k. B - C; l. A + B - C.
15. (UCSal-BA) Sejam os polinômios .
Efetuando-se p + q.r, obtém-se:
a. ;
b. ;
c. ;
d. ;
e. .
16. Efetue as multiplicações8 :
a. 3y(4x2 – 2x3 – 7);
b. (x4-3x2-5x +1)(-4x);
c. 2x(y2 + xy + 1);
d. 4ab(a2 + b2 – ab);
e. 4xy2(4x + y + 1).
17. Efetue as divisões a seguir:
a. ;
b. ;
c. .
18. (UFMG) O quociente da divisão de por é:
a. x-5;
8 Disponível em
<http://fatecsjc.edu.br/ead/pluginfile.php/9399/mod_resource/content/1/9%20Exerc%C3%ADcios%20so
bre%20Multiplica%C3%A7%C3%A3o%20e%20divis%C3%A3o%20de%20polinomios.pdf>.
53
b. x-1;
c. x+5;
d. 4x-5;
e. 4x+8.
19. Sendo e , resolva as
operações e dê o grau dos polinômios resultantes:
a. p(x) + q(x);
b. q(x) – p(x);
c. p(x) – 2q(x);
d. p(x).q(x);
e. [p(x)]2;
f. p(x)/q(x).
20. (PUC – SP) Sendo x3 + 1 = (x+1)(x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são,
respectivamente:
a. -1 e -1;
b. 0 e 0;
c. 1 e 1;
d. 1 e -1;
e. -1 e 1.
21. Considerando os polinômios: , e
. Se , então = 20. (Questão
baseada em prova da Universidade Federal da Bahia).
22. (UFGO) Associe a cada uma das alternativa abaixo a letra V se, for verdadeira e a letra
F se for falsa.
I. A soma de dois polinômios do 3º grau é sempre um polinômio do 3º grau;
II. O produto de um polinômio do 2º grau por um do 3º é sempre um polinômio do 6º grau;
III. A diferença entre um polinômio do 3º grau e um do 2º grau é sempre um polinômio do
3º grau;
IV. O resto da divisão de um polinômio do 3º grau por um do 2º grau é sempre um
polinômio do 1º grau.
Na ordem apresentada, tem-se:
a. FFVV;
b. FFVF;
c. VVFF;
d. VVVF;
e. VFVF.
23. (Cescem – SP) Dividindo-se p(x) por (x – 3) resulta um resto -7 e um quociente (x – 4).
Qual é o polinômio p(x)?
a. x2 – 7x + 5;
b. 2x;
c. ;
d. 2x2 – x + 14;
e. 2x2 – 14x + 10.
24. (Cescem – SP) Dividindo (x3 – 4x2 + 7x – 3) por um certo polinômio p(x), obtemos o
quociente (x-1) e o resto (2x – 1). O polinômio p(x) é igual a:
a. 2x2 – 3x + 2;
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b. x2 – 3x + 2;
c. x2 – x + 1;
d. 2x2 – 3x + 1;
e. n.d.a.
25. (UFAM) A divisão de por apresenta o quociente
. Os valores de a, b e c são, respectivamente:
a. 1, 2 e 3;
b. 1, -2 e -3;
c. 1, 2 e 3;
d. -1, 2 e 3.
26. (UFSC) os números m e n são tais que o polinômio é
divisível por . O valor de m + n é __________.
27. (UFSC) Qual o valor de a para que o polinômio seja
divisível por ?
28. (UFSC) Determine o resto da divisão do polinômio por x + 3.
29. (UFPI) O resto da divisão de k por x + 2k é:
a. -2k – 1;
b. k – 1;
c. 4k2 – 4k – 1;
d. k3 – k – 1;
e. 4k3 – 2k – 1.
30. Se o polinômio é divisível por x – 1, então uma das raízes da equação
é:
a. 2;
b. 0;
c. 3;
d. -3;
e. -2.
31. (UFSC) Sabendo-se que uma das três raízes da equação é
igual a ½, determine a soma das outras duas raízes.
32. (UFAL) Uma das raízes da equação é -3. As demais raízes
são:
a. -5 e 1;
b. -1 e 4;
c. -1 e 5;
d. 1 e 4;
e. 2 e 4.
33. (UFAL) A equação tem duas raízes opostas. A soma de suas
raízes negativas é:
a. -6;
b. -5;
c. -3;
d. -2;
e. -1.
55
TRIGONOMETRIA
Figura 9: representação do círculo trigonométrico9.
Nesta parte do assunto, trataremos do estudo responsável pela relação existente entre os
lados e os ângulos de um triângulo. Pois é, a Trigonometria estuda as relações existentes em um
triângulo.
Vendo a figura acima, que mostra um círculo com inúmeros triângulos representados a
partir da marcação de alguns pontos notáveis sobre o círculo, é possível ver triângulos
retângulos (são os que possuem um ângulo de 90º) e os ângulos notáveis do tipo 30º, 45º e 60º.
UM POUCO DE HISTÓRIA...
Os primeiros a estudarem as relações entre lados e ângulos foram os povos babilônicos e
egípcios, sendo, posteriormente, desenvolvidos pelos gregos e indianos. Muito se desenvolveu
desde então e com a utilização do Teorema de Pitágoras (atualmente) os estudos
trigonométricos ganharam novo fôlego, pois o seu uso permitiu o surgimento de fórmulas
teóricas que auxiliam a solução de situações em muitos casos da vida cotidiana.
Mas com que objetivo se desenvolveu a Trigonometria? A Trigonometria teve como
objetivo elaborar estudos de funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e fenômenos
periódicos. Não se sabe ao certo quando se deu sua origem, mas é possível identificar problemas
9 Fonte: Disponível em <http://www.brasilescola.com/matematica/trigonometria.htm>.
56
que envolviam a Astronomia, a Agrimensura e as grandes Navegações, por volta do século IV
ou V a.C. E, conforme ressalta Boyer:
A trigonometria de Viète, como sua álgebra, era caracterizada por uma
ênfase maior sobre generalidade e largueza de visão. Assim como
Viète foi o verdadeiro fundador de uma álgebra literal, também com
alguma justificação pode ser chamado o pai de uma abordagem
analítica generalizada para a trigonometria que às vezes é chamada
goniometria10. Aqui também, é claro, Viète partiu da obra de seus
predecessores, notadamente Regiomontanus e Rheticus. Como o
primeiro, ele considerava a trigonometria um ramo independente da
matemática; como o segundo, ele em geral trabalhava sem referência
direta a meias cordas num círculo (BOYER, 2005, p. 225-226).
É possível perceber que, como tantas outras áreas do conhecimento, o estudo das relações
entre lados e ângulos de um triângulo foi se desenvolvendo pela contribuição direta ou indireta
de vários pesquisadores e, a partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas
situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas.
Havia considerável entusiasmo pela trigonometria no fim do século
dezesseis e começo do (século) dezessete, mas tomou a forma
primariamente de sínteses e livros de texto. Foi durante esse período
que o nome "trigonometria" veio a ser dado ao assunto. Foi usado
como título de uma exposição por Bartholomeu Pitiscus (1561-1613)
que foi publicada pela primeira vez em 1595 como suplemento a um
livro sobre esféricas e, novamente, em separado, em 1600, 1606 e
1612. Por coincidência [ou não] o desenvolvimento dos logaritmos, a
partir daí sempre aliados da trigonometria, estava também tendo lugar
durante esses anos (BOYER, 2005, p. 228).
Assim, com a função de estabelecer quais as relações entre ângulos e medidas dos lados
de um triângulo e os fenômenos que se manifestam periodicamente, a trigonometria surge e se
utiliza da criação e aprimoramento de cálculos que o subsidiaram como o Cálculo diferencial e
integral (por Isaac Newton e Leibniz), se estabelecendo como ramo importante da Matemática.
Vale destacar que a trigonometria se aplica, direta ou indiretamente, a diversas outras ciências
como Astronomia, Biologia, Cartografia, Engenharia, Física, Geografia, Medicina, Navegação e
tantas outras.
A Trigonometria é um ramo importante da Matemática que trata das relações dos lados e
ângulos de um triângulo qualquer. Por meio das definições, relações e técnicas da
Trigonometria, conhecidas as medidas de três elementos de um triângulo (um lado ao menos),
pode-se calcular as medidas dos outros três.
10 Um goniômetro (português brasileiro) ou goniómetro (português europeu) é um instrumento de medida
em forma semicircular ou circular graduada em 180º ou 360º, utilizado para medir ou construir ângulos.
Entre os goniômetros está o transferidor, um semicírculo de plástico transparente ou um círculo
graduado utilizado para medir ou construir ângulos, e o teodolito. Mais especificamente, um goniômetro
é um instrumento que mede o ângulo entre as superfícies refletoras de um cristal ou prisma. Os dois
raios de luz provenientes de um colimador (um sistema de lentes e fendas projetado para criar feixes
paralelos de luz) são dirigidos sobre duas superfícies adjacentes do cristal: os feixes são refletidos pelas
duas faces e o ângulo entre os dois feixes refletidos (duas vezes o ângulo entre a superfície do cristal ou
prisma) é medido. Um goniômetro é também um dispositivo utilizado juntamente com transmissores de
rádio ou radar. Ele permite que um sinal seja emitido em qualquer direção ou que a direção de um sinal
que chega ao receptor seja determinada sem o apoio de uma antena fisicamente giratória (Disponível em
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Goni%C3%B4metro>. Acesso em 20 abr. 2015.)
57
Porém, para calcular alguns elementos de um triângulo a partir de outros, é necessário
estabelecer certas relações que os liguem. Nossa tarefa será a investigação ordenada dessas
relações e a maneira de usá-las para resolver triângulos.
OBSERVAÇÃO
É preciso que se faça a distinção entre a Geometria e a Trigonometria, pois a
primeira estuda certas relações entre os elementos de um triângulo não
envolvendo, em uma só relação, as medidas dos lados e os ângulos. Trata-se de
relações que ligam ângulos, unicamente, ou lados, em separados.
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para obter relações de um triângulo, nas quais intervenham lados e ângulos
simultaneamente, temos que imaginar um procedimento indireto para medir os ângulos que
tornem possível combinar as longitudes (medidas dos lados) com os ângulos numa mesma
relação. Para isso, utilizaremos as funções trigonométricas, as quais tornam possível tomar
medidas indiretas dos ângulos combinadas com as medidas dos lados.
Assim, iniciaremos o estudo da Trigonometria nos valendo de que nas relações da
Trigonometria intervêm simultaneamente lados e ângulos.
As funções trigonométricas são funções importantes no estudo dos triângulos e na
modelagem de fenômenos que ocorrem com periodicidade. Aqui, elas serão tratadas
indistintamente como funções trigonométricas ou funções circulares sempre que estivermos
tratando do círculo trigonométrico.
De maneira simples, as funções trigonométricas são definidas como razões entre as
medidas de dois lados de um triângulo retângulo, em função de um ângulo, ou, de forma mais
geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo de medida de raio igual a 1. Na análise
matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou
como soluções para certas equações diferenciais. E assim podem, também, ser definidas tanto
para ângulos reais quanto para ângulos complexos.
Desta forma, poderemos, com este capítulo, reconhecer a importância do estudo da
trigonometria para o desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos, aprofundar os estudos
relativos à trigonometria no triângulo retângulo e triângulo qualquer, bem como identificar,
diferenciar e calcular diferentes funções circulares.
58
OBSERVAÇÃO
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria
circular e são importantes devido à sua periodicidade, pois elas podem
representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura
terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no
coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Fonte: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo07.htm>.
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Nesta seção, iniciaremos o estudo das funções trigonométricas e, para tanto, utilizaremos
conhecimentos relativos à geometria, como ângulo, além dos conceitos primitivos: ponto, reta,
bem como semirreta entre outros conhecimentos.
PARA ÂNGULOS AGUDOS (ÂNGULO MENOR QUE 90º):
Consideremos um ângulo agudo, , conforme a figura 10, a seguir:
Figura 10 - Ângulo agudo B.
Em um dos lados, tomemos um ponto C e façamos a sua projeção perpendicularmente
sobre o outro lado em A. Assim, se forma um triângulo retângulo ABC.
DEFINIÇÕES
I) Chama-se seno do ângulo , e indica-se sen , à razão . Simbolicamente, esta
definição nos oferece o seguinte:
B
C
C’
A’ A
90º 90º
59
sen = (I)
II) Chama-se cosseno do ângulo , e indica-se cos , à razão . Simbolicamente,
temos:
cos = (II)
III) Chama-se tangente do ângulo, e indica-se tg , à razão . Simbolicamente,
temos:
tg = (III)
IV) Aos valores recíprocos do seno, cosseno e tangente, dá-se os nomes,
respectivamente, cossecante, secante e cotangente, aos quais se indicam
abreviadamente: cosec, sec e cotg.
Simbolicamente:
É claro que poderíamos pensar que, ao invés de se tomar o ponto C sobre um dos lados do
ângulo , (conforme é possível ver na figura 10, anterior), e que se nós tomássemos outro ponto
distinto, C’, seriam obtidos valores distintos para sen , cos , tg etc. Em outras palavras: estas
funções só dependem da medida do ângulo e não das medidas dos seus lados. Vamos
demonstrar estas afirmativas:
Tomemos sobre o lado BC outro ponto qualquer, C’ C, e façamos sua projeção sobre o
lado BA em A’ (figura 10). Assim, se forma um triângulo retângulo (ângulo de 90º) que é
semelhante a BCA, e, portanto, valem as proporções utilizadas na demonstração a seguir:
sen =
cos =
tg =
Da mesma forma que provamos que as funções sen , cos , tg só dependem da medida
do ângulo e não das medidas dos seus lados, o mesmo vale para as funções recíprocas
cosec , sec , cotg .
60
Observando o triângulo retângulo BAC da figura 10, é possível traduzir as definições de
sen , cos , tg para a linguagem coloquial da seguinte maneira:
I) O seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é igual à medida do cateto
oposto dividida pela medida da hipotenusa;
II) O cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é igual à medida do
cateto adjacente dividida pela medida da hipotenusa;
III) A tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é igual à medida do
cateto oposto dividida pela medida do cateto adjacente.
Simbolicamente,
Seno =
Cosseno =
Tangente =
OBSERVAÇÃO
Se a hipotenusa for igual a 1 (unidade), resulta que:
Seno = medida do cateto oposto;
Cosseno = medida do cateto adjacente.
ARCOS NOTÁVEIS: 30º, 45º E 60º
61
EXEMPLOS11
1. No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen
65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)
Solução:
cos 65° = y / 9
0,42 . 9 = y
y = 3,78
sen 65° = x /9
0,91 . 9 = x
x = 8,19
2. (Este exercício utilizará o processo de interpolação) Consultando a tabela de razões
trigonométricas, verificamos que sen35 = 0,57358 e sen36 = 0,58779, cos45 =0,70711 e
cos46 =0,69466. Qual é o valor de:
a. sen35 30’?
Solução: A variação de 1 , de 35 para 36 , corresponde para o seno a uma variação de 0,01421
(basta fazer a diferença entre os valores apresentados acima).
Assim: 1 = 60’ 0,01421
30’ x
Fazendo a regra de três simples acima você vai calcular que x é igual a 0,00710.
Portanto, 0,57358 + 0,00710 = 0,58068.
Então, sen35 30’ = 0,58068.
b. cos45 20’?
Solução: A variação de um grau, de 45 para 46 , corresponde para o cosseno a uma variação de
-0,01245.
Assim: Medida do arco em minutos Variação
1 = 60’ -0,012445
20’ Y
Fazendo a regra de três simples acima, determina-se que y = -0,00415.
Portanto, 0,70711 + (-0,00415) = 0,70296.
Então, cos45 20’ = 0,70296.
3. Um observador vê um prédio construído em terreno plano, sob um ângulo de 60 .
Afastando-se do edifício mais 30m, ele passa a ver o edifício sob um ângulo de 45 . Qual é
a altura do prédio?
11 IEZZI, 2004, p. 19 e 21.
62
Solução:
No triângulo BXY, temos:
tg60 =
No triângulo AXY, temos:
tg45 =1=
então
Resposta: a altura é m.
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS QUAISQUER
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÃO
Consideremos uma circunferência como na figura a seguir. Na circunferência se
identificam a origem em O e um ângulo central , sendo A e B pontos da intersecção dos
lados do ângulo e a circunferência.
Figura 11 – Arcos de circunferência.
A circunferência fica dividida em duas partes, cada uma das quais é um arco de
circunferência. Assim, se formam o arco de circunferência e o arco de circunferência ,
sendo que A e B são as extremidades do arco.
Se A e B são extremidades de um diâmetro, temos dois arcos, cada um dos quais é
chamado semicircunferência.
y
A
B
O
x
Gostou dos exemplos? Quer ver mais alguns? Acesse o link
<https://pt.khanacademy.org/math/trigonometry/basic-
trigonometry/basic_trig_ratios/v/basic-trigonometry>.
Com certeza, lá você vai encontrar explicações e exercícios que vão ajudar a
sua compreensão do assunto. Bons estudos!
63
Figura 12 – Semicircunferências.
Em particular, se os pontos A e B coincidem, eles determinam dois arcos: um deles é um
ponto (denominado arco nulo) e o outro é a circunferência (denominado arco de uma volta).
Figura 13 – Arco nulo e arco de uma volta.
Se não houver dúvida quanto ao arco, podemos escrever apenas .
MEDIDAS DE ARCOS
Para medir um arco de circunferência são usadas as unidades de arco: grau e radiano.
GRAU – DEFINIÇÃO
Grau (símbolo º) é um arco unitário igual a da circunferência que contém o arco a ser
medido.
Tomando-se para unidade de arco (arco unitário) o arco definido por um ângulo central
unitário (unidade de ângulo), temos que a medida (em graus) de um arco de circunferência é
igual à medida do ângulo central correspondente.
RADIANOS – DEFINIÇÃO
Radiano (símbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da
circunferência que contém o arco a ser medido.
A
x
y
B
O
A = B
O
64
OBSERVAÇÃO
Para conversão de unidades podemos usar a seguinte correspondência:
360º ⇔ 2 rad
180º ⇔ rad
Assim, para resolver problemas de conversão de unidades, é suficiente
resolver uma regra de três simples.
Nos exemplos e exercícios deste módulo, ora trataremos do ângulo
medido em graus, ora medido em radianos. Fique atento para o que o
exemplo/exercício usa.
EXEMPLOS12
1. Exprima 225º em radianos.
Solução:
Estabelecemos a seguinte regra de três simples:
180º ⇔ rad
225º x rad
Daí decorre que x = rad.
2. Exprima rad em graus.
Solução:
Temos:
rad ⇔ 180º
rad ⇔ x
Como é uma proporção envolvendo grandezas diretamente proporcionais, utilizamos a
propriedade fundamental das proporções de que o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos. Assim,
x = = 330 º
12 IEZZI, 2004, p. 28 – 29.
65
3. Um grau se divide em 60’ (60 minutos) e um minuto se divide em 60" (60 segundos). Por
exemplo, um arco de medida 30’ é um arco de 0,5º (meio grau). Converta em radianos os
seguintes arcos:
a. 22º 30’
b. 31º15’45"
Solução:
22º 30’ = 22 x 60’ + 30’ = 1350’
180º = 180 x 60’ = 10800’
Decorre que 10800’ ⇔ rad
1350’ ⇔ x
Assim, x = = rad
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Consideremos um sistema de eixos cartesianos e um círculo de centro na origem e raio
igual a 1, ao qual chamaremos de círculo trigonométrico, conforme a figura 14 a seguir:
Figura 14 - Círculo trigonométrico.
Tomaremos como origem dos ângulos a semirreta OX e como sentido positivo de rotação
o sentido anti-horário que coincide com o de um observador que, ao percorrer a circunferência
em tal sentido positivo, deixa o círculo em sua esquerda. Uma vez fixada a origem dos ângulos
Quer treinar mais um pouco? Acesse o link
<https://pt.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-circle-trig-
func/radians_tutorial/v/radian-measure-and-arc-length>.
Coragem! Você vai encontrar explicações e exercícios que vão
ajudar à sua compreensão do assunto. Bons estudos!
66
(primeiro lado) e o sentido positivo de rotação, dado um ângulo em magnitude e em sinal, fica
fixada uma segunda semirreta de origem O como segundo lado do ângulo dado; tal semirreta
pode estar situada no primeiro quadrante, ou no segundo, terceiro ou quarto, e cortará a
circunferência trigonométrica (de raio unitário) em um ponto, P, de coordenadas (x, y), em
respeito ao sistema cartesiano XOY de referência.
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes como
apresentados a seguir:
Figura 15: Fonte: disponível em
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo02.htm>.
OBSERVAÇÕES
Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de
ângulos trigonométricos.
Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer
um dos quadrantes.
EXEMPLO13
Indique no ciclo trigonométrico a imagem de
Solução:
= (2
Marcamos, a partir de A, um percurso igual a do ciclo, no sentido anti-horário.
13 IEZZI, 2004, p. 35
Quer treinar mais um pouco? Acesse o link
<https://pt.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-circle-trig-func/Trig-unit-
circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1>. Com certeza, lá você vai
encontrar explicações e exercícios que vão ajudar a sua compreensão do
assunto. Bons estudos!
67
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÕES
I) Denomina-se seno de um ângulo a ordenada do ponto P determinado pelo
segundo lado de sobre a circunferência trigonométrica. (O primeiro lado é
sempre OX, por convenção).
Simbolicamente sen = y (I)
II) Denomina-se cosseno de um ângulo a abcissa do ponto P determinado pelo
segundo lado de sobre a circunferência trigonométrica.
Simbolicamente: cos = x (II)
III) Denomina-se tangente de um ângulo a razão do seno de pelo cosseno de .
Simbolicamente: tg = (III)
As funções recíprocas, cossecante, secante e cotangente, se definem como no
caso de ângulos agudos :
cosec =
sec =
cotg = .
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Considere o círculo trigonométrico (ou seja, uma circunferência de centro em O e raio
igual a 1). Decorre que seu comprimento é 2 . Tomemos x um número real,
0 (conforme requer o ciclo trigonométrico) e associemos a um único ponto P de
forma que:
1) Se x igual a 0, então P coincide com A.
2) Se 0 < x < 2 , então realizamos a partir de A um percurso de comprimento x, no sentido
anti-horário, e marcamos P como ponto final do percurso.
v
P
A
u
68
OBSERVAÇÃO
Se o ponto P está associado ao número x, dizemos que P é a imagem de x no
ciclo.
FUNÇÃO SENO
Dado um número real x [0, 2 , seja P sua imagem no ciclo trigonométrico. Como já
foi visto anteriormente, a ordenada OP1 do ponto P em relação ao sistema uOv (figura 16, a
seguir) é a função senx.
Figura 16 - Função senx.
PROPRIEDADES
P1 – Se P é do primeiro ou do segundo quadrante, então sen x > 0.
P2 – Se P é do terceiro ou do quarto quadrante, então sen x < 0.
P3 – Se P percorre o primeiro ou o quarto quadrante, então sen x é crescente.
P4 – Se P percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então sen x é decrescente.
FUNÇÃO COSSENO
Dado um número real x [0, ], seja P sua imagem no ciclo trigonométrico. A abcissa
OP2 do ponto P em relação ao sistema uOv é o cosseno de x, isto é, cos x = OP2 (figura 17, a
seguir).
69
Figura 17 - Função cosx.
PROPRIEDADES
P1 – Se P é do primeiro ou do quarto quadrante, então cos x > 0.
P2 – Se P é do segundo ou do terceiro quadrante, então cos x < 0.
P3 – Se P percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então cos x é decrescente.
P4 – Se P percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então cos x é crescente.
FUNÇÃO TANGENTE
Dado um número real x , x e x , seja P sua imagem no ciclo.
Consideremos a reta e seja T a sua intersecção com o eixo das tangentes. Denominamos
tangente de x (indicamos tg x) a medida algébrica do segmento AT.
Para x = , P coincide com B e, para x = , P coincide com B’ e, então, a reta fica
paralela ao eixo das tangentes. Como neste caso não existe o ponto T, a tg x não está definida
(figura 18, a seguir).
Figura 18 – Função tg x.
70
EXEMPLO14
Dê o sinal do seno, do cosseno e da tangente dos arcos: .
Solução: Para apresentar a solução faremos uma tabela com as informações resultantes, as
respostas decorrem da posição que cada arco ocupa no ciclo trigonométrico:
Arco Quadrante Sinal da função trigonométrica
Seno Cosseno Tangente
1º Positivo Positivo Positivo
2º Positivo Negativo Negativo
3º Negativo Negativo Positivo
4º Negativo Positivo Negativo
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA (SOBRE O CÍRCULO
TRIGONOMÉTRICO) DO SENO, COSSENO E DA TANGENTE
Conforme foi definido na seção 2.1, sen = , cos = (verificar na figura 19, a
seguir).
Faremos a demonstração de que tg = , sendo a reta tangente à circunferência
trigonométrica no ponto do eixo OX.
Inicialmente, consideremos o círculo trigonométrico conforme a figura 19, a seguir:
14 IEZZI, 2004, p. 32.
71
Figura 19 - Representação geométrica sobre o círculo trigonométrico de seno, cosseno e tangente de
um ângulo.
Com efeito, os triângulos OPP’ e OQQ’ são semelhantes, garantindo-se que
(pois os segundo termo da cadeia de
igualdades é igual a tg ).
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA (SOBRE O CÍRCULO
TRIGONOMÉTRICO) DA COSSECANTE, DA SECANTE E DA
COTANGENTE:
A secante, a cossecante e a cotangente são representadas sobre o círculo trigonométrico
pelos segmentos, conforme são indicados na figura 20, a seguir.
A justificativa se baseia na semelhança de triângulos escolhidos convenientemente.
Assim, faremos a demonstração de que o segmento RR’ representa a cotangente.
Os triângulos OTT’ e ORR’ são semelhantes e, desta forma, é verdade que:
E do fato que = = 1
Também decorre que .
72
Assim, . (c.q.d.).
Figura 20 - Representação geométrica da cossecante, secante e cotangente de um ângulo agudo.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA CARTESIANA DAS FUNÇÕES
SENO, COSSENO E TANGENTE
Os gráficos cartesianos do seno, do cosseno e da tangente são obtidos facilmente fazendo
uso do círculo trigonométrico e das representações geométricas do sen, cos e tg sobre ele, dadas
na seção anterior. Para isso se retifica a circunferência, cujo comprimento é 2 x 1 = 2 = 6,28
radianos, e o comprimento é tomado a partir da origem em um ou outro sentido sobre o eixo
X’X. Divide-se a circunferência em um certo número de partes iguais e também o segmento (0,
2 ) no mesmo número de partes iguais. Para cada ponto do eixo X’X, correspondente a cada
um dos pontos da divisão, se levanta uma ordenada igual ao valor correspondente do seno, do
cosseno ou da tangente, dado sobre o círculo trigonométrico como se explicou na seção anterior.
A seguir, mostram-se os gráficos obtidos (figuras 21 a 24) e as respectivas propriedades.
cos
sec
cotg
cos
R
T’
R’
1
T
sen
P
O P’
X
Y
Fica como exercício provar que representa a cosec e representa a sec .
Então, o que está esperando???
73
FUNÇÃO SENO
Figura 21 - Gráfico da função seno, y = sen
Disponível em <http://www.mscabral.pro.br/jannuzzi/aulaporaula.html>. Acesso em 22 set. 2015.
Além das propriedades vistas para a relação trigonométrica seno, são válidas para a função seno
as seguintes propriedades:
1) A imagem da função seno é o intervalo [-1,1], ou seja -1 1 para todo x
real.
2) A função seno é periódica de período igual a 2 .
EXEMPLO
Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo da função y = 2senx.
Solução:
Para resolver, utilizaremos a tabela a seguir, preenchendo-a seguindo os três passos :
(I) Devemos atribuir valores a x;
(II) A cada valor de x, se calcula o valor de senx; e, por último,
(III) Faremos o produto de 2 por senx.
x senx y = 2senx
0 0 0
1 2
0 0
-1 -2
2 0 0
Assim, podemos marcar os cinco pontos no plano cartesiano, conforme o gráfico a seguir:
74
É imediato que Im y = [-2,2] e período de y = 2senx é 2 .
Disponível em
<http://fabianeanflor.pbworks.com/w/page/16080733/Atividade%20utilizando%20Geogebra>. Acesso
em 22 set. 2015.
FUNÇÃO COSSENO
Figura 22 - Gráfico da função cosseno, y = cos .
Disponível <http://www.mscabral.pro.br/jannuzzi/aulaporaula.htm>. Acesso em 22 set. 2015.
OBSERVAÇÃO
É possível verificar que são muito semelhantes os gráficos das funções seno e
cosseno, mas não são iguais! Apesar das duas funções possuírem o mesmo
período (2 ), temos que destacar que para sen0º = 0, enquanto cos0º = 1.
75
Vejamos os gráficos das duas funções num só sistema de eixos cartesianos:
Figura 23 - Gráfico das funções seno e cosseno, num só sistema de eixos cartesianos. Disponível em
<http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap04_Calc1.html>. Acesso 16 ago.
2015.
Além das propriedades vistas para a relação trigonométrica cosseno, são válidas para a
função cosseno as seguintes propriedades:
1) A imagem da função cosseno é o intervalo [-1,1], ou seja -1 1 para todo x
real;
2) A função cosseno é periódica de período igual a 2 ;
3) Domínio: ℝ; 4) Zeros e Sinal;
a. tem zeros em para todo ;
b. positiva em com ;
c. negativa em com .
5) Extremos e Monotonia;
a. mínimo absoluto com valor -1 em ;
b. máximo absoluto com valor 1 em
c. crescente em com ;
d. decrescente em com .
6) Contradomínio: ℝ;
7) A função é par;
8) A função é contínua no seu domínio;
9) A função não é injetora e não é sobrejetora.
EXEMPLO
1) Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo da função y =
cos2x.
Para resolver, utilizaremos a tabela a seguir, preenchendo-a seguindo os três passos:
(I) Devemos atribuir valores a x;
(II) A cada valor de x, se calcula o valor de 2x; e, por último,
(III) Faremos o cálculo de cos2x.
Resulta que:
76
X 2x y = cos2x
0 0 1
0
-1
0
2 1
Assim, podemos marcar os cinco pontos no plano cartesiano, conforme o gráfico a seguir:
A Imagem da função y = cos2x é [-1,1] e seu período é .
Disponível em
<http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/trigonometricas/fcosseno/situacoes/situacao4.htm>.
Acesso em 24/09/2015.
77
FUNÇÃO TANGENTE
Figura 24 - Gráfico da função tangente, y = tg .
Disponível em <http://www.mscabral.pro.br/jannuzzi/aulaporaula.htm>. Acesso em 24 set. 2015.
Além das propriedades vistas para a relação trigonométrica tangente, são válidas para a
função tangente as seguintes propriedades:
1) O domínio da função tangente é D = ;
2) A imagem da função tangente é ;
3) A função tangente é periódica de período igual a ;
4) Zeros e Sinal;
a. Tem zeros em x = k para cada k ;
b. Positiva nos intervalos com k
c. Negativa nos intervalos com k
5) Extremos e Monotonia;
a. Não tem nem mínimos nem máximos;
b. Crescente nos intervalos ] – com k .
6) A função é ímpar;
7) A função é contínua no seu domínio;
8) A função não é injetora, mas é sobrejetora.
Em continuação seguem os gráficos que representam as funções cotangente, cossecante e
secante.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA CARTESIANA DAS FUNÇÕES
COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE
Assim, de maneira análoga, mas tomando como ordenadas dos pontos de divisão os
segmentos correspondentes a estas funções, segundo foi explicado na seção anterior, se obtém
78
os três gráficos cartesianos seguintes para a cotangente, a secante e a cossecante,
respectivamente, nos gráficos das figuras 25, 26 e 27.
Figura 25 - Gráfico da função cotangente, y = cotg . Disponível em
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo07.htm>. Acesso em 24 set.
2015.
Figura 26 - Gráfico da função secante, y = sec . Disponível em <http://eduardo-
vasconcelos.blogspot.com.br/2012/01/trigonometria-05-funcao-secante.html>. Acesso 24
set. 2015.
Figura 27 - Gráfico da função cossecante, y = cosec . Disponível em
<http://www.uel.br/projetos/matessencial/trigonom/trigo07.htm#tr54>. Acesso 24 set.2015.
Para visualizar uma animação dos gráficos das funções trigonométricas, visite o link
<http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap04_Calc1.html#IV-
2_FuncoesTrigonometricas>.
Então, mãos à obra!
Quer se distrair com alguns exemplos bem legais? Então acesso o link
<https://pt.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs> e mãos à obra!
79
TÁBUAS/TABELAS TRIGONOMÉTRICAS. REDUÇÃO AO
PRIMEIRO QUADRANTE
Os valores do seno, cosseno, tangente etc. correspondentes a cada ângulo foram
calculados e tabulados. Assim, incluímos uma tabela que contém os valores das quatro funções
que se usam, na prática, o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente para ângulos que variam de
grau em grau.
Na primeira coluna, de cima abaixo, estão os ângulos de 0º a 45º e, na última coluna, em
sentido inverso, estão os ângulos de 45º a 90º; nas colunas centrais pode-se ler os valores
correspondentes a estas funções, de acordo com os valores dos ângulos.
Para ângulos maiores que 90º, os valores das funções correspondentes podem ser
calculados conforme será explicado na próxima seção, fazendo a redução do valor ao primeiro
quadrante.
TABELA DE VALORES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
80
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
No caso em que o ângulo é maior que 90º, para compreender melhor e se acostumar com
facilidade ao que iremos explicar nesta seção, recomendamos que seja feito um esboço do
círculo trigonométrico, que mostre de maneira clara qual é o ângulo do primeiro quadrante que
tem o mesmo valor, ou valor oposto, para a função que interessa, de maneira a facilitar a
solução do que se pretende calcular.
81
Se o ângulo é maior que 360º, se identifica o número de voltas que tem dividindo por 360
e ficando com o resto da divisão, que será um ângulo do primeiro quadrante, do segundo
quadrante, do terceiro quadrante ou do quarto quadrante, a depender do caso.
Em cada um destes casos, traçando paralelas aos eixos coordenados pelo ponto de corte
do segundo lado do ângulo com a circunferência trigonométrica, determina-se facilmente o
ângulo do primeiro quadrante que tem o mesmo valor (ou valor oposto) para a função que
queremos determinar.
EXEMPLOS:
Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos a seguir:
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ENTRE AS FUNÇÕES DE UM
MESMO ÂNGULO: CONHECIDA UMA FUNÇÃO, CALCULAR AS
OUTRAS
Seja um ângulo qualquer. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OPP2 da
figura a seguir, tem-se , isto é:
82
(I)
A relação (I), anterior, é denominada a "relação fundamental da Trigonometria" e liga o
seno e o cosseno de um só ângulo.
Por outro lado, sabemos que (II)
As relações (I) e (II) nos permitem calcular as funções de um ângulo, basta que
conheçamos uma delas.
I) Conhecido o sen . De (I) decorre que : cos = e de (II),
tg
Quando se conhece em que quadrante o ângulo se encontra, deixa de existir a
duplicidade dos sinais +/-. No entanto, em geral, dado um valor do seno, existem dois ângulos
entre 0º e 360º com esse seno.
II) Conhecido cos de (I), decorre que : sen = e de (II), tg
III) Conhecida a tg . dividindo (I) por e considerando (II), se tem que
. Em outras palavras, , o que implica que
FUNÇÕES DE ÂNGULOS COMPLEMENTARES,
SUPLEMENTARES E OPOSTOS
Antes de avançarmos no estudo das funções de ângulos complementares, suplementares e
opostos é preciso deixar claro que em alguns momentos trabalharemos com os ângulos em
radianos e em outros com os ângulos em graus, de maneira a proporcionar a você habilidades
com as duas unidades de medidas de arcos.
P
P2 0
B’
A A’
B
83
ARCOS COMPLEMENTARES
A figura 28 mostra que sendo ângulos complementares, e cos .
Dessa forma, temos que tg
Simbolicamente:
Figura 28 – Ângulos complementares
ARCOS SUPLEMENTARES
A figura 29, a seguir, mostra que se são ângulos suplementares, decorre que:
Figura 29 – Arcos suplementares
84
ÂNGULOS OPOSTOS
A partir da figura 30, a seguir, é possível identificar que: e
.
Destas igualdades decorrem que .
Figura 30 – Ângulos opostos
TRANSFORMAÇÕES
Conhecidas as funções circulares dos números reais , iremos calcular as funções
trigonométricas da soma ( ) e da diferença ( ).
FÓRMULAS DE ADIÇÃO
COSSENO DA SOMA
Sejam A, B e C os pontos do ciclo (figura 31) associados aos números a, a + b e –b,
respectivamente. Em relação ao sistema cartesiano, as coordenadas desses pontos são:
A(cos a, sen a)
B(cos (a + b), sen(a + b))
C(cos b, -sen b)
E então? Avançando bem em seus estudos? Esperamos que o conteúdo tenha incentivado
você a aprender mais sobre a Matemática... Que tal visitar o link
<https://pt.khanacademy.org/math/trigonometry/basic-trigonometry/cc-trig-ratios-
similarity/v/showing-relationship-between-cosine-and-sine-of-complements> e estudar um
pouco mais sobre funções de ângulos complementares, suplementares e opostos antes de
avançar? Então mãos ao trabalho!!!!
85
Os arcos e têm a mesma medida, portanto as cordas e têm medidas iguais.
Assim, aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, temos que:
= [ =
= [ =
=> 2 – 2 . cos(a+b) = 2 – 2 . cos a . cos b + 2 . sena . sen b
Desta última igualdade decorre que
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
Figura 31 – Círculo trigonométrico: fórmulas de adição.
OBSERVAÇÃO
A fórmula da distância, apresentada acima, será estudada com mais detalhes na
disciplina Geometria Analítica.
COSSENO DA DIFERENÇA
cos (a – b) = cos[a + (-b)] = cos a . cos (-b) – sen a . sen (-b) =
= cos a . cos b – sen a . (-sen b)
Daí decorre que:
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b
86
SENO DA SOMA
Para determinar sen ( a + b) faremos uso do arco complementar algumas vezes. Assim,
sen (a + b) = cos [ = cos [ = cos
Resulta que:
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
SENO DA DIFERENÇA
sen (a – b) = sen [a + (-b)] = sen a . cos (-b) + sen (-b) cos a =
= sena . cos b + (-sen b) . cos a
Resultando que:
sen (a – b) = sen a. cos b – sen b . cos a
TANGENTE DA SOMA
tg ( a + b) = . (I)
Dividindo numerador e denominador da igualdade (I) por cos a . cos b, teremos:
tg (a + b) = =
OBSERVAÇÃO
A fórmula tg (a + b) é válida se a, b e a + b são diferentes de .
TANGENTE DA DIFERENÇA
87
tg (a – b) = tg[a + (-b)] = = =
Decorre então que:
tg (a – b) =
OBSERVAÇÃO
A fórmula da tg ( a- b) só vale se a, b e a - b são diferentes de .
EXEMPLOS
1) Calcule os valores de:
a. sen 105º;
b. cos 15º;
c. tg 75º.
Solução:
a) sen 105º = sen (60º + 45º) = sen 60º cos 45º + sen 45º cos 60º =
= .
b) cos 15º = cos (45º – 30º) = cos 45º cos 30º + sen 45º sen30º =
=
c) tg 75º = tg (45º + 30º) = =
COTANGENTE DA SOMA
cotg (a + b) =
Esta fórmula só é válida se a, b e a + b .
88
COTANGENTE DA DIFERENÇA
cotg (a – b) =
Esta fórmula vale se a, b e a - b .
EXEMPLO
1) Calcule cotg 165º, sec 255º e cossec 15º:
Solução:
a. cotg 165º = cotg (180º – 15º) .
Assim decorre que: cotg 165º = - cotg 15º =
b. sec 255º = sec (180º + 75º) = - sec 75º = -
=
=
c. cossec 15º = cossec (45º – 30º) =
= =
=
FÓRMULAS DA MULTIPLICAÇÃO
Conhecidas as fórmulas tais como seno da soma, cosseno da soma e tangente da soma:
sen (a+b), cos (a+b), tg (a+b), etc., podemos calcular sen 2a, cos 2a, tg 2a, etc. Vejamos.
Agora fica a seu encargo provar as fórmulas de cotangente da soma e da
diferença. Então, mãos à obra!!!
89
FUNÇÕES CIRCULARES DE 2A
Fazendo 2a = a + a, basta aplicar a fórmula da adição. Assim, decorre que :
sen 2a = 2. sen a . cos a;
cos 2a = = 2 . = 1 – 2
tg 2a =
FUNÇÕES CIRCULARES DE 3A
Fazendo 3a = 2a + a e aplicando a fórmula de adição, temos:
cos 3a = cos (2a + a) = 4.
sen 3a = sen (2a + a) = 3. – 4
tg 3a = tg (3a + a) =
Assim, calcula-se para 4a, 5a, etc., a partir do que se fez acima.
FÓRMULAS DA DIVISÃO
Nesta seção, iremos deduzir as fórmulas para as funções circulares de , a partir das
funções sen x e cos x.
(I) Dado cos x
Sabemos que cos x = 2 => cos
cos x = 1 – 2 => sen
tg => tg
(II) Dado senx
Sabendo que cos x = , daí decorre que se tivermos sen x, podemos calcular
cos x e utilizamos as fórmulas do item (I), anterior.
(III) Dada tg
A partir das fórmulas de produto, temos que:
90
sen 2a = 2 sen a . cos a = 2 sen a . = 2 = 2 . = =
tg 2a =
Tomando 2a = x => a = , decorre que:
sen x = e tg x =
Sabendo que tg x = , decorre que cos x = . Assim, é possível determinar cos x
=
EXEMPLO
Se sen x = e (2º quadrante), calcule as funções circulares de .
Solução:
cos x = -
sen = +
cos = +
tg = + = +
OBSERVAÇÃO
, pois .
91
Vamos exercitar um pouco o que já desenvolvemos até aqui?
ATIVIDADES PROPOSTAS II
1) Dê o sinal do seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de cada um dos
arcos a seguir:
a. ;
b. ;
c. .
2) Considerando que tg x = e , calcule as demais funções circulares de x.
3) Complete a tabela a seguir:
Razão \ ângulo 0
sen x
cos x
tg x
4) O seno de um ângulo é ½. Calcular o cosseno, a tangente e a cotangente deste mesmo
ângulo.
a. Se o ângulo está no primeiro quadrante;
b. Se o ângulo está no quarto quadrante;
5) Sabendo que a tangente de um ângulo do terceiro quadrante é 1, determine o seno e o
cosseno do mesmo ângulo.
6) Reduza ao primeiro quadrante :
a. sen 130º
b. cos 115º
c. sen 225º
d. cos 210º
e. sen 340º
f. cos 280º
7) Determine o domínio, o período, a imagem e o gráfico das funções a seguir:
a. f: dada por f(x) = sen 2x;
b. f: dada por f(x) = 1 – sen x;
c. f: dada por f(x) = - cos x;
d. f: dada por f(x) = cos
e. f: dada por f(x) = tg (
8) Calcule os valores de:
a. sec 255º;
b. sen 105º;
c. cos 75º.
9) Sendo cotg x = e 0 < x < , calcule cos 2x.
10) Tendo em vista que sen a = 3/5 e cos a = 4/5, determine sen2a – cos 2a.
92
3 MATRIZES
(Fonte: Álgebra Linear com Mangá, p. 66).
Assim, uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma "matriz m por n" ou "m x
n".
Uma matriz A sobre um corpo K ou, simplesmente, uma matriz A (quando K estiver bem
compreendido) é uma tabela retangular de escalares, costumeiramente apresentada das seguintes
formas:
A = ou A = ou A =
Ou ainda, uma matriz A do tipo m x n também pode ser indicada por A = (aij) ; com
ou, de maneira bem simples, A = (aij) mxn. O índice
indica a linha e o índice indica a coluna às quais o elemento pertence. As "m" linhas são
convencionalmente numeradas de cima para baixo (de 1 até m) e as "n" colunas da esquerda
para a direita (de 1 até n)
As linhas de uma matriz A, como as acima representadas, são as m listas horizontais de
escalares dadas por
( .
E as colunas da matriz A são as n listas verticais de escalares dadas por
, , ...,
93
OBSERVAÇÃO
O elemento , denominado ij-ésima entrada ou elemento, aparece na linha i e na
coluna j. De uma maneira geral, denota-se uma tal matriz simplesmente escrevendo A
= .
A matriz do tipo é considerada uma matriz de ordem (ou tamanho) m x n, que
se lê matriz m por n. O par de números m e n determina o tamanho da matriz.
EXEMPLOS
1. é uma matriz 2 x 3;
2. é uma matriz 3 x 2;
3. e são exemplos de matrizes 2 x 1 (matriz coluna);
4. é uma matriz 3 x 1 (matriz linha);
O estudo de matrizes envolve conceitos que podem ser utilizados para resolver problemas
nas mais diversas situações e áreas do conhecimento. Economia, Engenharia, Biologia,
Educação, Informática são apenas algumas delas.
Ao recolhermos os dados referentes a altura, ao peso e à idade de um grupo de quatro
pessoas, podemos dispô-los como na tabela 1:
Tabela 1: Altura, massa e idade de um grupo de quatro pessoas.
Altura (m) Massa (kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
(Fonte: Adaptado de Boldrini et al, 1980, p. 1 - 2.)
Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:
M=
M é uma matriz do tipo 4 x 3, ou seja, são 4 linhas e 3 colunas.
94
OBSERVAÇÕES
A disposição ordenada, em forma de matriz, de um problema que
é composto por um número de variáveis e de observações grande é
imprescindível!
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou
complexos), funções, ou ainda outras matrizes.
MATRIZ QUADRADA
Dada A = uma matriz m x n. Se m = n. A matriz é chamada quadrada e
os termos do tipo formam a diagonal principal da matriz;
A = é uma matriz quadrada com duas linhas e duas colunas, sendo no caso uma
matriz nula, ou seja, uma matriz em que todas as entradas são iguais a zero.
MATRIZES IGUAIS
Duas matrizes A = e B = são iguais quando para todo
e todo j . Em outras palavras, para duas matrizes serem
iguais elas devem ser do mesmo tipo (ou seja, da mesma ordem) e apresentar todos os
elementos correspondentes iguais, ou seja, os elementos com os mesmos índices serão iguais.
EXEMPLO
1. , pois
2. Determine x e y de modo que se tenha = .
Solução: da definição de igualdade entre matrizes temos que:
⇔ y = 0
95
3. Verifique se as matrizes seguintes são iguais: e
.
Solução: a partir da definição de igualdade entre matrizes, verificamos que .
Assim, as matrizes A e B do exemplo não podem ser iguais.
MATRIZ IDENTIDADE
A matriz identidade ou matriz unitária de ordem n, denotada por In ou, simplesmente, por
I, é a matriz quadrada com 1 na diagonal principal e 0 em todas as demais entradas.
OBSERVAÇÕES
1. A matriz identidade se comporta como o elemento neutro da
multiplicação de matrizes. Ou seja, dada qualquer matriz A, temos que
AI = IA = A.
2. Se B é uma matriz m x n, então BIn = ImB = B.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Considere as duas tabelas15 a seguir. Nelas encontra-se descrita a produção de grãos em
dois anos consecutivos.
Tabela 2: Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 3.000 200 400 600
Região B 700 350 700 100
Região C 1.000 100 500 800
Tabela 3: Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 5.000 50 200 0
Região B 2.000 100 300 300
Região C 2.000 100 600 600
Vamos continuar a utilizar as tabelas como recurso visual para organizar as informações:
Tabela 4: Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante os dois anos
Soja Feijão Arroz Milho
1º ano 2º ano 1º ano 2º ano 1º ano 2º ano 1º ano 2º ano
Região A 3.000 5.000 200 50 400 200 600 0
15 Abordagem disponível em Boldrini et al (1986, p. 5).
96
Região B 700 2.000 350 100 700 300 100 300
Região C 1.000 2.000 100 100 500 600 800 600
Assim, podemos construir uma tabela que apresente o total da produção de cada grão
durante o período.
Tabela 5 - Produção total de grãos (em milhares de toneladas).
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 8.000 250 600 600
Região B 2.700 450 1.000 400
Região C 3.000 200 1.100 1.400
Fazendo a representação dos dados da tabela 5 anterior, na forma matricial, teremos:
ADIÇÃO DE DUAS MATRIZES
Se duas matrizes têm a mesma dimensão, sua soma é encontrada adicionando os
elementos correspondentes. Assim, se e , então a ordem da matriz C = A + B
também é e é encontrada como C = (cij) = (aij + bij). Por exemplo, considere as matrizes
A, B e C como:
A = , B = e C =
Então,
A + B = , mas A + C não está definida, pois . Por razões
semelhantes, o mesmo acontece com a soma B + C.
OBSERVAÇÃO
A soma de matrizes só está definida para matrizes de mesmo tamanho. Ou
seja, matrizes de mesma ordem.
Está gostando do estudo de matrizes? Esperamos que tire grande proveito do
que já tem visto! Agora, que tal pensar num exemplo no qual se possa utilizar
matrizes? Sim, pesquise ou crie exemplos que possam ser apresentados e
resolvidos com o estudo de matrizes.
97
PROPRIEDADES
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos:
I) A + (B + C) = (A + B) + C (Associatividade);
II) A + B = B + A (Comutatividade);
III) M | A + M = A, qualquer que seja A do tipo m x n;
IV) Todo elemento tem simétrico: para todo A do tipo m x n: A’|A + A’ = M.
Demonstração:
I) Fazendo (A+B) + C = X e A + (B + C) = Y, temos que os
escalares que compõem estas matrizes obedecem à seguinte propriedade
xij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = yij para todo i e todo j.
II) Fazendo A + B = X e B + A = Y, teremos que os escalares que
compõem estas matrizes obedecem à seguinte propriedade
xij = (aij + bij) = (bij + aij) = yij para todo i e todo j.
III) Suponhamos que A + M = A, assim resulta que os escalares que
compõem estas matrizes obedecem à propriedade a seguir
aij + mij = aij mij = 0 ⟹ M = 0 (matriz nula do tipo m x n).
IV) Fazendo A + A’ = M = 0, teremos
aij + a’ij = 0 ⟹ aij = - a’ij para todo i e todo j.
MATRIZ OPOSTA
Matriz oposta: A e B são matrizes opostas se, e somente se, A + B = 0, com A e B
matrizes de mesma ordem e 0 a matriz nula. Neste caso, .
MATRIZ DIFERENÇA
Dadas duas matrizes A = e B = , chama-se diferença à matriz
soma de A com a oposta de B.
EXEMPLO
Dadas A = e B = , calcule A + B e A – B.
Solução:
A + B = =
Para calcular A – B, primeiro vamos determinar a matriz oposta de B, simplesmente,
tomando o simétrico dos escalares que compõem a matriz B, para então proceder à soma, ou
seja,
98
= e então fazemos A + ) =
MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ
Dado um número k e uma matriz A = , chama-se produto kA a matriz B =
tal que para todo i e todo j.
EXEMPLOS
1. Dada a matriz A = calcule 2A e ½ A.
Solução:
2A = 2. = =
½ A = ½ . = = A =
2. Resolva o sistema16
em que A = e B =
Solução:
Somando membro a membro as duas equações, resulta:
X + Y + X – Y = 3A + 2B ⇔ 2X = 3A + 2B ⇔ X =
Subtraindo membro a membro as duas equações, resulta:
X + Y – X + Y = 3A – 2B v 2Y = 3A – 2B ⇔ Y =
X =
Y =
Teorema T 11 - Dadas as matrizes A e B e os escalares valem as seguintes propriedades:
(I) ;
(II) ;
16 Disponível em Boldrini, 2004, p. 54.
99
(III) .A = ;
(IV) .A = A.
Demonstração:
(I) Pela definição de multiplicação de um escalar por uma matriz temos que: =
se A = ( . Ou seja, =
onde .
De forma análoga, fazendo o produto teremos como resultado uma matriz C tal que
a matriz C é
= = ( ).A.
(II) Sejam as matrizes e e
um escalar.
, tal que . Assim, pela definição de multiplicação de um escalar por
uma matriz, o produto = ou seja, cada termo é igual
a . Em outras palavras,
=
(III) e (IV) são deixados para que você faça a demonstração.
EXEMPLO
1. Calcule a matriz 5A, sabendo que A = .
Solução:
5 A = =
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Antes de definirmos, formalmente, a multiplicação de matrizes, veremos a seguir um
exemplo prático17.
Suponhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas A, B e C
obtidas em cada unidade dos alimentos I e II.
A B C
17 Boldrini et al, 1980, p.8 – 9.
100
Alimento I
Alimento II
Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto
consumiremos de cada tipo de vitamina?
Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela matriz de
"consumo", na qual se encontra esboçada a informação acima: o consumo de 5 unidades do
alimento I e 2 unidades do alimento II:
A operação que vai nos oferecer a quantidade ingerida de cada vitamina é o "produto":
(*) = =
Isto é, serão ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 de B e 2 de C.
Outro problema que poderemos considerar em relação aos dados anteriores é o seguinte:
Se o custo dos alimentos depender somente do seu conteúdo vitamínico e soubermos
que os preços por unidade de vitamina A, B e C são, respectivamente, 1,5, 3 e 5 unidades
monetárias (u.m.), quanto pagaríamos pela porção de alimentos indicada anteriormente?
(**)
Ou seja, pagaríamos 100 u.m.
Façamos algumas considerações quanto às ordens das matrizes da seguinte maneira:
No caso (*) temos ;
No caso (**) temos .
Assim, podemos ver que para fazer o produto entre matrizes, como as observadas no
exemplo, precisamos ter que o número de colunas da primeira matriz deve coincidir com o
número de linhas da segunda matriz, conforme o exemplo anterior.
101
UM POUCO DE HISTÓRIA...18
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e
saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy,
1826: tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua
famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar
sua utilidade.
Para dar o nome a esta teoria usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja:
local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o
que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual
podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p
linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes.
É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os
determinantes em importância.
[...]
O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a
caracterização dos máximos e mínimos de uma função real de várias variáveis ao estudo do
sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre
trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos
de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas
chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que
toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta
de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.
Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das
Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje,
contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuíram para o
desenvolvimento da Teoria das Matrizes.
Antes de apresentar a definição pra fazer o produto entre matrizes de ordens maiores,
iniciaremos pela multiplicação entre uma matriz 3 2 e uma matriz 2 2:
18 Texto baseado em <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3b.html>.
102
Quadro: Multiplicação de matrizes 3 2 e 2 2.
(Fonte: Takashi, 2012, p. 73.)
Novamente, é preciso destacar que o número de colunas da primeira matriz é igual ao
número de linhas da segunda matriz!
Assim, o produto das matrizes A e B, denotado por AB, segue a definição:
PRODUTO ENTRE MATRIZES DE ORDEM m x n
Sejam A = e B = duas matrizes tais que o número de colunas de A seja igual
ao número de linhas de B, digamos p. Em outras palavras, supomos que A seja uma matriz
103
e B uma matriz . Então o produto AB de A e B é a matriz cuja ij-ésima
entrada é dada pelo produto da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B.
Desta forma,
=
Onde
Em outras palavras, de uma forma geral, temos que ao multiplicar duas matrizes A =
e B = . Definimos AB = onde =
Vejamos, então, os exemplos a seguir.
EXEMPLOS
1. Dadas A = e B = , calcular AB. 19
Solução:
Sendo A do tipo e B do tipo , decorre que existe AB e é do tipo .
Fazendo AB = C, devemos calcular e :
C =
= = = .
2. Dadas A = e B = , calcular AB.
Solução:
Sendo A do tipo e B do tipo , decorre que existe AB e é do tipo .
Fazendo AB = C, temos:
1919 Iezzi & Hazzan, 2004, p. 56 – 57.
104
C = =
= =
= .
3. Determinar o produto de matrizes, .
Solução:
= = .
OBSERVAÇÕES
1. Dadas duas matrizes A e B, em geral AB BA (podendo mesmo
um dos membros estar definido e o outro não).
2. AB = 0 (matriz nula) sem que A = 0 ou B = 0;
EXEMPLOS
1. Considere A = e B = , assim: AB = e BA= . Ou seja, o
produto de A e B não é comutativo, apesar de serem ambas matrizes quadradas de mesma
ordem.
2. Considere o produto a seguir: = . Observamos que temos uma matriz
nula como o produto entre duas matrizes não nulas, ou seja, se A e B são duas matrizes, o
fato de AB = 0 não implica que A = 0 ou B = 0.
Temos a seguir alguns resultados que dão robustez à teoria de matrizes.
Teorema T 12 – Se A = , então AIn = A e ImA = A.
Demonstração: partindo do fato que as duas demonstrações são análogas,
demonstraremos somente a primeira igualdade.
Sendo In = ( e B = AIn = . Assim temos que:
Cada termo + + ... + =
= + + ... + = para todos i e j, então AIn = A.
(c.q.d.).
105
Teorema T 13 – Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes propriedades
são válidas:
(I) (AB)C = A(BC) ( associatividade);
(II) A(B+C) = AB + AC (distributividade à esquerda da multiplicação, em relação à
soma);
(III) (A+B)C = AC + BC (distributividade à direita da multiplicação, em relação à
soma);
(IV) (kA)B = A(kB) = k(AB) quaisquer que sejam o escalar k e as matrizes Amxn e Bnxp
Demonstração:
(I) Fazendo D = AB = ( , E = (AB)C = ( e F = BC = ( , temos:
= = .
Assim, podemos concluir que (AB)C = A(BC).
(II) Fazendo D = C(A + B) = ( , temos:
= CA + CB.
(III) Inicie, fazendo D = (A + B)C e demonstre de maneira análoga a (II).
(IV) Fazendo C = kA = ( , D = kB = ( e E = ( , temos:
=
=
Conclusão: (kA)B = A(kB) = k(AB).
Está feita a demonstração.
MATRIZ TRANSPOSTA
Dada uma matriz A = , podemos obter outra matriz A’ = cujas linhas
são as colunas de A, isto é, . A’ é denominada transposta de A. A transposta da matriz A
é também denotada por .
EXEMPLOS
1) Se A = ⟹ .
2) Se A = ⟹ .
106
OBSERVAÇÃO
A transposta de uma matriz linha é uma matriz coluna. Analogamente, a
transposta da matriz coluna é uma matriz linha.
PROPRIEDADES BÁSICAS DE UMA TRANSPOSIÇÃO
Teorema T 14 - Sejam A e B matrizes e k um escalar. Então, sempre que os produtos e somas
envolvidos estiverem definidos, valem:
(I)
(II) ;
(III) ;
(IV) .
Demonstração:
(I) Fazendo A + B = C = e = = ( , temos: = =
= + para todos i, j.
(II) Fazendo = ( , resulta que = para todos i, j.
(III) Fazendo = ( , resulta = k = para todos i, j.
(IV) Fazendo AB = C = e ( = = ( , resulta:
= .
EXEMPLOS
1. Se A = então e .
2. Se A = e B = , então A + B = = C. Pelo teorema T14,
temos que
= .
Façamos agora a soma da transposta da matriz A com a transposta da matriz B:
Se A = então . Por outro lado, se B =
então .
DIAGONAL E TRAÇO DE UMA MATRIZ
Seja A = uma matriz quadrada de ordem n. A diagonal ou diagonal principal de A
consiste nos elementos com índices iguais, ou seja, .
107
O traço da matriz A = , uma matriz quadrada de ordem n, denotado por tr(A), é a
soma dos elementos da diagonal principal da matriz A, ou seja:
tr(A) =
TEOREMA
Teorema T 15 - Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e k um escalar. Então valem
(I) tr(A + B) = tr(A) + tr(B);
(II) tr( ;
(III) tr(kA) = ktr(A);
(IV) tr(AB) = tr(BA).
MATRIZ ESCALAR
Dado qualquer escalar k, dizemos que a matriz kI, com k na diagonal principal e 0 em
todas as demais entradas, é a matriz escalar correspondente ao escalar k. Observe que
(kI)A = k(IA) = kA.
OBSERVAÇÃO
Multiplicar uma matriz A pela matriz escalar kI é equivalente a multiplicar A
pelo escalar k.
EXEMPLOS
As matrizes e são exemplos de matrizes escalares, sendo que a
primeira, como já visto anteriormente, é também chamada de matriz identidade.
OBSERVAÇÕES
1. É costume omitir blocos ou padrões de zeros quando não há dúvidas sobre
essas entradas como nas matrizes identidade e escalar;
2. A função delta de Kronecker é definida por
Assim, podemos escrever a matriz identidade como I = ( .
108
POTÊNCIAS DE MATRIZES
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, com e um corpo qualquer. As
potências de A são definidas como segue.
, , ..., , .... e
POLINÔMIOS DE MATRIZES
Considerando A como uma matriz quadrada de ordem n, com e K um corpo
qualquer. Definimos polinômios da matriz A da seguinte maneira :
Dado qualquer polinômio em que os
coeficientes ai são escalares de K, definimos a matriz f(A) como segue
EXEMPLO
Considere A = , então calcule A2 e f(A) com :
= = =
Considerando que , temos que
Assim,
=
MATRIZES INVERTÍVEIS (OU NÃO SINGULARES)
Uma matriz quadrada A é dita invertível se existir uma matriz B tal que AB = BA = I
onde I é a matriz identidade. A matriz B é única.
Uma matriz B em tal condição é dita a inversa de A e a nomenclatura é . Notemos
que se B é a inversa de A, então A é a inversa de B.
109
EXEMPLO
Suponha que A = e B = . Então AB = =
BA = =
INVERSA DA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 2
Seja A uma matriz qualquer de segunda ordem, por exemplo A =
Para calcular a inversa de A, A-1 devemos encontrar a matriz que satisfaça a seguinte
igualdade: AA-1= I. Em outras palavras, devemos determinar os escalares e , tais
que =
Ou seja,
=
Assim, considerando que a igualdade entre duas matrizes resultam em quatro equações,
conforme os dois sistemas a seguir:
e
Consideremos um escalar determinado da seguinte forma:
ad – bc
Supondo que , podemos resolver em x1, x2, y1 e y2 de maneira única, obtendo
, , ,
Decorre que:
Não esqueça: uma matriz quadrada a é dita invertível (ou invertível ou não
singular), se existir uma matriz B tal que AB = BA = I, onde I é a matriz
identidade. Uma tal matriz B é única, ou seja, se A e
, então .
110
=
Em outras palavras, se A é uma matriz quadrada de ordem 2, com , pode ser
calculada como segue.
(I) Trocamos de lugar os dois elementos da diagonal principal;
(II) Trocamos o sinal dos dois outros elementos (mantendo-os na mesma posição);
(III) Multiplicamos a matriz resultante pelo escalar 1/ ou dividimos cada elemento
por .
Se for igual a zero, a matriz não é invertível!
EXEMPLO
Encontre a inversa de A = e de B = .
Solução:
Primeiro vamos calcular = 2.5- 3.4 = -2 para verificar se A é invertível ou não. Como
, A é invertível.
Assim,
= .
Para a matriz B = vamos calcular = 2.4 -1.8 = 0. Então, não é possível calcular
a matriz , pois B não é invertível.
TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES QUADRADAS
Nesta seção, definiremos algumas matrizes quadradas especiais pelas propriedades que
apresentam.
Quer treinar mais? Acesse o link
<https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/inverting_matrices/e/matrix_inverse_2x2>.
111
MATRIZ DIAGONAL
A matriz nx n (ou seja, matriz quadrada), na qual o elemento , é
chamada de matriz diagonal, denotada, também, por diag( . Como exemplo,
considere a matriz quadrada 3x3 a seguir: ou diag(2, -3, 10).
Se a matriz diagonal tiver , esta matriz será
denominada de matriz identidade quadrada, como se pode ver no exemplo: I = .
MATRIZ TRIANGULAR
A matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal (principal) são nulos
(todo elemento do tipo é dito elemento da diagonal (principal) da matriz) é
chamada de matriz triangular superior ou apenas matriz triangular. Assim, m = n (tendo que m é
o número de linhas e n é o número de colunas da matriz), pois a matriz é quadrada e
, como são os exemplos a seguir:
EXEMPLOS
As matrizes A = e B = são matrizes triangulares superiores, se x,
y e z não forem todos nulos.
Para a ideia de matriz triangular inferior a situação é oposta. Nesse tipo de matriz
continuamos a ter m = n (tendo que m é o número de linhas e n é o número de colunas da
matriz), pois é uma matriz quadrada. Ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas,
mas, por definição, teremos que , conforme os exemplos, a seguir:
EXEMPLOS
A = é matriz triangular inferior e B = é uma matriz triangular inferior
se x, y e z não forem todos nulos.
Teorema T 16 - Sejam A = e B = matrizes triangulares (superiores). Então
I) A + B, kA e AB são triangulares com respectivas diagonais dadas por (
, (k , ( ;
II) Dado qualquer polinômio f(x), a matriz f(A) é triangular com diagonal
( ;
112
III) A é invertível se, e só se, cada elemento diagonal de A for não nulo, ou seja,
; além disso, se existir, a inversa também é triangular.
OBSERVAÇÃO
Uma coleção não vazia de matrizes é dita uma álgebra matricial se for fechada
em relação à operação de adição, multiplicação por escala e multiplicação entre
matrizes. O mesmo se observa para a coleção de matrizes quadradas de alguma
ordem fixada para a coleção das matrizes escalares das diagonais, das
triangulares superiores e das triangulares inferiores.
MATRIZES SIMÉTRICAS
Seja A uma matriz quadrada real, dizemos que a matriz A é simétrica se AT = A. O que
equivale dizer que A = é simétrica se seus elementos simétricos em relação à diagonal
principal forem iguais, ou seja, se , para cada ij.
Em outras palavras, se os elementos da matriz quadrada real A obedecem à igualdade
, esta matriz A é denominada simétrica.
Exemplo: .
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA
Uma matriz A é dita antissimétrica se AT = A ou, de maneira análoga, se ,
para cada ij. Claramente, os elementos diagonais de uma tal matriz devem ser todos nulos, pois
implica .
OBSERVAÇÃO
Se AT = A ou AT = -A, então A é necessariamente uma matriz quadrada.
EXEMPLO
Sejam A = , B = e C = .
113
(I) Os elementos simétricos (em relação à diagonal principal) da matriz A são iguais,
ou AT = A. Assim, A é simétrica.
(II) Os elementos diagonais de B são 0 e os elementos simétricos têm sinal oposto, ou
BT = B. Assim, B é antissimétrica.
(III) Como C não é quadrada, não pode ser simétrica nem antissimétrica.
MATRIZES ORTOGONAIS
Uma matriz real A é ortogonal se AT = A-1, ou seja, se A AT = ATA = I. Decorre então que
toda matriz ortogonal é quadrada e invertível.
EXEMPLO
A matriz A = é ortogonal, pois
A = = = I
e, portanto, A-1 = =
Teorema T 17
(a) A transposta de uma matriz ortogonal é ortogonal;
(b) A inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal;
(c) O produto de matrizes ortogonais é ortogonal;
(d) Se A é ortogonal, então det(A) = 1 ou det(A) = 1.
Demonstração:
(a) Se A é ortogonal, então A = I. Podemos reescrever isso como = I, que
implica que ( )-1 = . Assim, é ortogonal.
Quer treinar mais? Acesse o link
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/alg2-matrices/basic-matrix-
operations-alg2/v/transpose-of-a-matrix>, acompanhe as explicações e
explore as possibilidades que o site oferece!
114
(b) Se A é ortogonal, então A-1 = . Tomando a transposta das matrizes de ambos os
lados dessa equação, obtemos que
= = A = (A-1)-1 que implica que A-1 é ortogonal.
(c) Sejam A e B duas matrizes ortogonais. Isto implica que A-1 = e B-1 = . Tomando
a inversa da matriz produto das matrizes A e B, temos:
(AB)-1 = B-1A-1 = = . Assim AB é ortogonal.
(d) Considere que A é ortogonal, então A=I. Tomando o determinante das matrizes
em ambos os lados da igualdade e usando propriedades de determinantes, obtemos o
resultado desejado.
OBSERVAÇÃO
Se E1 é a matriz elementar cuja operação consiste em multiplicar uma
determinada linha por k, a matriz inversa de E1 será a matriz elementar E2 que
corresponde à operação de multiplicar a mesma linha por 1/k.
Vamos exercitar um pouco o que já desenvolvemos até aqui?
ATIVIDADES PROPOSTAS III
1. Se a , determine os valores de a, b e c.
2. Dadas as matrizes A= , B
= e C = e os
escalares a = 5 e b = 6, determine
a. A + (B + C);
b. aA – bB;
c. (a + b)A;
d. (A + B) + C;
e. a(B + C);
f. c(A - B + C).
3. Considere a figura ao lado e construa a
matriz associada ao desenho, na qual aij =
2 se os pontos i e j estiverem ligados ou se
i = j, e aij = 1 se os pontos i e j não
estiverem ligados.
(SMOLE & DINIZ, 2013, p.297 – 298).
4. O diagrama abaixo representa um mapa
rodoviário mostrando as estradas que
ligam as cidades 1, 2, 3 e 4.
1
3
2
4
115
A matriz A = (aij)4x4 associada a esse mapa é definida da seguinte forma:
Sabendo que i e j referem-se às cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2, 3, 4},
construa a matriz A. (Questão disponível em
<https://pt.scribd.com/doc/74651305/matriz1>).
5. (PUC - DF) Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminar insetos daninhos.
No entanto, parte dos pesticidas é absorvida pela planta. Os pesticidas são absorvidos
por herbívoros quando estes comem as plantas que foram pulverizadas. As matrizes
abaixo A e B são tais que A relaciona 4 plantas (P1, P2, P3, P4) e três pesticidas (pest1,
pest2, pest3) e cada elemento aij indica a quantidade em miligramas de cada pesticida
absorvido por planta; B relaciona 3 herbívoros (H1, H2, H3) e as 4 plantas e cada
elemento bij indica a quantidade de planta comida por herbívoro.
e
Quantos miligramas do pesticida 2 foram absorvidos pelo herbívoro 3?
6. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo
e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela
matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial.
Respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo
sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo
de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
7. Marque V ou F cada afirmativa a seguir20:
a. (-A)(-B) = -(AB) ( );
b. Se A.B = 0, então B.A = 0 ( );
c. Se (-A)’ = -(A’) ( );
d. Se podemos efetuar o produto A.A, então A é uma matriz quadrada.
8. As tabelas mostram as unidades vendidas por uma loja de roupas durante,
respectivamente, os meses de maio e junho. Seja M a matriz 4x3 de vendas de maio e
J a matriz 4x3 de vendas de junho21.
Matriz M Vendas de maio
Pequeno Médio Grande
Camisas 45 60 75
20 Questão baseada no exercício 6 disponível em Boldrini et al, 1980, p.12. 21 Questão baseada no exercício 34 disponível em Anton & Busby, 2008, p.110.
116
Calças 30 30 40
Paletós 12 65 45
Capas 15 40 35
Matriz J Vendas de maio
Pequeno Médio Grande
Camisas 30 33 40
Calças 21 23 25
Paletós 9 12 11
Capas 8 10 9
9. Utilize as tabelas a seguir para responder as questões:
e. O que representa a matriz M + J?
a. O que representa M – J?
b. Apresente uma matriz-coluna X para a qual MX fornece uma lista do
número de camisas, calças, paletós e capas vendidas em maio.
c. Apresente uma matriz-linha Y para a qual YM fornece uma lista do número
de itens pequenos, médios e grandes vendidos em maio.
10. Calcule x na matriz A = , considerando que A’ = A22.
11. Dadas as matrizes A = e B = , encontre
a. A + B;
b. 2A;
c. A – B.
12. Encontre x, y, z, t tais que 3 = .
13. Denotando uma matriz de tamanho mxn por (m x n), calcule o tamanho dos produtos
matriciais que estiverem definidos:
a. (2 x 3)(3 x 4);
b. (4 x 1)(1 x 2);
c. (1 x 2)(3 x 1);
d. (5 x 2)(2 x 3).
14. Encontre a transposta de cada matriz:
e. A = ;
f. B = ;
g. C =
15. Sejam A = , f(x) = e g(x) = . Encontre
a. ;
b. ;
c. ;
d. .
16. Encontre, caso exista, a inversa de cada matriz dada :
a. A = ;
b. B = ;
c. C =
22 Questão baseada no exercício 2, disponível em Boldrini et al, 1980, p.12.
117
DETERMINANTES: INTRODUÇÃO23
Um determinante é um número que é atribuído a um reticulado quadrado de números, de
uma determinada forma. Essa ideia já tinha sido considerada em 1683 pelo matemático japonês
Seki Takakazu e, de forma independente, em 1693 pelo matemático alemão Gottfried Leibniz
(um dos inventores do cálculo), cerca de 160 anos antes que uma teoria de matrizes fosse
desenvolvida.
Durante os 120 anos seguintes, os determinantes foram estudados, principalmente, no que
diz respeito a sistemas lineares de equações como
Depois, em 1812, Augustin-Louis Cauchy publicou um trabalho no qual usava
determinantes para obter fórmulas para volume de certos sólidos poliédricos. Ele mostrou que o
volume do sólido pode ser calculado como o módulo do determinante associado ao sistema
gerado pelas coordenadas dos vértices do sólido. Esse interesse fez com que se intensificasse a
utilização de determinantes em diversas aplicações.
Na época de Cauchy, os determinantes desempenharam um papel fundamental para a
geometria analítica e em muitas outras áreas da matemática e depois decaiu tendo em vista a
complexidade das matrizes de grande escala. Na atualidade, as fórmulas com determinantes
fornecem informações importantes sobre matrizes, e um conhecimento de determinantes é útil
em algumas aplicações da álgebra linear.
Nossos objetivos nesta seção são:
I) Provar um critério de inversibilidade para uma matriz quadrada A que envolva os
elementos de A em vez de suas colunas.
II) Obter fórmula para A-1.
UM POUCO DE HISTÓRIA24...
Talvez Carl Friedrich Gauss tenha sido o último gênio a dominar toda a Matemática.
Durante sua vida (1777-1855), estima-se que a Matemática cresceu mais do que em todos os
séculos anteriores. (...) Em suas inovações, na Análise e na Geometria, estabeleceu as bases para
a relatividade e a teoria atômica do século XX. Por suas pesquisas em eletricidade, é
homenageado pela palavra gauss, unidade de magnetismo e também do termo naval
desgaussificação, que significa anular o magnetismo do navio como medida de proteção contra
23 Texto adaptado de LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. Editora LTC, 2007. p. 166 – 167. 24 Disponível construído a partir de ANTON, Howard & BUSBY, Robert C. Álgebra linear
contemporânea. São Paulo: Editora Bookman, 2006. p. 73; SMOLE, Kátia Stocco & DINIZ, Maria
Ignez. Matemática: ensino médio. Vol. 2, 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013, p. 312;
<http://seguindopassoshistoria.blogspot.com.br/2014/12/gauss-o-principe-dos-matematicos.html>.
118
minas e torpedos magnéticos. Mais do que isso, ele e seu companheiro Whilhelm Weber
inventaram e construíram um telégrafo exequível usando-o como sistema de intercomunicação
em 1833 – cerca de dois anos antes de Samuel F. B. Morse.
Por sua própria conta, Gauss adquiriu certos rudimentos de Aritmética antes de aprender
a falar. Aos dez anos, quando mandaram sua classe somar todos os números de 1 a 100,
escreveu rapidamente 5050 em sua lousa e deixou-a sobre a carteira, com a orgulhosa
declaração: “Está ali”. Quando os outros estudantes entregaram suas lousas, após considerável
tempo e trabalho, ninguém, exceto Gauss, tinha a resposta certa. Presumivelmente, ele percebeu
que cada par de números – 1 e 100, 2 e 99, 3 e 98, 4 e 97 e assim por diante até 50 e 51 – se
somam para fazer 101 e portanto o total dos 50 pares deveria ser 50 101.
Em seus 78 anos de vida, Gaus desenvolveu estudos com aplicações em diversas áreas.
Foi um estudioso notável da Matemática, tendo sido alcunhado “O Príncipe da Matemática”.
Gauss foi o responsável por cunhar o termo "teorema fundamental da álgebra", além do
termo "números complexos" e várias outras terminologias matemáticas. Sua tese foi ímpar,
sendo apenas superada por seu livro, lançado dois anos depois.
Com essa tese, Gauss encerrava sua fase na universidade como estudante e iniciava a fase
de professor e pesquisador. Alguns historiadores da matemática assinalam que os anos de 1796
a 1806 são sua fase áurea nos estudos matemáticos, pois, após tal época, ele passaria a se
dedicar a assuntos da física, astronomia e geodésia para posteriormente retornar a matemática.
Uma versão da eliminação gaussiana apareceu pela primeira vez em torno de 200 a. C.,
no livro chinês Nove Capítulos de Arte Matemática. Contudo, o poder do método não foi
reconhecido até que o grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss utilizou-o para calcular a
órbita do asteroide Ceres a partir de pouquíssima informação. O que aconteceu foi o seguinte:
no dia 1º de janeiro de 1801, o astrônomo siciliano Giuseppe Piazzi (1746 – 1826) observou um
objeto celeste mal visível que poderia ser o planeta “que faltava.” Ele deu o nome de Ceres
àquele objeto indistinto e fez um número limitado de anotações de sua posição, mas logo o
perdeu de vista quando ele se aproximou do Sol. Gauss tomou a si o problema de calcular a
órbita de Ceres a partir dos limitados dados disponíveis usando mínimos quadrados e o
procedimento que hoje denominamos eliminação gaussiana. O trabalho de Gauss causou uma
sensação quando Ceres reapareceu um ano mais tarde na constelação de Virgem, quase
exatamente na posição prevista por Gauss. Mais tarde, um método foi popularizado pelo
engenheiro alemão Wilhelm Jordan em seu livro de Geodesia (a ciência da medição das formas
e dimensões da Terra) intitulado Handbuch der Vermessungskunde, publicado em 1888.
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss>.
Wilhelm Jordan (1842 – 1899)
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordan>.
119
DETERMINANTES - DEFINIÇÃO
A cada matriz quadrada A = de ordem n está associado um escalar, denominado
determinante de A e denotado por det(A), ou ou
(I)
OBSERVAÇÃO
Uma tabela de escalares emoldurada por segmentos de reta (como no
item (I) anterior, denominada determinante de ordem n, não é uma matriz e
somente denota o determinante da tabela de escalares.
DETERMINANTES DE ORDEM 1 E 2
Os determinantes de ordens 1 e 2 são definidos como segue, respectivamente,
e =
EXEMPLOS
Calcule os determinantes a seguir:
(a) = 5(6) – 3(4) = 30 – 12 = 18.
(b) = 6(2) – 5(-1) = 12 + 5 = 17.
Acesse o link <https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/inverting_matrices/v/finding-the-determinant-of-a-2x2-matrix>,
acompanhe as explicações e explore as possibilidades que o site oferece!
120
DETERMINANTES DE ORDEM 3
Considere uma matriz qualquer A = ( de ordem 3. O determinante de A é definido
como segue.
det(A) = =
Em decorrência podemos tomar det(A) =
Ou seja, det(A) = - + .
Resumidamente,
detA = det - det + det onde , e são obtidas da matriz A
ao eliminar-se a primeira linha e uma das três colunas, 1, 2 e 3, respectivamente.
DEFINIÇÃO
Para n 2, o determinante de uma matriz n x n, A = , é a soma de n termos da forma
det , com os sinais de mais e menos se alternando, onde os elementos , , , ...,
são da primeira linha de A. Em símbolos,
det A = det - det + det - det = det (I)
OBSERVAÇÃO
EXEMPLOS
Calcule o determinante de A = e de B = .
detA = 1.[4(0) – (-2)(-1)] – 5[2(0) – 0(-1)] + 0[2(-2) – 0(4)] = -2 – 0 – 0 = -2
detB = 2[5(4) – (-3)(-2)] – 1[0(4) – 1(-2)] + 1[0(-3) – 1(5)] = 28 – 2 – 5 = 21
Na definição de determinante acima, as entradas cujos índices i e j somados
resultam em um número par, acompanham um sinal de adição e as entradas, cuja
soma dos índices é ímpar, são precedidas de um sinal de subtração.
121
MENOR COMPLEMENTAR E COMPLEMENTO ALGÉBRICO
COFATOR – DEFINIÇÃO
Na definição de determinante de uma matriz de ordem n foi usada a expressão (I) a qual
repetimos a seguir:
detA = det det + det +…+ det
Chamaremos de cofator (i,j) de A ao número Cij dado por Cij = (-1)i+jdetAij. Assim, a
expressão passa a ser escrita como segue:
detA = + + + ... +
Essa fórmula é chamada de expansão do cofator com respeito à primeira linha de A.
detAij é denominado menor do elemento de A.
OBSERVAÇÕES
Os sinais que acompanham os menores formam um padrão de
tabuleiro de xadrez com o sinal da soma na diagonal.
Aij é uma matriz e Cij é um escalar.
Na fórmula (I) anterior, o determinante foi calculado pela i-ésima linha,
podendo ser desenvolvido, também, pela j-ésima coluna!
TEOREMA FUNDAMENTAL OU EXPANSÃO DE LAPLACE
As fórmulas dadas no teorema T 18, a seguir, são denominadas expansões de Laplace do
determinante de A pela i-ésima linha e j-ésima coluna.
Teorema T 18 – O determinante de uma matriz A, , pode ser calculado pela expansão do
cofator com respeito a qualquer linha ou coluna. A expansão com respeito à i-ésima
linha, usando os cofatores Cij = (-1)i+jdetAij, é dada por detA = + + +
... +
Que tal desenvolver o cálculo de determinantes considerando a j-ésima coluna
de maneira análoga ao que foi apresentado na expressão (I), para cálculo de
determinantes?
Vamos lá... Faça tudo com energia! Coragem e mãos à obra!!!
122
A expansão do cofator com respeito à j-ésima coluna é dada por
detA = + + + ... + e a expansão do cofator com respeito à i-
ésima linha é dada por detA = + + + ... + .
Como , basta provar uma dessas expansões. No caso, escolhemos a
segunda, que está escrita em termos das linhas da matriz A.
É fácil observar que cada parcela no cálculo de detA contém apenas uma única entrada
correspondente à i-ésima linha, quer seja: ( ) de A. Assim, vamos escrever detA
da seguinte forma:
detA = + + + ... + .
Nosso trabalho estará bem concluído se conseguirmos provar que = = (-1)i+jdetAij
onde é a matriz que se obtém quando são retiradas, ao mesmo tempo, a i-ésima linha e a j-
ésima coluna. Ou seja, é a matriz obtida pela supressão da linha e da coluna que contêm a
entrada .
Considere o caso em que i = n e j = n. Decorre que a soma das parcelas de detA contendo
é:
= (-1)n+ndetAnn = detAnn =
EXEMPLO
Use uma expansão em cofatores para encontrar o determinante de A = .
Solução:
Utilizaremos a terceira coluna porque ela contém três zeros que facilitarão o cálculo dos
cofatores correspondentes. Assim, expandindo ao longo da terceira coluna obtemos
detA = (0) + (4) +(0) = (4) , o que reduz bastante o trabalho
final. Assim, como = (-1)2+3detA23 segue que:
detA = (- 4) = (-4)(-6) = (-4)(-6)[(2)(3) – (5)(3)] = - 216
Os cálculos acima foram feitos pela expansão em cofatores ao longo da segunda coluna.
123
CÁLCULO DE DETERMINANTES PELA REDUÇÃO DE ORDEM
DE UM DETERMINANTE
É dada uma matriz não nula A = quadrada de ordem n, com n > 1.
1º passo – Escolha um elemento = 1 ou, na falta desse, ;
2º passo – Usando como pivô, use operações elementares com as linhas (colunas) para
colocar zeros em todas as outras posições da coluna (linha) contendo ;
3º passo – Expanda o determinante pela coluna (linha) contendo .
OBSERVAÇÕES
O algoritmo acima é usado para calcular determinantes de ordem maior ou
igual a 4. Para determinantes de ordem 1, 2 e 3 usamos as fórmulas específicas
para o determinante.
A eliminação gaussiana ou, equivalentemente, o uso repetido do algoritmo
acima, junto com trocas de linhas, pode ser usado para transformar uma matriz
A numa matriz triangular superior cujo determinante é o produto de suas
entradas diagonais. Contudo, devemos manter um registro do número de
trocas de linhas, tendo em vista que cada troca de linha troca o sinal do
determinante.
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Teorema T 19 – O determinante de uma matriz A coincide com o de sua transposta , ou seja,
.
Teorema T 20 – Seja A uma matriz quadrada
(a) Se A tem uma linha (coluna) de zeros, então = 0;
(b) Se A tem duas linhas (colunas) idênticas, então = 0;
(c) Se A é triangular, isto é, se A possui zeros acima ou abaixo da diagonal, então
é igual ao produto dos elementos diagonais. Assim, em particular = 1, sendo I
a matriz identidade.
Teorema T 21 - Seja A uma matriz quadrada. Vale que:
(a) Se duas linhas (colunas) de A foram trocadas entre si formando B, então detB =
- det A;
A demonstração deste teorema envolve conceitos que não foram trabalhados
com os estudantes. Para os que quiserem ampliar os conhecimentos sugiro que
consultem LIPSCHUTZ, Seymour & LIPSON, Marc. Álgebra Linear, 4ª ed.
Porto Alegre: Bookman, 2011, p. 291, exercício 8.24.
124
(b) Se uma linha (coluna) de A for multiplicada por k formando B, então detB =
kdetA;
(c) Se um múltiplo de uma linha (coluna) de A for somada à outra linha formando
uma matriz B, então detB = detA.
Demonstração25:
(a) Fazendo a prova no caso em que foram trocadas duas colunas. Seja a transposição
que troca os dois índices correspondentes às duas colunas de A que foram trocadas.
Se A = e B = , então . Logo, dada qualquer permutação ,
=
Como a transposição é uma permutação ímpar, sgn ( = (sgn (sgn = - sgn
. Assim, decorre que sgn = - sgn ( , e portanto,
= - .
Contudo, quando percorre todos os elementos de , também percorre todos os
elementos de .
Nossa conclusão é que = -
(b) Se a j-ésima linha de A for multiplicada por k, então cada parcela de será
multiplicada por k, portanto, . Ou seja,
= = k = k
(c) Suponha que à j-ésima linha de A somamos c vezes a k-ésima linha de A. Usando o
símbolo ^ para denotar a j-ésima posição numa parcela do determinante, temos
= =
= c +
A primeira parte da primeira soma é o determinante de uma matriz cujas k-ésima e j-
ésima linhas são iguais. Assim, já sabemos que essa soma é nula. A segunda soma é o
determinante de A.
Assim, = c.0 + = .
EXEMPLO
Use o algoritmo da redução de ordem para calcular o determinante de
A = .
Usamos como pivô o elemento e colocamos zeros nas outras posições da terceira
coluna, ou seja, aplicamos as operações elementares com as linhas «substituir R1 por -2R2 +
R1», «substituir R3 por 3R2 + R3» e «substituir R4 por R2 + R4». Pelo teorema T22 (c), o valor do
determinante de A não se alterará. Desta forma,
= = .
25 Baseada em LIPSCHUTZ, Seymour & LIPSON, Marc. Álgebra Linear, 4ª ed. Porto Alegre: Bookman,
2011, p. 291, exercícios 8.23 e 8.25.
125
Daqui em diante, vamos expandir a terceira coluna. Em outras palavras, vamos suprimir
todos os termos iguais a zero e usamos o fato de que o sinal do menor = = .
Assim,
= = = (4 – 18 + 5 – 30 – 3 +4) = ( 38) = 38
Vamos exercitar um pouco o que já desenvolvemos até aqui?
ATIVIDADES PROPOSTAS IV
1. Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes
I. A = ;
II. B = ;
III. C = ;
IV. D = ;
V. E =
2. Cada equação, nos Exercícios a, b, c e d, ilustra uma propriedade dos determinantes.
Identifique e enuncie a propriedade26.
I.
26 Questão baseada em LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações, 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC,
2007, p. 179.
Que tal acessar os links a seguir e treinar um pouco mais o cálculo do
determinante de matrizes do tipo 3x3?
<https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/inverting_matrices/v/finding-the-determinant-of-a-3x3-matrix-
method-1 e https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/inverting_matrices/v/finding-the-determinant-of-a-3x3-matrix-
method-2>.
Sucesso e bons estudos!
126
II.
III.
IV.
Nos exercícios 3 a 6, encontre todos os valores de para os quais det(A) = 027.
3.
4.
5.
6.
Nos exercícios 7 e 8, determine28:
I. Todos os menores de A;
II. Todos os co-fatores de A.
7.
8.
Calcule os determinantes dos exercícios 9 a 14, dado que .29
9.
10.
11.
12.
27 Questões disponíveis em LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações, 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC,
2007, p. 194. 28 Questões disponíveis em LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações, 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC,
2007, p. 194. 29 Questões disponíveis em LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações, 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC,
2007, p. 179.
127
13.
14.
15.
16. Sejam A e B matrizes do tipo n x n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras
ou falsas30.
I. det (AB) = det (BA)
II. det ( ) = det A
III. det (2A) = 2 det A
IV. det ( ) =
17. Considerando as afirmativas a seguir:
I. O determinante de uma matriz A2x2 é o produto dos elementos da diagonal
principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária de A.
II. Se uma matriz 3 x 3 possuir duas linhas iguais, seu determinante será nulo.
III. A matriz tem determinante não nulo.
Pode-se afirmar que:
a. Apenas I e II são verdadeiras;
b. Apenas I e III são verdadeiras;
c. Apenas II e III são verdadeiras;
d. Todas as afirmativas são verdadeiras;
e. Todas as afirmativas são falsas.
18. Seja A = .31
a. Ache um valor de m tal que det A = 0, qualquer que seja n.
b. Este valor de m é o único com essa propriedade?
30 Questão disponível em BOLDRINI et al, Álgebra Linear, 3ª ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil,
1980, p. 90. 31 Questão disponível em SMOLE, Kátia Stocco & DINIZ, Maria Ignez. Matemática: Ensino Médio. São
Paulo: Saraiva, 2013, p. 318.
128
SISTEMAS LINEARES
Na Álgebra Linear, muitos são os problemas resolvidos por sistemas de equações
lineares. Resolver esses sistemas significa encontrar os valores das variáveis que compõem o
sistema. Para determinar o valor das variáveis de um sistema linear utilizaremos técnicas e
algumas definições apresentadas nesta seção.
UM POUCO DE HISTÓRIA...32
Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares.
No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por
diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes
escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo
o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de
operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a
arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C.
Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a ideia de determinante
(como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o
maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas
lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).
O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz,
ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de
compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante
de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve
ser nulo). Para tanto, criou até uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por
exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12.
A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por
meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746),
datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise
of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de
maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), mas depois,
na sua Introdução à análise das curvas planas (1750), em conexão com o problema de
determinar os coeficientes da cônica geral A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2= 0.
O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu
tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um
determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771,
empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos
sistemas lineares — embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante
32 Texto: “Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes.” Disponível em
<http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas.php>. Acesso em 29 set. 2015.
129
teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através dos menores de r filas
escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte pelo
próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: "Pesquisas
sobre o cálculo integral e o sistema do mundo".
O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy
sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e
simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual
com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur
Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes — meses antes
J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a de Cauchy era
superior.
Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o
alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". Deve-se a ele
a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era
um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante
conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua
obra, é uma homenagem das mais justas.
EQUAÇÃO LINEAR
Definimos uma equação linear nas n variáveis (incógnitas) como uma
equação na forma padrão
(I)
em que e b são constantes não todas nulas.
OBSERVAÇÕES
1) é o coeficiente de e b é o termo constante da equação.
2) No caso em que b = 0, a equação (I) passa a ser
e é denominada uma equação linear
homogênea.
3) Na equação (I), estamos supondo que há uma ordenação entre as incógnitas.
Para índices até 4 evitamos usá-los, sendo que no caso em que n = 2,
usamos x e y; no caso em que n = 3, usamos x, y, z e para n = 4, usamos x, y,
z, t, sempre nesta ordem.
4) Uma equação linear não envolve produto ou raízes de incógnitas (variáveis).
Todas as incógnitas são na primeira potência e não ocorrem como
argumentos, por exemplo, de funções exponenciais, logarítmicas etc.
EXEMPLOS
1) São equações lineares:
a. 7x + 4y = 5
b. x – 4y + 2z – t = 0
130
c.
d. 7 – 9 – 4 = e – = são exemplos de equações lineares, pois
podem ser escritas na forma da equação (I):
8 – 9 = 4 e – - = 0
2) Não são equações lineares:
a. x – 6y3 = -5
b. – 2y + 4z + t = -1
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO LINEAR
Denomina-se solução de uma equação linear como visto em (I) à lista de valores para as
incógnitas de tal forma que seja verdadeira a seguinte afirmação
Assim, dizemos que a lista u = ( satisfaz a equação (I).
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES OU SISTEMAS LINEARES
Uma coleção finita de equações lineares é denominada um sistema de equações lineares,
ou mais simplesmente, um sistema linear.
EXEMPLO
Este é um exemplo de sistema linear de duas equações a três incógnitas .
De uma forma geral, um sistema linear geral de m equações e n incógnitas
pode ser escrito como
(II)
OBSERVAÇÃO
O sistema linear pode ser escrito na forma matricial, como a seguir:
= (III)
131
EXEMPLOS
1)
É um sistema do tipo , pois apresenta duas equações com duas incógnitas.
2)
É um sistema do tipo 3 , pois apresenta três equações e quatro incógnitas.
ou são duas formas de apresentar o mesmo
sistema linear. Ambos são um sistema do tipo , por apresentarem duas equações com três
incógnitas.
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR.
Dizemos que a sequência ou lista ou n-upla ordenada de reais ( ) é
solução de um sistema linear, se for solução de todas as equações do sistema.
Ou seja, de qualquer maneira, ou o sistema linear na forma (II) ou na forma (III) a
solução tem que satisfazer:
Que tal acessar os links a seguir e treinar um pouco mais o cálculo do
sistemas lineares, resolvendo problemas?
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-
systems/core-algebra-systems-word-problems/v/using-a-system-of-
equations-to-find-the-price-of-apples-and-oranges e
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-systems/core-
algebra-systems-word-problems/v/algebraic-word-problem>.
Sucesso e bons estudos!
132
CONJUNTO SOLUÇÃO
O conjunto de todas as soluções ( ) de um sistema linear é denominado
conjunto solução ou solução geral do sistema.
EXEMPLO
Considere o sistema de equações lineares a seguir:
Este é um exemplo de sistema do tipo .
a) u = (-8, 6, 1, 1) é uma solução do sistema, pois é uma solução de cada equação.
Fazendo a substituição das coordenadas de u e fazendo os cálculos necessários, temos
que:
-8 + 6 + 4(1) + 3(1) = 5
2(-8) +3(6) + 1 – 2(1) = 1
-8 + 2(6) – 5(1) + 4(1) = 3
O que corresponde aos valores à direta de cada equação no sistema.
b) v = (-10, 5, 1, 2) não é uma solução do sistema, pois não é solução de pelo menos
uma das equações. Vejamos que na segunda equação temos que:
2(-10) + 3(5) + 1 – 2(2) = -8 1, resultado que se espera no exemplo.
Assim, um sistema pode ou não ter solução. Se tiver solução (uma ou várias) é
considerado consistente. Caso contrário, ou seja, se não tiver solução, é considerado
inconsistente.
Teorema T 22 – Seja K um corpo infinito. Então qualquer sistema de equações lineares tem:
(I) Uma única solução;
(II) Nenhuma solução; ou,
(III) Uma infinidade de soluções.
O esquema mostrado na figura 32, a seguir, explicita bem o que o teorema T 22 trata.
133
Figura 32: Tipos de sistemas de equações lineares versus existência/quantidade de solução
OBSERVAÇÕES
1. Um sistema linear homogêneo admite sempre como solução a lista (ou
vetor ou sequência) ( ) em que = 0, para todo
, tal como são (0, 0, 0) e (0, 0, 0, 0), respectivamente,
para os sistemas
e
2. O sistema linear compatível ou consistente também pode ser chamado
de sistema linear possível. Enquanto o sistema linear incompatível ou
inconsistente pode também ser chamado de sistema linear impossível.
MATRIZ DE COEFICIENTES E MATRIZ AUMENTADA DE UM
SISTEMA
No sistema de m equações e n incógnitas, como os apresentados em (II) e (III) acima, temos que
e
são, respectivamente, a matriz de coeficientes do sistema e a matriz aumentada (ou ampliada) do sistema.
134
OBSERVAÇÕES
1. A matriz de coeficientes é formada pelos coeficientes do sistema. É
também chamada de matriz incompleta;
2. A matriz aumentada é a matriz dos coeficientes acrescida de uma
coluna com os respectivos termos constantes. É também chamada de
matriz completa;
3. Um sistema de equações lineares fica determinado por sua matriz
aumentada e vice-versa;
4. Cada linha da matriz aumentada corresponde a uma equação do
sistema e cada coluna corresponde aos coeficientes de uma incógnita,
com exceção da última coluna a qual é composta pelos termos
constantes do sistema.
MATRIZES AUMENTADAS E OPERAÇÕES ELEMENTARES
SOBRE LINHAS
Considere o sistema e a equação linear L obtida
pela multiplicação das m equações do sistema, pelas constantes , respectivamente, e
somando, em seguida, as equações resultantes. Ou seja, a equação linear
é
uma combinação linear das equações do sistema associado.
EXEMPLO
Sejam , e , respectivamente, as três equações do seguinte sistema
.
Seja L = . Em outras palavras, teremos:
Assim, L = é uma combinação linear de , e .
Melhore seu entendimento sobre o escalonamento de matrizes acessando os
links <https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/reduced_row_echelon/v/matrices-reduced-row-echelon-form-1,
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/reduced_row_echelon/v/matrices-reduced-row-echelon-form-2> e
<https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/reduced_row_echelon/v/matrices-reduced-row-echelon-form-3>.
Sucesso e bons estudos!
135
Teorema T 23: Dois sistemas de equações lineares têm as mesmas soluções se, e só se, cada equação
de cada sistema é uma combinação linear de equações do outro sistema.
OBSERVAÇÃO
Dois sistemas de equações lineares são ditos equivalentes se possuírem as
mesmas soluções.
MATRIZES ELEMENTARES
Uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da identidade, através da aplicação de
uma operação elementar com linhas.
Teorema T 24 – Se A é uma matriz, o resultado da aplicação de uma operação com as linhas de A é
o mesmo resultado da multiplicação da matriz elementar E corresponde à operação com
linhas pela matriz A.
Corolário – Uma matriz elementar E1 é invertível se sua inversa é a matriz elementar E2,
que corresponde à operação com linhas inversa da operação efetuada por E1.
TEOREMA DE CRAMER
Seja A, a matriz de coeficientes de um sistema linear em que o número de equações é
igual ao número de incógnitas. Ou seja, A é uma matriz quadrada.
Teorema T 25 – Seja um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas, com A, a
matriz de coeficientes. Se o determinante D = é diferente de zero, então o sistema
será possível e terá solução única ( ), tal que: para todo
, onde = detAi.
Demonstração:
Considere o sistema: (IV) e as matrizes
A = , X = e C = . Assim, o sistema (IV) pode ser
escrito na forma matricial A. X = C. Provemos que esta equação admite uma única solução.
Primeiro provemos que existe uma tal matriz X. Iniciemos pela hipótese de que D 0, ou
seja, o determinante de A é não nulo, logo A é uma matriz invertível. Consideremos X0 = A-1. C
e provemos que esta é a única solução da equação matricial A. X = C.
Se utilizarmos resultados do estudo de matrizes poderemos escrever o produto A(A-1. C)
= (AA-1). C = In . C = C.
136
Agora vamos provar que X0 = A-1. C é solução única. Para tanto, admitamos que AX = C
tenha outra solução X1, isto é AX1 = C.
Então, sendo X1 uma matriz do tipo , podemos escrever que X1 = In X1 = (AA-1). X1
= (A-1A). X1 = A-1 (AX1) = A-1.C = X0.
Conclusão: X0 é a única solução de AX = C.
Por outro lado, A-1 pode ser calculada pela fórmula
A-1 = = em que é o cofator do elemento da
matriz A.
EXEMPLOS
1. Seja o sistema . Temos que D = = -4 0 => que
o sistema tem uma única solução. Para determinar a solução façamos uso da regra de
Cramer acima (Teorema T2).
= - 4, = - 12 e = -8.
Faremos, assim, o cálculo de , e
= = 1; e
Conclusão:
(1, 3, 2) é a única solução do sistema.
2. Use a Regra de Cramer para resolver o sistema33
Solução: Verifique que D = que o sistema tem uma única solução.
Seguindo a regra de Cramer, temos que:
e .
Procedendo ao cálculo de
33 Questão baseada em exemplo 1 de LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações, 2ª ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2007, p. 182.
137
Resposta: (20, 27) é a solução do sistema.
OBSERVAÇÕES
1. A regra de Cramer é um dispositivo bem interessante quando o sistema tem
um número reduzido de equações e variáveis. No entanto, quando o número
de equações é elevado e consequentemente um número elevado de incógnitas
se torna inconveniente, pois exigiria um número muito elevado de operações.
2. Ao proceder ao cálculo do determinante de uma matriz do tipo
calculamos n! produtos de n fatores, e depois temos que somá-los. Ou seja,
para resolver um sistema utilizando o Teorema de Cramer temos que
calcular n + 1 determinantes de ordem n, fazendo com que o número total de
operações seja (n + 1)(n!n + 1), o qual é maior que n2n!.
Iremos aplicar este novo dispositivo usando a ideia de sistemas equivalentes.
SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO
Todo sistema linear que tem uma única solução é denominado sistema possível e
determinado.
SISTEMAS EQUIVALENTES
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de
qualquer um dos sistemas também é solução do outro.
A seguir veremos como obter sistemas equivalentes de equações lineares. Faremos isso
por meio das operações elementares. Vejamos!
OPERAÇÕES ELEMENTARES34
Para descrever as operações elementares possíveis sobre as linhas de uma matriz
utilizaremos a apresentação a seguir.
São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz.
I) Permuta da i-ésima e j-ésima linhas. ( ;
II) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k. ( ;
III) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha.
( .
34 Apresentação disponível em BOLDRINI et al. Álgebra Linear, p. 35-36, 1980, 3ª ed. São Paulo: Harbra
Ltda.
138
EXEMPLO
Considerando a matriz A = , façamos as operações elementares I), II) e III),
acima. Assim,
. Nesta etapa trocamos a segunda linha pela terceira, e vice-versa. Ou
seja, .
. Nesta etapa multiplicamos a segunda linha por – 3. Ou seja, fizemos
.
. Nesta etapa substituímos a terceira linha pela soma entre a terceira
linha e o dobro da segunda linha. Em outras palavras, .+ 2 .
OBSERVAÇÃO
Se A e B são matrizes do tipo , dizemos que é linha equivalente a A, se B
for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as
linhas de A. Desta maneira, A B ou A B.
EXEMPLO
Teorema T 26 – Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes (em
outras palavras, se um sistema de equações lineares é obtido de outro sistema por uma
sequência finita de operações elementares, então os dois sistemas têm as mesmas
soluções)
Demonstração:
Seja L uma combinação linear das m equações com n incógnitas do sistema
. Isto é, seja L a equação
= (I)
139
Vamos mostrar que qualquer solução do sistema é também solução de L.
Seja u = ( uma solução do sistema acima. Então,
= ( i = 1, 2, 3, ...., m) (II)
Substituindo u no lado esquerdo de (I) e usando (II), obtemos
( =
) + ... + ) =
que é igual ao lado direito da igualdade (I), acima.
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS
Dizemos que um sistema linear está na forma escalonada se em cada equação existe pelo
menos um coeficiente não nulo e o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente
não nulo, aumenta de equação para equação.
EXEMPLOS
e
140
RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA ESCALONADO
Para tratar da resolução de um sistema por escalonamento, partiremos do exemplo a
seguir.
Considere o sistema cuja matriz aumentada é .
Apresentaremos a solução do sistema linear no lado esquerdo desta página e, ao mesmo
tempo, apresentaremos a solução a partir da matriz aumentada, na qual agiremos sobre as linhas.
Vejamos:
141
Sistema Matriz aumentada
Some -2 vezes a primeira equação à segunda para
obter
Some -2 vezes a primeira linha à segunda
para obter
Some -3 vezes a primeira equação à terceira para
obter
Some -3 vezes a primeira linha à terceira
para obter
Multiplique a segunda equação por ½ para obter
Multiplique a segunda linha por ½ para
obter
Some -3 vezes a segunda equação à terceira para
obter
Some -3 vezes a segunda linha à terceira
para obter
Multiplique a terceira equação por -2 para obter
Multiplique a terceira linha por -2 para
obter
Some – 1 vezes a segunda equação à primeira
para obter
Some – 1 vezes a segunda linha à primeira
para obter
Some – 11/2 vezes a terceira equação à primeira e
7/2 vezes a terceira equação à segunda para obter
Some – 11/2 vezes a terceira linha à
primeira e 7/2 vezes a terceira linha à
segunda para obter
142
(Fonte: Baseada em LIPSCHUTZ, Seymour & LIPSON, Marc. Álgebra Linear, 4ª ed. Porto Alegre:
Bookman, 2011, p. 63 e 64, exemplo 6.)
O que vemos no quadro anterior é que o sistema linear foi resolvido e a solução é x = 1, y
= 2 e z = 3. A matriz aumentada original foi reduzida à forma a qual se diz estar
na forma escalonada por linhas.
OBSERVAÇÕES
Uma matriz escalonada por linhas deve atender às seguintes propriedades:
1. Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha só de zeros;
2. O elemento líder (é o primeiro elemento não nulo considerado da esquerda
para a direita) de cada linha está numa coluna à direita do elemento líder da
linha acima;
3. Todos os elementos de uma coluna abaixo de um elemento líder são zeros.
Uma matriz em forma escalonada que satisfaz às seguintes condições adicionais
(4 e 5, a seguir) se diz uma matriz na forma escalonada reduzida:
4. O elemento líder de cada linha não-nula é 1;
5. Cada elemento líder 1 é único elemento não-nulo em sua coluna.
(Fonte: LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações, 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007).
EXEMPLOS
1. está na forma escalonada.
2. está na forma escalonada reduzida.
Dado o sistema considere que o sistema
escalonado, gerado a partir desse sistema, tenha o número de equações igual ao número de
incógnitas.
Assim, teremos que o sistema passa a ser
S =
em que os coeficientes serão todos não nulos.
Assim, ficaremos com a matriz triangular (incompleta) do sistema
143
A = .
Sabemos que det A = . Assim, pela regra de Cramer o sistema é
possível e determinado. Os valores da solução podem ser obtidos resolvendo o
sistema por substituição. Da última equação, determinamos , que, substituído na equação
anterior, fornece o valor de . Assim, repetindo esse procedimento serão obtidos todos os
valores de .
Considere agora que o número de equações é menor que o número de incógnitas, ou seja,
o sistema é do tipo
, com m < n.
Tomando as variáveis livres (incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma das
equações) e transpondo-as para o segundo membro, o sistema obtido será formado pelas
incógnitas do primeiro membro das equações. Atribuindo valores a cada incógnita do segundo
membro, formaremos um sistema do tipo anterior. Desta forma, é determinado e sua solução é a
solução do sistema. Esse procedimento pode se estender infinitamente o que gera do sistema
original um número infinito de soluções. Conclui-se que um sistema deste tipo é possível e
indeterminado.
O número de variáveis livres num sistema define o grau de indeterminação do sistema.
EXEMPLOS
1. é uma matriz escalonada, mas não é.
2. é uma matriz escalonada.
3. é uma matriz escalonada.
144
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Determinar a solução do sistema .
Solução:
Sendo a matriz aumentada do sistema dado vamos aplicar o método
do escalonamento.
1º passo: multiplicar a primeira linha por :
2º passo: multiplicar a segunda linha por :
3º passo: somar vezes a segunda linha à primeira linha:
4º passo: multiplicar a terceira linha por 1/6:
5º passo: somar vezes a terceira linha à segunda linha:
145
6º passo: somar vezes a terceira linha à primeira linha:
Assim, conclui-se que x = 4, y = 2e z = 1/3.
2. Escalone o sistema
Solução:
Para escalonar um sistema, devemos:
1º - colocar como primeira equação aquela em que o coeficiente da primeira incógnita é
não nulo.
2º - anular o coeficiente da primeira incógnita de todas as equações (exceto a primeira
equação), substituindo da segunda equação em diante pela soma da mesma com a primeira
multiplicada por um número conveniente.
3º - deixar de lado a primeira equação e aplicar o primeiro e o segundo passos, anteriores,
na segunda equação.
4º - deixar de lado a primeira e segunda equações e aplicar o primeiro e o segundo passos,
acima, nas equações restantes, até ficar com todo o sistema escalonado.
Considere a matriz aumentada correspondente ao sistema dado:
A =
Substituir a segunda linha (L2) por (-2)L1 +L2. Como podemos ver na matriz a seguir:
A =
Em seguida, substituir a terceira linha (L3) por (-3)L1 + L3, ficando como a matriz a
seguir:
A =
Ao multiplicar a segunda linha (L2) por -1/3, resulta que
146
A =
Em seguida, na matriz equivalente substituir a terceira linha (L3) por (7)L2 + L3, o que
resulta na matriz a seguir:
A =
Ao multiplicar a terceira linha (L3) por 1/2 resulta que
A =
Daí resultando o sistema equivalente
Conclusão: x = 1, y = 3 e z = 2.
3. Discuta e resolva o sistema
Solução:
D = =
D = 0 ⇔ ⇔ m = 1 ou m = 4
Logo, para e , o sistema é possível e determinado e a única solução é (0, 0,
0).
Para m = 1, vem:
⇔ ⇔
Colocando , temos .
Logo, a solução é ( , para todo .
Para , vem:
147
⇔ ⇔
Colocando , temos e .
Logo, a solução ( , e para todo .
Resumindo:
e ⟹ sistema possível e determinado e V = (0, 0, 0).
⟹ sistema possível e indeterminado e V = { / };
⟹ sistema possível e indeterminado e V = { / }.
Vamos exercitar um pouco o que já desenvolvemos até aqui?
ATIVIDADES PROPOSTAS V
1. Resolva estes sistemas e, quando necessário, discuta-os35.
a.
b.
c.
d. .
2. (UFMG)36 Uma prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte
forma: o aluno ganhava 5 pontos por questão que acertava e perdia 1 ponto por questão que
35 Questão baseada em SMOLE, Kátia Stocco & DINIZ, Maria Ignez. Matemática: ensino médio. Vol.
2, 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013, p. 323.
Estude mais acessando os links
<https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/reduced_row_echelon/v/matrices-reduced-row-echelon-form-1>,
<https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/reduced_row_echelon/v/matrices-reduced-row-echelon-form-2> e
<https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/reduced_row_echelon/v/matrices-reduced-row-echelon-form-3>.
Sucesso e bons estudos!
148
errava ou deixava em branco. Se um aluno totalizou 210 pontos, qual o número de questões
que ele acertou?
3. (Unirio – RJ) Em um escritório de advocacia trabalham apenas dois advogados e uma
secretária. Como o Dr. André e o Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a
secretaria Cláudia coloca 1 grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada
processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao todo,
são 78 processos nos quais foram usados 110 grampos. Calcule o número de processos do
Dr. Carlos.
4. (Unifor – CE) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a
terça parte correspondente ao dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de
laranjas em 4 unidades, determine o número de balas de hortelã e laranja.
36 Questões 2 a 4 disponíveis em <http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-
sobre-sistema-duas-equacoes.htm>.
149
REFERÊNCIAS
ANTON, Howard & BUSBY, Robert C. ÁLGEBRA LINEAR CONTEMPORÂNEA.
Tradução Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2006.
BOLDRINI, José Luiz et al. ÁLGEBRA LINEAR. 3ª edição. Revista e ampliada. São Paulo :
Harper & Row do Brasil, 1980.
IEZZI, Gelson. FUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR. Volume 3. 8ª
edição, São Paulo: Atual, 2004.
IEZZI, Gelson & HAZZAN, Samuel. FUNDAMENTOS DE MATEMATICA
ELEMENTAR. Volume 4. 7ª edição, São Paulo: Atual, 2004.
LAY, David. ÁLGEBRA LINEAR E SUAS APLICAÇÕES. Tradução Ricardo Camelier,
Valéria de Magalhães Iório. 2ª edição – Rio de Janeiro: LTC, 2007.
LIPSCHUTZ , Seymour & LIPSON, Marc. ÁLGEBRA LINEAR. (Coleção Schaum).
Tradução Dr. Claus Ivo Doering. - 4ª edição – Porto Alegre: Bookmann, 2011.
MONTEIRO, Jacy L. H. ÁLGEBRA MODERNA – VOLUME II. São Paulo: 1964.
TAKAHASHI, Shin. GUIA MANGÁ ÁLGEBRA LINEAR. Tradução Rafael Zanolli. São
Paulo: Novatec Editora, 2012.
